Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet, a hibabecslés feladata. A megadott explicit hibabecslés lokális alsó korlát. A megadott explicit hibabecslés globális felső korlát. Az egyszerűbb alakú explicit hibabecslés nem használható felső korlátként.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 2 Végeselem-közeĺıtés Az alábbi PDE-t Lu = f, D(L) H = [L 2 (Ω)] k, f H variációs (gyenge) alakba írva (Lu, v) = B(u, v) = (f, v), ahol D(B) = V V H H (1) olyan u V függvényt keresünk (gyenge megoldás), amelyre minden v V esetén (1) teljesül. Végeseselem - közeĺıtés: Olyan u h V h V függvényt keresünk, amelyre B(u h, v h ) = (f, v h ) v V h.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 3 A hiba becslése Hiba: e h = u u h. Cél: e h becslése az adatokból, azaz olyan η h konstrukciója, hogy Explicit hibabecslés: η h képlettel adott. Ideális eset: η h lokálisan is jól becsül, azaz minden K Ω résztartományon. C 1 e h V η h C 2 e h V. C 1 e h K V η h K C 2 e h K V. Alkalmazás: Ω adaptív finomítása pontosabb közeĺıtéshez. Éles becslés: C 1 C 2 1.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 4 A vizsgált egyenlet Idő-harmonikus Maxwell egyenlet tökéletes vezető peremfeltétellel: curl curl E k 2 E = J, in Ω R 3 E ν = 0, on Ω. (2) curl(e 1, E 2, E 3 ) = ( y E 3 z E 2, z E 1 x E 3, x E 2 y E 1 ). Ω korlátos Lipschitz-tartomány, ν kifelé mutató normális Ω-n. J [L 2 (Ω)] 3 adott (forrás).
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 5 A használt függvényterek Variációs alak H(curl, Ω) = {u [L 2 (Ω)] 3 : curl u [L 2 (Ω)] 3 }, V = H 0 (curl, Ω) = {u H(curl, Ω) : ν u Ω = 0} az energia-normával ellátva: u = u curl,ω = ( u 2 [L 2 (Ω)] 3 + curl u 2 [L 2 (Ω)] 3 ) 1/2. Feladat: Keresünk olyan E H 0 (curl, Ω) függvényt, amelyre (curl E, curl v) k 2 (E, v) = (J, v), v H 0 (curl, Ω).
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 6 Végeselem-közeĺıtés: E h kiszámítása A végeselem-megoldás olyan E h H h 0 (curl, Ω) H 0(curl, Ω) függvény, amelyre minden v h H h 0 (curl, Ω) esetén B(E h, v h ) := curl E h, curl v h ) k 2 (E h, v h ) = (J, v h ), ahol pl. V h = H h 0 (curl, Ω) az első rendű Nédélec-féle végeselem-tér: a T h -val jelölt nem-degenerált tetraéder-felosztáson definiált, az egységszimplexen az alábbi bázisfüggvényekkel (ξ, ζ, η jelöli a koordinátákat): (1 η ζ, ξ, ξ) T, (η, 1 ξ ζ, η) T, (ζ, ζ, 1 ξ η) T 2( η, ξ, 0) T, 2(ζ, 0, ξ) T, 2(0, ζ, η) T. Tetszőleges tetraéderen: affin transzformációval definiáljuk. V h = H h 0 : Az egyes tetraédereken a fenti, a közós lapokon az érintő irányú komponens folytonos, Ω-n az érintő irányú komponens nulla.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 7 A hibabecslés, jelölések Az e h = (E E h ) K hibára teljesül: B(e h, v h ) = B(E, v h ) B(E h, v h ) = (J, v h ) (J, v h ) = 0. (3) Dekompozíció: H 0 (curl, Ω) v = φ + z curl v = curl z Green-formula: (curl E, curl v) K = (curl curl E, v) K X (ν j curl E, v) lj. l j K K és K j szomszédos tetraéderek; l j = K K j a közös lapjuk, ν j : a K-ról l j -n kifelé mutató normális.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 8 A hibára vonatkozó bilineáris forma
