Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak

VII. modul: Integrálszámítás. lecke: Határozatlan és határozott integrál Tanulási cél: Megismerni a határozatlan és határozott integrál fogalmát. Elsajátítani az alapintegrálokat, és az egyszerűbb integrálási tételeket, valamint a Newton-Leibniz-formulát. Ezen ismereteket alkalmazni területszámítási feladatokban. Motivációs példa Egy termék gyártásánál a határköltség megmutatja, hogy az összköltség hogyan változik, ha a termelés egy egységgel növekszik. Azaz a határköltség a költségfüggvény deriváltja. Ha a határköltséget ismerjük, akkor hogyan lehetne előállítani a költségfüggvényt? Egy termék előállításánál a határbevétel azt mutatja meg, hogy miként változik a bevétel, ha az eladásokat egy egységgel emeljük. Azaz a határbevétel a bevételfüggvény deriváltja. Ha ismerjük a határbevételt, fel tudnánk írni a bevételfüggvényt? Amint látható, több olyan problémával találjuk magunkat szembe, melyben ismerünk egy függvényt, és olyan függvényt keresünk, aminek ez az ismert függvény a deriváltja. Az alábbiakban a matematika azon témakörét ismerhetjük meg, amely ezzel a problémával foglalkozunk. Elméleti összefoglaló definíció rész Definíció: A F f. F függvényt a f függvény primitív függvényének nevezzük, ha normál rész Egy f függvénynek nem csak egy primitív függvénye van. Tekintsük például a cos f függvényt. Ennek nyilván primitív függvénye a F sin függvény, hiszen sin primitív függvény lesz a F sin sin sin cos 0 cos. függvény is, mert cos. De Sőt, ha ezt így meggondoltuk, akkor azt mondhatjuk, f -nek végtelenül sok primitív függvénye van, mert bármilyen konstanst hozzáadhatunk sin -hez, mindenképpen olyan függvényt kapunk, aminek deriváltja cos, hiszen a konstans deriváltja 0 lesz. Ezek alapján az alábbi tételt fogalmazhatjuk meg. definíció rész

Tétel: Ha az f függvénynek primitív függvénye a F függvény, akkor bármely függvény is primitív függvénye, ahol c. normál rész F Felvetődik azonban a kérdés, hogy ilyen módon megkaphatunk-e minden olyan függvényt, ami primitív függvénye definíció rész Tétel: Ha függvény. normál rész f F és Amint láthatjuk, egy -nek? A válasz erre igen, ezt is megfogalmazhatjuk egy tételben. F is primitív függvénye f f -nek, akkor F F konstans függvény primitív függvényei egy halmazt alkotnak, s ezen halmaz bármely két eleme csak egy konstansban tér el egymástól. Elég tehát egy elemet ismernünk ebből a halmazból, mert akkor az összes elemet megkaphatjuk ezen elemből különböző konstansok hozzáadásával. Mivel a primitív függvények halmazát ilyen egyszerűen megkaphatjuk, ezért egy fogalmat definiálunk. definíció rész Definíció: Az integráljának nevezzük, és normál rész f függvény primitív függvényeinek halmazát az f f d -szel jelöljük. c függvény határozatlan Ha F egy primitív függvénye konstans. f -nek, akkor f d F c, ahol c tetszőleges Amint a fentiekből látható, a határozatlan integrálás vagy másképp a primitív függvény keresés a deriválás megfordításának tekinthető. Ezért a továbbiakban úgy haladhatunk, hogy tekintjük az alapderiváltakat, és azokat megfordítva az úgynevezett alapintegrálokat kapjuk. Például azt az sin cos az cos d sin c alapderiváltat, hogy formában fordítjuk meg, és írjuk alapintegrálként. Néhány esetben a megfordításon egy kicsit alakítunk. Például ha a cos sin alapderiváltból indulunk ki, akkor az egyszerű megfordítás sin d cos c formában írjuk, hiszen nyilván cos lenne, de ezt inkább sin d cos c ctg Hasonlóan a sin is igaz. alapderiváltból az ctg sin d c alapintegrált kapjuk. sin Az így kapott alapintegrálokat egy táblázatban foglaljuk össze. Ez lényegében az alapderiváltak táblázatának megfordítása, olyan apróbb változtatásokkal, amikről fentebb írtunk.

k d k c, k d c, \ e d e c a a d c ln a sin d cos c cos d sin c sin cos d ctg c d ln c Az alapintegrálok táblázata d tg c Néhány alapintegrállal kapcsolatban szeretnénk megjegyzést tenni. Az egyik a hatványok integrálásra vonatkozó d c, \ alapintegrál. Itt arra hívjuk fel nyomatékosan a figyelmet, hogy a -edik hatvány kivétel. Bár a hatványokat általában úgy integráljuk, hogy a kitevőt eggyel megnöveljük, és osztunk az új kitevővel, a -edik hatvány esetén nem ez történik. Mivel a természetes alapú logaritmus, azaz ln deriváltja, ezért az d ln c alapintegrált kapjuk. Ez csak pozitív -ekre igaz, hiszen a logaritmus csak ekkor értelmezhető. Belátható azonban, hogy negatív -ek esetén d ln c igaz, s ezt együttesen d ln c formában foglalhatjuk össze. Ez így már pozitív és negatív -ekre is igaz. Az alapintegrálok megismerése után jó lenne, ha ahhoz hasonló szabályokat is megfogalmazhatnánk, mint amilyenek a deriválásnál szerepeltek, mert akkor az alapintegrálokból műveletekkel képezett függvényeket is tudnánk integrálni. Nézzük milyen szabályok igazak a primitív függvényekre. definíció rész Tétel: Ha az f függvénynek létezik primitív függvénye, akkor a k f, k függvénynek is k f d k f d. létezik primitív függvénye, és Bizonyítás: Legyen F egy primitív függvénye f -nek, azaz F f, vagy másképp f d F c. Ekkor nyilván k F k f, ami azt jelenti, hogy k F k f -nek, azaz k f d k F c k f d primitív függvénye normál rész. egy A tétel másképp úgy fogalmazható, hogy integrálás során konstans szorzó kiemelhető az integrálból.

