. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Döts l, hogy fáll mid A és B halmaz sté a A B) \ B A összfüggés! Ha m, adjo szükségs és légségs fltétlt arra, hogy mikor áll f! A B) \ B A iff A és B diszjuktak, hisz gyrészt A B) \ B A ha A, akkor / B, másrészt A B A iff A B és B.. Határozza mg az : + t, y t, z t gys vtülték gyltét az S : y + z síkra! ) P S mghatározása: + t t) + t) 4 + 4t t P 5,, ). ) Valamly S-r P S mghatározása: Lgy P ),, ) : + t, y t, z + t + t t) + + t) 4 + 4t t /7 P /76,, ). Ebből már a P P iráyú vtültgys mghatározható: 5 + 6/7 t, y /7 t, z /7 t.. + )? Csdőrlvvl a határérték, mrt : + ) + ). 4. Mily összfüggés va az alábbi két állítás között? a. a ) kovrgs b. a ) kovrgs a ) kovrgs a ) kovrgs, mrt kovrgs hatváyai is azok, d fordítva m igaz, csak ayi, hogy a ) kovrgs a ) kovrgs, például ha a ), akkor a ) kovrgs, d prsz a ) m kovrgs. 5. Lgy f) si. f)? f)? f), mrt csdőrlvvl f) és hlyttsítéssl f/y) si y y, ha y, így f) f/y). y + 6. Flvszi maimumát az f) + + Ig, az + potba, ugyais f ) + + ) + ) f), mrt az /y függvéy a, ) itrvallumo? Ha ig, hol? + ) iff ± és yilvá lflé fordított parabóla) az, + jlöléssl f, ] csökk, [, ] ő, majd [, ) újra csökk, thát, mivl f) gatív a, ) itrvallumo, f) f ) f ) ha, f) f ) ha és f) f ) ha. 7. Va szakadása, és ha ig, mily tipusú, az f) arctg, f) függvéy driváltjáak az origóba? Nics, f folytoos az origóba, hisz f arctg ) arctg hisz arctg korlátos és ugyaz okból ha, akkor f ) arctg + + ) arctg + + így f ), ha, hisz a második tag yilvá midütt folytoos és az origóba. 8. + d? + d + + d d l + + l l ) l
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Bizoyítsa b a Pythagorász tétlt vktoralgbrai szközökkl! Ha a két bfogó a és b az átfogó pdig c, akkor a, b) és a + b c, thát c c c, c) a + b, a + b) a + a, b) + b a + b a + b. 4 4 4. 4 + 4? 4 4 4 4 + 4 4 + 4, mrt.. Lgy a ) ttszőlgs sorozat. Az alábbi állítások közül mlyik igaz, mlyik m? Válaszát idokolja! a) Ha a ) mooto és korlátos, akkor mid részsorozata kovrgs. b) Ha a ) mid részsorozata kovrgs, akkor a ) mooto és korlátos. c) Ha a ) mooto és va korlátos részsorozata, akkor kovrgs. d) Ha a ) korlátos és va mooto részsorozata, akkor kovrgs. a) Ig, a mooto és korlátos a kovrgs a mid rászsorozata kovrgs. b) Nm: va m mooto d kovrgs sorozat is, pl. a ) c) Ig: Ha a mooto és va korlátos részsorozata, akkor a korlátos hisz llkző stb va a ak pl. a övkdő sté) hz kovrgáló a f) részsorozata, azaz ttszőlgs P sté va N, hogy mid > N r a f) > P, amiből a mootoitás miatt mid > fn + ) r a > a fn+) > P, vagyis a adódik. d) Nm: két mooto külöböző hatérértékhaz tartó sorozat összfésülés, pl. a ), llpéldát szolgáltat. 