anal implicit_es_integral.nb H L H Implicit függvény tétel L H L << Graphics`ImplicitPlot` pr =.5; F@x_, y_d = x + y ; p = PlotD@F@x, yd, 8x, pr, pr<, 8y, pr, pr<, DisplayFunction IdentityD; p = PlotD@, 8x, pr, pr<, 8y, pr, pr<, Mesh False, DisplayFunction IdentityD; Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunctionD Solve@F@x, yd, yd ImplicitPlot@F@x, yd, 8x, pr, pr<, 8y, pr, pr<, AxesOrigin 8, <D - - - GraphicsD 99y è!!!!!!!!!!! x =, 9y è!!!!!!!!!!! x ==.5.5 -.5 - -.5.5.5 -.5 - ContourGraphics -.5
anal implicit_es_integral.nb ClearAll@fD; ClearAll@xD; ClearAll@yD; ClearAll@xD; ClearAll@yD; ClearAll@DxD; ClearAll@DyD; ClearAll@DαD; ClearAll@nvD; ClearAll@dxD; ClearAll@prD; F@x_, y_d := x + y x y << Graphics`ImplicitPlot` ImplicitPlot@F@x, yd, 8x,, <D; a = PlotD@F@x, yd, 8x,, <, 8y,, <, Mesh False, PlotPoints 6, Boxed False, ImageSize 6D; b = PlotD@, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints 6, Boxed False, Axes False, DisplayFunction IdentityD; H a felület és a z= sík metszete lesz az implicit függvény görbéje L Show@a, b, ViewPoint > 8.,, <D; - - - - -
anal implicit_es_integral.nb - - - - -
anal implicit_es_integral.nb - - - - - H L H Kettősintegrálok L H L H téglalaptartomány L f@x_, y_d = Hx + yl ; PlotD@f@x, yd, 8x,, <, 8y,, 5<D p = ContourPlot@f@x, yd, 8x,, <, 8y,, 5<, DisplayFunction Identity, ContourLines False, Contours 5D; H ábrázoljuk az x y síkon az integrálási Htéglalap alakúl tartományt is L Show@p, Graphics@8Rectangle@8, <, 8, <D<D, DisplayFunction $DisplayFunctionD H a kettős integrál eredménye een tartomány fölött L Integrate@f@x, yd, 8x,, <, 8y,, <D
anal implicit_es_integral.nb 5.. 5 SurfaceGraphics 5.5.5.5 Graphics Log@D + Log@D + Log@5D Log@6D
anal implicit_es_integral.nb 6 H normáltartomány esetén L << Graphics`FilledPlot` f@x_, y_d = x + y; PlotD@f@x, yd, 8x,, <, 8y,, <D p = ContourPlot@f@x, yd, 8x,, <, 8y,, <, DisplayFunction Identity, ContourLines False, Contours 5D; p = FilledPlot@8 x, x <, 8x,, <, DisplayFunction IdentityD; H maga a tartomány, ami fölött integrálunk L Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunctionD H a kettős integrálás eredménye is egy számérték pl. ê köbméter Hpl.L, mivel felület alatti térfogatról van szó L Integrate@f@x, yd, 8x,, <, 8y, x, x<d.5.5 SurfaceGraphics.5.5 Graphics
anal implicit_es_integral.nb 7 H feladat L H Számold ki az x +y függvény integrálját a @,D x @y,d normáltartományon és jelenítsd meg az integrálási tartományt! L f@x_, y_d = x + y ; PlotD@f@x, yd, 8x,, <, 8y,, <D p = ContourPlot@f@x, yd, 8x,, <, 8y,, <, DisplayFunction Identity, ContourLines False, Contours 5D; p = FilledPlot@8, x<, 8x,, <, DisplayFunction IdentityD; Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunctionD Integrate@f@x, yd, 8y,, <, 8x, y, <D 8 6.5.5.5.5 SurfaceGraphics.5.5.5.5 Graphics