definíció rész Tétel: Ha az f és g függvényeknek létezik primitív függvénye, akkor az f g f g d f d g d. függvénynek is létezik primitív függvénye, és Bizonyítás: Legyen F az f és G a g egy-egy primitív függvénye, tehát és G g, vagy f d F c és F f g d G c nyilván F G F G f g, azaz F G. Ekkor primitív függvénye -nek, tehát f g normál rész f g d F G c f d g d. Ezt a tételt fogalmazhatjuk meg úgy is, hogy függvények összegét tagonként integrálhatjuk. A fenti két tételből nyilván az is következik, hogy függvények különbsége esetén f g d f d g d. A deriválásnál ezután az következett, hogy a függvények szorzatára, hányadosára és az összetett függvényekre is sikerült deriválási szabályt találnunk. Ezek a deriválási szabályok bármilyen szorzat, tört vagy összetett függvény esetén alkalmazhatóak voltak. Sajnos az integrálásnál ilyen szabályok nincsenek. Nem lehet kimondani olyan összefüggést, amelynek segítségével bármilyen függvények szorzata, vagy hányadosa, vagy kompozíciója integrálható lenne. A későbbiekben megismerünk majd szabályokat, melyek segítségével függvények szorzatát integrálhatjuk, de ezek a szabályok nem alkalmazhatók bármilyen függvények szorzata esetében, csak bizonyos speciális esetekben. Megismerünk majd olyan szabályt is, amit függvények hányadosának integrálására használhatunk, de csak bizonyos speciális törtekre alkalmazható. Speciális összetett függvényekre is lesz majd integrálási szabály, de azt sem lehet általánosan alkalmazni minden összetett függvényre. Éppen ezért az integrálás több találékonyságot igényel majd, mint amire a deriválásnál szükség volt. példa rész Kidolgozott feladatok. feladat: Határozzuk meg az sin 8 e d -et! f sin 8e függvény határozatlan integrálját, azaz Megoldás: Mivel függvények összegét illetve különbségét kell integrálnunk, ezért tagonként végezhetjük el az integrálást. Így három integrált kapunk. sin 8 sin 8 e d d d e d Az egyes integrálokból a konstans szorzókat kiemelhetjük. sin 8 sin 8 d d e d d d e d

Már csak alapintegrálok szerepelnek, melyeket egyszerűen behelyettesítünk. Az első részben egy hatványfüggvényt kell integrálnunk, így itt az d c, \ alapintegrálra hivatkozva eggyel megnöveljük a kitevőt, s osztunk az új kitevővel. A második részben az sin d cos c, a harmadikban pedig az e d e c alapintegrálra hivatkozunk. d sin d 8 e d cos 8e c cos 8e c Nem írjuk ki mindegyik rész integrálásánál külön-külön a c integrációs konstanst, mert c bármilyen valós értéket felvehet. Ha többször szerepelne, akkor a konstansok összege is egy konstans lenne, ami bármilyen valós értéket felvehetne. Ezért elég mindig csak egyetlen konstanst írnunk a primitív függvény után.. feladat: 7 d Megoldás: Első lépésként a konstans szorzót emeljük ki az integrálból. 7 d 7 d Az alapintegrálok között a különböző gyökök a hatványokban szerepelnek. A deriválásnál is az történt, hogy a gyököket törtkitevős hatványként írtuk, és hatványként felírt alakot deriváltuk. Most ugyanígy járunk el az integrálás során is. 7 d 7 d d c, \ alapintegrálra. Ezután már hivatkozhatunk az 8 8 7 d 7 c 7 c c c. Az eredményt írhatjuk törtkitevős hatványként, vagy gyökös formában is. 6. feladat: d Megoldás: Kezdjük most is a konstans szorzó kiemelésével. 6 d 6 d 6

Az integrálandó függvényben, amit integrandusnak is szoktak hívni, most egy hatvány reciprokát látjuk. Ezt felírhatjuk negatív kitevős hatvány formájában, s így ismét csak egy hatványt kell majd integrálnunk. Ugyanígy járhattunk el az ilyen függvények deriválásakor is. 6 6 d d A hatvány integrálásakor most is növeljük eggyel a kitevőt, és osztunk az új kitevővel. 6 6 d 6 c 6 c c c Az eredményt most írhatjuk negatív kitevős hatvány, vagy tört formájában is.. feladat: d Megoldás: Az integrálást ebből az alakból nyilván nem tudjuk végrehajtani, ezért először átalakítjuk az integrálandó függvényt. A gyököket írjuk át törtkitevős hatvánnyá, amint azt egy korábbi feladatban tettük. d d Végezzük el a zárójelen belül a szorzást. Azonos alapú hatványok szorzása esetén egyetlen hatványt kapunk, melyben a kitevők összeadódnak. d d d Most egy hatványt tovább hatványozunk. Ha ezt egyetlen hatványként írjuk, akkor a kitevők szorzódnak. 0 d d d Az integrandust sikerült egyetlen hatvánnyá alakítunk, így végre tudjuk hajtani az integrálást. 0 0 0 0 0 0 0 d c c c c 0 0 Az eredmény most is több alakban írható. Hagyhatjuk törtkitevős hatványként, de írhatjuk gyökös formában is. 7

A feladatból látható, hogy az integrandus megadott alakjából nem lehet elvégezni az integrálást. De az átalakítások után már olyan formában kapjuk meg a függvényt, ami egyetlen alapintegrál. Az integrálási feladatokban nagyon sokszor nem az okozza a fejtörést, hogy magát az integrálási lépést hogyan hajtsuk végre, hanem hogyan készítsük elő az integrálást, azaz milyen módon alakítsuk át az integrandust az integrálás előtt. Az átalakítások során nagyon gyakran olyan azonosságokra hivatkozunk, amelyek a középiskolából ismertek. Különösen szeretnénk kiemelni a hatványozás azonosságait, mert a hatványok gyakran fordulnak elő, s átalakításukra több azonosságot is ismerünk.. feladat: d Megoldás: Az integrandusunk most egy szorzat. Amint az korábban szerepelt, ilyen esetben nincs általánosan alkalmazható integrálási szabály. Át kellene ezért alakítanunk úgy a függvényt, hogy már ne szerepeljen szorzás. Végezzük el a szorzást, azaz bontsuk fel a zárójeleket. d d Egyszerű polinomot kaptunk. Ekkor tagonként integrálhatunk. Az egyes tagokból a konstans szorzókat kiemelhetjük. d d d d d Alkalmazzuk a hatványfüggvényekre vonatkozó integrálási szabályt. c c 6. feladat: d Megoldás: Az integrálandó függvény most egy tört. Sajnos a törtekre sincsen minden esetben használható integrálási szabály. Mivel a tört számlálójában összeg illetve különbség áll, a törtet több törtre bonthatjuk úgy, hogy az egyes tagokat külön-külön osztjuk a nevezővel. d d d d Ahol tudunk egyszerűsítsünk és a konstans szorzókat emeljük ki az egyes integrálokból. d d d d d d Az első két tag egyszerű alapintegrál, nem kell már tovább alakítani. A harmadik tagban egy hatvány reciproka szerepel, amit negatív kitevős hatványként írhatunk fel. d d d d d d Már csak egy-egy hatványt kell integrálnunk. 8

d d d ln c ln c 7. feladat: Egy termék gyártása során mennyiség esetén a határköltség C( ) 6. Határozzuk meg a költségfüggvényt, ha tudjuk, hogy a fi költség éppen 0? Megoldás: A határköltség megmutatja az összköltség változását, ha egy egységnyivel növeljük a termelést. Tehát a keresett C költségfüggvény deriváltja éppen C( ) 6. Azt már tudjuk, hogy végtelen sok olyan függvény adható, aminek a deriváltfüggvénye éppen 6. Most azt kellene megkeresni a sok függvény között, amelyiknek 0 esetén (amikor nincs termelés) éppen 0-t vesz fel helyettesítési értékként, azaz C 0 0. Kezdjük most is a feladat megoldását a primitívfüggvények előállításával. Az integrációs konstanst a félreértések elkerülése végett jelöljük most k -val. 6 d k A 0 behelyettesítésével kapjuk, hogy C(0) k 0. Tehát a keresett költségfüggvény C 0 teszt rész Ellenőrző kérdések. 9 7 d 7 c ln 7 6 7 c ln 7 7 ln 7 6 c 7 ln 7 c. d c 9

c 8 c 8 c. d c c c c. d c c c c. d 6 c 0

6 c 6 0 6 c c 6. 6 d c ln c c ln c 7. Egy termék gyártása során mennyiség esetén a határköltség C( ) 9. Határozzuk meg a költségfüggvényt, ha tudjuk, hogy a fi költség éppen 00? 9 0 0, c 0, 00 00 normál rész Motivációs példa Az euró árfolyama (forintban) az elmúlt hónapban az f ( t) 08 0,8sin t függvény szerint alakult. Mennyi volt az euró átlagárfolyama az elmúlt hónapban?