4. Ivrtálható- az f) si függvéy a I [/4, /] itrvallumo? Ha ig, gylts folytoos- az ivrz f I? Ig, ivrtálható, mrt kölcsöös gyértlmű függvéyk összttt függvéy is triviálisa kölcsöös gyértlmű és folytoos ivrz is folytoos, így zárt itrvallumo gylts folytoos. 5. Adja mg azt a lgkisbb pozitív gész t ha va ily), mlyr a kövtkző f függvéy driválható az origóba: f) ha és f) ha >., mrt ha >, akkor f jobb és baloldali driváltja mggyzik az origóba, hisz f +) f ), thát kkor f driválható itt, d ha, akkor z m igaz, mrt f +) f ). 6. +? L Hospitallal: ha + vagy: y hlyttsítéssl: mrt L Hospitallal y y y ha y. 7. +? + + l + ) l ) + ) 8. Lgy f) si ha és f). Hol értlmztt és hol driválható a g) ft)dt függvéy? Ha létzik, számítsa ki a a g ) értékét! g midütt létzik és driválható, mrt f midütt folytoos és zért g ) f) mid r, thát g ) f ) si. y + y y
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Oldja mg a z 6 z + gyltt a kompl számok köréb! Az gylt yilvá z ) z + z ), azaz z, amiből z és z, ±/ j/.. Lgy az a ) sorozat a kövtkző:,,,,, 4, 5 4, 9 4,, 8, 9 8, 7 8, 5 8, 4, 6, 7 6, 6, 49 6, 65 6, 5,,, 65,... a) Döts l hogy a) kovrgs-! b) Határozza mg a) sűrűsödési értékit! c) if a)? sup a)? Rdzzük a sorozatot az alábbi végtl háromszög alakba:,,, 4, 5 4, 9 4, 8, 9 8, 7 8, 5 8, 6, 7 6, 6, 49 6, 65 6,,, 65,... Ekkor az lső oszlopba gy hoz tartó, a második oszlopba gy hz tartó, és így tovább, az. oszlopba gy hz tartó részsorozat va. Így a m kovrgs, mrt több sűrűsödési érték va, vzts sűrűsödési értéki a trmészts számok, thát if a) sup a).. Mlyk igazak és mlyk hamisak az alábbi állítások közül? a) Mid korlátos sorozatak va mooto részsorozata b) Mid mooto sorozatak va korlátos részsorozata c) Mid korlátos sorozatak va kovrgs részsorozata d) Mid kovrgs sorozatak va korlátos részsorozata a) Igaz, mrt mid sorozatak va mooto részsorozata lásd a Bolzao Wirstrass tétl lső flék csúcsos bizoyítását). b) Nm igaz, pl. a c) Igaz: Bolzao Wirstrass tétl d) Igaz, mrt mid kovrgs sorozat maga is korlátos, így md részsorozata korlátos. 4. 8? 8 8 + 8 8 + 8 8 4 ha. + 5. Döts l, hogy korlátos az f) l + függvéy az I [, ) itrvallumo! Ig: gyrészt f) pozitív I, másrészt L Hospitallal f), így va P >, hogy < f) < mid > P r és az I [, P ] itrvallumo f) folytoossága miatt korlátos. Végül yilvá I bli korlátja és közül a agyobb korlátja lsz I is. 6. Bizoyítsa b, hogy mid > sté < + < +. Lgy f), g) +, h) +. Ekkor f) g) h) és f ) < + ) g ha >. Ez utóbbi gylőtlség azért igaz, mrt g ) h ) és g ) +) < h ) ha >. 7. si d? si d si si d cos + cos 4. 8. t dt? Lgy f) és F ) t dt ft) dt Vagy hasokóa L Hospitallal f folytoossága miatt ft) dt F ) si cos ) d si d si cos d ft) dt. Ekkor F ) és így f folytoossága miatt F ) F ) F ) f). f) f).
4. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Mit modhatuk az A és B halmazok viszoyáról, ha A B) A B). A B, ugyais A B) A B) A B { A B}, ami viszot azt jlti, hogy: A B, azaz A B és prsz ugyaígy adódik az is, hogy B A.. Lgyk a ) és b a kövtkző sorozatok: a, b ttszőlgs N sté. Adjuk mg olya c ) és d ) sorozatokat, ha vaak ilyk, hogy c ) sűrűsödési értéki potosa a lmi és d ) sűrűsödési értéki potosa b lmi! c például a kövtkző: +, +, +, +, +, +,...... + k, + k, + k,..., k + k, + k +,... A fltétlk mgfllő d sorozat m létzik, mrt b gytl sűrűsödési érték, a ulla is szükségképp lőfordul bármly olya ) sorozat sűrűsödési értéki között, mlyk b összs lm sűrűsödési érték, hisz ullához bármily közl sik b ) k lm, mlyhz bármily közl va ) k lm. Másszóval, ha ) sűrűsödési értéki b ) lmi, akkor ) sűrűsödési érték a ulla is, mly b ) k m lm..?? ), és csdőrlvvl is hz tart mrt hisz az 4. Lgy f) arctg és g) mlyr továbbá arctg. Adjo példát olya ) sorozatra, ha va ily, a) f )) kovrgs és g )) kovrgs b) f )) divrgs és g )) divrgs c) f )) divrgs és g )) kovrgs d) f )) kovrgs és g )) divrgs Átvitli lv alapjá mivl f folytoos az origóba, míg g k ugrása va itt: a), b) c) ily ics d) ). 5. si? si si és, igy az y hlyttsítéssl si si y. V y y 6. Ábrázolja vázlatosa az f) függvéyt lgfotosabb jllmző értékik fltüttésévl! 7. Lgy f) cos cos. Létzik az alábbiak közül gy vagy több itgrál? f) d f) d 5 f) d Ig, mid a három létzik, mrt a) f korlátos és szakadási hlyi az itrvallum gy potjába, az origóba torlódak, b) f korlátos és az itrvallum gy potja kivétlévl folytoos, c) f folytoos az itrvallumo. 8. l d? l d l d l d + ).
5. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Bizoyítsa b vktoralgbrai szközökkl a Thálsz tétlt! A középpotból iráyítva a kör gy gy potjához húzott hlyvktorok lgyk r és r. Mivl az r végpotjához tartozó átmérő másik végpotjáak hlyvktora r, így blátadó, hogy r r r ) r ), azaz r r, r r )). D r r, r r )) r r, r + r )) r r, hisz r r a kör sugaráak hossza.. Bizoyítsa b, hogy bármly A, B, C halmazok sté a b c) ab + c) ab + c) a b + a c A \ B \ C) A \ B) A C). Az alábbi állítások közül mlyik igaz, mlyik m? a) Ha a kovrgs a ) is kovrgs b) Ha a divrgs a ) is divrgs c) Ha a, akkor a ) d) Ha a ), akkor a a) m: a b) m: a a b és a c sorozatok összfésülésévl kltkztt sorozat. c) m + d) ig: a végülis a ) a, amiből csdőrlvvl a. 4. Lgy a > ttszőlgs valós szám. Határozza mg a határértékt a függvéyéb! Három st va: + a a a) Ha a >, akkor + a a ) a + + a a + a és végül b) ha a <, akkor a. ), b) ha a, akkor a 5. Egylts folytoos az f) függvéy a [, ) itrvallumo? Ig: gyrészt f folytoos így gylts folytoos az I [, ] itrvallumo, másrészt f ) ha, thát f korlátos az I [, ) itrvallumo, így f gylts folytoos I, kövtkzésképp f gylts folytoos I és I gysítésé, hisz yilvá itt az adott ε hoz a két részitrvallumo található él kisbb δ ák közül a kisbb jó lsz. 6. Hol és mily szakadása va az függvéyk? Ugrása: f) + y y + y y f) + y + y y + y f). 7. Lgy f) + 9 + 8. Va valós gyök f k? Ha ig, va pozitív gyök? Va, páratla fokszámú poliomak midig va valós gyök. Pozitív gyök azoba ics, mrt f ) + 6 9 ) + ) sté f ) és sté f ) f) f) > ha [, ). 8. Va primitív függvéy az f) függvéyk? Ha ig, határozzo mg gyt! d d) + )
6. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Mly z kompl számokra igaz, hogy z + z és z z 4. Lgy R z és Im z y. Ezkkl és z z z + y + y 4 y y ± z ± j). Határozza mg a P,, ) poto és az : + t, y t, z + t gys átfktttt S sík gyltét! Lgy P,, ) és a P P,, ), továbbá iráyvktora v,, ). S ormálvktora a v,, ), így S gylt: ) + y ) + y.. Adjo példát olya számsorozatra ha létzik ily, mlyr igaz, hogy a) ics végs sűrűsödési érték b) gytl végs sűrűsödési érték va és m kovrgs c) ics sm végs sm végtl sűrűsödési érték d) ics végtl sűrűsödési érték és m kovrgs a) a b) a ) a b és a c összfésülésévl kltkztt sorozat c) ily ics: ha gy sorozat korlátos, akkor va kovrgs részsorozata, ha pdig m korlátos, akkor va végtlb divrgáló részsorozata d) a ) 4. + )? + + + + ) + + 5. Az alábbi állítások közül mlyik igaz, mlyik m? Válaszát idolokolja! a) Ha gy függvéy flvszi miimumát és maimumát gy korlátos itrvallumo, akkor folytoos ott b) Ha gy függvéy folytoos gy korlátos itrvallumo, akkor flvszi miimumát és maimumát ott c) Ha gy függvéy m vszi fl sm miimumát sm maimumát gy korlátos itrvallumo, akkor m korlátos ott d) Ha gy függvéy m korlátos gy korlátos itrvallumo, akkor vagy miimumát vagy maimumát m vszi fl ott a) m: f) sig a [, ], b) m: f) a, ). c) m: f) a, ). d) igaz, llkző stb az itrvallumo: mi f) f ) f) f ) ma f). 6. Lgy f). Határozza mg az f driváltfüggvéyt, ahol az létzik, és állapítsa mg, hol driválható az f driváltfüggvéy. f) ha < és f) ha, így f ) ha <, f ) ) és f ) ha > azaz f ) így f az origóba m, az origó kivétlévl azoba midütt driválható. 7. Bizoyítsa b, hogy az y gyltű görb potbli éritőj átmgy az origó! Az éritő gylt: y ) y, mly átmgy az origó. 8. + d? t l l t, d dt t + d t + t t dt + t dt l + t l + )
7. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Mit modhatuk az A, B halmazok viszoyáról, ha A B A B. A B, ugyais A A B A B B, vagyis A B és ugyaígy fordítva, azaz B A, thát A B, vagy: ab a a + b ab a ab és ugyaígy fordítva, azaz b ab, thát a ab b a b.. Állapítsa mg, hogy az : + t, y t, z + t és az : t, y t, z t gysk gy síkba vaak-, és ha ig, határozza mg z sík gyltét! Ig, mrt a két gys mtszi gymást a P,, ) potba + t, y t, z + t, λ, y λ, z λ + t λ, t λ t λ t/, t λ,, y, z ). Lgy v,, ) az és v,, ) az iráyvktora. A krstt S sík ormálvktora v v,, ), amivl S gylt: ) z + ) z.?? és csdőrlvvl is hz tart mrt, hisz az részsorozata, vagy. 4. Az a ), b ) számsorozatokra voatkozó alábbi kövtkzttésk közül mlyik igaz és mlyik m? Válaszait idokolja! a) Ha a b ) kovrgs, akkor a ) is és b ) is kovrgs b) Ha a ) is és b ) is kovrgs, akkor a b ) is kovrgs c) Ha a b ) kovrgs, akkor vagy a ) vagy b ) kovrgs d) Ha a ) vagy b ) kovrgs, akkor a b ) is kovrgs a) Nm igaz, pl. a b ) b) igaz, kovrgcia ivariás az alapművltkr ézv c) m igaz, lásd a) d) m igaz, pl. a és b, vagy a ) és b + ) si 5.? Kétszr L Hospitallal: si cos si 6 6 si 6. 6. Ábrázolja vázlatosa az f) függvéyt lgfotosabb jllmző értékik fltüttésévl! f ) + ). 7. Bizoyítsa b, hogy Az ábrát lásd a túloldalo. < ha > Lgy f) és g). Ezzl f) g) és f ) < g ) ha >, hisz szigorúa mooto övkdő, amiből a Lagrag középértéktétlll kész vagyuk. Valóba, a tétlt a h) g) f) függvéyr alkalmazva: ha >, akkor valamly c > r h) h) h) h c) g c) f c) > h) >. 8. si d? si d cos d d cos d si 4 ).
