6 A teljesítméyelektroikai kapcsolások modellezése A teljesítméyelektroikai beredezések vagy már ömagukba egy bizoyos szabályzott redszert alkotak, vagy egy agyobb szabályozott redszer részét képezik. A szabályzóelemek (hibaerõsítõ) megfelelõ méretezése végett ismeri kell a beredezés diamikus viselkedését. Megfelelõ módo le kell íri a redszer várható reakcióját a vezérlõjel, a terhelés illetve a bemeeti feszültség változásaira. Csak így képzelhetõ el olya szabályozókör kialakítása, amely a kimeeti változókat kellõ diamikával és potossággal be tudja szabályozi. A modellezést ehezíti, hogy a kapcsolóüzembõl eredõe em folytoos (kotiuális) haem diszkrét redszerrel va dolguk, a szabályzókörök többsége viszot folytoos. A kapcsolók mûködése következtébe idõszakosa változik a redszer topológiája. A topológia változása a modellezésél az egyeletek megváltozását voja maga utá. A teljesítméyelektroikai beredezések umerikus aalízise megfelelõ hardver és szoftver igéybevételével véghezvihetõ. A umerikus aalízis sorá az egyes kapcsolások közötti szakaszokba lieáris redszerrel va dolguk. A kapcsolók állapotáak megváltozásakor egy másik, de szité lieáris redszer alakul ki. A két egymás utái lieáris szakaszt a peremfeltételek kötik össze. A tekercsek árama és a kodezátorok feszültsége szakadásmetes idõfüggvéyek, ezek az értékek a kapcsolások pillaatába változatlaok. A umerikus aalízis hátráya, hogy a megoldás em általáos jellegû, midig csak egy adott esetre voatkozó kokrét megoldást kapuk. Még sokszori, külöbözõ feltételek mellett ismételt aalízis alapjá sem köyû olya következtetéseket levoi, amelyek alapjá a szabályozóelemek méretezhetõk. Ezért vezették be az itt ismertetésre kerülõ átlagolt modelleket. 6.1 Modellezés állapotegyeletekkel A lieáris (és emlieáris) redszerek aalízisét állapotegyeletekkel végezhetjük. Az állapotegyeletek olya lieáris differeciálegyelet-redszert alkotak, amelyekbe változó és azok elsõ deriváltjai szerepelek. A változók az állapotváltozó evet viselik. Az egyeletredszer megoldásához szükséges az változó kezdeti értékeiek ismerete (peremfeltételek). A 6-1 ábrá bemutatott másodfokú lieáris redszer (két állapotváltozót tartalmaz), a következõ állapotegyeletekkel írható le: 1 1 x 1 x2 v d 6 1 1 1 x 2 x1 x2 6 2 C RC Itt az x 1 változó a tekercs árama, az x 2 változó a kodezátor feszültsége, v d a gerjesztõfeszültség. - 220 -
x1 x2 - C R 6-1 ábra: Egyszerû másodfokú lieáris redszer. Általáos esetbe az állapotegyeletek mátrix alakba a következõképpe írhatók: x Ax Bv d 6 3 ahol x az állapotvektor, A az állapot-együttható mátrix, v d a gerjeszõ vektor, B a gerjesztõ-együttható mátrix. Adott esetbe az alkalmazott vektorok és mátrixok a következõk: 1 x1 0 1 x A vd v x2 1 1 d B 6 4 0 C RC Mivel A és B em függvéyei x-ek és v d -ek, a redszer lieáris. Az egyeletredszer megoldását a lieáris differeciálegyeletekre kidolgozott matematikai módszerekkel végezhetjük. A differeciálegyeletek megoldása a változók idõfüggvéyeit adja. Ha a komplex átviteli függvéyekre va szükségük, elõször is a 6-3 egyeletre alkalmazi kell a aplace traszformációt, majd ki kell fejezi az átviteli függvéyeket. A szabályozókörök optimalizációja redszerit az