KLASSZIKUS ALGEBRA. 1. Komplex számok

Átírás

1 5.15. Tétel ( szimmetrikus polinomok lptétele). Bármely szimmetrikus polinom felírhtó, mégpedig egyetlen módon, z elemi szimmetrikus polinomok polinomjként. Formálisn: f T [x 1,...,x n] : f szimmetrikus =!h T [x 1,...,x n] : f = h (σ 1,..., σ n) Következmény. Tetszőleges n-edfokú f Q [x] polinom esetén h f komplex gyökei (multiplicitássl) α 1,..., α n, kkor minden g Q [x 1,..., x n] szimmetrikus polinomr g (α 1,...,α n) Q. KLASSZIKUS ALGEBRA vázlt z elődáshoz 2013 tvszi félév Wldhuser Tmás Algebri számok Definíció. Az α komplex számot lgebri számnk nevezzük, h gyöke vlmely nemzéró rcionális együtthtós polinomnk. A nem lgebri számokt trnszcendens számoknk nevezzük Definíció. H f Q [x] minimális fokszámú mindzon nemzéró rcionális együtthtós főpolinomok között, melyeknek α gyöke, kkor f-et z α lgebri szám minimálpolinomjánk nevezzük Tétel. Algebri szám minimálpolinomj mindig egyértelműen meghtározott, és irreducibilis rcionális számtest felett. Továbbá, h f Q [x] olyn irreducibilis főpolinom melynek z α lgebri szám gyöke, kkor f megegyezik α minimálpolinomjávl Tétel. Létezik trnszcendens szám Tétel. Az lgebri számok résztestet lkotnk komplex számok testében Tétel. H α lgebri szám és n 2, kkor n α is lgebri szám ( gyöknek mind z n értékére) Definíció. Az α komplex számot gyökmennyiségnek nevezzük, h megkphtó rcionális számokból kiindulv négy lpművelet (összedás, kivonás, szorzás, osztás) és egész kitevős gyökvonás véges számú lklmzásávl Következmény. A gyökmennyiségek lgebri számok Tétel. Vn olyn lgebri szám, mi nem gyökmennyiség Tétel. Az lgebri számok teste lgebrilg zárt, zz h α C gyöke leglább elsőfokú f = nx n 1x 0 polinomnk, hol 0,..., n lgebri számok, kkor α mg is lgebri szám. 1. Komplex számok Knonikus lk, konjugált, bszolút érték, komplex számsík 1.1. Definíció. A vlós számokból álló számpárokt komplex számoknk nevezzük. Jelölés. A komplex számok hlmzát C jelöli, tehát C = R R Definíció. Az (, b) és (c, d) komplex számok összegét és szorztát következőképpen értelmezzük: (, b) (c, d) = ( c, b d); (, b) (c, d) = (c bd, d bc) Tétel. Bármely u, v, w komplex számokr teljesülnek z lábbik: (1) (u v) w = u (v w) ; (6) u v = v u; ( u v = v u; (7) u (1, 0) = u; (3) u (0, 0) = u; (8) u (0, 0) = u C : u u = (1, 0); (4) u C : u u = (0, 0); (9) u (v w) = u v u w; (5) (u v) w = u (v w) ; (10) u (0, 0) = (0, 0) Megjegyzés. Az előző tételbeli u komplex számot (mi egyértelműen meghtározott) u dditív inverzének nevezzük és továbbikbn u-vl jelöljük. Hsonlón u is egyértelműen meghtározott, neve u multipliktív inverze, jelölése u 1. Két komplex szám különbségét v u = v ( u) képlettel definiálhtjuk, u (0, 0) esetén pedig v és u hánydos v/u = v u 1. A kivonás és osztás műveletére is érvényesek vlós számoknál megszokott tuljdonságok (például szorzás disztributív kivonásr, stb.) Álĺıtás. Minden, b R esetén (, 0) (b, 0) = ( b, 0); (, 0) (b, 0) = (b, 0). Jelölés. Tetszőleges R esetén z (, 0) komplex szám helyett egyszerűen -t írunk, és nem is különböztetjük meg z vlós számtól. (Úgy tekintjük, hogy R C.) A (0, 1) komplex számot pedig i jelöli továbbikbn Tétel. Minden komplex szám előáll, mégpedig egyértelmű módon, x yi (x, y R) lkbn. Az (, b) komplex szám ilyen felírásánál x = és y = b, zz (, b) = bi Definíció. A z = (, b) komplex szám bi lkbn vló felírását z knonikus lkjánk, z vlós számot z vlós részének, b vlós számot z képzetes részének nevezzük. Az i komplex szám neve képzetes egység. Jelölés. A z komplex szám vlós részét Rez, képzetes részét Im z jelöli. Tehát z = bi esetén Re z = és Im z = b Álĺıtás. A képzetes egység négyzete: i 2 = Megjegyzés. Ezután komplex számokt nem vlós számokból álló számpárokként, hnem bi lkú formális kifejezésekként kezeljük. Ezekkel ugynúgy lehet számolni, hogyn betűs kifejezésekkel szoktunk, de i 2 helyett szbd (sőt, többnyire kell is!) 1-et írni. Az összedás és kivonás elég természetes ebben z lkbn, szorzás és reciprokképzés pedig következő módon végezhető el: ( bi) (c di) = c di bci bdi 2 = (c bd) (d bc)i; 1 bi = 1 bi bi bi = bi 2 b 2 = 2 b 2 b 2 i (h bi 0). b2 A természetes számok hlmzát N, nemnegtív egész számok hlmzát N0 jelöli, zz N = {1, 2, 3,...} és N0 = {0,1, 2,...}. A csillggl jelölt tételeket nem bizonyítjuk. 1

2 1.10. Definíció. A z = bi komplex szám konjugáltján z bi komplex számot értjük. Jelölés. A z komplex szám konjugáltját z jelöli. Tehát z = Rez Im z i Tétel. Bármely u, v komplex számokr érvényesek z lábbik: (1) u = u; (5) u/v = u/v, h v 0; ( u v = u v; (6) u = u u R; (3) u v = u v; (7) u u = 2 Reu; (4) u v = u v; (8) u u = (Re u) 2 (Im u) Definíció. Legyen dott síkbn egy Descrtes-féle derékszögű koordinátrendszer, és feleltessük meg z bi komplex számnk z (, b) koordinátájú pontot. Így kpjuk komplex számsíkot, más néven Guss-féle számsíkot. Az első tengelyt (bszcissz) vlós tengelynek, második tengelyt (ordinát) pedig képzetes tengelynek hívjuk. A vlós tengelyen tlálhtók vlós számok, képzetes tengelyen pedig z úgynevezett tiszt képzetes számok Definíció. A z = bi komplex szám bszolút értékén 2 b 2 nemnegtív vlós számot értjük. Jelölés. A z komplex szám bszolút értékét z jelöli. Tehát z = (Re z) 2 (Im z) Tétel. Bármely u, v komplex számokr érvényesek z lábbik: (1) u = uu; (4) u/v = u / v h v 0; ( 1/u = u/ u 2 h u 0; (5) u = u ; (3) u v = u v ; (6) u v u v Megjegyzés. A komplex számsíkon z bszolút érték z origótól (nullától) vló távolságot jelenti, konjugálás nem más, mint vlós tengelyre vló tükrözés, z összedás pedig (hely)vektorok összedásávl írhtó le geometriilg. Trigonometrikus lk, htványozás, gyökvonás, egységgyökök Definíció. Egy nemnull z komplex szám rgumentumán olyn szöget értünk, mellyel vlós tengely pozitív felét z origó körül elforgtv átmegy z-nek megfelelő ponton. Jelölés. A z komplex szám rgumentumát rg z jelöli Megjegyzés. A nullánk nincs rgumentum, nullától különböző komplex számok rgumentum pedig csk modulo 2π, zz 