. Trigonomeriai fügvények inegrálása Egy J függvény ípusáól függ. R x inegrál kiszámíása az R x racionális.. A sinx és cosx racionális függvényeinek inegrálásáa negrál J R sinxcosx Helyeesíés () R A és a cos x racionális függvénye Álalános helyeesíési képle A válozó és differenciál helyeesíése x g x d arcg; + cos x + + Példa. Számísa ki a kövekező inegrál. Maemaikai megoldás. d d x + ln + C ln g + C + Megoldás a Maple-ben. >:n(/sin(x)x)simplify(in(/sin(x)x)); + cos( x) : ln. sin( x)
A Maple programban célszerű behívni a suden segédprogramcsomago : >resar: wih(suden): >:value(%); >:simplify(subs(cos(x)(-^)/(+^) sin(x)*/(+^))); + cos( x) : ln ln() sin( x) x Az() alapján ez az jeleni hogy ln() ln g. >:subs(an(x/)); Példa. Számísa ki a kövekező inegrál. 5 + cos x + Maemaikai megoldás. d + 5 + + + + d 0 + + + d ( + 5) C C 5 + x +. + g + 5 Megoldás a Maple-ben. >:n(/(5*sin(x)+*cos(x)+)x) in(/(5*sin(x)+*cos(x)+)x); : 5 + cos x + g x + 5 Részlees megoldás a Maple-ben. >resar: wih(suden):
>:n(/(5*sin(x)+*cos(x)+)x); >changevar(an(x/)); >:value(%); >:subs(an(x/)); Példa. Számísa ki a kövekező inegrál. 9+ 8cos x + Maemaikai megoldás. d d + 9 8 + + 7 + + + + d +. arcg + C + + 6 4 4 x g + arcg + C. 4 Megoldás a Maple-ben. > resar: wih(suden): >:n(/(9+8*cos(x)+sin(x))x); >changevar(an(x/)); >:value(%); >:subs(an(x/)); : arcan an x + 4 Gyakorló feladaok. Számísa ki a kövekező inegrál: 4 Eredmény: 4 : 7 + 4cos x + 5 + g x 7 4.
5 6 9 + 40cos x + 4 Eredmény: 5 : + g x 9 Eredmény: 6 : an x.. A cosx vagy sinx-ben páralan függvények inegrálása Helyeesíés () negrál J R Helyeesíés Hasznos még udni R sinxcosx cos x -ben páralan: R cos x R cos x d cos x or cos x d Példa. Számísa ki a kövekező inegrál 5 cos x 7. 4 Maemaikai megoldás. ( cos x) ( cos x) 5 5 a () alapján 4 4 ( ) 5 5 cos x.cox.cox 7 4 4 ( ) + d d 4 4 4
C + + + C + + +. Megoldás a Maple-ben. >resar: wih(suden): >7:n(cos(x)^5/sin(x)^4x); >changevar(sin(x)7); >7:value(%); >7:subs(sin(x)7); 7 : + Példa. Számísa ki a kövekező inegrál 8 cos x.. Maemaikai megoldás. d 8 d ( ) 7 4 0 d d d + C 4 0 4 5 + C 0 4 5. + C. 0 Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >8:n(cos(x)^*(sin(x)^(/))x); >changevar(sin(x)7); >8:value(%); >8:subs(sin(x)8); ( ) ( 4 / 8: 5+ ) 0 5
Példa. Számísa ki a kövekező inegrál cos x 9 4 4 cos x + + +. Maemaikai megoldás. cos x d 9 4 4 + + + + + 4 4 d d + + + + + ln + 6 + ( ) ( ) + arcg + + arcg + C. 8 Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >9:n(cos(x)/(cos(x)^4+sin(x)^4+*sin(x)^ +)x); >changevar(sin(x)9); >9:value(%); >9:subs(sin(x)9); Gyakorló feladaok. Számísa ki a kövekező inegráloka: 5 cos x 0 6 Válasz: 0 : 5 5 9 cos x. 6