átviteli függvéyekbõl idul ki. 6.1.1 Az átalakító állapotegyeleteiek felírása Az átalakítók hasoló lieáris redszerekét viselkedek az egyes idõitervallumokba, mit a 6-1 ábrá bemutatott egyszerû kapcsolás. A léyeges eltérés az, hogy a kapcsoló(k) állapotáak megváltozásakor változik az áramkör topológiája. Az új idõitervallumba új egyeleteket kell íri az átalakítóra. Az egyeletek azoos alakúak, mit a korábbi itervallumba, csak az A mátrix és a B vektor elemei változak meg. Az átalakítóra általáos esetbe ayi differeciálegyelet redszer írható fel, aháy külöbözõ topológia érvéyes rá a kapcsolók mûködésébõl következõe. Kotiuális üzembe az átalakítók redszerit két topológiát veszek fel, diszkotiuális üzembe pedig hármat. Két topológia eseté a következõ egyeletredszerek az érvéyesek az átalakító mûködéséek (1)-ik periódusára: x A1 x B1v d T s t ( d ) Ts 6 5 x A2 x v d ( d ) Ts t ( 1) Ts 6 6 ahol t az idõ, T s =1/f s a kapcsolási periódus, d a kitöltési téyezõ értéke az (1)-ik periódusba. - 221 -
6.1.2 Az állapotegyeletek átlagolása Az elõzõ szakaszba felírt egyeletek az átalakító diszkrét modelljét képezik. Az állapotváltozók ugya szakadásmetesek a kapcsoló(k) állapotváltozásai közbe, de a deriváltjaik em. Az állapotegyeletek átlagolása egy olya matematikai eljárás, amely a jelekek egy kapcsolási periódusra számított átlagértékével dolgozik, em veszi figyelembe a jelek hullámzását egy perióduso belül. A hullámzások elhayagolása az az ár, amit fizetük kell, hogy folytoos modellt kapjuk. A folytoos (kotiuális) modell alkalmas az átalakító viselkedéséek sok kapcsolási perióduso keresztül törtéõ követésére, viszoylag kis matematikai erõfeszítés mellett. Szükség szerit a jelek egy perióduso belüli hullámzása viszoylag egyszerû idõtartomáyba végzett aalízissel külö kiszámítható. Redszerit a hullámzással kapcsolatba csak egy aalízist végzük el, a lehetséges legrosszabb esetre, amely a legagyobb hullámzásokat adja. Errõl már szó volt az egyes kapcsolások ismertetésekor. Az állapotegyeletek átlagolását úgy végezzük, hogy a 6-5 és 6-6 egyeleteket a ekik megfelelõ kitöltési téyezõkkel (d ill. 1-d ) megszorozzuk. Az így kapott egyeleteket összeadjuk (súlyozott összeg). Az eredõ egyelet a következõ lesz: x [ A1 d A2 (1 d )] x [ B1d (1 d )] 6 7 A kitöltési téyezõ (d ) idõbe diszkrét függvéy, de helyettesíthetõ egy folytoos idõfüggvéyel (d), amely a kérdéses pillaatokba ugyaazokat az értékeket veszi fel, mit az eredeti diszkrét függvéy. Így a 6-7 egyelet érvéybe marad. Az állapotegyeletek mellett szükséges felíri a kimeeti változó kiszámítására szolgáló egyeletet is. Az átalakítóál általába a kimeeti feszültséget az állapotváltozók lieáris kombiációjakét fejezzük ki: v Cx 6 8 Erre az egyeletre is alkalmazva az állapotegyeletekél bevezetett átlagolást, a következõ eredméyt kapjuk: v [ C1d C2 (1 d)] x 6 9 Az így kapott 6-7 és 6-9 egyeletek em alkalmasak az átalakító átviteli függvéyeiek levezetésére, mivel emlieáris összefüggéseket fejezek ki: az egyeletek jobb oldalai az állapotváltozók és a kitöltési téyezõ szorzatai szerepelek. 6.1.3 iearizáció ieáris modellhez úgy juthatuk, hogy kis változásokat tételezük fel adott mukapot köryéké. Ha kétely merüle fel a modell érvéyességét illetõe, a liearizáció elvégezhetõ több mukapotba. Elsõ lépéskét a változókat felírjuk a yugalmi (mukapoti) érték és a változás összegekét: x X x, v V v, d D d. 6 10 Hasoló egyelet írható a bemeeti feszültségre is, de a jele aalízis egyszerûsítése érdekébe tételezzük fel, hogy a bemeeti feszültség álladó. - 222 -