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 9 B(e h, v) = (J, v) ((curl E h, curl v) k 2 (E h, v)) = X K Th(J, Φ + z) K ((curl E h, curl z) K k 2 (E h, Φ + z) K ) = K Th(J, X Φ + z) K (curl curl E h k 2 E h, z) K k 2 (E h, Φ) K + X X (ν j curl E h, z) lj K Th l j K = K Th(J X (curl curl E h k 2 E h ), z) K (div (J + k 2 E h ), Φ) K + X X (ν j curl E h, z) lj + (ν j (J + k 2 E h ), Φ) lj. K Th l j K
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 10 A peremtagok összege Jelölés az elemek közti ugrásra : [[g]](x) = lim g(x x n x n ) lim g(x x n x n ), (x n ) K i (x n ) K j ahol x K i K j, és x Ω esetén nulla a külső oldalról vett limesz. A tetraéder-lapokon (ezek únióját jel. Γ) kapott tagokat összevonva: X K T h l j K X (ν j curl E h, π τ z) lj + (ν j (J + k 2 E h ), Φ) lj = X l Γh(ν [[curl E h ]], π τ z) l + (ν [[J + k 2 E h ]], Φ) l, ahol ν az ugrás irányának megfelelő l-en.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 11 Jelölések az egyes reziduálisokra r 1 K = r 1,K = J E h + k 2 E h K, r 2 K = r 2,K = div (J + k 2 E h ) K, R 1 K = R 1,K = X R 1,lj = X ν j [[curl E h ]] lj, l j K l j K R 2 K = R 2,K = X R 2,lj = X ν j [[J + k 2 E h ]] lj. l j K l j K Reziduális jelentése: E h = E r 1 = R 1 = 0, r 2 = R 2 = 0.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 12 A bilineáris alak a reziduálisokkal B(e h, v) = X K Th (r 1,K, z) K + (r 2,K, Φ) K + X l Γh(R 1,l, z) l + (R 2,l, Φ) l, (4) és az alábbi hibaindikátort vezetjük be: η 2 K = h2 ( r 1 2 [L 2 (K)] 3 + r 2 2 L 2 (K) ) + h( R 1 2 [L 2 (K)] 3 + R 2 2 L 2 (K)), (5) valamint a következő globális hibaindikátort: η 2 T h = X K Th η 2 K. (6) Ld. a hiba becslése.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 13 A hibaindikátor lokális alsó korlát Alapgondolat: (4)-ben válasszuk meg jól a v komponenst! Becsüljük így az egyes tagokat külön-külön! Példák: Ha w H 1 0 (K), akkor (4) így egyszerűsödik: B(e h, w) = (r 2,K, w) K. (7) Ha w H 1 0 ( K) és supp w K K j, akkor (4) így egyszerűsödik: B(e h, w) = (r 2,K, w) K + (R 2, w) lj. (8)
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 14 Az alsó becslés pontos alakja Jelölések: K = { K j T j : Kj K } r 1, r 2, R 1, R 2 a reziduálisok végeselem-approximációi. Tétel 1 η h lokális alsó korlátja a hibának, azaz η 2 K (1 C + k 2 ) 2 e h 2 curl, K + h2 ( r 1 r 1 2 [L 2 ( K)] 3 + r 2 r 2 2 L 2 ( K) ) + h( R 1 R 1 2 [L 2 ( K)] 3 + R 2 R 2 2 L 2 ( K) ), (9) ahol h K = diam K és C egy h K -tól k-tól független konstans. Megjegyzés: C más és más lehet az egyes becslésekben, h-tól nem függ, csak K alakjától..
