Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár)
Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött feldt megoldását várják el vizsgázóktól. tétel címéen megjelölt témát logikusn, rányosn felépített, szd elõdásn, önállón kell kifejteni. Ehhez felkészülési idõ ltt célszerû vázltot készíteni. Een tervezze meg címen megjelölt témkör(ök)höz trtozó ismeretnyg rövid áttekintését, dolgozz ki zokt részeket, melyeket részletesen kifejt, oldj meg feldtot. vizsgázó vázltát felelete közen hsználhtj. feleleten feltétlenül szerepelniük kell z lái részleteknek: egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti definíció pontos kimondás; egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti tétel pontos kimondás és izonyítás; kitûzött feldt megoldás; tém mtemtikán elüli vgy zon kívüli lklmzás (tö lklmzás felsorolás, vgy egy részletese kifejtése). H tételhez trtozó kitûzött feldt izonyítást igényel, kkor ennek megoldás nem helyettesíti témkörhöz trtozó tétel kimondását és izonyítását. Vizsgázónként szükséges segédeszköz tételsorn szereplõ feldtokhoz kpcsolódó összefüggéseket trtlmzó, tételcímekkel együtt nyilvánosságr hozott képlettár, továá szöveges dtok tárolásár és megjelenítésére nem lklms zseszámológép. tételt vizsgázónk önállón kell kifejtenie. Közekérdezni csk kkor lehet, h teljesen helytelenül indult el, vgy nyilvánvló, hogy elkdt. Értékelés szóeli vizsgán elérhetõ pontszám 35. z értékelés központi értékelési útmuttó lpján történik. z értékelési szempontok: felelet trtlmi összetétele, felépítésének szerkezete 0 pont feleleten szereplõ, témához illõ definíció helyes kimondás pont feleleten szereplõ, témához illõ tétel helyes kimondás és izonyítás 6 pont kitûzött feldt helyes megoldás 8 pont H felelõ feldtot csk vizsgázttó segítségével tudj elkezdeni, kkor mimum 5 pont dhtó. lklmzások ismertetése 4 pont Egy odillõ lklmzás megemlítése pont, ennek részletezése, vgy továi -3 lényegesen eltérõ lklmzás említése továi 3 pont. Mtemtiki nyelvhsznált, kommunikációs készség 5 pont
szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor lpján zjlik. 5 tételõl tételt húz vizsgázó, minek kidolgozásár 30 perc áll rendelkezésére. tételek trtlmznk z Okttási Hivtl áltl eddig már kidott témkörökön túl témkörhöz szorosn kpcsolódó feldtot is. tétel kidolgozásához és felelethez hsználhtó segédeszközök: képlettár (mit z Okttási Hivtl készített és vizsgán iztosítják), számológép (mi szöveges dtok megjelenítésére nem lklms). felelet, zz tétel kifejtése önállón történik, tehát vizsgázttó nem szól köze, önálló elõdást vár el izottság. vizsgázttó csk kkor szólht köze, h vizsgázó elvileg hiás úton indul el, vgy h elkd, vgy h segítséget kér. z utói eseteken segítõ kérdést tesz fel izottság, kizárólg rr szorítkozv, mit tud vizsgázó. tételt szd elõdásmódn kell kifejteni, felépítése legyen logikus. felelet elején jó, h vizsgázó elmondj, mirõl fog eszélni (vázlt), mert kkor izottság látj felelet felépítését, észreveheti z elvi hiát, és így rögtön segíthet, vgy idõcsúszás esetén figyelmeztethet következõ vázltpont ismertetésére. felelet során figyelni kell rr, hogy mindenképpen szerepeljen egy, témköre illõ definíció pontos kimondás, illetve egy, témköre illõ tétel pontos kimondás és izonyítás, feldt megoldás s témköre illõ lklmzások (mtemtiki vgy zon kívüli 4 lklmzás, vgy egy lklmzás részletes kifejtése szükséges). feleleteket z Okttási Hivtl áltl kidott központi értékelési útmuttó lpján kell pontozni. szóeli vizsgán szerezhetõ pontszám 35, minek ontás következõ: felelet trtlmi összetétele, felépítésének szerkezete témköre illő definíció megtlálás témköre illő tétel megtlálás Logikus felépítés, trtlmi gzdgság felelet mtemtiki helyessége feleleten szereplő, témához illő definíció helyes kimondás H tö definíciót is elmond vizsgázó, kkor legjot értékelik. feleleten szereplő, témához illő tétel helyes kimondás és izonyítás tétel helyes kimondás tétel helyes izonyítás 0 pont pont pont 4 pont 4 pont pont 6 pont pont 4 pont kitûzött feldt helyes megoldás 8 pont H feldtot csk vizsgázttó segítségével tudj elkezdeni, kkor mimum 5 pont dhtó. lklmzások ismertetése Egy odillő lklmzás megemlítése Ennek részletes kifejtése vgy továi 3 lényegesen eltérő lklmzás említése Mtemtiki nyelvhsznált, kommunikációs készség Mtemtiki nyelvhsznált Önálló, folymtos elődásmód Kommunikáció Ez pont kkor is jár, h vizsgázó önálló felelete után nem volt szükség kérdésre. 4 pont pont 3 pont 5 pont pont pont pont 3
Mtemtik emelt szintû szóeli vizsg témkörei (tételek) 00.. Hlmzok, hlmzmûveletek, hlmzok számosság, hlmzmûveletek és logiki mûveletek kpcsolt.. Számhlmzok ( vlós számok hlmz és részhlmzi), oszthtósággl kpcsoltos prolémák, számrendszerek. 3. Térelemek távolság és szöge. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren. 4. Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, zonosságok. 5. Gyökvonás. Gyökfüggvények, htványfüggvények és tuljdonságik. 6. logritmus. z eponenciális és logritmusfüggvény, függvények tuljdonsági. 7. Egyenlet-megoldási módszerek, másodfokú, vgy másodfokúr visszvezethetõ egyenletek, gyökvesztés, hmis gyök. Másodfokú egyenlõtlenségek. 8. dtsokságok jellemzõi, vlószínûség-számítás elemei. 9. Szélsõérték-prolémák megoldás függvénytuljdonságok lpján és nevezetes közepekkel. 0. Számsoroztok és tuljdonságik (korlátosság, monotonitás, konvergenci). Nevezetes számsoroztok.. Függvények vizsgált elemi úton és differenciálszámítás felhsználásávl.. hsonlóság és lklmzási háromszögekre vontkozó tételek izonyításán. 3. Derékszögû háromszögek. 4. Háromszögek nevezetes vonli, pontji és körei. 5. Összefüggés z áltlános háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között. 6. Húrnégyszög, érintõnégyszög, szimmetrikus négyszögek. 7. Egyevágósági trnszformációk. Szimmetrikus sokszögek. 8. kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometrii tárgylásn), kerületi szög, középponti szög. 9. Vektorok. Vektorok lklmzás koordinátgeometrián. 0. Egyenesek koordinátsíkon. lineáris függvények grfikonj és z egyenes. Elsõfokú egyenlõtlenségek.. kör és prol koordinátsíkon.. Szögfüggvények értelmezése vlós számhlmzon, ezek tuljdonsági, kpcsoltok ugynzon szög szögfüggvényei között. Trigonometrikus függvények trnszformáltji. 3. Területszámítás elemi úton és z integrálszámítás felhsználásávl. 4. Komintorik. Gráfok. 5. izonyítási módszerek és emuttásuk tételek izonyításán, tétel és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel. 4
