Primiív füvéy (haározala ierál) PR Primiív füvéy (haározala ierál) Az ebbe a részbe szereplő füvéyek mideyike leye ey I eszőlees, poziív hosszúsáú iervallumo érelmeze valós érékű füvéy (I R).
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Defiíió: primiív füvéy Ha az F:I R füvéy differeiálhaó I- és F'() f() mide I eseé, akkor az modjuk, hoy az F füvéy primiív füvéye az f:i R füvéyek. Jelölés F f avay az f válozójá is mejelölve: F() f() d, F() f() d, F(z) f(z) dz, sb.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Mejeyzések Ha az F:I R füvéy primiív füvéye az f:i R füvéyek, akkor eszőlees R eseé a G() F(), I füvéy is primiív füvéye f-ek. Idoklás: G' (F)' F ' F' 0 f Ha az F:I R és a G:I R füvéyek primiív füvéyei az f:i R füvéyek, akkor léezik olya R, hoy G() F(), I Idoklás: (F-G)' F'-G' f-f 0 F-G ( R) F G
Primiív füvéy (haározala ierál) PR A fei ké mejeyzés alapjá meállapíhaó, hoy: Ha ey f füvéyek va primiív füvéye, akkor véele sok primiív füvéye va, de ezek sak ey (addiív) kosasba érheek el eymásól. Defiíió: haározala ierál Az f füvéy primiív füvéyeiek halmazá az f haározala ieráljáak evezzük. Példa os d si R Idoklás: (si )' os
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Néháy elemi füvéy haározala ierálja Kosas füvéy haározala ierálja k d k f k (k R) f k Idoklás: ( k ) k Példa: 7 d 7
d ) ( Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A haváyfüvéyek haározala ierálja ( ) f f ( R, -) d Idoklás: Példa
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 További példák 5 d 5 d 6 5 6 5 d d d A haváyfüvéyek haározala ierálja ( ) d l f f l
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Az epoeiális füvéyek haározala ierálja Idoklás: a a l a d a l a l a a l a a f a e l a f a l a e a Példa 5 d 5 l5
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Néháy ovábbi füvéy haározala ierálja os d si si d os d os d si h d sh sh d h d h h d h sh
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 Néháy ovábbi füvéy haározala ierálja d arsi d ar d arh d arsh d arh, ha ],[ d arh, ha ], [ ], [
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Téel ( f ) f aoké lehe ieráli af a f a R a szorzó kosas kiemelheő az ierálból
6 7 6 7 7 d d 6 d 7 d d 6 d 7 d 6 7 6 7 7 6 5 5 Az alapierálokra visszavezeheő ierálási feladaok Primiív füvéy (haározala ierál) PR d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Az alapierálokra visszavezeheő ierálási feladaok d os d si os d d d os d os d os d d d d ar ar
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Téel Ha Pariális módszer az f:i R és :I R füvéyek differeiálhaók és léezik az ( f ) primiív füvéy, akkor léezik az ( f ) primiív füvéy is és ( f ) f - ( f ) Idoklás: a szorzafüvéyek differeiálási szabálya alapjá: ( f ) f f ( f ) ( f ) ( f ) f ( f ) ( f ) ( f ) f ( f )
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Pariális módszerrel ierálhaó füvéyek I. P() si( sh( f ( f ) f - ( f ) d),os( d) d),h( d) d a P: poliom a,,d R (a>0, a ) Példa ( ) e d?
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Példák ( f ) f - ( f ) si d os os d () '() f '() si f () os os os d os si A kövekező példába másodfokú poliom szerepel, ezér o készer kell alkalmazi a pariális módszer formulájá.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 ( e ) e d ( ) ( első alkalmazás: () ' () e f '() e f () ( f ) f - ( f ) ) e második alkalmazás: d () '() e f '() e f () e e ( ) ( ) e d ( ) e ( ) e e ( ) e
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Pariális módszerrel ierálhaó füvéyek II. arsi( d), aros( d) ar( d), ar( d) P() arsh( d),arh( d) d arh( d), arh( d) lo a ( d) P: poliom a,,d R (a>0, a ) f ( f ) f - ( f ) Példa ( ) l d?