Korábbi ismereteinkből tudjuk, hogy átlagot úgy számolunk, hogy az összmennyiséget osztjuk az adatok számával. Ebben az esetben ez azt jelenti, hogy a napi árfolyamok összegét el kell osztanunk a napok számával. Ez szemléletesen az árfolyamváltozást leíró függvény görbéje és az tengely által közbezárt terület osztva az intervallum hosszával.. ábra {á:_.png} A gyakorlati életben számos olyan példa adható, ahol a keresett mennyiség egy adott intervallumon a függvénygörbe és az tengely által közbezárt területtel hozható kapcsolatba. Ezek kiszámítására szolgáló matematikai módszerekkel fogunk foglalkozunk a következő fejezetben. Elméleti összefoglaló Induljunk ki tehát abból, hogy adott egy ab, -n értelmezett folytonos f 0 teljesül az, ab -n, és szeretnénk meghatározni az b görbék által határolt alakzat területét. Ez az alakzat látható az alábbi ábrán. f függvény, melyre y f, az y 0, az a és az. ábra {á:_.png} Osszuk fel az ab, intervallumot n részre valamilyen Fn 0,,,, n F halmazt az, a 0 n b teljesül. Ezt az n halmazzal, amelyre ab intervallum egy felosztásának nevezzük. Egy-egy részintervallum hosszát a szomszédos osztópontok különbségeként kaphatjuk

meg. Az i -edik részintervallum hossza például i i, melyet i -vel is jelölünk. (A részintervallumok nem feltétlenül egyforma hosszúak.) A felosztás finomságának nevezzük a i -t. Válasszunk ki mindegyik, i i számot. Emeljünk mindegyik részintervallum fölé leghosszabb részintervallum hosszát, azaz ma részintervallumból egy téglalapot. i f magasságú i {á:_.png}. ábra Ezen téglalapok területének összegével közelítjük a meghatározandó területet. Ezt az összeget az adott felosztáshoz tartozó közelítő összegnek nevezzük, és n -nel jelöljük. Írjuk fel ezt az összeget. Az első téglalap területe: 0 T f f, az i -edik téglalap területe Ti f i i i f i i. Ezek alapján a közelítő összeg a következő: n T T Tn f 0 f f n n n f f f T f f, a második téglalap területe n n. Ugyanezt rövidebben is írhatjuk:

n n n T f f. n i i i i i i i i i Növeljük a felosztásban a részintervallumok számát, így újabb és újabb felosztásokat kapunk. Ha az osztópontok számát minden határon túl növeljük, akkor így felosztásoknak egy sorozatát kapjuk. Várhatóan az egyre több osztóponttal rendelkező felosztások egyre pontosabban fogják közelíteni az alakzatot, melynek területét meghatározni szeretnénk. Ez azonban csak akkor lesz igaz, ha a felosztás az osztópontok számának növelésével egyre finomodik is, azaz nem marad benne sehol túl hosszú részintervallum. Ezt fejezzük ki azzal, hogy olyan felosztássorozatot készítünk, amiben a felosztás finomsága nullához tart, azaz ma i 0. Nem történhet meg olyan a felosztássorozatban, hogy az ab, intervallum egyik részén egyre sűrűsödik a felosztás, de valahol máshol benne marad egy hosszabb részintervallum. Az ilyen felosztássorozatokat végtelenül finomodó felosztássorozatoknak nevezzük. Az alábbi ábrákon ilyen egyre finomodó felosztások láthatók (-7. ábra).. ábra {á:_.png}. ábra {á:_.png} 6. ábra {á:_6.png}

7. ábra {á:_7.png} definíció rész Definíció: Azt mondjuk, hogy az ab, -n értelmezett ab, -n, ha a f függvény Riemann-integrálható az n közelítő összegek sorozata minden végtelenül finomodó felosztássorozat estén konvergens, és ugyanahhoz a számhoz tart. Ekkor ezt a számot az Riemann-integráljának, vagy határozott integráljának nevezzük és rövidebben az alábbi jelölésekkel írható: b a f függvény, f d ab -n vett -szel jelöljük. Ez b n n a lim lim f d f f. n i i i n i i i i ma i0 ma i0 normál rész Itt kell megjegyeznünk, hogy az egyszerűség kedvéért az elején olyan függvényről beszéltünk, ami az a, b -n pozitív értékeket vesz fel. Ekkor a fenti definíció valóban a függvény grafikonja és az - tengely között elhelyezkedő alakzat területét adja meg az ab, -n. Ha azonban a függvény negatív értékeket is felvehet, akkor a téglalapokkal történő közelítésben f i is lehet negatív, így az f i i szorzat az i -edik téglalap területét előjelesen adja meg. Ha i 0 téglalap az -tengely felett helyezkedik el. Ekkor f i i kapjuk. De ha f i 0, a téglalap az -tengely alatt helyezkedik el. Ekkor f i i f, a közelítésben a pozitív, tehát valóban a téglalap területét negatív, s a téglalap területének -szeresével egyenlő. Ebből következően, az integrál a függvény grafikonja és az -tengely között elhelyezkedő alakzat területét előjelesen adja meg. Ha a függvény pozitív, azaz grafikonja az -tengely felett halad, akkor valóban területet kapunk, de ha a függvény negatív, akkor a terület -szeresét kapjuk. Ezért kapjuk azt, hogy ha egy függvény előjele megváltozik az ab, belsejében, és a pozitív illetve negatív részen egyenlő nagyságú a terület a függvény grafikonja és az -tengely között, akkor nulla a függvény integrálja az ab, intervallumon. Erre példa mondjuk az cos függvény a f 0, -n.