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 998/99 tél I. évf..-8.tk.. Lgy E ttszőlgs halmaz. Mly A, B E halmazokra áll f, hogy A B és A B E? Állítását idokolja! A B, mrt A B B B A, vagyis A iff B.. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + ) b) + ) a), mrt az a + ) részsorozata. b), mrt + ) + ) ), hisz + ) >.. Létzik-, és ha ig myi a si l? + si l si l ha +, mrt ha +, akkor l és si. 4. Egylts folytoos- a az f) függvéy az I, ) itrvallumo? Ig, f folytoos a [, ] zárt itrvallumo, így z és vl prsz k mid részitrvallumá, köztük I is gylts folytoos. 5. Va- gyök az gyltk és ha ig háy? Lgy f), f ) 99. Ez potosa akkor ulla, ha 99 azaz ha és itt mooto övő módo vált lőjlt a drivált, thát miimuma va. A függvéy a miimumhly lőtt szigorúa mooto csökkő, utáa szigorúa mooto ővő és midkét végtlb a határérék plusz végtl, thát f) < és a folytoosság miatt Bolzao tétlll potosa két gyök va. 6. d? Parcialis itgrálással: d d ).
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 998/99 tél I. évf..-8.tk.. Adjo mg két olya potot, mly rajta va az y +z, +y +z síkok mtszésvoalá! Pl. val y + z, y + z, amiből 4z, thát y, így P,, ) és ugyaígy pl. y val + z, + z, amiből 4, thát z 7, így P 4,, 7 ). VAGY: Másodikból az lsőt lvova: +y 4, így y t, 4 t, z.5 y).5 8 + 4t t) 7 + t a mtszésvoal, thát pl. t, al: P,, ), P,, ).. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + ) a), mrt + ). b), mrt mrt + ) 9, hisz az a b) + ) + ) + + ) részsorozata. ) ) 9,. Lgy f) és g) fff ))) ), g). Hol m folytoos a g függvéy, és itt mily szakadása va? g) + y y z z és f) y y z z w w, thát az origóba másodfajú szakadása va, másutt folytoos, mrt lmi függvéy. 4. Lgy ttszőlgs mgatív gész. Határozza mg a határértékt! L Hospitalt flhaszálva, r voatkozó tljs idukcióval blátjuk, hogy mid trmészts r. Valóba sté az idukciós hipotézis alapjá.. Másrészt, r 5. Ábrázolja vázlatosa a gyökök, a szakadási hlyk és a végtlb vtt határértékk és a szélsőértékhlyk mghatározása alapjá az f) függvéyt! Csak az b szakad. f) f), + + f) f), f ) ), ami az origóba övkdő, b csökkő vált lőjlt, így lokális miimuma ) va az origóba, f), lokális maimuma pdig az b, f) 4. 6. Lgy f) si ), f). Va- primitív függvéy f k a [, ] itrvallumo? f midütt folytoos origó kívül lmi függvéy, origóba korlátos és ullához tartó szorzatakét ullához tart), így mid itgrálfüggvéy primitív függvéy, és z szité a folytoosság miatt midütt létzik.
