A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós műveleten egy H H H függvényt értünk. (olyn leképezést, mely bármely (,b) ÎH elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet. Ezért műveletre vontkozó zártságot szükségtelen kikötni.) Az n változós művelet ehhez hsonlón olyn függvény, melynek értelmezési trtomány H H. H=H n, értékkészlete pedig H. Jelölés: Sokféle lehet. Kétváltozós művelet esetében célszerű z ún. infix jelölés, mikor műveleti jelet z elempár elemei közé tesszük, hogyn eddig is pl. vlós számok, vektorok esetében. Tehát z f(, b)=c prefix jelölés helyett z f b=c infix jelölést hsználjuk. Megjegyezzük, hogy z ún. postfix jelölés; (,b)f ngyon ritkán hsználtos. Többváltozós műveletnél prefix jelölés célszerűbb. Feldt: Mondjunk példát műveletekre! ef.: A H-n értelmezett * művelet sszocitív(csoportosíthtó), h bármely,b,cîh-r * (b*c)=(*b)*c teljesül. A H-n értelmezett * művelet kommuttív (felcserélhető), h bármely,bîh-r *b=b* teljesül. Bl oldli egységelemnek olyn e b ÎH elemet nevezünk, melyre minden ÎH-vl e b = teljesül. Jobb oldli egységelemnek egy olyn e j ÎH elemet nevezünk, melyre minden ÎH-vl e j = teljesül. Az eîh elem egységelem (vgy kétoldli egységelem), h mind bl, mind pedig jobb oldl egységelem, zz minden ÎH-r e=e=. Tétel: Minden, bl, -illetve jobboldli egységelemes művelettel rendelkező lgebri struktúrábn bloldli és jobboldli egyégelem egyenlő: e b = e j. Más szvkkl: A bloldli és jobboldli egyégelemes művelettel rendelkező lgebri struktúrákbn vn (kétoldli) egységelem, ez megegyezik mind bl-, mind jobboldli egységelemmel, tehát z egységelem egyértelmű. Bizonyítás: e b = e b * e j ( jobboldli egségelem def. mitt)= e j ( bloldli egységelem def. mitt) Összedásnk nevezett művelet esetén z egységelemet nullelemnek vgy nullánk nevezzük. Bércesné Novák Ágnes, 2.
A számítástudomány mtemtiki lpji Az ÎH elem bl oldli inverzén (vgy röviden blinverzén) egy olyn b ÎH elemet értünk, melyre b =e. Az ÎH elem jobb oldli inverzén (vgy röviden jobbinverzén) egy olyn j ÎH elemet értünk, melyre j =e. Az ÎH elem inverze (vgy kétoldli inverze) egy olyn - ÎH elem, mely z -nk mind bl, mind pedig jobb oldli inverze, zz - = - =e. Tétel: Minden, sszocitív művelettel rendelkező lgebri struktúrábn, mennyiben léteznek, bl- ( b ) és jobboldli ( j ) inverzek megegyeznek: b = j := - Biz.: b ( j )= b e = b = ( b ) j =e j = j ef.: A T, leglább kételemű hlmzt kommuttív testnek nevezünk, h: - Értelmezve vn T-n két művelet egyiket összedásnk (+), másikt szorzásnk (*) hívjuk. - T mindkét műveletre nézve kommuttív csoport, de z összedás egységelemének, z ún. nullelemnek nincsen inverz eleme szorzásr nézve. - bármely, b, c ÎT-re *(b+c)=*b+*c teljesül. Az elnevezésben kommuttív jelző szorzás kommuttivitásár utl. H szorzás kommuttivitását nem kötjük ki, kkor nemkommuttív ill. ferdetestről beszélünk. Feldt: Ellenőrizzük, hogy z lábbi hlmzok közül melyek lkotnk testet. Ahol nem djuk meg, ott z eddig ismert szokásos műveletekre vizsgáljuk. - természetes számok hlmz - rcionális számok hlmz - vlós számok hlmz - modulo szerinti mrdékosztályok (áltlábn modulo p szeritni mrdékosztályok, hol p prímszám). Ez péld véges elemszámú testre. ef.: Legyen T kommuttív test, k, n természetes számok. Ekkor T test feletti k n-es mátrixon egy olyn tégllp lkú tábláztot értünk, melynek k sor és n oszlop vn, elemei pedig T-ből vlók. A mátrix típus k n. A T beli elemekkel rendelkező, k n típusú mátrixok hlmzát T k n -nel is jelöljük. A továbbikbn T =R (vlós számok). További jelölések: Bércesné Novák Ágnes, 2. 2
A számítástudomány mtemtiki lpji A : 2 n 2 n 2 m 2m nm ik n m Î T k n Speciális mátrixok: Sorvektor : [, 2,,.. n ] Oszlopvektor: b b 2 b b n Nullmátrix (összedás egységeleme): ik =, jele: = Egységmátrix (szorzás egységeleme), kvdrtikus= n x n : igonál mátrix : E n = nm Bércesné Novák Ágnes, 2.
