MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA A mlomn kő 0 np ltt 000 kg úzát őröl meg Hán npr vn szükség 900 kg úz megőrléséhez, h csk kő működik? Az iskol három tnulój mtemtikversenen kiemelkedő eredmént ért el: János ötödik lett 8 ponttl, Mári htodik 8 ponttl, Péter pedig hetedik 77 ponttl Az iskol vezetősége elhtározt, hog e tnulók között 660 dinárt oszt szét egenes ránn z elért pontszámokkl és fordított ránn helezésekkel Melik tnuló mekkor összeget kpott? A fzék vízzel töltve kg tömegű H víz 0%-át kiöntjük, z össztömeg 88%-r csökken Mekkor fzék és z eredeti menniségű víz tömege külön-külön? Adott z ABCD tetszőleges négszög Legenek z AB, CD és EF szkszok felezőpontji rendre z E,F és G pontok Bizonítsd e, hog 0 DG CG BG AG! Az ABC egenlő szárú háromszög lpjánk h c 80, száránk pedig h 96 mgsság felel meg Számítsd ki háromszög oldlink hosszát! 6 A háromszög oldli, és egség hosszúk Számítsd ki hosszú oldlhoz trtozó mgsság hosszát! 7 Végezd el jelölt műveletet:? : 8 Bontsd ténezőkre polinomot: 8 8! 9 Egszerűsítsd z lgeri törtet: z z z 0 Egszerűsítsd kifejezést: Egszerűsítsd kifejezést: Egszerűsítsd kiejezést: Egszerűsítsd kifejezést: ) ( : Egszerűsítsd kifejezést: :
Oldd meg következő egenletet 0 6 Oldd meg következő egenletet: 7 8 7 Oldd meg -re nézve következő egenletet: m ( m ) ( ) 8 Eg medencét két cspon át lehet megtölteni H mindkét csp nitv vn, medence 8 ór ltt telik meg Eg lklomml két csp két órán át volt egszerre nitv, mjd z elsőt elzárták, íg második csp 8 ór ltt töltötte meg medencét Menni idő ltt tölthető meg medence egedül z egik és másik cspon át? 9 Oldd meg z egenletrendszert: 0 Oldd meg z egenletrendszert: z- -z-8 --z9 Oldd meg z egenlőtlenséget: > Hozd egszerű lkr: 8 : z z, 9 z Igzold z egenlőséget: Adott ( i) i z komple szám Htározd meg vlós és imginárius részét és modulusát Adott z i komple szám Htározd meg z i komple számot úg, hog z 7 Re{ z z } 6, Im legen z 7 6 6 Oldd meg z egenletet: 7 A m prméter mel értékére lesz z dott egenletnek két különöző vlós göke: m m m 0 8 Htározd meg z prméter értékét úg, hog z ( ) 0 érvénes legen: 9 A 0 egenlet gökeire egenlet és gökeinek meghtározás nélkül htározd meg zt z A B C 0 egenletet, melnek és gökei következőképpen függnek és től:, 0 Keresd meg z egenlet vlós megoldásit: ( ) Htározd meg z egenlet összes (vlós és komple) megoldásit: 6 0 Htározd meg z egenlet vlós megoldásit:
Htározd meg z egenlet vlós megoldásit: 0 Egszerűsítsd törtet:? 0 7 Hozd knonikus lkr másodfokú függvént, mjd vizsgáld ki tuljdonságit: 6 Oldd meg z egenlőtlenséget: ( ) ( 7) > 6 7 Oldd meg z egenletrendszert: 0 0 ; 6 0 8 Vizsgáld ki z eponenciális függvén tuljdonságit: 9 Oldd meg z eponenciális egenletet: 0 0 Oldd meg z eponenciális egenletet: 7 6 7 Oldd meg z egenlőtlenséget: > 0,006 Vizsgáld ki logritmusfüggvén tuljdonságit: log Logritmáld kifejezést: Oldd meg z egenletet: ( ) log Oldd meg z egenletet: ( ) log( 6 ) c log 6 Oldd meg z egenletet: log log 9 log 7 log8 7 Oldd meg z egenletet: log ( ) log 9 log 8 Oldd meg z egenletet: log log 0 9 Oldd meg z egenletet: log log 0 π Htározd meg töi szögfüggvén értékékét, h sinα, < α < π π π Htározd meg töi szögfüggvén értékékét, h: tg α, < α < sinα cos sin( α ) Igzold, hog: tg( α ) cos α sinα sin ctgα tgα Igzold, hog: cos α ctgα tgα sinα sin α Igzold, hog: sinα cos α Igzold, hog: ( cos cos ) ( sin sin ) cos( ) α α 6 π Vizsgáld ki z sin függvén tuljdonságit, és árázold grfikonját 6 7 Alkítsd szorzttá kifejezést: sin sin sin sin 8 Oldd meg z egenletet: sin sin 0 α
