VII.Valószíűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII..A valószíűségszámítás elemei A valószíűségszámítás a véletle tömegjeleségeket taulmáyozó, kb. 300 éves tudomáy. Véletle jeleség: em ismerjük a kimeetelét befolyásoló valameyi téyezőt, em tudjuk a jeleség kimeetelét befolyásoli. Tömegjeleség: egymás utá, azoos körülméyek között tetszőlegese sokszor megfigyelhetők, ill. elvégezhetők (pl. kockadobás, pézfeldobás, golyó kihúzása egy urából, stb)..bevezető fogalmak - Egy véletle tömegjeleség előállítását, vagy megfigyelését kísérletek evezzük. (pl. kockadobás). - A kísérlet lehetséges kimeetelét elemi eseméyek evezzük. (pl. -es dobása, írás dobása). - Lehetetle eseméy: a kísérlet sorá soha em következik be (pl. a kockadobásál 8-as dobása). Jele: O/ - Biztos eseméy: az adott kísérletbe midig bekövetkezik (pl. a kockadobásál 7-esél kisebb természetes szám dobása). Jele:I. - Komplemeter eseméy: Egy A eseméy komplemeter eseméye az, amely akkor és csakis akkor következik be, amikor az A em következik be (pl. a kockadobásál ha A: páros szám dobása, akkor A : a em páros szám dobása). - Egyelő eseméyek: ha egy kísérletél midkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. (pl. A: páros szám dobása, B:, 4 vagy 6 dobása. Tehát A B). - Az A eseméy maga utá voja a B eseméyt: ha valaháyszor az A bekövetkezik, abból következik, hogy a B is bekövetkezik (pl. A: -es dobása, B: páros szám dobása). Jele: A B. Műveletek eseméyekkel -Két eseméy összege az az eseméy, amely akkor következik be, ha az A és B eseméyek közül legalább az egyik bekövetkezik. Jele: A + B, vagy A B. Pl. Legye a kísérlet: kártyalap húzás, 3-es magyar kártyából A: a kártyalap piros B: a kártyalap 0-esél kisebb számos A B : a kártyalap piros, vagy 7, 8, 9-esből bármilye em piros. -Az A és B eseméyek szorzata az az eseméy, amely akkor következik be, ha A és B eseméyek egyszerre következek be. Jele: A B, vagy A B. Pl. kockadobásál A: páros számot dobuk B: 3-mal osztható számot dobuk
A B, vagy A B : A dobott szám páros és 3-mal osztható, tehát a 6-os szám dobásáról, az E 6 eseméyről va szó. -Az A és B eseméyek külöbsége az az eseméy, amely akkor következik be, ha ugyaazo kísérlet folyamá az A bekövetkezik, de a B em. Jele: A B. Pl. A: -él agyobb páratla szám dobása: E, E 3 } B: 5-él kisebb szám dobása: E, E, E. } { 3 E4 { 5 A B: -él agyobb páratla és 5-él em kisebb szám. Tehát E 5, vagyis potosa 5- öst dob. -Az A és B egymást kizáró eseméyek: ha egyszerre em következhetek be. A B O/ Pl. Pézfeldobásál A: fej dobása, B: írás dobása. -Az A A,...,, A eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, ha: - egyik sem a lehetetle eseméy ( A i O/ ) - párokét egymást kizáró eseméyek alkotják ( A A O) i j / - a kísérlet sorá egyikük biztosa bekövetkezik ( A A... A I) Pl. kockadobásál az egyes számok dobása. Ezek teljes eseméyredszert alkotak. -Az A és B függetle eseméyek, ha az egyik bekövetkezése em befolyásolja a másik bekövetkezését. Pl. Egy csomag kártyából egymás utá két lapot húzuk. Ha az első húzás utá a kihúzott lapot visszatesszük és azutá húzzuk a másodikat, akkor ezek a húzások egymástól függetle eseméyek. Ha az első lapot em tesszük vissza és úgy húzzuk ki a másodikat, akkor a két lap húzása egymástól em függetle eseméy..a valószíűség fogalma A valószíűség fogalma kialakításáak az az alapja, hogy ha egy véletle tömegjeleség taulmáyozásába elég agyszámú kísérlet mellett végzik az adott eseméy megfigyelését, akkor eek bekövetkezése az elvégzett kísérletek közel ugyaayi %- ába törtéik meg. Pl. Mi a valószíűsége aak, hogy kockadobáskor 6-ost dobjuk? Válasz: /6-hoz. (Ismétlés: abszolút gyakoriság: aháyszor egy eseméy bekövetkezik, relatív gyakoriság abszolút gyakoriság/a kísérletek száma.) A agy számok tapasztalati törvéye Miél agyobb a kísérletek száma, az eseméy bekövetkezéséek a relatív gyakorisága aál ikább egy bizoyos érték körül igadozik. Az igadozás (eltérés) mértéke a kísérletek számáak övelésével csökke. Ezt a számot fogjuk az illető eseméy valószíűségéek evezi. Jele: P(A).