8. ábra {á:_8.png} Amint az ábrán látható, a pirossal illetve kékkel jelölt alakzatok szimmetria miatt egyenlő területűek, de míg a piros az -tengely felett, a kék az -tengely alatt helyezkedik el. Az integrálás így a piros alakzat területét, a kék alakzat területének pedig -szeresét adja. Így a függvény integrálja a teljes 0, intervallumon ezek összeg, azaz nulla lesz. A Riemann-integrál hosszadalmas definíciója után felvetődik az a kérdés, hogy milyen függvények integrálhatóak. Ezzel kapcsolatban két tételt mondunk ki bizonyítás nélkül. definíció rész Tétel: Ha az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor f ezen az intervallumon korlátos. A korlátosság tehát szükséges feltétele az integrálhatóságnak. (Nem minden ab, -n korlátos függvény integrálható ab, -n.) Tétel: Ha az f függvény folytonos az, ab intervallumon, akkor integrálható is ab, -n. normál rész A folytonosság tehát elégséges feltétele az integrálhatóságnak. (Nem minden ab, -n integrálható függvény folytonos ab, -n.) A határozott integrálra vonatkozóan sok tétel bizonyítható. Ezeket szokták a határozott integrál tulajdonságainak nevezni. Vannak köztük olyanok, melyek hasonlóak, mint a határozatlan integrál tulajdonságai. definíció rész f és g integrálhatóak az,, és f g függvények is integrálhatóak, Tétel: Ha k f f g ab -n, k pedig tetszőleges valós szám, akkor a ab -n, és b a b a k f d k f d 6

b b b f g d f d g d a a a b b b f g d f d g d. a a a normál rész Tehát amint a határozatlan integrálnál, úgy a határozott integrálnál is konstans szorzó kiemelhető az integrálból, valamint összeget és különbséget tagonként integrálhatunk. A különbségre vonatkozó állítás a másik kettőből már egyszerűen következik. A határozott integrálnak vannak olyan tulajdonságai is, amelyekben az integrálási intervallumnak fontos szerepe van. A határozatlan integrálnál ilyen tulajdonságok nyilván nem voltak. definíció rész Tétel: Ha f integrálható a -tól b -ig, akkor integrálható b -től a -ig is, és a b b a f d f d. Azaz ha felcseréljük az integrálási határokat, az integrál -szeresét kapjuk. Tétel: Ha Tétel: Ha f integrálható az, f integrálható az, ab -n, akkor integrálható [a, b] bármely részintervallumán is. ab -n, és a c b, akkor b c b f d f d f d. a a c normál rész Ezt fogalmazhatjuk úgy is, hogy az integrálás az ab, -n részletekben is végrehajtható. Pozitív értékű függvény esetén szemléletesen arról van szó, hogy a függvény grafikonja és az -tengely közti terület az ab, -n úgy is meghatározható, hogy vesszük a területet az ac, -n, és hozzáadjuk a területet, ab, intervallumon a terület a piros és kék alakzat területének összege.) cb -n. (Az 7

9. ábra {á:_9.png} definíció rész Tétel: Ha intervallumon is, és f integrálható az, b c b f d f d f d. a a c ac és cb, intervallumokon, akkor integrálható az ab, Tétel: Ha f integrálható az ab, -n, és f 0 minden a, b esetén, akkor b a d 0 f. normál rész Ha nem negatív függvényt integrálunk, akkor az integrál sem negatív. definíció rész Tétel: Ha esetén, akkor b a f és b a f d g d. normál rész g integrálhatóak az ab, -n, valamint f g minden a, b Más megfogalmazásban azt mondhatjuk, hogy a nem kisebb értékű függvény integrálja sem kisebb. definíció rész Tétel: (Az integrálszámítás középértéktétele) Ha egy ab,, melyre igaz, hogy f folytonos az, ab -n, akkor létezik legalább 8

b a f d f b a. normál rész Pozitív értékű függvény esetén szemléletes arról van szó, hogy az f függvény grafikonját tudjuk metszeni olyan vízszintes egyenessel, ami alatt az ab, -n pontosan akkora területű téglalap van, mint a függvény és az -tengely közti alakzat területe az ab, -n. Az ábrán kékkel jelölt téglalap területe f b a, mely megegyezik a függvény grafikonja és az -tengely közti területtel. 0. ábra {á:_0.png} definíció rész Tétel: (Newton-Leibniz-formula) Ha függvénye f -nek, akkor f integrálható az, ab -n, és F egy tetszőleges primitív b a f d F b F a. normál rész Az F b F a különbség rövidebb írására gyakran használatos az F b a jelölés. Ezt a tételt gyakran nevezik az integrálszámítás alaptételének is, mert a határozott integrál és a primitív függvény közötti kapcsolatot mondja ki. Ezzel lehetővé teszi számunkra a határozott integrál pontos kiszámolását olyan esetekben, amikor a definíció alapján ezt nem tudnánk elvégezni. Márpedig a definíció alapján csak nagyon kevés esetben számolható ki pontosan a határozott integrál, s általában akkor is nagyon nehézkes. példa rész 9

Kidolgozott feladatok 8. feladat: Határozzuk meg az f függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat területét a 0, intervallumon. Megoldás: Készítsünk egy ábrát az alakzatról.. ábra {á:_.png} Amint látható, egy olyan háromszöghöz hasonló alakzat területe a kérdés, amit felülről az f függvény grafikonja, azaz egy parabola határol. Mivel a függvény a 0, intervallumon nem vesz fel negatív értéket, így a területet megkapjuk, ha a függvényt integráljuk ezen az intervallumon. T d 0 Meg kell határoznunk f egy primitív függvényét, így először határozatlanul integrálunk. Hatványt integrálunk, tehát eggyel növeljük a kitevőt, és osztunk az új kitevővel. d c Mivel csak egy primitív függvényre van szükségünk, így c -t tetszőlegesen megválaszthatjuk. Legegyszerűbb a 0 F. c választás. Így kapjuk, hogy f egy primitív függvénye Ezután helyettesítünk a Newton-Leibniz-formulába. T 0 8 d 0 0 A kérdezett terület tehát 8 egységnyi. 0

A későbbiekben az ehhez hasonló feladatok megoldását rövidebben írjuk majd. A primitív függvényt nem határozzuk meg külön, hanem a határozott integrál után egyből írjuk a primitív függvényt - ben, feltüntetve a zárójel után az integrálási határokat. Így a megoldás lényegében csak az utolsó sorból áll majd. Ha a primitív függvény meghatározása nem ilyen egyszerű mint most, akkor célszerű lehet külön elvégezni a határozatlan integrálást, és utána visszatérni a határozott integrálhoz. 9. feladat: Határozzuk meg az d határozott integrált! Megoldás: A megoldás során először primitív függvényt kell keresnünk, amihez alakítsuk át az integrandust úgy, hogy egyetlen hatványt kapjunk. d d d d Adjuk meg a primitív függvényt, hivatkozva a hatványok alapintegráljára, azaz növeljük eggyel a kitevőt, és osztunk az új kitevővel. A primitív függvényt tegyük a -be, és tüntessük fel mögötte az integrálási határokat. A primitív függvényt írjuk minél egyszerűbb alakban. d d Helyettesítsük be a primitív függvénybe a felső integrálási határt, majd vonjuk ki belőle az alsó határ helyettesítési értékét, és végezzük el a műveleteket. 6 d. 0. feladat: 8 d Megoldás: Járjunk el úgy, mint az előző feladatban, azaz írjuk hatványként az integrálandó függvényt. 8 8 d d Határozzuk meg a primitív függvényt, s hozzuk minél egyszerűbb alakra. d d 8 8 8 8

Helyettesítsük be az integrálási határokat, és vegyük a két helyettesítési érték különbségét. A felső határ helyettesítési értékéből vonjuk az alsó határ helyettesítési értékét. A műveleteket ezután végezzük el. 8 8 9 d 8. Ha a primitív függvényben szerepel valamilyen konstans szorzó, mint jelen esetben a, akkor azt határok behelyettesítésekor rögtön kiemelhetjük, így nem kell kétszer leírnunk.. feladat: Határozzuk meg az f cos függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat területét a, intervallumon. Megoldás: Készítsünk ábrát a függvényről és a kérdéses alakzatról.. ábra {á:_.png} Amint látható, a függvény a megadott intervallumon negatív értékeket és a 0-t veszi fel, így az alakzat területe a függvény integráljának -szerese lesz. Persze ezt úgy is mondhatnánk, hogy az integrál abszolút értéke lesz a terület. T cos d cos d Határozzuk meg a primitív függvényt. T cos d sin Helyettesítsük a felső integrálási határt, majd vonjuk ki belőle az alsó határ helyettesítési értékét, és végezzük el a műveleteket.

