1. Monotonitas, konvexitas

1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat eredmenyeb}ol kovetkeztessunk szels}oertek-helyre! a) f (x) = 3p x x B I b) f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) I x ln x ha 0 < x c) f (x) = I 0 ha x = 0 3 Mely intervallumokon konvexek illetve konkavak az alabbi fuggvenyek? Keressunk inexios pontot! a) f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) B I b) f (x) = (x+1)2 x 1 I c) f (x) = x 2 e x I d) f (x) = x + 2 sin x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 1 / 81

2. Szels}oertek 4 Keressuk meg az alabbi fuggvenyek lokalis szels}oertek-helyeit! a) f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 B I b) f (x) = (x 1) 3 e x+2 I c) f (x) = sin x + tg x I 5 Melyik a legnagyobb terulet}u teglalap, aminek a kerulete 100m? B I 6 Egy 10 cm 20 cm meret}u teglalap alaku lemezb}ol akarunk a lehet}o legnagyobb terfogatu felul nyitott teglatest alaku dobozt keszteni, a sarkokbol torten}o negy egybevago negyzet kivagasa utan, az oldalak felhajtasaval. Mekkora legyen a kivagott negyzetek oldala? I 7 Milyen magas es milyen atmer}oj}u legyen az a 100 l terfogatu henger alaku tartaly, melynek felszne a legkisebb? I 8 Honnan kell kapura l}onie a labdarugo palya szelen lev}o jatekosnak, hogy a kapu eltalalasa a legkonnyebb legyen, vagyis ahonnan legnagyobb szogben latja a 7.23m szeles golvonalat, ami az oldalvonaltol 20m tavolsagra van. I 9 Hogyan juthat a medence szelen allo uszomester legrovidebb id}o alatt a bajbajutotthoz, ha az t}ole d m tavolsagra ugrott a vzbe, es a medence szelet}ol h m tavolsagra van, amikor segtseget ker. Az uszomester sebessege a parton v p, vzben v v [m/s]. I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 2 / 81

3. Fuggveny grakonja i) Vizsgaljuk meg, es abrazoljuk a kovetkez}o fuggvenyeket! B 10 11 a) f (x) = x 5 3x 2 I b) f (x) = 7 8x 2 + x 4 I c) f (x) = x 3 + 48 x I x+1 a) f (x) = 8 (x 1) 2 I b) f (x) = x 2 +1 x 1 I c) f (x) = 2x 3 x 2 +x 2 I 12 a) f (x) = (2x 1) 3 q(x + 2) 2 I b) f (x) = 3p x 3 1 I c) f (x) = 3p x 1 x 2 I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 3 / 81

4. Fuggveny grakonja ii) Vizsgaljuk meg, es abrazoljuk a kovetkez}o fuggvenyeket! 13 14 15 a) f (x) = x e p x I b) f (x) = e 1 x 1+x I c) f (x) = x 2 ln x I d) f (x) = x ln(e + x 1 ) I a) f (x) = 2 sin x + sin 2x B I b) f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x I c) f (x) = 1 + x cos 2 x I d) f (x) = 1 sin 1 x I a) f (x) = e arctg x I b) f (x) = arccos 1 x I c) f (x) = x tg x B I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 4 / 81

1.a) Utmutatas Keressuk meg az egyenlet gyokeit! f 0 (x) = 0 x 2 D f 0 Az ertlemezesi taromany folytonossagi intervallumait osszuk fel a derivalt zerushelyeivel, es vizsgaljuk a derivalt el}ojelet az gy nyert reszintervallumokon! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 5 / 81

2.a) Utmutatas A monotonitas, es a monotonitasi intervallumok vegpontjaiban a fuggveny ertek illetve hatarertek segtsegevel kovetkeztessunk! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 6 / 81

3.a) Utmutatas Keressuk meg az egyenlet gyokeit! f 00 (x) = 0 x 2 D f 00 Az ertlemezesi taromany folytonossagi intervallumait osszuk fel f 00 zerushelyeivel, es vizsgaljuk f 00 el}ojelet az gy nyert reszintervallumokon! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 7 / 81

4.a) Utmutatas Keresuk meg az egyenlet gyokeit! f 0 (x) = 0 x 2 D f 0 Vizsgaljuk ezekben a pontokban a masodik (esetleg harmadik,...) derivalt erteket! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 8 / 81

5. Utmutatas A vizsgalt mennyiseget (vagy annak monoton fuggvenyet) rjuk fel egy ismeretlen adat fuggvenyekent: x 7! f (x) x 2 D f Keressuk f legnagyobb ill. legkisebb erteket! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 9 / 81

10. Utmutatas Adjuk meg a D f ertelmezesi taromany reszintervallumait, ahol f folytonos! Keressuk meg a tengelymetszeteket, es hatarertekeket az intervallumok vegpontjaiban! Keressunk szimmetria tulajdonsagot (paritas vizsgalat), illetve periodikus tulajdomsagot, ha van! Keressunk "ferde" asszimptotat, ha van! Vegezzunk monotonitas vizsgalatot, keressunk szels}oertek-helyeket! Vegezzunk konvexitas vizsgalatot, keressunk inexios pontokat! Vazoljuk a fuggveny grakonjat! Allaptsuk meg az ertekkeszletet, es adjuk meg a fuggveny legnagyobb illteve legkisebb erteket, ha van! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 10 / 81

14.a) Utmutatas Vegezzuk a vizsgalatot a fuggveny ertelmezesi tartomanyanak egy teljes periodusaban! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 11 / 81

15.c) Utmutatas Az els}o es masodik derivaltak zerushelyeit keressuk a derivaltak "eleg s}ur}u" helyen kesztett ertek-tablazata segtsegevel! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 12 / 81

1.a) Megoldas f (x) = x 2 (x 3) D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 13 / 81

1.a) Megoldas f (x) = x 2 (x 3) D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 + 0 0 + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 13 / 81

