Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Ivhidi Adrienn Mtemti BS. Elemző mtemtius szirány Növeedési függvénye, populáiónöveedési modelleben szereplő differeniálegyenlete Szdolgozt Témvezető: Pfeil Tmás Allmzott Anlízis és Számításmtemtii Tnszé Budpest, 204.
Trtlomjegyzé Bevezetés 2. Alpfoglm 3 2. Nevezetes függvénye 7 2.. Logisztius függvény.............................. 7 2.2. Gompertz-függvény............................... 0 2.3. Bertlnffy-függvény.............................. 2 2.4. Weibull-függvény................................ 4 2.5. Rihrds-függvény............................... 7 2.6. Morgn-Merer-Flodin-függvény........................ 9 3. Differeniálegyenlete 2 3.. Logisztius differeniálegyenlet......................... 2 3.2. Gompertz-féle differeniálegyenlet....................... 23 3.3. Bertlnffy-féle differeniálegyenlet...................... 25 3.4. Rihrds-féle differeniálegyenlet........................ 28 Köszönetnyilvánítás 30 Hivtozáso 32
Bevezetés Szdolgoztom témáj növeedési függvénye és populáiónöveedési modelleben szereplő differeniálegyenlete. Először pár ésőbb hsználndó definíiót mutto be. Után nevezetes függvénye vizsgáltávl fogllozo, ellenőrzöm, hogy eleget teszne-e növeedési függvény feltételeine, mjd további tuljdonságot mutto be. A hrmdi fejezetben orábbn bemuttott nevezetes függvényeet előállító differeniálegyenlete özül néhányt vizsgálo, mjd megeresem függvénye és differeniálegyenlete özti psoltot. 2
. fejezet Alpfoglm. Definíió Legyen z f vlós függvény értelmezve z pont egy örnyezetében. Azt mondju, hogy z f függvény z pontbn differeniálhtó, h ft) f) lim t t.) véges htárérté létezi, és z vlós szám. Az.) htárérté z f függvény pontbeli differeniálhánydos vgy deriváltj, jele f )..2 Definíió Az f vlós függvény monoton növevő monoton söenő) z A Df) hlmzon, h minden t, t 2 A, t < t 2 esetén ft ) ft 2 ) ft ) ft 2 ))..2) H.2) egyenlőtlenség helyett ft ) < ft 2 ), illetve ft ) > ft 2 ) áll fenn, or z f függvényt szigorún monoton növevőne illetve szigorún monoton söenőne) nevezzü. A monoton növevő vgy monoton söenő függvényeet röviden monoton függvényene hívju..3 Definíió Az f vlós függvény onvex z I Df) intervllumon, h minden, b I és < t < b esetén ft) fb) f) t ) + f)..3) b 3
H z.3) egyenlőtlenség helyett ft) fb) f) t ) + f) áll, or z f függvényt b z I intervllumon onávn nevezzü. H pedig ft) < fb) f) b t )+f), illetve ft) > fb) f) t )+f) áll, or z f b függvényt z I intervllumon szigorún onvexne, illetve szigorún onávn nevezzü..4 Definíió Azt mondju, hogy z f vlós függvényne z pontbn loális mximum illetve minimum) vn, h z pontn vn olyn U örnyezete, melyben f értelmezve vn, és minden x U esetén fx) f) illetve fx) f)). Eor z pontot z f függvény loális mximumhelyéne illetve loális minimumhelyéne) nevezzü..5 Tétel H z f függvény differeniálhtó z pontbn és ott loális szélsőértée vn, or f ) = 0. Ez loális szélsőérté létezéséne szüséges feltétele..6 Tétel H z f függvény differeniálhtó t 0 pont egy örnyezetében és f t 0 ) = 0, emellett t 0 említett örnyezetében f előjelet vált, or z f függvényne