A valószíűség axiómái (Kolmogorov axiómák) (Kolmogorov, orosz matematikus, sz.903 -?) () Ha va egy H eseméytér, akkor mide A eseméyhez tartozik egy P(A) szám, amelyre 0 P( A). () A biztos eseméy valószíűsége, vagyis P(I). (3) Ha A és B egymást kizáró eseméyek, vagyis A B O/, akkor P ( A B) P( A) + P( B) A klasszikus defiíció az ú. klasszikus valószíűségi mezőre igaz, vagyis az elemi eseméyek száma véges és mide eseméy egyelőe valószíű. Ekkor az A eseméy valószíűsége: a kedvezö esetek száma P ( A) az összes eset száma Pl.Meyi a valószíűsége aak, hogy egy kocka dobásakor párost dobjuk? -az összes esetek száma 6 -kedvező esetek száma 3 3 P ( A) 6 Tétel ()Ha az A eseméy valószíűsége P(A), akkor a kiegészítőjéek valószíűsége P( A) P( A). ()Ha A, A,..., A teljes eseméyredszert alkotak, akkor valószíűségük összege. P A ) P( A ) +... + P( A ) ( + Pl. magyar kártyával való játék a 66. Eseméy: egy kártyalap osztása. Legyeek A :" ászt kap." A :" számost kap." A3 :" a többi közül kap." Ezek teljes eseméyredszert alkotak. 4/0 + 4/0 + /0 0/0. VII..A matematikai statisztika elemei.általáosságok A matematikai statisztika, valamely jeleségre voatkozó adatok gyűjtésével, csoportosításával, elemzésével, szemléltetésével és értékelésével, valamit a jeleség jövőbei bekövetkezését felvillató jóslatokkal foglalkozik. Egy statisztikai felmérés szakaszai: - adatgyűjtés - az adatok csoportosítása, redezése 3
- a statisztikai mutatók kiszámítása - az eredméyek ábrázolása, értelmezése, értékelése, előrejelzések. Statisztikai sokaság: az a halmaz, amelye a felmérést végezzük. A statisztikai sokaság elemeit egyedekek evezzük. A statisztikai felmérés eseté az egyedek valamilye közös tulajdosága érdekel. Ezt ismérvek, vagy karakterisztikáak evezzük, de gyakra haszáljuk a statisztikai változó megevezést is. -Ismérv: -miőségi (pl. haj szíe, szem szíe, foglalkozás, stb), vagyis számokkal em kifejezhető. -meyiségi: méréssel kapott, tehát számokkal kifejezhető -diszkrét: külöálló, többyire egész értékeket vesz föl (pl. érdemjegy, életkor, gyerekek száma) -folytoos: egy itervallum bármely értékét felveheti (pl. testmagasság, testsúly) Megjegyzés Egy statisztikai vizsgálat elvégezhető egy, vagy több ismérvre voatkozóa. - Lehet, hogy a statisztikai sokaságak olya sok eleme va, hogy mideki em vehet részt a felmérésbe. Ilyekor csak egy részé végezzük a felmérést: mitavétel, ebből következtetük az egész sokaságra. A következtetés akkor mérvadó, ha a mitavétel reprezetatív és véletleszerű. - A felmérés sorá kapott adatokat táblázatokba redezzük. Ezeket a táblázatokba található egymáshoz tartozó értékpárokat. evezzük statisztikai sorokak, vagy statisztikai táblázatak. A statisztikai sorok visszatérő értékei: - a sokaság összlétszáma () - az abszolút gyakoriság: a sokaság háy eleme redelkezik az illető ismérv értékkel - relatív gyakoriság (abszolút gyakoriság)/. Ezt tört formába írjuk, de gyakrabba %- ba adjuk meg. A megevezése gyakra egyszerűe gyakoriság. - felfelé kumulált abszolút/relatív gyakoriság: az összes megelőző osztályok és az illető osztály abszolút/relatív gyakoriságáak az összegét értjük. - lefelé kumulált abszolút/relatív gyakoriság: az összes utáa következő osztályok és az illető osztály abszolút/relatív gyakoriságáak az összegét értjük. -idősorok: ezek is a statisztikai sorok közé tartozak, valamely meyiségek időbei változását mutatják. Ezért a táblázat első oszlopába időpotok, vagy időtartamok kerülek (pl. időjárással kapcsolatos kimutatások, lázgörbék, egy itézméy diáklétszámáak időbei változása, stb.) Néháy kokrét példá mutatjuk be a felsorolt fogalmakat. Az. táblázat egy 5-ös létszámú osztály taulóiak megoszlását mutatja be a szemük szíe szerit. 4
Szem szíe Abszolút gyakoriság (a személyek száma) Relatív gyakoriság Relatív gyakoriság %-ba fekete 4 4/5 0,6 6 bara /5 0,48 48 zöld 5 5/5 0,0 0 kék 4 4/5 0,6 6 táblázat Itt a statisztikai sokaság az iskolai osztály, az ismérv a szem szíe (ez egy miőségi ismérv), az ismérvek a megadott példába 4 értéke va, a égyféle szemszí. A. táblázat két iskolai osztály félévi matematika jegyeit mutatja be. Itt az ismérv meyiségi (érdemjegy értéke számmal kifejezhető), mégpedig diszkrét meyiségi ismérv. Jegy Absz. Relatív Relatív %-ba Felfelé kum. absz. Lefelé kum. absz. Felfelé kum. rel. Lefelé kum. rel. gyak 4 3 0,075 7,5 3 40 7,5 00 5 4 0,00 0 7 37 7,5 9,56 6 7 0,75 7,5 4 33 35 8,5 7 5 0,375 37,5 9 6 7,5 65 8 6 0,50 5 35 87,5 7,5 9 3 0,075 7,5 38 5 95,5 0 0,050 5 40 00 5 táblázat Ha a felfelé kumulált abszolút gyakoriságot ézzük pl. kiolvasható, hogy 6-ost, vagy aál kisebb jegyet 4 tauló kapott (legfeljebb 6-ost), vagy ugyaezt jelei az eek megfelelő 35% is (a taulók 35%-a kapott legfeljebb 6-os jegyet.) Ha a lefelé kumulált oszlopokat ézzük pl. látható, hogy taulóak (a taulók 7,5%- áak ) va 7-esél jobb jegye. A 3. táblázat 0 személy testmagasságát fejezi ki cm-be. cm Személyek száma cm Személyek száma cm Személyek száma cm Személyek száma 58 66 74 9 8 59 67 75 0 83 60-68 4 76 9 84 6 69 5 77 9 85 6 3 70 5 78 7 86 63 7 8 79 5 87-64 3 7 7 80 3 88 65 73 8 8 3 90 táblázat 3 5
Itt az ismérvek olya sok értéke va, hogy a táblázat olvasása, adataiak értékelése ehézkessé válik. Ilyekor (a diszkrét meyiségi ) ismérv értékeket osztályokba, ismérv itervallumokba soroljuk, kialakítjuk az ú. folytoos ismérv osztályokat. Az ilye táblázatokba mide osztály jobb oldali határát, megegyezés szerit, em számítjuk hozzá az osztályhoz (kivéve az utolsóét). Tehát pl. 70-75-ig tartó osztályba a 70 cm magasak beletartozak, de a 75 cm-esek már em. A 