Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Az elméleti mechanika newtoni alapjai Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011

TARTALOMJEGYZÉK 1. El szó 7 2. Newton törvényei 9 3. A Galilei-féle relativitási elv 13 4. Mechanikai munka és energia 15 5. Impulzusnyomaték 17 5.1. Centrális er tér................................. 17 6. Pontrendszerek mechanikája 19 7. Kényszerek 25 7.1. Virtuális elmozdulás. Virtuális munka.................... 27 7.2. A kényszerek általános alakja......................... 28 7.3. Szabadsági fokok................................ 29 7.4. Általános koordináták............................. 30 8. A D'Alembert elv 33 9. Lagrange egyenletek 35 10.Minimális hatás elve 39

6 TARTALOMJEGYZÉK

1. FEJEZET El szó A zika az a természettudomány, mely a legáltalánosabb formákkal és törvényekkel, szerkezetekkel és funkcióikkal, obiektumokkal és jelenségeikkel foglalkozik. Az embert körülvev világ végtelen változatosságának legegyszer megközelítése az, hogy minden elem és minden folyamat min ségileg különböz. Elménk matematikai beállítottsága miatt mennyiségi változatosságot sokkal könyebben át tudjuk látni. A zika hagyományai alapján a redukcionista lozóa szerint közelít a természet kérdéseinek megértése felé. A redukcionizmus a komplex rendszereket az azt alkotó részeinek összességeként fogja fel. A rendszer megnyilvánulásait, a különböz jelenségeket visszavezeti az összetev k kölcsönhatásaira illetve még alapvet bb elvekre. A zikai jelenségek egységes tárgyalása mindmáig kihívás az emberiség számára. Célunk a természet leírásának axiomatikus alapokra való helyezése. 7

8 FEJEZET 1. ELŽSZÓ

2. FEJEZET Newton törvényei A mechanika egyik alapvet fogalma a tömegpont, a továbbiakban részecske. Tömegpont alatt olyan anyagi testet értünk, amelynek méretei elhanyagolhatók mozgásának leírása szempontjából. A tömegpont helyzetét a térben az r helyzetvektor adja meg, amelynek komponensei az x, y, z Descartes-koordináták. r-nek az id szerinti els és második deriváltja: v dr dt ṙ, a dr2 dt 2 r a részecske sebessége illetve gyorsulása. Newton az 1687-ben kiadott Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetlozóa matematikai alapjai) cím m vében három törvényt fogalmaz meg, melyek a részecskék mozgását irányítják. A természetben végbemen jelenségek leírásához vonatkoztatási rendszerre van szükségünk. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük a részecskék térbeli helyzetét megadó koordináta-rendszert és a rendszerhez rögzített órák együttesét. A különböz vonatkoztatási rendszerekben általában különböz k a mozgástörvények. Természetes módon merül fel az a feladat, hogy olyan vonatkoztatási rendszert keressünk, amelyben a mechanikai törvények a legegyszer bb alakúak. Els f törvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test meg rzi nyugalmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását. Azokat a vonatkoztatási rendszereket, amelyekben Newton els törvénye érvényes tehetetlenségi vonatkoztatási rendszernek, másszóval inerciarendszernek nevezzük. Az inerciarendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. A további törvények a fenti tulajdonsággal bíró inerciarendszerekben érvényesek. A fenti axióma hiányossága, hogy nem lehet egyértelm en megállapítani, hogy egy testre mikor hat küls er, mitöbb az er fogalma sincs tisztázva, vagy mit jelent a magára hagyott test fogalma. Egy test annál inkább megközelíti a magára hagyott test fogalmát, minél messzebb van más testekt l. Viszont a gyakorlati esetek többségében a testek közvetlen érintkezés útján való kölcsönhatása vagy valamely er tér jelenléte egyértelm en észlelhet a meggyel által és valószín tlenné teszi egy nem tehetetlenségi vonatkoztatási rendszernek tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerként való azonosítását. 9

10 FEJEZET 2. NEWTON TÖRVÉNYEI Az abszolút tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer tulajdonképpen absztrakció, mivel a mindig ki vagyunk téve valamilyen er hatásnak. Így se a Föld, se a Nap, még csak a galaxisunk se tekinthet annak. A gyakorlatban egy bizonyos zikai rendszer leírásakor tehetetlenséginek tekinthetjük azt a vonatkoztatási rendszert, ami olyan er hatásoknak van kitéve, melyek elhanyagolhatóak a rendszer számunkra érdekes dinamikájáért felel s er hatásokhoz képest. Példa Egy forgószínpad mely percenként fordul körbe nem alkalmas egy teniszlabda ballisztikus pályájának tanulmányozására. Ugyanakkor atomi szinten zajló folyamatokra gyakorlatilag nincs hatása ennek a gyorsulásnak. Ha a teniszlabda szempontjából tehetetlenséginek tekinthet a talajhoz rögzített vonatkoztatási rendszer ez már nem igaz, ha a távolhordó ágyúk ballisztikájának vagy a f bb szélrendszerek, mint például a passzát, dinamikájának megértése a cél. Egy test mozgásállapota (sebessége) módosul az elszenvedett er hatások mértékének függvényében. Ugyanakkor tapasztalati tény, hogy ugyanazon er hatás különböz testek esetén eltér mérték sebességváltozást okoz. Ezt a tulajdonságát az anyagnak tehetetlenségnek nevezzük és mértékének jellemzésére a tömeget használjuk. A nagyobb tömeg test tehetetlenebb, azaz egy adott er hatásra adott válasza kisebb mérték, mint azonos körülmények között egy kisebb tömeg testnek. A test m tömege egy pozitív, id t l független alapvet skalár mennyiség. Mértékegysége az MKSA 1 nemzetközi rendszerben 1kg, dimenzióját M-el jelöljük. Az er egy vektoriális mennyiség és mértékegysége a Newton (N). Az er nek a mozgásra kifejtett hatásának leírására bevezetjük a impulzus(mozgásmennyiség) fogalmát. Az impulzus a részecske tömegének és sebességének szorzata, tehát p = mv. Második f törvény(a mozgástörvény) Ha egy részecskére egy F er hat, akkor a mozgás során az impulzusvektor id szerinti deriváltja megegyezik az F er vel. A második törvény matematikai alakja Ha a test tömege állandó a mozgás során F = dp dt. (2.1) F = m dv dt = md2 r dt 2 = ma, ahonnan a testen lérehozott gyorsulás (mozgásállapotának változási sebessége) adott er hatására: annál kisebb, minél nagyobb a test tömege. a = F m, 1 MKSA = Méter-Kilogramm-Szekundum-Amper

