68 Egeletreszerek III EGYENLETRENDSZEREK III Elsőfokú egeletekől álló reszerek III Két smeretlet trtlmzó reszerek Értelmezés Eg kétsmeretlees elsőfokú egelet áltláos lk tehát eg kétsmeretlees elsőfokú egeletekől álló egeletreszer áltláos lk: * () \ {} k k k k Felt Vzsgáluk meg következő reszerek megoláshlmzát Árázoluk sík zokt potokt melek koorátá telesítk z eges reszerek egeletet és uk meg megolás geometr eletését ) ; ) ; ) 8 8 ; ) 8 6 Megolás ) A kküszöölés mószerét hszáluk Az első egelet mkét ollát -vel mások egelet mkét ollát -ml szorozzuk és összeuk kpott egeletek megfelelő ollt: Tehát 4 6 9 6 4 6 8 és íg Következésképpe reszer egetle megolás ( ) számpár Értelmezés H eg egeletreszerek egetle megolás v kkor zt összeférhető htározott reszerek evezzük ) Az ) pothoz hsoló z első két egeletől és Mvel ezek telesítk hrmk egeletet s reszer megolás ( ) számpár ) Itt s z első két egelet lpá és Vszot ezek em telesítk hrmk egeletet tehát reszerek s megolás 4 Értelmezés H eg egeletreszerek s megolás kkor zt összeférhetetle reszerek evezzük ) A mások egelet ee z esete z első háromszoros Íg h kküszöölük z egk smeretlet kkor másk smeretle s eltűk Ee z esete z egeletreszerek végtele sok megolás v A megolások vg lkúk tehát M vg más lk M {( ) }
Egeletreszerek 69 5 Értelmezés H eg egeletreszerek végtele sok megolás v kkor zt összeférhető htároztl reszerek evezzük III Kétsmeretlees elsőfokú egeletreszerek geometr eletése A egelőséget telesítő ( ) párok geometr képe z egeletű 8 egees A 8 egelőséget telesítő ( ) párok geometr képe z egeletű egees Tehát reszer megolás két egees metszéspoták koorátát meg (III ár) A ) pot z egeletű egees áthl z M ( ) poto tehát ee z esete s reszer összeférhető htározott és megoláshlmz em változk (III ár) - - - M ( ) 4 8 - - - M ( ) 4 8 III ár III ár A ) pot z egeletű egees em hl át M poto ezért reszer összeférhetetle (III ár) A ) pot mkét egelet ugzt z egeest szármztt ezért megoláshlmz végtele sok elemet trtlmz z egees me poták koorátá megolások (III4 ár) - - - ( ) M ( ) III ár 4 8 - - III 4 ár 6 Az elő felt lpá egeesek metszéspotát összefutását lehet vzsgál hozzáuk reelt reszerek segítségével A továk áltláos feltételeket vezetük le z () reszer megolhtóságár votkozó Megvzsgáluk hog ez reszer mkor összeférhetetle mkor összeférhető htároztl lletve mkor összeférhető htározott
7 Egeletreszerek 6 Felt Htározzuk meg z () egeletreszer megolást z egütthtók függvéée Megolás Az első egeletet -vel másokt -gel szorozzuk m összeuk kpott egeletek megfelelő ollt: ( ) ) H z -t küszöölük k kkor z ( egelőséghez utuk Tehát eseté megolások és H kkor megolás létezéséhez szükségesek és feltételek Tehát eseté reszer összeférhető htároztl (ekkor mkét egelet ugzt z egeest szármztt) és z elő két esettől eltérő értékekre (zz h és vg ) összeférhetetle (H vlmel evező