3. táblázat sűrített, sávosított alakját láthatjuk a 4. táblázatba, ezt kiegészítettük a relatív gyakoriság értékeivel. Testmagas. osztályok cm-be Absz. Rel. gyak Felfelé kum. rel. gyak Lefelé kum. rel. <60 0,06 0,06,000 60-65 7 0,059 0,075 0,984 65-70 6 0,33 0,08 0,95 70-75 37 0,308 0,56 0,79 75-80 40 0,333 0,849 0,484 80-85 0,09 0,94 0,5 85-90 7 0,059,000 0,059 táblázat 4 Ha a kumulált gyakoriságokat ézzük, látható, hogy a megvizsgált személyek ~ 85%-a 80 cm-él alacsoyabb, vagy 9,5%-uk legalább 65 cm magas. Idősort kapuk, ha feltütetjük pl. a csíkszeredai, 4 órakor mért hőmérsékleteket egy héte keresztül (008 szept. 3-9-ig). Nap/dátum Hőmérséklet ºC-ba Szerda/IX.3. 7 Csütörtök/IX.4 8 Pétek/IX.5 9 Szombat/IX.6 3 Vasárap/IX.7 3 Hétfő/IX.8 3 Kedd/IX.9 9 táblázat 5.A statisztikai sorok grafikus ábrázolása -A miőségi ismérv alapjá készített statisztikai sorokat a gyakoriságukkal aráyos magasságú, egyelő alapú téglalapokkal ábrázoljuk. Ezt evezzük téglalapdiagramak. Ha a téglalapok vízszitese helyezkedek el, a eve sávdiagram. 6
Ha az ábrázolás a gyakoriságukkal aráyos középpotú szöggel redelkező körcikkekkel törtéik, a diagram eve kördiagram. A következő három diagram az. táblázat adatai alapjá készült. 60 50 48 kék 6 40 30 0 6 0 6 Szem szíe Relatív gyakoriság %-ba zöld bara 0 48 Relatív gyakoriság %-ba Szem szíe 0 0 fekete bara zöld kék fekete 6 0 0 40 60 Abszolút gyakoriság /a személyek száma/ 6% 6% 0% fekete bara zöld kék 48% -Meyiségi ismérvek statisztikai ábrázolása derékszögű koordiáta redszerrel törtéik. Az abszcissza tegelye az ismérv értékeit, az ordiáta tegelye pedig a gyakoriság értékeit tütetjük fel. Diszkrét meyiségi ismérv eseté haszáljuk a botdiagramot, főleg, ha az ismérv kevés értéket vesz föl. A következő botdiagram a. táblázat alapjá készült. A függőleges tegelye a relatív gyakorisággal aráyos szakaszokat is felvehetük. 7
40 30 0 0 <60 60-65 65-70 70-75 75-80 Egyelő szélességű osztályokra botott sor hisztogramja egyelő alapú, egymáshoz ragasztott téglalapok rajzolását jeleti, amelyek magassága aráyos az illető osztály abszolút, vagy relatív gyakoriságával. A 4. táblázat hisztogramja a fetiekbe látható. 0 Absz. 80-85 85-90 Ha a hisztogramot alkotó téglalapok felső oldaláak felezőpotjait egy törött voallal összekötjük, a kapott alakzatot gyakorisági poligoak evezzük (lásd a mellékelt, baloldali táblázatot.) Ha ezeket a potokat görbe voallal kötjük össze, a kapott görbe eve eloszlási görbe. Az utolsó grafiko az 5. táblázatba levő idősor grafikus ábrája. Absz. Hőmérséklet ºC-ba 45 40 35 30 5 0 5 0 5 0 cmbe <60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85 85-90 34 3 30 8 6 4 Szerda. Csütörtök Pétek Szombat Vasárap Kedd 3.