1.a) Megoldas f (x) = x 2 (x 3) D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 Tehat f szigoruan monoton n}o a ] csokken}o a [0; 2] intervallumon. x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 + 0 0 + ; 0] es [2; + [, szigoruan monoton x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 13 / 81

1.b) Megoldas f (x) = x x 5 D f = D f 0 = R r f5g f 0 (x) = 5 (x 5) 2 = 0!? Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 14 / 81

1.b) Megoldas f (x) = x x 5 D f = D f 0 = R r f5g f 0 (x) = 5 (x 5) 2 = 0!? x ] ; 5[ ]5; + [ f 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 14 / 81

1.b) Megoldas f (x) = x x 5 D f = D f 0 = R r f5g f 0 (x) = 5 (x 5) 2 = 0!? x ] ; 5[ ]5; + [ f 0 Tehat f szigoruan monoton csokken}o a ] ; 5[ es ]5; + [ intervallumon.x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 14 / 81

1.c) Megoldas f (x) = (x 2) p x D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = p x + (x 2) 2 p x = 3x 2 2 p x = 0! x = 2 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 15 / 81

1.c) Megoldas f (x) = (x 2) p x D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = p x + (x 2) 2 p x = 3x 2 2 p x = 0! x = 2 3 x 0 ]0; 2 3 [ 2 3 ] 2 3 ; + [ f 0? 0 + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 15 / 81

1.c) Megoldas f (x) = (x 2) p x D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = p x + (x 2) 2 p x = 3x 2 2 p x = 0! x = 2 3 x 0 ]0; 2 3 [ 2 3 ] 2 3 ; + [ f 0? 0 + Tehat f szigoruan monoton csokken}o a [0; 2 3 [, es szigoruan n}o a ] 2 3 ; + [ intervallumon. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 15 / 81

1.d) Megoldas f (x) = e 6x3 3x 2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 3x 2 1 e 6x3 3x 2 = 0! x 1 = 0 x 2,3 = 1 p 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 16 / 81

1.d) Megoldas f (x) = e 6x3 3x 2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 3x 2 1 e 6x3 3x 2 = 0! x 1 = 0 x 2,3 = 1 p 3 x ] ; 1 p3 [ 1 p3 ] 1 p3 ; 0[ 0 ]0; 1 p3 [ 1 p3 ] 1 p 3 ; + [ f 0 0 + 0 0 + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 16 / 81

1.d) Megoldas f (x) = e 6x3 3x 2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 3x 2 1 e 6x3 3x 2 = 0! x 1 = 0 x 2,3 = 1 p 3 x ] ; p3 1 [ p3 1 ] p3 1 ; 0[ 0 ]0; p3 1 [ p3 1 ] p 1 ; + [ 3 f 0 0 + 0 0 + Tehat f szigoruan monoton csokken}o a ] ; p3 1 ], [0; p3 1 ] es szigoruan n}o a [ p3 1 ; 0], [ p 1 ; + [ intervallumon. 3 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 16 / 81

2.a) Megoldas f (x) = 3p x x D f = R D f 0 = R r f0g f 0 (x) = 1 3 3p x 2 1 = 0! x 1,2 = 1 p 27 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 17 / 81

2.a) Megoldas f (x) = 3p x x D f = R D f 0 = R r f0g f 0 (x) = 1 3 3p x 2 1 = 0! x 1,2 = 1 p 27 x ] ; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; 0[ 0 ]0; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; + [ f 0 0 +? + 0 f & 2 3 p % 0 % 2 3 3 p 3 & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 17 / 81

2.a) Megoldas f (x) = 3p x x D f = R D f 0 = R r f0g f 0 (x) = 1 3 3p x 2 1 = 0! x 1,2 = 1 p 27 x ] ; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; 0[ 0 ]0; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; + [ f 0 0 +? + 0 f & 2 3 p % 0 % 2 3 3 p 3 Mivel lim x! f (x) = + es lim x! f (x) =, az x = 1 p 27 pont lokalis minimum-hely, de nincs globalis minimum. Az x = p 1 pont lokalis 27 maximum-hely, de nincs globalis maximum. x & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 17 / 81

2.b) Megoldas f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) D f = [ 1; 1] D f 0 =] 1; 1[ f 0 (x) = 1 p 1 x 2 p p 2x = 0! x = 3 1 x 4 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 18 / 81

2.b) Megoldas f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) D f = [ 1; 1] D f 0 =] 1; 1[ f 0 (x) = 1 p 1 x 2 p p 2x = 0! x = 3 1 x 4 3 p 3 3 [ p 3 3 ] p 3 3 ; +1[ 1 x 1 ] 1; f 0? + 0? f π % 0.276 & 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 18 / 81

2.b) Megoldas f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) D f = [ 1; 1] D f 0 =] 1; 1[ f 0 (x) = 1 p 1 x 2 p p 2x = 0! x = 3 1 x 4 3 p 3 x 1 ] p 1; 3 3 [ 3 p ] 3 3 ; +1[ 1 f 0? + 0? f π % 0.276 & 0 Mivel f ( 1) = π, es f (1) = 0, az x = 3 pont lokalis es globalis maximum-hely. Az x = 1, 1 hely lokalis minimum-hely, amib}ol a globalis minimum-hely x = 1. x p 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 18 / 81

2.c) Megoldas x ln(x) ha 0 < x f(x) = 0 ha x = 0 D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = ln(x) + 1 = 0! x = 1 e Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 19 / 81

2.c) Megoldas x ln(x) ha 0 < x f(x) = 0 ha x = 0 D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = ln(x) + 1 = 0! x = 1 e x 0 ]0; 1 e [ 1 e ] 1 e ; + [ f 0? 0 + f 0 & 1 e % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 19 / 81

