Kiegészítő jegyzet a gömbfüggvényekhez és a Bessel-függvényekhez

Kiegészítő jegyzet a gömbfüggvényekhez és a Bessel-függvényekhez Takács Gábor 3. április 8.. Legendre-polinomok A Legendre-féle differenciálegyenlet d x dp.. Megoldás hatványsor alakban +νν +P Mivel az egyenlet másodrendű, két lineárisan független megoldása létezik. Keressük a [,] intervallumon reguláris megoldásokat a következő alakban: Behelyettesítve: Px x α c n x n { α+nα+n cn x α+n [α+nα+n+ νν +] } c n x α+n n Együtthatók: n x α : αα c x α : αα+c x α+j : α+j +α+j +c j+ [α+jα+j + νν +]c j j N Ezért c j+ α+jα+j + νν + c j α+j +α+j + és vagy csak páros, vagy csak páratlan hatványok fordulnak elő. Két eset van: c : α vagy α c : α vagy α A második lehetőség mind a két esetben paritást vált, a független esetek tehát az α választással előállnak: jj + νν + c j+ c j j +j +

Mivel c j+ c j ha j mindkét sor divergál x -ben, kivéve, ha véges sok tag után terminálnak. Ez akkor lehetséges, ha ν l N és ekkor l paritásától függően a páros vagy a páratlan sor terminál. Ezt a megoldást a következőképpen normáljuk: P és l-edfokú Legendre polinomnak nevezzük, jele P l x Megjegyzés: az r, θ, φ gömbi koordinátákban felírt Laplace-egyenlet megoldásakor az x jelentése x cosθ Az x ± pontokbeli regularitás megkövetelése azt jelenti, hogy a megoldási tartomány a θ polárszögben a teljes [, π] intervallum. Amennyiben ez nem követelmény pl. a csúcshatás tárgyalásánál, megengedhető, hogy l tetszőleges valós szám legyen, valamint ha egyik pontban sem szükséges a regularitás, akkor mindkét lineárisan független megoldás szóba jöhet ilyenkor a megoldások nem polinomok. Az l paraméter analitikusan akár a komplex síkra is kiterjeszthető. Mivel az egyenletnek l l szimmetriája, ezért az l paraméter fundamentális tartománya.. Ortogonalitás A Legendre polinomok ortogonálisak: ˆ ˆ P l x Rel d x dp lx +ll+p l x dp l x x dp lx +ll+p l xp l x és ˆ ˆ dp l x dp lx [ll+ l l +] x dp lx x dp l x ˆ P l P l +ll+p l xp l x +l l +P l xp l x azaz ˆ P l xp l x l l

Mivel minden x n hatvány előáll a Legendre polinomok lineáris kombinációjaként, ezért egyben teljes függvényrendszert is alkotnak. Ráadásul mivel az x n hatványt nála nem nagyobb fokú Legendre-polinomokkal lehet kifejezni, ezért ˆ x n P l x l > n azaz a Legendre-polinomok pont az elemi hatványokból Gram-Schmidt ortogonalizációval képzett bázis a [, ] intervallumon négyzetesen integrálható függvények terében. Normáljuk ezeket a függvényeket a P l feltétellel..3. Rodrigues formula A fentiekből következik a Rodrigues formula: d l P l x l l l! lx Bizonyítás: először is l-szeres parciális integrálással ˆ + x n dl lx l l > n tehát mindenképpen igaz, hogy P l x dl l lx mivel utóbbi egy l-edfokú polinom, ami minden nála kisebb fokszámú polinomra ortogonális a [, ] intervallumon. Explicit számítással ellenőrizhető, hogy d l l l l! lx x Bizonyítás: d l l l l! lx d l x+ l x l l! lx l x l l d l n dn l l! n l nx l nx+l n x Ebből csak az n tag ad járulékot x -nél, azaz d l l l l! lx dl x l x+l l! lx l l l! x+l l! x x 3

.4. Generátorfüggvény A Laplace-egyenlet általános megoldása azimutális szimmetria esetén Φr,θ A l r l +B l r l P l cosθ l A Gx,x is megoldja a Laplace egyenletet ha x x : x x x x x Legyen x e z és x r <, ekkor az r -ban vett regularitás miatt B l és azaz t cosθ jelöléssel és a t pontban x e z A l x l P l cosθ l A l r l P l t tr +r l r A l r l A l l Átjelölve a változókat, ezzel beláttuk, hogy a Legendre polinomok generátorfüggvénye.5. Normálás Most már csak t l P l x xt+t N l kell. Induljunk ki a generátorfüggvényből: ˆ xt+t l P l x l t k t l P l xp k x k Mindkét oldalt integrálva Elemi integrálással ˆ ˆ xt+t N k t k k xt+t +t log t t 4