t 0 pont előbbi örnyezetében loális szélsőértée vn. Ez loális szélsőérté létezéséne elégséges feltétele..7 Definíió Azt mondju, hogy z pont z f vlós függvényne inflexiós pontj, h z f függvény differeniálhtó z pontbn, és vn olyn δ R +, hogy f onvex z δ, ] intervllumon és onáv z [, + δ) intervllumon, vgy fordítv..8 Tétel H f étszer differeniálhtó függvény t 0 pontbn és ott inflexiój vn, or f t 0 ) = 0. Tehát étszer differeniálhtó f függvény t 0 pontbeli inflexióján szüséges feltétele f t 0 ) = 0..9 Tétel H z f függvény étszer differeniálhtó t 0 pont egy örnyezetében, f t 0 ) = = 0 és f előjelet vált t 0 pontbn, or z f függvényne inflexiój vn t 0 pontbn. Ez pedig vizsgált pontbeli inflexió elégséges feltétele. 4
.0 Definíió Legyen f étváltozós folytonos függvény, Df) összefüggő nyílt hlmz, eor z f függvény áltl meghtározott elsőrendű expliit özönséges differeniálegyenlet: x t) = ft, xt)).. Definíió Egy elsőrendű expliit özönséges differeniálegyenlet mximális megoldás olyn megoldás, melyne nins olyn vlódi iterjesztése, melyi megoldás lenne..2 Definíió H z elsőrendű expliit özönséges x t) = ft, xt)) differeniálegyenlethez z xt 0 ) = x 0 ezdeti feltételt ielégítő x megoldásfüggvényt eresün, or ezdetiérté-feldtról beszélün. H vn ilyen x függvény, or ezdetiérté-feldt megoldhtó. Egy ezdetiértéfeldt megoldás egyértelmű, h pontosn egy mximális megoldás vn..3 Definíió Legyen f étváltozós folytonos függvény, Df) összefüggő nyílt hlmz. H z I R nyílt intervllumr, és z y : I R n differeniálhtó függvényre teljesül, hogy t, yt)) Df) minden t I esetén,.4) y t) = ft, xt)) minden t I esetén,.5) yt 0 ) = p 0.6) or z y függvényt z I intervllumon z f jobb oldlú expliit özönséges differeniálegyenlet megoldásán nevezzü z yt 0 ) = p 0 ezdeti feltétel mellett..4 Definíió Az f vlós függvény eleget tesz Lipshitz-feltételne z A Df) hlmzon, h vn olyn K 0 onstns, hogy fx ) fx 0 ) K x x 0 minden x 0, x A esetén. 5
.5 Tétel Pird-Lindelöf-tétel) H étváltozós vlós értéű f függvény H R 2 orlátos zárt hlmzon folytonos és ezen hlmzon bármely rögzített első változó esetén másodi változójábn eleget tesz Lipshitz-feltételne, or z x t) = ft, xt)) differeniálegyenlethez és H hlmz tetszőleges belső pontjához trtozó ezdetiértéfeldt megoldás egyértelmű. 6
2. fejezet Nevezetes függvénye A telítődési vgy más néven orlátos növeedési függvénye z idő múlásávl növevő és felső orláttl rendelező mennyisége időbeli lulásán leírásár szolgáln. E függvénye értelmezve vnn nemnegtív vlós számo hlmzán, vlmint három fontos tuljdonsággl rendelezne: nemnegtív, szigorún monoton növevőe, + helyen htárértéü pozitív vlós szám. A telítődési függvényeet demográfuso és biztosítási szembere népesedési és túlélési folymto, biológuso populáiódinmiábn orlátos növeedésű populáió leírásár és özelítésére hsználjá. 2.. Logisztius függvény A logisztius függvényt llmzhtju dott eltrtóépességű élőhelyen növevő populáió méretére z idő függvényében. Példént említhetjü még z internet-előfizető számán lulását szintén z idő függvényében. Egy felmérésben ez fv. jól özelíthető volt logisztius függvénnyel. 7