11 Harmadik törvény (a kölcsönhatás törvénye) Ha két részecske er vel hat egymásra, akkor az er k a részecskéket összeköt egyenes mentén hatnak, azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak. Ha egy A test er t fejt ki a B testre, akkor a B ugyanolyan nagyságú, de ellentétes irányú er vel hat az A-ra. Jelöljük az el bbi er t F BA -val, utóbbit F AB -vel. A kölcsönhatás törvénye képlettel kifejezve : F AB = F BA, F AB + F BA = 0 Az er hatások szuperpozíciójának elve Ha egy részecskére egyid ben két er F 1 és F 2 is hat, akkor ezek helyettesíthet k egyetlen olyan F er vel, melyet az összetev er k vektori összegeként kapunk: ahol F az F 1 és F 2 er k ered je. F 1 + F 2 = F, A fenti elv matematikai indukcióval kiterjeszthet tetsz leges számú er re is. Ugyanakkor belátható, hogy az elv fordítottja is érvényes, azaz bármely er felbontható több, egyid ben ható er re, amennyiben ezek ered je kiadja az eredeti er t. Az anyagi pont mozgása során bizonyos mechanikai mennyiségek id ben állandók maradnak, melyeket a megmaradási tételekkel fejezünk ki. A megmaradási törvények általános alakja f(t, r, ṙ) = C, melyek els rend dierenciálegyenletek és a mozgásegyenletek primintegráljainak nevezzük. A megmaradó mennyiségek fontos szerepet játszanak a jelenségek leírásában, mert segítségükkel leírható a rendszer id fejl dése a mozgás másodrend dierenciálegyenletének megoldása nélkül. A dinamika második törvénye önmagában is egy megmaradási tételt fejez ki. Amennyiben a rendszerre nem hat ered er, akkor (2.1) alapján dp dt = 0, azaz p = állandó. A fenti egyenlet fejezi ki az impulzusmegmaradás tételét.

12 FEJEZET 2. NEWTON TÖRVÉNYEI

3. FEJEZET A Galilei-féle relativitási elv Könny belátni, hogyha adott egy inerciarendszer, akkor a hozzá képest egyenesvonalú egyenletesen mozgó vonatkoztatási rendszerek is inerciarendszerek. Tehát végtelen sok inerciarendszerünk van. A természettörvények valamennyi inerciarendszerben azo- A relativitás elve nosak. Másképpen megfogalmazva, a természettörvényeket kifejez egyenletek változatlanok maradnak, ha egy adott inerciarendszerr l egy másikra térünk át. Ez azt jelenti, hogy egy bizonyos természettörvényt különböz inerciarendszerekben tér- és id koordinátákkal kifejez egyenletek azonos alakúak. Válasszunk egy K-val jelölt inerciarendszert és egy ehhez képest állandó Vsebességgel mozgó másik, K inerciarendszert. Tegyük fel, hogy a t = 0 id pillanatban a két rendszer, tehát az O és O vonatkoztatási pont egybeesett. t id múlva az O elmozdulását O-hoz képest az OO = Vt vektor jelöli. Valamely P pontnak a helyét mindkét rendszerben megadhatjuk az r illetve r helyvektorokkal. A K és K rendszerekben mért r, illetve r helyvektorok egymással az r = r + OO = r + Vt kapcsolatban állnak. A newtoni mechanika egyik alapfeltevése szerint: Az id minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz: t = t Ebb l a két összefüggésb l, az id szerinti els és másodrend dierenciálással megkapjuk a két rendszerben mért sebességek és gyorsulások közötti kapcsolatot : ṙ = ṙ + V v = v + V, r = r a = a 13

14 FEJEZET 3. A GALILEI-FÉLE RELATIVITÁSI ELV Tehát a tömegpont gyorsulása, a két inerciarendszerben ugyanaz. Mivel a tömeg is invariáns a fenti transzformációval szemben, ezért a mechanika ma = F mozgásegyenlete változatlanul érvényes a K rendszerben is : és ma = F F = F. Mivel a mozgástörvények mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanolyan alakúak, a két inerciarendszer teljesen egyenérték mechanikai szempontból. Ez a felismerés Galilei nevéhez f z dik. Ezért az inerciarendszerek egyenérték ségét Galilei-féle relativitási elvnek, a helyvektorok és id pillanatok közötti fenti összefüggéseket pedig Galileitranszformációnak nevezzük.

4. FEJEZET Mechanikai munka és energia Egy részecskére ható F er munkáját egy C görbe két A és B pontja között az alábbi kifejezéssel határozzuk meg: W (C AB ) = F dr. (4.1) C AB Egy elemi elmozdulásnak megfelel mechanikai munka: dw = F dr. A fenti meghatározásból kiderül, hogy: Az elmozdulásra mer leges er k nem végeznek mechanikai munkát. Az er k szuperpozíciójának elve alapján az F er egyértelm en felbontható egy az elmozdulás irányába mutató (tangenciális) F t és egy másik, arra mer leges er re F n er re. Az elemi munka: dw = (F t + F n ) dr = F t dr = F t dr, azaz az er nek csak a mozgás pályájához érint leges irányú összetev je végez munkát. Mivel F = m dv, és dr = vdt, dt írhatjuk, hogy A B A tb dv F dr = m t A dt vdt = m 2 (v2 B va) 2. (4.2) T = mv2 2 mennyiséget kinetikus-(mozgási-)energiának nevezzük. Az (4.1) és (4.2) egyenletek alapján a következ tételt fogalmazhatjuk meg: 15

16 FEJEZET 4. MECHANIKAI MUNKA ÉS ENERGIA A kinetikus energia változásának tétele A részecske kinetikus energiájának változása, megegyezik a részecskére ható er munkájával az adott pontok között: W (C AB ) = T (B) T (A) Ha a két pont között végzett munka értéke nem függ a pontokat összeköt görbét l csak a pontok helyzetét l, akkor konzervatív er térr l beszélünk. Ilyenek például az elektrosztatikus és gravitációs er terek. Nem konzervatív er nek számítanak a súrlódási er és a közegellenállásból származó disszipatív er k. Konzervatív er tér esetén belátható, hogy bármilyen zárt C görbe mentén végzett munka értéke nulla: F dr = 0. C Ez azt jelenti, hogy F dr egy skalár ú.n. potenciális energia függvény teljes dierenciálja: F dr = du(r) U(r) dr. Tehát F = U, azaz F x = U x, Egy er tér konzervatív jellegér l meggy z dhetünk a F y = U y, F z = U z. F = 0. egyenlet teljesülésének ellen rzésével. A mechanikai munka az adott r A és r B pontok között, konzervatív er térben: W AB = B A F dr = B A U dr = U(A) U(B) ahol U(A) U(r A ) illetve U(B) U(r B ) a potenciális energia értékei, az A és B pontokban. Összevetve a kinetikus energia változására vonatkozó tétellel egy újabb alapvet tételt fogalmazhatunk meg: Az energiamegmaradás tétele Konzervativ er térben mozgó részecske kinetikus és potenciális energiájának összege, az E a teljes energia, id ben állandó: T (A) + U(A) = T (B) + U(B) = E Ha a részecskére úgy konzervatív mint nemkonzervatív F nk er k hatnak, akkor a teljes energia változása, E(B) E(A), megegyezik a nemkonzervatív er k munkájával az adott C görbe A és B pontja között. Tehát a részecske teljes energiaváltozásának tétele : E(B) E(A) = W n.k. (C AB ).