T sin sin sin 0 A kérdezett terület tehát pontosan egységnyi.. feladat: Határozzuk meg az f függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat területét a, intervallumon. Megoldás: Most is egy ábrával célszerű kezdenünk a megoldást.. ábra {á:_.png} Amint látható, a függvénynek az 0 -nál zérushelye van, s a,0 intervallumon negatív, a 0, pedig pozitív. A területet így két részletben kell számolnunk. Integráljuk egyrészt a függvényt a,0 intervallumon, és ennek az integrálnak vesszük az abszolút értékét, mert itt a függvény negatív vagy 0. Ezzel megkapjuk a függvény és az -tengely közti területet,0 intervallumon. Valamint vesszük a függvény integrálját a 0, intervallumon, ami megegyezik itt a függvény és az -tengely közti területtel, mert a függvény itt pozitív vagy 0. A teljes területet pedig a két terület összegeként kapjuk. 0 0 T d d d d 0 0 Határozzuk meg a primitív függvényt. 0 0 T d d 0 0 Mindkét esetben helyettesítsük az integrálási határokat, és felső határ helyettesítési értékéből vonjuk ki az alsó határ helyettesítési értékét. A számolásokat ezután végezzük el. T 0 0 0 7 0 0. 0

A kérdezett terület tehát. egység.. feladat: Határozzuk meg az területét a, intervallumon. f függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat Megoldás: Most is célszerű ábrázolni a függvény adott intervallumba eső részét. Mivel másodfokú függvényt kell ábrázolnunk, célszerű meghatározni a zérushelyeket. Emeljünk ki -et, mert így azt kell vizsgálnunk, hogy egy szorzat mikor egyenlő nullával. 0 0 vagy 0 0 A zérushelyek tehát 0 és. Ezek ismeretében már könnyen ábrázolható a parabola. Mivel együtthatója negatív, ezért konkáv parabolát kell rajzolnunk.. ábra {á:_.png} A kérdéses alakzat most három részből áll, mivel a függvény két helyen is metszi az -tengelyt az adott intervallumon belül. Az első rész a,0 intervallumhoz tartozó rész, a második a 0, intervallumhoz tartozó rész, s a harmadik a, intervallumhoz tartozó rész. Mivel az első és a harmadik részen a függvény nem pozitív, így a terület meghatározásához ezeken a részeken a függvény integráljának abszolút értékét kell venni. 0 0 T d d d d d d 0 0 Határozzuk meg a primitív függvényt. 0 0 T d d d 0 0 Helyettesítsük mindhárom estben az integrálási határokat a Newton-Leibniz-formulának megfelelően, majd hajtsuk végre a műveleteket.

0 T 0 0 0 0 0 8 6 8 6 8 0 0 6 Amint látható, minél több helyen metszi a függvény grafikonja az adott intervallumon belül a - tengelyt, annál több részben kell számolnunk a területet. Mindig figyeljünk oda arra, hogy mely részintervallumokon halad a függvény grafikonja a -tengely alatt. Ezeken a részeken az integrál abszolút értékét kell vennünk, azaz szorozni kell az integrált -gyel.. feladat: Az euró árfolyama (forintban) az elmúlt hónapban az f t t t t ( ) 0,000 0,06 0,06 08,7 függvény szerint alakult. Mennyi volt az euró átlagárfolyama az elmúlt hónapban? Megoldás: Az árfolyam ingadozását ismerjük az idő függvényében. Az átlagot megkapjuk, ha a f-nek vesszük a határozott integrálját az adott időintervallumon, majd a kapott értéket osztjuk az intervallum hosszával. Számoljuk ki először a határozott integrált. 0 0,000 0,06 0,06 08,7 0 t t t dt 0 0,00007t 0,00t 0,008t 08,7t 907, 0 A kapott értéket osszuk el az intervallum hosszával: 0 0 0,000t 0,06t 0,06t 08,7dt 06,98Ft 0 teszt rész Ellenőrző kérdések 8. Határozzuk meg az f függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat területét a 0,8 intervallumon. 9

0 9. 6 d 97 9 0 9 096 9 0 9 0. 9 d 0. Határozzuk meg az f sin függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat területét a, intervallumon. 6

. Határozzuk meg az területét a 0, intervallumon. f függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat 6. Határozzuk meg az területét a, intervallumon. f függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat 6 8 normál rész Elméleti összefoglaló A határozott integrál nem csak olyan alakzatok területének meghatározását teszi lehetővé, melyek egy függvény grafikonja és az -tengely között helyezkednek el, hanem más görbékkel határolt alakzatokét is. Ha például a folytonos az f és g függvények grafikonjai nem metszik egymást ab, intervallum belsejében, akkor a függvények grafikonjai, valamint az a és b egyenesek által határolt síkrész területe, vagy máképp fogalmazva a függvények grafikonjai közti terület az ab, intervallumon a következő: b a. T f g d 7

Ha tudjuk, hogy az nem negatív értékű függvény az g ab, -n f g, akkor az abszolút érték elhagyható, hiszen f g ab, -n. Az állítás helyességét az egyszerűség kedvéért f és ab, -n pozitív függvények esetén az alábbi ábra segítségével láthatjuk be.. ábra {á:_.png} Ezen látható, hogy az az b a b a f d megadja a pirossal és kékkel jelölt alakzatok területének összegét, g d pedig csak a piros alakzat területét. A kékkel jelölt síkrész területe így a kettő különbsége, tehát: b T f d g d a b. A határozott integrál tulajdonságai között szerepelt, a hogy azonos intervallumon vett integrálok különbsége megegyezik a függvények különbségének integráljával, azaz: b b b. T f d g d f g d a a a Két függvény grafikonja közti területet tehát úgy kapjuk, hogy a nem kisebb függvényből kivonjuk a nem nagyobbat, s különbséget integráljuk. Lényegében ugyanígy járhatunk el, ha két függvény grafikonja által közrezárt síkrész területe a kérdés. Az ilyen alakzat a grafikonok metszéspontjai között helyezkedik el, amint az alábbi ábrán látható. 8