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Példa d l l d ) ( f () () f () l () d l 9 6 l ( f ) f - ( f )
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 Speiális ese ( f ) f - ( f ) arsi( d),aros( d),ar( arsh( d),arh( d),arh( loa ( d) d),ar( d),arh( d) d) Példa Ha a poliom hiáyzik, akkor a kosas füvéy vesszük -ek. l d l d l d l () f () l () f ()
Primiív füvéy (haározala ierál) PR a k m Pariális módszerrel ierálhaó füvéyek III. si( d) d os( d) a,,d R (a>0, a ) si( d os( d sh( d h( d ) si( d ) os( d ) sh( d ) h( d Ezekbe az eseekbe a pariális módszer készeri alkalmazásával eredméyre jui: ) ) d ) ) lehe A jelölés az első lépésbe em köö, de a másodikba ie: ha ey füvéy az első lépésbe pl. -vel jelölük, akkor az új ierálba a belőle származao ( ) füvéy kell a második lépésbe is -ek evezi. A második lépés uá a kerese ierálra eyele adódik, ebből az ierál kifejezheő.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Példa ( f ) f - ( f ) e si d -e os e os d -e os e si - e si d első alkalmazás: második alkalmazás: () e () e f () si f () os () e () e f () os f () si e si d - e os e si - e si d 5 e si d e (-os si ) e si d 0,e (-ossi)
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Téel Helyeesíéses ierálás Ha a :I J füvéy differeiálhaó és léezik az f:j R füvéy f primiív füvéye, akkor léezik az (fo) ' primiív füvéy is és (fo ) '( f)o avay f() ' F(), ahol F f
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Mejeyzések. A helyeesíéses ierálás éele az összee füvéyek differeiálási szabályáak kövekezméye: íy f() ' F(), ahol F f ( F() )' F() ' f() '. A formula ké (formaila külöböző) módszer alapoz me:
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Példa Az f() 'F()formula alkalmazása os ( ) d? Az f() os, () jelölésekkel a felada f()' alakú. A formula szeri a számolás léyei része az F f primiív füvéy mehaározása: f() os F() si os ( ) ( d si ) Veyük észre, hoy a formuláak mefelelő feladaok eseé az ierál kiszámíása léyeébe a F füvéy mehaározásá jelei. A belső füvéy sak be kell másoli a mefelelő helyre. Ez mefiyelhejük az alábbi példáka aulmáyozva.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A fei odolamee alkalmazásá jól mefiyelhejük az alábbi példáka aulmáyozva: os ( ) ( d si ) f() os F() si os ( l ) d si( l ) os( ) d si( ) os os d si ( ) ( ) A fei feladaok meoldási sémája: os ( ) d si( ) A séma mayarázaa: ( ) os() si
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Az f() 'F()formula alkalmazása Példa 8 d? Először áalakíjuk a feladao: d d 8 ( ) f () I az kell észrevei, hoy az és az jelölésekkel a felada f()' alakú. ()
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 f () F () ar f() 'F() d ar( ( ) ) A fei felada meoldási sémája: A séma mayarázaa: ar() ar ( ())
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Az f() 'F()formula éháy speiális esee si d si os Példa f() ) ( Mayaráza: ( -)
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 További példák d ) ( ) ( d ) (
Primiív füvéy (haározala ierál) PR További példák 5 e 5 5 8 e 5 d 5 5e (8 e ) d 5 (8 e ) 5
Primiív füvéy (haározala ierál) PR További példák 6 (l ) d (l ) d l 6 5 5 6 6 5
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Az f() 'F()formula éháy speiális esee f () ' ' l Mayaráza: ( l ) Példa h sh d l sh
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Az f() 'F()formula éháy speiális esee f() e e e Mayaráza: ( ) e e Példa e d e
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Az f() 'F()formula éháy speiális esee () a b Mayaráza: F(a a F(a b) f (a b)d a b) a F (a b) a f (a b) A formula jeleősée abba áll, hoy ha az f füvéy primiív füvéye ismer, akkor az f(ab) ípusú füvéyeke is ehézsé élkül udjuk ieráli. Példák si( ) os( )d e d e