. Hlmzok, hlmzmûveletek, hlmzok számosság, hlmzmûveletek és logiki mûveletek kpcsolt Vázlt: I. Hlmzok, részhlmzok n elemû hlmz részhlmzink szám II. Hlmzmûveletek (komplementer, unió, metszet, különség, Descrtes-szorzt), mûveletek tuljdonsági III. Hlmzok számosság: véges, végtelen (megszámlálhtón illetve nem megszámlálhtón végtelen) hlmzok IV. Logiki mûveletek (tgdás, diszjunkció, konjunkció), mûveletek tuljdonsági V. Hlmzok és logiki mûveletek kpcsolt VI. lklmzások evezetés: hlmzelmélet mtemtikán elül viszonylg új területnek számít, precíz kidolgozásár csk XIX. százd végén került sor. hhoz, hogy hlmzelmélet önálló tudományággá váljon, nnk felismerése kellett, hogy mtemtik minden ág különözõ hlmzokkl fogllkozik. Kidolgozás: I. Hlmzok, részhlmzok hlmz és hlmz eleme lpfoglom, ezeket kifejezéseket nem definiáljuk. De: hlmz megoldásánk szigorú követelménye vn: egy hlmzt úgy kell megdnunk, hogy minden szó jöhetõ dologról egyértelmûen eldönthetõ legyen, hogy z dott hlmzhoz trtozik vgy sem. hlmzokt nyomttott ngyetûvel jelöljük következõ módon: = {; ; c}, een z eseten Œ, œ. Hlmz megdási módji: Elemeinek felsorolásávl: = {0; ; 4; 6} z elemeit egyértelmûen meghtározó utsítássl: = {egyjegyû pártln számok} Venn-digrmml: DEFINÍCIÓ: Két hlmz egyenlõ, h ugynzokt z elemeket trtlmzzák. DEFINÍCIÓ: z elem nélküli hlmzt üres hlmznk nevezzük. Jele: { } vgy. DEFINÍCIÓ: z hlmz részhlmz hlmznk, h minden eleme hlmznk is eleme. Jele: Õ. 5
DEFINÍCIÓ: z hlmz vlódi részhlmz hlmznk, h részhlmz -nek, de nem egyenlõ vele. Jele: Ã. z üres hlmz minden hlmznk részhlmz: Õ. Minden hlmz önmg részhlmz: Õ. TÉTEL: z n elemû hlmz összes részhlmzink szám: n (n ŒN). IZONYÍTÁS I.: izonyítást teljes indukcióvl végezzük, melynek lényege, hogy elõször elátjuk egy konkrét n esetére z állítást, mjd zt muttjuk meg, h z állítás igz egy tetszõleges n-re, kkor igz z õt követõ (n + )-re is, zz izonyítjuk z állítás öröklõdését. z üres hlmznk egyetlen részhlmz vn: önmg ( 0 = ). Egy egyelemû hlmznk részhlmz vn: z üres hlmz és önmg ( = ). Egy kételemû hlmznk 4 részhlmz vn: z üres hlmz, egyelemû hlmz és önmg ( = 4). Tegyük fel, hogy egy k elemû hlmznk k d részhlmz vn. izonyítni kell, hogy ez öröklõdik, vgyis egy (k + ) elemû hlmznk k + d részhlmz vn. Tekintsük z elõi k elemû hlmzt. Ekkor h z eddigi elemek mellé egy (k + )-edik elemet teszek hlmz, kkor ezzel megkétszerezem lehetséges részhlmzok számát, hiszen z új elemet vgy kiválsztom z eddigi részhlmzok, vgy nem. Vgyis (k + ) elemû hlmz részhlmzink szám k = k +, mit izonyítni kívántunk. IZONYÍTÁS II.: z n elemû hlmznk n 0 d 0 elemû, n d elemû, n d elemû, n n d n - elemû, n n d n elemû részhlmz vn, mert n elemõl k d-ot kiválsztni n k -féleképpen lehet. Így z összes részhlmzok szám: n n n n n... 0 + + + + + n+ n. n Vizsgáljuk meg -t: n n n 0 0 ( ) n n n n n n... n n = + = n 0 + + + + + n n, mi egyenlõ n n n n n... 0 + + + + + n+ n -nel inomiális tétel mitt. II. Hlmzmûveletek DEFINÍCIÓ: zt hlmzt, melynek vizsgált hlmzok részhlmzi lphlmznk vgy univerzumnk nevezzük. Jele: U vgy H. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz komplementer hlmzánk z lphlmz zon elemeinek hlmzát nevezzük, melyek z hlmznk nem elemei. Jele:. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz uniój vgy egyesítése mindzon elemek hlmz, melyek leglá z egyik hlmznk elemei. Jele:». DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz metszete vgy közös része pontosn zoknk z elemeknek hlmz, melyek mindegyik hlmznk elemei. Jele: «. 6
DEFINÍCIÓ: Két hlmz diszjunkt, h nincs közös elemük, vgyis metszetük üres hlmz. «=. DEFINÍCIÓ: z és hlmz különsége z hlmz mindzon elemeinek hlmz, melyek hlmznk nem elemei. Jele: \. U U U U Komplementer hlmz Két hlmz uniój Két hlmz metszete U U Diszjunkt hlmzok Hlmzok különsége Hlmzmûveletek tuljdonsági Kommuttív (felcserélhetõ): sszocitív (csoportosíthtó): Disztriutív (széttgolhtó)» =» «= «(» )» C =» (» C) ( «) «C = «( «C)» ( «C) = (» ) «(» C) «(» C) = ( «)» ( «C) De-Morgn zonosságok: = és = III. Hlmzok számosság DEFINÍCIÓ: Egy hlmz számosság z hlmz elemeinek számát jelenti. Jele: ΩΩ. Egy hlmz számosság lehet véges vgy végtelen. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz véges hlmz, h elemeinek számát egy természetes számml megdhtjuk. Ellenkezõ eseten, zz h hlmz elemeinek számát nem dhtjuk meg természetes számml, kkor végtelen hlmzról eszélünk. DEFINÍCIÓ: végtelen hlmzok között tlálhtunk olyt, melynek elemei sor rendezhetõk, tehát megdhtó z.,., 3., 4., eleme. pozitív természetes számokkl megegyezõ számosságú hlmzokt megszámlálhtón végtelen hlmzoknk nevezzük. megszámlálhtóság és sor rendezhetõség egy végtelen hlmznál ugynzt jelenti. Minden olyn hlmz megszámlálhtón végtelen számosságú, melynek elemei és természetes számok között kölcsönösen egyértelmû megfeleltetés létesíthetõ. Megszámlálhtón végtelen számosságúk: egész számok, páros számok, négyzetszámok, rcionális számok. DEFINÍCIÓ: vlós számok számosságávl megegyezõ számosságú hlmzokt nem megszámlálhtón végtelen vgy kontinuum számosságú hlmzoknk nevezzük. Pl.: irrcionális számok hlmz, számegyenes pontjink hlmz, intervllum pontjink hlmz. 7
TÉTEL: Számosság és hlmzmûveletek kpcsolt (logiki szit):, és C véges hlmzok számosságár érvényesek következõk: Ω» Ω = ΩΩ + ΩΩ - Ω «Ω Ω Ω = ΩUΩ - Ω» Ω Ω»» CΩ = ΩΩ + ΩΩ + ΩCΩ - Ω «Ω - Ω «CΩ - Ω «CΩ + Ω ««CΩ IV. Logiki mûveletek DEFINÍCIÓ: z állítás (vgy kijelentés) olyn kijelentõ mondt, melyrõl egyértelmûen el lehet dönteni, hogy igz vgy hmis. DEFINÍCIÓ: z igz és hmis kijelentés logiki értéke. H z állítás igz, állítás hmis, kkor úgy is mondhtjuk, hogy z logiki értéke igz, logiki értéke hmis. Jelekkel: ΩΩ = i és ΩΩ = h. z igz értéket szokták -gyel, hmis értéket 0-vl jelölni. DEFINÍCIÓ: kijelentéseket összekpcsolhtjuk. zokt kijelentéseket, miket más kijelentésekõl lehet elõállítni, összetett kijelentéseknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: H z összetett kijelentések logiki értéke csk z õt lkotó állítások logiki értékétõl és z elõállítás módjától függ, kkor logiki mûveletekrõl eszélünk. logiki mûveleteket igzságtál segítségével végezhetjük el. DEFINÍCIÓ: z állítás tgdás egyváltozós mûvelet. Egy kijelentés negációj (tgdás) z kijelentés, mi kkor igz, h hmis és kkor hmis, h igz. Jele: Â vgy ÿ. DEFINÍCIÓ: Állítások diszjunkciój: logiki vgy : Két kijelentés diszjunkciój pontosn kkor igz, h leglá z egyik kijelentés igz, különen hmis. Jele:. DEFINÍCIÓ: Állítások konjunkciój: logiki és : Két kijelentés konjunkciój pontosn kkor igz, h mindkét kijelentés igz, különen hmis. Jele: Ÿ. Igzságtálávl: Logiki mûveletek tuljdonsági: Ÿ i h i i i i i i h i i h i i h h h i i h i h h h h h h h Kommuttív (felcserélhetõ): sszocitív (csoportosíthtó): Disztriutív (széttgolhtó) De-Morgn zonosságok: = Ÿ = Ÿ ( ) C = ( C) ( Ÿ ) Ÿ C = Ÿ ( Ÿ C) ( Ÿ C) = ( ) Ÿ ( C) Ÿ ( C) = ( Ÿ ) ( Ÿ C) = és = 8
