STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A anagi pont fogalma (1) 5. A erő értelmeése (1) 6. Koncentrált erő adott pontra sámított nomatékának értelmeése. (Magaráó ábrát is késítsen.) (2) 7. Koncentrált erő tengelre sámított nomatékának értelmeése. (Magaráó ábrát is késítsen.) (2) 8. Össefüggés adott erő (erőrendser) két pontra sámított nomatékai köött. (Magaráó ábrát is késítsen.) (2) 9. Tengel egenlete Plücker vektorokkal. (Magaráó ábrát is késítsen.) (2) 10. Erőrendser redukált vektorkettőse (2) 11. Két erőrendser egenértékűségének értelmeése (2) 12. A egenértékűség kritériumai (4) 13. Egensúli erőrendser értelmeése (2) 14. Erőrendser egensúli voltának kritériumai (4) 15. Erőrendser centrális egenesének értelmeése (egik a 2 féle válas köül) (2) 16. A centrális egenes egenlete (2) 17. A centrális egenes origóho legköelebb fekvő pontjának helvektora (a sámítási képlet) (2) 18. Erőrendserek ostáloása redukált vektorkettősük alapján (4) 19. Párhuamos erőrendser vektorköéppontját értelmeő képlet (2) 20. A súlpont értelmeése (1) 21. Reciprok vektorhármas értelmeése (3) 22. Tengelek lineáris függetlenségének értelmeése (3) 23. Három nem párhuamos erő egensúlának feltételei (2) 24. Két erő egensúlának feltételei (2) 25. Tetsőleges térfogaton megosló erőrendser eredő vektorkettősének sámítási képletei. (Magaráó ábrát is késítsen.) (3) 26. Tetsőleges felületen megosló erőrendser eredő vektorkettősének sámítási képletei. (Magaráó ábrát is késítsen.) (3) 27. Tetsőleges vonal mentén megosló erőrendser eredő vektorkettősének sámítási képletei. (Magaráó ábrát is késítsen.) (3) 28. Egenletesen megosló terhelés eredője és centrális egenese (2) 29. Háromsögalakú terhelés eredője és centrális egenese (2) 30. Parabolalakú terhelés eredője és centrális egenese a parabola csúcspontjában érus a terhelés, a csúcspont a intervallum kedőpontjában van (2) 31. Parabolalakú terhelés eredője és centrális egenese a parabola csúcspontjában maimális a terhelés, a csúcspont a intervallum kedőpontjában van (2) 32. Test origóra sámított statikai nomatékának értelmeése (2) 33. Test koordináta síkokra sámított statikai nomatékának értelmeése (3) 34. Össefüggés két pontra sámított statikai nomaték köött (2) 35. A tömegköéppont értelmeése (1) 36. A tömegköéppont origóra vonatkotatott helvektorának sámítása (2)
2 37. Geometriai alakatok (térfogati tartomán, felület és görbe) origóra vett statikai nomatékának értelmeése (3 2) 38. A statika főtétele, a tartós nugalom sükséges feltétele (2) 39. A tartós nugalom elégséges feltétele (2) 40. A statika alapfeladata (2) 41. A statikailag határoott és statikailag határoatlan serkeet fogalma (4) 42. Milen feltételek esetén érvénes a Coulomb-féle súrlódási törvén? (3) 43. A Coulomb-féle súrlódási törvén. (Magaráó ábrát is késítsen.) (4) 44. A egserű serkeet definíciója (2) 45. A össetett serkeet definíciója (2) 46. A rúd definíciója (2) 47. A rúd köépvonalának értelmeése (2) 48. A rúdserkeet definíciója (1) 49. A rácsos tartó definíciója (2) 50. A igénbevételek értelmeése (2) 51. A igénbevételek előjelsabála síkbeli ábrákon történő semléltetéssel (3) 52. A igénbevételek előjelsabála térbeli ábrákon történő semléltetéssel (3) 53. Síkbeli terhelésű egenes rúd egensúli egenletei differenciális alakban (2) 54. Síkbeli terhelésű egenes rúd egensúli egenletei integrál alakban (2) 55. Térgörbe rúd egensúli egenletei (2+2) 56. A ideális kötél (2) 57. Kötélerő sámítása körhengeren csúsó kötél esetén (2)