Felhasználva. hogy adódik, hogy log t log+t N k t k k t n n n n tn n n k k + tk azaz a Legendre-polinomok teljes ortogonalitási relációja ˆ.6. Függvények kifejtése P l xp l x l+ δ ll Legyen f egy a [,] intervallumon négyzetesen integrálható függvény. Ekkor fx c l P l x l ahol c l l+ ˆ + P l xfx. Asszociált Legendre függvények Az asszociált Legendre-egyenlet d x dp + ahol kihasználva az egyenlet szimmetriáját a transzformációra, legyen ν... Szinguláris pontok [νν + m ν ν x Ennek az egyenletnek x ± szinguláris pontjai. Átírva a változót x ξ ] P 3 és a megoldást ξ ξ d dξ ξ ξdp dξ +[ νν +ξ ξ m ] P Px ξ α c n ξ n n 5

alakban keresve α ± m adódik. Ebből csak a pozitív előjel elfogadható a regularitás miatt. Ezek szerint Px x m/ ha x. Ugyanez a gondolatmenet helyettesítéssel azt adja, hogy ha x. x +ξ Px +x m/.. Ansatz és rekurzió Ezért keressük a megoldást a következő alakban: Px x m/ px 4 Legyen m > és fejtsük ki a p függvényt: px n c n x n Ekkor azt kapjuk, hogy [ nn x n mm++n+m νν +x n] c n azaz n c n+ mm++n+m νν + c n n+n+ Ez a rekurzió m -ra visszaadja -t, ahogy ez el is várható. Megint van egy páros és egy páratlan megoldás, amelyek egymástól függetlenek. A regularitáshoz x ±-ben megint az kell, hogy a sor terminálódjon; ez akkor történik meg, ha a fenti rekurzióban a számláló, ami két esetben lehetséges: n m ν n ν m Ekkor a második lehetőség vezethet termináláshoz, amihez az kell, hogy ν l N és m l Ekkor a megfelelő paritású hatványokból álló px egy l m-ed fokú polinom..3. Megoldás előállítása a Legendre-polinomokkal Explicit behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a megoldja az asszociált Legendre-egyenletet. Pl m x x m/ dm mp lx 6

Bizonyítás: differenciáljuk le a Legendre-egyenletet m-szer d m d m x dp +ll +P azaz p m l x dm P l d m x dm m x d p m l x x d P d x xdp +ll +P x d+m P mxd+m P P d +m x d +m x mm dm d m x x d+m P P P d +m x mxdm d m x +ll+dm d m x ami egy l m-edfokú polinom megoldja az m+x dpm l x +[ll+ mm+]p m l x egyenletet. Másfelől a 4 Ansatzot az asszociált Legendre-egyenletbe helyettesítve az adódik, hogy az ott szereplő px függvény megoldja az x d px m+x dpx +[ll + mm+]px 5 egyenletet. Ebből következik, hogy a normálást egynek választva px p m l x dm P l d m x hiszen a rekurzió szerint a 5 egyenletnek normálás erejéig egyetlen olyan megoldása van, ami l m-edfokú polinom..4. Kiterjesztés m < -ra Pl m x x m/ dm mp lx x m/ d l+m l l l! l+mx Ez kiterjeszthető arra az esetre, ha l m l. Azonban mivel 3 csak m -et tartalmazza, Pl m x és P m l x ugyanazt az asszociált Legendre-egyenletet oldja meg, aminek tudjuk, hogy normálás erejéig csak egy véges fokú polinom megoldása van. Ezért ez a két függvény nem lehet független egymástól; köztük fennáll a P m l x ml m! l+m! Pm l x reláció. Bizonyítás: mivel nem lehetnek függetlenek, ezért P m l x c lm Pl m x és csak c lm értéke a kérdéses. Ez az egyenlet kiírva azaz x m/ d l m l c l l! l mx lm x m/ d l+m l l l! l+mx d l m l mx l c lm x m dl+m l+mx l 7