V. Hlmzok és logiki mûveletek kpcsolt definíciókól és mûveleti tuljdonságokól láthtó, hogy sok hsonlóság vn hlmzok és kijelentések, vlmint velük végezhetõ mûveletek között. z lphlmz részhlmzi és kijelentések egymásnk megfelelõ foglmk. mûveleteknél hlmzok úniójánk kijelentések közti diszjunkció (logiki vgy), hlmzok metszetének kijelentések közti konjunkció (logiki és), komplementer hlmznk kijelentés tgdás felel meg. VI. lklmzások iológián rendszertn, kémián periódusos rendszereli csoportosítás is hlmzelméleti foglmk. Mûveletek: melyik csoport melyiknek részhlmz? Vércsoport szerint z emerek különözõ hlmzok sorolhtók. Mûveletek: ki kinek dht vért? Európ országi hivtlos nyelvük lpján hlmzok sorolhtók. Mûveletek: melyik országn hivtlos nyelv z ngol vgy német? z érettségin nem kötelezõ tárgyk válsztás szerint is hlmzok sorolhtók vizsgázók. Mûveletek: ki vizsgázik kémiáól és iológiáól is? hlmzelmélethez hsonlón épül fel z eseménylger és mtemtiki logik. függvényekkel kpcsoltn is hsználjuk hlmzokt (értelmezési trtomány, értékkészlet). Egyenletek, értelmezési trtományánk vizsgáltkor számhlmzok metszetét képezzük. 9
. Számhlmzok ( vlós számok hlmz és részhlmzi), oszthtósággl kpcsoltos prolémák, számrendszerek Vázlt: I. Számhlmzok: természetes, egész, rcionális, irrcionális, vlós számok, ezek zártság II. Mûveleti tuljdonságok: kommuttivitás, sszocitivitás disztriutivitás III. Oszthtóság foglm, tuljdonsági, oszthtósági szályok. IV. Prímszám, összetett szám, számelmélet lptétele, osztók szám. V. Legngyo közös osztó, legkise közös töszörös. VI. Számrendszerek VII. lklmzások evezetés: számfoglom kilkulás ngyon hosszú folymt eredménye. fejlõdés kori szkszán is szükség volt z emer számár fontos dolgok megszámlálásár. számlálás igénye lkított ki pozitív egész számok foglmát. mtemtik fejlõdését kuttók szerint ezután hosszú idõ telt el null felfedezéséig. Kidolgozás: I. Számhlmzok DEFINÍCIÓ: természetes számok hlmz (N) pozitív egész számokól és 0-ól áll. természetes számok hlmz zárt z összedásr és szorzásr nézve, zz ármely két természetes szám összege és szorzt természetes szám. Ugynkkor kivonás és z osztás már nem végezhetõ el ezen hlmzon elül, ezek mûveletek kimuttnk hlmzól. Pl. 3 - = 5 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: z egész számok hlmz (Z) természetes számokól és zok ellentettjeikõl áll. z egész számok hlmz z összedáson és szorzáson kívül kivonásr nézve is zárt, ugynkkor z osztás kimuttht hlmzól. Pl. + 3 = 4 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: rcionális számok hlmz (Q) zokól számokól áll, melyek felírhtók két egész szám hánydosként, zz lkn, hol, ŒZ, π 0. z hánydos következõ lkokn fordulht elõ (, ŒZ, π 0, és tört végsõkig leegyszerûsített, zz és legngyo közös osztój.): egész szám, h osztój -nk. véges tizedestört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül nincs más prímszám. végtelen szkszos tizedestört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül más prímszám is vn. Tehát rcionális számok következõ lkúk: közönséges törtek, egészek, véges vgy végtelen szkszos tizedestörtek. 0
rcionális számok hlmz mind 4 lpmûveletre zárt (osztásr, h z osztó nem 0), de itt is tlálunk olyn egyenletet, melynek nincs megoldás ezen hlmzon. Pl.: - 3 = 0. DEFINÍCIÓ: zokt számokt, melyek nem írhtók fel két egész szám hánydosként, irrcionális számoknk (Q*) nevezzük. TÉTEL: irrcionális szám. IZONYÍTÁS: izonyítást indirekt módon végezzük, lényege, hogy izonyítndó állítás tgdásról eizonyítjuk, hogy z hmis. Ez zt jelenti, hogy izonyítndó állítás igz. Tegyük fel hogy rcionális szám, zz felírhtó lkn, hol, ŒZ, π 0, (; ) =. Ekkor z egyenlet jo oldlán szereplõ ( ) szám prímtényezõs felontásán mindenféleképpen páros kitevõn (kár nulldikon) szerepel, míg l oldlon levõ szám ( ) prímtényezõs felontásán kitevõje pártln (legkevese ). Ez zonn lehetetlen, hiszen számelmélet lptétele szerint egy pozitív egész számnk nincs két lényegesen különözõ felontás. Tehát nem igz z indirekt feltevésünk, vgyis igz z eredeti állítás: irrcionális. + = 0 Q *, z irrcionális számok hlmz nem zárt 4 lpmûveletre ( ( )) = Q *, : = Q *. z irrcionálisszámok tizedestört lkj végtelen nem szkszos tizedestört. DEFINÍCIÓ: rcionális és z irrcionális számok hlmz diszjunkt hlmzok (Q «Q* = ), két hlmz egyesítése vlós számok hlmz: R = Q» Q*. vlós számok hlmz zárt 4 lpmûveletre. vlós számok és részhlmzi: Q R Q* 3 0 Z N N + 0,6 947 86 0,3 /3 p II. Mûveleti tuljdonságok:,, c ŒR esetén. z összedás és szorzás kommuttív (felcserélhetõ) + = + és =. z összedás s szorzás sszocitív (csoportosíthtó) ( + ) + c = + ( + c) és ( ) c = ( c) 3. szorzás z összedásr nézve disztriutív (széttgolhtó) ( + ) c = c + c
III. Oszthtóság DEFINÍCIÓ: Egy egész szám osztój egy egész számnk, h tlálhtó olyn c egész szám, melyre c =. Jelölés: Ω. (Ekkor cω is igz) Ekkor zt is mondhtjuk, hogy töszöröse -nk. Oszthtóság tuljdonsági: H,, c ŒZ, kkor Ω, Ω és Ω0, h π 0 Ω és Ω fi = Ω fi Ω c Ω és Ωc fi Ω ± c Oszthtósági szályok: Egy n egész szám oszthtó -vel, h n páros, vgyis utolsó jegye Œ{0; ; 4; 6; 8}. 3-ml, h számjegyek összege oszthtó 3-ml. 4-gyel, h két utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 4-gyel. 5-tel, h utolsó jegye Œ{0; 5}. 6-tl, h -vel és 3-ml oszthtó. 8-cl, h három utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 8-cl. 9-cel, h számjegyek összege oszthtó 9-cel. 0-zel, h utolsó jegye 0. DEFINÍCIÓ: zokt pozitív egész számokt, melyeknek pontosn két pozitív osztój vn, prímszámoknk nevezzük. Pl.: ; 3; 5; 7; z nem prímszám. DEFINÍCIÓ: zokt z -nél ngyo számokt, melyek nem prímszámok összetett számoknk nevezzük. z összetett számoknk -nél tö pozitív osztój vn. Pl.: 4;6;8;9;0; TÉTEL: Számelmélet lptétele: ármely összetett szám felírhtók prímszámok szorztként, és ez felontás tényezõk sorrendjétõl eltekintve egyértelmû. 3 k Knonikus lk: n= p α p α p α p α, hol p, p, p 3,..., p k különözõ prímek,,, 3 3,..., k nemnegtív egész számok. Ekkor z n szám prímosztói: p, p, p 3,..., p k. k TÉTEL: Meghtározhtó z n szám osztóink szám következõ módon: fenti n számnk ( + ) ( + ) ( 3 + )... ( k + ) dr pozitív osztój vn. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legngyo közös osztój közös osztók közül legngyo. Jele: (; ). Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük közös prímtényezõket (melyek z összes felontásn szerepelnek), ezeket hozzájuk trtozó legkise kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. DEFINÍCIÓ: H két pozitív egész szám legngyo közös osztój, kkor két szám reltív prím. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legkise közös töszöröse közös töszörösök közül legkise. Jele: [; ]. Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük z összes prímtényezõt, ezeket hozzájuk trtozó legngyo kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. Összefüggés két pozitív egész szám legngyo közös osztój és legkise közös töszöröse között: (; ) [; ] =.