2π egész számú többszöröseitől eltekintve meghtározott Álĺıtás. Bármely 0 z C esetén z r = z és ϕ = rg z jelöléssel z = r (cosϕ i sin ϕ) Definíció. A nemnull komplex számok fenti (zz z (cos rg z i sinrg z) lkú) felírását trigonometrikus lknk nevezzük Megjegyzés. A nullánk nincs trigonometrikus lkj, hiszen rgumentum sincs, de r = 0 és bármely ϕ R esetén nyilván 0 = r (cosϕ i sinϕ) Álĺıtás. Bármely r, r R és ϕ, ϕ R esetén r (cosϕ i sin ϕ) = r (cosϕ i sinϕ ) r = r és k Z : ϕ = ϕ 2kπ Tétel. Tetszőleges nullától különböző u = r (cosϕ i sinϕ) és v = s (cosψ i sinψ) komplex számokr (1) u = r (cos( ϕ) i sin( ϕ)); ( uv = rs (cos(ϕ ψ) i sin(ϕ ψ)); (3) 1 v = 1 s (cos( ψ) i sin( ψ)); (4) u v = r s (cos(ϕ ψ) i sin (ϕ ψ)) Megjegyzés. A szorzt trigonometrikus lkjár vontkozó képletből látszik, hogy rögzített v = cos ψ i sin ψ esetén z u uv leképezés nem más, mint z origó körüli ψ szögű forgtás komplex számsíkon Tétel (Moivre-képlet). Bármely nemzéró z = r (cos ϕ i sin ϕ) komplex szám és n Z esetén z n = r n (cos(nϕ) i sin(nϕ)) Definíció. Tetszőleges n pozitív egész szám és z C esetén zt mondjuk, hogy z u komplex szám n-edik gyöke z-nek, h u n = z. 5. Többhtároztlnú polinomok, szimmetrikus polinomok, lgebri számok A többhtároztlnú polinomok gyűrűje, lexikogrfikus rendezés 5.1. Definíció. Adott T test feletti n-htároztlnú monomnk nevezzük z x k1 1 xkn n lkú formális kifejezéseket, hol 0 T és k 1,..., k n N 0. Az ilyen monomok véges összegeit pedig T feletti n-htároztlnú polinomoknk nevezzük. Jelölés. A T feletti n-htároztlnú polinomok hlmzát T [x 1,..., x n] jelöli Tétel. A természetes módon definiált szorzássl és összedássl T [x 1,..., x n] integritástrtomány Megjegyzés. Az n-htároztlnú polinomok gyűrűjét lehetne rekurzívn is definiálni: legyen T [x 1,..., x n] = (T [x 1,..., x n 1])[x n], zz T [x 1,..., x n 1] integritástrtomány feletti (egyhtároztlnú) polinomgyűrű Definíció. Azt mondjuk, hogy z x k1 1 xkn n monom lexikogrfikusn megelőzi bx l1 1 xln n monomot, h vn olyn i {1,...,n}, melyre k 1 = l 1,...,k i 1 = l i 1 és k i > l i. (Vgyis megkeressük z első eltérést k 1, k 2,..., k n és z l 1, l 2,...,l n kitevősoroztok között, és melyikben ngyobb szám áll ezen helyen, z kerül előrébb lexikogrfikus sorrendben.) Jelölés. Tetszőleges M, N T [x 1,..., x n] monomok esetén M N jelöli zt, hogy M lexikogrfikusn megelőzi N-et, M N pedig zt, hogy M N vgy M N. A relációt lexikogrfikus rendezésnek nevezzük Álĺıtás. A monomok hlmzán reflexív, trnzitív és dichotóm reláció, vlmint M N és M N kkor és csk kkor áll fenn egyszerre, h M és N sszociált Megjegyzés. Az előző állítás szerint reláció teljes rendezés (dichotóm részbenrendezés) monomok hlmzán modulo sszociáltság. Áltlábn egyszerre csk egy dott polinombn előforduló monomokt vizsgálunk, ezek között pedig nincsenek sszociáltk (zokt össze lehetne vonni egy tggá), tehát ilyenkor vlójábn teljesen rendezett hlmzzl dolgozhtunk Álĺıtás. A monomok szorzás monoton lexikogrfikus rendezésre nézve, zz tetszőleges M, ˆM, N, ˆN monomokr h M N és ˆM ˆN, kkor M ˆM N ˆN, és itt sszociáltság csk kkor teljesül, h M N és ˆM ˆN Álĺıtás. Tetszőleges f, g T [x 1,..., x n] nemzéró polinomokr fg lexikogrfikusn első tgj nem más, mint f és g lexikogrfikusn első tgjánk szorzt. Szimmetrikus polinomok 5.9. Definíció. Az f T [x 1,...,x n] polinomot szimmetrikus polinomnk nevezzük, h invriáns htároztlnok minden permutációjár, zz π S n : f (x 1π,..., x nπ) = f (x 1,..., x n) Definíció. A k-dik n-változós elemi szimmetrikus polinom z x 1,...,x n htároztlnokból képezett összes k-tényezős szorztok összege (k = 1,...,n). Jelölés. A k-dik n-változós elemi szimmetrikus polinomot σ k jelöli (z lptest és n értéke áltlábn világos szövegkörnyezetből), tehát σ k = x i1 x i2... x ik = x i T [x 1,..., x n]. 1 i1<i2< <ik n I {1,...,n} I =k Megjegyzés. Az elemi szimmetrikus polinomokkl már tlálkoztunk: segítségükkel fejezhetők ki egy komplex együtthtós főpolinom együtthtói polinom gyökeiből. Tehát Viète-formulák σ k (α 1,..., α n) = ( 1) k n k lkbn is felírhtók Tétel. A szimmetrikus polinomok részgyűrűt lkotnk T [x 1,..., x n] polinomgyűrűben Lemm. H x k1 1 xkn n egy szimmetrikus polinom lexikogrfikusn első tgj, kkor k1 kn Lemm. Tetszőleges k 1 k n nemnegtív egészekhez léteznek olyn l 1,..., l n nemnegtív egészek, hogy σ l σln n T [x 1,...,x n] lexikogrfikusn első tgj éppen x k1 1 xkn n. i I

3 4.47. Tétel. A vlós együtthtós x 3 px q hrmdfokú polinom vlós, illetve nemvlós gyökeinek szám ( q 2 ( p ) 3 3 szám előjelétől függ z lábbi módon: h ( q 2 ( p 3 3) > 0, kkor egy vlós és két nemvlós konjugált komplex gyök vn; h ( q 2 ( p 3 3) = 0, kkor minden gyök vlós, és közülük (leglább) kettő egybeesik; h ( q 2 ( p 3 3) < 0, kkor három különböző vlós gyök vn (ezt z esetet nevezzük csus irreducibilisnek). ( ( Definíció. A D = 108 q 2 ( p ) ) 3 3 számot nevezzük z x 3 px q polinom diszkriminánsánk Megjegyzés. Az előző tétel szerint diszkrimináns pontosn kkor null, h vn többszörös gyök. Deriválássl meggyőződhetünk ról, hogy ez nem csk vlós esetre érvényes. A szimmetrikus polinomok lptételének segítségével (5.15. Tétel) később igzolni tudjuk mjd, hogy diszkrimináns nem más, mint (α 1 α 2 (α 2 α 3) 2 (α 3 α 1) 2, hol α 1, α 2, α 3 polinom komplex gyökei. Vlójábn ez diszkrimináns definíciój. Ebből z lkból világosn látszik, hogy D kkor és csk kkor null, h leglább két gyök egybeesik. Hsonlón lehet definiálni tetszőleges fokszámú polinom diszkriminánsát is. Például, h z x 2 bx c polinom komplex gyökei α 1 és α 2, kkor diszkrimináns (α 1 α 2, mit b már középiskoli ismeretek birtokábn is ki lehet számolni. Az eredmény: 2 4c, mi mjdnem ugynz, mint mit 2 másodfokú polinom diszkriminánsánk szoktunk nevezni. Negyedfokú egyenlet Definíció. Az x 4 x 3 bx 2 cx d = 0 negyedfokú egyenlet kubikus rezolvensének z ( ) (α c) 2 2 (α 4 4 2α b 2 d ) = 0 egyenletet nevezzük (mi z α ismeretlenre nézve hrmdfokú egyenlet) Tétel. Legyen f = ( x 4 x 3 bx 2 cxd C [x], és legyen α megoldás z f (x) = 0 negyedfokú egyenlet kubikus rezolvensének. Ekkor z 2 4 )x 2α b 2 (α c)x ( α 2 d ) másodfokú polinom teljes négyzet, zz vlmely h C [x] legfeljebb elsőfokú polinom négyzete. A g = x 2 2 x α jelölést hsználv f = g2 h 2 = (g h)(g h), vgyis f két másodfokú polinom szorztár bomlik, és így gyökei másodfokú egyenlet megoldóképletével meghtározhtók Tétel. Minden nemnull komplex számnk pontosn n különböző n-edik gyöke vn. A z = r (cos ϕ i sinϕ) trigonometrikus lkbn megdott komplex szám n-edik gyökei: n ( z = n r cos ϕ 2kπ i sin ϕ 2kπ ) (k = 0, 1,...,n 1). n n Definíció. Az ε komplex számot n-edik egységgyöknek nevezzük, h ε n = Álĺıtás. Az n-edik egységgyökök következők: ε k = cos 2kπ 2kπ i sin (k = 0, 1,..., n 1). n n Ezzel jelöléssel ε 0 = 1 és ε k = ε k 1 minden k {0, 1,..., n 1} esetén Megjegyzés. Az n-edik egységgyökök egy szbályos n-szöget lkotnk komplex számsíkon, melynek körülírt köre z origó középpontú egységkör, és egyik csúcs 1. (Ez két információ egyértelműen meg is htározz z n-szöget.) Következmény. Egy nemnull komplex szám összes n-edik gyökét megkpjuk, h egy rögzített n-edik gyökét megszorozzuk sorr z n-edik egységgyökökkel. Tehát h u n 0 = z 0, kkor z komplex szám n-edik gyökei: n z = u0ε k (k = 0, 1,...,n 1) Definíció. Legyen ε egy n-edik egységgyök. Azt mondjuk, hogy ε primitív n-edik egységgyök, h nem l-edik egységgyök semmilyen n-nél kisebb l pozitív egészre. Másképp foglmzv, n legkisebb pozitív kitevő melyre emelve ε-t htvány értéke 1 lesz: n = min { l N : ε l = 1 } Álĺıtás. Egy n-edik egységgyök pontosn kkor primitív n-edik egységgyök, h htványiként megkphtó z összes n-edik egységgyök Tétel. Az ε k = cos 2kπ 2kπ n i sin n egységgyök kkor és csk kkor primitív n-edik egységgyök, h k reltív prím n-hez Következmény. A primitív n-edik egységgyökök szám ϕ(n) (itt ϕ z Euler-féle függvény) Tétel. H n > 1, kkor z n-edik egységgyökök összege Absztrkt lgebri struktúrák Polinom kontr polinomfüggvény, Lgrnge-interpoláció Tétel. H z f, g T [x] polinomok legfeljebb n-edfokúk, és n1 különböző helyen ugynz helyettesítési értékük, kkor f = g Következmény. H T test végtelen, kkor két T feletti polinom kkor és csk kkor egyenlő, h hozzájuk trtozó polinomfüggvények megegyeznek Megjegyzés. H T test véges, kkor tlálhtók különböző T feletti polinomok, melyekhez ugynz polinomfüggvény trtozik. Például h T = {c 1,...,c n}, kkor z n-edfokú (x c 1) (x c n) polinomhoz éppúgy konstns 0 függvény trtozik, mint 0 polinomhoz Tétel (Lgrnge-interpoláció). Tetszőleges c 1,...,c n1 páronként különböző és d 1,..., d n1 (nem feltétlenül különböző) T-beli elemekhez létezik pontosn egy f T [x] legfeljebb n-edfokú polinom, melyre f (c i) = d i (i = 1,..., n 1) teljesül Definíció. Az előző tételbeli f polinom neve Lgrnge-féle interpolációs polinom Megjegyzés. Előfordulht, hogy z n 1 pontr illesztett Lgrnge-féle interpolációs polinom fok kisebb, mint n. Pontosn n-edfokú polinom létezését nem lehet grntálni. H nem kötünk ki semmit fokszámr, kkor elveszítjük z unicitást: bármely g T [x] polinomr f (x c 1) (x c n1) g is megfelelő. Nem nehéz meggondolni (tegyük meg!), hogy minden olyn polinom, mely c i helyeken d i értékeket veszi fel, előáll ilyen lkbn. Csoport, gyűrű, integritástrtomány, test A következőkben számelmélet lpfoglmit és tételeit áltlánosítjuk z egész számok hlmz helyett tetszőleges hlmzokr, melyek elemeit lehet összedni, kivonni és szorzni, és ezek műveletek elég szépen viselkednek. Először pontosítjuk, hogy mit értünk szép viselkedésen, és nevet dunk vizsgálndó struktúráknk Definíció. Félcsoporton egy sszocitív kétváltozós művelettel ellátott nemüres hlmzt értünk. Formálisn: (A; ) félcsoport, h A nemüres hlmz, és (0) : A A A, (x, y) x y; (1), b, c A : ( b) c = (b c) Definíció. Az (A; ) félcsoport e elemét egységelemnek nevezzük, h minden A-r e = e = teljesül Definíció. H z (A; ) félcsoportbn e egységelem és b = b = e teljesül z, b A elemekre, kkor zt mondjuk, hogy és b egymás inverze Álĺıtás. Félcsoportbn z egységelem és z elemek inverzei egyértelműen meghtározottk (h léteznek egyáltlán) Definíció. Az (A; ) félcsoport csoport, h vn benne egységelem és minden elemnek vn inverze, zz A nemüres hlmz, és (0) : A A A, (x, y) x y; (1), b, c A : ( b) c = (b c); ( e A A : e = e = ; (3) A A : = = e Definíció. H z (A; ) csoport művelete kommuttív (zz, b A : b = b ), kkor kommuttív csoportnk, vgy Abel-csoportnk nevezzük.

4 Jelölés. Csoportbn b helyett áltlábn b-t írunk, és ezen multipliktív írásmódnál z egységelemet 1, z elem inverzét pedig 1 jelöli, továbbá kommuttív esetben szokás b 1 szorzt helyett b/-t írni, még kkor is, h csoport elemei nem számok (és művelet esetleg nem is szorzás). Abel-csoportok esetén hsználtos z dditív írásmód is, ekkor b helyett b-t írunk, z egységelemet 0, z elem inverzét, b ( ) ősszeget pedig b jelöli Definíció. H egy nemüres hlmzon kettő kétváltozós művelet is értelmezve vn (nevezzük z egyiket összedásnk, másikt szorzásnk) úgy, hogy z lphlmz z összedás műveletével kommuttív csoportot, szorzás műveletével pedig félcsoportot lkot, és szorzás disztributív z összedásr, kkor ezt kétműveletes struktúrát gyűrűnek nevezzük. Formálisn: (R;, ) gyűrű, h R nemüres hlmz, és (1) (R; ) Abel-csoport; ( (R; ) félcsoport; (3), b, c R : (b c) = b c és (b c) = b c Definíció. Az (R; ) csoportot z (R;, ) gyűrű dditív csoportjánk, nevezzük, és ennek megfelelően beszélhetünk dditív egységelemről és dditív inverzről is. Az (R; ) félcsoportot neve: gyűrű multipliktív félcsoportj. Jelölés. Korábbi megállpodásunknk megfelelően tetszőleges gyűrűben 0 jelöli z dditív egységelemet, z gyűrűelem dditív inverzét pedig jelöli, és értelmezhetjük kivonás műveletét b = b ( ) képlettel Álĺıtás. H (R;, ) gyűrű, kkor minden R esetén 0 = 0 = 0 teljesül Megjegyzés. Sok hsonló, z egész számokkl végzett műveleteknél megszokott tuljdonság érvényes tetszőleges gyűrűben, például (b c) = b c, (b) = ( )b = ( b), stb. De