1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f (x) = x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + 2, 0, 1, p 3 I 2 Keressuk az alabbi fuggvenyek zerushelyeit! a) f (x) = 4 x 2 x+log 2(3) + 2 B I 2x b) f (x) = log 2 1+x I 3 Hol vesz fel pozitv erteket? a) f (x) = 2 + x x 2 B I b) f (x) = 3p x 2 p 1 2 I c) f (x) = 2 x 2 1 I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 1 / 58
2. Ertelmezesi tartomany, ertekkeszlet 4 Hol ertelmezhet}ok a kovetkez}o fuggvenyek, es mi az ertekkeszletuk? a) f 2 R! R x 7! 1 p 4 x 2 B I b) f 2 R! R x 7! p sin(2x) I c) f 2 R! R x 7! lg x 2 3x+2 x+1 B I d) f 2 R! R x 7! x p x 2 2 I 5 Mely fuggvenyek parosak, illetve paratlanok? a) f 2 R! R f (x) = 2 2x + 4 x B I b) f 2 R! R f (x) = lg 1+x 1 x I 6 Mely fuggvenyek periodikusak? a) f (x) = sin 2 (2x) B I b) f (x) = sin(2x 2 ) I c) f (x) = x int(x) B I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 2 / 58
3. M}uveletek fuggvenyekkel 7 Adjuk meg az f + g f g f g g f fuggvenyeket! a) f (x) = x 2 5x + 4 es g(x) = x 1 B I b) f (x) = p x 3 1 es g(x) = p 6 x 2 I c) f (x) = jx 1j es g(x) = j x 1j I 8 Vazoljuk az alabbi fuggvenyek H halmazra lesz}uktesenek grakonjat! a) f (x) = sin(x) H = π π 2 ; 2 I b) f (x) = cos(x) H = [0; π] I π π c) f (x) = tg(x) H =] 2 ; 2 [ I d) f (x) = ctg(x) H =]0; π[ I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 3 / 58
4. Inverz fuggveny 9 Adjuk meg az f fuggveny inverzet, ha letezik! a) f (x) = 1 + p x 2 B I b) f (x) = 2x 1+x 2 I c) f (x) = 2 1+x x I d) f (x) = ln(x 2 1) x 2] ; 2[ I 10 Adjuk meg az f fuggveny olyan lesz}ukteset, ha szukseges, amely invertalhato! Abrazoljuk a fuggvenyt es inverzet! a) f (x) = 2x x 2 I b) f (x) = 1 I 1+x 2 c) f (x) = p 1 x 2 I d) f (x) = 3 2 p x 2 e) f (x) = 3 2+ p x 2 I I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 4 / 58
5. Osszetett fuggveny 11 Adjuk meg az f g g f f f g g fuggvenyeket! a) f (x) = x 2 es g(x) = x 1 B I b) f (x) = p x es g(x) = x 3 + 1 I c) f (x) = p x es g(x) = sin(x) I 1 x 2 12 Adjuk meg az f g fuggvenyt! a) f (x) = exp 4x 2 1 x 2 [ 1; 3] es g(x) = 1 2x x 2 [0; 2] I b) f (x) = 1 x 2 x 2 [0; 1] es g(x) = tg j] π 2 ; π 2 [ (x) I c) f (x) = cos(x) es g(x) = arcsin(x) I d) f (x) = sin(x) es g(x) = arccos(x) I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 5 / 58
1.a) Utmutatas Hasznaljuk a Horner elrendezest: 3x 3 2x 2 + x 15 = ((3 x 2) x + 1) x 15 x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 6 / 58
2.a) Utmutatas Vegyuk eszre: 4 x = (2 x ) 2 2 x+log 2(3) = 3 (2 x ) x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 7 / 58
3.a) Utmutatas Negatv f}oegyutthatoju masodfoku fuggveny menete! 3 2 1 3 2 1 1 1 2 3 2 3 x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 8 / 58
4.a) Utmutatas A D f ertelmezesi tartomanyhoz keressuk azokat az x 2 R szamokat, ahol a nevez}o nem 0, es a gyok alatti kifejezes nem negatv! Az R f ertekkeszlethez keressuk azokat az y 2 R szamokat, melyekre van megoldasa az f (x) = y x 2 D f egyenletnek! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 9 / 58
4.c) Utmutatas Vizsgaljuk a x 2 3x + 2 x + 1 tort el}ojelet! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 10 / 58
5.a) Utmutatas Ellen}orzzuk Vizsgaljuk teljesuleset! x 2 D f ) x 2 D f f ( x) = f (x) x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 11 / 58