2.c) Megoldas x ln(x) ha 0 < x f(x) = 0 ha x = 0 D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = ln(x) + 1 = 0! x = 1 e x 0 ]0; 1 e [ 1 e ] 1 e ; + [ f 0? 0 + f 0 & 1 e % Mivel f (0) = 0 = lim x!0+ f (x), es lim x!+ f (x) = +, az x = 1 e pont lokalis es globalis minimum-hely. Az x = 0 hely lokalis maximum-hely, de legnagyobb fuggvenyertek nincs. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 19 / 81

3.a) Megoldas f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 6x! x = 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 20 / 81

3.a) Megoldas f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 6x! x = 0 x ] ; 0[ 0 ]0; + [ f 00 0 + f _ 12 ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 20 / 81

3.a) Megoldas f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 6x! x = 0 x ] ; 0[ 0 ]0; + [ f 00 0 + f _ 12 ^ Tehat f konkav a ] ; 0] intervallumon, es konvex a [0; + [ intervallumon. Az x = 0 hely inexios pont. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 20 / 81

3.b) Megoldas f (x) = (x+1)2 x 1 D f = D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 8 (x 1) 3!? Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 21 / 81

3.b) Megoldas f (x) = (x+1)2 x 1 D f = D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 8 (x 1) 3!? x ] ; 1[ ]1; + [ f 00 + f _ ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 21 / 81

3.b) Megoldas f (x) = (x+1)2 x 1 D f = D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 8 (x 1) 3!? x ] ; 1[ ]1; + [ f 00 + f _ ^ Tehat f konkav a ] ; 1[ intervallumon, es konvex az ]1; + [ intervallumon. Inexios pont nincs. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 21 / 81

3.c) Megoldas f (x) = x 2 e x D f = D f 00 = R f 00 (x) = x 2 + 4x + 2 e x = 0!? Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 22 / 81

3.c) Megoldas f (x) = x 2 e x D f = D f 00 = R f 00 (x) = x 2 + 4x + 2 e x = 0!? f 00 (x) > 0 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 22 / 81

3.c) Megoldas f (x) = x 2 e x D f = D f 00 = R f 00 (x) = x 2 + 4x + 2 e x = 0!? f 00 (x) > 0 x 2 R Tehat f konvex az egesz szamegyenesen, inexios pont nincs. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 22 / 81

3.d) Megoldas f (x) = x + 2 sin(x) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin(x) = 0! x = k π k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 23 / 81

3.d) Megoldas f (x) = x + 2 sin(x) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin(x) = 0! x = k π k 2 Z f 00 (x) > 0 x 2](2k 1) π; 2k π[ f 00 (x) < 0 x 2]2k π; (2k 1) π[ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 23 / 81

3.d) Megoldas f (x) = x + 2 sin(x) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin(x) = 0! x = k π k 2 Z f 00 (x) > 0 x 2](2k 1) π; 2k π[ f 00 (x) < 0 x 2]2k π; (2k 1) π[ k 2 Z Tehat f konvex a [(2k 1) π; 2k π], es konkav a [2k π; (2k 1) π] k 2 Z intervallumokon. Inexios pontok: x = k π k 2 Z. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 23 / 81

4.a) Megoldas f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 24 / 81

4.a) Megoldas f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 12x + 6 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 24 / 81

4.a) Megoldas f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 12x + 6 f 00 (1) = 18 > 0 tehat x = 1 lokalis minimum-hely, f 00 ( 2) = 18 < 0 tehat x = 2 lokalis maximum-hely. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 24 / 81

4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 25 / 81

4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 25 / 81

4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 00 ( 2) = 9 > 0 tehat x = 2 lokalis minimum-hely, f 00 (1) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 25 / 81

4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 00 ( 2) = 9 > 0 tehat x = 2 lokalis minimum-hely, f 00 (1) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = R f 000 (x) = 6 e x+2 + 18(x 1) e x+2 + 9(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 25 / 81

4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 00 ( 2) = 9 > 0 tehat x = 2 lokalis minimum-hely, f 00 (1) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = R f 000 (x) = 6 e x+2 + 18(x 1) e x+2 + 9(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 000 (1) = 6e 3 6= 0 tehat x = 1 pontban nincs szels}oertek. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 25 / 81

4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 26 / 81

4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 26 / 81

4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x f 00 (π + 2kπ) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 26 / 81

4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x f 00 (π + 2kπ) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 000 (x) = cos x + 2 cos2 x 6 sin 2 x cos x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 26 / 81

4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x f 00 (π + 2kπ) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 000 (x) = cos x + 2 cos2 x 6 sin 2 x cos x f 000 (π + 2kπ) = 1 6= 0 tehat nincs lokalis szels}oertek-hely. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 26 / 81

5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 27 / 81

5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a 2 0 0 50 a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 27 / 81

5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a 2 0 0 50 f 0 (a) = 50 2a 0 a 50 a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 27 / 81

5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a 2 0 0 50 f 0 (a) = 50 2a 0 a 50 f 0 (a) = 0! a = 25 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 25[ 25 ]25; 50[ 50 f 0 + + 0 f 0 % 625 & 0 a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 27 / 81

5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a 2 0 0 50 f 0 (a) = 50 2a 0 a 50 f 0 (a) = 0! a = 25 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 25[ 25 ]25; 50[ 50 f 0 + + 0 f 0 % 625 & 0 a, es Tehat a maximalis terulet}u teglalap egy a = 25 oldalu negyzet. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 27 / 81

6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 28 / 81

6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x 2 + 200x 0 x 5 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 28 / 81

6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x 2 + 200x 0 x 5 f 0 (x) = 12x 2 120x + 200 0 x 5 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 28 / 81

6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x 2 + 200x 0 x 5 f 0 (x) = 12x 2 120x + 200 0 x 5 f 0 (x) = 0! x = 2.113 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 2.113[ 2.113 ]2.113; 5[ 5 f 0 + + 0 f 0 % 0.276 & 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 28 / 81