6. ábra {á:_6.png} Ilyenkor először meg kell oldanunk az f g egyenletet. Ezzel kapjuk meg a metszéspontok helyét, azaz a -t és b -t. Ezek után az ab, -n nem kisebb függvényből kivonjuk a nem nagyobbat, s különbséget integráljuk ab, -n. példa rész Kidolgozott feladatok. feladat: Mekkora az f és g, intervallumon. függvények grafikonjai közötti terület az Megoldás: Készítsünk egy ábrát a két függvényről a megadott intervallumon. Ha kiszámoljuk a két függvény értékét az intervallum végpontjaiban, akkor a görbék jelleg alapján könnyű elkészíteni az ábrát. f f g g Az f grafikonja egy konkáv parabola, g grafikonja pedig hiperbola. Illesszünk ilyen görbéket a meghatározott pontokra. 9

7. ábra {á:_7.png} Amint látható, a megadott intervallumon belül nem metszi egymást a két függvény. Így egyszerűen vennünk kell a két függvény különbségét, s azt kell integrálnunk a megadott intervallumon. Mivel tudjuk, hogy az adott intervallumban f g akkor nincs szükség abszolút értékre. T d Határozzuk meg a primitív függvényt. T d ln, így ha az f g különbséget vesszük, Helyettesítsük be az integrálási határokat, és vegyük a helyettesítési értékek különbségét, és végezzük el a műveleteket. T ln ln ln 6 ln 0 ln 0.6 A kérdéses terület tehát közelítőleg 0.6 egység. 7. feladat: Mekkora területű síkrészt zárnak közre az f és g grafikonjai? függvények Megoldás: Mivel két görbe által közrezárt síkrész területe a kérdés, ezért meg kell határoznunk a metszéspontjaikat. Oldjuk meg tehát az f g egyenletet. 0, 0

A kérdezett területet ezután úgy kaphatjuk, hogy a két függvény különbségét integráljuk a két metszéspont között, azaz a, intervallumon, s vesszük az integrál abszolút értékét. Ha azonban el tudjuk dönteni, melyik függvény nagyobb az intervallum belsejében, és a nagyobb értékű függvényből vonjuk ki a kisebb értékűt, akkor nincs szükség az abszolút értékre. Ha készítünk egy ábrát, akkor arról ezt le tudjuk majd olvasni. Az intervallum végpontjaiban a két függvény most ugyanazon értékeket veszi fel. Mivel f f Az g g 0 g az egyszerűbb, így ebbe célszerű helyettesíteni. f másodfokú függvény, grafikonja konve parabola, g elsőfokú, grafikonja egyenes. Ezek után már könnyű egy jó ábrát készíteni. 8. ábra {á:_8.png} A, intervallum belsejében láthatóan g f, ezért a g f integráljuk, s így nem lesz szükség abszolút értékre. T d d Határozzuk meg a primitív függvényt. függvényt T d Helyettesítsük a határokat, és vegyük a helyettesítési értékek különbségét, és végezzük el a műveleteket.

T 8. A két grafikon által közrezárt terület tehát. egység. teszt rész Ellenőrző kérdések. Mekkora az f és g függvények grafikonjai közti alakzat területe a, intervallumon? ln 6 6 6 ln ln 6 ln. Mekkora területű síkrészt zárnak közre az f és g grafikonjai? függvények 0 9 9 8 6. Mekkora területű síkrészt zárnak közre az f és g grafikonjai? függvények.

. példa rész További kidolgozott feladatok 8. feladat: 8 d Megoldás: Az integrandusunk most egy szorzat. Amint az korábban szerepelt, ilyen esetben nincs általánosan alkalmazható integrálási szabály. Át kellene ezért alakítanunk úgy a függvényt, hogy már ne szerepeljen szorzás. Amint a korábbiakban, írjuk át most is a gyököket törtkitevős hatvánnyá, majd végezzük el a szorzást, azaz bontsuk fel a zárójelet. 8 d 8 d 8 d Az integrandus mindkét tagjában azonos alapú hatványok szorzata áll, melyeket egyetlen hatványként is írhatunk. A kitevők ekkor összeadódnak. 6 8 d 8 d 8 d Sikerült elérnünk, hogy már nincs függvények szorzása, hanem csak különbsége. Ekkor tagonként integrálhatunk. Az egyes tagokból a konstans szorzókat kiemelhetjük. 6 6 6 8 d 8 d d 8 d d A két hatványt immár külön-külön integráljuk. 6 6 0 6 6 6 0 6 d d c c c 8 8 6 Mivel törtkitevős hatványokat integráltunk, az eredmény most is írható hatványként és gyökös alakban is. 9. feladat: 9 6 d Megoldás: Az integrálandó függvény most egy tört. Sajnos a törtekre sincsen minden esetben használható integrálási szabály. A függvényt ezért ismét átalakítjuk az integrálás előtt. Első lépésben a gyököt írjuk hatványként.

9 6 9 6 d d Mivel a tört számlálójában összeg illetve különbség áll, a törtet több törtre bonthatjuk úgy, hogy az egyes tagokat külön-külön osztjuk a nevezővel. 9 6 9 6 d d d d A konstans szorzókat ezután kiemelhetjük az egyes integrálokból. 9 6 d d d d 9 d 6 d Az első két tagban azonos alapú hatványok hányadosa áll, amiket egyetlen hatvánnyá alakíthatunk. Ekkor a kitevők különbségét kell vennünk. A harmadik tagban egy hatvány reciproka szerepel, amit negatív kitevős hatványként írhatunk. d 9 d 6 d d 9 d 6 d d 9 d 6 d Már csak egy-egy hatványt kell integrálnunk. Vigyázzunk azonban, mert az első tagban éppen aminek integrálása különbözik a többi hatvány integrálásától. Éppen ezért, ez ne is írjuk hatványként, hanem inkább alakban. áll, 9 6 d d d Most hajtsuk végre az integrálásokat. d 9 d 6 d ln 9 6 c ln 9 6 ln 8 6 ln 8 6 c c c Mint általában az ilyen feladatoknál, az eredmény most is több alakban adható meg.

0. feladat: Határozzuk meg azon véges síkrész területét, melyet a koordinátarendszer két tengelye f 8 függvény grafikonja határol. és az Megoldás: Készítsünk egy ábrát a függvényről, hogy láthassuk, hogyan is helyezkedik el a kérdéses alakzat a koordinátarendszerben. Az ábrázolás könnyű, hiszen az eltolnunk az y -tengely mentén. grafikonját kell 8 -cal lefelé 9. ábra {á:_9.png} Amint látható, a negyedik síknegyedben van olyan síkrész, ami a feladat feltételeinek megfelel. Nyilván szükségünk van arra, hogy meghatározzuk, hol metszi a függvény grafikonja az -tengelyt. Az ábráról sejthető, hogy a zérushely, s ez a függvénybe helyettesítéssel könnyen 8 0 egyenletet is megoldhatjuk, s ezzel is igazolhatjuk, ellenőrizhető is. Természetesen az hogy -nél van a metszéspont. Így egyértelmű, hogy az alakzat a 0, intervallumon található. Mivel itt a függvény negatív értékeket vesz fel, így a területet a függvény ezen intervallumon vett integráljának -szerese adja. T 8d 0 Határozzuk meg a primitív függvényt. T 8 0 Helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba, és hajtsuk végre a műveleteket. T 0 8 80 6 0