Átlagok Átlagokat csak a meyiségi ismérvekél számítuk, állapítuk meg. Helyzeti középértékek: módusz és mediá. Számított középértékek: számtai, mértai, harmoikus, égyzetes közepek. -Valamely statisztikai sor móduszá, vagy legjellemzőbb értéké diszkrét ismérv eseté a legagyobb gyakoriságú ismérv értéket értjük. Osztályokra botott folytoos változó eseté a legagyobb gyakoriságak megfelelő osztályközepet értjük. A. táblázat eseté a módusz a 7 (ez az érdemjegy fordul elő a legtöbbször), a 3. táblázat eseté 75 cm, a 4. táblázat eseté a 77,5 cm (ez 75 cm-80 cm terjedő osztály közepe). Ha előfordul, hogy két osztályál a gyakoriságok egyelők, akkor vesszük a két ismérv érték középaráyosát. -Valamely statisztikai sor mediájáak evezzük az ismérvek azt az értékét, amely azzal a tulajdosággal redelkezik, hogy ugyaayi egyed vesz föl e bizoyos értékél kisebb értéket, mit aháy eél az értékél agyobb értéket. A. táblázat eseté 40 db ismérv érték va. Ha az értékek száma páratla lee, akkor a középső értéket veék. Jele esetbe két középső érték va a 0. és a., tehát az ezekek megfelelő ismérv értékek középaráyosát vesszük. 8
4 4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7, 44444 444444 3 7,7, { 7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,0,0 444444 444444 3 9 db 0. é. 9 db Tehát a mediá is 7. x Számtai, vagy aritmetikai középaráyos: + x m a. x + x +... + x Általáosa: ma. Súlyozott számtai közép: ha x érték abszolút gyakorisága k, ha x szám abszolút gyakorisága k,, ha x szám abszolút gyakorisága k, akkor: m s k x + k x +... + k k + k +... + k x Mértai, vagy geometriai/ középaráyos: m g x x, Általáosa: m x x... g x Harmoikus középaráyos: m h x + x Általáosa: mh + +... + x x x Négyzetes középaráyos: x + x m p x + x +... + x Általáosa: m p A középaráyosok tulajdosága: m m m m. h g Az éppe kiszámított középértéktől való eltérést az értékek szóródásáak evezzük. A terjedelem: a övekvő sorredbe redezett adatok (ismérv értékek) legagyobb és legkisebb értékéek a külöbsége: R x x. ( x m) k + ( x m) k +... + ( x m) k Szóráségyzet: S, ahol k + k +... +, vagyis a sokaság összlétszáma, m középaráyos k Szórás, vagy égyzetes eltérés: S ± S. A égyzetes eltérés kis értéke azt jelzi, hogy az értékek kihagsúlyozotta az átlag körül csoportosulak. S Változási együttható: V 00. Ha V 35%, akkor a vizsgált sokaságot az illető m ismérv szempotjából homogéek tekitjük. A. táblázatba található példa eseté kiszámítjuk a súlyozott számtai középaráyost, a szóráségyzetet, a szórást és a változási együtthatót. A súlyozott számtai közép: a p 9