A 6-10 egyeleteket az átlagolt állapotegyeletekbe (6-7 egyelet) helyettesítve, majd figyelembe véve a téyt, hogy az állapotváltozók mukapoti értékéek deriváltja értelemszerûe ulla értékû ( X 0 ), a következõ kifejezést kapjuk: x AX Bu Ax [( A1 A2 ) ] d 6 11 Itt a következõ helyettesítéseket alkalmaztuk: A A (1 1d A2 d), B B (1 1d d) 6 12 A 6-11 egyeletbe elhayagoltuk mide olya tagot, amelybe két kis változás ( x és d ) szorzata szerepel. A 6-11 egyeletbe figyelme kívül hagyva a változásokat és azok deriváltjait, a yugalmi poti egyelethez jutuk: AX B 0 6 13 Alkalmazva a 6-13 feltételt a 6-11 egyeletre, külöválasztható a mukapot körüli változásokra voatkozó összefüggés a mukapot számításától. Így kapjuk a következõ összefüggést: x Ax [( A1 A2 ) ] d 6 14 A 6-9 egyeletbe helyettesítve a változókak a 6-10 egyeletekkel megadott felbotását, a kimeeti változóra a következõ összefüggést kapjuk: V v CX Cx [( C1 C2 ) X ] d 6 15 ahol: C C (1 1D C2 D) 6 16 Itt is külöválasztható a mukapotot meghatározó megoldásrész: V CX 6 17 Így jutuk a változásokra voatkozó összefüggéshez: v Cx [( C1 C2 ) X ] d 6 18 amit a továbbiakba az átviteli függvéy levezetésekor foguk haszáli. A mukapotot meghatározó egyeletekbõl (6-13 és 6-17) megkapható a korábba más módszerekkel meghatározott feszültségátviteli téyezõ: V CA 1 B. 6 19 Az egyes átalakítók tárgyalásakor a feszültségátviteli téyezõt abból a feltételbõl vezettük le, hogy adott mukapotba a tekercs feszültségéek átlagértéke ulla (2-1 egyelet). 6.1.4 Az átalakító átviteli függvéyeiek levezetése A változásokra voatkozó 6-14 egyeletre alkalmazva a aplace traszformációt, a következõ komplex egyelethez jutuk: s x ( s) Ax ( s) [( A1 A2 ) ] d ( s). 6 20 Az állapotváltozókra megoldva: ( 1 x s) [ si A] [( A1 A2 ) ] d ( s). 6 21 Itt I az egységmátrix. - 223 -
Ha a 6-18 egyeletre is alkalmazzuk a aplace traszformációt és a 6-21 egyeletbõl behelyettesítjük az x ( s ) -re kapott kifejezést, eljutuk az átalakító komplex átviteli függvéyéhez: v ( s) 1 Tp ( s) C[ si A] [( A1 A2 ) ] ( C1 C2 ) X. 6 22 d( s) A szabályozókör méretezéséél az itt levezetett T p (s) átviteli függvéyre va szükség. Ha az átalakító viselkedését a bemeeti feszültség változása közbe szereték vizsgáli, rögzíthetjük a kitöltési téyezõt és levezethetjük a kimeet/bemeet közötti átviteli függvéyt. Ha egyszerre szereték vizsgáli az átalakító teljes mûködését, a változók széttagolására voatkozó egyeletekél (6-10 egyeletek) figyelembe kell vei, hogy a bemeeti feszültség is tartalmaz változó részt. 6.2 A kapcsoló átlagolása Egy másik, az állapotegyeletek átlagolásától függetle módszer a kapcsoló viselkedéséek átlagolásá alapszik. Az elgodolás hasoló, mit a trazisztoros erõsítõk modellezésél: az áramkör emlieáris részét eltávolítjuk, helyébe egy modellt építük be, az áramkör többi (lieáris) részét viszot éritetleül hagyjuk. Ez a módszer külööse az átalakítók számítógépes szimulációjáál yújt agy segítséget, mivel végeredméybe em egyeleteket, haem áramköri modellt kapuk. 