IV. Számrendszerek DEFINÍCIÓ: z lpú számrendszer helyiértékei:,,, 3, 4,..., z lpú számrendszeren -féle számjegy vn: 0,,,..., - (lki érték), h > 0, kkor etûket hsználunk számjegyként. helyiértékes árázolás zt jelenti, hogy számjegyek értékén kívül leírásuk helye is értékkel ír. Egymás után írjuk számjegyeket és z dott ponthoz viszonyítjuk helyüket. Áttérés 0-es számrendszerõl más lpú számot osztjuk z új számrendszer lpszámávl, mjd z így kpott hánydost újr mindddig, míg 0 hánydost nem kpunk. z osztásoknál kpott mrdékok lesznek z új szám lki értékei z egyesektõl kezdve. Pl. 948 0 7-es számrendszere átírv: 948 = 35 7 + 3 35 = 9 7 + 0 09 = 7 + 500 00 = 0 7 + 00 Így 948 0 = 53 7. Áttérés más lpúól 0-es számrendszere megfelelõ helyiértékeknek és hozzájuk trtozó lki értékeknek szorzt összege dj 0- eseli értéket: Pl.: 53 7 0-es számrendszere átírv: 53 7 = 7 3 + 5 7 + 7 + 3 = 948 0 Összedó tál -es számrendszeren: Szorzótál -es számrendszeren: + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mûveletek végezhetõk pl.: tálák lpján, vgy 0-ese vló átírássl és z eredmény dott számrendszere vló visszírásávl. V. lklmzások: Rcionális számok: rányok, rányosság, hsonlóság Irrcionális számok: szályos háromszög mgsság 3 kerülete (rp), területe (r p). Legngyo közös osztó: törtek egyszerûsítése Legkise közös töszörös: törtek közös nevezõre hozás Kifejezések legõve értelmezési trtományánk meghtározás, pl., négyzet átlój ( ), kör + +. Függvény értékkészletének megállpítás Számítógépeken -es számrendszer két jegyével jól hsználhtó: folyik árm=, nem folyik árm:0 (Neumnn-elv). M már inká 6-os, hedecimális számrendszert hsználják, mi felépíthetõ kettesõl. 3
Pl. Oldjuk meg következõ egyenletet természetes számok hlmzán: 3+ y= y 3 = y y 3 = y( ) y= 3 = 3 6 + 6 = 3+ 6 N Ω6 Ez következõ eseteken lehetséges: - 3 6 - - -3-6 3 4 5 8 0-4 y 9 6 5 4-3 0 táláztn szerepel z összes megoldás, z 5 megjelölt számpár felel meg feltételnek. 4
3. Térelemek távolság és szöge Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Vázlt: I. Térelemek, ezek illeszkedése, párhuzmosság, szöge, távolság II. Nevezetes ponthlmzok: kör (göm), párhuzmos egyenespár (hengerfelület), szkszfelezõ merõleges egyenes (sík), középpárhuzmos, szögfelezõ, prol III. Egyé ponthlmzok: ellipszis, hiperol, 3 ponttól, illetve 3 egyenestõl egyenlõ távolágr lévõ pontok, látókörív IV. lklmzások evezetés: geometri mtemtik egyik legõsi ág. Már i.e. 35 körül Euklidesz megírt Elemek címû mûvét, mien geometriát iomitusn felépítette, zz szemléletre hgytkozv lpfoglmkt (iómákt) htározott meg, és ezek segítségével izonyított állításokt. körülöttünk levõ világ megismeréséhez elengedhetetlen tér foglmánk, törvényszerûségeinek pontos ismerete. Kidolgozás: I. Térelemek Pont, egyenes, sík lpfoglmk, nem definiáljuk õket, hnem szemléletõl kilkult jelentésükre hgytkozunk. DEFINÍCIÓ: Két térelem illeszkedõ, h egyik részhlmz másiknk. DEFINÍCIÓ: Két egyenes párhuzmos, h egy síkn vnnk és nem metszik egymást. DEFINÍCIÓ: Egyenes és sík, illetve sík párhuzmos, h nincs közös pontjuk. DEFINÍCIÓ: Egy egyenest egy rá illeszkedõ pont két félegyenesre oszt, ez pont mindkét félegyenes kezdõpontj. DEFINÍCIÓ: Egy síkn két, zonos pontól kiinduló félegyenest és z áltluk meghtározott ármelyik síkrészt szögnek nevezzük. közös kezdõpont szög csúcspontj, két félegyenes szög szári, síkrész szögtrtomány. DEFINÍCIÓ: Illeszkedõ vgy párhuzmos térelemek szöge 0º. DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenes 4 szöget lkot, ezek közül - egyenlõ. H két egyenes nem merõleges egymásr, kkor két egyenes hjlásszöge kétfjt szög közül kiseik. H két egyenes merõleges egymásr, kkor hjlásszögük derékszög. Eszerint két metszõ egyenes hjlásszöge 90º-nál nem ngyo. DEFINÍCIÓ: Két egyenes kitérõ, h nincsenek egy síkn. 5
DEFINÍCIÓ: Két kitérõ egyenes hjlásszöge tér egy tetszõleges pontján átmenõ és z dott egyenesekkel párhuzmos egyenesek hjlásszöge. Ez szög pont megválsztásától független. TÉTEL: Egy, síkot metszõ egyenes merõleges síkr, h merõleges sík minden egyenesére (síkr merõleges egyenes tétele). Definíció szerint egy egyenes merõleges síkr, h merõleges sík minden olyn egyenesére, mely átmegy z egyenes és sík metszéspontján. DEFINÍCIÓ: H z e egyenes nem merõleges síkr, kkor z egyenes merõleges vetülete síkon szintén egyenes (e ). Een z eseten z egyenes és sík hjlásszögén z egyenes és vetülete hjlásszögét értjük. Ez szög legkise z egyenes és sík egyenesei áltl ezárt szögek között. e S DEFINÍCIÓ: H két sík nem párhuzmos egymássl, kkor metszésvonluk egy pontján mindkét síkn merõlegest állítunk metszésvonlr. két sík hjlásszöge e két egyenes hjlásszögével egyenlõ. Ez szög pont megválsztásától független. DEFINÍCIÓ: Két illeszkedõ vgy metszõ térelem távolság 0. DEFINÍCIÓ: Két pont távolság pontokt összekötõ szksz hossz. DEFINÍCIÓ: Pont és egyenes távolság pontól z egyenesre ocsátott merõleges szksz hoszsz. DEFINÍCIÓ: Pont és sík távolság pontól síkr ocsátott merõleges szksz hossz. P P S DEFINÍCIÓ: Párhuzmos egyenesek távolság: ármelyik egyenes egy tetszõleges pontjánk távolság másik egyenestõl, zz két egyenest összekötõ, mindkettõre merõleges szksz hossz. P e Q d( e; f ) =d( P; f ) =d( Q; e ) =PQ f 6