ull kkor eg sátos egeletreszerük v mek vzsgálását rátok ízzuk) 7 Felt Az vlós számok mle feltételt kell telesítseek hhoz hog z egeletreszer htároztl lege? Megolás A reszer kkor htároztl h me egelet ugzt z egeest szármztt Ez potos kkor törték meg h 8 Felt Az vlós számok mle feltételt kell telesítseek hhoz hog z () egeletreszerek potos eg megolás lege (összeférhető htározott lege)? Megolás Beláthtó hog z ( ) külöségek megke em lehet mert kkor reszer z előző felt lpá htároztl lee H kkor z 6 felt lpá z első két egelet áltl lkotott reszer megolás és () A reszer hrmk egeletét ez két érték kell telesítse tehát z egelőségek telesüle kell Ezt z egelőséget következő lk írhtuk:
Egeletreszerek 7 (4) vg Elleőrzhető hog h és z első és hrmk lletve mások és hrmk egeletől feezzük k megolást m reszer még fel em hszált egeletée helettesítük kkor ughhoz (4) összefüggéshez utuk Ez feltétel tehát szükséges megolások létezéséhez Következésképpe reszerek kkor lesz egetle megolás h em telesülek z 7 felt feltétele tehát létezk { } úg hog és telesül (4) feltétel 9 Megegzés A megfelelő kfeezések köe memorzálás érekée evezetük következő elöléseket: és A fet elölésekkel evezetett számokt máso- lletve hrmreű etermásk evezzük Az első esete z és főátlór míg és mellékátlór esk tehát mohtuk hog H z Háromszög szál III 6 ár főátlós szorzt és mellékátlós szorzt külösége lá íruk z első két sort mellékelt III5 árák megfelelőe kkor tt főátlóvl párhuzmos szorztok összegéek és mellékátlóvl párhuzmos szorztok összegéek külöségét kpuk (A hrmreű etermás eze kszámítás mó Srrus szál) Srrus szál III 5 ár Még létezk z úgevezett háromszög szál s melet mellékelt III6 ár szemléltet Az első árá összekötött elemek szorzták összegéől kvouk mások árá összekötött elemek szorzták összegét Íg em kell megegezük 8 elem egmáshoz vló vszoát A fetek lpá megfoglmzhtuk következő tételeket: Tétel Az egeletreszer potos kkor összeférhető htározott h és ekkor megolások (Ezt megolás mószert Crmer szálk evezzük) és
7 Egeletreszerek Tétel Az egeletreszer potos kkor összeférhető htározott h létezk { } úg hog és (5) Megegzés Az egek lpá z és egeletű egeesek összefutásák szükséges és elégséges feltétele (5) III Gkorltok és feltok Ol meg következő egeletreszereket: 5 5 ) ; ) ; ) 4 6 5 Ol meg és tárgl következő reszereket: m m m ) m ; ) m ; ) m m m Ol meg és tárgl következő reszereket: m ) 4 m ; ) m m m m 4 M feltétele k hog z egeletreszerek potos eg megolás létezze? Értelmez geometrlg kpott feltételt 5 Bzoíts e hog z * ( m ) (m ) m \{} egeletreszer megolhtó M reszer megolás? Értelmez geometrlg feltot! 6 Melek zok m ( m ) számok melekre z ( m) (m ) m m reszerek egértelmű megolás v? M felt geometr eletése? 7 M geometr eletése k hog z reszer összeférhetetle? 8 Számíts k z és egeletű egeesek áltl meghtározott háromszög területét!