Megoldások: ( 970 585 55 ) ( / : ) 75 540sin( x) + 945 + + 945 ( / ) 4 6 8 4 5 cos x 9 7 5 9 7 Tehá: : sin( x) sin( x) + sin( x) 6 cos x 5 9 7 +. 9 7 Válasz: : sin( x) sin( x) Helyeesíés () negrál J R( sinxcosx) R A -ben páralan függvény Helyeesíés co s x Hasznos d or még udni cos x d Példa. Számísa ki a kövekező inegrál 4. + cos x Maemaikai megoldás. + cos x + cos x co s x. d + cos x + 4 7
+ d d + + arcg + C cos x arcg cos x + C. Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >4:n(sin(x)^/(+cos(x)^)x); >changevar(cos(x)4); >4:value(%); >4:subs(cos(x)4); 4 : cos x arcan cos x. Példa. Számísa ki a kövekező inegrál 5 5. cos x Maemaikai megoldás. 4 ( co s x) 5 dcosx cos x cos x + cos x d cos x cos x + cos x cos x + C. cos x Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >5:n(sin(x)^5/cos(x)^x); >changevar(cos(x)5); >5:value(%); >5:subs(cos(x)5); cos x + cos x +. cos x Példa. Számísa ki a kövekező inegrál cos x 6. cos x + 8
Maemaikai megoldás. cos x( ) d 6 cos x + + d + ln + + C + ln cos x + + C Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >6:n(*sin(x)*cos(x)/(cos(x)^+)x); >changevar(cos(x)6); >6:value(%); >6:subs(cos(x)6); ( ) 6 : ln cos x + Gyakorló feladaok. Számísa ki a kövekező inegráls: 7 cos x 7 : cos x cos x + co s x 8 4 9 Eredmény: Eredmény: 8 : arcan cos( x) cos x + 4co s x 4 Eredmény: 9 : ln + 4cos( x) Megjegyzés. A kövekező ípusok eseén hasznosak a feni módszerek ( k + l ) ( k l ) R cos x R cos x.six 9
és + ahol { kl } Trigonomeriai függvények inegrálása k l R cos x cos x dcosx; ( k l + ) ( k l ) R cos x R cos x.cosx. ( ) l k R d. A sinx és a cosx páros függvényei aralmazó inegrálok Helyeesíés (4) negrál J4 R( sinxcosx) R A és cos x páros függvényei Helyeesíés gx Hasznos még d cos x udni + + + Példa. Számísa ki a kövekező inegrál 0. 4 cos x Első maemaikai megoldás. ( ) ( cos x) 4 4 cos x d g x 0 + + +. + d C C + 0
Második maemaikai megoldás. g x 0. g xdgx cos x cos x Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >0:n((sin(x)^/cos(x)^4)x); >changevar(an(x)0); >0:value(%); >0:subs(an(x)0); 0 : an( x). + C. Példa. Számísa ki a kövekező inegrál. + 6cos x 6cos x Maemaikai megoldás. d. g x + 6gx 6 cos x + 6 6 d + 5 ( ) ( ) + 5 ln + C 5. + + 5 gx ln + C. 0 gx + 8 Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >:n(/(sin(x)^+6*sin(x)*cos(x)- 6*cos(x)^)x); >changevar(an(x)); >:value(%); >:subs(an(x)); : ln( an( x) ) ln( an( x) + 8). 0 0
Példa. Számísa ki a kövekező inegrál. cos x + cos x Maemaikai megoldás. gx dgx dgx + cos x gx + dgx gx ln gx + C. gx Megoldás a Maple-ben. >resar:wih(suden): >:n(sin(x)/(cos(x)^*(sin(x)+cos(x)))x); >changevar(an(x)); >:value(%); >:subs(an(x)); : an x ln an x +. Gyakorló feladaok. Számísa ki a kövekező inegráloka: 4 6 cos x Eredmény: : an( x) 5 5 4 4 : an x Eredmény: 4. A sinx és/vagy cosx függvények szorzaának inegrálása J5 cos mx cos nx cos m n x cos m n x (5) ( + ) + ( )