2. Definíió Logisztius függvényne nevezzü z Lt) := lú függvényeet, hol, b, R +., DL) := R 2.) + be t Először megmuttju, hogy logisztius függvény eleget tesz nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, továbbá + -ben vlós htárértée vn. E függvény étszer differeniálhtó és nyilván pozitív értéű. Szigorún monoton növevő z L t) = be t > 0, t R 2.2) + be t ) 2 egyenlőtlenség szerint, hiszen, b, > 0 és z exponeniális függvény értéei pozitív. Végül lim t + =. + be t Vizsgálju meg, hogy 2.) lú függvény prmétere mely értéeire tesz eleget nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, emellett mior vn vlós htárértée + -ben. = 0 esetén z L függvény onstnsfüggvény, így nem szigorún monoton növevő. H < 0, or pedig lim Lt) = 0, t + tehát > 0 szüséges feltétel. H = 0, or L onstnsfüggvény, h pedig < 0, or lim Lt) = < 0, t + ezért > 0 is szüséges feltétel. Ezután, > 0 esetén z L deriváltfüggvény 2.2) lj muttj, hogy L szigorú monoton növeedése s b > 0 mellett teljesülhet. H, b, > 0, or 2.) függvény teljesíti mindhárom elvárt tuljdonságot. Vizsgálju tovább logisztius függvényt! L t) = b e t + be t ) 2 e t 2 + be t )be t ) + be t ) 4 8
= b2 e t be t ) + be t ) 3, t R. 2.3) Ez hánydos or null, mior számláló utolsó tényezője null, hiszen z exponeniális függvény mindenhol pozitív, ezért másodi derivált t zérushelyére fennáll be t = 0. Ezt átrendezve pju t = lnb) megoldást. A 2.3) formul szerint L t) > 0, h t < lnb), és L t) < 0, h t > lnb), ezért [ ] [ ) L onvex 0, lnb) intervllumon, onáv lnb), + intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = lnb) inflexiós pontj z L függvényne. Az lábbi tábláztbn fogllju össze logisztius függvényre pott eredményeet: ) ) DL),0) 0 0, lnb) lnb) lnb), + L + + + + + L + + + 0 L mono o ton nv nö ex ve inflexió vő onáv A logisztius függvény = b = = esetén 9
2.2. Gompertz-függvény A Gompertz-függvényt Benjmin Gompertz 779-865) brit mtemtiusról nevezté el. A demográfuso és biztosítási szembere gyrn hsználjá ülönböző népesedési és túlélési folymto özelítő leírásor. Példént említhetjü még tumoro növeedéséne modellezését. A tumoro behtárolt területen nőne, hol véges rendelezésüre álló tápnyg. A Gompertz-függvény tumoro méreténe növeedéséről d informáiót. 2.2 Definíió Gompertz-függvényne nevezzü Gt) := e bet, DG) := R 2.4) lú függvényeet, hol R +, b, R. Vizsgálju meg, milyen prméterere teljesíti 2.4) lú függvény nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, emellett mior vn vlós htárértée + -ben. Az prméter s pozitív lehet, mert h negtív vgy null lenne, or függvényértée nem volnán nemnegtív, vgy függvény nem voln szigorún monoton növevő z R + intervllumon. H b vgy null lenne, or függvény onstnsfüggvény lenne, nem voln szigorún monoton növevő. H pedig b és előjele ülönbözi, or függvény szigorún monoton söenő, nem szigorún monoton növevő. H, b, > 0, or h pedig b, < 0, or mi > 0 esetén pozitív vlós htárérté. lim t + ebet = +, lim t + ebet =, A vizsgált függvény étszer differeniálhtó, teintsü deriváltját: G t) = be t e bet, t R. 0