6.a) Utmutatas Keressunk olyan p 2 R + szamot, amivel x 2 D f ) x + p 2 D f es f (x + p) = f (x) x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 12 / 58
6.c) Utmutatas Az egeszresz fuggvenyre int j[n,n+1[ (x) = n n 2 Z x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 13 / 58
7.a) Utmutatas Vizsgaljuk, hol ertelmezhet}o a fuggvenyek ossszege: D f \ D g szorzata: D f \ D g f g hanyadosa: D f \ D g r fx 2 D g j g(x) = 0g x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 14 / 58
9.a) Utmutatas Ellen}orzzuk, hogy teljesul-e: x 1, x 2 2 D f : f (x 1 ) = f (x 2 ) ) x 1 = x 2 (*) y 2 R f eseten keressuk x 2 D f, amivel teljesul. f (x) = y (**) Megjegyzes: A (*) feltetel ekvivalens azzal, hogy minden y 2 R f eseten pontosan egy megoldasa van a (**) egyenletnek. x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 15 / 58
11.a) Utmutatas Az f g fuggvenyhez keressuk D f g = fx 2 D g j g(x) 2 D f g! adjuk meg f g(x) = f (g (x))! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 16 / 58
1.a) Megoldas f (5) = ((3 5 2) 5 + 1) 5 15 = 315 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 17 / 58
1.a) Megoldas f (5) = ((3 5 2) 5 + 1) 5 15 = 315 f (10) = ((3 10 2) 10 + 1) 10 15 = 2795 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 17 / 58
1.a) Megoldas f (5) = ((3 5 2) 5 + 1) 5 15 = 315 f (10) = ((3 10 2) 10 + 1) 10 15 = 2795 f ( 5) = ((3 ( 10) 2) ( 10) + 1) ( 10) 15 = 3225 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 17 / 58
1.b) Megoldas sin 1 2π = sin π 2 1 = 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 18 / 58
1.b) Megoldas sin 1 2π = sin π 2 1 = 1 sin 1 4π = sin π p 4 = 2 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 18 / 58
1.b) Megoldas sin 1 2π 1 4π sin sin 1 3 2π = sin π 2 1 = 1 = sin π p 4 = 2 2 2π3 = sin = p 3 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 18 / 58
1.b) Megoldas sin 1 2π 1 4π sin sin sin 1 3 2π 1 3 10π = sin π 2 1 = 1 = sin π p 4 = 2 2 2π3 = sin = sin 10π 3 = = p 3 2 p 3 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 18 / 58
1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 19 / 58
1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 19 / 58
1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 arcsin(0) = 0 mert sin(0) = 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 19 / 58
1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 arcsin(0) = 0 mert sin(0) = 0 arctg(1) = π 4 mert tg π 4 = 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 19 / 58
1.c) Megoldas arcsin( 1) = π 2 mert sin( π 2 ) = 1 arcsin( 1 2 ) = π 6 mert sin( π 6 ) = 1 2 arcsin(0) = 0 mert sin(0) = 0 arctg(1) = π 4 mert tg π 4 = 1 arctg( p 3) = π 3 mert tg π 3 = p 3 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 19 / 58
2.a) Megoldas 0 = (2 x ) 2 3 (2 x ) + 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 20 / 58
2.a) Megoldas 0 = (2 x ) 2 3 (2 x ) + 2 (2 x ) 1,2 = 3 p 3 2 4 2 2 % 2 x = 2! x = 1 & 2 x = 1! x = 0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 20 / 58
2.b) Megoldas 2x 0 = log 2 1 + x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 21 / 58
2.b) Megoldas 2x 0 = log 2 1 + x 2 0 = 2x 1 + x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 21 / 58
2.b) Megoldas 2x 0 = log 2 1 + x 2 0 = 2x 1 + x 1 + x = 2x! x = 1 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 21 / 58
3.a) Megoldas 0 < 2 + x x 2 () 1 < x < 2 vagy x 2] 1; 2[ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 22 / 58