5. FEJEZET Impulzusnyomaték Vezessük be egy részecske impulzusnyomatékát az O pontra nézve és az J = r p (5.1) N = r F (5.2) er nyomatékot ugyanarra az O pontra vonatkozóan. Az impulzus változási sebessége: Röviden dj dt = d dt (r mv) = v mv + r d dt (mv) = N J = N. N = 0 esetén a fenti egyenlet egy újabb megmaradási tételt fejez ki: Az impulzusnyomatékmegmaradás tétele Ha egy részecskére ható er nyomaték N nulla akkor annak J impulzusnyomatéka állandó (5.2) alapján az er nyomaték nulla, ha az F er nulla, az r helyzetvektor nulla vagy ha a két vektor párhuzamos. Az r helyzetnek az F-re mer leges összetev jét az er karjának nevezzük. A fenti meghatározásból az is kit nik, hogy az impulzusnyomaték úgy a koordinátarendszer, mint a vonatkoztatási rendszer sebességének megválasztásától nagymértékben függ. 5.1. Centrális er tér Tekintsünk egy m tömeg részecskét egy U(r) = U(r) potenciális energiával jellemzett centrális er térben. Az er teret centrálisnak nevezzük, ha a potenciális energia kizárólag az er tér r = 0 középpontjában rögzített origótól mért távolságtól függ. A részecskére ható er egy tetsz leges r pontban: F(r) = U(r) = U(r) r 17 = du r dr r r

18 FEJEZET 5. IMPULZUSNYOMATÉK Ennek nagysága az er tér középpontjától mért távolságtól függ, az iránya pedig párhuzamos a részecske helyzetvektorával. Az J = r p pályaimpulzusnyomatékra vonatkozó tétel alapján: J = M = r F = 0. Tehát centrális er térben a J pályaimpulzusnyomaték vektora állandó. Az impulzusnyomatékvektor és az r helyzetvektor mer legességének következményeként a részecske mozgása az impulzusnyomatékvektorra mer leges síkban történik. Centrális er térben a mozgás mindig síkmozgás (f = 2).

6. FEJEZET Pontrendszerek mechanikája Tekintsünk N darab részecskét melyek tömege, sebessége és impulzusa m i, v i illetve p i = m i v i. Az egyes részecskékre hasson az F i küls er, míg a j részecske részér l az f ij bels er. A következ kben az i és j indexek egy és N között vesznek fel egész értékeket. Newton harmadik törvénye értelmében ez az er a két részecskét összeköt egyenes mentén hat és ellentétese az i részecskér l a j részecskére kifejtett er nek: Newton második törvénye értelmében f ij r i r j, (6.1) f ij = f ji. (6.2) ṗ i = F i + j f ij, Vezessük be a P i p i vektorösszegét az impulzusoknak és vizsgáljuk meg, hogy miként változik id ben: Ṗ = i ṗ i = i F i + i,j f ij = = i = i F i + 1 (f ij + f ji ) = 2 }{{} i,j =0 F i = F (6.3) A második sorban megdupláztuk a bels er ket tartalmazó összeget de úgy, hogy az i és j indexeket formálisan felcseréltük. Ugyanakkor kihasználtuk az (6.2) tulajdonságát a bels er knek. Az er k szuperpozicíójának elve értelmében F a rendszerre ható küls er k ered je. Az (6.3) egyenletb l arra következtetünk, hogy a teljes pontrendszerre értelmezett P mennyiségre hasonló törvény érvényes, mint az egyes részecskékre. Ezért ezt a rendszer impulzusának nevezzük és megállapíthatjuk, hogy id szerinti deriváltja egyenl a küls er k ered jével. 19

20 FEJEZET 6. PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA Az impulzus szorosan kapcsolódik a sebességhez és az utóbbi pedig közvetlen függvénye a vonatkoztatási rendszernek. Vajon miképpen függ egy pontrendszer impulzusa a vonatkoztatási rendszert l? Jelöljük K-val azt a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszert, amiben a fenti rendszert alkotó részecskék sebességei v i. Ha áttérünk egy olyan K ugyancsak tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerre mely K-hoz képest V sebességgel halad, akkor Galilei transzformációs törvénye értelmében az egyes részecskék sebessége A K vonatkoztatási rendszerben mért impulzus: v i = v i V. (6.4) P = i m i v i = i m i (v i V) = i m i v i i m i V = = P MV, M = i m i A megfelel V = P = állandó (6.5) M sebességre P = 0. Következésképpen, bármekkora is lenne a rendszer teljes impulzusa, mindig létezik egy olyan K vonatkoztatási rendszer, melyben a rendszer impulzusa nulla. Ilyenkor azt mondjuk, hogy nyugalomban van az adott vonatkoztatási rendszerben. Ez egy természetes általánosítása egyetlen tömegpont nyugalmáról kialakított fogalmunknak. Ennek megfelel en a (6.5) által meghatározott sebességet úgy értelmezhetjük, mint a mechanikai rendszer egységes egészként való mozgásának sebességét. A fenti egyenletet írhatjuk az alábbi formában: ( N ) i=1 m ir i V = d dt M. Bevezetve a rendszer N i=1 R m ir i, M ún. tömegközéppont vektorát, látható hogy V = Ṙ a tömegközéppont állandó sebességvektora. Integrálás után: R Vt = R 0. Ez a pontrendszer újabb három primintegrálját adja. Vizsgáljuk most a rendszer energiáját az egyetlen részecske energiájával analóg módon. A mechanikai munka az egész rendszeren két különböz A és B állapot között: W (C AB ) = i B A B (F i + i j f ij ) dr i = i m i v i v i dt = i m i 2 B B A m i v i dr i = = d(vi 2 ) = i A A = T (B) T (A), ahol T = 1 m i vi 2 2 i