Egeletreszerek 7 9 Az A városól eg kls B város ráá ul Vele egszerre B -ől eg motoros ul A - B -től 7 klométerre tlálkozk m mutá mkettő elérte élt és vsszforult z első tlálkozás utá 5 órávl megt tlálkozk Me motoros seessége? A szlíumot szlíum-o mgézumml vg lumíumml vló rekóávl állíták elő A mgézum ár 7 le/kg és z lumíumé 4 le/kg H 8 le áll reelkezésükre me mgézumot és me lumíumot kell vásároluk hhoz hog z egész kg szlíum-oot reukálhssuk? Eg szgete r és zöl kméleo él H két r tlálkozk eg zöl kméleol kkor zöl rár változk H két zöl tlálkozk három rávl kkor rák változk * zölre Elérhető-e hog r és zöl kméleo lege szgete? ( ) III Három smeretlet trtlmzó egeletreszerek Felt Oluk meg következő reszereket: z ) ; ) z z z z ; ) z z 5 z 5 5 z 4 Megolás ) Az első egeletől z Ezt ehelettesítük mások és hrmk egelete Íg két smeretlet trtlmzó egelethez utuk melek megolás és Ie következk hog reszer egetle megolás z ( ) Az le (potos eg megolássl reelkező reszert) összeférhető és htározott reszerek evezzük ) Az első egeletől z tehát Íg kfeezhetük -t és z -t z segítségével: és z 5 Ezt két smeretlet ehelettesítük reszer hrmk egeletée: 5() (5 ) 5 5 5 Mvel zoossághoz utottuk következk hog reszerek végtele sok megolás v és ezek ( 5 ) lkú számhármsok Ee z esete reszert összeférhető htároztl reszerek evezzük ) Akársk z elő és z 5 A hrmk egeletől vszot 5 z 5( ) (5) 5 4 tehát reszerek s megolás Ee z esete reszert összeférhetetleek vg elletmoásosk evezzük Felt Vzsgáluk meg hog m feltétele k hog z z z z egeletreszerek lege () -tól külööző megolás Megolás H z első két egelete tektsük z -t prméterek és htározzuk meg -et és -t z függvéée A III prgrfus () képletée helett z -t és helett z -t íruk: z és z
74 Egeletreszerek Ezt hrmk egelete helettesítve kpuk: z H ( z ) () kkor z elő összefüggések lpá Ugehhez z ereméhez utottuk vol h z lletve kfeezések közül vlmel másk külöözk ullától H ezek m ullák kkor és me egelet ekvvles tehát zol hog végtele sok megolás v (két smeretlet kell ee z esete prméterek tekte) Tehát keletethetük z lá tételt: Tétel Ak szükséges és elégséges feltétele hog z z z z egeletreszerek lege trváls megolástól (zz () -tól) külööző megolás z hog telesülö z egelőség 4 Felt Vzsgáluk meg hog m feltétele k hog z z z z egeletreszer összeférhető htározott összeférhető htároztl lletve összeférhetetle lege Megolás H z lletve ( { } ) kfeezések megke kkor z egeletek loll z egütthtók ráosk tehát ugzok z ráok kell feállk oollk közt s hhoz hog z egeletreszer összeférhető lege zz z és kfeezések értéke s kell lege Ekkor két smeretlet prméterek tekthetük és hrmkt ezek függvéée feezzük k Tehát megolások lkúk Ee z esete reszer összeférhető htároztl H z és kfeezések vlmelke külöözk -tól kkor reszer összeférhetetle H z lletve ( { } ) kfeezések közül leglá eg külöözk -tól lege ez mouk kkor megt hvtkozhtuk