DEFINÍCIÓ: Két kitérõ egyenes távolság z õket összekötõ, mindkettõre merõleges szksz hossz. zt z egyenest, mely mindig létezik és egyértelmû és mely mindkét kitérõ egyenesre merõleges, két egyenes normáltrnzverzálisánk nevezzük. Így két kitérõ egyenes távolság normáltrnszverzálisuk közéjük esõ részének hossz. e f DEFINÍCIÓ: Egyenes és vele párhuzmos sík távolság z egyenes egy tetszõleges pontjánk síktól vló távolságávl egyenlõ, zz z egyenes ármely pontjáól síkr ocsátott merõleges szksz hosszávl egyenlõ. P e des, P S DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos sík távolság z egyik sík egy tetszõleges pontjánk másiktól vett távolság, zz ármelyik sík egy tetszõleges pontjáól másik síkr ocsátott merõleges szksz hossz. P S ds, S P S II. Nevezetes ponthlmzok DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyek sík egy dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú kör. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz téren, melyek tér dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú göm. DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz síkon z egyenessel párhuzmos egyenespár. DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz téren olyn hengerfelület, melynek tengelye z dott egyenes. DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn szksz felezõmerõleges egyenese. P F Q 7
DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren szksz felezõmerõleges síkj. F DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn olyn egyenes, mely két dott egyenessel párhuzmos és távolságukt felezi (középpárhuzmos). DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz z áltluk ezárt szögek szögfelezõ egyenesei. Két ilyen egyenes vn, ezek merõlegesek egymásr. e f DEFINÍCIÓ: Egy egyenestõl és egy rjt kívül lévõ ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: prol. t P d p F T III. Egyé ponthlmzok DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melynek sík két különözõ dott pontjától mért távolságösszege z dott pontok távolságánál ngyo állndó: ellipszis. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságkülönségének szolútértéke két dott pont távolságánál kise állndó: hiperol. 8
TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon egy pont (h 3 pont nem esik egy egyenesre), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenesre esik). C K C TÉTEL: háromszög három oldlfelezõ merõlegese egy pontn metszi egymást. IZONYÍTÁS: Tekintsük z C háromszög és C oldlánk oldlfelezõ merõlegesét. Ezek z egyenesek metszik egymást, mert háromszög oldli nem lehetnek párhuzmosk egymássl. Jelöljük két oldlfelezõ merõleges metszéspontját M-mel. Ekkor M pont egyenlõ távolságr vn és csúcsoktól (mert M illeszkedik szkszfelezõ merõlegesére), illetve és C csúcsoktól (mert M illeszkedik C szkszfelezõ merõlegesére). Eõl következik, hogy M egyenlõ távolságr vn és C csúcsoktól, tehát M-n áthld C oldlfelezõ merõlegese. Tehát három oldlfelezõ merõleges egy pontn metszi egymást. C M f C f TÉTEL: háromszög oldlfelezõ merõlegeseinek metszéspontj háromszög köré írt kör középpontj. IZONYÍTÁS: z elõi izonyítás szerint M egyenlõ távolságr vn -tól, -tõl és C-tõl. Legyen ez távolság M = M = MC = r. Ekkor, és C pontok r távolságr vnnk M-tõl, zz illeszkednek egy M középpontú, r sugrú körre. háromszög köré írt kör középpontj hegyesszögû háromszög esetén háromszögön elül, derékszögû háromszög esetén z átfogó felezõpontjá, tompszögû háromszög esetén háromszögön kívülre esik. O O O TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren egy, három pont, mint háromszög köré írhtó kör középpontján áthldó, 3 pont síkjár merõleges egyenes (h 3 pont nem esik egy egyenese), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenese esik). 9
TÉTEL: Három egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: H 3 egyenes párhuzmos, kkor üres hlmz. H egyenes párhuzmos (e ª f), egy pedig metszi õket (g), kkor párhuzmos egyenes középpárhuzmosán két olyn pont, melyek illeszkednek két metszõ egyenes (pl. e és g) szögfelezõire. g e M M f H 3 egyenes 3 különözõ pontn metszi egymást, kkor szögfelezõ egyeneseik metszéspontji: 4 ilyen pont vn, z egyik háromszög eírt körének, 3 pedig háromszög hozzáírt köreinek középpontj. O O O O 3 H 3 egyenes egy pontn metszi egymást, kkor egyetlen pont, 3 egyenes metszéspontj. f g M e 0
DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyekõl egy dott szksz dott szögen (0º < < 80º) látszik két, szksz egyenesére szimmetrikusn elhelyezkedõ körív (látókörívek). O O O O O = 90º 0 < < 90º 90º< < 80º IV. lklmzások Koordinátgeometrián kör, prol, z ellipszis és hiperol egyenletének felíráskor z dott göre definícióját hsználjuk fel. Látókörívek: egy tégllp egyik oldl szomszédos oldl mely pontjáól látszik legngyo szögen (színház, sportpály). Szerkesztési feldtokn: háromszög szerkesztése egy oldl, vele szemközti szög és z oldlhoz trtozó mgsság ismeretéen, vgy dott. egy pont és egy egyenes, szerkesszük meg z egyenest érintõ, ponton áthldó, dott sugrú köröket. Prolntennák. Két tny közös postládát kp z országút mentén. Hov helyezzék, hogy mindkét tnyától egyenlõ távolságr legyen? F P út
4. Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, zonosságok Vázlt: I. Pozitív egész kitevõjû htványok, htványozás zonossági II. Permnenci-elv III. Negtív egész, törtkitevõs, irrcionális kitevõjû htvány IV. lklmzások evezetés: htványozást ugynz z igény hívt létre, mint szorzást. szorzás z ismételt összedást jelenti, htványozást zonos számok szorzásár vezették e, késõ kiterjesztették értelmezését. Kidolgozás: I. Pozitív egész kitevõjû htványok DEFINÍCIÓ: H tetszõleges vlós szám és n -nél ngyo természetes szám, kkor n htvány zt z n tényezõs szorztot jelenti, melynek minden tényezõje. H n =, kkor =. z számot htvány lpjánk, z n számot htvány kitevõjének nevezzük. htványozás zonossági pozitív egész kitevõ esetén: (, ŒR, m, n ŒN + ) TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is szorozhtunk, hogy közös lpot kitevõk összegére emeljük: m n = m + n IZONYÍTÁS: = ( ) ( ) = = + m n m n htv. def. szorzás htv. def. md nd sszoc. m+ nd TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is oszthtunk, hogy közös lpot kitevõk különségére emeljük: m = m n, h π 0, m > n. n. IZONYÍTÁS: md m nd m = = = n htv. def. egysze- htv. def. rûsítés n d m n.