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 15 Megjegyzés a tételhez, egyenlőtlenségek a bizonyításhoz Ha az alábbiak teljesülnek r 1 r 1 2 [L 2 ( K)] 3 = O(h 3 ), r 2 r 2 2 L 2 ( K) = O(h3 ), R 1 R 1 2 [L 2 ( K)] 3 = O(h 2 ), R 2 R 2 2 L 2 ( K) = O(h3 ), akkor a (9) becslés jól használható: a jobb oldal (1 + k 2 ) 2 e h 2 curl, K. Használjuk a bizonyításhoz a következő egyenlőtlenségeket rögzített Ψ K esetén: r 2 2 L 2 (K) C( r 2, Ψ K r 2 ) K (10) Ψ K r 2 L2 (K) C r 2 L2 (K) (11) (Ψ K r 2 ) L2 (K) Ch 1 r 2 L2 (K) (12) Bizonyítás: kihasználjuk, hogy T h nem-degenerált.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 16 A bizonyítás egy része r 2 2 L 2 (K) C( r 2, Ψ K r 2 ) K = C (( r 2 r 2, Ψ K r 2 ) K + (r 2, Ψ K r 2 ) K ) C( Ψ K r 2 L2 (K) r 2 r 2 L2 (K) B(e h, Ψ K r 2 )) C( Ψ K r 2 L2 (K) r 2 r 2 L2 (K) + (1 + k 2 ) e h curl,k Ψ K r 2 L2 (K)) (13) C( r 2 L2 (K) r 2 r 2 L2 (K) + (1 + k 2 ) e h curl,k h 1 r 2 L2 (K)) r 2 L2 (K) C( r 2 r 2 L2 (K) + (1 + k 2 )h 1 e h curl,k ) h 2 r 2 2 L 2 (K) C(h2 r 2 r 2 2 L 2 (K) + (1 + k2 ) 2 e h 2 curl,k ) (14)
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 17 A bizonyítás egy része (folytatás) Hasonló technikával kapjuk az R 2 L2 (l) C( R 2 R 2 L2 (l) + h 1 2(1 + k 2 ) e h curl, K + h2 r 1 2 L2 ( amiből (14) segítségével K) ), R 2 L2 (l) C( R 2 R 2 L2 (l) + h 1 2(1 + k 2 ) e h curl, K + h1 2 r 2 r 2 L2 ( K) ). Hasonlóan az r 1 és R 1 reziudálisokra is; összeadva a becsléseket kapjuk (9)-t.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 18 Egy egyszerűbb bilineáris forma a hibára B(e h, v) = (J, v) ((curl E h, curl v) k 2 (E h, v)) = (J, v) K Th(curl X curl E h k 2 E h, v) K k 2 (E h, v) K + X X (ν j curl E h, v) lj K Th l j K = X (J (curl curl E h k 2 E h ), v) K + X X (ν j curl E h, v) lj K Th K Th = X (r 1,K, v) K + X 1,l, v) l. K Th l Γh(R l j K
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 19 Egy egyszerűbb alsó hibabecslés Felhasználva a tagonkénti becsléseket, (9) bal oldalát csökkentve ismét alsó hibabecslést kapunk összhangban a (15) formulával: ζ 2 K := h2 r 1 2 [L 2 (K)] 3 + h R 1 2 [L 2 (K)] 3 C((1 + k 2 ) 2 e h 2 curl, K + h2 r 1 r 1 2 [L 2 ( K)] 3 + h R 1 R 1 2 [L 2 ( K)] 3 ). Ez nem használható hibabecslésként?