Miképpen viselkedik a T mozgási energia kifejezése a különböz vonatkoztatási rendszerekben? Végezzünk hát egy (6.4) Galilei-transzformációt a rendszeren, úgy amint az korábban is tettük. A K tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben: T = 1 m i v 2 1 i = m i vi 2 + 1 m i V 2 2 2 2 i i i i = T + MV 2 P V 2 m i v i V = 21 (6.6) Válasszuk meg úgy a V sebességet, hogy K legyen a tömegközépponti vonatkoztatási rendszer, azaz V = P/M. Így a rendszer, mint egész, nyugalomban van és kinetikus energiája alkotórészeinek az álló tömegközépponthoz viszonyított mozgásából adódik. Ezt a E b T energiát bels energiának nevezzük. (6.6) alapján : T = MV 2 2 + E b, ahol V a tömegközépponti sebesség. A fenti összefüggés Koenig második tételeként is ismert. Visszatérve a munka fentebbi kifejezésére felhasználva, hogy a részecskékre ható er k konzervatívak F i = i U i és így : B i A F i dr i = i B A i U dr i = i 2 U i, 1 Legyenek a bels f ij er k is megfelel U ij ( r i r j ) típusú potenciálokból származtatott konzervatív er k. Vegyük észre, hogy a mechanikai munka kifejezésében i,j B A f ij dr i = 1 2 i,j B A (f ij dr i + f ji dr j ) = 1 2 i,j B A f ij d(r i r j ) akkor lesz az integrál független az úttól, ha az integrál alatti kifejezés egy függvénynek a dierenciálja. Ez akkor áll fenn, ha : A rendszer teljes potenciális energiája : A teljes energia : f ij d(r i r j ) = du ij ( r i r j ) U = i U i ( r i ) + 1 U ij ( r i r j ) 2 i j T + U = E = állandó Az impulzushoz és energiához hasonló módon képezzük a részecskék impulzusnyomatékainak összegét J = J i, i és tanulmányozzuk annak változását a küls és bels er k hatására:

22 FEJEZET 6. PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA dj dt = i = i = i = i dj i dt = d dt (r i p i ) = ṙ i p i + r }{{} i ṗ i = i i i =0 r i F i + r i f ij = r i F i + 1 (r i f ij + r j f ji ) = 2 i,j i i,j r i F i + 1 (r i r j ) f ij = r i F i = 2 }{{} i,j i =0 M i = M A teljes impulzusnyomaték megmaradásának tétele : Ha a rendszere ható ered M er nyomaték nulla, akkor a rendszer J teljes impulzusnyomatéka állandó. Mivel az impulzusnyomaték deníciójában szerepelnek a részecskék helyzetvektorai, értéke általában függ a koordináta-rendszer kezd pontjának megválasztásától. Olyan koordináta-rendszerekben, amelyeknek kezd pontja a távolságra van egymástól, ugyanazon pont r i és r i helyzetvektorai között az r i = r i + a kapcsolat áll fenn. Ezért J = i r i p i = i r i p i + a i p i, vagy J = J + a P. Ebb l a képletb l látszik, hogy az impulzusmomentum csak abban az esetben nem függ a koordináta-rendszer kezd pontjának a megválasztásától, ha az anyagi rendszer mint egységes egész nyugalomban van (azaz P = 0). Ez a határozatlanság természetesen nem jelentkezik az impulzusnyomaték megmaradásának a tételében, mert zárt rendszerben az impulzus szintén mozgásállandó. Vezessük le azt a képletet is, amely összekapcsolja az impulzusnyomatékot az egymáshoz képest V sebességgel mozgó K és K inerciarendszerben. Feltesszük, hogy a K és a K koordináta-rendszer kezd pontja az adott id pillanatban egybeesik. Ekkor a részecskék helyzetvektorai mindkét rendszerben azonosak, sebességük között pedig a v i = v i + V összefüggés áll fenn. Ezért J = i m i r i v i = i m i r i v i + i m i r i V. A jobb oldalon lev els összeg a rendszer J impulzusnyomatéka a K rendszerben; a második összegben vezessük be a tömegközéppont helyzetvektorát; ekkor: J = J + MR V. (6.7) Ez a képlet adja meg az egyik vonatkoztatási rendszerr l a másikra való áttéréskor az impulzusnyomaték transzformációját, hasonlóan az impulzus és az energia transzformációját leíró képletekhez. Ha K az a vonatkoztatási rendszer, amelyben az adott anyagi rendszer mint egységes egész nyugalomban van, akkor Va tömegközéppont sebessége, és M V a rendszer teljes impulzusa (K-hoz viszonyítva). Ekkor J = J + R P. (6.8)

Más szavakkal, a mechanikai rendszer impulzusnyomatéka két részb l tehet össze: az egyik a rendszer saját impulzusnyomatéka abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben nyugalomban van, a másik a rendszernek mint egésznek a mozgásából adódó R P impulzusnyomaték. 23

24 FEJEZET 6. PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA

7. FEJEZET Kényszerek A legtöbb esetben a rendszer mozgása során eleget kell tegyen bizonyos geometriai vagy kinematikai természet feltételeknek, melyeket kötéseknek vagy kényszereknek nevezünk. Tekintsünk néhány példát: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejt n vagy egy gömb bels felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira er sített szerelvény vagy merev drótra f zött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömeg merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejt vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. A fenti példákban a különböz kötések sajátos tulajdonságokkal bíró ún. kényszerer ket szülnek, melyek az elnevezésükhöz híven kényszerítik a rendszert a kötések tiszteletben tartására. Az 1. példában a kényszerer szerepe az, hogy csak a felület menti mozgást tegye lehet vé, azaz meggátolja a részecske áthatolását a felületen. Éppen ezért az er a felületre és ugyanakkor a mozgás pályájára is mer leges irányú. A kényszerekt l független er ket megkülönböztetés céljából szabader knek nevezzük. Egyetlen részecske esetén a mozgásegyenlet m r = F + F, (7.1) ahol F a szabad- és F a kényszerer t jelenti. A fenti geometriai kényszert a megfelel felület ϕ(x, y, z) = 0 (7.2) típusú egyenlete határozza meg. Ennek dierenciál- vagy más néven Pfa-alakja: ϕ x dx + ϕ y ϕ dy + dz = ϕ dr = 0. (7.3) z A dr = (dx, dy, dz) vektort lehetséges elmozdulásnak nevezzük mivel kizárólag a kötéssel áll összefüggésben és se a mozgásegyenletek se a kezdeti feltételek megszorításának nincs alávetve. A részecske valós elmozdulása egy a végtelen sok lehetséges elmozdulások közül. (7.2) a ϕ(r) skalárfüggvény egy szintfelületét határozza meg melyre a függvény gradiense 25