STATIKA A minimum test statika kérdéseinek megoldásai 1. A modell olan idealiált test vag testekből álló rendser, melre néve csak a visgálat sempontjából léneges tulajdonságokat tartjuk meg, a visgálat semsögéből nem léneges tulajdonságokat pedig elhagjuk. 2. A silárd test bármel anagi pontjára iga, hog a tekintett anagi pont és a körneetében lévő többi anagi pontok egmásho visonított elrendeettsége (eltérve a foladékoktól és gáoktól) váltoatlan marad a test mogása során. A test alakváltoásra képes. 3. A merev test olan silárd test melben bármel két pont távolsága állandó marad a test mogása során. 4. A anagi pont olan test melnek méretei a visgálat semsögéből elhanagolhatóak. Mogása egetlen pontjának mogásával jellemehető. 5. A erő két test kölcsönhatása. A műsaki mechanikában a kölcsönhatás többnire felületi érintkeéssel jön létre. 6. Legen P a F koncentrált erő támadáspontja. A F erő A pontra vett nomatékát (P 6= A) a M A = r AP F össefüggés értelmei. Itt r A a A pont, r P a P pont, r AP = r P r A pedig a erő P támadáspontjának A pontra vonatkotatott helvektora. 7. Legen P a F koncentrált erő támadáspontja. Jelölje A a tengel eg pontját. Legen M A a erőnomatékaaa pontra. Legen továbbá a a a tengel iránvektora. A F erő a tengelre sámított nomatékát a a m a = M A a = M A e a össefüggés értelmei. 8. Legen M A és M B a F koncentrált erő [vag adott erőrendser (ennek eredőjét ugancsak F jelöli)] nomatéka a egmástól különböő A és B pontokra. A r AB a B pont A pontra vonatkotatott, r BA = r AB pedig a A pont B pontra vonatkotatott helvektora. A M B = M A + F r AB egenlet a két pontra sámított nomatékok köötti össefüggés. A össefüggés M B = M A + r BA F alakja savakban is megfogalmaható. Eserint a B pontra vett nomaték egenlő a A pontra vett nomaték plus a A pontba átheleett erő(eredő) nomatéka a B pontra. 9. Jelölje a a tengel iránvektorát. Legen P 1 a tengel eg rögitett pontja. A tengel eg tetsőleges pontjának (a P futópontnak) r, ap 1 pontnak pedig r 1 a helvektora. A egenes vektor egenlete a a r + b =0 alakban írható fel, ahol b = r 1 a a iránvektor nomatéka a origóra. 10. A P i pontokban (i =1, 2,..., n)működő F i erők és M i nomatékok egikük érus is lehet össessége a erőrendser fogalmának eg általánosítása. A P i pont A pontra vonatkotatott helvektora r AP i. A íg értelmeett erőrendser redukált vektorkettősét (erőkettősét) a [F(A), M A ] 3
4 módon jelöljük. Itt F(A) =F = a erőrendser eredő vektora (a erőrendser eredője), nx F i M A = nx (M i + r AP i F i ) pedig a erőrendser A pontra sámított nomatéka (eredő nomaték). 11. Két erőrendser akkor egenértékű, ha a nomatéki vektortereik aonosak. 12. Egenértékűségi kritériumok. A {első} [második] erőrendserrel kapcsolatos menniségeket {eg vesső} [kettő vesső] jelöli. Három kritériumrendser hasnálatos: I. Kritérium: Legen a A tetsőleges de rögített pont. Ha fennállnak a F 0 (A) =F 00 (A), M 0 A = M 00 A egenletek, aa ha megegeik a A pontban a két erőrendser redukált vektorkettőse, akkor a két erőrendser egenértékű. II. Kritérium: Legen a A, B és C a tér három, nem eg egenesre eső (nem kollineáris) pontja. Ha fennállnak a M 0 A = M 00 A, M 0 B = M 00 B, M 0 C = M 00 C egenletek, aa ha megegeik a két erőrendser A, B és C pontokra sámított nomatéka, akkor a két erőrendser egenértékű. III. Kritérium: Jelölje i (i =1, 2,..., 6) atértetsőleges hat lineárisan független tengelét. Ha fennállnak a m 0 i = m 00 i (i =1, 2,..., 6) egenletek, aa ha megegeik a két erőrendser hat lineárisan független tengelre sámított nomatéka, akkor a két erőrendser egenértékű. 13. Egensúli a erőrendser, ha érus nomatéki vektorteret ho létre. 14. Kritériumok a erőrendser erőrendser egensúli voltára. Három kritériumrendser hasnálatos: I. Kritérium: Legen a A tetsőleges de rögített pont. Ha fennállnak a F(A) =0, M A =0 egenletek, aa ha érus a erőrendser redukált vektorkettőse a A pontban, akkor a erőrendser egensúli. II. Kritérium: Legen a A, B és C a tér három, nem eg egenesre eső (nem kollineáris) pontja. Ha fennállnak a M A =0, M B =0, M C =0 egenletek, aa ha érus a erőrendser A, B és C pontokra sámított nomatéka, akkor a erőrendser egensúli