3.b) Megoldas 0 < 3p x 2 1 2 2 < 3p x 2 1 8 < x 2 1! x 2] ; 3[[]3; + [ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 23 / 58
3.c) Megoldas 0 < 2 p x 2 1 < 2 x 2 1 < 4! x 2] p x 2 1 x 2 1 p 3; p 3[r] 1; 1[=] p 3; 1] [ [1; p 3[ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 24 / 58
4.a) Megoldas p 4 x 2 6= 0, x 6= 2 es 4 x 2 0, 2 x 2 Tehat D f =] 2; 2[. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 25 / 58
4.a) Megoldas p 4 x 2 6= 0, x 6= 2 es 4 x 2 0, 2 x 2 Tehat D f =] 2; 2[. 1 p 4 x 2 = y x 2] 2; 2[ Ha y 0, nincs megoldas, ha pedig y > 0, 4 x 2 = 1 y 2 ) x2 = 4 1 y 2. q Itt y 2 < 4 esetben nincs megoldas, es 2 y eseten x 12 = megoldas, mert x 12 2] 2; 2[. 4 1 y 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 25 / 58
4.a) Megoldas p 4 x 2 6= 0, x 6= 2 es 4 x 2 0, 2 x 2 Tehat D f =] 2; 2[. 1 p 4 x 2 = y x 2] 2; 2[ Ha y 0, nincs megoldas, ha pedig y > 0, 4 x 2 = 1 y 2 ) x2 = 4 1 y 2. q Itt y 2 < 4 esetben nincs megoldas, es 2 y eseten x 12 = megoldas, mert x 12 2] 2; 2[. Tehat R f = [2; + [. 4 1 y 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 25 / 58
4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 26 / 58
4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Tehat D f = [ k2z [k π; k π + π 2 ]. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 26 / 58
4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Tehat D f = [ k2z [k π; k π + π 2 ]. q sin(2x) = y x 2 D f Ha y < 0, nincs megoldas, ha pedig y 0, sin(2x) = y 2 egyenletnek mindg van megoldasa, pl. x = 1 2 arcsin(y 2 ) 2 [0; π 4 ] 2 D f. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 26 / 58
4.b) Megoldas sin(2x) 0, k 2π 2x k 2π + π k π x k π + π 2 k 2 Z k 2 Z Tehat D f = [ k2z [k π; k π + π 2 ]. q sin(2x) = y x 2 D f Ha y < 0, nincs megoldas, ha pedig y 0, sin(2x) = y 2 egyenletnek mindg van megoldasa, pl. x = 1 2 arcsin(y 2 ) 2 [0; π 4 ] 2 D f. Tehat R f = R + 0. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 26 / 58
4.c) Megoldas x 2 3x + 2 > 0, x < 1 vagy 2 < x es x + 1 > 0, x > 1 vagy x 2 3x + 2 < 0, 1 < x < 2 es x + 1 < 0, x < 1 Tehat D f =] 1; 1[[]2; + [. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 27 / 58
4.c) Megoldas x 2 3x + 2 > 0, x < 1 vagy 2 < x es x + 1 > 0, x > 1 vagy x 2 3x + 2 < 0, 1 < x < 2 es x + 1 < 0, x < 1 Tehat D f =] 1; 1[[]2; + [. x 2 3x + 2 lg = y x 2 D x + 1 f x 2 3x + 2 x + 1 = 10 y, x 2 (3 + 10 y ) x + 2 10 y = 0 Ez utobbi egyenletnek akkor van gyoke, ha diszkriminansa: 0 (3 + 10 y ) 2 4 (2 10 y ) = 10 2y + 10 10 y 8 0, vagyis p p 33 5 10 y, lg 33 5 y. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 27 / 58
4.c) Megoldas x 2 3x + 2 > 0, x < 1 vagy 2 < x es x + 1 > 0, x > 1 vagy x 2 3x + 2 < 0, 1 < x < 2 es x + 1 < 0, x < 1 Tehat D f =] 1; 1[[]2; + [. x 2 3x + 2 lg = y x 2 D x + 1 f x 2 3x + 2 x + 1 = 10 y, x 2 (3 + 10 y ) x + 2 10 y = 0 Ez utobbi egyenletnek akkor van gyoke, ha diszkriminansa: 0 (3 + 10 y ) 2 4 (2 10 y ) = 10 2y + 10 10 y 8 0, vagyis p p 33 5 10 y, lg 33 5 y. p Tehat R f = [ lg 33 5 ; + [. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 27 / 58
4.d) Megoldas x 2 2 0, x p 2 vagy p p Tehat D f =] ; 2[[] 2; + [. p 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 28 / 58