26 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK mer leges. Következésképpen a kényszerer a ϕ gradiensének irányába kell mutasson. Tehát F = λ ϕ. (7.4) A (7.3) egyenletb l nyilvánvaló az elmozdulás, azaz a pálya, és a kényszerer ortogonalitása is. A kényszerer által végzett munka a dr elmozdulás során dw = F dr = 0, azaz az id t l független kényszerek esetén fellép kényszerer k nem végeznek munkát. Most már négy változó, x, y, z koordináták illetve λ, id függését kell meghatároznunk. Ezt a (7.1) (3 egyenlet) és a (7.2) (1 egyenlet) azonos számú egyenletb l meg is tehetjük. A 2. példában megjelen kényszerer k hatására a görbeként modellezhet hullámvasút vágányát vagy a merev drótot nem hagyhatják el a rajtuk mozgó testek. Három dimenzióban egy görbe felírható mint két, ϕ 1 és ϕ 2, felület metszésvonala, azaz a mozgás során a ϕ 1 (x, y, z) = 0, ϕ 2 (x, y, z) = 0 (7.5) egyenletek egyid ben ki kell legyenek elégítve. A görbe tehát két kényszerrel egyenérték. Ha az elemi elmozdulás a görbe mentén dr és ez ortogonális mindkét függvény gradiensére, akkor azoknak tetsz leges lineáris kombinációjára is mer leges. A kényszerer általános kifejezése így F = λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2. Az így megjelent öt ismeretlenre három koordináta, λ 1 és λ 2 a (7.1) és (7.5) révén azonos számú egyenlet jut tehát a feladat megoldható. Ha rögzítjük két részecske közötti d távolságot, miként azt a 3. példában tesszük, akkor a kötést a ϕ(x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 d 2 = 0 hat dimenzióba ágyazott öt dimenziós felület egyenletével határozzuk meg. Ez esetben mozgásegyenleteink az (x, y, z) három dimenzióra felírt (7.1) mozgásegyenleteknek az (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) hat dimenziós kiterjesztésének tekinthet k, ahol F = λ 12 ϕ(r 1, r 2 ), 12 = ( x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, A kötésnek a részecskék felcserélésével szembeni szimmetriája miatt belátható, hogy a két részecskére ható kényszerer k az F els három illetve utolsó három komponense bels er k, tehát azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak. A 4. példa az 1. példa általánosítása id t l függ kényszerekre. Ebben az esetben a kényszert leíró egyenlet integrálformában alakú míg Pfa-alakja ϕ x dx + ϕ y dy + ϕ z ϕ(x, y, z, t) = 0 dz + ϕ t z 2 ϕ dt = ϕ dr + dt = 0. (7.6) t Mivel a kényszerer irányára vonatkozó követelmény ugyanaz, nevezetesen mer leges kell legyen a felületre, (7.4) továbbra is érvényes viszont a (7.6)-ban megjelen utolsó tag ).

7.1. VIRTUÁLIS ELMOZDULÁS. VIRTUÁLIS MUNKA 27 miatt a kényszerer és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. Ez annak tulajdonítható, hogy az elmozdulásnak nem csak egy felület menti összetev je van, úgy mint az id t l független esetben, hanem ehhez még hozzáadódik a felülettel való együttmozgásból adódó összetev is. Következésképpen id t l függ kényszerek esetén a kényszerer k által végzett munka nem nulla. 7.1. Virtuális elmozdulás. Virtuális munka Ilyen esetben szokásos a δr, ún. virtuális elmozdulás vektorral dolgozni, ami egy adott id pillanatban a kényszerrel kompatibilis végtelen kis elmozdulást jelent (7.1. ábra). Úgy is mondhatjuk, hogy a rendszert egy másik, a kötés pillanatnyi állapotának megfelel helyzetben képzeljük el. Ez végtelen nagy sebességgel történ elmozdulásnak felel meg, azaz δt = 0. Mint ilyen, az id tényez szerepe megsz nik és a virtuális elmozdulás kielégíti a ϕ x δx + ϕ y egyenletet. A megfelel virtuális munka pedig nulla. ϕ δy + δz = ϕ δr = 0 (7.7) z δw = F δr = 0, (7.8) Ha egy pontrendszer egyensúlyban van, akkor külön-külön minden egyes részecskére ható er k ered je nulla: F i + F i = 0. (7.9) A fenti er ket megszorozva a δr i virtuális elmozdulásokkal a kapott virtuális munkák is nullák lesznek. (7.8) alapján a teljes virtuális munka: F i δr i = 0. (7.10) i 7.1. ábra. Virtuális, δr, és lehetséges, dr, elmozdulások, adott ϕ(x, y, z, t) = 0 id függ kényszer esetén. A gondolatmenet megfordításával kijelenthet az alábbi elv:

28 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK Virtuális munka elve Egy pontrendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a szabader k munkája bármely virtuális elmozdulásnál nulla (7.10) el nye az eredeti (7.9) egyenlettel szemben az, hogy elkerüli a kényszerer k kiszámítását. Helyette a kényszerekkel összeegyeztethet virtuális elmozdulások bevezetését teszi szükségessé. Bizonyos esetekben ezek könnyen el állíthatók. Ha például az egyes δr i virtuális elmozdulások egymástól függetlenek, akkor (7.10) maga után vonja az egyes F i er k elt nését is. Általában viszont a kényszerek kapcsolatot teremtenek a virtuális elmozdulások között és ezért a δw = 0 feltételb l nem következtethetünk arra, hogy F i = 0. Ilyenkor a (9) szakaszban tárgyaltak szerint kell eljárni. 7.2. A kényszerek általános alakja Írjuk fel az eddig tanulmányozott kényszertípusokat általános Pfa alakban egy N részecskéb l álló rendszerre s darab kötés esetén. Az x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N koordinátákra a homogénabb x 1, x 2,...x 3N jelölést alkalmazva keresett a kényszerek: 3N j=1 a αj dx j + a α0 dt = 0, α = 1, s, (7.11) ahol az a αj együtthatók az összes koordináta és az id ismert folytonos függvényei. Amennyiben ezek felírhatók mint egy megfelel ϕ α (x 1, x 2,...x 3N, t) függvények parciális deriváltjai, miképpen azt a (7.3)-ben láttuk, akkor azt mondhajuk, hogy a kényszer holonom. Ez esetben a másodrend deriváltakra fennáll, hogy tehát a holonom jelleg feltétele a 2 ϕ α x i x j = 2 ϕ α x j x i a αi x j = a αj x i egyenl ség teljesülése. Amennyiben a holonom kényszerek nem függnek az id t l, azaz a α0 = 0, α = 1, s, akkor a rendszert szkleronomnak, ellenkez esetben reonomnak nevezzük. A virtuális δx j elmozdulásokra fennáll, hogy 3N j=1 és a megfelel kényszer kre, hogy F j = a αj δx j = 0, α = 1, s, s λ α a αj, j = 1, 3N α=1 ahol az s darab λ α ismeretlen multiplikátor a 3N darab koordinátával együtt meghatározható a 3N mozgásegyenlet és s kötésb l.