vigyázt: szorzás áltlábn nem kommuttív, így például ( b)( b) = 2 b 2 vgy ( b) 2 = 2 2b b 2 már nem teljesül minden gyűrűben! Definíció. H egy gyűrűben nemcsk z összedás, hnem szorzás is kommuttív, kkor kommuttív gyűrűnek nevezzük. H pedig nemcsk dditív, de multipliktív egységelem is létezik (melyet áltlábn 1 jelöl), kkor egységelemes gyűrűről beszélünk Definíció. H egy gyűrű, b elemeire b = 0 teljesül, de se, se b nem null, kkor zt mondjuk, hogy és b zérusosztók. H egy gyűrűben nincsenek zérusosztók (zz nullától különböző elemek szorzt sosem null), kkor zérusosztómentes gyűrűnek nevezzük. A kommuttív, egységelemes, zérusosztómentes gyűrű neve integritástrtomány Álĺıtás. Integritástrtománybn lehet nemzéró elemmel egyszerűsíteni, zz tetszőleges, b, c (c 0) elemekre c = bc = = b Definíció. Legyen R egységelemes gyűrű. Az R elemet egységnek nevezzük, h létezik multipliktív inverze, zz létezik olyn 1 R elem, melyre 1 = 1 = 1 teljesül Tétel. Az egységek bármely egységelemes gyűrűben csoportot lkotnk szorzás műveletére nézve Definíció. Az R gyűrű egységeinek multipliktív csoportját R egységcsoportjánk nevezzük és R -gl jelöljük Definíció. Testnek nevezünk egy integritástrtományt, h leglább kételemű, és minden nemnull elemének vn multipliktív inverze Definíció. H T test, kkor (T \ {0}; ) Abel-csoport, melyet T test multipliktív csoportjánk hívjuk Megjegyzés. A definíció lpján világos, hogy egy leglább kételemű R kommuttív egységelemes gyűrű kkor és csk kkor test, h egységcsoportj null kivételével minden elemet trtlmz, zz R = R \ {0}. Jelölés. Mivel gyűrűben és testben két műveletet áltlábn és jelöli, ezeket nem írjuk mindig ki, tehát (R;, ) illetve (T;, ) helyett egyszerűen csk R gyűrűről, illetve T testről beszélünk Definíció. Legyen R egy gyűrű és S R. H S z R-ből örököltműveletekkel mg is gyűrű, kkor zt mondjuk, hogy S részgyűrűje z R gyűrűnek. Hsonlón definiálhtó résztest, részcsoport, részfélcsoport foglm is. Nevezetes gyűrűk: mrdékosztály-gyűrűk, Guss-egészek, polinomgyűrűk Álĺıtás. Minden m 2 egész szám esetén modulo m mrdékosztályok egységelemes kommuttív gyűrűt lkotnk. A Z m gyűrű egységei éppen redukált mrdékosztályok (innen Z m jelölés). H m prímszám, kkor Z m test, h m nem prím, kkor Z m még csk nem is integritástrtomány Definíció. A Z m gyűrű neve modulo m mrdékosztály-gyűrű, illetve prím modulus esetén mrdékosztálytest. Gyökök és együtthtók közötti összefüggés Tétel. Legyenek z n-edfokú f = x n n 1x n 1 1x 0 C [x] főpolinom komplex gyökei α 1,...,α n (mindegyiket nnyiszor feltüntetve, mennyi multiplicitás). Ekkor fennállnk z lábbi összefüggések: n 1 = α 1 α 2 α n; n 2 = α 1α 2 α 1α 3 α n 1α n; n 3 = α 1α 2α 3 α 1α 2α 4 α n 2α n 1α n;. ( 1) n 1 1 = α 1α 2 α n 2α n 1 α 1α 2 α n 2α n α 2α 3 α n 1α n; ( 1) n 0 = α 1α 2α 3 α n 1α n Megjegyzés. A fenti képleteket Viète-formuláknk hívjuk. A k-dik sor bl oldlán ( 1) k n k áll, jobb oldlon pedig z α 1,...,α n betűkből képezett összes k-tényezős szorzt összege, tehát egy ( n k) -tgú összeg. Formálisn: ( 1) k n k = α i1 α i2... α ik. Még formálisbbn: Derivált, többszörös gyökök 1 i1<i2< <ik n ( 1) k n k = I {1,...,n} I =k α i Definíció. Az f = nx n 1x 0 C [x] polinom deriváltján z n nx n 1 2 2x 1 polinomot értjük. Jelölés. Az f polinom deriváltját f jelöli, k-dik deriváltt pedig f (k), z f (1) = f és f (0) = f megállpodássl Tétel. Minden f, g C [x] polinomr és k pozitív egész számr érvényesek z lábbi deriválási szbályok: (1) (f g) = f g ; ( (fg) = f g fg ; (3) ( f k) = kf k 1 f Tétel. H k 1 és z α komplex szám k-szoros gyöke z f polinomnk, kkor k 1-szeres gyöke f -nek. (H k = 1, kkor α nem gyöke f -nek.) Megjegyzés. Az előző tétel megfordítás nem igz: f -nek lehetnek olyn gyökei is, melyekért nem f felelős Következmény. Az f C [x] polinom α gyökének multiplicitás nem más, mint legkisebb olyn k nemnegtív egész, melyre f (k) (α) 0, zz α kkor és csk kkor k-szoros gyök, h f (α) = f (α) =... = f (k 1) (α) = 0, de f (k) (α) Következmény. Az α komplex szám kkor és csk kkor többszörös gyöke z f C [x] polinomnk, h gyöke lnko(f, f )-nk. f Következmény. Bármely leglább elsőfokú f C [x] polinomr z lnko(f,f ) polinom gyökei ugynzok, mint f gyökei, de mindegyik egyszeres gyök Következmény. H T számtest, zz részteste C-nek, és f T [x] irreducibilis T felett, kkor f-nek minden komplex gyöke egyszeres. Hrmdfokú egyenlet Álĺıtás. Az y 3 by 2 cy d = 0 (, b, c, d C, 0) hrmdfokú egyenletből z x = y b 3 új ismeretlenre vló áttéréssel eltűnik másodfokú tg, tehát főegyütthtóvl vló leosztás után x 3 px q = 0 (p, q C) lkú egyenletet kpunk Tétel. Az x 3 px q = 0 (p, q C) hrmdfokú egyenlet minden megoldás megkphtó Crdno-képlet segítségével: x = 3 q (q ) 2 ( p ) q (q ) 2 ( p ) A képlet kilenc számot is dht, de ezek közül természetesen legfeljebb három lehet megoldás z egyenletnek, nevezetesen zok, hol két köbgyök szorzt p 3. H u és v két köbgyök egy-egy ilyen értéke, kkor z x3 px q polinom három gyöke (multiplicitássl): u v, uε vε, uε vε, hol ε primitív hrmdik egységgyök. i I

5 4.28. Tétel (Schönemnn Eisenstein-féle irreducibilitási kritérium). Legyen f = nx n 1x 0 Z[x]. H létezik olyn p prímszám melyre p n, p n 1,..., p 1, p 0, kkor f irreducibilis rcionális számok teste felett Következmény. Minden n 1 egész számr létezik Q felett irreducibilis n-edfokú polinom Megjegyzés. A Schönemnn Eisenstein-tétel megfordítás nem igz! Vgyis bból, hogy nem létezik olyn p prímszám, mi teljesítené megfelelő oszthtósági feltételeket, nem következik, hogy polinom nem irreducibilis (keressünk ellenpéldát!). A megfordítás helyett következzék inkább tétel tükörképe Tétel ( ). Legyen f = nx n 1x 0 Z[x]. H létezik olyn p prímszám melyre p n, p n 1,...,p 1, p 0, kkor f irreducibilis rcionális számok teste felett Tétel (Rolle tétele). Legyen f = nx n 1x 0 egy tetszőleges egész együtthtós polinom. H p q egy egyszerűsíthetetlen tört lkjábn felírt rcionális szám (zz p, q Z, q 0 és lnko(p, q) = 1), kkor ( ) p f = 