6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x 2 + 200x 0 x 5 f 0 (x) = 12x 2 120x + 200 0 x 5 f 0 (x) = 0! x = 2.113 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 2.113[ 2.113 ]2.113; 5[ 5 f 0 + + 0 f 0 % 0.276 & 0 Tehat x = 2.113 cm oldalu negyzeteket kell kivagni. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 28 / 81

7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 29 / 81

7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π + 100 r 2 π 2rπ = 2 r 2 π + 200 r 0 < r Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 29 / 81

7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π + 100 r 2 π 2rπ = 2 r 2 π + 200 r f 0 (r) = 4rπ 200 0 < r r 2 0 < r Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 29 / 81

7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π + 100 r 2 π 2rπ = 2 r 2 π + 200 r f 0 (r) = 4rπ 200 0 < r r 2 0 < r q q f 0 (r) = 0! r = 3 50 π = 2. 515 4 m = 2 3 50 π = 5. 030 8 ami globalis maximum-hely, r ]0; 2. 515 4[ 2. 515 4 ]2. 515 4; + [ mivel f 0 0 + f & 0.276 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 29 / 81

7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π + 100 r 2 π 2rπ = 2 r 2 π + 200 r f 0 (r) = 4rπ 200 0 < r r 2 0 < r q q f 0 (r) = 0! r = 3 50 π = 2. 515 4 m = 2 3 50 π = 5. 030 8 ami globalis maximum-hely, r ]0; 2. 515 4[ 2. 515 4 ]2. 515 4; + [ mivel f 0 0 + f & 0.276 % Tehat az optimalis henger atmer}oje d = 2r = m = 5. 030 8 dm. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 29 / 81

8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 30 / 81

8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x 2 +54460 0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 30 / 81

8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x 2 +54460 f 0 (x) = 72 300x2 39 374 580 0 x 400(5x 2 +2723) 2 0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 30 / 81

8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x 2 +54460 f 0 (x) = 72 300x2 39 374 580 0 x 400(5x 2 +2723) 2 0 x f 0 (x) = 0! x = 23. 337 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 23. 337[ 23. 337 ]23. 337; + [ f 0 + + 0 f 0 % tg α max = 0.154 91 & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 30 / 81

8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x 2 +54460 f 0 (x) = 72 300x2 39 374 580 0 x 400(5x 2 +2723) 2 0 x f 0 (x) = 0! x = 23. 337 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 23. 337[ 23. 337 ]23. 337; + [ f 0 + + 0 f 0 % tg α max = 0.154 91 & Tehat az alapvonaltol x = 23. 337 m az idealis hely, amikor α = 8.8. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 30 / 81

9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 31 / 81

9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! t = f (x) = x v p + p (d x) 2 +h 2 v v 0 x d Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 31 / 81

9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! t = f (x) = x v p + f 0 (x) = 1 v v v v p (d x) 2 +h 2 v v p d x v p (d x) 2 +h 2 0 x d f 00 (x) = q h 2 v v ((d x) 2 +h 2 ) > 0 3 0 x d Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 31 / 81

9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! t = f (x) = x v p + f 0 (x) = 1 v v v v p (d x) 2 +h 2 v v p d x v p (d x) 2 +h 2 0 x d f 00 (x) = q h 2 v v ((d x) 2 +h 2 ) > 0 3 0 x d Ha f 0 (0) 0 akkor f 0 monoton novekedese miatt f sz. m.% x 2 [0; d]-on, tehat a legrovidebb id}ot akkor kapjuk, ha x = 0. Ha f 0 (0) < 0 akkor f 0 (d) = v 1 p > 0 miatt f minimumat az f 0 (x) = 0 v egyenlet x = d h p v gyokenel veszi fel. x v 2 p v 2 v Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 31 / 81

10.a) Megoldas D f =] ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 32 / 81

10.a) Megoldas D f =] ; + [ f (0) = 0 0 = x 5 20x 2! x 1 = 0 x 2 = 3p 20 = 2. 71 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 32 / 81

10.a) Megoldas D f =] ; + [ f (0) = 0 0 = x 5 20x 2! x 1 = 0 x 2 = 3p 20 = 2. 71 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 5x 4 40x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 + 0 0 + f % max min & 0 48 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 32 / 81

10.a) Megoldas D f =] ; + [ f (0) = 0 0 = x 5 20x 2! x 1 = 0 x 2 = 3p 20 = 2. 71 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 5x 4 40x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 + 0 0 + f % max min & 0 48 % D f 00 = D f f 00 (x) = 20x 3 40 = 0! x = 3p 2 = 1. 26 x ] ; 3p 2[ 3p 2 f 00 0 f _ in. 28. 57 ] 3 p 2; + [ ^ H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 32 / 81

10.a) Megoldas (folytatas) 60 40 20 2.00 1.00 20 1.00 2.00 2.71 40 60 80 Tehat R f = R, x = 0 f (0) = 0 lokalis maximum-, x = 2 f (2) = 48 lokalis minimum-hely, es x = 3p 2 = 1.26 f ( 3p 2) = 28. 57 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 33 / 81

10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 34 / 81

10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = 7 48 24x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 34 / 81

10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = 7 48 24x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paros Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 34 / 81

10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = 7 48 24x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paros D f 0 = D f f 0 (x) = 4x 3 16x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x 3 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 0 + 0 0 + f & min max min % & 9 7 9 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 34 / 81

10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = 7 48 24x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paros D f 0 = D f f 0 (x) = 4x 3 16x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x 3 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 0 + 0 0 + f & min max min % & 9 7 9 % D f 00 = D f f 00 (x) = 12x 2 16 = 0! x 12 = 2 p 3 = 1. 15 x ] ; 2 p3 [ 2 p3 ] 2 p3 ; 2 p3 [ 2 p3 ] 2 p 3 ; + [ f 00 + 0 0 + in. in. f ^ 17 _ 17 ^ 9 9 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 34 / 81