TÉTEL: Szorztot tényezõként is htványozhtunk: ( ) n = n n Tétel visszfele olvsv: zonos kitevõjû htványokt úgy is szorozhtunk, hogy z lpok szorztát közös kitevõre emeljük. IZONYÍTÁS: ( ) = ( ) ( ) ( ) = = n htv. def. szorzás szorzás n d sszoc. kommut. = n n htv. def.. TÉTEL: Törtet úgy is htványozhtunk, hogy számlálót és nevezõt külön-külön htványozzuk és kpott htványoknk kívánt sorrenden hánydosát vesszük. ( ) n n n =, h π 0. Tétel visszfele olvsv: zonos kitevõjû htványokt úgy is oszthtunk, hogy z lpok hánydosát közös kitevõre emeljük. IZONYÍTÁS: n ( ) ( ) ( ) ( ) n d = = = htv. def. törtek htv. def. szorzás n d n d n n. TÉTEL: Htványt úgy is htványozhtunk, hogy z lpot kitevõk szorztár emeljük: ( n ) m = n m. IZONYÍTÁS: ( n) m ( n) ( n) ( n = ) = = m.htv.def. n. htv. def. szorzás m d nd nd nd sszoc. m d = mn =. htv. def. mn d II. Permnenci-elv htványozás foglmát kiterjesztjük minden egész kitevõre, mjd egész kitevõrõl rcionális kitevõre, mjd rcionálisról irrcionális kitevõre úgy, hogy z elõi, pozitív egész kitevõre teljesülõ zonosságok továr is teljesüljenek. foglom értelmezésének kiterjesztése esetén ezt z igényt nevezzük permnenci-elvnek. III. Htványozás kiterjesztése. zonosság segítségével htványozás foglm kiõvíthetõ z egész számokr következõ módon: DEFINÍCIÓ: Tetszõleges π 0 vlós számr 0 =. Minden nullától különözõ vlós számnk nulldik htvány. 3
0 0 -t nem értelmezzük (nem lehet úgy értelmezni, hogy összhngn legyen htványozás értelmezéseivel: 0 0 = 0 kellene, mert 0 minden pozitív egész kitevõ htvány 0. 0 0 = kellene, mert minden egyé szám nulldik htvány.) izonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. 0 n = 0 + n = n 0 n n n = = DEFINÍCIÓ: Tetszõleges π 0 vlós szám és n pozitív egész szám esetén n =. Minden 0-tól n különözõ vlós szám negtív egész kitevõjû htvány szám megfelelõ pozitív kitevõjû htványánk reciprok (vgy szám reciprokánk megfelelõ pozitív kitevõjû htvány). izonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. n n = n+ n = 0 = n n n = n = = n n Ezzel két definícióvl. zonosság igz minden n, m ŒZ-re: H n = m, kkor m m = =. n m H m < n, kkor m dr -vl egyszerûsítünk, számlálón, nevezõen pedig n - m dr szorzótényezõ mrd, mi htvány definíciój mitt. lklmzv negtív egész kitevõjû n m htvány definícióját = = m n. n m ( m n) htványozás foglmát ezután rcionális kitevõre terjesztjük ki: DEFINÍCIÓ: z pozitív vlós szám p -dik htvány z pozitív vlós szám, melynek q-dik q htvány p, zz ( p ) q q = p. p q definícióól következik: q = p. z lp csk pozitív szám lehet, mert például 4 4 4 ( ) = ( ) = 4 = = értelmes, 4 ( ) = ( ) = nem értelmezhetõ, pedig két htvány értékének (zonos lp, zonos kitevõ) meg kell egyeznie. izonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. n ( ) n = n = n k ( n ) ( ) k k n k n n k k = = htványozást kiterjeszthetjük tetszõleges vlós kitevõre. Ehhez z irrcionális kitevõt kell értelmeznünk. 4
z értelmezés zon lpul, hogy ármely irrcionális szám tetszõlegesen közelíthetõ két oldlról rcionális számokkl. Így h pl.: htványt szeretnénk meghtározni, kkor ehhez értékét közelítjük nál kise, illetve nál ngyo rcionális számokkl, mjd közelítõ értékekre, mint kitevõre emeljük -t. izonyíthtó, hogy értéke létezik, és ily módon tetszõlegesen közelíthetõ (rendõr elv). DEFINÍCIÓ: z pozitív vlós szám irrcionális kitevõjû htvány, zz jelentse z r sorozt htárértékét, hol r egy rcionális számsorozt tgjit jelöli és r Æ. Képlettel: lim r = α. r α IV. lklmzások: Prímtényezõs felontásn pozitív egész kitevõjû htványok, legngyo közös osztó, legkise közös töszörös, osztók szám Normállkn: egyszerû kicsi és ngy számokkl vló mûveletek elvégzésére Számrendszerek felépítése htványozáson lpul Mértni sorozt: n, S n kiszámolás Ismétléses vriációk szám: n k Hsonló testek felszínének, térfogtánk rány Kmtos kmt számítás Négyzetes úttörvény: s= t Rdioktív omlás Mértékegységváltás inomális eloszlás Nevezetes zonosságok 5
5. Gyökvonás. Gyökfüggvények, htványfüggvények és tuljdonságik Vázlt: I. z n-edik gyök foglm (n ŒN +, n π ) II. z n-edik gyökvonás zonossági III. Gyökfüggvények és tuljdonságik IV. Htványfüggvények és tuljdonságik V. lklmzások evezetés: gyökvonás mûvelete htványkitevõ és htvány ismeretéen z lp kiszámolását teszi lehetõvé. Már idõszámításunk kezdetén ismerték kíni mtemtikusok négyzetgyök és kögyök foglmát, mi jelölésrendszere XVI. Százdn lkult ki. Kidolgozás: I. z n-edik gyök foglm gyökvonás htványozás egyik fordított mûvelete: z vlós szám n-edik gyöke (n ŒZ +, n π ) z n = egyenlet megoldás. z szám n-edik gyökének jelölése: n, h n ŒN +. gyökvonás értelmezésénél különséget kell tenni páros és pártln gyökkitevõ között (hiszen páros n-re és negtív -r z n = egyenletnek nincs megoldás, mivel vlós számok páros kitevõjû htvány nem lehet negtív. Tehát páros n-re és negtív -r z szám n-edik gyöke nem értelmezhetõ.) DEFINÍCIÓ: Egy nemnegtív vlós szám k-dik (k ŒN + ) gyökén zt nemnegtív vlós számot értjük, melynek k-dik htvány. Képlettel: ( ) k k =, hol 0, k 0, k ŒZ +. DEFINÍCIÓ: Egy vlós szám (k + )-edik (k ŒN + ) gyökén zt vlós számot értjük, melynek (k + )-edik htvány. Képlettel: ( ) k + k+ =, hol k ŒZ +. páros és pártln gyökkitevõre vontkozó definíciók közötti különségõl dódón: ( k ) k =ΩΩ és ( ) k+ k+ =, pl. 6 ( 5) 6 = 5, de 5 ( 5) 5 = 5. 6
II. z n-edik gyökvonás zonossági gyökvonás zonosságinál nem teszünk különséget páros és pártln gyökkitevõ között, z zonosságok értelmezésénél csk feltételrendszer különözik páros és pártln gyökkitevõ esetén. TÉTEL: n = n n, h n > egész; páros n-re, nemnegtív vlós számok, pártln n-re, vlós számok. Szorzt n-edik gyöke egyenlõ tényezõk n-edik gyökének szorztávl. Tehát szorztól tényezõnként vonhtunk gyököt. IZONYÍTÁS: Vizsgáljuk mindkét oldl n-edik htványát: TÉTEL: gyök definíciój mitt. ( ) n n =, ( n n ) ( n ) ( n ) n n n = =, szorzt htvány és gyök definíciój mitt. két oldl n-edik htvány egyenlõ. Pártln n-re, h két oldl n-edik htvány zonos, kkor két oldl is zonos. Páros n-re, mikor mindkét oldl értelmes, vgyis nemnegtív, kkor z n-edik htványok zonosságáól következik két oldl egyenlõsége. n n =, h n > egész; páros n-re, nemnegtív vlós számok, pártln n-re, n vlós számok, π 0. Két szám hánydosánk n-edik gyöke egyenlõ számláló és nevezõ n-edik gyökének hánydosávl. n TÉTEL: k ( n ) k =, h k pozitív egész, n egész, > 0 vlós szám. Htvány n-edik gyöke z lp n-edik gyökének htványávl egyenlõ, zz htványozás és gyökvonás sorrendje felcserélhetõ egymássl. TÉTEL: n k = n k n n m k = k m n k nk k n n k m l n m k m+ l n = = Minden zonosságnál gyökkitevõkre érvényes z n, k, m ŒN + \ {} feltétel, mennyien ez szám páros, gyökjel ltti kifejezésre nemnegtív feltételt kell szni. III. Gyökfüggvények és tuljdonságik gyökfüggvényeknél gyökvonás definiálásához hsonlón két esetet különöztetünk meg: DEFINÍCIÓ: z f: R 0 + Æ R, f() = k függvényeket, hol k ŒN +, illetve g: R 0 + Æ R, k + g() = függvényeket, hol k ŒN + gyökfüggvényeknek nevezzük. 7