0 = q n és p 0. q Speciálisn: egész együtthtós főpolinom rcionális gyökei mindig egész számok. Horner-módszer Legyen f = nx n 1x 0 T [x] egy n-edfokú polinom és c T. H f (c) értékét szereténk kiszámítni, kkor szokásos f (c) = nc n 1c 0 felírást hsználv 2n 1 szorzást és n összedást kell elvégeznünk. H viszont disztributivitást kihsználv f (c)-t következő lkbn írjuk fel, kkor csk n szorzást és n összedást kell elvégezni: f (c) = (( ((( n c n 1) c n c n 3) c 1) c 0. Ezt nevezzük Horner-elrendezésnek. Figyeljük meg, hogy blról jobbr hldv elvégezve műveleteket következő részeredmény mindig úgy dódik, hogy z előzőt megszorozzuk c-vel, és hozzádjuk f soron következő együtthtóját. (Itt részeredményen z egy zárójelpáron belüli kifejezéseket értjük.) A számolást kényelmesebb z lábbi tábláztbn elvégezni. A kettős vonltól blr felírjuk emlékeztetőül c értékét, kettős vonltól jobbr felső sorb f együtthtói kerülnek, z lsó sort n-nel kezdjük, mjd blról jobbr hldv sorr kitöltjük mezőket. A következő üres mezőbe tőle blr álló elem c-szeresének és z üres mező feletti elemnek z összegét kell írni. Az lsó sor utolsó eleme dj f (c) értékét. n n 1 0 c n n c n 1 c f (c) Amint következő tételből és következményéből kiderül, Horner-elrendezés vlójábn nem csk f (c) kiszámításár lklms Tétel (Horner-módszer). Legyen f = nx n 1x 0 T [x] egy n-edfokú polinom és c T. H Hornermódszerrel elkészített táblázt lsó sorábn álló elemek b n,..., b 1, b 0, zz b n = n és b i = b i1 c i (i = n 1,...,0), kkor b 0 nem más, mint z f-nek z x c polinomml vló osztáskor keletkező mrdék, b nx n 1 b 2x b 1 pedig ugynezen osztás hánydos: f = (x c) (b nx n 1 b 2x b 1 ) b Következmény (iterált Horner-módszer). Alklmzzuk Horner-módszert z f = nx n 1x 0 T [x] polinomr és c T elemre, mjd egészítsük ki tábláztot egy újbb, z előzőnél eggyel rövidebb sorrl fentebb leírt számolási szbályt követve. Folytssuk újbb, egyre rövidebb sorokkl, míg végül egy háromszög lkú tábláztot kpunk: n n 1 n c d 0 c d 1 c d c c c d n d n 1 d n 2 A táblázt jobb szélén átlósn elhelyezkedő elemek megdják nnk polinomnk z együtthtóit, melyet f-ből z x c htároztlnr vló áttéréssel kpunk (természetesen d 0 = f (c) és d n = n): nx n 1x 0 = d n (x c) n d 1 (x c) d 0. Kiolvshtó tábláztból z is, hogy c hányszoros gyöke f-nek: c gyök multiplicitás nem más, mint legkisebb olyn k, melyre d k 0 (megengedve k = 0 esetet is). Schönemnn Eisenstein-féle irreducibilitási kritérium Definíció. Guss-egészeknek nevezzük zokt komplex számokt, melyeknek vlós és képzetes része is egész szám. Jelölés. A Guss-egészek hlmzát Z[i] jelöli: Z[i] = { bi :, b Z} Álĺıtás. A Guss-egészek komplex számok szokásos összedásávl és szorzásávl integritástrtományt lkotnk Álĺıtás. A Guss-egészek gyűrűjében z egységek éppen negyedik egységgyökök: Z[i] = {1, 1, i, i}. A következőkben polinom foglmát definiáljuk, első ránézésre meglehetősen szoktln módon. Itt R mindig tetszőleges integritástrtományt jelöl Definíció. Az R integritástrtomány feletti polinomnk olyn R-beli elemekből képezett ( 0, 1,...) végtelen soroztot nevezünk, mely csk véges sok nullától különböző tgot trtlmz. Az i elemeket polinom együtthtóink nevezzük. Jelölés. Az R feletti polinomok hlmzát R [x] jelöli Definíció. Az f = ( 0, 1,...) polinom fokszámán legngyobb olyn n nemnegtív egész számot értjük, melyre n 0. H nincs ilyen n, zz h f = (0, 0,...), kkor zt mondjuk, hogy f fokszám. H f fokszám kisebb, mint 1 (zz 0 vgy ), kkor f-et konstns polinomnk nevezzük. H f fok n 0, kkor z n R elemet f főegyütthtójánk hívjuk. Az olyn polinomot, melynek főegyütthtój 1, főpolinomnk nevezzük. Jelölés. Az f polinom fokszámát deg f jelöli Definíció. Az f = ( 0, 1,...) és g = (b 0, b 1,...) polinomok összegét és szorztát z lábbi képletekkel értelmezzük: f g = (c 0, c 1,...), hol c n = n b n; n f g = (d 0, d 1,...), hol d n = i b n i Álĺıtás. Tetszőleges f, g R [x] polinomokr deg (f g) mx(deg f, deg g) és deg (fg) = deg f deg g Tétel. A fent definiált összedássl és szorzássl R [x] integritástrtomány Definíció. Az R [x] gyűrűt z R feletti egyhtároztlnú polinomok gyűrűjének, röviden R feletti polinomgyűrűnek nevezzük Álĺıtás. Minden, b R esetén i=0 (, 0, 0,...) (b, 0, 0,...) = ( b, 0, 0,...); (, 0, 0,...) (b, 0, 0,...) = (b, 0, 0,...). Jelölés. Tetszőleges R esetén z (, 0, 0,...) polinom helyett egyszerűen -t írunk, és nem is különböztetjük meg z gyűrűelemtől. (Úgy tekintjük, hogy R R [x].) A (0, 1, 0,...) polinomot pedig x jelöli továbbikbn Tétel. Minden nemzéró polinom előáll 0 1x nx n ( n 0)lkbn, és ez z előállítás egyértelmű. H f = ( 0, 1,...) egy n-edfokú polinom, kkor f = ( 0, 1,..., n, 0, 0,...) = 0 1x nx n. Jelölés. A polinomokt ezentúl nx n 1x 0 vgy n i=0 ixi lkbn írjuk fel. Egy ilyen felírásnál legtöbbször hllgtólgosn feltesszük, hogy n 0 (zz polinom n-edfokú), vlmint hogy n1 = n2 =... = 0. Az x szimbólum neve: htároztln. A htároztlnt bármilyen más betű is jelölheti, ilyenkor z R [x] jelölés is megfelelően módosul. (Például h htároztln y, kkor polinomgyűrű R [y].) Álĺıtás. Az R [x] polinomgyűrűben z egységek pontosn zok konstns polinomok, melyek (mint R-beli elemek) egységek R-ben. Formálisn: R [x] = R. A test feletti polinomokkl sok tekintetben hsonlón lehet számolni, mint z egész számokkl. Értelmezhető például z oszthtóság, mrdékos osztás, legngyobb közös osztó, és egyértelmű prímfelbontás is létezik. Ezeket áltlánosbbn, gyűrűkre fogjuk mjd kidolgozni, most csk mrdékos osztás tételét bizonyítjuk be polinomokr. Ennek segítségével már z euklideszi lgoritmust is végre tudjuk hjtni polinomokkl, és kétismeretlenes lineáris diofntoszi egyenleteket is meg tudunk oldni test feletti polinomgyűrűben Tétel. H T test, és f, g T [x], g 0, kkor léteznek olyn egyértelműen meghtározott q, r T [x] polinomok, melyekre f = gq r és deg r < deg g Definíció. Adott f és g esetén z előző tételbeli q és r kiszámítását mrdékos osztásnk nevezzük. Az f polinom z osztndó, g z osztó, q hánydos, és r mrdék.