7.3. SZABADSÁGI FOKOK 29 7.3. Szabadsági fokok A térben szabadon mozgó (kényszereknek nem kitett) tömegpont helyzetét az x, y és z független koordinátával jellemezzük. N részecske esetén a 3N darab x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N koordinátákkal tudjuk egyértelm en meghatározni a rendszer állapotát az Euklideszi-térben. Egy asztallapon mozgo részecske leírásához két koordináta, a matematikai inga esetén egyetlen φ kitérési szög szükséges. Egy rendszer szabadsági foka alatt azon koordináták minimális számát értjük melyek egyértelm en jellemzik a rendszer állapotát. A kényszerek kapcsolatot teremtenek a koordináták között így ezek már nem tekinthet k függetleneknek. Tételezzük fel, hogy az (7.2) kényszer esetén például létezik egy egyenérték z = z(x, y) típusú explicit felírási mód 1. Ebben a formában nyilvánvaló, hogy a kényszer révén elégséges feladatunkat csak két koordináta függvényében felírni és megoldani. A harmadik koordináta bármikor származtatható az el bbi kett b l. Tehát a kötés csökkentette egyel a szabadsági fokok számát. Úgy is mondhatjuk, hogy az eredetileg háromdimenziós rendszerünk egy két dimenziós altérben mozog. Görbe esetén két kötésünk, azaz két egyenletünk van lásd az (7.5) egyenleteket tehát elvben úgy az y mint a z koordináták kiküszöbölhet k a mozgásegyenletekb l és az x koordinátára kapott megoldásból a teljes háromdimenziós mozgás megadható. Ez esetben a szabadsági fokok száma egy. Általánosítva az el bbieket a következ t állapíthatjuk meg Minden kötés eggyel csökkenti a szabadsági fokok számát. s darab kötésnek alávetett N részecskéb l álló pontrendszer szabadsági fokainak a száma f = 3N s. (7.12) Egy merev testet egy olyan pontrendszernek tekinthetünk, melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó, azaz (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N ahol i és j indexek az összes pontok halmazán futnak végig. Az a tény, hogy az N(N 1)/2 kötések száma meghaladja a 3N értéket azzal magyarázható, hogy ezek a kötések nem függetlenek. Tudnillik, az a tény, hogy a a fenti pontrendszerben egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezked ponttól rögzített, automatikusan maga után vonja ugyanezt a tulajdonságot tetsz leges másik három ponthármas esetén is. A rendszer szabadsági fokainak számát úgy számíthatjuk ki, hogy gondolatban egyenként visszünk be újabb és újabb részecskéket alak 1 A függvény típusának és értelmezési tartományának függvényében létezik vagy sem megfelel explicit

30 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK és minden lépésben könyveljük a szabadsági fokok és a független kötések számát: Részecske Szabadsági fokok Kötések 1. 3 0 2. 3 1 (távolság az els részecskét l) 3. 3 2 (távolság az els két részecskét l) i > 3. 3 3 (távolság korábbi három részecskét l) Összesen tehát s = 1 + 2 + 3(N 3) = 3N 6 kötésünk van. Következésképpen: Egy merev test szabadsági fokainak száma hat. 7.4. Általános koordináták A gyakorlatban a kényszerek következtében lecsökkent dimenzionalitású rendszer mozgását nem a fenti eljárás szerint tanulmányozzuk. Az (7.2) implicit egyenlet általában nem írható át explicit formába, de ha lehetne akkor se sokat segítene mivel a kényszerer k kiszámítása meglehet sen bonyodalmas lenne. Viszont mindig van egy egyenérték parametrikus felírása is a (holonom) kényszerfelületnek: q 1 és q 2 ún. általános koordináták. x = x(q 1, q 2 ) y = y(q 1, q 2 ) z = z(q 1, q 2 ). Példa Egy R sugarú gömbfelületen való mozgás esetén a kényszerfelület egyenlete: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. A két általános koordináta a q 1 = θ és q 2 = φ szögváltozók lehetnek. Ebben az esetben a kényszert úgy is felírhatjuk, mint a koordinátatranszformációt követ kikötést. x = x(r, θ, φ) = r sin θ cos φ y = y(r, θ, φ) = r sin θ sin φ z = z(r, θ, φ) = r cos θ. ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó.

7.4. ÁLTALÁNOS KOORDINÁTÁK 31 Példa Egy l hosszúságú matematikai inga esetén az x = 0, y 2 + z 2 = l 2 kötések vannak érvényben. Áttérve az ρ, φ, x henger koordinátákra úgy, hogy a henger alkotója mer leges a mozgás síkjára, azaz x = x, y = ρ sin φ, z = ρ cos φ, a fenti kötések az alakot öltik. x = 0, ρ = l Szemben az el bbi két példával, nem minden holonom feltétel esetén áll módunkban olyan x 1, x 2,..., x 3N q 1, q 2,... q 3N transzformációt végezni, melyben a k darab kötést megfelel számú q koordináta állandósága hivatott biztosítani. Ha a kötések nem holonómok, akkor a kötések még csak nem is vezetnek a koordináták számának csökkenéséhez. Általános koordinátákat nem csak akkor használunk, ha segítségükkel kötések egyszer bben kifejezhet ek, hanem valahányszor a feladat sajátosságai révén a számítások könnyítését eredményezik. Ha például a feladatban megjelen er terek és/vagy a kezdeti és peremfeltételek rendelkeznek valamely egyszer, például szférikus, hengerszimmetrikus vagy eltolással szembeni, szimmetriával, akkor megfelel koordinátatranszformációkat követ en a nem triviális egyenletek száma csökken vagy megoldásuk egyszer södik. Erre példa a centrális er térben való kényszermentes mozgás esete. (Lásd a centrális er térre vonatkozó fejezetet a [4] jegyzetben) Vizsgáljuk meg, hogy miként módosulnak a korábban Descartes-i koordináta rendszerben felírt zikai mennyiségek a koordinátatranszformációkat követ en. Legyen a transzformáció vagy a jelölés egyszer sége kedvéért r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (7.13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (7.14) ahol f 3N. Használjuk azt az egyezményt, hogy a részecskék tömegeire vonatkozó m i jelölésben az index, a koordinátákhoz hasonlóan, egy és 3N között változik, tehát fennáll, hogy m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetsz leges F (q, q, t) függvény id szerinti teljes deriváltja: d F F (q, q, t) = q r + F q r + F dt q r q r t.

