1. Az integrál tégla-additivitása

Hasonló dokumentumok
Boros Zoltán február

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

A Riemann-integrál intervallumon I.

A fontosabb definíciók

Analízis I. beugró vizsgakérdések

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

Konvexitás, elaszticitás

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Határozatlan integrál

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Függvény határérték összefoglalás

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A TANTÁRGY ADATLAPJA

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

10. előadás. Konvex halmazok

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Konvex optimalizálás feladatok

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

17. előadás: Vektorok a térben

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

Analízis I. Vizsgatételsor

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Metrikus terek, többváltozós függvények

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Metrikus terek. továbbra is.

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? ? 4.8.?

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

Exponenciális, logaritmikus függvények

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf tk.

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,







Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

1.1 A függvény fogalma

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

Valószín ségelmélet. Pap Gyula

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Az előadások és gyakorlatok időpontja, tematikája

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Sorozatok? Deriválás? Integrál?

Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106

Matematika A1a Analízis

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Átírás:

Többváltozós üggvények dierenciál- integrálszámítása 9. előadás I. rze) Boros Zoltán 019. április 16. Az alábbiakban k N rögzített. 1. Az integrál tégla-additivitása 1.1. TÉTEL. Legyen I, T I k úgy, hogy I T ) = I T I k, valamint : I T R korlátos). Ekkor RI T ) I RI) T RT ). Továbbá, ha RI T ), akkor = +. I T I T Bizonyítás. Lényegében megegyezik a k = 1 esetben leírtakkal. 1.. Következmény. Ha I I k, RI) {I j } n DI), akkor RI j ) j = 1,,..., n) n =. I I j Bizonyítás. Az előző tételből következik a tégla-térogat additivitásának igazolásához hasonló indoklással. 1

. A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-kritériuma.1. Lebesgue szerint nullmértékű halmazok.1. Deiníció. H R k Lebesgue szerint nullmértékű [jele: H L k 0], ha > 0 : I n I k n N) úgy, hogy H In 0 n=1 v I n ) <. n=1 [ Megj: Elegendő H n=1i n ellenőrze...].. Példák. 1.) T I k 1, U R megszámlálható, H = T U. Ekkor H L k 0, mert U = {u n n N} esetén H [ ] T u n n N n+1 v k 1 T ) + 1, u n + n+1 x k+1 T, ) + 1 ahol T I k 1, T T..) Ha H n L k 0 n N), akkor H n L k 0. n N.. Baire-üggvények Ebben a szakaszban eltesszük, hogy I I k : I R korlátos. Legyen x 0 I, δ > 0 esetén m δ x 0 ) = in [I Kx 0, δ))], M δ x 0 ) = sup [I Kx 0, δ))]. Ekkor δ m δ x 0) δ > 0) monoton csökkenő, δ M δ x 0) δ > 0) monoton növekvő, így létezik m x 0 ) = lim δ 0+ mδ x 0 ) = sup{m δ x 0 ) : δ > 0} M x 0 ) = lim δ 0+ M δ x 0 ) = in{m δ x 0 ) : δ > 0}. : I R üggvényeket az alsó, illetve első Baire- Az így értelmezett m, M üggvényének nevezzük. A eltev szerint létezik olyan K pozitív valós szám, amelyre x) K x I), ezért

K m x) x) M x) K x I), továbbá olytonos x 0 -ban m x 0 ) = M x 0 ) [= x 0 )]. Legyen E = {x I : m x) < M x)}, valamint h > 0 esetén E h = {x I : M x) m x) h}..3. Állítás. E h zárt. Bizonyítás. x 0 E h, δ > 0 = y E h Kx 0, δ), továbbá r = δ dy, x 0 ) > 0 Ky, r) Kx 0, δ), így azaz x 0 E h. M δ x 0 ) m δ x 0 ) M r y) m r y) M y) m y) h = M x 0 ) m x 0 ) h,.3. A Lebesgue-kritérium.4. TÉTEL. [a Riemann-integrálhatóság Lebesgue-kritériuma]: Legyen I I k : I R korlátos. Ekkor RI) szakadási helyeinek halmaza Lebesgue szerint nullmértékű. Útmutatás a bizonyításhoz. Alkalmazzuk az előző szakasz jelöleit. Eszerint E jelöli szakadási helyeinek halmazát. Először tegyük el, hogy E L k 0. Ekkor > 0 esetén h = vi) > 0, továbbá E h E miatt E h L k 0. Továbbá E h I zárt, így kompakt. Ezért n N I j I k j = 1,..., n) úgy, hogy n n ) E h Ij I j n vi j ) < 4K. Feltehető a második tartalmazás megőrzével az I altér szerinti belső pontokkal), hogy I j I j = 1,..., n) I j I i ) =, ha j i. Minden x I \ E h : δ x > 0 : M δx x) mδxx) < h. Nyilván n ) Q = I \ I j I \ E h x I\E h K x, δ ) x. 3

Továbbá Q kompakt, ezért l N : x 1, x,..., x l I \ E h : Q l K i=1 x i, δ ) x i. Legyen δ = 1 min{δ x 1,..., δ xl }. Ekkor x, y Q, dx, y) < δ esetén i {1,,..., l} : x K x i, δ ) x i dy, x i ) dy, x) + dx, x i ) < δ + δ x i δ x i, így y) x) M δx i x i ) m δx i x i) < h. Legyen m N Ĩi I k úgy, hogy diamĩi) < δ P = {I j } n { Ĩ i } m i=1 DI). i = 1,..., m) Ekkor ω, P ) < n KvI j ) + m hvĩi) K 4K + h vi) = + =. i=1 Tehát RI). Most azt tesszük el, hogy RI). Tetszőleges h > 0, > 0 esetén P DI) : 1 h > ω, P ) hvĩ) Másrzről Tehát így vĩ) <. Ĩ Lk 0, így Ij I k j N) úgy, hogy Ĩ P ezért E h L k 0. Ebből Ĩ < Ĩ P E h I j vij ) <. Ĩ I j vĩ) + vij ) < + = E = n N E 1 n L k 0. 4

.5. Következmény. Ha m N, I I k, j RI) j = 1,..., m), E R m kompakt úgy, hogy = 1,,..., m ) jelölsel I) E, továbbá ϕ : E R olytonos, akkor ϕ RI). Bizonyítás. Vegyük zre, hogy ez egy általános műveleti szabály, ahol m darab Riemann-integrálható üggvényt helyettesítünk egy olytonos m-változós leképezbe ami tekinthető egy műveletnek), az eredmény egy Riemann-integrálható üggvény lesz. Először vegyük zre, hogy a eltev szerint a koordináta-üggvények mindegyike Riemann-integrálható, ezért korlátos. Így is korlátos, azaz van olyan E kompakt halmaz, ami tartalmazza az értékkzletét. Mivel ϕ : E R olytonos, ϕe) R is kompakt, tehát korlátos. Ezért ϕ korlátos. Jelölje j szakadási helyeinek halmazát H j I j = 1,..., m), ϕ szakadási helyeinek halmazát pedig H I. Ekkor j RI) miatt H j L k 0 j = 1,..., m), továbbá az összetett üggvény olytonosságára vonatkozó tétel miatt H m H j, ezért H L k 0. A Lebesgue-kritérium szerint tehát ϕ RI). 5