H > 0 és b, < 0, or derivált mindenütt pozitív, ezért G szigorún monoton növevő függvény. H prmétere előjele ilyen, or mindhárom feltételt teljesíti 2.4) függvény. Megjegyzés. H > 0, vlmint b és ellentétes előjelű, or G szigorún monoton söenő függvény, melyne htárértée + -ben null. Ilyen függvény elenyészési folymtbn írhtj le vizsgált mennyiséget z idő függvényében. Vizsgálju tovább Gompertz-függvényt! G t) = be t e bet + e t e bet be t ) = b 2 e t e bet + be t ), t R. Tudju, hogy > 0, b, < 0 és z exponeniális függvény sehol sem 0, ezért G t) zérushelye z egyenlet megoldás, vgyis + be t = 0 t = ln ) b. Mivel G t) előjelet vált ezen helyen, pott szám inflexiós pont. Az lábbi tábláztbn fogllju össze Gompertz-függvényre pott eredményeet: DG), ln b ) ) ln b ) ) ln b ), + G + + + G + 0 G szigorún onvex monoton inflexió növevő onáv
A Gompertz-függvény =, b = = esetén 2.3. Bertlnffy-függvény A Bertlnffy-függvényt Ludwig von Bertlnffy 90-972) mgyr szármzású osztrá biológusról nevezté el. A Bertlnffy-függvénnyel ápá testhosszán növeedését próbáltá leírni, e növeedés szintén egy telítődési szinthez trtó folymt. Bertlnffy modellje ld. 2.3. pontot) szerint minden áp egy ezdeti testhosszl születi, mjd elezd növeedni, és testhosszán, mint z életor függvényéne vlós htárértée lenne + -ben, h z egyed öröé élne. 2.3 Definíió Bertlnffy-függvényne nevezzü lú függvényeet, hol, R +, b 0,]. Bt) := be t ), DB) := R 2.5) Először megmuttju, hogy Bertlnffy-függvény eleget tesz nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, továbbá + -ben vlós htárértée vn. E függvény nemnegtív számo hlmzán nemnegtív értéű, h b 0,], mert t 0 esetén e t. Szigorún monoton növevő B t) = b e t > 0, t R 2.6) egyenlőtlenség szerint, hiszen, b, > 0 és z exponeniális függvény értéei pozitív. Végül lim t + be t ) =. 2
Vizsgálju meg, hogy 2.5) lú függvény prmétere mely értéére tesz eleget nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételne, emellett mior vn vlós htárértée + esetén. H = 0, or B függvény onstnsfüggvény, így nem szigorún monoton növevő. H < 0, or pedig lim t + be t ) = lenne, tehát > 0. Ebben z esetben lim Bt) =, tehát > 0 szüséges feltétel. t + H b = 0, or B függvény onstnsfüggvény, így nem szigorún monoton növevő. H b < 0, or pedig 2.6) szerint B negtív lenne, zz függvény nem lenne monoton növevő, tehát b > 0 is szüséges feltétel. Eor B0) = b) 0 mitt b is szüséges. H, > 0 és 0 < b, or vizsgált függvény teljesíti mindhárom feltételt. Vizsgálju tovább Bertlnffy-függvényt! B t) = b 2 e t, t R. Ez függvény sehol nem veszi fel null értéet, így Bertlnffy-függvényne nins inflexiós pontj, és minden t R esetén onáv függvény. A Bertlnffy függvény = 2, b =, = esetén 8 Megjegyzés. A Bertlnffy-függvényt b = esetén Mitsherlih-függvényne is nevezi. A Bertlnffy-függvény speiális esete most övetező Weibull-függvényne. 3