6 3. Számelmélet integritástrtományokbn Oszthtóság, sszociáltság, kongruenci, mrdékosztály-gyűrű A következőkben zokt számelméleti eredményeket áltlánosítjuk, melyek minden integritástrtománybn érvényben mrdnk. Mostntól (hcsk mást nem mondunk) R tetszőleges integritástrtományt jelöl Definíció. Azt mondjuk, hogy z R elem osztój b R elemnek (b többszöröse -nk), h létezik olyn c R, melyre b = c. Jelölés. Az oszthtósági relációt jelöli: b c R : b = c. H 0, kkor egyetlen ilyen c létezik (mert R zérusosztómentes), ilyenkor hsználjuk c = b jelölést. H b, kkor b törtet (egyelőre) nem értelmezzük Tétel. Tetszőleges, b, c R esetén érvényesek z lábbik: (1) ; (6) 1 R ; ( ( b és b c) = c; (7) 0 = 0; (3) ( b és b ) u R : b = u; (8) ( b és c) = b ± c; (4) 1 ; (9) b = bc; (5) 0; (10) b c bc, h c Megjegyzés. Amint z első két tuljdonság muttj, z oszthtósági reláció reflexív és trnzitív, de (3) tuljdonság szerint áltlábn nem ntiszimmetrikus (így nem is részbenrendezés). Ezen próbálunk segíteni z sszociáltsági reláció bevezetésével Definíció. Azt mondjuk, hogy z és b elemek sszociáltk, h b és b. Jelölés. Az sszociáltsági relációt jelöli: b b és b Tétel. Az sszociáltság ekvivlencireláció R-en. Két elem kkor és csk kkor sszociált, h egymástól csupán egység tényezőben különböznek Következmény. Az egész számok gyűrűjében b kkor és csk kkor teljesül, h = ±b. Két T test feletti polinom pontosn kkor sszociált, h egymástól csupán egy nemnull konstns szorzóbn különböznek Megjegyzés. Asszociált elemeket nem érdemes (sőt nem is lehet) megkülönböztetni, h csk z oszthtóságot vizsgáljuk. H z oszthtósági relációt z sszociáltsági osztályok hlmzán értelmezzük, kkor már nemcsk reflexív és trnzitív, hnem ntiszimmetrikus is lesz, zz részbenrendezés. A kpott (R/ ; ) részbenrendezett hlmz legkisebb eleme 1/ = R, legngyobb eleme 0/ = {0}. Az egész számok gyűrűjében minden sszociáltsági osztály {, } lkú, tehát minden osztálybn vn egy (és csk egy) nemnegtív szám. H minden sszociáltsági osztályt nemnegtív elemével reprezentálunk, kkor z (N 0; ) részbenrendezett hlmzt kpjuk, mi lényegében ugynz, mint (Z/ ; ) részbenrendezett hlmz. Test feletti polinomgyűrű esetén minden sszociáltsági osztály ( nulláét kivéve) pontosn egy főpolinomot trtlmz, itt tehát sszociáltság erejéig mindig dolgozhtunk főpolinomokkl. Egy tetszőleges integritástrtománybn zonbn áltlábn nincsenek kitüntetett elemek z sszociáltsági osztályokbn Definíció. Legyen, b, m R. H b oszthtó m-mel, kkor zt mondjuk, hogy kongruens b-vel modulo m. Az m elemet kongruenci modulusánk nevezzük. Jelölés. A kongruenciát ugynúgy jelöljük, mint z egész számok gyűrűjében: b (mod m) m b Álĺıtás. A mod m kongruenci ekvivlencireláció z R hlmzon, továbbá szbd kongruenciákt összedni, kivonni és összeszorozni: tetszőleges 1, b 1, 2, b 2 R elemekre } 1 b 1 (mod m) = 2 b 2 (mod m) 1 2 b 1 b 2 (mod m), 1 2 b 1 b 2 (mod m), 1 2 b 1 b 2 (mod m) Definíció. A mod m kongruenciához trtozó ekvivlenciosztályokt modulo m mrdékosztályoknk nevezzük. Jelölés. Az R elemet trtlmzó modulo m mrdékosztályt jelöli (h modulus világos szövegkörnyezetből), mrdékosztályok hlmzát (vgyis modulo m kongruenciához trtozó fktorhlmzt) pedig R/ (m) jelöli. Tehát R/ (m) = { : R} Definíció. A modulo m mrdékosztályok hlmzán értelmezzük z összedást, z dditív inverz képzését és szorzást következőképpen: tetszőleges, b R esetén legyen b = b, b = b, b = b Álĺıtás. A fenti műveletek jóldefiniáltk, zz mrdékosztályok összege (ddditív inverze, szorzt) nem függ ttól, hogy z egyes mrdékosztályokból melyik elemet válsztjuk reprezentánsnk, és ezekkel műveletekkel R/ (m) kommuttív egységelemes gyűrűt lkot Definíció. Azt mondjuk, hogy z f T [x] polinomnk z α T elem k-szoros gyöke, h (x α) k f de (x α) k1 f. A k számot z α gyök multiplicitásánk nevezzük Megjegyzés. Megengedjük k = 0 esetet is: α pontosn kkor nullszoros gyök, h nem gyök Álĺıtás. Az elsőfokú polinomok bármely test felett irreducibilisek Tétel. H f T [x] irreducibilis és deg f 2, kkor f-nek nincs gyöke Tétel. H f T [x] és 2 deg f 3, kkor f pontosn kkor irreducibilis, h nincs gyöke Tétel (z lgebr lptétele). Minden leglább elsőfokú komplex együtthtós polinomnk vn gyöke komplex számok testében Következmény. A komplex számok teste felett pontosn z elsőfokú polinomok irreducibilisek Következmény. Minden leglább elsőfokú komplex együtthtós polinom elsőfokú polinomok szorztár bomlik. H f = nx n 1x 0 C [x] (n 1, n 0), kkor f-nek multiplicitássl számolv pontosn n gyöke vn. H ezek gyökök α 1,...,α n (mindegyiket nnyiszor feltüntetve, mennyi multiplicitás), kkor f = n (x α 1) (x α n). Ezt nevezzük polinom gyöktényezős felbontásánk Következmény. Bármely f, g C [x] esetén f g kkor és csk kkor teljesül, h f minden gyöke egyúttl gyöke g-nek is, mégpedig leglább kkor multiplicitássl, mint f-nek Tétel. A vlós polinomok nemvlós gyökei komplex konjugált párokbn lépnek fel: f R [x] z C : f (z) = 0 = f ( z) = Következmény. Minden pártln fokszámú vlós együtthtós polinomnk vn vlós gyöke Következmény. Egy vlós együtthtós polinom pontosn kkor irreducibilis vlós számok teste felett, h elsőfokú, vgy olyn másodfokú polinom, melynek nincs vlós gyöke. Tehát z R feletti irreducibilis polinomok következők: x b (, b R, 0); x 2 bx c (, b, c R, 0, b 2 4c < 0 ). Irreducibilis polinomok Q felett Definíció. Az nx n 1x 0 Z[x] polinomot primitív polinomnk nevezzük, h együtthtói reltív prímek, zz lnko( 0,..., n) = Álĺıtás. Minden rcionális együtthtós polinom felbonthtó egy rcionális szám és egy primitív polinom szorztár: f Q [x] r Q f Z[x] : f = rf és f primitív polinom Megjegyzés. Az előző állításbn f f (h f 0), tehát Q [x]-ben sszociáltság erejéig mindig lehet primitív polinomokkl számolni. Jelölés. Adott p prímszám esetén z f = n i=0 i xi Z[x] polinom modulo p redukáltján z f := n i=0 i xi Z p [x] polinomot értjük, hol i z i egész számot trtlmzó modulo p mrdékosztály Lemm. Tetszőleges f Z[x] polinom kkor és csk kkor primitív, h minden p prímszámr f 0 Z p [x] Tétel (Guss-lemm). Primitív polinomok szorzt is primitív Tétel. H egy leglább elsőfokú egész együtthtós polinom nem bonthtó fel nál kisebb fokszámú egész együtthtós polinomok szorztár, kkor Q felett sem bomlik így fel, és viszont. Formálisn: h f Z[x] és deg f = n 1, kkor z lábbi két állítás ekvivlens: (1) g, h Z[x] : f = gh és 0 < deg g, deg h < n; ( g, h Q [x] : f = gh és 0 < deg g, deg h < n Megjegyzés. A második feltétel zzl ekvivlens, hogy f reducibilis Q felett. Az első viszont nem ekvivlens zzl, hogy f reducibilis Z felett. Tehát fenti tételt nem foglmzhtjuk meg egyszerűen úgy, hogy egy egész együtthtós polinom kkor és csk kkor irreducibilis Z felett, h irreducibilis Q felett. Ugynis Definíció értelmében például 2 x fktorizáció Z[x]-ben nemtriviális, ezért 2x polinom nem irreducibilis Z felett (Q felett viszont irreducibilis, hiszen elsőfokú). Meg lehet muttni, hogy Z feletti irreducibilis polinomok éppen Q felett irreducibilis primitív polinomok, vlmint prímszámok (mint konstns polinomok) Definíció. Azt mondjuk, hogy p prímszám pontos osztój z egész számnk, h oszthtó p-vel, de p 2 -tel már nem. Jelölés. A pontos oszthtóságot jelöli: p p és p 2.