A két oldalon a legmagasabb fokú tag együtthatója meg kell egyezzen: d l m l mx l c lm x m dl+m l+mx l és itt már explicite el tudjuk végezni a deriválást: azaz ll...l+m+x l+m c lm m ll...l m+x l+m amiből az állítás következik. l! l+m! c lm m l! l m!.5. Az asszociált Legendre-függvények alapvető tulajdonságai. Pl m x P l x. P m l x, m > l. Ez egyszerűen következik abból, hogy Pl m x x m/ dm mp lx x m/ d l+m l l l! l+mx és egy l-edfokú polinom l-nél magasabb deriváltja nulla. 3. Ortogonalitás ˆ + P m l xp m l x ha l l. A bizonyítás ugyanúgy megy, ahogy a P l Legendre polinomoknál láttuk. 4. Normálás ˆ + Bizonyítás: Ezt beírjuk az integrál alá ˆ + Pl m xpl m x l + l+m! l m! Pl m x ml+m! l m! P m l x Pl m xpl m x ml +m! l m! ˆ + d l m l d l+m l l l! l mx l l! l+mx Most m-szer parciálisan integrálunk, a kiintegrált rész a határon mindig : Ennek következménye l +m! l m! ˆ + ˆ + l +m! P l x l m! l +m! l+l m! ˆ + d l l d l l l l! lx l l! lx Pl m xpl m x l+ 8 l +m! l m! δ ll

3. Gömbfüggvények Definíció: Ortonormáltság: Y lm θ,φ ˆ l+l m! 4π l+m! Pm l cosθe imφ Bizonyítás: azaz Felhasználva, hogy dωy lm θ,φ Y l m θ,φ δ ll δ mm dω sinθdθdφ dcosθdφ ˆ dωy lm θ,φ Y l m θ,φ ˆ l+l m! l +l m! xˆ π P m 4π l+m! 4π l +m l xpl m dφe! im m φ ˆ π azt kapjuk, hogy ˆ dφe im m φ πδ mm dωy lm θ,φ Y l m θ,φ ˆ l+l m! l +l m! 4π l+m! 4π l +m! πδ mm Pl m xpl m x l+l m! l+l m! 4π l+m! 4π l+m! πδ l+m! mm l+l m! δ ll δ ll δ mm Teljesség: ha adott a gömbfelületen egy fθ,φ négyzetesen integrálható függvény, azaz ˆ dω fθ,φ < akkor kifejthető gömbfüggvények szerint fθ,φ f lm m f lm Y lm θ,φ l l m ˆ dωy lm θ,φ fθ,φ Ez mit is jelent? m ˆ fθ,φ dω Y lm θ,φy lm θ,φ fθ,φ l l m ˆ ˆ dcosθ l l m m dφ Y lm θ,φy lm θ,φ fθ,φ l l m azaz m Y lm θ,φy lm θ,φ δcosθ cosθ δφ φ Ez fejezi ki azt, hogy a gömbfüggvények rendszere teljes. 9

4. Bessel-függvények A Bessel-féle differenciálegyenlet J x+ x J x+ ν Jx 4.. Hatványsor megoldás x Jx x α n c n x n α ±ν c k 4kk +α c k c k A megoldást felírhatjuk a gamma-függvény Γx segítségével. A standard induló normálás ekkor dtt x e t Γx+ xγx π ΓxΓ x sinπx Γn n! n Z + a k a Ha ν / N, akkor a két független megoldás J ν x J ν x α Γα+ k k+α k!γk +α+ x ν k x ν k k x k k!γk +ν + ezek a sorok minden x C-re abszolút konvergensek. Azonban, ha ν m N J m x m J m x Ezt úgy oldjuk meg, hogy definiáljuk a Neumann-függvényt N ν x J νxcosπν J ν x sinπν k x k 6 k!γk ν + J ν és N ν mindig bázist alkot; N ν -nek akkor is van limesze, ha ν m Z. A Bessel-egyenlet megoldásának egy másik bázisát adják az ún. Hankel-függvények H ν, x J ν x±in ν x

Az összes ilyen függvényre igaz, hogy Ω ν x+ω ν+ x ν x Ω νx Ω ν x Ω ν+ x dω νx ahol Ω lehet J, N vagy H,. Bizonyítás: a 6 sorból explicit számítással látható, hogy d xν J ν x x ν J ν x d x ν J ν x x ν J ν+ x Elvégezve a deriválást a fenti formulákban kapjuk, hogy ν x J νx+j ν x J ν x azaz A két egyenletet összeadva és kivonva ν x J νx+j ν x J ν+x J ν x ν x J νx+j ν x J ν+ x ν x J νx J ν x J ν x+j ν+ x ν x J νx J ν x J ν+ x dj νx innen pedig N ν és H ν, definícióját használva ez utóbbiakra is következik az állítás. A Bessel-függvények előállíthatók a következő integrállal: x νˆ + J ν x t πγ ν + ν / e ixt dt ν > / Bizonyítás: fejtsük sorba az exponenciálist x νˆ + t πγ ν + ν / ixt n dt n! n ix n x νˆ + t n! πγ ν + ν / t n dt n A ˆ + t ν / t n dt integrál, ha n páratlan. Ha pedig n s, akkor ˆ + t ν / t s dt ˆ + ˆ + t ν / t s dt u ν / u s / dt Γν +/Γs+/ Γs+ν +