2.4. Weibull-függvény A Weibull-függvény Weibull-féle eloszlás eloszlásfüggvényét áltlánosítj. Ezt z eloszlást többe özött megbízhtósági nlízisben hsználjá, ilyen például egy berendezés meghibásodásáig eltelt idő várhtó értééne iszámítás. 2.4 Definíió Weibull-függvényne nevezzü W t) := be t) ), DW ) := [0, + ) 2.7) lú függvényeet, hol,, R +, b 0,]. Megmuttju, hogy Weibull-függvény teljesíti nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, vlmint htárértée + -ben vlós szám. H t 0, or e t) mitt W t) 0, továbbá lim t + be t) ) = > 0. A függvény folytonos, továbbá étszer differeniálhtó z R + intervllumon és ott deriváltj W t) = b)e t) )t) = be t) t. Ez minden t R + esetén pozitív, így W függvény szigorún monoton növevő [0, + ) intervllumon. Vizsgálju tovább Weibull-függvényt esetén! W t) = b e t) )t) t + e t) )t 2) = = b e t) t 2 )t) + ), t R +. 2.8) Ez szorzt or null, mior szorzt utolsó tényezője null, hiszen z exponeniális függvény és pozitív lp htvány mindenhol pozitív, ezért )t) + = 0. Ezt átrendezve pju, hogy or vn pozitív megoldás, h >, mégpedig t = ). 4
Eor 2.8) formul szerint > esetén W t) > 0, h t < ), és W t) < 0, h t > [ ), ezért W t) onvex 0, ] [ ) ) intervllumon, onáv ), + intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = ) inflexiós pontj W függvényne. Az lábbi tábláztbn fogllju össze Weibull-függvényre pott eredményeet > esetben: DW ) 0 0, ) ) ) W + + + + W + + 0 W szigo on rún vex monoton inflexió ) ), + növevő onáv A Weibull-függvény = b = =, = 3 2 esetén A 0 < esetben Weibull-függvény onáv [0, + ) intervllumon. A Weibull-függvény = b = =, = 2 esetén 5
Megjegyzés. A j, λ R + prméterű Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye j t ) j λ λ e λ) t j, h t 0 ft) := 0, h t < 0. Számolju i z f függvény improprius integrálját vlós számo hlmzán! + ft)dt = 0 T = lim T + 0 ft)dt + j λ + 0 ft)dt = 0 + + 0 j λ ) j t e λ) t j dt = λ ) j t e [ λ) t j dt = lim e ] λ) t j T λ T + 0 = lim e ) T λ ) j e 0 ) =. T + Az f függvény nemnegtív értéű és szszonént folytonos, ezért tényleg egy vlószínűségeloszlás sűrűségfüggvénye. A Weibull-eloszlás F eloszlásfüggvényére F t) = t 0 fτ)dτ = t 0 j τ ) j e λ) τ j dτ = e t λ )j, t R +. λ λ Minden eloszlásfüggvény nemnegtív értéű, blról folytonos és monoton növevő függvény, melyne htárértée + -ben. Mivel f pozitív z R + intervllumon és folytonos [0, + ) intervllumon, ezért F szigorún monoton növevő [0, + ) hlmzon. F speiális esete fentebb definiált Weibull-függvényne, hiszen h 2.7) épletben := b :=, or és :=, := j válsztássl λ W t) = e t), t [0, + ), = W t) = e t λ )j = F t), t [0, + ). A Weibull-eloszlást Murie Fréhet 878-973) fedezte fel 927-ben, és 933-bn llmztá először grnulált részesé eloszlásán leírásár. Az eloszlást Wloddi Weibullról 6
887-979) nevezté el, i 95-ben írt le részletesen. Allmzási területei igen soszínűe, példént említhetjü hibnlízist, rdrépe iértéelését, mobilommuniáióbn storná áthllásvizsgáltát, időjárás előrejelzését, ezen belül is szélsebességeloszlást. 2.5. Rihrds-függvény 2.5 Definíió Rihrds-függvényne nevezzü z Rt) := be t ), DR) := [0, + ) 2.9) lú függvényeet, hol,, R +, b 0,] vgy, R + és b, R. Megmuttju, hogy Rihrds-függvény teljesíti nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, vlmint htárértée + -ben vlós szám. H 0 <,, és 0 < b, or t 0 esetén e t > 0 mitt Rt) 0, h pedig, > 0 és b, < 0, or t 0 esetén 0 < e t és b < 0 mitt < be t, ezért Rt) > 0. Mindét esetben lim t + be t ) = > 0. A függvény folytonos, étszer differeniálhtó z R + hlmzon és deriváltj R t) = b e t be t ), t R +, ezért deriváltfüggvény mindét esetben mindenütt pozitív, így függvény szigorún monoton növevő. Vizsgálju tovább Rihrds-függvényt! H =, or Bertlnffy-függvény [0, + ) intervllumr vontozó leszűítését pju. H, or R t) = b 2 e t be t ) 2 be t ), t R +, 2.0) 7