Jellemzés: függvény + f: R 0 Æ R, f() = k g: R Æ R, g() = k + árázolás: y y y= k y= + k értelmezési trtomány: értékkészlete: nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 + nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 + vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R monotonitás: szigorún monoton nõ szigorún monoton nõ szélsõértéke: szolút minimum vn z = 0 helyen, minimum értéke f() = 0. nincs görülete: lulról konkáv h < 0, kkor lulról konve, h > 0, kkor lulról konkáv zérushelye: = 0 = 0 pritás: nincs: nem páros, nem pártln pártln, vgyis g(-) = -g() korlátosság: invertálhtóság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtó: inverze z f - : R 0 + Æ R, f - () = k függvény nem korlátos invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = k + függvény gyökfüggvények folytonosk, differenciálhtók, integrálhtók. Deriválásuk és integrálásuk gyökvonás és htványozás közti kpcsolt következtéen ( m n m n =, hol > 0, m ŒZ, n ŒN, n ) htványfüggvényekhez hsonlón végezhetõ el. IV. Htványfüggvények DEFINÍCIÓ: z f: R Æ R, f() = n függvényt, hol n ŒN +, htványfüggvénynek nevezzük. htványfüggvények értelmezhetõek n = 0 esetre is, de ettõl most eltekintünk. htványfüggvény vizsgáltát két részre kell ontnunk szerint, hogy n páros-e vgy pártln. 8
Jellemzés: függvény f: R Æ R, f() = k g: R Æ R, g() = k + árázolás: y y= k y y= + k értelmezési trtomány: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R értékkészlete: monotonitás: nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 + h < 0, kkor szigorún monoton csökken, h > 0, kkor szigorún monoton nõ szélsõértéke: szolút minimum vn z = 0 helyen, minimum értéke f() = 0. vlós számok hlmz: R szigorún monoton nõ nincs görülete: lulról konve h < 0, kkor lulról konkáv, h > 0, kkor lulról konve zérushelye: = 0 = 0 pritás: páros: f(-) = f() pártln, vgyis g(-) = -g() korlátosság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos. nem korlátos invertálhtóság: invertálhtó, h 0: inverze z f - + : R 0 Æ R, f - () = k függvény invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = k + függvény Görület szempontjáól külön kell venni z n = esetet: ekkor függvény se nem konve, se nem konkáv. htványfüggvények folytonosk, minden pontn deriválhtók, minden korlátos intervllumon integrálhtók. IV. lklmzások mgs fokú egyenletek megoldás Pitgorsz-tétel (négyzetre emelés, gyökvonás) mértni közép (gyökvonás) mgsság-, illetve efogótétel (négyzetre emelés, gyökvonás) kock élének, vgy göm sugránk kiszámolás térfogtól l hosszúságú fonáling lengésideje: T = π l g h mgsságól szdon esõ test seessége: v= gh kmtos kmtnál kmttényezõ kiszámítás hrmonikus rezgõmozgás körfrekvenciájánk kiszámítás 9
6. logritmus. z eponenciális és logritmusfüggvény, függvények tuljdonsági Vázlt: I. Logritmus definíciój II. Logritmus zonossági III. Eponenciális függvény, tuljdonsági IV. Logritmusfüggvény, tuljdonsági V. lklmzások evezetés: XVIII. százdn kereskedelem, hjózás, z építészet és csillgászt fejlõdése új prolémákt vetett fel mtemtikusok számár: z zonos lpú htványokkl végzett szorzás és osztás kitevõkkel elvégezhetõ összedásr és osztásr vezethetõ vissz. Így mûveletek leegyszerûsödnek. logritmuskeresés mûvelete során htványkitevõt keressük z lp és htványérték ismeretéen. Kidolgozás: I. Logritmus definíciój z = ( > 0, > 0, π ) egyenlet megoldáskor z kitevõt keressük. Ennek z egyenletnek z egyetlen megoldás = log. DEFINÍCIÓ: logritmus htványozás egyik fordított mûvelete: log ( lpú logritmus ) z z egyetlen vlós kitevõ, melyre -t emelve -t kpunk: log =, ( > 0, > 0, π ), vgyis log = c egyenértékû zzl, hogy c =. ( kitevõt fejezzük ki htványlp és htványérték ismeretéen.) Elnevezések: = logritmus lpj, = htványérték. logritmus lpját zért válsztjuk pozitív számnk, mert negtív lp esetén törtkitevõs htvány nem értelmezhetõ. h z lp 0 lenne, kkor htványérték ármilyen (0-tól különözõ) kitevõre 0, így kitevõkeresés nem egyértelmû. h z lp lenne, htványérték kitevõ ármely értékére, így sem egyértelmû kitevõkeresés. H logritmus lpj 0, kkor jelölés: log 0 = lg. H logritmus lpj e, kkor természetes lpú logritmusról eszélünk, így jelölés: log e = ln. II. Logritmus zonossági TÉTEL: Szorzt logritmus egyenlõ tényezõk logritmusánk összegével: log ( y) = log + log y, hol, y > 0, > 0, π. IZONYÍTÁS: logritmus definíciój lpján: = log és y= log y, illetve y= log ( y ) 30
Nézzük z állítás l oldlát: log ( ) log ( log log y ) log log + log y log log y = = = + y, z zonos lpú htványok szorzás és logritmus definíciój mitt. Így izonyítndó állítás igz. TÉTEL: Tört logritmus megegyezik számláló és nevezõ logritmusánk különségével: log = log log y y, hol, y > 0, > 0, π. TÉTEL: Htvány logritmus z lp logritmusánk és kitevõnek szorzt: log k = k log, hol > 0, > 0, π, k ŒR. TÉTEL: Áttérés más lpú logritmusr: logc log =, hol,, c > 0,, c π. log c IZONYÍTÁS: logritmus definíciój lpján: = log. Írjuk fel: log log log c= c = log logc, logritmus definíciój és htvány logritmus mitt. logc Kptuk: log c = log log c /: log c π 0 feltételek mitt log =. logc Ez izonyítndó állítás. III. Eponenciális függvény: DEFINÍCIÓ: z f: R Æ R, f() = ( > 0) függvényt eponenciális függvénynek nevezzük. z = esetén z eponenciális függvény konstns: f() = =. Jellemzés: függvény f: R Æ R, f() =, 0 < < eseten árázolás: y= 0< < y g: R Æ R, g() =, < eseten y y= > értelmezési trtomány: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R értékkészlete: pozitív vlós számok hlmz: R + pozitív vlós számok hlmz: R + monotonitás: szigorún monoton csökken szigorún monoton nõ szélsõértéke: nincs nincs görülete: lulról konve lulról konve 3