A számítástudomány mtemtiki lpji Mátrixok számml vló szorzás (nem művelet!) l A=C lîr, c ik =l ik Megállpodás szerint l A=A l. Műveletek mátrixokkl: Mivel már tnult vektorok speciális mátrixok, ezért műveleteket célszerű már ismert (koordinátás lkbn tnult) vektorösszedássl és (sklár)szorzttl összhngbn megdni. Mátrixok összedás: Ebben részben A, B, C, zonos típusú mátrixok. C=A+B c ik = ik +b ik (számok) (c ik, ik, b ik jelenti rendre C (eredménymátrix), A, B mátrixok i.soránk k.elemét) Péld: 2 7 8 8 2 A mátrix összedás tuljdonsági: Abel-csoport. Vlóbn művelet, hiszen két (n m) típusú mátrixhoz ugynolyn típusú mátrixot rendel. (zártság) 2. Kommuttív : A+B=B+A. Asszocitív : (A+B)+C=A+(B+C). Minden A-hoz létezik (egyetlen) egység, (nullmátrix), melyre A + = A. Minden A-hoz létezik inverz (ellentett) elem A, melyre A+A = Bércesné Novák Ágnes, 2.
A számítástudomány mtemtiki lpji Mátrixok szorzás Vektorok sklárszorztánk kiszámításár vontkozó tételen lpul: A C= A B mátrixot úgy kpjuk, hogy A minden sorvektoránk képezzük sklárszorztát B minden oszlopvektorávl. Ezért h A típus (n m), kkor B típus (m k). Ez zt jelenti, hogy z A és B mátrix csk bbn z esetben szorozhtó össze, h A-nk ugynnnyi oszlop vn, mint hány sor B-nek. A szorztmátrix típus ennek megfelelően (n k). m l lk il ik b : c Példák: 2 2 77 8 7 2 8 Speciális eset: egységmátrixszl vló szorzás: Feldt: Végezze el z lábbi szorzást: Bércesné Novák Ágnes, 2. i i b i b
A számítástudomány mtemtiki lpji Mátrixok szorzásánk tuljdonsági:. Csk tágbb értelemben művelet, h z összes mátrixok hlmzát nézzük. H z lphlmz T k n, kkor szorzás nem művelet, hiszen különböző típusú mátrixokon vn értelmezve, és különböző típust hoz létre. 2. nem kommuttív. sszocitív: A (B C)=(A B) C. disztributív: A (B+C)=(A B)+(A C). (l A) B=A (l B)= l (A B) (B+C) A=(B A)+(C A ) (mivel szorzás nem kommuttív). A négyzetes, det (A)¹ mátrixoknk vn inverz eleme, A - (def. ld. lább). ef.: Legyen AÎT k n. Ekkor A trnszponáltján zt BÎT k n mátrixot értjük, melyre b ij = ji Az A mátrix trnszponáltját A T -vel jelöljük. Pl.: 2 mátrix trnszponáltj 2 mátrix lesz. ef.: Azt z A - -gyel jelölt, n x n-es mátrixot, melyre A. A - = (A -. A) = E n, z A, n x n-es mátrix inverzének nevezzük. Megjegyzés: A mátrix inverzének egyértelműsége szorzás sszocitivitásánk következménye. Bércesné Novák Ágnes, 2.
A számítástudomány mtemtiki lpji Inverzmátrix egy kiszámítási módj: Tétel (2.2.): H A négyzetes mátrix, és det(a)¹, kkor A - = A* det( A), hol * ik := ki, ik = ik -hoz trtozó előjeles ldetermináns. Például x típusú mátrixr: A* := 2 2 2 2 A* z A mátrix (klsszikus) djungáltj. Bércesné Novák Ágnes, 2. 7
A számítástudomány mtemtiki lpji Bizonyítás: A 2 2 2 2 A* c 2 c 2 2 2 c c = + 2 2 + ==det(a)= (determináns kifejtése. sor szerint) Hsonlón c = 2 2 + + 2 2 =det(a), c =det(a). c 2 = 2 + 2 + = (determináns ferde kifejtése), hsonlón c =, c 2 =, c =, c 2 =. 2 2 2 2 A* A= det(a) det(a) det(a) = det(a) E n Mivel A A - = E n ezért A - = A * det( A) ef.: Azt z lgebri struktúrát, melyben két művelet, ősszedás (+) és szorzás (*) vn megdv következő tuljdonságokkl, gyűrűnek nevezzük. Tuljdonságok: - z összedás Abel-csoport - szorzás sszocitív - két műveletet disztributív szbályok kpcsolják össze: *(b+c)=*b+*c (b+c)*=b*+c* Bércesné Novák Ágnes, 2. 8
A számítástudomány mtemtiki lpji Feldtok:. Bizonyítsuk be, hogy T n n z előzőekben definiált összedásr és szorzásr nézve gyűrűt lkot. 2. Ellenőrizzük, hogy háromdimenziós vektorok szokásos vektor (mátrix!) összedásr és vektoriális szorzásr nézve gyűrűt lkotnk-e. Bércesné Novák Ágnes, 2. 9