mely s bbn z esetben lehet null, h 2.0) jobb oldlán vlmelyi tényezője null. be t ) 2 tényező pozitív, mert htvány lpj minden t R számr mindét esetben pozitív. Eszerint inflexiós pontot z utolsó tényező zérushelyeént phtun: melyne z egyetlen vlós megoldás t = formul szerint R t) > 0, h t < be t = 0, 2.) ln b, mi b > esetén pozitív. Eor 2.0) ln b, ezért R onvex [ ] ln b 0, ln b, és R t) < 0, h t > intervllumon, onáv [ ln b, + ) intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = pontj z R függvényne. ln b inflexiós H pedig 0 < b, or z 2.) egyenletne nins pozitív megoldás, és R < 0 z R + intervllumon, ezért R onáv függvény. A Rihrds-függvény = 2, b = 2, = = esetén A Rihrds-függvény =, b =, =, = 4 esetén 2 8
2.6. Morgn-Merer-Flodin-függvény 2.6 Definíió Morgn-Merer-Flodin-függvényne nevezzü z Mt) := b + t) lú függvényeet, hol,, R + és b 0,]. ), DM) := [0, + ) 2.2) Megmuttju, hogy Morgn-Merer-Flodin függvény teljesíti nemnegtivitási és szigorú növeedési feltételt, vlmint htárértée + -ben vlós szám. A definíióbn szereplő prmétere mellett M nemnegtív [0, + ) intervllumon és pozitív z R + intervllumon, továbbá lim t + ) b = > 0. + t) A függvény folytonos [0, + ) intervllumon, étszer differeniálhtó z R + intervllumon és deriváltj M t) = b t) + t) ) 2, t R+. A deriváltfüggvény pozitív értéű, emitt z M függvény szigorún monoton növevő [0, + ) intervllumon. Vizsgálju tovább Morgn-Merer-Flodin-függvényt! M t) = b 2 t) 2 ) + t) ) 2t) + t) ) 3, t R +. 2.3) Ez függvény or null, mior hánydos számlálój null, vgyis mior ) + t) ) 2t) = 0. Az egyenletne pontosn or vn pozitív megoldás, h >, mégpedig t = ). + A > esetben 2.3) formul szerint 0 < M t), h 0 < t < ), és M t) < 0, + h t > ) [, ezért M onvex 0, ) ] [ intervllumon, onáv ) ), + + + + intervllumon. Ebből övetezi, hogy t = + 9 ) inflexiós pontj z M függvényne.
DM) 0 0, + ) ) ) + M + + + + M + + 0 M szigo on rún vex monoton inflexió ) ), + + növevő onáv A Morgn-Merer-Flodin-függvény = b = =, = 2 esetén H, or M > 0 és M 0 0, + ) intervllumon, zz függvény szigorún monoton növevő és onáv, nins inflexiós pontj. A Morgn-Merer-Flodin-függvény = b = = = esetén 20
3. fejezet Differeniálegyenlete 3.. Logisztius differeniálegyenlet 3. Definíió A logisztius differeniálegyenlet y t) = yt) yt) ) 3.) lú, hol R\{0}. A 3.) differeniálegyenlet szétválszthtó differeniálegyenlet, szétválsztás után z y y ) dy = dt ) egyenletet pju bbn z esetben, h yt) yt) 0 semelyi t Dy) esetén sem. A bl oldli primitív függvényt priális törtere bontássl számolhtju i: y y ) = y + y = y + y, tehát y y ) dy = y + y dy = Ezért primitív függvényeet iszámolv llms p R mellett övetező egyenletet pju: ln yt) ln yt) = t + p, 2 dt.