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 20 Felső hibakorlát Tétel 2 η h felső korlátja is a hibának, azaz e h curl Cη 2 K. (15) Próbálkozás - elliptikus problémákra jó: Inf-sup becslés + (3) + interpolációs becslés: e h curl v curl B(e h, v) = B(e h, v v h ) = X (r 1,K, v v h ) K + X 1,l, v v h ) l K Th l Γh(R X K Th r 1,K [L2 (K)] 3 v v h [L2 (K)] 3 + X l Γh R 1,l [L2 (l)] 3 v v h [L2 (l)] 3 X K Th r 1,K [L2 (K)] 3 h s 1 v curl,k + X l Γh R 1,l [L2 (l)] 3 h s 1 v curl,k.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 21 Módosítás - interpolációs tétel Lokális becslés ( Pasciak & Zhao 02): Tetszőleges v H(curl, Ω) H(div, Ω) esetén alakba írható, ahol z H 1 0 (Ω), továbbá v = z + Φ z + Φ 1 C v és z 1 C curl v. (16) Globális becslés ( Schöberl 07): Létezik olyan Π curl : v H(curl, Ω) H(div, Ω) H h (curl, Ω), hogy minden v H(curl, Ω) H(div, Ω) esetén Π h v v = z h + Φ h
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 22 alakba írható, ahol z H 1 0 (Ω), továbbá h 1 K Φ h L2 (K) + Φ h [L2 (K)] 3 C v K (17) és h 1 K z h [L2 (K)] 3 + z h [L2 (K)] 3 3 C curl v [L2 ( K)] 3. (18) Megjegyzés: A bizonyítás hosszadalmas; konkrét konstrukció. Lehet egyszerűbben? Egy nyom-tétel: v lj L2 (l j ) Ch 1 2 K ( 1 v 2 h 2 L 2 (K) + h K v 2 [L 2 (K)] 3 ) 1 2. (19) K
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 23 A 2. tétel bizonyítása (kivonat) e h curl v curl X K Th B K (e h, v v h ) = X K Th (r 1, z h ) K + (r 2, Φ h ) K + X l Γh(R 1,l, z h ) l + (R 2,l, Φ h ) l = X K Th r 1 [L2 (K)] 3 z h [L2 (K)] 3 + r 2 L2 (K) Φ h L2 (K) + X l Γh R 1 [L2 (l)] 3 z h [L2 (l)] 3 + R 2,l L2 (l) Φ h L2 (l) X K Th 1 1 h K r 1 [L2 (K)] 3 z h h [L2 (K)] 3 + h K r 2 L2 (K) Φ h L2 (K) K h K
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 24 + X l Γh h 1 2 K R 1 [L2 (l)] 3 ( 1 z h 2 h 2 [L 2 (K)] 3 + z h 2 [L 2 (K)] 3 3 ) 1 2 K + h 1 2 K R 2,l L2 (l)( 1 Φ 2 h 2 L 2 (K) + Φ 2 [L 2 (K)] 3 ) 2 1 K ( 1 z h 2 h 2 [L 2 (K)] 3 + z h 2 [L 2 (K)] 3 3 ) 2 1 K ( X l Γh h 1 2 K R 1 [L2 (l)] 3 + X K Th h k r 1 [L2 (K)] 3 ) + ( 1 Φ 2 h 2 L 2 (K) + Φ 2 [L 2 (K)] 3 ) 2( 1 X h 1 2 K R 2 L2 (l) + X h k r 2 L2 (K)) K l Γh K Th C curl v [L2 (K)] 3 ( X l Γh h 1 2 K R 1 [L2 (l)] 3 + X K Th h k r 1 [L2 (K)] 3 )