9 Oldd meg z egenletet: cos sin 60 Oldd meg z egenletet: cos cos 6 Htározd meg háromszög oldlit és szögeit, h ismert háromszög köré írhtó kör sugr R, o z egik oldl c és z egik szöge α 0 6 Számítsd ki z,, c6 oldlú háromszög oldlához trtozó súlvonlánk hosszát 6 Htározd meg komple gököket: i 6 Számítsd ki z m p q; n p q vektorok skláris szorztát, h p, q, p q 6 Számítsd ki vektorok közötti szöget: (,, ); ( 6,,6) 66 Htározd meg z dott vektorok vektoriális szorztánk intenzitását: m p q; n p q, h p, q, p q 67 Számítsd ki z dott vektorokr szerkeszthető prlelogrmm területét: p (,, ); q (,8, ) 68 Számítsd ki z ABCD tetréder térfogtát, h A(,,), B(,,-), C(6,,7), D(-,-,8) 69 Htározd meg zt z M(,) pontot, mel egenlő távolságr vn z A(0,), B(,-) és C(,-) pontoktól 70 A P(, ) pont z AB szkszt : ránn osztj Htározd meg szksz B végpontját, h A( 6, ) 7 Az ABC háromszög csúcsi A(, ) ; B(,6 ) Htározd meg z O tengelen fekvő C csúcsát, h háromszög területe területegség 7 Számítsd ki háromszög csúcsink koordinátáit, h z oldlk egenletei: AB: 0 BC: 0 CA: 0 7 Az m és n prméterek mel értékeire metsz le z dott egenes z O tengelről, z O tengelről - hosszúságú metszeteket: ( m n ) ( m n ) m n 0 7 Írd fel zoknk z egeneseknek z egenletét, melek áthldnk z (, ) egenessel α 60 -os szöget zárnk e M ponton és z 7 Írd fel nnk z egenesnek z egenletét, mel merőleges 7 egenesre és trtlmzz z P ( 6,) pontot 76 Írd fel z A(, ); B(,) ;C(,) csúcspontú háromszög C csúcsáól húzott mgsságát trtlmzó egenes egenletét! csúcspontú háromszög C csúcsáól húzott súlvonlát trtlmzó egenes egenletét! 78 Írd fel z -0 és 6--0 egenesek közti szögek szimmetritengeleinek egenletét! 77 Írd fel z A(, ); B(,) ;C(,) 79 Számítsd ki z A(, ); B(, ); C(,) hosszát! csúcspontú háromszög C csúcsáól húzott mgsság 80 Írd fel nnk körnek z egenletét, mel érinti z O tengelt, áthld z (, ) középpontj pedig z O tengelen fekszik A ponton, K 8 Írd fel nnk 0 sugrú körnek z egenletét, mel trtlmzz z M (, ) pontot és érinti z 0 egenletű egenest 8 Mekkor szög ltt látszik z 6 0 ellipszis (,) P pontól?
8 Htározd meg z m prméter értékét úg, hog z m 9 egenes érintse 6 egenletű hiperolát! 8 Írd fel z 8 egenletű prol M(-,) ponton áthldó érintőjének egenletét! 8 Htározd meg és 6 görék közös érintőit! 86 Teljes indukcióvl igzold: n n n 6 87 Bizonítsd e, hog n N számr érvénes: 88 Számítsd ki sorozt htárértékét: n n n n n n 89 Htározd meg számtni soroztot, h z első tgjánk összege és 0! n 90 A mértni sorozt első tgj, z n-edik pedig 8 Az első n tg összege S n 86 Htározd meg z n és q értékét! 9 A számtni sorozt első három tgjánk összege 6 H második tgját -vel, hrmdik -gel növeljük mértni soroztot kpunk Htározd meg számtni soroztot 9 Számítsd ki végtelen sor összegét: n 9 Az egenes, szálos csonkgúl térfogt 7 cm, mgsság 6 cm Mekkor területűek z lplpji, h zok különsége 7 cm? 9 Eg 8 cm lpú, cm szárú egenlőszárú háromszög szár körül forog Htározd meg z íg keletkezett forgástest térfogtát! log 6 9 Htározd meg függvén értelmezési trtománát: 6 9 9 sin tg 96 Vizsgáld ki függvén előjelét: 97 Vizsgáld ki függvén párosságát: f 98 Számítsd ki: lim( )? 99 e Számítsd ki: lim? 0 sin 00 cos cos Számítsd ki: lim? 0 0 Számítsd ki: lim? 0 Htározd meg függvén szimptotáit: 0 Keresd meg függvén deriváltját: 0 Keresd meg függvén deriváltját: rctg 0 Vizsgáld ki függvén szélsőértékeit:
06 Vizsgáld ki függvén konveitását: 07 Vizsgáld ki függvént: 08 Végezd el z integrálást: d d 09 Végezd el z integrálást: sin( ) 0 Végezd el z integrálást: e d d Számítsd ki: ln( ) 0 Számítsd ki z és z görék áltl htárolt síkidom területét Számítsd ki z, és z görék közötti síkidom tengel körüli forgtásávl kpott test térfogtát! Hán négjegű szám írhtó fel 0,,,,,,6,7 számjegekől, h ugnz számjeg minden számn csk egszer fordulht elő? n n Oldd meg z egenletet: V : V : 6 Nég férfi és nég nő hánféleképpen helezkedhet el egmás mellett mozin, h két egnemeli nem ülhet egmás mellé? 7 Leikográfii sorrenden melik lesz z A{,, c, d, e} hlmz 8 permutációj? 8 Eg osztáln 0 lán és fiú vn Az osztálvezetősége tnulót kell válsztni kik közül leglá z egik lán Hánféleképpen lehet ezt megtenni? 9 Az inom htvánánk kifejtett lkján melik tg nem trtlmzz z változót? n 0 Az htván második és hrmdik tg inomiális egütthtójánk összege 78 Htározd meg htván tgját! 6