10.b) Megoldas (folytatas) 15 10 5 3 2 1 1 2 3 5 Tehat R f = [ 9; + [, x = 2 f (2) = 9 globalis minimum-, x = 0 f (0) = 7 lokalis maximum-hely, es x = p 2 = 1.15 f ( p 2 ) = 17 3 3 9 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 35 / 81

10.c) Megoldas f (x) = x 3 + 48 x D f =] ; 0[[]0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 36 / 81

10.c) Megoldas f (x) = x 3 + 48 x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x 3 + 48 x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 36 / 81

10.c) Megoldas f (x) = x 3 + 48 x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x 3 + 48 x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paratlan Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 36 / 81

10.c) Megoldas f (x) = x 3 + 48 x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x 3 + 48 x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paratlan D f 0 = D f f 0 (x) = 3x 2 48 = 0! x x 2 1 = 2 x 2 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 + 0 0 + f % max min & & 32 32 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 36 / 81

10.c) Megoldas f (x) = x 3 + 48 x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x 3 + 48 x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paratlan D f 0 = D f f 0 (x) = 3x 2 48 = 0! x x 2 1 = 2 x 2 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ ]0; 2[ 2 ]2; + [ f 0 + 0 0 + f % max min & & 32 32 % D f 00 = D f f 00 (x) = 6x + 96 x 3 = 0!? x ] ; 0[ ]0; + [ f 00 + f _ ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 36 / 81 H

10.c) Megoldas (folytatas) 400 300 200 6 4 2 1 2 3 4 5 6 200 300 400 Tehat R f =] ; 32] [ [32; + [, x = 2 f ( 2) = 32 lokalis maximum-, x = 2 f (2) = 32 lokalis minimum-hely. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 37 / 81

11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 38 / 81

11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 8 x+1 = 0! x = 1 (x 1) 2 lim x! f (x) = 0 lim x!+ f (x) = 0 lim x!1 f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 38 / 81

11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 8 x+1 = 0! x = 1 (x 1) 2 lim x! f (x) = 0 lim x!+ f (x) = 0 lim x!1 f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 8 x 3 = 0! x = 3 (x 1) 3 x ] ; 3[ 3 ] 3; 1[ ]1; + [ f 0 0 + f & min 1 % & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 38 / 81

11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 8 x+1 = 0! x = 1 (x 1) 2 lim x! f (x) = 0 lim x!+ f (x) = 0 lim x!1 f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 8 x 3 = 0! x = 3 (x 1) 3 D f 00 = D f x ] ; 3[ 3 ] 3; 1[ ]1; + [ f 0 0 + f & min 1 % & f 00 (x) = 8 (x 1) 3 ( x 3)3(x 1) 2 (x 1) 6 = 8 2x+10 (x 1) 4 = 0! x = 5 x ] ; 5[ 5 ] 5; 1[ ]1; + [ f 00 0 + + f _ in. 8 9 ^ ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 38 / 81 H

11.a) Megoldas (folytatas) 15 10 5 5 10 15 20 Tehat R f =] ; 1], x = 3 f ( 3) = 1 globalis minimum-hely, x = 5 f ( 5) = 9 8 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 39 / 81

11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 40 / 81

11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 x 2 +1 x 1 = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 40 / 81

11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 x 2 +1 x 1 = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = x2 +1 x 1 = x + 1 + x 2 1! y = x + 1 ferde asszimptota a -ben Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 40 / 81

11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 x 2 +1 x 1 = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = x2 +1 x 1 = x + 1 + x 2 1! y = x + 1 ferde asszimptota a -ben D f 0 = D f f 0 (x) = x2 2x 1 = 0 (x 1) 2 p! x 1 = 1 2 = 0.41 x2 = 1 + p 2 = 2. 41 x ]{ ; 1{ p 2[ 1{ p 2 ]1{ p 2; 1[ ]1; 1+ p 2[ 1+ p 2 ]1+ p 2; [ f 0 + 0 0 + max min f % & & % 0.83 4.83 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 40 / 81

11.b) Megoldas (folytatas) D f 00 = D f f 00 (x) = 4 (x 1) 3 = 0!? x ] ; 1[ ]1; + [ f 00 + f _ ^ N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 41 / 81

11.b) Megoldas (folytatas) 6 4 2 5 3 2 3 5 4 Tehat R f p=] ; 0.83] [ [4.83; p + [, x = 1 2 = 0.41 f (1 2) = 0.83 lokalis maximum-hely, x = 1 + p 2 = 2.41 f (1 + p 2) = 4.83 lokalis minimum-hely. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 42 / 81

11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 43 / 81

11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! 2 f (x) = lim x! 2+ f (x) = + lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 43 / 81

11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! 2 f (x) = lim x! 2+ f (x) = + lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = -ben 2x3 x 2 +x 2 = 2x 2 + 6x 4! y = 2x 2 ferde asszimptota a x 2 +x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 43 / 81

11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! 2 f (x) = lim x! 2+ f (x) = + lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = 2x3 = 2x 2 + 6x 4! y = 2x 2 ferde asszimptota a x 2 +x 2 x 2 +x 2 -ben D f 0 = D f f 0 (x) = 2x4 +4x 3 12x 2 (x 2 +x 2) 2! x 1 = 0 x 2 = p 7 1 = 1. 65 x 3 = p 7 1 = 3. 65 x ]- ;- p 7-1[ - p 7-1 ]- p 7-1;-2[ ]-2; 1[ ]1; p p p 7-1[ 7-1 ] 7-1; [ f 0 + 0 0 + max max f % & & & % -12.7 3.79 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 43 / 81

11.c) Megoldas (folytatas) D f 00 = D f f 00 (x) = 12x3 24x 2 +48x (x 2 +x 2) 3 = 0! x = 0 x ] ; 2[ ] 2; 0[ 0 ]0; 1[ ]1; [ f 00 + 0 + f _ ^ in. 0 _ ^ N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 44 / 81