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 25 + v [L2 (K)] 3 ( X l Γh h 1 2 K R 2 L2 (l) + X K Th h k r 2 L2 (K)) C( curl v [L2 (K)] 3 + v [L2 (K)] 3 ) 2 1 0 @ X h K ( R 1 2 [L 2 (l)] 3 + R 2 2 L 2 (l) ) + X h 2 k ( r 1 2 [L 2 (K)] 3 + r 2 2 [L 2 (K)] 3 ) A l Γh K Th 1 1 2 C v curl 0 @ X h K ( R 1 2 [L 2 (l)] 3 + R 2 2 L 2 (l) ) + X h 2 k ( r 1 2 [L 2 (K)] 3 + r 2 2 [L 2 (K)] 3 ) A l Γh K Th 1 1 2.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 26 Egy egyszerűbb hibaindikátor Az egyszerűbb alsó korlát (ζ K ) nem lesz felső hibakorlát is? Valamilyen α, β > 0 esetén lehet felső hibakorlát az alábbi? ζ 2 K,α,β := h2α K r 1 2 [L 2 (K)] 3 + X l j K h β K R 1 2 [L 2 (l j )] 3. (20) Negatív válasz: Tétel 3 A (20) hibaindikátor nem lehet felső korlát semmilyen α, β > 0 esetén sem.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 27 A hiba alakja egy speciális esetben Lemma 1 Ha J = p és E h = p valamilyen p, p H 1 0 (Ω) esetén, akkor e h K 2 curl = 1 k 2 r K 2 [L 2 (Ω)] 3, (21) valamint η 2 h,α,β = X K Th h 2α K r K 2 [L 2 (Ω)] 3. (22) Cél a továbbiakban: A fenti lemmának megfelelő J konstrukciója.
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 28 A végeselem-tér dekompozíciója és tulajdonságai H h 0 (curl, Ω) = H 1,h H 2,h, (23) H 1,h = { p h : p h H 1 0 (Ω), p h K P p,k }, ahol P p,k a K-n értelemezett p-ed rendű polinomok halmaza. H 2,h az (curl vagy L 2 -) ortogonális komplementer: és teljesülnek az alábbiak: H 1,h1 H 1,h2 minden h 1 h 2 esetén. dim H 1,h n, ha h n 0. H 2,h = {u N p,h : u H 1,h },
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 29 Az ellenpélda konstrukciója Lemma 2 Létezik olyan J H(curl, Ω) H(div, Ω), amelyre J H 1,h minden h H esetén, de J H 2,h minden h H-re. Bizonyítás: 1. Tetsz. 0 ˆq 1 H 1,h1 esetén legyen q 1 = 1 ˆq 1 H 2,h1. 2 ˆq 1 curl + ˆq 1 div 2. Legyen h 2 olyan, hogy dim H 1,h2 > dim H 1,h1 + dim H 2,h1,
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 30 és valamilyen ˆq 2 H 1,h1, ˆq 2 H 2,h1 esetén: q 2 = 1 2 2 ˆq 2 ˆq 2 curl + ˆq 2 div. 3. Legyen h n olyan, hogy dim H 1,h n > dim H 1,hn 1 + dim H 2,hn 1 ; ekkor ˆq 2 H 1,h1, ˆq 2 H 2,h1 esetén: q n := 1 2 n A keresett J-t az alábbi sor adja meg: ˆq n ˆq n curl + ˆq n div. J = X q i. i=1
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 31 A 3. tétel bizonyítása H 1 0 (Ω) zárt a curl normában J H 1 0 (Ω). q i H 1,hj, ha i > j (J, v hj ) Ω = (q 1 + q 2 + + q j, v hj ), ezért az alábbi probléma (curl E hj, curl v hj ) Ω k 2 (E hj, v hj ) Ω = (J, v hj ) Ω (24) megoldása (amely egyértelmű) E hj = 1 k 2(q 1 + q 2 + + q j ).
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 32 Ezért curl E hj = 0, és az 1. Lemma szerint lim h j 0 η 2 h j,α,β e hj 2 curl = lim hj 0 max K Thj h 2α K PK T hj h 2α K r K 2 [L 2 (Ω)] 3 e hj 2 [L 2 (Ω)] 3 P lim hj 0 k2 max h 2α K T e h K 2 hj [L 2 (Ω)] 3 K K T hj e hj 2 [L 2 (Ω)] 3 = lim hj 0 max K T hj h 2α K = 0.