4.d) Megoldas x 2 2 0, x p 2 vagy p p Tehat D f =] ; 2[[] 2; + [. p x x 2 2 = y x 2 D f p 2 x Ha y = 0 ) x = p 2 2 D f, ha y > 0 csak x 2] p 2; + [ intervallumban lehet megoldas, gy az x 2 x 2 2 = y 2 x 2] p 2; + [ z 2 2z y 2 = 0 z = x 2 egyenlet megoldhatosagat kell vizsgalni. 0 4 + 4y 2 midg teljesul, es z 1 = 2+2p 1+y 2 2 > 2 ) x = p z 1 2] p 2; + [. Hasonloan kapunk a p ] ; 2[ intervallumban megoldast y < 0 esetben. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 28 / 58
4.d) Megoldas x 2 2 0, x p 2 vagy p p Tehat D f =] ; 2[[] 2; + [. p x x 2 2 = y x 2 D f p 2 x Ha y = 0 ) x = p 2 2 D f, ha y > 0 csak x 2] p 2; + [ intervallumban lehet megoldas, gy az x 2 x 2 2 = y 2 x 2] p 2; + [ z 2 2z y 2 = 0 z = x 2 egyenlet megoldhatosagat kell vizsgalni. 0 4 + 4y 2 midg teljesul, es z 1 = 2+2p 1+y 2 2 > 2 ) x = p z 1 2] p 2; + [. Hasonloan kapunk a p ] ; 2[ intervallumban megoldast y < 0 esetben. Tehat R f = R. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 28 / 58
5.a) Megoldas D f = R Tehat f paros fuggveny. f ( x) = 2 2( x) + 4 ( x) = 4 x + 4 x = f (x) x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 29 / 58
5.b) Megoldas D f =] 1; 1[ f ( 1 + ( x) 1 x x) = lg = lg = lg 1 ( x) 1 + x 1 + x = lg = f (x) 1 x! 1 + x 1 = 1 x Tehat f paratlan fuggveny. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 30 / 58
6.a) Megoldas x 2 D f = R ) f x + π = sin 2 2 x + π = 2 2 = [sin(2x) cos(π) + cos(2x) sin(π)] 2 = = sin 2 (2x) = f (x) Tehat f periodikus π 2 periodussal. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 31 / 58
6.b) Megoldas x 2 D f = R ) f (x + p) = sin 2 (x + p) 2 = sin 2x 2 + 4px + 2p 2 = sin 2x 2 ami csak ugy lehet, ha minden x 2 R megoldasa valamely n 2 Z eseten a 2x 2 + 4px + 2p 2 = 2x 2 + 2nπ vagy 2x 2 + 4px + 2p 2 = π 2x 2 + 2nπ egyenletek valamelyikenek. Ezek megoldasainak halmaza azonban megszamlalhato halmaz, ezert f nem lehet periodikus. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 32 / 58
6.c) Megoldas D f = R, es ha x 2 [n; n + 1[ az n egesz szam eseten f (x + 1) = (x + 1) int j[n+1,n+2[ (x + 1) = x + 1 (n + 1) = x n f (x) = x int j[n,n+1[ (x) = x n Tehat f periodikus 1 periodussal. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 33 / 58
7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 34 / 58
7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x 3 6x 2 + 9x 4 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 34 / 58
7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x 3 6x 2 + 9x 4 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x2 5x+4 x 1 x 2 R r f1g Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 34 / 58
7.a) Megoldas D f = D g = R h(x) = f (x) + g(x) = x 2 4x + 3 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x 3 6x 2 + 9x 4 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = x2 5x+4 x 1 x 2 R r f1g h(x) = g(x) f (x) = x 1 x 2 5x+4 = 1 x 4 x 2 R r f1, 4g x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 34 / 58
7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 35 / 58
7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = = p (x 3) (6 x) 2 p p x 3 6 x + 2 x 2 [3; 6] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 35 / 58
7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = = p (x 3) (6 x) 2 p p x 3 6 x + 2 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = p x 3 1 p 6 x 2 x 2 [3; 6] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 35 / 58