Egeletreszerek 75 III prgrfusr most () képleteke helett z -t íruk Tehát: z és z Ezt hrmk egelete helettesítve kpuk: z Ez peg egeértékű z és H és vlmt közül vlmelk em kkor reszer összeférhetetle h peg m ullák kkor összeférhető htároztl Megegzés Láthtó hog z felt z felt sátos esete Sőt z s észrevehető hog tt tehát eseté z H Ol meg következő reszereket: z ) z 4 z ; ) z z z Ol meg és tárgl következő egeletreszereket: z z ) ; ) z z z z Ol meg z [ ] { z} [ z] { } z [ ] { } egeletreszert hol [ ] z vlós szám egészrészét míg { } törtrészét elöl 4 Az ABC háromszöge írt kör BC AC és AB ollkt D E lletve F potok ért Számíts k z ollko meghtározott szkszok hosszát z ollk hosszák függvéée 5 Eg szgete szürke 5 r és 7 zöl kméleo él H két külööző szíű kméleo tlálkozk mkette hrmk szíre változtták őrük szíét Lehetséges-e hog eg ő múlv me kméleo zoos szíű lege? Hát kkor h 9 szürke r és zöl kméleo v? z egelettel H z egeletreszerek egértelmű megolás v és ez: és z kkor hol kkor z egeletreszert leárs homogé egeletreszerek evezzük III Gkorltok és feltok
76 Egeletreszerek III Első- és másofokú egeletekől álló reszerek Felt Oluk meg következő reszereket: 4 ) ; ) 5 Megolás ) Az első egeletől tehát egeletől következk hog ( ) Ie megoláshlmz {( ) ( ) } ( ) Íg mások tehát és M ) A mások egeletől 5 ( ) 8 {( 8) ( ) } tehát 4 5 Ie 5 és 5 Tehát megoláshlmz M Áltlá z elsőfokú egeletek segítségével sökkethetük z smeretleek számát míg végül eg mgs fokú egeletet kell megol A megolást z egeletek geometr terpretáóák segítségével s meghtuk Pélául z ) lpotál z egeletű egees és z III Gkorltok egeletű kör metszéspott keressük Ol meg következő egeletreszereket: ) ; ) ; ) 7 4 4 Ol meg és tárgl következő egeletreszereket: ) ;) m ;) r m ( ) ( ) r Ol meg következő egeletreszereket: z z ) 6 ; ) ; ) z 6 z z 5 4z 4 z z z z 6 z 4 ( ) ( ) 4 Htároz meg z egeletű körhöz z orgóól húzott értők egeletét 5 Létezk-e ol egees mel ért z és 5 6 egeletű göréket? III Szmmetrkus reszerek Értelmezés Eg két (vg tö) smeretlet trtlmzó egeletreszert (egeletet) szmmetrkusk evezük h változók felserélésével (permutálásávl) reszer (egelet) em változk 7 7 Pél Az egelet szmmetrkus míg z em szmmetrkus 7 7 mert z serévek z első egeletől z egeletet vlmt másokól z egeletet kpuk Láthtó hog z első egelet em változott vszot mások ge
Egeletreszerek 77 Megegzés Szmmetrkus egeletreszerek eseté éremes z S és P változóserét végez ugs előforulht hog S -re és P -re egszerű egeletreszerhez utuk 4 Felt Oluk meg következő reszereket: 5 7 ) ; ) ; ) ( ) 6 ( ) Megolás Az S és P helettesítésekkel z egeletreszerek következő lk írhtók: S P 5 S P S( S P) 7 ) ; ) ; ) S P 6 S P S P (Hszáltuk z ( ) S P és ( )( ) S( S P) egelőségeket) Az ) reszerél S és P z u 5 u 6 egelet megolás tehát S és P vg S és P Az első esete z és t t egelet göke míg mások esete t t egelet göke Az első egelet szkrmás egtív tehát s vlós gök A mások egelet göke t és t tehát reszer megoláshlmz M {( ) ( )} A ) pot P S tehát z S S egelethez utuk Ie S és P vlm S és P Az első esete és t egelet göke míg mások esete t t egelet göke Íg megoláshlmz M {( ) ( ) ( ) ( ) } A hrmk reszerél S 7 SP 7 6 Íg S és P tehát megoláshlmz M III Gkorltok {( ) ( )} Ol meg következő reszereket: 7 ) ; ) 8 7 Ol meg következő reszereket: 4 4 ( ) ) ; ) ; ) ; ) 6 7 ( ) Ol meg következő reszereket: ( z) ( ) ) ; ) ; ) ( z) 6 7 ( ) 5 z( z) 5 4 Htároz meg z z reszer megolást természetes számok hlmzá z