Ugyanakkor és Γ/ π, ezért Ezt beírva, az integrálunk Γs+/ s+/s /.../Γ/ Γs+/ s! π s s! x νˆ + x ν t πγ ν + ν / e ixt dt s x s s!γs+ν + s J ν x Explicit számolással látható továbbá, hogy J ν x N ν x ν x Γν + { π log x +γ ν ν ν Γν π x ahol γ lim n n k k logn.577... az Euler-Mascheroni állandó. Nagy x-re pedig J ν x x πx cos νπ π 4 N ν x x πx sin νπ π 4 Ez utóbbit a módosított Bessel-függvények segítségével igazoljuk. 4.. Módosított Bessel-egyenlet Y x+ x Y x + ν Yx Ennek megoldásai a módosított Bessel-függvények I ±ν x, ahol I ν x x ν k i ν J ν ix x x k k!γk +ν + ahol, ha ν nem egész, akkor a következőképpen kell érteni a komplex hatványt: i ν e iπ ν Ha ν m egész, akkor I m I m és a másik független megoldás K m x lim ν m K ν x K ν x π I ν x I ν x sinνπ

Explicit számolással N ν és H ν itt a komplex hatvány értéke Ezekre a függvényekre a rekurziós relációk definícióját használva látható, hogy K ν x π iν+ H ν ix i ν+ e iπ ν+ d xν I ν x x ν I ν x d x ν I ν x x ν I ν+ x ν x I νx+i νx I ν x ν x I νx+i νx I ν+ x illetve I ν x I ν+ x ν x I νx I ν x+i ν+ x di νx d xν K ν x x ν K ν x d x ν K ν x x ν K ν+ x ν x K νx+k νx K ν x ν x K νx+k νx K ν+ x K ν x K ν+ x ν x K νx K ν x+k ν+ x dk νx bizonyítás mint J-re. Az I n módosított Bessel-függvényekre átvihető a J n Bessel-függvények integrál előállítása: I ν x i ν J ν ix x νˆ + t πγ ν + ν / e xt dt x >, ν > / Másrészt igazolható, hogy K ν x π x ν Γ t ν + ν / e xt dt x >, ν > / Ez utóbbit úgy tudjuk belátni, hogy megmutatjuk, hogy ν P ν x x t ν / e xt dt 3

kielégíti a módosított Bessel-egyenletet: ezért x P ν x+xp ν x x +ν ν+ˆ P ν x [ x xt ν+/ n+ ] tt ν / e xt dt x ν+ Nagy és pozitív x-re helyettesítsünk ekkor d [ t ν+/ e xt] dt dt P ν x A ν I ν x+b ν K ν x t + u x ν+ ν / u P ν x x x + u e x u du x xˆ ν / u x ν+ e + u ν /u x x ν / e u du xˆ ν / x ν+ e u ν / e u du x ν / e x x / e x Tehát Γν +/x ν+ x P ν x x Mivel I n x hatványsorában az összes együttható pozitív, ezért I n x a végtelenhez tart, ha x. Ebből következik, hogy A ν, azaz P ν x B ν K ν x B ν onnan számítható ki, hogy megnézzük a két oldal viselkedését x körül. Ekkor ismét a helyettesítést használva t + u x ν P ν x x t ν / e xt dt ν+ ν / u x x + u e x u du x x x ν e + x ν / u ν e u du u ν x u ν e u du Γνx ν Másrészt I n hatványsorát és K n definícióját használva K ν x Γνν x ν 4

ezért tehát De ezért B ν Γν Γν ν Γν ν π ΓνΓν +/ B ν ν π Γν +/ Tehát K ν x B ν P ν x π x ν Γ t ν + ν / e xt dt 4.3. A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése Felhasználva, hogy nagy x-re ν / e x P ν x Γν +/x ν+ x azt kapjuk, hogy Viszont ezért nagy x-re Viszont ezért nagy x-re K ν x π x e x K ν x π iν+ H ν ix H ν x πx eix ν+/π/ J ν x N ν x J ν x Re H ν x K ν x Im H ν x x πx cos νπ π 4 x πx sin νπ π 4 4.4. Néhány hasznos integrálformula módosított Bessel-függvényekkel. A Cserenkov-sugárzás kiszámításánál használjuk, hogy e isx ds s + K t és a fentiekben kiszámolt aszimptotikus viselkedést: π K x e x x +O/x 5