7.b) Megoldas D f = [3; + [ D g =] ; 6] D f \ D g = [3; 6] h(x) = f (x) + g(x) = p x 3 + p 6 x 3 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = = p (x 3) (6 x) 2 p p x 3 6 x + 2 x 2 [3; 6] h(x) = f (x) g(x) = p x 3 1 p 6 x 2 x 2 [3; 6] h(x) = g(x) f (x) = p 6 x 2 p x 3 1 x 2 [3; 4[[]4; 6] x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 35 / 58
7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 36 / 58
7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x h(x) = f (x) g(x) = x 2 1 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 36 / 58
7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x h(x) = f (x) g(x) = x 2 1 x 2 R h(x) = f (x) g(x) = jx 1j j x 1j x 2 R r f 1g Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 36 / 58
7.c) Megoldas D f = D g = R 8 < h(x) = f (x) + g(x) = : 2x ha x < 1 2 ha 1 x 1 2x ha 1 < x h(x) = f (x) g(x) = x 2 1 x 2 R h(x) = f (x) h(x) = g(x) g(x) = jx 1j j x 1j f (x) = j x 1j jx 1j x 2 R r f x 2 R r f1g 1g x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 36 / 58
8.a) Megoldas 1.0 0.5 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 37 / 58
8.b) Megoldas 1.0 0.5 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 38 / 58
Megoldas 1.5 1.0 0.5 1.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 1.0 1.5 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 39 / 58
8.d) Megoldas 3.0 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 1.0 2.0 3.0 3.0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 40 / 58
9.a) Megoldas D f = [2; + [ x 1, x 2 2 : 1 + p x 1 2 = 1 + p x 1 2 ) x 1 = x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 41 / 58
9.a) Megoldas D f = [2; + [ x 1, x 2 2 : 1 + p x 1 2 = 1 + p x 1 2 ) x 1 = x 2 1 + p x 2 = y x 2 p x 2 = y 1 Ha y < 1, nincs megoldas, ha y 1 x = (y 1) 2 + 2 2 D f Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 41 / 58
9.a) Megoldas D f = [2; + [ x 1, x 2 2 : 1 + p x 1 2 = 1 + p x 1 2 ) x 1 = x 2 1 + p x 2 = y x 2 p x 2 = y 1 Ha y < 1, nincs megoldas, ha y 1 x = (y 1) 2 + 2 2 D f Tehat R f = [1; + [, es f 1 : [1; + [! [2; + [ y 7! (y 1) 2 + 2 vagy f 1 (x) = (x 1) 2 + 2 x 2 [1; + [ x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 41 / 58
9.b) Megoldas D f = R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 42 / 58
9.b) Megoldas D f = R 2x 1 + x 2 = y yx 2 2x + y = 0 ha y 6= 0, D = 4(1 y 2 ) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 42 / 58
9.b) Megoldas D f = R 2x 1 + x 2 = y yx 2 2x + y = 0 ha y 6= 0, D = 4(1 y 2 ) Ha y 6= 0, es (1 y 2 ) > 0, akkor x 12 = 1p 1 y 2 y 2 D f, tehat ket megoldas van ahol f (x 1 ) = f (x 2 ), ezert f nem invertalhato. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 42 / 58
9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 43 / 58
9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 43 / 58
9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Ha y = 1, akkor nincs megoldas; 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 43 / 58
9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Ha y = 1, akkor nincs megoldas; Ha y 6= 1, akkor x = 2 y 6= 1; y 1 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 43 / 58
9.c) Megoldas D f = R r f 1g x 1, x 2 6= 1 : 2 x 1 1+x 1 = 2 x 2 1+x 2 ) x 1 = x 2 Ha y = 1, akkor nincs megoldas; Ha y 6= 1, akkor x = 2 y 6= 1; Tehat R f = R r f1g, es y 1 2 x 1 + x = y x 6= 1 2 y = x(y 1) f 1 : R r f1g! R r f 1g y 7! 2 y y 1 vagy f 1 (x) = 2 x x 1 x 6= 1 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 43 / 58