anal implicit_es_integral.nb 8 H Térfogatszámítás L ClearAll@x, x, y, y, z, z, n, r, x, y, z, f, F, vectorsd; x = ; y = ; z = ; H ábrák széleibek definiálása L x = ; y = ; z = ; H ábrák széleibek definiálása L H adott a z=6 x y függvény, és a határoló síkok, ami egy térfogatot zár körül H <x< és <y<l L F = 88z == 6x y<, 8x == <, 8x == <, 8y == <, 8y == <, 8z == <<; << Graphics`ImplicitPlot` << Graphics`ParametricPlotD` p = ParametricPlotD@8x, y, 6 x y<, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8, y, z<, 8y, y, y<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8, y, z<, 8y, y, y<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8x,, z<, 8x, x, x<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p5 = ParametricPlotD@8x,, z<, 8x, x, x<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p6 = ParametricPlotD@8x, y, <, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; Show@p, p, p, p5, p6, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio AutomaticD; H a függvénnyel együtt ábrázolva L Show@p, p, p, p, p5, p6, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio AutomaticD; - - -
anal implicit_es_integral.nb 9 - - 5-5
anal implicit_es_integral.nb PlotD@6 x y, 8x,, <, 8y,, <, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD; H Ha kiszámoljuk az integrált így ahogy van: L H6 x yl y x H Ez nem térfogatot számol, mert a z tengely alatti rész térfogatát H L gyel szorozza!, ELŐJELES TÉRFOGAT L - - - 8 H nézzük részletesebben a problémát: L p7 = Plot@6 x, 8x,, <, DisplayFunction IdentityD; H a z= síkmetszet L p8 = Plot@, 8x,, <, DisplayFunction IdentityD; H a z= síkmetszet L p9 = Plot@, 8x,, <, DisplayFunction IdentityD; H a z= síkmetszet L Show@p7, p8, p9, DisplayFunction $DisplayFunctionD; H a z= síkmetszet egy ábrában L Solve@8y, 6 x y<, 8x, y<d H ezek alapján felbontva a tartományt részre: L Integrate@6 x y, 8y,, <, 8x, y ê 6, <D H Annak a résznek a térfogata, ahol 6 x y> L Integrate@ H6x yl, 8y,, <, 8x,, y ê 6<D H Annak a résznek a térfogata, ahol 6 x y< L 6 - - 99x,y == 8 - -
anal implicit_es_integral.nb H Az egyik gyakorlatpélda L ClearAll@x, x, y, y, z, z, n, r, x, y, z, f, F, vectorsd; x = ; y = ; z = ; H ábrahatárok L x = 5; y = ; z = ; F = 88z == x + y <, 8Hx L^+ y^ == <, 8z == <<; << Graphics`ImplicitPlot` << Graphics`ParametricPlotD` p = ParametricPlotD@8x, y, x + y <, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; Show@p, DisplayFunction $DisplayFunction, ViewPoint 8,, <, AspectRatio AutomaticD;H Nézzük a belsejét L -
anal implicit_es_integral.nb p = ParametricPlotD@8 + Cos@tD, Sin@tD, z<, 8t,, Pi<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8x, y, <, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; Show@p, p, p, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio AutomaticD; H Elforgatva is nézzünk bele! L Show@p, p, p, DisplayFunction $DisplayFunction, ViewPoint 8, 8, <, AspectRatio AutomaticD; H áttérünk polárkoordináta rendszerbe L x@r_, ϕ_d := r Cos@ϕD; y@r_, ϕ_d := r Sin@ϕD; H integrálunk, és itt is a végeredmény egy szám lesz L Integrate@Hx@r, ϕd + y@r, ϕd L r, 8ϕ, Pi ê, Pi ê <, 8r,, Cos@ϕD<D -