11.c) Megoldas (folytatas) 5 6 4 2 2 4 5 10 15 Tehat R f = R, x = p p 7 1 = 3. 65 f ( 7 1) = 12.7 lokalis maximum-hely, x = p 7 1 = 1. 65 f ( p 7 1) = 3.79 lokalis minimum-hely, x = 0 f (0) = 0 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 45 / 81

12.a) Megoldas f (x) = (2x D f =] 1) 3 q (x + 2) 2 ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 46 / 81

12.a) Megoldas f (x) = (2x 1) 3 q (x + 2) 2 D f =] ; + [ f (0) = 3p 4 = 1. 59 f (x) = 0! x 1 = 1 2 x 2 = 2 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 46 / 81

12.a) Megoldas f (x) = (2x 1) 3 q (x + 2) 2 D f =] ; + [ f (0) = 3p 4 = 1. 59 f (x) = 0! x 1 = 1 2 x 2 = 2 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = D f 0 = R r f 2g f 0 (x) = 10 3 (x + 2) 1 3 (x + 1) = 0! x = 1 x ] ; 2[ 2 ] 2; 1[ 1 ] 1; + [ f 0 +? 0 + f % max min & 0 3 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 46 / 81

12.a) Megoldas f (x) = (2x 1) 3 q (x + 2) 2 D f =] ; + [ f (0) = 3p 4 = 1. 59 f (x) = 0! x 1 = 1 2 x 2 = 2 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = D f 0 = R r f 2g f 0 (x) = 10 3 (x + 2) 1 3 (x + 1) = 0! x = 1 x ] ; 2[ 2 ] 2; 1[ 1 ] 1; + [ f 0 +? 0 + f % max min & 0 3 % D f 00 = R r f 2g f 00 (x) = 10 9 (x + 2) 4 3 (2x + 5) = 0! x = 5 2 x ] ; 5 2 [ 5 2 ] 5 2 ; 2[ 2 ] 2; + [ f 00 0 +? + f _ in. 3.78 ^ 0 ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 46 / 81 H

12.a) Megoldas (folytatas) 4 3 2 1 1 5 10 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 47 / 81

12.a) Megoldas (folytatas) 4 3 2 1 1 5 10 Tehat R f = R, x = 2 f ( 2) = 0 lokalis maximum-hely, x = 1 f ( 1) = 3 lokalis minimum-hely, x = 2.5 f ( 2.5) = 3.78 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 47 / 81

12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 48 / 81

12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 48 / 81

12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! f (x) x = 1 lim x! (f (x) x) = 0!asszimptota y = x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 48 / 81

12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim x! (f (x) x) = 0!asszimptota y = x D f 0 = R r f1g f 0 (x) = x q(x 2 = 0! x = 0 3 1) 2 3 x ] ; 0[ 0 ]0; 1[ 1 ]1; + [ f 0 + 0 +? + f % 1 % 0 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 48 / 81

12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim x! (f (x) x) = 0!asszimptota y = x D f 0 = R r f1g f 0 (x) = x q(x 2 = 0! x = 0 3 1) 2 3 x ] ; 0[ 0 ]0; 1[ 1 ]1; + [ f 0 + 0 +? + f % 1 % 0 % D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 2x 3 q(x = 0! x = 0 3 1) 5 x ] ; 0[ 0 ]0; 1[ 1 ]1; + [ f 00 0 +? f _ in. in. ^ 1 0 _ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 48 / 81 H

12.b) Megoldas (folytatas) 3 2 1 2 1 1 1 2 3 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 49 / 81

12.b) Megoldas (folytatas) 3 2 1 2 1 1 1 2 3 2 Tehat R f = R, x = 0 f (0) = 1 es x = 1 f (1) = 0 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 49 / 81

12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 50 / 81

12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim f (x) = lim f (x) = x! x!+ lim f (x) = lim f (x) = x! 1+ f (x) = lim f (x) = x!1+ x! 1 lim x!1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 50 / 81

12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim f (x) = lim f (x) = x! x!+ lim f (x) = lim f (x) = x! 1 x! 1+ lim f (x) = lim f (x) = x!1 x!1+ f ( x) = f (x) x 2 D f ) f paratlan Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 50 / 81

12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim f (x) = lim f (x) = x! x!+ lim f (x) = lim f (x) = x! 1 x! 1+ lim f (x) = lim f (x) = x!1 x!1+ f ( x) = f (x) x 2 D f ) f paratlan D f 0 = R r f1g f 0 (x) = 3 x 2 3 3q 0! x (1 x 2 ) 4 12 = p 3 x ]- ;- p 3[ - p 3 ]- p 3;-1[ ]-1; 1[ ]1; p p p 3[ 3 ] 3; [ f 0 0 + + + 0 min max f & % % % & 1.38 {1.38 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 50 / 81

12.c) Megoldas (folytatas) D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 2x(9 x2 ) 9 3q = 0! x (1 x 2 ) 7 1 = 0 x 23 = 3 x ]- ;-3[ -3 ]-3;-1[ ]-1; 0[ 0 ]0; 1[ ]1; 3[ 3 ]3; [ f 00 0 + 0 + 0 + f _ in. 1.5 ^ _ in. 0 ^ _ in. -1.5 ^ N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 51 / 81

12.c) Megoldas (folytatas) 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 52 / 81

12.c) Megoldas (folytatas) 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 Tehat R f = R, x = p 3 f p 3 = 1.38 lokalis maximum-, illeteve minimum-hely, x = 0 f (0) = 0 es x = 3 f (3) = 1.5 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 52 / 81

13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 53 / 81 H

13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ f (0) = 0 lim f (x) = 0 x!+ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 53 / 81 H