J 6 sinmxcos nx sin m n x sin m n x J7 sin mx sin nx cos m + n x + cos m n x (6) ( + ) + ( ). (7) Példa. Számísa ki a kövekező inegráls: 5 cosx cos5x 6 sin0xcos7xcos 4x 7 sin7x sinx. Maemaikai megoldáss. 5 ( cos8x + cosx) sin8x + sinx C 8 + 6 ( sin7x + sinx) cos 4x ( sin7xcos 4x + sinxcos 4x) ( ) ( 7 ) 4 + + cos x cosx cos7x + cos x + C 4 7 7 ( co s0x + co s 4x) sin0x + sin4x + C. 0 4 Megoldások Maple-ben. >5:in(cos(*x)*cos(5*x)x);
Eredmény: 5 : sin( x) + sin( 8x) 4 6 >6:in(sin(0*x)*cos(7*x)*cos(4*x)x); Eredmény: 6 : cos( x) cos( x) cos( 7x) + cos( x) 84 5 8 4 >7:in(sin(9*x)*sin(*x)x); Eredmény: 7 : sin( 4x) sin( 0x) 8 0 Gyakorló feladaok. Számísa ki a kövekező inegráloka: 8 sin5x sin 6 4 Eredmény: 8 : sin( x) sin( 7x) 9 sinxcos5x 4 6 Eredmény: 9 : cos( 7x) + cos( x ) 0 cosx cos6x 6 8 Eredmény: 0 : sin( x) + sin( 9x) 5. A sinx (cosx) páros haványai aralmazó inegrálok A kövekező linearizálási képleeke használhajuk az inegrálok számíása során: + cos x cos x cos x 4
(8) (9) ( k l ) R cos x kl +. + cos x J8 cos x x+ sinx + C cos x J9 x sinx C + Ekkor a cos x -e fogják aralmazni az inegrálok Példa. Számísa ki a kövekező inegráloka: 4 co s x. Maemaikai megoldáss. + cos x + cos x + cos x 4 + cos 4x + cos x + 4 + cos x + cos 4x 4 x + sinx + sin4x + C 4 8 Megoldások Maple-ben.??> Eredmény: Gyakorló feladaok. Számísa ki a kövekező inegráls: 4. Eredmény: co s x Eredmény: x sin4x + C 8 4 5
4 4 4 co s x Eredmény: 4 x sin4x + sin8x C 8 6 + 6 5 5 Eredmény: 5 x + sinx + sin4x + C 8 6 64 6 4 x 6 co s Eredmény: 6 x + + sinx + C 8 6 6. Néhány különleges ese Ado a kövekező inegrál: R ( sinxcosx) (0) J0 R ( sinxcosx). A kövekező lépések köveheők:. lépés. A számláló a nevező és deriváljának lineáris kombinációjakén fejezzük ki: R A.R + B. R ' ;. lépés. Meghaározzuk az AB konsansoka;. lépés. Kiszámíjuk az eredeivel ekvivalens J 0 inegrál: AR BR ' J0 + A + B dr R R R. lépés. Az új inergrál ehá. A + B dr ax + ln R + C R. 6
Példa. Számísa ki a kövekező inegráls: 7 + 9cos x 7. + cos x Maemaikai megoldáss. A( + cos x) + B( + cos x )' 7 + cos x 7 + 9cos x A + cos x + B + cos x ' 7 + 9cos x A + cos x + B cos x 7 + 9cos x A B + A + B cos x 7 A B A 5B 9 A+ B ( sinx+ cosx) ( cosx sinx) 5 7 + + cos x + cos x 5 + d ( cos x) + cos x + 5x+ ln sinx+ cosx + C. Megoldások Maple-ben.??> Eredmény: Példa. Számísa ki a kövekező inegráloka: cos x 8. 4 + 5cos x Maemaikai megoldáss. A( 4 + 5cos x) + B( 4 + 5cos x )' 8 4 + 5cos x cos x A 4 + 5cos x + B 4 + 5cos x ' cos x A 4 + 5cos x + B 4co s x 5 cos x 4A 5B + 5A + 4B cos x 7