3 4 + 4 5 + 7 6 + 5 7 + 6 8 + 3 9 + 0 74 m s m 6,85 40 40 Már abból, hogy a módusz, a mediá és a média egymáshoz agyo közel álló értékek, látszik, hogy a vizsgált sokaság eléggé homogé: 7 7 6,85. A szóráségyzet és a szórás: 3 (4 6,85) + 4 (5 6,85) + 7 (6 6,85) + 5 (7 6,85) + 6 (8 6,85) + S 40 + 3 (9 6,85) + (0 6,85) 84,765,90 40 S ± S ±,45 S,45 V 00 00,% m 6,85 VII.3.A gráfelmélet alapjai. Egyvoalas folytoos megrajzolási problémák Játék: -az alábbi ábrák esetébe valamely potból kiidulva, a ceruza fölemelése élkül megrajzolható-e az adott ábra, ha mide voalo csak egyszer szabad végigmei? -va-e olya eset, hogy a kiiduló pot egybeesse a végpottal? A gráfelmélet éháy alapfogalma: A gráf potokból és ezeket összekötő szakaszokból álló alakzat. (Az agol graph rajz szóból ered.) A gráfo található metszéspotokat csúcsokak evezzük. A csúcsokat (potokat) összekötő voalakat élekek evezzük. Illeszkedő él: ha va olya csúcs, amelye az illető él áthalad (a csúcs illeszkedik az élhez). Út: több, egymás utá illeszkedő (következő) él. Kör: ha egy útál a kezdőpot megegyezik a végpottal. Egyszerű út: ha egy útba mide él csak egyszer szerepel. 0
Egyszerű kör: zárt, egyszerű út. Nyílt Euler-voal: olya egyszerű út, amely a gráf mide élét tartalmazza (Leohard Euler, 707-783, világhírű svájci matematikus). Zárt Euler-voal: olya egyszerű út, amely a gráf mide élét tartalmazza és zárt. Egy csúcs fokszáma: a hozzá illeszkedő (oda összefutó) élek száma..tétel Egy összefüggő véges gráfak akkor és csakis akkor va zárt Euler-voala, ha a gráf mide csúcsáak a fokszáma páros. Ez azt jeleti, hogy a gráf végigjárható egy voallal és visszaérük a kiiduló potba..tétel Egy összefüggő véges gráfak akkor és csakis akkor va yílt Euler-voala, ha potosa két olya csúcsa va, amelyek fokszáma páratla, az összes többi csúcs fokszáma páros. Tehát bejárható egy voallal, de em érük vissza a kiiduló potba. Ekkor a gráf bejárása az egyik páratla fokszámú csúcsál kezdődik, a vége pedig a másik páratla fokszámúál va. Megjegyzés Egy csúcs páros fokszáma tulajdoképpe azt fogja jeletei, hogy ha az egyik voalo bemetem a csúcsba, oa egy másik voalo ki is tudok jöi. Ez jeleti, hogy, ha kettőél több páratla fokszámú csúcs va, akkor lesz olya, amelybe be lehet mei, de oa már ics egy út, amelye kijöheték. Most ézzük meg a fet megadott gráfok megrajzolhatóságát. Ehhez megbetűzzük a csúcsokat (mide potot, ill. metszéspotot) és a köyebb áttekithetőség végett egy táblázatba írjuk a csúcsok fokszámát. Az () gráf csúcsaiak fokszáma: A B C D E F P 4 4 4 4 4 A () gráf csúcsaiak fokszáma: G H I J K Q 3 3 4 4 4 A (3) gráf csúcsaiak fokszáma: L M N O R 3 3 3 3 4
Az. táblázatba mide csúcs fokszáma páros, tehát az () ábra gráfjáak va zárt Euler-voala. A. táblázatba potosa két páratla fokszámú csúcs va, tehát () ábrá látható gráfak va yílt Euler-voala, vagyis megrajzolható egy voallal, de em érük vissza a kiiduló potba. A 3. táblázatba több, mit páratla fokszámú csúcs va, tehát a (3) ábra gráfjáak ics sem yílt, sem zárt Euler-voala, vagyis em megrajzolható egy folytoos voallal.