9.d) Megoldas D f =] ; 2] x 1, x 2 2 : ln(x 2 1 1) = ln(x 2 2 1) ) jx 1 j = jx 2 j ) x 1 = x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 44 / 58
9.d) Megoldas D f =] ; 2] x 1, x 2 2 : ln(x 2 1 1) = ln(x 2 2 1) ) jx 1 j = jx 2 j ) x 1 = x 2 ln(x 2 1) = y x 2 x 2 1 = e y x 1 = p e y + 1 2 x 2 = p e y + 1 2 ha y 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 44 / 58
9.d) Megoldas D f =] ; 2] x 1, x 2 2 : ln(x 2 1 1) = ln(x 2 2 1) ) jx 1 j = jx 2 j ) x 1 = x 2 ln(x 2 1) = y x 2 x 2 Tehat R f = [0; + [, es 1 = e y x 1 = p e y + 1 2 x 2 = p e y + 1 2 ha y 0 vagy f f 1 : R + 0! R y 7! p e y + 1 1 (x) = p e x + 1 x 2 R + 0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 44 / 58
1 1 2 3 10.a) Megoldas D f = R, 2x x 2 = y! x 2 2x + y = 0 D = 4(1 y) Ha y = 1, akkor x = 1, ha y < 1, akkor a ket megoldas x 12 = 1 p 1 y? 1. 1 Tehat f j]1;+ [ (x) = 1 + p 1 x /x < 1/. 1 1 2 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 45 / 58 x
1 1 2 3 10.b) Megoldas D f = R, 1 = y! yx 1+x 2 = 1 y 2 q Ha 0 < y 1 akkor a ket megoldas x 12 = 1 y y? 0. Tehat q 1 f jr + (x) = 1 x x x 2]0; 1]. 1 1 2 3 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 46 / 58
10.c) Megoldas p D f = [ 1; 1], 1 x 2 = y 1 x 1 Ha y < 0 akkor nincs megoldas, ha 0 y 1, akkor x 2 = 1 y 2! x 12 = p 1 y 2 Tehat 1.00 0.75 0.50 1 f j[0;1] (x) = p 1 x 2 x 2 [0; 1]. 0.25 0.25 0.25 0.50 0.75 1.00 0.25 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 47 / 58 x
10.d) Megoldas D f = [2; 6[[[6; + [, f 1 (x) = 2 3 x 2 + 2 x 2] ; 0[[[ 3 2 ; + [ 10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 2 2 4 6 8 10 4 6 8 10 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 48 / 58 x
10.e) Megoldas D f = [2; + [, f 1 (x) = 2 3 x 2 + 2 x 2]0; 3 2 ] 10 8 6 4 2 1 1 2 4 6 8 10 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 49 / 58 x
11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 50 / 58
11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (f (x)) = g x 2 = x 2 1 g f : R! R g f (x) = x 2 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 50 / 58
11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (f (x)) = g x 2 = x 2 1 g f : R! R g f (x) = x 2 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (f (x)) = f x 2 = x 4 f f : R! R f f (x) = x 4 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 50 / 58
11.a) Megoldas D f = D g = R x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (g (x)) = f (x 1) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 f g : R! R f g(x) = x 2 2x + 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (f (x)) = g x 2 = x 2 1 g f : R! R g f (x) = x 2 1 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R f (f (x)) = f x 2 = x 4 f f : R! R f f (x) = x 4 x 2 R es g(x) 2 R,x 2 R g (g (x)) = g (x 1) = x 2 g g : R! R g g(x) = x 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 50 / 58
11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x 3 + 1 0 () x 1 f (g (x)) = f x 3 + 1 = p x 3 + 1 f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x 3 + 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 51 / 58 x
11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x 3 + 1 0 () x 1 f (g (x)) = f x 3 + 1 = p x 3 + 1 f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x 3 + 1 x 2 R + 0 es f (x) 2 R, x 2 R + 0 g (f (x)) = g p x = p x 3 + 1 g f : R! R g f (x) = p x 3 + 1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 51 / 58 x