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 998/99 tél I. évf..-8.tk.. Adja mg összs olya kompl számot, mlyr z + j. j j j így z + j iff z j iff z j vagy z j j/ j7/6 vagy z j j4/ j/6. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + ) b) ) a), mrt + miatt va q <, hogy lég agy r ) + q. b) /, mrt az + c ) c részsorozata c / al.. l + ) l? + l + ) l + ) l VAGY L Hospitallal: l + ) l l + l + ) l l + ) mrt + l + és l. + + l + 4. Egylts folytos- az f) függvéy a [, ) itrvallumo? Ig, mrt a dfiícióból ttszőlgs ε > hoz a δ ε jó választás, hisz:, y [, ) r f) fy) y < ε ha y < ε. VAGY: f ) korlátos az gész itrvallumo. 5. Adjo mg gy olya m ürs itrvallumot, ahol az f) 5 8 függvéy ivrtálható! f ) 5 4 8 4 6 ±, így > és < sté szigorúa mooto övő, [, ] szigorúa mooto csökkő, thát zk az itrvallumoko ivrtálható. 6. +. cos d? cos d + cos d d + cos d + si
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 999/ tél I. évf..-8.tk.. Mtszik az alábbi gysk gymást, és ha ig hol? : + t, y + t, z t ; : + t, y + t, z t, y y + t + s, + t + s t + s, s 4 + t t + t t, s P 4, 5, ). Igazak a kövtkző állítások? a. Ha a ) és b ) divrgs, akkor a b ) is divrgs b. Ha a ) kovrgs és b ) divrgs, akkor a b ) divrgs c. Ha a ) divrgs és a b ) kovrgs, akkor b ) kovrgs d. Ha a ) kovrgs és a b ) kovrgs, akkor b ) kovrgs a. Nm : a b ) ; b. Nm : a, b ) ; c. Nm : lásd a. ; d. Nm : lásd b. ch. sh ch sh? + + 4. Az alábbi itrvallumok közül mlyk gylts folytoos az f) függvéy? I, ), I [, ], I [, ) Midhármo : a) Hi tétlll mrt f CI ) és I zárt korlátos itrvallum, b) I I, c) f ) f ) ha I f korlátos I o. 5. Lgy f) ) mid > ra. f )? f) l f) l f) l f ) f)l f)) f) l + ) f) l + ) 6. l d? l d l d l 9 9 + 9 9 + 9
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 999/ tél I. évf..-8.tk.. Bizoyítsa b, hogy bármly A, B és C halmazokra A B C ből kövtkzik, hogy C A B. A B iff B A és d Morga. VAGY közvtlül : C C A B A vagy B A vagy B A B. a +. Lgy a ) pozitív tagú számsorozat. Igaz, hogy ha, akkor a ) kovrgs? a Igaz k az állításak a mgfordítása? Nm, pl. ha a r bármly racioális r > ra, mrt kkor a + + )r a r + )r, d prsz r > sté a r, azaz a m kovrgs. A mgfordítás sm igaz, pl. ha a q, ahol < q < akkor a a + és q, VAGY ha a, akkor is a a és a + a. + + 4? + + 4 + ) + ) + + ) + + + 4 mrt. + ). 4. Mlyik igaz, mlyik m : a) Ha f folytoos [a, b], akkor f korlátos [a, b] b) Ha f korlátos [a, b], akkor végs sok pot kivétlévl f folytoos [a, b] c) Ha f folytoos a, b), akkor végs sok pot kivétlévl f driválható a, b) d) Ha f driválható a, b), akkor f folytoos a, b) a) Ig : Wirstrass b) Nm : [, ] Dirichlt VAGY f) ha valamly N r és f) gyébkét c) Nm : f) si,) folytoos mrt itt értlmztt lmi függvéy abszolút érték, d az N) potokba yilvá jobb és baloldali driváltjai m gylők, VAGY prsz pl. gy olya magas gylőszárú háromszögkből álló végtl sorozat, amlyél a háromszögk alapjai rdr az [ +, ] N) itrvallumok f + h) f) d) Ig : f + h) f) h h h o f ) 5. Lgy f) arctg ha és f). Hol driválható az f függvéy? f )? Midütt, mrt a) az origó kívül itt értlmztt lmi függvéy f + h) f) b) az origóba : h arctg h h h f ) arctg + 6. + d? + d arctg h h, így + ) arctg + ha és f ). 4 + d l + ) l l ) l l
