3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága agyobb, mit az eredetié. Egyszer bb összefüggések számosságok között. A valós számok halmazáak számossága agyobb, mit az egészeké. A kotiuum-hipotézis. 1.2. Kombiatorikai alapfogalmak Permutáció, kombiáció, variáció, ismétléssel, ismétlés élkül. Biomiális együtthatók. A Pascal-háromszög. A Newto-féle biomiális tétel. Egyszer összefüggések a biomiális együtthatók között. HF: N =0 ( ) N N ( ) N = (1 + 1) N = 2 N ( 1) = (1 1) N = 0. =0 1.3. A valós számok axiómaredszere Adott a P és T m velet, és az L reláció a valós számoko. P kommutatív, asszociatív, létezik eutrális elem és iverz. T kommutatív, asszociatív, létezik eutrális elem és emulla elemekhez iverz. T disztributív P -re ézve. L trazitív, trichotóm, P mooto L-re ézve. T mooto L-re ézve. Arkhimédészi és Cator-féle axióma. P, T és L jeletése. Itervallumok. Az abszolútérték-függvéy. 1
1.4. Komplex számok A számfogalom fejl dése. Értelmezés valós számpároko végzett m veletekkel. i 2 = 1. Valós és képzetes rész. Megfeleltetés C és R 2 potjai között. 2. A egyedik el adás (II. 18.) Összeadás és parallelogramma-szabály. Abszolút érték. A kojugálás értlemezése és kapcsolata a m veletekkel, és a valós- és képzetesrész-képzéssel. i = i. Létezik gyöke 1-ek. Argumetum. Komplex szám algebrai alakja. Moivre-képlet: (re iϕ )(se iψ ) = (rs)e i(ϕ+ψ). Elforgatás: szorzás egységyi abszolút érték számmal. Egységgyökök. Az oldalú szabályos sokszög csúcsai. Komplex szám -edik gyökei. 2.1. Algebrai m veletek számérték függvéyekkel K := R vagy := C; f, g : A = K; összeg, szorzat, skalárszoros, háyados, valós és képzetes rész. Példák: számpárok, -esek, sorozatok. 2.2. Egyel tleségi relációk és számérték függvéyek f < g értelmezése. Ez a reláció trazitív és midkét m veletre ézve mooto, de em trichotóm. 3. A harmadik és egyedik gyakorlat: II. 26. 27. és III. 4.5. 3.1. Számosság 1. Az irracioális számok halmaza kotiuum számosságú. 2. A legfeljebb egyedfokú egész együtthatós poliomok halmaza megszámlálhatóa végtele. 2
3.2. Kombiatorikai alapfogalmak 1. Bizoyítsuk be az alábbiakat (ha valaki em átallja, kombiatorikai meggodolással): (a) ( r ( r)( k) = )( k ), r, k N; k r k r k (b) k=1 k( ) k = 2 1 (c) ( ) k < 1 1 k (Ebb l jö ki, hogy (1 + 1 2 k 1 ) < 3.) 3.3. A valós számok axiómaredszere Mutassuk rá többször (midig em lehet), hogy melyik lépésbe melyik axiómát haszáltuk. 1. Oldjuk meg az alábbi egyel tleségeket, és a megoldást ábrázoljuk a számegyeese: (a) 5x + 3 2 4x (b) 5x 1 4 x + 1 < 2 + 2x (c) 3(x + 1)(x + 2) > 0 (d) a 2 x 2 2x 5 0 (e) x 4 5x 2 + 4 > 0 (f) 4x 1 4x+1 < 1 (g) (x 1)(x+2) x+3 < x 2 (h) x2 5x+4 x 2 6x+7 > 0 2. Igazoljuk, hogy mide x, y R eseté (a) x + y < x + y (b) x y x y 3. Oldjuk meg az alábbi egyel tleségeket, és a megoldást ábrázoljuk a számegyeese: (a) 2x + 3 < 2 (b) 2 x 2 > 3 3
(c) x + 1 x 1 < 1 (d) x(1 x) < 0.05 (e) x(1 x) < 0.25 3.4. Számhalmaz alsó és fels határa Határozzuk meg az alábbi halmazok szuprémumát és imumát! Eleme-e a szuprémum, az imum, vagy midkett a halmazak? 1. B := { m ; m, N, m < } R 2. A 1 := { 3, 2, 0, 1} 3. A 1 := { 1, 0, 2} 4. A 3 := { 1, 0, 1} 5. A 4 := { 2, 0} 6. A 5 := {0, 2} 7. B ij := {xy; x A i, y A j }, ahol A i i = 1, 2, 3, 4, 5 a feti. 8. A := { +1 ; N} 9. A := { 1 ; N} {1 + 1 ; N} 3.5. Komplex számok 1. Egyszer algebrai (kaoikus) alakjuk? (a) ( 2 i) i(1 i 2) (b) 1+2i + 2 i 3 4i 5i (c) (1 i) 4 + (2+i)2 3 4i (d) 3 1 1+i 1 i 2. Trigoometrikus vagy expoeciális alakjuk? (a) ( 1 + i) 7 4
(b) 2i (c) 6 8 (d) ( 1) 3 4 3. Szabályos háromszög középpotja az origó, egyik csúcsa 1 + i. Másik két csúcspotja? 4. Bizoyítsuk be: (a) w, z C w + z w + z (b) z C z = x + iy = 2 z x + y (c) z C z = 1 z 1 = Re( 1 1 z ) = 1 2 (d) z C z + Re(z) 1 5. Oldjuk meg: (a) z z = 1 + 2i (b) (1 + i)x 1 x 2 + (1 i)x 3 = i x 1 + ix 2 x 3 = 1 (c) z 6 + 16z 2 = 0 (d) z 5 (1 + i)z = 0 6. Legye f() := ( 1+i 2 ) + ( 1 i 2 ) és f( + 4) között. ( N). Keressük kapcsolatot f() 7. cos(4x) =? Útmutatás: Re((cos(x) + i si(x)) 4 ) (Mivel a trigoometrikus függvéyek emlieárisak, ezért tegyük az argumetumukat zárójelbe. A komplex számok kedvéért ismertek tételezzük fel ket, de majd értelmezi is fogjuk emsokára; hatváysorokkal.) 8. Ábrázoljuk: (a) {z C; z i = 2} (b) {z C; Re(z) = 1} (c) {z C; Im(z) > 1} (d) {z C; π < arg(z) π, 1 < z 2} 4 2 5
3.6. Algebrai m veletek számérték függvéyekkel 1. Mutassuk meg, hogy R 2, K, K N lieáris tér (de e haszáljuk ezt a kifejezést.) 2. Mutassuk meg, hogy tetsz leges em üres A halmaz eseté K A test. 3. Ivertálható-e: (a) C z z R + 0 (b) N 2? 3.7. Egyel tleségi relációk és valós érték függvéyek Mutassuk meg, hogy a komplex számok halmazá em lehet értelmes módo (vagyis a m veletekre ézve mooto) redezést bevezeti. (Például így: i > 0 = 1 > 0 = 1 > 0 = 0 > 0.) 6