11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x 3 + 1 0 () x 1 f (g (x)) = f x 3 + 1 = p x 3 + 1 f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x 3 + 1 x 2 R + 0 es f (x) 2 R, x 2 R + 0 g (f (x)) = g p x = p x 3 + 1 g f : R! R g f (x) = p x 3 + 1 x 2 R + 0 es f (x) 2 R + 0, x 2 R+ 0 f (f (x)) = f p x = 4 p x f f : R! R f f (x) = 4p x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 51 / 58 x
11.b) Megoldas D f = R 0 + D g = R x 2 R es g(x) = x 3 + 1 0 () x 1 f (g (x)) = f x 3 + 1 = p x 3 + 1 f g : [ 1; + [! R f g(x) = p x 3 + 1 x 2 R + 0 es f (x) 2 R, x 2 R + 0 g (f (x)) = g p x = p x 3 + 1 g f : R! R g f (x) = p x 3 + 1 x 2 R + 0 es f (x) 2 R + 0, x 2 R+ 0 f (f (x)) = f p x = 4 p x f f : R! R f f (x) = 4p x x 2 R es g(x) 2 R, x 2 R g (g (x)) = g x 3 + 1 = x 3 + 1 3 + 1 = x 9 + 3x 6 + 3x 3 + 2 g g : R! R g g(x) = x 9 + 3x 6 + 3x 3 + 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 51 / 58
11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 52 / 58
11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j x g f :] 1; 1[! R g f (x) = sin p 1 x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 52 / 58
11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j x g f :] 1; 1[! R g f (x) = sin p 1 x 2 x 2] 1; 1[ es x p 1 x 2 2] 1; 1[, x 2] 1 2 ; 1 2 [ f f :] 1 2 ; 1 2 [! R f f (x) = x p 1 2x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 52 / 58
11.c) Megoldas D f =] 1; 1[ D g = R x 2 R es 1 < sin(x) < 1 () x 6= n π n 2 Z f g : Rr fn π j n 2 Zg! R f g(x) = sin(x) jcos(x)j x g f :] 1; 1[! R g f (x) = sin p 1 x 2 x 2] 1; 1[ es x p 1 x 2 2] 1; 1[, x 2] 1 2 ; 1 2 [ f f :] 1 2 ; 1 2 [! R f f (x) = x p 1 2x 2 g g : R! R g g(x) = sin (sin(x)) x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 52 / 58
12.a) Megoldas D f = [ 1; 3] D g = [0; 2] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 53 / 58
12.a) Megoldas D f = [ 1; 3] D g = [0; 2] x 2 [0; 2] es 1 1 2x 3 () x 2 [0; 1] f g : [0; 1]! R f g(x) = exp 16x 2 16x + 3 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 53 / 58
12.b) Megoldas D f = [0; 1] D g =] π 2 ; π 2 [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 54 / 58
12.b) Megoldas D f = [0; 1] D g =] π 2 ; π 2 [ x 2] π 2 ; π 2 [ es 0 tg(x) 1 () x 2 [0; π 4 ] f g : [0; π 4 ]! R f g(x) = 1 tg2 (x) x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 54 / 58
12.c) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 55 / 58
12.c) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] x 2 [ 1; 1] akkor arcsin(x) = y 2 [ π 2 ; π 2 ] 2 R, es sin(y) = x, 0 cos(y) = p 1 x 2 f g : [ 1; 1]! R f g(x) = p 1 x 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 55 / 58
12.d) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 56 / 58
12.d) Megoldas D f = R D g = [ 1; 1] x 2 [ 1; 1] akkor arccos(x) = y 2 [0; π] R, es cos(y) = x, 0 sin(y) = p 1 x 2 f g : [ 1; 1]! R f g(x) = p 1 x 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 56 / 58
10.c) Megjegyzes Vegyuk eszre, hogy 1 1 f = f j[0;1] j[0;1] illeteve f = f j[ 1;0] j[ 1;0] x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 57 / 58
10.d-e) Megjegyzes Vegyuk eszre, hogy a 10. d), e) feladat inverz fuggvenyeinek keplete (hozzarendelesi utastasa) azonos, de ertelmezesi tartomanyaik kulonboznek! x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyek 2007. oktober 27. 58 / 58