78 Egeletreszerek III4 Homogé reszerek Előforul hog z egeletreszer két másofokú egeletől áll és ráásul mkét egelete sztg kvételével me tg másofokú Ee z esete éremes sztgokt kküszööl 4 Felt Oluk meg z 6 6 egeletreszert Megolás A mások egeletet 6-tl szorozzuk és hozzáuk z első egelethez: 6 6 6 6 6 6 Mvel z em megolás z ereet reszerek eloszthtuk ez utó egelet mkét ollát -tel Íg z t helettesítéssel z 6 t t egelethez utuk Eek megolás t és t H kkor z ereet reszer mások 8 egeletéől ho és vlmt és H 8 kkor e 7 7 8 7 7 8 7 és vlmt 4 és 4 Tehát 7 7 7 7 7 8 7 7 8 7 M 7 7 7 7 reszer megoláshlmz ( ) ( ) III4 Gkorltok Ol meg következő reszereket: ) ; ) 7 7 ; ) 5 4 III5 Más mószerek III5 Egelőtleségek felhszálás Akársk z egeletek esetée egeletreszerél s gkor klsszkus egelőtleségek felhszálás 5 Felt Oluk meg z egeletreszert z z z
Egeletreszerek 79 Megolás Mutá z egeletek megfelelő ollt összeuk és reezzük tgokt következő egelőséghez utuk: ( ) ( ) ( z ) Ez sk kkor telesül h z A ( ) peg megolás z egeletreszerek 5 Felt Oluk meg z 9 egeletreszert poztív vlós számok hlmzá Megolás Összeszorozzuk két egeletet: ( ) 9 A számt és hrmokus közepek közt egelőtleségől (vg Cuh-Bukovszk egelőtleségől) következk hog ( ) tehát { } H kkor reszer elletmoásos 9 9 H kkor tehát 9 és íg 9 5 9 5 9 5 9 5 M 9 H kkor e következk hog zz z és számok számt és hrmokus közepe egelő tehát Íg M {( )} III5 A számok reezése 5 Felt Oluk meg z z z z egeletreszert (Felvétel 984) Megolás H z közül eg poztív (vg egtív) kkor tö s ugol előelű H ( z) megolás kkor ( z) s megolás tehát elég h z z megolásokt keressük Íg számt és mért közepek közt egelőtleség lpá és z tehát z z [ ) H három szám
8 Egeletreszerek közül vlmelk kkor másk kettő s Másrészt > eseté < < < tehát z > > z > elletmoáshoz uták Tehát z egetle poztív megolás ( ) M {( ) ( )} 5 Felt Oluk meg z és megoláshlmz m m * m m< egeletreszert (Hel olmp 99) Megolás H vg kkor z m vg z m egelőséghez utuk tehát megolások ± h m és páros lletve h m vg pártl Íg megolások () és ( ) párok me m N * eseté vlmt ( ) és ( ) párok h m és párosk A továk feltételezhetük hog > mert eseté em utuk megoláshoz m m H > > kkor () és íg < Ez z eset tehát em lehetséges m H > > kkor és zoos előelűek tehát m és zoos prtásúk H m mkettő páros kkor < és < tehát < m H mkettő pártl m m kkor ( és ( ) ) tehát és Íg ez z eset s vsszvezethető z első esetre tehát ee z esete ss megolás reszerek m m H > > kkor m és páros tehát ( ) és < A fetek lpá s más megolás z egeletreszerek Ol meg z III 6 Feltok 7 egeletreszert vlós számok hlmzá (Felvétel 999) Eg p életkor 5 évvel tö mt három f életkorák összege Tíz év múlv kétszer ős lesz mt leggo f húsz év múlv kétszer ős lesz mt középső f és hrm év múlv kétszer ol ős lesz mt legkse f Há éves z p? Hát f? Eg tut z A -ól B -e ult 4 órávl utá elult eg motorsók melek seessége km h A sók mutá utolérte tutt rögtö vsszforult H 6 ór múlv sók vsszért A - és tut eért B -e htároz meg víz seességét 4 Két külö egszerre ul z egk A -ól B -e másk B -ől z A - A tlálkozás utá z egkek 6 órár míg máskk 9 órár volt szüksége hhoz hog él ére Tuv hog mkettőek egeletes seessége htároz meg hog há ór ltt tették meg z egész utt külö-külö! m m