zérushelye: nincs nincs pritás: nincs: nem páros, nem pártln nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: invertálhtóság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtó: inverze z f - : R + Æ R, f - () = log függvény z eponenciális függvény folytonos, differenciálhtó, integrálhtó. IV. Logritmusfüggvény lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = log függvény DEFINÍCIÓ: z f: R + Æ R, f() = log, ( > 0, π ) függvényt logritmusfüggvénynek nevezzük. Jellemzés: függvény f: R Æ R, f() = log, 0 < < eseten árázolás: y g: R Æ R, g() = log, < eseten y y=log > y=log 0< < értelmezési trtomány: pozitív vlós számok hlmz: R + pozitív vlós számok hlmz: R + értékkészlete: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R monotonitás: szigorún monoton csökken szigorún monoton nõ szélsõértéke: nincs nincs görülete: lulról konve lulról konkáv zérushelye: = = pritás: nincs: nem páros, nem pártln nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: nem korlátos nem korlátos invertálhtóság: invertálhtó: inverze z f - : R Æ R, f - () = (0 < < ) függvény logritmusfüggvény folytonos, differenciálhtó, integrálhtó. invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = ( < ) függvény 3
Kpcsolt z eponenciális és logritmusfüggvények között: 0 < < < y y= y= 0< < y y= y= > y=log > y=log 0< < V. lklmzások: = 3 egyenlet megoldás logritmussl mtemtiki mûveletek visszvezetése egyszerû mûveletek elvégzésére (szorzás helyett összedás, htványozás helyett szorzás) kmtos kmtszámításnál z lptõke, z n-edik év végi tõke, és kmttényezõ ismeretéen z n meghtározás: n t 0 0 n n t lg lg lg n lg n t lg n t n lg n t t = t q = q = q = n q n= t0 t0 t0 lgq számolás gépe nem férõ ngy számokkl, pl.: 00 = 85 lg = 00 lg 0 lg30 = 3, 300 = 03, = 0,99 000 =,099 00 grvitációs erõtéren rometrikus mgsságformulán levegõ sûrûsége mgssággl eponenciálisn csökken Richter-skál (földrengések méretét htározz meg) logritmus lpú ph érték: z oldtok szd oónium-ion koncentrációjánk negtív 0-es lpú logritmus: ph = -lg[h 3 O + ] eponenciális függvény írj le: rdioktív izotópok omlását, oldódás folymtát, kondenzátor feltöltõdésének és kisülésének folymtát. 33
7. Egyenlet megoldási módszerek, másodfokú, vgy másodfokúr visszvezethetõ egyenletek, gyökvesztés, hmis gyök. Másodfokú egyenlõtlenségek Vázlt: I. Egyenlet, egyenlet gyökének foglm II. Egyenlet megoldási módszerek III. Másodfokú egyenletek, megoldásuk IV. Új ismeretlennel másodfokúr vezetõ egyenletek V. Gyökvesztés VI. Hmis gyök VII. Másodfokú egyenlõtlenségek VIII. lklmzások evezetés: z ókori Mezopotámiáól Kr.e.000-õl szármzó ékírásos tálákon tlálhtó jelek lpján tudjuk, hogy z kkori írástudók már meg tudtk oldni egyenleteket és egyenletrendszereket. legrégei írásos emléken, Rhind-ppíruszon láthtjuk nyomit gykorltól eredõ lgeri ismereteknek. Kidolgozás: I. Egyenlet DEFINÍCIÓ: z egyenlet ármely két egyenlõségjellel összekötött kifejezés. kifejezésen szereplõ változók z ismeretlenek. z egyenlet olyn változótól függõ állítás (nyitott mondt) melynek z lphlmz számhlmz. DEFINÍCIÓ: z lphlmz z ismeretlenek zon értékeinek hlmz, hol z egyenletet vizsgáljuk, hol megoldásokt keressük. DEFINÍCIÓ: z egyenlet értelmezési trtomány z lphlmznk z legõve részhlmz, hol z egyenleten szereplõ kifejezések értelmezhetõek. DEFINÍCIÓ: z egyenletet igzzá tevõ értékek z egyenlet megoldási vgy gyökei. DEFINÍCIÓ: z lphlmz zon elemeinek hlmz, melyekre z egyenlet igz, vgyis z egyenlet megoldásink (vgy gyökeinek) hlmz z egyenlet megoldáshlmz (vgy igzsághlmz). DEFINÍCIÓ: z zonosság olyn egyenlet, melynek megoldáshlmz megegyezik z egyenlet értelmezési trtományávl. 34
II. Egyenletmegoldási módszerek:. Mérlegelv: z egyenlet két oldlánk egyform változttásánk módszere. mérlegelv szerint egy egyenlet gyökeinek hlmz nem változik, h z egyenlet mindkét oldlához ugynzt számot hozzádjuk, vgy mindkét oldláól kivonjuk. z egyenlet mindkét oldlát ugynzzl 0-tól különözõ számml szorozzuk, osztjuk.. Grfikus megoldás: z egyenlet két oldlán álló kifejezést, mint függvényt árázoljuk. Ilyenkor két grfikon közös pontjink szcisszái dják megoldást. Hátrány: ponttln lehet leolvsás. 3. Szorzttá lkítás: onyolultnk vgy túl mgsfokúnk tûnõ egyenlet megoldáskor kiemeléssel vgy megfelelõ csoportosítás utáni kiemeléssel szorzttá lkítjuk z egyik oldlt úgy, hogy másik oldl 0 legyen. Szorzt kkor és csk kkor 0, h leglá z egyik tényezõje 0. Ezzel két egyszerû, vgy lcsony fokú egyenlethez jutunk. Pl.: ( - )( + 4) + ( - )(3 - ) = 0 fi ( - )( + 4 + 3 - ) = 0. 4. Értelmezési trtomány vizsgált: izonyos eseteken z értelmezési trtomány egy szám, vgy üres hlmz. H egy szám, kkor ellenõrizzük, hogy vlón megoldás-e, h üres hlmz, kkor nincs megoldás. = 0 fi D f = {} fi ellenõrzés fi = z egyetlen megoldás. = fi D f = {} fi nincs megoldás. 5. Értékkészlet vizsgált: onyolultnk tûnõ vgy tö ismeretlent trtlmzó egyenlet megoldáskor lklmzhtjuk, h z egyenlet trtlmz pl. négyzetre emelést, négyzetgyökvonást, szolútértéket, eponenciális kifejezést, szinuszt, koszinuszt. 3 + ( y+ 4) + z+ 4 = 0 = 3, y= 4, z=. 3-4 = -, de 3-4 > 0 π - fi nincs megoldás + =, de + 0 fi nincs megoldás sin sin + + sin 4sin + 4 = 4 sin + sin = 4 sin [,0] sin = sin + negtív sin + sin + = 4 sin = sin [ 3, ] sin = sin + negtív 6. Új ismeretlen evezetésével: onyolultnk tûnõ egyenlet megoldását visszvezetjük egy már ismert egyenlettípus megoldásár. Pl.: tg 4-5tg + 4 = 0 fi := tg fi - 5 + 4 = 0 III. Másodfokú egyismeretlenes egyenlet DEFINÍCIÓ: Másodfokú egyismeretlenes egyenlet + + c = 0 lkr hozhtó, hol,, c ŒR, π 0. Megoldás megoldóképlettel, szorzttá lkítássl, teljes négyzetté lkítássl, Viète formulávl. Pl. + 3 = 0 vgy + 6 + 9 = 0 35
TÉTEL: z + + c = 0 ( π 0) egyenlet megoldóképlete: - 4c 0., = ± 4c, hol IZONYÍTÁS: teljes négyzetté lkítássl: 4 + 4 + 4c = 0 / 4 4 + 4 + 4c = 0 / 4 ( + ) - + 4c = 0 / + - 4c - 4c - + 4c( + ) = - 4c / + - 40c Mivel loldlon négyzetszám vn, mi nem lehet negtív, így - 4c sem lehet z. (H - 4c < 0, kkor nincs megoldás). H - 4c 0, kkor vonjunk mindkét oldlól gyököt, figyelve, hogy elkerüljük gyökvesztést: + = c 4 + =± c 4 = ± c 4, = ± c 4 DEFINÍCIÓ: z + + c = 0 ( π 0) másodfokú egyenlet diszkrimináns D = - 4c. H D > 0, kkor z egyenletnek két különözõ vlós gyöke vn: 4c, = ±. H D = 0, kkor z egyenletnek két egymássl egyenlõ gyöke, vgyis vlódi gyöke vn: =, ezt kétszeres gyöknek is nevezzük, mert =. H D < 0, kkor z egyenletnek nincs vlós gyöke. TÉTEL: másodfokú egyenlet gyöktényezõs lkj: H egy + + c = 0 ( π 0) egyenlet megoldhtó (zz D 0) és két gyöke vn és, kkor z + + c = ( - )( - ) minden vlós -re igz. TÉTEL: Viéte-formulák: másodfokú egyenlet gyökei és együtthtói közti összefüggések: z + + c = 0 ( π 0) lkn felírt (D 0) másodfokú egyenlet gyökeire: + = és c =. Grfikus megoldás: z + + c ( π 0) függvény zérushelyei dják megoldást. (Sõt > 0 esetre törekszem!) + + c= 4c ( + ) + c= ( ) c 4 ( + + = + ) +. 4 Olyn prol kép, melynek tengelypontj T, 4 c 4. 36