13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ f (0) = 0 lim f (x) = 0 x!+ D f 0 = [0; + [ f 0 (x) = 1 2 e px 2 p x = 0! x = 4 x 0 ]0; 4[ 4 ]4; [ f 0 1 + 0 f 0 % max 4 = 0.541 e 2 & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 53 / 81 H

13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ f (0) = 0 lim f (x) = 0 x!+ D f 0 = [0; + [ f 0 (x) = 1 2 e px 2 p x = 0! x = 4 x 0 ]0; 4[ 4 ]4; [ f 0 1 + 0 f 0 % max 4 = 0.541 e 2 & D f 0 =]0; + [ f 00 (x) = 1 4 p x e px 3 p x = 0! x = 9 x 0 ]0; 9[ 9 ]9; [ f 00? 0 + f 0 _ in. 0.448 ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 53 / 81 H

13.a) Megoldas (folytatas) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5 10 15 20 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 54 / 81

13.a) Megoldas (folytatas) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5 10 15 20 Tehat R f = [0; 4 ], e x = 0 f (0) = 0 2 globalis minimum-hely, x = 4 f (4) = 4 = 0.541 globalis maximum-hely, e 2 x = 9 f (9) = 9 = 0.448 inexios pont. e 3 x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 54 / 81

13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 55 / 81

13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ f (0) = e lim f (x) = 1 x!+ e 0 lim f (x) = + x! 1+ lim f (x) = 1 x! e lim f (x) = x! 1 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 55 / 81

13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ f (0) = e lim f (x) = 1 x!+ e 0 lim f (x) = + x! 1+ lim f (x) = 1 x! e lim f (x) = x! 1 D f 0 = D f f 0 (x) = e 1+x 1 x 2 < 0 ) f &] ; 1[-on, es (1+x) 2 f &] 1; + [-on H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 55 / 81

13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ f (0) = e lim f (x) = 1 x!+ e 0 lim f (x) = + x! 1+ lim f (x) = 1 x! e lim f (x) = x! 1 D f 0 = D f f 0 (x) = e 1+x 1 x 2 < 0 ) f &] ; 1[-on, es (1+x) 2 f &] 1; + [-on D f 00 = D f f 00 (x) = e 1 x 1+x 4 (1+x) 4 (2 + x) = 0! x = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 1[ ] 1; + [ f 00 0 + + f _ in. e 3 = 0.0498 ^ ^ H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 55 / 81

13.b) Megoldas (folytatas) 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 56 / 81

13.b) Megoldas (folytatas) 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Tehat R f =]0; + [rf 1 e g, x = 2 f ( 2) = 1 e 3 = 0.0498 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 56 / 81

13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 57 / 81 H

13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ f (x) = 0! x = 1 lim f (x) = x!+ lim f (x) = 0 x!0+ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 57 / 81 H

13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ f (x) = 0! x = 1 lim f (x) = x!+ D f 0 = D f f 0 (x) = 2x ln x + x = 0! x = 1 lim f (x) = 0 x!0+ p e = 0.607 x ]0; 1 pe [ 1 pe ] 1 p e ; + [ f 0 0 + f & min 1 2e % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 57 / 81 H

13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ f (x) = 0! x = 1 lim f (x) = x!+ D f 0 = D f f 0 (x) = 2x ln x + x = 0! x = 1 lim f (x) = 0 x!0+ p e = 0.607 x ]0; 1 pe [ 1 pe ] 1 p e ; + [ f 0 0 + f & min 1 2e % D f 00 = D f f 00 (x) = 2 ln x + 3 = 0! x = 1 p e 3 = 0.223 x ]0; 1 p e 3 [ 1 p e 3 ] 1 p e 3 ; + [ f 00 0 + f _ in. 3 ^ 2e 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 57 / 81 H

13.c) Megoldas (folytatas) 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 58 / 81

13.c) Megoldas (folytatas) 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Tehat R f = [ 1 2e ; + [, x = p 1 e = 0.607 f ( p 1 e ) = 1 = 0.184 globalis minimum-hely, 2e x = 1 p e 3 = 0.223 f ( 1 p e 3 ) = 3 2e 3 = 0.075 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 58 / 81

13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 59 / 81

13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 59 / 81

13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim (f (x) x) = 1 x! e! y = x + e 1 asszimptota Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 59 / 81

13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim (f (x) x) = 1 x! e! y = x + e 1 asszimptota D f 0 = D f 00 = D f f 0 (x) = ln(e + 1 x ) 1 ex+1 f 00 (x) = 1 x(ex+1) 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 59 / 81

13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim (f (x) x) = 1 x! e! y = x + e 1 asszimptota D f 0 = D f 00 = D f f 0 (x) = ln(e + x 1 ) 1 ex+1 f 00 (x) = 1 f 00 > 0 ha x < e 1 es f 00 (x) < 0 ha x > 0, amib}ol es f 0 sz.m. % ] ; 1 e [ -on x(ex+1) 2 f 0 sz.m. & ]0; + [ -on lim f 0 (x) = 1, tehat f 0 > 1 ] ; 1 x! e [ -on f 0 > 1 ]0; + [ -on, tehat f sz.m. % konvex ] ; 1 e [ -on f sz.m. % konkav ]0; + [ -on H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 59 / 81

13.d) Megoldas (folytatas) 2.0 1.0 3 2 1 1 2 3 1.0 2.0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 60 / 81

13.d) Megoldas (folytatas) 2.0 1.0 3 2 1 1 2 3 1.0 2.0 Tehat R f = R. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 60 / 81

14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 61 / 81

14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R f (0) = 0 f (x) = 0! x = kπ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 61 / 81

14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R f (0) = 0 f (x) = 0! x = kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x)! paratlan Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 61 / 81