32 FEJEZET 7. KÉNYSZEREK Az F = F (q, t) sajátos esetben, azaz mikor nincs sebességfüggés: A fenti egyenletb l következik az: d F F (q, t) = q r + F dt q r t. (7.15) d F (q, t) = d F (q, t) dt q s q s dt tulajdonság, azaz a kétféle derivált sorrendjének felcserélhet sége. (7.14) és (7.15) alapján a sebesség: x i = dx i dt = q x i r + x i q r t. (7.16) A mozgási energia: T = i m i 2 ẋ2 i = [ x i x i m i q r q s + 2 x i x i q r + q r q s t q r = i = T 2 + T 1 + T 0, ( ) ] 2 xi t (7.17) ahol T 2 = 1 2 α rs q r q s (7.18) másodrend en homogén (kvadratikus) kifejezése az általános sebességeknek, T 1 = β r q r, (7.19) els rend en homogén (lineáris) kifejezése az általános sebességeknek, míg T 0 = γ, egy nemnegatív függvénye az általánosított koordinátáknak és az id nek. Mivel α rs, β r és γ az általános koordináták és id függvényei, ezért a mozgási energia egy T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) típusú függvény lesz. T 1 és T 0 csak nem elt n x i / t esetén jelenik meg. Következésképpen Id t l független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben.

8. FEJEZET A D'Alembert elv A 7.1 szakaszban megfogalmazott virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Hasznosságát tekintve, érdemes kiterjeszteni dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabader k és F i a kényszerer k ered je. A fenti egyenletet átírhatjuk úgy, hogy F i + F i ṗ i = 0, ahol ṗ i tag úgy tekinthet mint egy tehetetlenségi er, ami a többi er höz hasonló módon ad járulékot az ered er höz. Ezzel a dinamika második törvényének egy alternatív megfogalmazásához jutunk. Eszerint egy testre ható er k ered je mindig nulla. Kihasználva az F i kényszerer k és a megfelel δr i virtuális elmozdulások ortogonalitását a (7.10) virtuális munka elve az (F i ṗ i )δr i = 0 (8.1) alakot ölti. Ez az úgynevezett D'Alembert elv. i 33

34 FEJEZET 8. A D'ALEMBERT ELV

9. FEJEZET Lagrange egyenletek Úgy a (7.10) virtuális munka mint a (8.1) D'Alembert-elv gyakorlati alkalmazását az a tény nehezíti meg, hogy a δr i virtuális elmozdulások egymástól nem függetlenek. Alkalmazva az egységesített jelölést az indexekre a (8.1) egyenlet: (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (9.1) i 3N darab innitezimális δx i mennyiség között s kötés teremt kapcsolatot. Tételezzük fel, hogy a kényszerek holonomok, tehát f = 3N s darab független változóval jellemezhetjük a rendszert. Legyenek ezek a q 1, q 2,..., q f általános koordináták, és kapcsolatukat a Descartes-i koordinátákkal a (7.14) koordinátatranszformációk adják meg. A δx i virtuális elmozdulásokat is kifejezhetjük általános koordinátákkal: δx i = x i q r δq r, r = 1, f ahol alkalmaztuk az összegzési konvenciót. A virtuális munka δw = i F i δx i = F i x i q r δq r = Q r δq r (9.2) ahol Q r = i F i x i q r, r = 1, f az ún. általános er k. A statikus rendszerekre alkalmazott virtuális munka elve a q r általános koordináták függetlensége miatt az általános er k elt nését azaz a Q r = 0 egyenl séget vonja maga után. Az (9.1) egyenletb l a D'Alembert elv megfelel egyenlete: i ṗ i x i q r Q r = 0. (9.3) 35

36 FEJEZET 9. LAGRANGE EGYENLETEK A fenti egyenletben a Descartes-i és általános koordináták egyszerre vannak jelen, ami használhatatlanná teszi. Próbáljuk meg kizárólag az általános koordináták segítségével felírni. (7.16) mindkét oldalát dierenciálva q r szerint kapjuk, hogy: x i ṗ i = d q r dt ( ) d x i p i = d dt q r dt ( ) xi p i d dt q r ẋ i q r = x i q r. (9.4) ( x i p i q r ( m i ẋ i ẋ i q r ) d p i dt ( ) xi q r ) = d ( mi dt q r = p i q r d dt x i = m i ẋ i ẋ i q r = 2 ẋ2 i ) q r ( mi 2 ẋ2 i ) (9.5) (9.6) (9.7) Behelyettesítve (9.6)-t és (9.7)-t az (9.5)-ba, az utóbbit pedig (9.3)-ba egy nagy jelent ség egyenlethez jutunk: Lagrange-féle másodfajú egyenlet ( ) d T T = Q r. dt q r q r r = 1, f (9.8) Figyelembe véve a mozgási energiára megállapított (7.17), (7.18) és (7.19) egyenleteket a Lagrange-egyenletek másodrend dierenciálegyenletei a q r (t) függvényeknek. Ezért az egyértelm megoldáshoz szükséges úgy a koordinátákra mint a sebességekre kezdeti feltételeket szabni. Ezek q(t 0 ) = q 0 illetve q(t 0 ) = q 0 alakúak. Bár a virtuális elmozdulás fogalmára alapozva indultunk el, az eredményben ez mégse jelent meg explicit módon. Sikerült általánosított koordinátákkal olyan mozgásegyenleteket felírni, melyekb l gyakorlatilag teljesen ki lettek küszöbölve a kényszerek. Az 4 szakaszban tárgyaltuk a munka, er és potenciális energia fogalmait és a köztük fennálló kapcsolatokat. Alkalmazzuk az itt tett megállapításokat a δq r virtuális elmozdulás, δw virtuális munka és a Q r általánosított er esetére. Feltételezzük, hogy az er egy olyan virtuálisan konzervatív er térnek tulajdonítható, melyet az U(q, t) potenciális energia jellemez 1. A virtuális munka így: tetsz leges δq r -re, tehát δw = Q r δq r = δu = U q r δq r. Q r = U q r. (9.9) Behelyettesítve a konzervatív általános er (9.9) kifejezését a (9.8) Lagrange-egyenletbe, az utóbbi a következ alakot ölti: 1 Konzervatív abban az értelemben, hogy a tér által végzett munka zárt görbe mentén nulla, amennyiben végtelenül rövid id alatt járjuk be azt.

37 Lagrange egyenlet ( ) d L L = 0, dt q r q r r = 1, f ahol L(q, q, t) = T (q, q, t) U(q, t). (9.10) Az L = T U függvényt Lagrange-függvénynek nevezzük. Hangsúlyozzuk, hogy a mozgásegyenletek fenti alakja konzervatív kölcsönhatás és holonom kötések esetén érvényes.