III. Kritérium: Jelölje i (i =1, 2,..., 6) atértetsőleges hat lineárisan független tengelét. Ha fennállnak a m i =0 (i =1, 2,..., 6) egenletek, aa ha érus a erőrendser hat lineárisan független tengelre sámított nomatéka, akkor a erőrendser egensúli. 15. 1. Definíció: A centrális egenes aon pontok mértani hele, ahol a erőrendser eredő erővektora és eredő nomatékvektora egmással párhuamos. 2. Definíció: A centrális egenes aon pontok mértani hele, ahol érus a erőrendser eredő nomatékának a eredő erővektorra merőleges össetevője. 16. Legen P a centrális egenes futópontja és jelölje r = r OP a futópont origóra vonatkoó helvektorát. A erőrendser eredőjét F, origóra sámított nomatékát M 0 jelöli. A centrális egenes egenlete: µ F r + M 0 =0 M 0 = 1 F F (M 2 0 F) 17. Legen F a erőrendser eredője, és jelölje M 0 a erőrendser origóra sámított nomatékát. A centrális egenes origóho legköelebb fekvő C pontjának r 0C = F M 0 F 2 a helvektora. 18. Erőrendserek ostáloása redukált vektorkettősük alapján: 1.a. F = 0 M A =0 Egensúli ER 1.b. F = 0 M A 6=0 Erőpár 2.a. F 6= 0 F M A =0 Egetlen erővel egenértékű ER 2.b. F 6= 0 M A 6=0és F M A 6=0 Erőcsavar 19. Legen r oi a F i = F i e erővektor támadáspontjának helvektora. (i =1, 2,..., n; e a erők köös iránvektora.) A párhuamos erőrendser vektorköéppontját a np r 0i F i r 0K = np F i egenlet értelmei. Vegük ésre, hog r 0K független e től. Ha a vektorköéppont P léteik, aa n F i 6=0akkor a vektorköéppontban a erőrendser a eredőjével helettesíthető. 20. A súlpont a súlerőrendser, mint párhuamos erőrendser vektorköéppontja. 21. Legen a i (i =1, 2, 3) atéregp pontjáho kötött. Feltételeük, hog a a i vektoroknak nincs köös síkja, aa a o =(a 1 a 2 ) a 3 6=0. E esetben a a i vektorok báist alkotnak a P pontban, aa bármel vektor előállítható a a i vektorok eg lineáris kombinációjaként. A a i vektrokho tartoó reciprok báist (reciprok vektorokat) a a 1 = a 2 a 3, a o a 2 = a 3 a 1, a o a 3 = a 1 a 2 a o képletek értelemeik. Könnű elenőrini, hog ½ 0 ha i 6= j a i a j = (i, j =1, 2, 3). 1 ha i = j 5
6 22. A a i r + b i =0 (i =1, 2,..., 6) tengelek lineárisan függetlenek, ha a a i és b i vektorokból össeállított determinánsra néve fennáll, hog a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 6= 0. b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 23. Három nem párhuamos erő egensúli erőrendsert alkot (egensúlban van), ha aháromerő mint vektor árt háromsöget alkot, a háromsögben foltonos a erővektorok nílfolama és aerők hatásvonalai eg pontban metsik egmást. 24. Két erő egensúli erőrendsert alkot (egensúlban van), ha köös a hatásvonaluk, aonos a absolut értékük és ellentétes a iránuk. 25. Legen V a visgált test által kitöltött térfogati tartomán. Jelölje q a V térfogaton megosló erőrendser sűrűségvektorát. A q sűrűségvektor a hel, aa a origóra vonatkotatott r helvektor függvéne. A térfogaton megosló erőrendser origóba redukált eredő vektorkettőse a F = q(r) dv, M 0 = r q(r) dv képletekből sámítható. 26. Legen A eg kétmértű tartomán (felület). Jelölje p a A felületen megosló erőrendser sűrűségvektorát. A p sűrűségvektor a hel, aa a origóra vonatkotatott r helvektor függvéne. A felületen megosló erőrendser origóba redukált eredő vektorkettőse a F = p(r) da, M 0 = r p(r) da (A) képletekből sámítható. 27. Legen L egmértű tartomán (görbe vag egenes vonal). Jelölje f a L görbén (vonalon) megosló erőrendser sűrűségvektorát. A f sűrűségvektor a hel, aa a origóra vonatkotatott r helvektor függvéne. A görbén (vonalon) megosló erőrendser origóba redukált eredő vektorkettőse a F = f(r) ds, M 0 = r f(r) ds (A) (L) képletekből sámítható. 28. A ábra jelöléseivel F (L) O L/2 C f L
7 F = Lf a ered és a centrális egenes a C = L/2 pontban metsi a tengelt. 29. A ábra jelöléseivel F f O 2L/3 C L F = Lf/2 a eredő és a centrális egenes a C =2L/3 pontban metsi a tengelt. 30. A ábra jelöléseivel F f O 3L/4 C L F = Lf/3 a eredő és a centrális egenes a C =3L/4 pontban metsi a tengelt. 31. A ábra jelöléseivel F f O 3L/8 C L F =2Lf/3 a eredő ésacentrálisegenesa C =3L/8 pontban metsi a tengelt. 32. Legen V a visgált m tömegű test által kitöltött térfogati tartomán. Jelölje ρ a test sűrűségét. A ρ sűrűség általános esetben a hel, aa a origóra vonatkotatott r helvektor függvéne. A origóra sámított statikai nomatékot a S O = r {} dm = r ρdv ρdv képlet értelmei. (m)