anal implicit_es_integral.nb - π
anal implicit_es_integral.nb H Egy másik gyakorlatpélda L ClearAll@x, x, y, y, z, z, n, r, x, y, z, f, F, vectorsd; x = ; y = ; z = ; x = ; y = ; z = ; F = 88z == x y <, 8x^+ y^ <, 8z == <<; << Graphics`ImplicitPlot` << Graphics`ParametricPlotD` p = ParametricPlotD@8x, y, x y <, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8Cos@tD, Sin@tD, z<, 8t,, Pi<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8x, y, <, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; Show@p, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio AutomaticD; Show@p, p, p, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio AutomaticD; - - 5-5
anal implicit_es_integral.nb 5 - - 5-5 Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio AutomaticD; x@r_, ϕ_d := r Cos@ϕD; y@r_, ϕ_d := r Sin@ϕD; Integrate@Hx@r, ϕd y@r, ϕd L r, 8ϕ,, Pi<, 8r,, <D H Ez nem térfogatot számol, mert a z tengely alatti rész térfogatát H L gyel szorozza! L H érdekes is az eredmény! L - - 5.5 -.5-5
anal implicit_es_integral.nb 6 p7 = Plot@x, 8x, x, x<, DisplayFunction IdentityD; H a z= síkmetszet L p8 = Plot@ x, 8x, x, x<, DisplayFunction IdentityD; p9 = ParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t,, Pi<, DisplayFunction IdentityD; H Felülnézetből L Show@p7, p8, p9, DisplayFunction $DisplayFunctionD; Integrate@Hx@r, ϕd y@r, ϕd L r, 8ϕ, Pi ê, Pi ê <, 8r,, <D H Az egyik negyedrész térfogata, ebből számítható a teljes térfogat L - - - - - - H L H Hármasintegrálok L H L
anal implicit_es_integral.nb 7 H Tetraéder tartomány L ClearAll@a, b, c, d, x, x, y, y, z, z, n, r, x, y, z, f, F, vectorsd; x = ; y = ; z = ; a = 6; b = ; c = ; d = ; x = d ê a + ; y = d ê b + ; z = d ê c + ; F = 88ax + by + cz d<, 8x <, 8y == <, 8z == <<; << Graphics`ImplicitPlot` << Graphics`ParametricPlotD` p = ParametricPlotD@8x, y, <, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8x,, z<, 8x, x, x<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8, y, z<, 8y, y, y<, 8z, z, z<, DisplayFunction IdentityD; p = ParametricPlotD@8x, y, Hd a x b ylêc<, 8x, x, x<, 8y, y, y<, DisplayFunction IdentityD; Show@p, p, p, p, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio AutomaticD; - 5.5 -.5-5 PlotD@Hd a x b ylêc, 8x, x, x<, 8y, y, y<, AspectRatio AutomaticD; p5 = GraphicsD@Polygon@88,, <, 8, d ê b, <, 8,, d ê c<<dd; H az x= síkmetszet L p6 = GraphicsD@Polygon@88,, <, 8d ê a,, <, 8,, d ê c<<dd; H az y= síkmetszet L p7 = GraphicsD@Polygon@88,, <, 8d ê a,, <, 8, d ê b, <<DD;H a z= síkmetszet L Show@p5, p6, p7, DisplayFunction $DisplayFunctionD; f@x_, y_d = x y;h Integráljuk ezt a függvényt a tetraéderen L Integrate@f@x, yd, 8x,, d ê a<, 8y,, Hd axlêb<, 8z,, Hd ax bylêc<d Integrate@f@x, yd, 8x,, d ê a<, 8z,, Hd axlêc<, 8y,, Hd a x c zlêb<dh A másik négy lehetőség HF! L