7 3.50. Megjegyzés. A Tétel megfordítás nem igz: z egész együtthtós polinomok gyűrűje Guss-gyűrű, de nem főideálgyűrű Tétel. Legyen R Guss-gyűrű, és legyen, b R prímfelbontás p α p αn n és b pβ pβn n. Ekkor teljesülnek z lábbik: (1) b α i β i (i = 1,...,n); ( lnko(, b) p min(α1,β1) 1... pn min(αn,βn) ; (3) lkkt(, b) p mx(α1,β1) 1... p mx(αn,βn) n. Főideálgyűrű fktortestei, véges testek Tétel. H R főideálgyűrű, de nem test, kkor z R/ (m) mrdékosztály-gyűrű kkor és csk kkor test, h m irreducibilis Tétel. Legyen T test, f T [x] irreducibilis polinom, és jelölje n z f polinom fokszámát. Ekkor K = T [x] / (f) fktorgyűrű test, melynek minden eleme egyértelműen felírhtó n 1x n 1 1x 0 ( n 1,..., 0 T) lkbn. H T = Z p, kkor kpott K test elemszám p n Megjegyzés. H K testet T = R és f = x 2 1 esetre felírjuk, éppen komplex számok testét kpjuk Tétel. Akkor és csk kkor létezik q-elemű test, h q prímhtvány. 4. Test feletti egyhtároztlnú polinomok Polinomfüggvény, gyök, gyöktényezős lk, irreducibilitás C és R felett Eddig polinomokkl mint formális kifejezésekkel számoltunk, nem éltünk zzl lehetőséggel, hogy x helyébe z lptest (vgy -gyűrű) elemeit be lehet helyettesíteni. Mostntól viszont polinomokt függvényeknek (is) tekintjük, hiszen klsszikus lgebr központi kérdése polinomfüggvények zérushelyeinek (zz polinom gyökeinek) vizsgált. Ebben fejezetben T mindig tetszőleges testet jelöl Definíció. Az f = nx n 1x 0 T [x] polinom c T helyen vett helyettesítési értékén z f (c) = nc n 1c 0 T elemet értjük. Az f T [x] polinomhoz trtozó polinomfüggvény pedig nem más, mint z f : T T, c f (c) leképezés. A polinomot és hozzá trtozó polinomfüggvényt ugynúgy jelöljük; szövegkörnyezetből kiderül, hogy mikor melyikről vn szó. H polinomfüggvényekről vn szó, kkor x-et változónk nevezzük (nem pedig htároztlnnk) Megjegyzés. Függvényeken z összedást és szorzást pontonként szoktuk értelmezni. Ez összhngbn vn polinomok összedásávl és szorzásávl, hiszen minden f, g T [x] és c T esetén (f g)(c) = f (c) g (c); (f g)(c) = f (c) g (c). Ez zt jelenti, hogy z f g polinomhoz trtozó polinomfüggvény ugynz, mint z f-hez trtozó polinomfüggvény és g-hez trtozó polinomfüggvény (pontonkénti) összege. Figyeljük meg, hogy fenti képletben két különböző összedás szerepel: kék polinomok összedás (zz T [x] gyűrűbeli összedás), zöld pedig T testbeli összedás. Az elmondottk természetesen érvényesek szorzás műveletére is Definíció. Az α T elem gyöke (más szóvl zérushelye) z f T [x] polinomnk, h f (α) = Tétel (Bézout tétele). Bármely f T [x] és α T esetén f (α) = 0 x α f Következmény. Tetszőleges f, g T [x] polinomok esetén f és g közös gyökei ugynzok, mint lnko(f, g) gyökei Következmény. H α 1,...,α k T páronként különböző elemek és f T [x], kkor f (α 1) =... = f (α k) = 0 (x α 1)... (x α k) f Következmény. H z f T [x] polinom fokszám n, kkor legfeljebb n különböző gyöke vn T testben. Legngyobb közös osztó Az oszthtóság és kongruenci foglmát és lptuljdonságit szinte szó szerint lehetett áltlánosítni tetszőleges integritástrtományr. A legngyobb közös osztó nem mindig létezik, de h létezik, kkor hsonló tuljdonságokkl rendelkezik, mint z egész számok gyűrűjében, noh bizonyítások kicsit nehezebbek Definíció. A d R elemet z és b elemek legngyobb közös osztójánk nevezzük, h kielégíti következő két feltételt: (1) d és d b; ( k R : (k és k b) = k d. A t R elem legkisebb közös többszöröse -nk és b-nek, h kielégíti következő két feltételt: (1) t és b t; ( k R : ( k és b k) = t k. Jelölés. Az és b elemek legngyobb közös osztóját lnko(, b) vgy (, b), legkisebb közös többszörösüket pedig lkkt(, b) vgy [, b] jelöli Megjegyzés. H z elem osztóink hlmzát D jelöli, kkor lnko(, b) sszociáltsági osztály nem más, mint (D D b/ ; ) részbenrendezett hlmz legngyobb eleme. Tetszőleges integritástrtomány esetén nincs ngyság szerinti rendezés, csk z oszthtósági relációr támszkodhtunk. Itt tehát nincs mód kétféleképpen definiálni legngyobb közös osztó foglmát (lásd z Megjegyzést Bevezetés számelméletbe tárgy elődásvázltábn) Tétel. A legngyobb közös osztó sszociáltság erejéig egyértelműen meghtározott. Azz bármely, b, d 1, d 2 R esetén (1) h d 1 és d 2 is legngyobb közös osztój -nk és b-nek, kkor d 1 d 2; ( h d 1 legngyobb közös osztój -nk és b-nek, és d 1 d 2, kkor d 2 is legngyobb közös osztój -nk és b-nek. Hsonló állítás érvényes legkisebb közös többszörösre is Megjegyzés. Az előző tétel szerint legngyobb közös osztó (és legkisebb közös többszörös) nem egyértelmű, ezért áltlábn nem zt írjuk, hogy d = lnko(, b), hnem zt, hogy d lnko(, b), miként z következő definícióbn is láthtó. (Az egész számok gyűrűjében megállpodtunk bbn, hogy mindig nemnegtív legngyobb közös osztót vesszük, test feletti polinomgyűrűben pedig mindig válszthtunk főpolinomot legngyobb közös osztónk.) Definíció. Azt mondjuk, hogy z, b R elemek reltív prímek, h lnko(, b) Tétel. H z R integritástrtománybn bármely két elemnek létezik legngyobb közös osztój, kkor minden, b, c R esetén teljesülnek z lábbik: (1) lnko(lnko(, b),c) lnko(, lnko(b, c)); (6) lnko(, b) b; ( lnko(, b) lnko(b, ); (7) lnko( bc, b) lnko(, b); (3) lnko(, ) ; (8) lnko(, b) c lnko(c, bc); ( ) (4) lnko(0, ) ; (9) lnko(, b) 0 = lnko lnko(,b), b lnko(,b) 1; (5) lnko(1, ) 1; (10) lnko(, b) 1 = lnko(, bc) lnko(, c) Következmény. H z R integritástrtománybn bármely két elemnek létezik legngyobb közös osztój, kkor tetszőleges, b, c R, lnko(, b) 1 esetén teljesülnek z lábbik: (1) bc c; ( ( c és b c) b c Következmény. H z R integritástrtománybn bármely két elemnek létezik legngyobb közös osztój, kkor tetszőleges, b, c R, lnko(, b) 0 esetén bc lnko(, b) c Következmény. H z R integritástrtománybn bármely két elemnek létezik legngyobb közös osztój, kkor bármely két elemnek létezik legkisebb közös többszöröse is, és minden, b R esetén lnko(, b) lkkt(, b) b Megjegyzés. A legngyobb közös osztó fenti tuljdonsági közül sokt z egész számok körében ki sem mondtunk, mert prímtényezős felbontásból triviálisn dódik. Némelyik tuljdonságot még számelmélet lptétele előtt láttuk be (hiszen szükségünk volt rájuk z lptétel bizonyításához), de ezeket is könnyebb volt belátni, mert felhsználhttuk zt, hogy legngyobb közös osztó mindig előáll két elem lineáris kombinációjként. Tetszőleges integritástrtománybn ez tuljdonság nem teljesül, és áltlábn egyértelmű prímfelbontás sincs. Sőt, még legngyobb közös osztó sem mindig létezik, ezért kezdődik Tétel (és következményei) úgy, hogy H z R integritástrtománybn bármely két elemnek létezik legngyobb közös osztój, kkor....