4A 5B 7 A B 5A+ 4B 4 4 ( 4 + 5 ) 7 cos x 8 4 4 4 + 5cos x 7 x ln 4sinx+ 5cosx +C. 4 4 Megoldások Maple-ben.??> Eredmény: Tekinsük a kövekező inegrál: R( sinxcosxc) () J R( sinxcosxc). A megoldás lépései:. lépés A számláló a nevező és deriváljának valamin egy C konsansnak lineáris kombinációjakén fejezzük ki: R A.R + B. R ' +C;. lépés meghaározzuk az ABC konsansoka;. lépés áírjuk a J inegrál: AR BR ' J + + C R R A + B dr + C R R. lépés. Az inegral kiszámíása. Példa. Számísa ki a kövekező inegráloka: + cos x 9. cos x + Maemaikai megoldáss. + cos x A cos x + + B cos x + ' + C + cos x A cos x + + B co s x + + C 8
A+ B A+ B A B C A+ C 9 x+ ln sinx cosx+ cos x + Az () alapján hasznos a kövekező d x+ ln sinx cosx+ + + + + d x+ ln sinx cosx+ 4 + + 4 d x+ ln sinx cosx+ + 8 + + 9 d 4 + x+ ln sinx cosx+ + + 4 + x + ln cos x + arcg + x + ln cos x + arcg + c + x + ln cos x + arcg + c x g + x + ln cos x + arcg + c. Megoldások Maple-ben. 9
()??> Eredmény: Tekinsük a kövekező inegrál: J ( cos xcos x) ( cos xcos x) R. R A szükséges lépések:.lépés A számláló a nevező valamin a és az ABC:konsansok segíségével írjuk fel R Asinx+ Bcosx R + C + cos x ;.lépés meghaározzuk az ABC konsansoka;. lépés áírjuk az inegrál J alakban: cos xcos x ( A + Bcos x) R ( + C + cos x) J. lépés Kiszámíjuk az inegrál. Példa. Számísa ki a kövekező inegrál: cos x + + 5cos x 40. cos x Maemaikai megoldáss. cos x + + 5cos x R ( A B cos x)( cos x) C ( sin x cos x) + + + A+ C 9 9 B A A B C 5 5 5 5 B+ C 9 9 40 5 5 co s x + 5 cos x 0
d 9 9 cos + + 5 5 5 + + 9 9 d cos + 5 5 5 + d 9 9 + cos + 5 5 5 5 + 5 + 9 9 cos + ln + c 5 5 5 5 5 + + x 5 g + 9 9 cos + ln + c. 5 5 5 5 x 5 g + + Megoldások Maple-ben.??> Eredmény: Gyakorló feladaok. Számísa ki a kövekező inegráloka: + cos x 4 cos x 5 Eredmény: x+ ln sinx cosx +C + cos x + 4 + cos x +
x g + Eredmény: x+ ln sinx+ cosx ln + c 5 5 5 x g + + + cos x 4 cos x x g + 5 8 Eredmény: cos x + + ln + c 5 5 5 5 x g + + 5 Néha nem az álalános helyeesíéseke alkalmazzuk. Példa: u lnx; du J cos( lnx) x u u x e ; e du e u cosudu p cosu; dp sinudu e u ; d e u du e u cosu e p sinu; dp cosudu u sinudu + e u ; d e u du u u u e cos u + e sinu e cos udu. Tehá 4 u u u ( + ) J e cos udu e cos u sinu e cos udu u e J4 e cosudu ( cosu+ sinu) + C x J xcos ln x cos ln x + sin ln x C 5 u x + x π J6 cos( ln x) cos ln x + C 4
7. Gyakorló feladaok Számísa ki a kövekező inegráloka: 4 cos x 44 5+ 4 45 5 4 + cos x cos x 46 + cos x 47 gx 48 49 5 cos x ( + ) cos x + cos x cos x ( cos x + co s 5 x) + Eredmény: 7 + 4cos x +5 50 5 4 5 sinx cos x cos x 5 54 C x + g + 7
55 cos x cos x + x 56 g x x 57 cos x cos cos 4 cosx cosx 58 59 sin5xcos8x 60 sinx sin5x 6 6. cos x 6 co s6x cos0x 6 7g 8x 64 7. 65 66 67 cos x + 5cos x cos x + cos x + + cos x cos x 8. Önellenőrző feladaok Számísa ki a kövekező inegráloka: 4
68 Trigonomeriai függvények inegrálása 5 + cos x + 69 4 70 4 4 7 cos x 4 sinx + co s x 4 5.cos x + co s x 7 4 4 7 sin9xcosx 4 74. 5cos x 75 76 9 + cos x + cos x +. cos x + 5