38 FEJEZET 9. LAGRANGE EGYENLETEK

10. FEJEZET Minimális hatás elve A következ kben a (9.10) Lagrange-egyenletet olyan formába írjuk át, hogy a virtuális elmozdulások tényleges szerephez jussanak és ezáltal egy gyökeresen más rálátást nyerjünk Newton második törvényére. A δq(t) virtuális elmozdulást minden id pontban másnak, azaz id függ nek vehetjük. Úgy tekinthet, mint a q(t) valós pálya és a q(t) + δq(t) virtuális pályák közötti eltérés. Következésképpen a valós pályával szemben támasztott simasági követelményt kiterjeszthetjük a virtuális elmozdulásra, azaz legyenek folytonosan deriválhatók. Ennek egyik következménye, hogy értelmezhet a q sebességek δ q virtuális változása és fennáll, hogy: d dt δq r(t) = δ q r (t), (10.1) azaz a virtuális elmozdulás id szerinti deriváltja megegyezik a sebességben történ virtuális változással. A továbbiakban nem tüntetjük fel a q r és származtatott mennyiségek id függését. Egy tetsz leges f(q, q, t) mennyiség megfelel virtuális változása els rendben: Vezessük be a δf(q, q, t) = f(q + δq, q + δ q, t) f(q, q, t) = = f δq r + f δ q r = q r q r (10.1) = f ( f δq r + d q r dt ( f δq r q r = d dt I[q; t 0, t 1 ] = ) δq r d ( ) f δq r = q r dt q r [ f d ( )] f δq r q r dt q r ) + t1 t 0 f(q, q, t)dt integráltat. I függvénye a t 0 és t 1 integrálási határoknak és funkcionálja a q(t) pályának. Ez azt jelenti, hogy minden q 0 = q(t 0 ) és q 1 = q(t 1 ) pontot összeköt pályához az f = 3N s dimenziós térben egyértelm en megfeleltet egy valós értéket. Egy δq(t) 39

40 FEJEZET 10. MINIMÁLIS HATÁS ELVE virtuális elmozdulás els rendben egy δi[q; t 0, t 1 ] = I[q + δq; t 0, t 1 ] I[q; t 0, t 1 ] = = t1 t 0 [f(q + δq, q + δ q, t) f(q, q, t)]dt = t1 = δf(q, q, t) = t 0 = f t 1 t1 [ δq r f q r d ( )] f δq r dt q r dt q r t 0 + változást okoz az I értékében. Tekintsük a virtuális pályák egy olyan osztályát, melyben a q 0 és q 1 végpontok rögzítettek, azaz formálisan: δq 0 = δq 1 = 0. Ebben az esetben a fenti egyenlet jobboldalán megjelen els tag elt nik és: t1 [ f δi[q; t 0, t 1 ] = d ( )] f δq r dt q r dt q r t 0 t 0 Mivel δq(t) tetsz leges függvény, ezért egy ide vonatkozó matematikai tétel értelmében az integrál elt nésének szükséges és elégséges feltétele a f d ( ) f = 0 (10.2) q r dt q r egyenlet teljesülése 1. A fenti összefüggés teljesülése esetén az I[q; t 0, t 1 ] els rendben nem változik, azaz a funkcionál stacionáriusnak mondható q(t)-ben. A stacionaritás típusának minimum, maximum vagy áthajlás megállapítása további tanulmányozást tesz szükségessé. Err l a következ fejezetben esik majd szó. Próbáljuk meg ezt az eredményt a Lagrange-féle mozgásegyenletek esetén hasznosítani. A mechanikai rendszerek L(q, q, t) Lagrange-függvényére megállapított (9.10) mozgásegyenletek azonosak a (10.2) egyenletekkel. Következésképpen a rendszer mozgását az alábbi elv formájában is megfogalmazhatjuk: 1 Tétel: Ha egy f(x) folytonos valós függvényre fennáll, hogy x1 x 0 f(x)η(x)dx = 0 minden olyan η(x) folytonosan dierenciálható valós függvényre, mely kielégíti a η(x 0 ) = η(x 1 ) = 0 peremfeltételeket, akkor az f(x) függvény azonosan nulla az [x 0, x 1 ] szakaszon. A fenti tétel kiterjeszthet többváltozós függvényekre. Ez esetben, ha m i=1 x1 x 0 f i (x)η i (x)dx = 0, η i (x 0 ) = η i (x 1 ) = 0, és η 1 (x), η 2 (x),... η m(x) egymástól függetlenek, akkor fennáll, hogy f 1 (x) = f 2 (x) = = f m(x) = 0, x [x 0, x 1 ]

41 Minimális hatás elve) Egy f szabadsági fokú rendszer egy olyan q(t) = (q 1 (t), q 2 (t),..., q f (t)) pályán mozog a t 0 és t 1 id pontok között a q(t 0 ) pontból a q(t 1 ) pontba, hogy az S[q; t 0, t 1 ] = t1 hatásfüggvény, vagy másnéven hatásintegrál, minimális. t 0 L(q, q, t)dt (10.3) A fenti, Hamilton-elvként is ismert, elvet Newton általános érvény mozgástörvényéb l vezettük le olyan konzervatív rendszerekre melyek kizárólag holonom kötéseknek van kitéve. Mint ilyen kevésbé általános érvény mint a Newton második törvényét képez (2.1) másodrend dierenciálegyenlet. Ennek ellenére úgy van tekintve, mint az anyag mindenféle megjelenési formájának id beli evolúcióját irányító univerzális elv. A látszólagos ellentmondás annak tulajdonítható, hogy az elv az elemi részecskék (terek) és ezek kölcsönhatásainak leírására érvényes. Ezen az alapszinten is értelmezettek a koordináta, impulzus és energia fogalmai melyek a Hamilton-elv épít kockái Az anyag összetettebb formái és ezek makroszkópikus viselkedése

42 FEJEZET 10. MINIMÁLIS HATÁS ELVE

SZAKIRODALOM [1] Landau L.D., Lifsitz E.M.: Elméleti zika I, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest (1988) [2] Goldstein H., Classical mechanics, Addison-Wesley (1980) [3] Nagy K.: Elméleti mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest (1989) [4] Lázár Zs.I., Lázár J.: Az elméleti mechanika alapjai, egyetemi jegyzet (2011) [5] Fenyman R.P., Leighton R.B., Sands M.: Mai zika 7, M szaki Könyvkiadó, Budapest (1970) [6] Fényes I.: Modern Fizikai Kisenciklopédia, Gondolat Könyvkiadó Budapest (1971) [7] Gombás P., Kisdi D.: Bevezetés az Elméleti zikába, Akadémia Könyvkiadó Budapest (1971)