Ezt átrendezve pju, hogy ln yt) yt) = t + p. yt) = + be t, hol b := ±e p. A 3.) egyenlet szétválsztásor feltettü, hogy yt) yt) ) 0 semelyi t Dy) esetén sem. Most vizsgálju meg ihgyott esetet! Megoldás 0 és z értéű mindenütt értelmezett onstnsfüggvény, más ihgyott mximális megoldás pedig Pird-Lindelöftétel mitt nins. Tehát differeniálegyenlet mximális megoldási yt) = 0 mellett yt) =, b R, + be t hol b 0 esetén Dy) = R, b < 0 esetén pedig Dy) =, ln b )) vgy Dy) = = ln b ), + ). Megjegyzés. H, b, R +, or 2. Definíióbeli logisztius függvényeet pun. A logisztius differeniálegyenlet néhány megoldás, = 2 prméterere 22
3.2. Gompertz-féle differeniálegyenlet 3.2 Definíió A Gompertz-féle differeniálegyenlet ) y t) = p yt) ln yt) 3.2) lú, hol, p R\{0}. A differeniálegyenlet jobb oldlán értelmezési trtomány R + esetén R R +, R esetén R R. A 3.2) differeniálegyenlet szétválszthtó, szétválsztás után övetező lot ) pju bbn z esetben, mior ln 0 semelyi t Dy) esetén sem: yt) dy ln ln y y ) y = p dt. ) dy = y p dt. 3.3) A bl oldli primitív függvényeet övetező helyettesítéssel számolju i: ) u := ln, du = y y dy. ln y A 3.3) egyenlet szerint ) dy = y u du = ln u + q = ln ln ) ln ln = pt + q, q R, yt) ) + q, q R. y ezt rendezve pju z yt) = e ±e pt q, q R 3.4) megoldásot. A 3.2) egyenlet szétválsztásor feltettü, hogy ln yt)) 0 semelyi t Dy) esetén sem. Vizsgálju meg most ezt z esetet! A Pird-Lindelöf-tétel szerint mximális megoldásént s z yt) =, Dy) = R 23
onstnsfüggvényt pju. Tehát differeniálegyenlet mximális megoldási yt) = e be pt, Dy) = R, hol b R. Megjegyzés. A megoldáso, p R +, b R esetén 2.2 Definíióbeli Gompertz-függvénye. A Gompertz-féle differeniálegyenlet néhány megoldás, b = 2 prméterere 24
3.3. Bertlnffy-féle differeniálegyenlet 3.3 Definíió A Bertlnffy-féle differeniálegyenlet y t) = yt)) 3.5) lú, hol, R\{0}. A 3.5) egyenlet lineáris differeniálegyenlet, ezért z y t) + yt) = lr hozv, mjd z egyenlet mindét oldlát beszorozv e t, t Dy) fügvénnyel y t)e t + yt)e t = e t. A bl oldlon szorzt deriváltját pju, ezért yt)e t ) = e t. A jobb oldl primitív függvényei e t dt = e t +, R, miből övetezi yt) = + e t = + ) e t, R. A b := R válsztássl differeniálegyenlet mximális megoldási yt) = be t ), Dy) = R, 3.6) hol b R. Megjegyzés. A differeniálegyenlet mximális megoldási, R +, b 0,] esetén 2.3 Definíióbeli Bertlnffy-függvénye. 25
A Bertlnffy-féle differeniálegyenlet néhány megoldás, > 0 és b 0,] prméterere A Bertlnffy-féle differeniálegyenlettel először ápá testhosszán növeedését modellezté. H nem testhosszt, hnem testtömeget szeretnén leírni z idő függvényében z), or feltételezve, hogy testtömeg egyenesen rányos testhossz öbével, z előbbire vontozó differeniálegyenlet: ) ) z t) = K zt) 2 3 zt) 3, 3.7) A hol A, K R\{0}. Bertlnffy modelljében természetesen, R +, illetve A, K R +.) Írju fel, milyen differeniálegyenlet érvényes zt) := γy 3 t), Dz) := Dy) függvényre, hol γ R\{0}. Eor ) zt) 3 yt) =, y t) = z t) γ 3γ 3 zt) 2 3 26.