6.2.1 Átlagolás A kapcsoló átlagolása úgy törtéik, hogy a kapcsoló jeletkezõ áramokat és feszültségeket azok átlagértékeivel helyettesítjük. Az átlagérték számításakor két- ill. három értéket kell a megfelelõ kitöltési téyezõkkel megszorozi, majd összeadi, attól függõe, hogy az átalakító folytoos vagy szakadásos üzembe dolgozik-e. Az átalakító alapkapcsolásokba midig egy aktív kapcsoló (trazisztor) és egy passzív kapcsoló (dióda) találkozik egy potba (6-2a ábra). A kapcsoló átlagolásakor ez a két alkatrész egy egészet képez (6-2b ábra). Traszformátoros átalakítókál a trazisztor és a dióda em egy közös potra csatlakozak, de megfelelõ átalakítással itt is a kapcsolás ilye alakra hozható. a c a (D) S Q c D C R (1-D) C R p p (a) (b) 6. 6-2 ábra: Feszültségcsökketõ átalakító trazisztorral és diódával (a), a kapcsoló általáos jelölésével (b). A kapcsoló általáos jelöléséél az egyes csatlakozási potokat a következõ módo jelöltük: a aktív, p passzív, c közös. Eredetileg a kapcsoló aktív része az a és c - 224 -
potok közé volt csatlakoztatva, a passzív rész pedig a p és a c potok közé. A 6-2b ábrá bejelöltük azt is, hogy a periódus melyik részébe va a kapcsoló az a ill. a p állásba. Folytoos tekercsáram mellett a következõ egyeletek írhatók fel a kapcsoló feszültségeiek ill. áramaiak átlagértékeire: D 6 23 Vcp V ap I 6 24 a DI c A 6-23 egyelet egy feszültségvezérelt feszültségforrással modellezhetõ, míg a 6-24 egyelet egy áramvezérelt áramforrással. Így jutuk a feszültségcsökketõ kapcsolás áramköri modelljéhez (6-3 ábra), mely a kapcsoló átlagolásá alapszik. Vap a DIc p Ic DVap C R 6-3 ábra: A feszültségcsökketõ átalakító áramköri modellje az átlagolt kapcsolóval. Megfelelõ áramköri szimulátorral (amely támogatja a vezérelt források alkalmazását) az átalakító viselkedése kivizsgálható mide kokrét gerjesztés esetére. Számításba jöhetek kisjelû és agyjelû szimulációk is. A kutatók kifejlesztették a megfelelõ átlagolt kapcsoló modellt a szakadásos üzemre is, sõt olya kapcsolások is modellezhetõk így, amelyek álladóa a folytoos és szakadásos üzem határá üzemelek. 6.2.2 iearizáció A 6-3 ábrá bemutatott áramköri modell természetese em lieáris: az áramok és feszültségek illetve a kitöltési téyezõ szorzata szerepel az egyes vezérelt források leírásába. A liearizáció úgy végezhetõ el, hogy a 6-10 egyeletekek megfelelõe itt is külöválasztjuk az áramok, feszültségek és a kitöltési téyezõ mukapotot defiiáló részét és a változó részt. Ezt követõe az áramkört két újabb áramkörrel helyettesíthetjük: egyik a mukapot számítására alkalmas, a másik az átalakító kisjelû lieáris modellje, amely az átviteli függvéy levezetésére alkalmas. 6.2.3 Az átalakítók átviteli függvéyeiek levezetése Mivel a kapcsoló átlagolása közbe em egyeletekhez, haem áramköri modellhez jutottuk, az átviteli függvéyek levezetését hagyomáyos áramkör-elemzési módszerekkel végezhetjük el. Az áramkör alapjá közvetleül írhatók a komplex egyeletek, amelyeket megfelelõ változókra megoldva a keresett átviteli függvéyt kapjuk. - 225 -