8 Euklideszi gyűrűk és főideálgyűrűk A következőkben speciális integritástrtományokt vizsgálunk, melyekben létezik bármely két elemnek legngyobb közös osztój. Az egész számok körében mrdékos osztás, illetve z rr épülő euklideszi lgoritmus grntált legngyobb közös osztó létezését. Az euklideszi gyűrű foglm ezt tuljdonságot áltlánosítj Definíció. Az R integritástrtományt euklideszi gyűrűnek nevezzük, h létezik olyn : R N 0, leképezés (úgynevezett euklideszi norm), mire teljesülnek z lábbik tetszőleges R és b R \ {0} esetén: (1) = 0 = 0; ( b = b ; (3) q, r R : = bq r és r < b Megjegyzés. A fenti = bq r előállítást itt is mrdékos osztásnk nevezzük (q hánydos, r mrdék). A mrdékos osztás lehetővé teszi z euklideszi lgoritmus elvégzését (innen z euklideszi gyűrű elnevezés), és így euklideszi gyűrűben bármely két elemnek létezik legngyobb közös osztój, és z előáll két elem lineáris kombinációjként. Ezt most itt nem részletezzük, mert hmrosn egy tágbb gyűrűosztályr fogjuk igzolni ezeket z állításokt Tétel. Az egész számok gyűrűjén =, test feletti polinomgyűrűn f = 2 deg f ( 2 = 0 megállpodássl), Guss-egészek gyűrűjén pedig z = z 2 euklideszi normát definiál. Ezek tehát mind euklideszi gyűrűk Megjegyzés. Az előző tételben furcsánk tűnhet test feletti polinomgyűrűkre megdott euklideszi norm. Az exponenciális függvényre csk zért volt szükség, hogy null polinomnk (de csk nnk!) null legyen normáj. Ugynezt elérhetjük másképpen is, például legyen { deg f 1, h f 0; f = 0, h f = Definíció. A nemüres I R részhlmzt ideálnk nevezzük, h bármely, b I, c R esetén teljesülnek z lábbik: (1) b I; ( 0 I; (3) I; (4) c I Megjegyzés. A negyedik tuljdonság neve szívó tuljdonság: z ideál mgáb szippntj szorztokt. Ez nyilván erősebb szorzásr vló zártságnál, így minden ideál részgyűrű Definíció. Az R elem áltl generált főideálon z {b : b R} hlmzt értjük. Jelölés. Az R elem áltl generált főideált () jelöli Megjegyzés. Vegyük észre, hogy () éppen többszöröseinek hlmz, másképpen foglmzv: () nem más, mint z -vl oszthtó elemek hlmz: () = {c R : c}. Speciálisn (0) = {0} és (1) = R Álĺıtás. Az elem áltl generált főideál vlóbn ideál, éspedig ez legszűkebb olyn ideál, mi trtlmzz z elemet. Vgyis bármely I R ideál esetén, h I, kkor () I Tétel. Bármely, b R esetén érvényesek z lábbi ekvivlenciák: (1) b () (b); ( b () = (b); (3) 1 () = R Megjegyzés. H I R ideál, kkor z b b I képlettel definiált reláció ekvivlenci, és z ekvivlenciosztályok hlmzán lehet definiálni z összedást és szorzást pontosn úgy, mint mrdékosztályokon (lásd Definíció). Így kpjuk z (R/ ;, ) gyűrűt, melyet z R gyűrű I ideál szerinti fktorgyűrűjének nevezünk, és röviden R/I-vel jelölünk. H I főideál, mondjuk I = (m), kkor reláció éppen modulo m kongruenci, és ekkor fktorgyűrű nem más, mint z R/ (m) mrdékosztály-gyűrű. (Most már látjuk, hogy mrdékosztály-gyűrű jelölésében miért tettük zárójelbe m-et.) Az ideálok és fktorgyűrűk fontos szerepet játsznk z bsztrkt gyűrűelméletben, mi zonbn z bsztrkt lgebrát most csk számelméleti jelenségek leírásár hsználjuk. A fenti tétel szerint főideálok minden információt trtlmznk z oszthtóságról, ezért továbbikbn csk főideálokkl fogllkozunk. Külön nevet érdemelnek zok z integritástrtományok, melyekben nincs is más ideál Definíció. Az R integritástrtományt főideálgyűrűnek nevezzük, h minden ideálj főideál Tétel. Minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű Következmény. Az egész számok gyűrűje, minden test feletti polinomgyűrű, vlmint Guss-egészek gyűrűje főideálgyűrű Megjegyzés. A tétel megfordítás nem igz: létezik olyn főideálgyűrű, mely nem euklideszi. Ilyen például Z[ω] = { bω :, b Z} gyűrű, hol ω = 1 19i Tétel. Főideálgyűrűben bármely két elemnek létezik legngyobb közös osztój, és z előáll két elem lineáris kombinációjként. Formálisn: R főideálgyűrű =, b R x, y R : x by lnko(, b) Tétel. H R főideálgyűrű, kkor tetszőlegesen dott, b, c R \ {0} elemek esetén z x by = c egyenlet kkor és csk kkor oldhtó meg, h lnko(, b) c. H (x 0, y 0) egy megoldás, kkor bármely t R esetén z lábbi (x, y) pár is megoldás, továbbá minden megoldás előáll ilyen lkbn t elem lklms megválsztásávl: b x = x 0 lnko(, b) t; y = y 0 lnko(, b) t. Irreducibilis és prímelemek, irreducibilis fktorizáció, Guss-gyűrűk Irreducibilis és prímelemek bármely integritástrtománybn (nem csk főideálgyűrűben) definiálhtók, és korábbn tnult tuljdonságok egy része érvényes ilyen áltlánosságbn is Definíció. Azt mondjuk, hogy p R elem irreducibilis, h nem null és nem egység, és csk úgy bonthtó két elem szorztár, hogy z egyik tényező sszociált p-hez. (Ekkor másik tényező szükségképpen egység; ilyenkor triviális fktorizációról beszélünk.) Formálisn:, b R : p = b = (p vgy p b) Definíció. Azt mondjuk, hogy p R elem prím, h nem null és nem egység, és vlhányszor osztój egy szorztnk, mindnnyiszor osztój szorzt egyik tényezőjének. Formálisn:, b R : p b = (p vgy p b) Álĺıtás. H p R rendelkezik prímtuljdonsággl, n N, 1,..., n R és p 1... n, kkor p i vlmely i {1,...,n}-re Tétel. Minden integritástrtománybn prímelemek irreducibilisek. A másik irányú, irreducibilis = prímimplikáció bizonyításánál már kihsználjuk legngyobb közös osztók létezését (de mást nem) Tétel. Főideálgyűrűben minden irreducibilis elem prím. A végső cél természetesen számelmélet lptételének áltlánosítás integritástrtományokr, vgyis egyértelmű irreducibilis fktorizáció létezésének igzolás. Külön nevet is érdemelnek zok z integritástrtományok, melyekben ez megtehető Definíció. Guss-gyűrűnek nevezzük z olyn integritástrtományokt, melyekben minden nullától és z egységektől különböző elem irreducibilis elemek szorztár bomlik, és ez felbontás tényezők sorrendjétől és sszociáltságtól eltekintve egyértelmű. Tehát z R integritástrtomány Guss-gyűrű, h minden R ( 0, 1) esetén léteznek olyn p 1,..., p n R irreducibilis elemek, melyekre = p 1... p n; továbbá mennyiben = q 1... q m egy másik irreducibilis fktorizáció, kkor n = m, és létezik olyn π S n, melyre p i q iπ (i = 1,...,n) Tétel. Minden főideálgyűrű Guss-gyűrű Következmény. Az egész számok gyűrűje, minden test feletti polinomgyűrű, vlmint Guss-egészek gyűrűje Guss-gyűrű Megjegyzés. H megvizsgáljuk tétel bizonyítását, megfigyelhetjük, hogy z irreducibilis felbontás létezése zon múlik, hogy nem létezik végtelen leszálló lánc z oszthtóság szerinti rendezésben: 0, 1, 2,... R : i1 i és i1 i (i = 0, 1, 2,...). Az irreducibilis fktorizáció unicitásánk igzolásához pedig csk rr volt szükségünk, hogy z irreducibilis elemek prímtuljdonságúk: p R : p irreducibilis = p prím. (!) Ez két feltétel teljesül Guss-gyűrűkben, tehát kimondhtjuk, hogy egy R integritástrtomány kkor és csk kkor Guss-gyűrű, h rendelkezik z ( ) és (!) tuljdonságokkl Megjegyzés. Minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű, ezért Tétel szerint minden euklideszi gyűrű is Gussgyűrű. H csk ezt z utóbbi állítást szerettük voln belátni, kkor könnyebb dolgunk lett voln, mert ( ) triviálisn teljesül euklideszi gyűrűkben (hiszen 0 > 1 > 2 > ). ( )