. feladat: Mekkora területű véges síkrészt zárnak közre az f és g függvények grafikonjai? Megoldás: Mivel két függvénygrafikonja által közrezárt síkrész terülte a kérdés, így először meg kell határoznunk, hol metszik egymást a grafikonok. Oldjuk meg az f g egyenletet. 0 0 Ha az első tényező nulla, akkor az 0 megoldást kapjuk. Ha második tényező nulla, akkor, amiből vagy vagy. A két függvény grafikonja tehát helyen is metszi egymást. Ez azt jelenti, hogy a két grafikon által közrezárt alakzat két részből áll, mert van közrezárt alakzat az első két metszéspont és a második két metszéspont között is. Ezt jól láthatjuk, ha ábrázoljuk a két függvényt. Az ábrázoláshoz célszerű meghatározni a függvények értékét a metszéspontokban. Ezeken a helyeken a két függvény azonos értéket vesz fel. Mivel f f f g 0 0 g 0 0 0 g 0 g az egyszerűbb függvény, így célszerű abba helyettesítve számolni. 0. ábra {á:_0.png} A kérdéses területe két integrállal határozhatjuk meg. Mivel a,0 intervallum belsejében f g, ezért ezen az intervallumon integráljuk az f g függvényt, s mert a 0, intervallumon g f, ezért ezen az intervallumon integráljuk az g f terület a két integrál összege lesz. 0 0 T d d d d 0 0 függvényt. A 6

Határozzuk meg a primitív függvényeket. 0 0 T d d 0 0 Helyettesítsük az integrálási határokat a megszokott módon, és végezzük el a műveleteket. 0 0 T 0 0 0 8 8 0 8 A közrezárt alakzat területe tehát 8 egység. A feladatot egy integrál kiszámolásával is megoldhatjuk, ha kihasználjuk azt, hogy a közrezárt alakzat két része szimmetrikus az origóra. Ekkor elég az egyik integrált kiszámolnunk, és annak dupláját venni. Szimmetrikus alakzatok esetén így csökkenthetjük a számolás mennyiségét. teszt rész Ellenőrző kérdések 7. ( ) ( )d 6 6 9 6 c 6 6 9 6 c 6 6 6 0 7 8 6 c 9 c 8. ()( ) d c 7

( )( ) c 7 c 7 7 c 8 9. Mekkora annak a véges síkrésznek a területe, melyet a koordinátarendszer két tengelye és f az függvény grafikonja határol? 6 0. Mekkora területű véges síkrészt zárnak közre az f és g függvények grafikonjai? 8

. lecke: Bevezetés az integrálási módszerekbe Tanulási cél: Megismerni az f a b és f f típusú függvények integrálási módszerét, valamint a parciális integrálás szabályát. Ezen módszereket alkalmazni feladatokban. Elméleti összefoglaló Az alapintegrálok ismeretében, és az előző leckében megismert egyszerű tételek felhasználásával a függvények elég széles körében meghatározható a primitív függvény. Az alábbiakban olyan módszereket ismertetünk, melyekkel a primitív függvényt még szélesebb körben meghatározhatjuk. definíció rész Tétel: Ha tudjuk, hogy az f függvény primitív függvénye F, akkor F( a b) f ( a b) d c, a ahol ab, és a 0. normál rész A feladatokban való alkalmazáshoz a tételt másképp úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha olyan összetett függvényt kell integrálnunk, melynek belső függvénye lineáris, akkor integráljuk a külső függvényt, s összetételt alkotunk az eredeti belső függvénnyel, valamint osztunk a belső függvényből együtthatójával. példa rész Kidolgozott feladatok. feladat: sin( ) d Megoldás: Az integrandusunk jól láthatóan olyan összetett függvény, amelynek belső függvénye elsőfokú polinom, vagy más szóval lineáris. Alkalmazhatjuk a fent megismert szabályt. A külső függvény sin. Ennek integrálja: sin d cos c. A belső függvény, ez felel meg a b -nek, azaz a és b. Ezután egyszerűen behelyettesítünk a szabályba. cos( ) sin( ) d c 9

Az ilyen feladatokban általában nem szükséges sok átalakítást végrehajtani az integranduson, a hangsúly azon van, hogy felismerjük, ilyen típusú összetett függvényünk van. Ha ez sikerült, akkor már könnyű alkalmazni a szabályt.. feladat: d 8 Megoldás: Az integranduson megint azt ismerhetjük fel, hogy olyan összetett függvény, melynek belső függvénye elsőfokú. A külső függvény most nyilván az. Ennek integrálja a következő: d ln c. A belső függvény most 8, tehát a és b 8. Alkalmazva az F( a b) f ( a b) d c a szabályt, az alábbi eredményt kapjuk: ln 8 d c. 8. feladat: d cos Megoldás: Ha most deriválnunk kellene, akkor azt mondanánk, jelen esetben egy többszörösen összetett függvényünk van. Külső függvény az, középső a cos, és belső az. Nem muszáj azonban ennyire felbontanunk a függvényt, sőt integrálásnál nem is célszerű. Az előző felbontásban szereplő belső függvény, az, egy lineáris függvény. Csak annyit kell tennünk, hogy amit az előbb külső és középső függvénynek tekintettünk, azt nem bontjuk fel, hanem egyben tekintjük külső függvénynek. Azaz most lesz a külső függvény. Azért célszerű ez a felbontás, mert így a cos külső függvény egy alapintegrál. Tudjuk ugyanis, hogy d tg c. cos Amint már említettük, a belső függvény, azaz a és b 0. Alkalmazva a korábban ismertetett szabályt, az alábbi eredményt kapjuk: tg d c. cos. feladat: 7d Megoldás: Az integrandus ebben az esetben is olyan összetett függvény, melynek belső függvénye elsőfokú. 0

A külső függvény nyilván a, melynek integrálja: d d c c. A belső függvény +7, tehát a, és b 7. Alkalmazva az előzőekben ismertetett szabályt, a következőt kapjuk: ( 7) d c c. 6 7 ( 7). feladat: e d Megoldás: Most is olyan függvényt kell integrálnunk, melynek belső függvénye lineáris. A külső függvény most az e, melynek integrálja önmaga, azaz: e e d c. A belső függvény, tehát a, és b. Alkalmazva az előzőekben ismertetett szabályt, a következőt kapjuk: e e d c e c. A feladatban arra kell figyelni, hogy a lineáris belső függvényben most fordított a sorrend, azaz a konstans áll elől, és az elsőfokú rész hátul. Valamint ne feledkezzünk el arról sem, hogy az együtthatóba az előjel is beletartozik. Mivel most szerepel, ezért az elsőfokú részben az együttható a. teszt rész Ellenőrző kérdések os ) d. c ( sin() c sin( ) c sin( ) c sin( ) c