8 33. Felhasnálva a előő kérdésre adott válast a, és koordináta síkokra sámított statikai nomatékokat a S = S O e = dm= ρ dv, (m) S = S O e = dm= ρ dv, (m) S = S O e = dm= ρdv (m) képletek értelmeik. 34. Legen S A és S B adott anagi pontrendser [m i (i = 1,..., n) aegesanagi pontok tömege] vag eg test [ Ω a test által kitöltött tartomán (e vag V,vag A, vagpedig L), ρ a tartománra vonatkotatott sűrűség, dω a tartomán elem (e vag dv, vag da, vagpedig ds)] statikai nomatéka a egmástól különböő A és B pontokra. A r AB a B pont A pontra vonatkotatott, r BA = r AB pedig a A pont B pontra vonatkotatott helvektora. A S B = S A mr AB egenlet a két pontra sámított nomatékok köötti össefüggés. Itt nx m = m i vag m = dm = ρdω. A össefüggés (m) S B = S A + mr BA alakja savakban is megfogalmaható. Eserint a B pontra vett statikai nomaték egenlő a A pontra vett statikai nomaték plus a A pontba koncentrált teljes tömeg statikai nomatéka a B pontra. 35. A tömegköéppont a a pont, amelre a visgált anagi pontrendsernek vag testnek érus a statikai nomatéka. 36. Legen S O a visgált m tömegű anagi pontrendser vag test statikai nomatéka a origóra. A tömegköéppont origóra vonatkotatott helvektorát a r OT = S O m képlet adja. 37. Legen V a visgált térfogati tartomán és r a helvektor. A V tartomán origóra vett statikai nomatékát a S O = r dv integrál értelmei. Legen A a visgált kétméretű tartomán (felület) és r a helvektor. A A felület origóra vett statikai nomatékát a S O = r da (A) (Ω)
integrál értelmei. Legen L a visgált egméretű tartomán (görbe vag egenes vonal) és r ahelvektor. A L görbe origóra vett statikai nomatékát a S O = r ds (L) integrál értelmei. 38. A statika főtétele kimondja, hog eg merev test,vag eg merev testekből álló rendser csak akkor lehet tartós nugalomban, ha a reá ható teljes külsőerőrendser terhelések és támastóerők egensúli erőrendsert alkot. 39. A tartós nugalom elégséges feltétele, hog a visgált test vag merev testekből álló rendser úg legen megtámastva, hog semilen mogást ne tudjon végeni, ha erők hatnak rá. 40. A statika alapfeladata egetlen merev test, vag merev testekből álló serkeet esetén a támastóerők és nomatékok, a támastóerők és nomatékok, valamint a serkeetet alkotó testek köött fellépő belső erők meghatároása statikai módserekkel (egensúli egenletek felhasnálásával). 41. A visgált serkeetet (egetlen merev testet, vag merev testekből álló rendsert) statikailag határoottnak neveük, ha a statikai ismeretlenek (támastóerők és nomatékok, támastóerők és nomatékok, valamint belső erők) sáma megegeik a statikai egenletek sámával. A visgált serkeetet (egetlen merev testet, vag merev testekből álló rendsert) statikailag határoatlannak neveük, ha a statikai ismeretlenek (támastóerők- és nomatékok, támastóerők- és nomatékok, valamint belső erők) sáma nagobb mint a statikai egenletek sáma. 42. A Coulomb féle súrlódási törvén a követkeő feltételek mellett érvénes: a érintkeő testek merevnek tekinthetők, a érintkeés sík felület mentén jön létre, a testek köött nincs kenőanag (sára surlódás). 43. A baloldali ábra a érintkeő testeket semlélteti, a jobboldali ábra a F t u elmodulás diagram. 9 F n Ft u F t krit F t 1 2 mikró csúsás makró csúsás u A érintkeő testeket össesorító F n erő állandó. A visintes F t erő értékét fokoatosan növeljük. A tapastalat serint a érintkeő testek köött nag relatív u elmodulások jöhetnek létre, ha a F t elér eg kritikus értéket. A kritikus F t erő arános a testeket össenomó F n normál erővel: F tkr = µ 0 F n A µ 0 aránossági téneő a nugvásbeli súrlódási téneő. Ha a felső test moog, akkor F t = µf n µ µ 0 ahol µ a mogásbeli súrlódási téneő.