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Válozóhelyeesíés Tekisük újra az összee füvéyek differeiálási szabályából származao (fo) '( f)oformulá! Ha a füvéy a korábba meado ulajdosáok melle mé iverálhaó is, akkor a formula ké oldalá lévő füvéyekek képezzük a kompozíiós szorzaá a iverzével. Íy ey újabb formulához juuk, melyek alkalmazásá válozóhelyeesíéské fojuk emleei: (fo ) '( f)o ( (fo ) ') o - f avay a másik jelölési módból kiidulva: f() 'F() ( f() ') o - F, ahol F f
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Mejeyzés Az íy kapo formula léyee, hoy az f ierál kiszámíásához az (fo)' primiív füvéy kell mehaározi, majd eek a iverzével való kompozíiós szorzaa adja a kerese primiív füvéy. A válozóhelyeesíés elevezés arra ual, hoy az ieráladó f() füvéy válozójá helyeesíjük ey mefelelőe meválaszo () füvéyel aak reméyébe, hoy az f()d ierálál köyebbe me udjuk haározi az (f(())'() d ierál. avay: f ( (fo ) ') o - f() d ( (f(())'() ) o ()
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d ) o - () os( )d os d si si( ) d,,, d d A köyebb áekiheősé érdekébe a számolásokba a fei eyszerűsíe jelöléseke szokás haszáli. A formulával való összeveéshez ekisük az alábbi mayarázao: d d () '() d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d )o - () si d si d si os si os,, d d, d d Mejeyzés Az (si)d ierál pariális módszerrel lehe mehaározi. Ez me is eük pariális módszer leíró részél (lásd o).
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d ) o - () d d d e e ( )... e, l, d d d d Mejeyzés Az kapo ierál kiszámíási módjá lásd a raioális örfüvéyek ierálása ímű részél.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d ) o - () d d 5 d... d,,, d d d Mejeyzés Az kapo ierál kiszámíási módjá lásd a raioális örfüvéyek ierálása ímű részél.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés Az si helyeesíés alkalmazása d si os d os d si si, arsi, d/d os, d os d arsi si( arsi ) arsi
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Mejeyzések. A számolásba felhaszáluk a si()sios azoossáo az alábbiak szeri: si( arsi ) si(arsi ) os(arsi ) si (arsi ). A os füvéy ierálásával kapsolaba lásd az si, os, sh, h alakú füvéyek ierálása ímű rész!. Az si helyeesíéssel álalába érdemes próbálkozi, ha a füvéy formulája valamilye formába aralmazza a kövekező kifejezés:
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Példa d si si os d si os d si, arsi, d/d os, d os d os si d d 8 8 si arsi 8 ( os ) d si( arsi ) arsi 8 ( ) 8
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés Az h helyeesíés alkalmazása d h sh d sh d h d sh h, arh, d/d sh, d sh d sh(arh) arh arh
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Mejeyzések. A számolásba felhaszáluk a sh()shh azoossáo az alábbiak szeri: sh(arh ) sh(arh ) h(arh ) h (arh ). Az sh füvéy ierálásával kapsolaba lásd az si, os, sh, h alakú füvéyek ierálása ímű rész!. Az h helyeesíéssel álalába érdemes próbálkozi, ha a füvéy formulája valamilye formába aralmazza a kövekező kifejezés:
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés Az sh helyeesíés alkalmazása d sh h d h d... sh, arsh, d/d h, d h d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Mejeyzések. A h füvéy ierálásával kapsolaba lásd az si, os, sh, h alakú füvéyek ierálása ímű rész!. Az sh helyeesíéssel álalába érdemes próbálkozi, ha a füvéy formulája valamilye formába aralmazza a kövekező kifejezés:
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 a b ípusú füvéyek ierálása Az ilye alakú füvéyek ierálása visszavezeheő az előző három ese valamelyikére úy, hoy a éyzeyök ala eljes éyzee alakíuk ki: Példa 6 7 d ( ) 6 d d 6 d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 50 Példa d 5 d ( ) d d Példa 0 d 5 6 6 ( 5) d 6 d 6 d 5 6
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés A rioomerikus füvéyek raioális örfüvéyeiek ierálása a helyeesíéssel visszavezeheő ierálására. ar a raioális örfüvéyek A helyeesíés vérehajása sorá az alábbi eyelőséeke kell alkalmazi: si d os d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Mayaráza: si si( ar ) si(ar ) os(ar ) (ar) (ar) (ar) os os( ar ) os (ar ) si (ar ) (ar) (ar) (ar)