. 6 d ln 6 c ln 6 c 6ln 6 c ln 6 6 c. d c c ln ln c c. 8 d 8 ln 8 ln 8 ln

8 ln. 9 d 9 7 c 9 6 c 8 9 c 8 9 c normál rész Elméleti összefoglaló definíció rész Tétel: ( ) f d ln f ( ) c. f( ) normál rész A feladatokban történő alkalmazáshoz a tételt úgy is fogalmazhatjuk, hogy ha olyan törtet kell integrálnunk, melynek számlálója a nevező deriváltjával egyenlő, akkor az integrálás eredménye a nevező abszolút értékének a logaritmusa lesz. példa rész Kidolgozott feladatok 6. feladat: d 6 Megoldás: Az integrandus olyan tört, melynek számlálójában épp a nevező deriváltja áll, hiszen 6. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy egy f( ) f( ) típusú függvényt kell integrálnunk. Mivel most jól láthatóan szabályba. f ( ) 6, csak annyi a feladatunk, hogy behelyettesítsünk a

6 d d ln 6 c 6 6 7. feladat: e d e Megoldás: Most azt kell felismernünk az integranduson, hogy a számláló, csak egy konstans szorzóban tér el a nevező deriváltjától, hiszen ( e ) e. Ha be tudjuk csempészni a számlálóba a -at, akkor az integrandus f( ) f( ) típusú lesz, s el tudjuk végezni az integrálást. Hasonló esettel már találkoztunk korábban, és akkor a hiányzó konstanssal szoroztunk is, osztottunk is. Járjunk el most is így, és az osztást egyből írjuk az integrál jel elé reciprokkal történő szorzás formájában. e e e d d d e e e Ezután már csak be kell helyettesítenünk az ( ) f d ln f ( ) c f( ) szabályba. e d ln e c ln e c e Mivel a e 0 minden esetén, ezért hagyhattuk el az abszolút értéket az eredményben. Amint látható, ha olyan törtünk van, melyben a számláló csak konstans szorzóban különbözik a nevező deriváltjától, akkor a hiányzó konstanssal szorozva és osztva is, elérhető, hogy függvény legyen az integrandus. 8. feladat: d Megoldás: Vegyük észre, hogy a nevező deriváltja el a tört számlálójától, ami. Ahhoz, hogy f( ) f( ) f( ) f( ) típusú, csak egy konstans szorzóban tér típusú függvény legyen az integrandus, szükség lenne a számlálóban egy -es szorzóra. Az előbbiek szerint szorozzunk -vel, és ossszunk is -vel. Az osztást egyből írjuk az integrál elé -del szorzás formájában.

d d d Már csak be kell helyettesítenünk a szabályba. d ln c ln c Az abszolút érték most is elhagyható az eredményben, hiszen 0 minden esetén. 9. feladat: tg d Megoldás: Használjuk fel a tg definícióját, azaz írjunk helyette sin cos -et. tg d sin d cos Az integrálandó tört számlálója csak egy előjelben tér el a nevező deriváltjától, hiszen (cos ) sin. Szorozzuk meg ezért az integrandust -gyel, és az integrál elé is írjunk egy negatív előjelet. Így elérjük, hogy az integrandus sin sin (cos ) d d d cos cos cos f( ) f( ) típusú függvény legyen. Ezután már csak be kell helyettesítenünk a megfelelő integrálási szabályba. (cos ) d ln cos c cos 0. feladat: tg cos d Megoldás: Ugyan törtet kell integrálnunk, de most nyilván nem igaz, hogy a számlálóban a nevező deriváltja áll, hiszen a nevezőben egy szorzat van, aminek deriváltja nem. Látunk azonban a függvényben részletként tg -et, amiről tudjuk, hogy deriváltja, s a nevezőben szerepel a cos cos is. Használjuk fel a törtek azon átalakítását, amivel emeletes törtté alakíthatunk egy törtet, ha a nevezőben szorzat áll. Ezt az alábbi módon írhatjuk: a a b b vagy b a b a.

Ha ezt úgy alkalmazzuk, hogy a számlálóba cos deriváltját kapjuk meg, azaz f( ) f( ) cos tg d d d tg cos tg tg Ezután már csak be kell helyettesítenünk a szabályba. tg d ln tg c tg kerül, akkor ezzel a nevezőben maradó tg típusúvá sikerül alakítanunk a függvényt. A feladatot sikerült megoldanunk, de talán többen azt mondják magukban, hogy ők bizony másképp sin alakították volna az integrandust. Az előző feladatban szerepelt, hogy tg, amit most is cos felhasználhattunk volna. Így a tört nevezőjében még egyszerűsíthetünk is. d d d sin cos cos tg cos sin cos Ezen a ponton azonban elakadunk. A kapott tört nem alapintegrál, és nem tudjuk egyik könnyen integrálható függvénytípust, azaz f a b -t, vagy f( ) f( ) -t sem kialakítani. Az átalakításunk ugyan jó, de nem segít a függvény integrálásában. Az integrálási feladatokban tudatosan keresni kell, hogy a tanult szabályok közül melyik alkalmazható az adott esetben. Mivel már két olyan szabályt is láttunk, amiben függvény és deriváltja is szerepel, így kijelenthetjük, hogy a szabályok sok esetben csak akkor ismerhetők fel, ha jól ismerjük az alapderiváltakat. Ha nem tudjuk, melyik függvénynek mi a deriváltja, akkor nem fogjuk felismerni a feladatokban, hogy ezeket az integrálási szabályokat kellene alkalmaznunk. Ilyenkor könnyen kerülhetünk olyan zsákutcába, mint amibe fenti átalakításokkal jutottunk.. feladat: d ln Megoldás: Ilyen formában a tört számlálója nyilván nem egyenlő a nevező deriváltjával. De a nevezőben látjuk az ln -et, amiről tudjuk, hogy deriváltja, és az is ott van a nevezőben. Ha ugyanúgy emeletes törtté alakítunk, mint az előző feladatban, akkor most is kapunk. Vigyünk a számlálóba az -et. f( ) f( ) típusú függvényt 6

ln d d d ln ln ln A szokásos módon már csak behelyettesítünk a szabályba. ln d ln ln c ln teszt rész Ellenőrző kérdések 6 6. d ln 6 c ln c ln c ln c d 7. ln c ln c ln c ln c 8. e d e 8 ln 8 e c 7

ln 8 e c ln 8 e c e c e ln 8 9. ctg d ln cos c ln cos ln sin c c ln sin c 0. d ctg sin ln ctg c ln ctg c ln sin ln sin c c 8

Modulzáró ellenőrző kérdések. 6 d c 0 c c 0 c pont. d cos tg c ctg c tg c ctg c pont 9 d. 0 7 7 8 8 pont 9

f. Határozzuk meg az területét a 0, intervallumon. függvény grafikonja és az -tengely közötti alakzat 8 pont. Mekkora területű síkrészt zárnak közre az f és g grafikonjai? 0 függvények 6 6 pont 6. d c c c 0

c pont 7. 0 d 9 7 0 ln 9 7 c 9 90ln 97 c 0 ln 7 c 9 0 ln 9 c 7 pont 8. d 6 ln 6 c ln 6 c ln 6 c ln 6 c pont