Egeletreszerek 8 5 Az A és B potok között eg utóusz közlekek mel sk A - és B -e áll meg meütt perre Ismerük következőket: z AB szksz) Az utóusz seessége álló ) 9 ór 8 perkor z utóusz áthlt C poto B felé ) ór 8 perkor ult A -ól ) ór 6 perkor érkezett B -e e) 4 ór 4 perkor áthlt C - megt B felé f) A ukrászmester 58 pere át fgelte z utát és em látt elhl z utóuszt g) A pékmester per ltt kétszer látt z utóuszt Hog helezkek el ukrász C pot és pékség o? 6 Tláluk k zt számot melhez hozzáuk hrmát m eől levov kpott szám htoát z eremé Dötsük el hog ó-e z lá próálgtásos mószer? Tegük fel hog keresett szám 44 44 9 48 44 48 9 6 9 6 Mvel em -t kptuk keresett szám em 44 Tegük fel hog keresett szám 8 8 44 6 8 6 44 4 6 44 4 Most sem -t kptuk tehát keresett szám em s 8 A két rossz ereméől következő számolásokt végezzük: 44 6 Első téveés 6 mások téveés A mellékelt ár szert 44 és 8 8 6 szorztok külöségét elosztuk hák külöségével 8 6 44 9 keresett szám 9 Mért? 6 7 Kétféle ezüstük v Az egk krátos másk 4 krátos Me kell z eges típusokól hog fot krátos ezüstöt lehesse ötvöz? 4 Jó-e feltr következő megolás? krátos Tehát rész 4 krátos és rész krátos ezüst 4 szükséges z ötvözethez 5 6 6 8 Eg fűszerüzlete háromféle te v: elo mel fotokét 5$ 6 mel fotokét 8$ és kí melől eg fot $ Mle 6 5 rá kell e három teát kever hhoz hog fot keverék 6$ lege? 5 8 6 6 Heles-e z okoskoásuk? 8 6 5 Tehát rész kí rész és 6 8 rész elo te kell 9 H eg kétegű szám kétszereséől -et kvouk kkor z ereet szám ege forított sorree eleek meg Melk ez szám? Eg férf kétszer ős mt felesége volt kkor mkor fér ős volt mt felesége most A fér és feleség éveek szám vlmt ezek összege s lkú Há éves fér és feleség most? Eg kör kerülete m H e körö két test ug z rá mozog kkor e testek másoperekét tlálkozk H ellekező rá mozogk kkor 4 másoperekét Mekkor utt tesz meg megk test eg másoper ltt?
8 Egeletreszerek Ol meg és tárgl z 4 7z 7z z egeletreszert h (Felvétel 995) 4 Ol meg vlós számok hlmzá 6 8 egeletreszert (Felvétel 997) 6 Ol meg és tárgl következő m m egeletreszert: m 7 Ol meg z egeletreszert vlós számok hlmzá * h (Felvétel 995) 9 Ol meg z vlós számok hlmzá következő egeletreszert: Ol meg z u v u v u v 5 u v 9 z t u z zt tu u egeletreszert vlós számok hlmzá Ol meg z 995 995 7 995 egeletreszert vlós számok hlmzá (Felvétel 995) 5 Ol meg 5 6 egeletreszert vlós számok hlmzá 8 Ol meg z 5 z 5z 9z egeletreszert vlós számok hlmzá Ol meg z z z z egeletreszert vlós számok hlmzá Ol meg z z z z (Felvétel 997) (Felvétel 995) egeletreszert vlós számok hlmzá
Egeletreszerek 8 Ol meg z 4 Ol meg z 4 z m 4 4 z m z m 999 4 egeletreszert vlós számok 4 hlmzá h m 4 egelőtleségreszert vlós számok hlmzá 6 M feltétele k hog z 5 Ol meg z z 4 z z z 4 4 z egeletreszer megolhtó lege? 5 z g egeletreszert vlós számok hlmzá 7 Bzoíts e hog h z 6 és z z 9 z 4 8 Bzoíts e hog h z m kkor [ ] z és z z kkor { z} m{ z} 9 Ol meg z 6 6 ( ) ( ) 8 egeletreszert vlós számok hlmzá Ol meg z * 8 egeletreszert [ tervllum ) Ol meg és tárgl z m z m z mz z egeletreszert vlós számok hlmzá h m < (Felvétel 999) Ol meg z 45 5 45 5 egeletreszert vlós számok hlmzá Ol meg z z z z z egeletreszert vlós számok hlmzá * h (Felvétel 999) 4 Ol meg következő egeletreszert vlós számok hlmzá: z z z