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Példák si os d d 8 d si si ( os ) d d d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Néháy speiális helyeesíés A hiperbolikus füvéyek raioális örfüvéyeiek ierálása a h arh helyeesíéssel visszavezeheő a raioális örfüvéyek ierálására az alábbiak felhaszálásával: sh h d d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 55 Téel A raioális örfüvéyek ierálása Mide raioális örfüvéy felbohaó ey poliom és ey olya raioális örfüvéy összeére, melybe a számláló fokszáma kisebb, mi a evező fokszáma. P() Q() H() M() Q() Elvéezve a P:Q poliomoszás, a H poliom az oszás háyadosaké, az M poliom az oszás maradékaké adódik.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 56 Mejeyzés Az előző éel szeri ey raioális örfüvéy ierálása visszavezeheő ey poliom és ey olya raioális örfüvéy ierálására, melybe a számláló fokszáma kisebb, mi a evező fokszáma. Példa 5 8 7 7
Az oszás vérehajása: PR 57 ( 5 8 7) : ( ) ( ) 7 8 ( ) 6 ( ) 7 7
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 58 Defiíió: pariális örek Az ( A o ) és az ( B p C q) Példa alakú kifejezéseke, ahol poziív eész, A,B,C R, p -q<0 (vayis az pq másodfokú poliomak is valós yöke) pariális örekek evezzük. ( 5 7) 8 ( )
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 59 Téel Mide raioális örfüvéy, melybe a számláló fokszáma kisebb, mi a evező fokszáma felbohaó pariális örek összeére. Mejeyzés Ez összeveve a korábbiakkal meállapíhaó, ey raioális örfüvéy ierálása visszavezeheő ey poliom és pariális örek ierálására. Tehá ha udjuk ieráli a pariális öreke, akkor (elvile) uduk ieráli mide raioális örfüvéy.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 60 A pariális örek ierálása A o d A l 0 Példa 5 d l 5 ( A o ) d A ( o) > Példa ( 7 ( ) d 7 )
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A pariális örek ierálása Az B C ( p q) d alakú ierálok közül sak az eseel folalkozuk. Az > ese álalába ie boyolul, sok lépéses számolás iéyel.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A számolás sémája: B p C d q B p B p d q l B p q C p B p B C B d d p q p p q p q d q p) p p q p d q d q q p p p ar ar p q p q p q p
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Példa 5 d 6 5 ( ) 6 d 6 d d 6 6 5 8 6 d 5 l 6 8 d 6 d d ar 5 d l 6 9ar
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Példa Pariális örekre boás: 5 6 7 0 A( 5) B( ( )( 5) 5 6 d? 7 0 5 6 ( )( A 5) B 5 ) (A B) (5A B) ( )( 5) I. AB 5 II. 5AB -6 A-6/, B /
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 65 5 6 7 0 6 / / 5 6 5 A kapo örek ierálása: 5 6 6 d 7 0 6 l l 5 d 5 d
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 66 ( Példa A ) B( ( ( ) A ) d? ( ) ) C( ( B ) ) C C (B C) ( ) (A B C) I. C 0 II. B C A, B, C 0 II. A B C 0 ( d d d ) ( ) ( ) ( )
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 67 Az si, os, sh, h ( ) alakú füvéyek ierálása Ha párala, akkor a si os h - sh azoossáok alkalmazásával az ierálás visszavezeheő alakú feladaokra.
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 68 Példa si 7 d si si 6 d si (si ) d si ( os ) d si ( os os os 6 ) d si d os si dos si d os 6 si d si d os (-si ) d os (-si ) d os 6 (-si ) d os os os 5 5 os 7 7
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 69 Ha az páros, akkor a kövekező azoossáok (ú. liearizáló formulák) valamelyiké kell alkalmazi, melyekkel a kievő felezheő : si os h h os os sh h
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 70 Példa os d os ( ) d d os ( os os ) d d os d os d Ezek uá a kapo aoka eyedile kell ieráli aól füőe, hoy páros vay párala kievősek. Részleszámíás: os d si os 8 d 8 si si
Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Példa: szabadesés (eyeleese yorsuló mozás) Gyorsulás-idő füvéy Sebessé-idő füvéy a () v () d v () v 0 v(0) v 0 Ú-idő füvéy s() ( v0 )d v0 s(0) s 0 s () v 0 s 0