. A szinkrotron sugárzás kiszámításakor felhasználtuk az [ xsin x+ 3 ξ 3 ] x3 [ cos 3 ξ összefüggéseket. 3 K /3 x x+ 3 x3 ] 3 K /3 x 3. A szinkrotron sugárzás spektrumának frekvencia szerinti kiintegrálásához pedig a következő formula jön jól: πγ +α x α K ν x Γ +α ν Γ +α +ν 4Γ + α ahol Reα+ν > és pontosabban ennek α esete: Reα ν > dξξ K ν ξ π 4ν 3 cosπν ahol Reν < 3 amiből a frekvenciaintegráláshoz szükséges formulák a következők: 4.5. A Bessel-függvények gyökei A egyenletnek végtelen sok megoldása van: dξξ K /3 ξ 5π 44 dξξ K /3 ξ 7π 44 J ν x x νn n,,... J ν aszimptotikáját felhasználva, az origótól távol fekvő gyökök értéke x νn nπ + ν π 4.6. Egy fontos integrál Amennyiben akkor J ν ξa x[j ν ξx] a [J ν+ξa] 6

Először is J n megoldja a Bessel-egyenletet, ezért így azaz ahonnan x d J νξx+x d J νξx+ξ x ν J ν ξx J ν ξx x d d d x J νξx J νξx+x d J νξx+ξ x ν J ν ξx +ξ x ν J ν ξx ξ xj ν ξx ξ xj ν ξx d d x J νξx +ξ x ν J ν ξx ξ d xj ν ξx a J νξx +ξ a ν J ν ξa xa + ν J ν Na most egyfelől nemnegatív ν-re másfelől így Viszont νj ν J ν ξa xj ν ξx d ξ a J νξx xa J ν+ x ν x J νx J ν x ahonnan azaz Innen ξj ν+ ξx ν x J νξx d J νξx d J νξx ν xa a J νξa ξj ν+ ξa ξj ν+ ξa x[j ν ξx] a [J ν+ξa] 4.7. A Bessel-függvények ortogonalitása ρ d dρ J νx νn ρ/a+ρ d dρ Jx νnρ/a+ ρ d ρ d dρ dρ Jx νnρ/a + x ρ νn a ν 7 x ρ νn a ν J ν x νn ρ/a J ν x νn ρ/a

Szorozzuk ezt be ρ Jx νn ρ/a-val, integráljuk ki és integráljunk parciálisan az első tagban: [ ][ ] d d dρρ dρ Jx νnρ/a dρ Jx νn ρ/a + dρρ J ν x νn ρ/a x ρ νn a ν J ν x νn ρ/a Cseréljük meg n-et és n -t: + A két egyenletet egymásból kivonva [ ][ ] d d dρρ dρ Jx νn ρ/a dρ Jx νnρ/a dρρ ρ J ν x νn ρ/a x νn a ν J ν x νn ρ/a a x νn x νn dρρj ν x νn ρ/aj ν x νn ρ/a amiből az előbb igazolt formulát felhasználva kapjuk, hogy 4.8. Bessel-Fourier sor és teljesség Bármely ν-re, a dρρj ν x νn ρ/aj ν x νn ρ/a a [J ν+x νn ] δ nn J ν x νn ρ/a n N függvények teljes ortogonális rendszert alkotnak a [, a] intervallumon. Ha egy f függvény négyzetesen integrálható az értelemben, akkor f felírható fρ n dρρ fρ < alakban, ahol az ortogonalitási relációt felhasználva f n [J ν+ x νn a] f n J ν x νn ρ/a dρρj ν x νn ρ/afρ Tehát azaz fρ n dρ ρ n [J ν+ x νn ] J νx νn ρ/aj ν x νn ρ /afρ [J ν+ x νn ] J νx νn ρ/aj ν x νn ρ /a ρ δρ ρ 8

4.9. Hankel transformáció Ha végtelen félegyenest veszünk, azaz a akkor a x νn a hullámszámok besűrűsödnek és folytonossá válnak a és között; legyen az ennek megfelelő változó jele k. Ekkor az ortogonalitási reláció határesete a következő alakú lesz: Ha f-re igaz, hogy véges, akkor a következő alakba írható: ahol az F ν k Hankel-transzformált dρρj ν kρj ν k ρ k δk k fρ F ν k dρρ / fρ dkkf ν kj ν kρ dρρfρj ν kρ Ez a Fourier transzformáció megfelelője a félegyenesen, és minden ν > / esetére definiált. 9