10 44. Egserű serkeetről besélünk, ha a serkeet eg merev testből áll. 45. Össetett serkeetről besélünk, ha a serkeet több merev testből áll. 46. A rúd olan merev test amelnek eg jellemő mérete sokkal nagobb mint a másik két jellemő mérete. A mechanikai modellalkotás során a rúdat eg vonallal (köépvonallal, súlponti sállal) helettesítjük és a rúd mechanikai viselkedésére jellemő menniségeket ehhe a vonalho kötjük. 47. A rúd köépvonala a rúd kerestmetseteinek súlpontjait össekötő vonal. 48. A rudserkeet rudakból álló össetett serkeet. 49. A rácsos tartó modellje olan rudserkeet melben a eges rudak végpontjai csuklóval kapcsolódnak egmásho és a serkeetre csak a csuklópontokban hatnak külső erők. 50. A rúd adott kerestmetsetének igénbevételei alatt a kerestmetseten megosló belső erőrendser kerestmetset S súlpontjába redukált eredő vektorkettősének komponenseit értjük adott előjelsabállal véve eeket. Poitív normálisú kerestmetsetben F s = T e T e + N e M s = M h e M h e + M c e a belső erőrendser kerestmetset S súlpontjába redukált eredő vektorkettőse. Itt T, T és N rendre a, iránú níróerő ésaruderő, M h, M h és M c rendre a és iránú hajlítónomaték illetve a csavarónomaték. 51. A előő kérdésre adott válas alapján a síkbeli ábra a eges igénbevételek előjelsabálát semlélteti: N> 0 M c > 0 T,T > 0 M h,m h > 0 52. A 46. kérdésre adott válas alapján a térbeli ábra a eges igénbevételek előjelsabálát semlélteti: T =-F S N=F S M h =M M c =M T =-F M h =-M
11 53. A síkbeli terhelésű egenes rúd egensúli egenleteit differenciális alakban a dt d = f dm h (), = T () d egenletek alkotják f () a megosló terhelés sűrűsége, T () aníróerő, M h () a hajlítóigénbevétel. 54. A síkbeli terhelésű egenes rúd egensúli egenleteit integrál alakban a T () T 0 = f (ζ)dζ, M h () M h0 = T (ζ)dζ 0 0 egenletek alkotják f () amegoslóterheléssűrűsége, T () és T 0 aníróerőa illetve a 0 pontban, M h () és M h0 a hajlítóigénbevétel illetve a 0 pontban. 55. Jelölje rendre s és t a rúd köépvonala mentén mért ívkoordinátát és a köépvonal érintőiránú egségvektorát. Legen F S (s) és M S (s) a rúdkerestmetseten megosló belső erőrendser eredője és a kerestmetset súlpontjára vett nomatéka. Legen továbbá f(s) és m(s) a rúd köépvonalán megosló külső erő-, és erőpárrendser. Eekkel a jelölésekkel df S (s) + f(s) =0, ds dm S (s) + t F S (s)+m(s) =0 ds a egensúli egenletek. 56. A ideális kötél tökéletesen hajlékon, nújthatatlan és csak húásra vehető igénbe (nincs ellenállása a nomóerővel semben). 57. Jelölje ϕ ϕ 0 annak a ívnek a köponti sögét, amelen a kötél moog itt ϕ és ϕ 0 rendre a ív vég-, illetve kedőpontjáho tartoó polársög. Legen továbbá N és N 0 a vég-, illetve kedőpontbeli kötélerő. Eekkel a jelölésekkel N = N 0 e ±µ(ϕ ϕ 0) ahol a növekvő polársög iránú mogásho a +, a eel ellenkeő iránúmogás- ho a - előjel tartoik.