anal implicit_es_integral.nb 8 5.5 -.5-5 - 6 5 6 5
anal implicit_es_integral.nb 9 H Viviani test L << Graphics`ImplicitPlot` R = ; G = 8x + y + z R <; H = 8Hx RL + y R <; f@x_, y_d = z ê. Solve@G, zdpt p = ContourPlot@Re@f@x, ydd, 8x,, <, 8y,, <, DisplayFunction Identity, ContourLines False, Contours 5D; p = ImplicitPlot@H, 8x,, <, DisplayFunction Identity, PlotStyle 88Thickness@.D, Hue@.5D<<D; Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunctionD è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! x y.5 -.5 -.5.5 Graphics
anal implicit_es_integral.nb p = ParametricPlotDA8 Cos@ϕD Cos@θD, Sin@ϕD Cos@θD, Sin@θD<, 8ϕ,,π<, 9θ, π, π =, DisplayFunction IdentityE p = ParametricPlotD@8 + Cos@ϕD, Sin@ϕD, z<, 8ϕ,, π<, 8z,.,.<, DisplayFunction IdentityD Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunction, Boxed False, Axes FalseD IntegrateAf@x, yd, 8x,, <, 9y, "################ R ########### Hx RL, "################ R ########### Hx RL =E IntegrateA, 8x,, <, 9y, "################ R ########### Hx RL, "################ R ########## Hx RL =, 9z,, è!!!!!!!!!!!!!!!! R!!!!!!!!!!! x y =E GraphicsD GraphicsD GraphicsD 8 H + πl 9 8 H + πl 9 H feladat L H z=x y hiperbolikus paraboloidot ábrázold D ben, és számold ki azt a területet, amit az xy tengelysíkkal és az x +y = hengerpalásttal bezár L sik = ParametricPlotD@8, x, y<, 8x,, <, 8y,, <, DisplayFunction IdentityD; sik = ParametricPlotD@8x,, y<, 8x,, <, 8y,, <, DisplayFunction IdentityD; sik = ParametricPlotD@8x, y, <, 8x,, <, 8y,, <, DisplayFunction IdentityD; sik = ParametricPlotD@ 8Cos@tD Cos@uD, Sin@tD Cos@uD, Sin@uD<, 8t,, Pi<, 8u, Pi ê, Pi ê <D Show@sik, sik, sik, ViewPoint > 8.,.,.<, DisplayFunction $DisplayFunction, ImageSize D Show@sik, sik, sik, sik, ViewPoint > 8.,.,.<, ImageSize, DisplayFunction $DisplayFunctionD
anal implicit_es_integral.nb.5 -.5 -.5 -.5 - - -.5.5 GraphicsD.5 -.5 -.5 -.5 - - -.5.5 GraphicsD
anal implicit_es_integral.nb - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5 GraphicsD H Egység sugarú gömb térfogata Descartes koordinátarendszerben L π è!!!!!!!!!!! x è!!!!!!!!!!! x è!!!!!!!!!!!!!!!!!! x y è!!!!!!!!!!!!!!!!!! x y z y x H Órai példa Descartes koordinátarendszerben L H ugye, hogy érdemes áttérni gömbi koordinátarendszerre? L è!!!!!!!!!!! x è!!!!!!!!!!!!!!!!!! x y x y z z y x x + y + z
Implicit függvények ábrázolása www.wolframalpha.com, mivel ez Mathematica 6-os és 7-es parancsokat elfogad ContourPlot[x^/9+y^/(/)-==, {x, -, }, {y, -, }] ContourPlot[x^ + y^ - *x*y==, {x, -, }, {y, -, }] Ehhez a P (.5,.5) pontba érintőt húzva: ContourPlot[{x^ + y^ - *x*y==,y==-x+}, {x, -, }, {y, -, }] Integráláshoz segédlet (vizualizáció és végeredmény) ContourPlotD[{z = x^ - y^, x^ + y^ =, z = }, {x, -, }, {y, -, },{z,-,}] (tessék változtatgatni a határokat) Vagy akár egy többes integrált is beírhatunk: Integrate[(x*y*z)/(x^+y^+z^),{x,, },{y,,sqrt[-x^]},{z,,sqrt[- x^-y^]}]