14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R f (0) = 0 f (x) = 0! x = kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x)! paratlan D f 0 = R f 0 (x) = 2 cos x + 2 cos 2x = 0! x 1 = π 3 + 2kπ k 2 Z x 2 = π + 2kπ k 2 Z tehat egy teljes [ π; π] periodusban: π π π x π ] π; 3 [ 3 ] 3 ; π 3 [ π 3 ] π 3 ; π[ π f 0 0 0 + 0 0 f 0 & min 3 p 3 2 % max 3 p 3 2 & 0 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 61 / 81

14.a) Megoldas (folytatas) D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin x 4 sin 2x = 0! x 1 = kπ k 2 Z x 2,3 = arccos 14 + kπ = 1. 82 + kπ k 2 Z x -π ]-π;-1.82[ -1.82 ]-1.82; 0[ 0 ]0; 1.82[ 1.82 ]1.82; π[ π f 00 0 0 + 0 0 + 0 in. in. in. in. in. f 0 _ -1.45 ^ 0 _ 1.45 ^ 0 N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 62 / 81

14.a) Megoldas (folytatas) 2.5 1.5 0.5 3 2 0.5 1 1 2 3 1.5 2.5 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 63 / 81

14.a) Megoldas (folytatas) 2.5 1.5 0.5 0.5 3 2 1 1 2 3 1.5 2.5 3 p 3 Tehat R f = [ 2 ; 3p 3 2 ] x = π 3 + 2kπ f π 3 + 2kπ = 3p 3 minimum-hely x = arccos 2 k 2 Z globalis maximum-, ill. 14 + kπ = 1. 82 + kπ f (1. 82) = 1.45 k 2 Z es x Matematikai = kπanalzis f (kπ) (PE) = 0 k 2 Z Fuggvenyvizsgalat inexios pont. 2007. november x5. 63 N/ 81

14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 64 / 81

14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 64 / 81

14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x) x 2 R! paros Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 64 / 81

14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x) x 2 R! paros D f 0 = R f 0 (x) = 2 cos x sin x + 3 sin x = 0! x = kπ k 2 Z tehat egy teljes [ π; π] periodusban: x π ] π; 0[ 0 ]0; π[ π f 0 0 0 + 0 f max min max & % 4 2 4 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 64 / 81

14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x) x 2 R! paros D f 0 = R f 0 (x) = 2 cos x sin x + 3 sin x = 0! x = kπ k 2 Z tehat egy teljes [ π; π] periodusban: x π ] π; 0[ 0 ]0; π[ π f 0 0 0 + 0 f max min max & % 4 2 4 D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin 2 x 2 cos 2 x + 3 cos x! x = 2.01 + 2kπ x -π ]-π;-2.01[ -2.01 ]-2.01; 2.01[ 2.01 ]2.01; π[ π f 00 5 0 + 0 5 f 4 _ in. 1.46 ^ in. 1.46 _ 4 k 2 Z H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 64 / 81

14.b) Megoldas (folytatas) 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 65 / 81

14.b) Megoldas (folytatas) 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 Tehat R f = [ 2; 4] x = π + 2kπ f (π + 2kπ) = 4 k 2 Z globalis maximum-, x = 2kπ f (2kπ) = 2 k 2 Z globalis minimum-hely x = 2.01 + kπ f (2.01) = 1.46 k 2 Z inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 65 / 81

14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R cos 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 66 / 81

14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R f (0) = 0 cos 2 x lim = x! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 66 / 81

14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R cos 2 x f (0) = 0 lim = x! D f 0 = R f 0 (x) = 1 + sin 2x = 0! x = π 4 + kπ k 2 Z es f 0 (x) 0 x 2 R, ) sz.m.% R-en, ezert f -nek x = 0 az egyetlen zerushelye. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 66 / 81

14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R cos 2 x f (0) = 0 lim = x! D f 0 = R f 0 (x) = 1 + sin 2x = 0! x = π 4 + kπ k 2 Z es f 0 (x) 0 x 2 R, ) sz.m.% R-en, ezert f -nek x = 0 az egyetlen zerushelye. D f 00 = R f 00 (x) = 2 cos 2x! x = π 4 + k π 2 k 2 Z tehat f 00 egy teljes periodusaban: π π π π π x 2 ] 2 ; 4 [ 4 ] 4 ; π 4 [ π 4 ] π 4 ; π 2 [ π 2 f 00 1 0 + 0 1 in. in. f 0.57 _ 0.29 ^ 1.29 _ 2.57 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 66 / 81

14.c) Megoldas (folytatas) 3 2 1 2 1 1 2 1 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 67 / 81

14.c) Megoldas (folytatas) 3 2 1 2 1 1 2 1 2 Tehat R f = R x = π 4 + k π 2 f π 4 + k π 2 = 1 2 + π 4 + k π 2 k 2 Z inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 67 / 81

14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 68 / 81

14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ x! π 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 68 / 81

14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ f (x + 2π) = f (x) x! π 2 x 2 D f! f periodikus Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 68 / 81

14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ x! π 2 f (x + 2π) = f (x) x 2 D f! f periodikus D f 0 = R f 0 (x) = cos x = 0! x = 3π (1 sin x) 2 2 + 2kπ k 2 Z x ] π 2 ; 3π 2 [ 3π 2 ] 3π 2 ; 5π 2 [ f 0 0 + min. f & 1 % 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 68 / 81

14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ x! π 2 f (x + 2π) = f (x) x 2 D f! f periodikus D f 0 = R f 0 (x) = cos x = 0! x = 3π (1 sin x) 2 2 + 2kπ k 2 Z x ] π 2 ; 3π 2 [ 3π 2 ] 3π 2 ; 5π 2 [ f 0 0 + min. f & 1 % 2 D f 00 = R f 00 (x) = sin x+sin2 x+2 cos 2 x!?, pl. f 00 (π) = 2 > 0, (1 sin x) 3 tehat f 00 konvex x 2 π 2 + 2kπ; π 2 + 2π + 2kπ k 2 Z H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat 2007. november 5. 68 / 81