A z függvényt helyettesítve 3.7) differeniálegyenletbe ) ) z t) = 3γ 2 zt) 3 3 zt) 3. γ 3 A K := 3γ 3 és A := γ 3 válsztássl 3.7) differeniálegyenletet pju meg. A 3.7) differeniálegyenlet bármely A, K R\{0} esetén szétválszthtó, szétválsztás után övetező lhoz jutun, h zt) 0 és zt) A semelyi t Dz) esetén sem: z 2 3 z 2 3 dz ) ) = K dt. z 3 A z A ) ) dz = 3 K dt. A bl oldli primitív függvényeet övetező helyettesítéssel számolju i: z 2 3 ) ) dz = z 3 A u := z 3, du = 3z 2 3 dz. 3 u 3 A du = 3 3 A ln 3 A u + b = = 3 3 A ln 3 A 3 z + b, b R. Ezért Ezt rendezve pju 3 3 A ln 3 A 3 z = t + b, b R. zt) = 3 A ± e t+b 3 3 A ) 3, b R megoldást. A 3.7) egyenlet szétválsztásor feltettü, hogy ) ) zt) 2 3 zt) 3 0 A semelyi t Dz) esetén sem. Az eor elvesztett mximális megoldáso 0 és z A értéű mindenütt értelmezett onstnsfüggvénye. Ezért differeniálegyenlet mximális megoldási z yt) = 0, Dy) = R onstnsfüggvény mellett ) 3 zt) = A + e Kt+b 3 3 3 A, Dz) := R 27
függvénye. 3.4. Rihrds-féle differeniálegyenlet 3.4 Definíió A Rihrds-féle differeniálegyenlet ) r ) yt) y t) = pyt) 3.8) lú, hol p,, r R\{0}. A 3.8) differeniálegyenlet szétválszthtó, szétválsztás után övetező lot pju ) r ) bbn z esetben, mior yt) 0 semelyi t Dy) esetén sem: yt) dy y ) y r ) = A szétválsztás után bl oldli primitív függvényeet áltlábn nem tudju meghtározni. H r pozitív egész, or bl oldli integrndus rionális törtfüggvény, de nn p dt. primitív függvényeit sem tudju prméteres lbn megdni. Behelyettesítéssel ellenőrizzü, hogy yt) := be prt ) r, Dy) := [0, + ) 3.9) minden b R, b mellett megoldás 3.8) differeniálegyenletne: y t) = ) be prt ) r bpre prt = r = bpe prt be prt ) +r r, t R +. 3.0) A differeniálegyenlet jobb oldláb vizsgált függvényt helyettesítve pedig ) r ) p be prt ) be prt ) r r = = bpe prt be prt ) r = bpe prt be prt ) +r be prt r, t R + 28
függvényt pju, mi egyenlő 3.0) deriváltfüggvénnyel, tehát 3.9) függvénye tényleg megoldási 3.8) differeniálegyenletne minden b R, b mellett. Könnyen meggyőződhetün rról, hogy z yt) = 0, t R onstnsfüggvény mximális megoldás. Megjegyzés. A := r és := pr válsztássl látju, hogy megoldásfüggvénye 2.5 Definíióbeli Rihrds-függvénye z lábbi ét esetben: > 0, r, p < 0 és b 0,], hiszen pontosn or,, R + és b 0,],, r, p > 0 és b < 0, mert pontosn or, > 0 és b, < 0. A Rihrds-féle differeniálegyenlet néhány megoldás = 2, b = 0,5 prméterere 29
A Rihrds-féle differeniálegyenlet néhány megoldás = 2 és b = 7 prméterere 30
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megöszönni témvezetőmne, Pfeil Tmásn hsznos segítségét, tnásit és preíz munáját. Köszönöm brátimn, i végig mellettem állt és támogtt. 3
Irodlomjegyzé [] Bizó Gyul, Tolner László, Bééssy András, Krámli András, Rud Mihály, Soltész János: A növényi fejlődés néhány modellezési lehetőségéne összehsonlító vizsgált, MÉM NAK, MTA SZTAKIézirt), http://www.m.szie.hu/ tolner/982/bizo.pdf [2] Fosz Niosz: Növeedési függvénye, társdlmi diffúzió, társdlmi változás, Szoiológii Szemle 2006/3, 9-5. [3] Hunydi László: A logisztius függvény és logisztius eloszlás, Sttisztii Szemle, 82. évfolym, 2004. 0-. szám [4] Lovih Milós T. Sós Ver: Anlízis I., Nemzeti Tnönyvidó, Budpest, 2006. [5] Lovih Milós T. Sós Ver: Anlízis II., Nemzeti Tnönyvidó, Budpest, 2006. [6] Sioly Eszter: Anlízis jegyzet Mtemtitnári Szoso részére, Budpest, 203, http://tnonyvtr.tt.bme.hu/pdf/6.pdf [7] Tóth János, Simon Péter: Differeniálegyenlete, TYPOTEX Kidó, Budpest, 2004. 32