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 999/ tél I. évf..-8.tk.. Adja mg a j j) ) kompl számot kaoikus alakba! j j) j j 4 j 4 j j) ) j 4 ) j 4 5 5j 5 j )+) 5 j 5. 4 4 + )? 4 4 + ) 4 + +. Hol és mily szakadása va az f) Ugrás az origóba : f) + y 4 4 4 + 4 + 4 4 + 4 + y z függvéyk! z, f) y Másutt m szakad l, mrt a vző csak r és y iff y, d y. y z 4. Mlyik igaz, mlyik m? a) Folytoos függvéy driválható b) Driválható függvéy folytoos c) Driválható függvéy driváltja folytoos d) Folytoos függvéy itgrálható ) Itgrálható függvéy folytoos a) Nm, pl. f) az origóba. Valóba : lgy g). Ezzl f) g) ha, és f) g) ha, így f +) g ) g ) f ), f + h) f) g vl gyütt folytoos. b) Ig f + h) f) h h pdig f mit g abszolút érték h f ). z. c) Nm : f) si ha, f). f midütt létzik : f h si h ) h si h h h h és ra f ) si cos, amik ics határérték az origóba. d) Ig ) Nm : pl. sig. 5. Ábrázolja vázlatosa az f) függvéyt lső és második driváltjaival gyütt f lgfotosabb jllmzői potjaiak fltüttésévl úgy, hogy az ábrából zkk a potokak a driváltak jllmző potjaival való viszoya is mgállapítható lgy! f ) ), f ) ), f ) ) f ) f ) f ), f ) > ha <, f ) < ha >, f ) < ha <, f ) > ha >, spc. f ) < ) f ) < ha <, f ) > ha > spc. f ) > ) : 6. 4 si d? 4 si d 4 cos ) d si ) 4 4 ) 8 4.
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal / tél I. évf..-8.tk.. a) Bizoyítsa b vktoralgbrai szközökkl a sziusz tétlt! b) Igaz, hogy a sté a b a c ből kövtkzik b c. a) Háromszög T trülték duplája két külöböző oldalpárja krsztszorzatával : c a T c b c a si β c b si α a b si α si β. b) Nm : csak ayi kövtkzik, hogy a b c, pl. a b a a + b).. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) ) b) ) a), mrt végül ) hisz prsz ). b), mrt végül ). ) ) ),. Mutassa mg, hogy az f) függvéy gylts folytoos a [, ] és az [, ) itrvallumokba! Igaz, hogy f gylts folytoos az gész [, ) itrvallumo? [, ] : Hi. [, ] driváltja korlátos : f ) / ha. Így prsz az gész jobb félgys is gylts folytoos, hisz adott ε hoz a két részitrvallumo létző δ ákál és él kisbb jó lsz midütt. 4. Lgy ttszőlgs mgatív gész. Határozza mg a l ) határértékt! + L Hospitalt flhaszálva, r voatkozó tljs idukcióval blátjuk, hogy mid trmészts r. Valóba sté + l ) l ) l ) l ) +. Másrészt, r l + ) az idukciós hipotézis alapjá. 5. Ábrázolja vázlatosa a gyökök, a szakadási hlyk és a végtlb vtt határértékk és a szélsőértékhlyk mghatározása alapjá az f) függvéyt! Gyök ba. Csak b szakad. f) + f) + f), f), f ) ) ), ami az origóba m vált lőjlt, / b csökkő vált lőjlt, lokális maimuma thát az / b va, f/) 7 4. 6. + d? + d + d ) + 9 ) 9 8 ).
. Vizsgazárthlyi mgoldásokkal / tél I. évf..-8.tk.. a) Bizoyítsa b vktoralgbrai szközökkl a kosziusz tétlt! b) Igaz, hogy a sté a b a c ből kövtkzik b c. a) Iráyítsuk úgy a háromszög oldalait, hogy a C csúcsba találkozó élk a csúcsból kifl lgyk iráyítva. Ekkor : a b c vagy a b c a b) a b) a a b + b c a a b cos γ + b c. b) Nm : csak ayi kövtkzik, hogy a b c, pl. c a a b a c + b).. Határozza mg a kövtkző határértékkt! a) + a), mrt végül hisz prsz b), mrt végül + + ) + ) > > + ) ) ) ) ) ) b) +. Lgy f), g). Mutassa mg, hogy f gylts folytoos a [, ], míg g az [, ) itrvallumo! Igaz, hogy f gylts folytoos a, ) itrvallumo? f [, ] : Hi és prsz, ) is mrt gylts folytoosság a részhalmazokra öröklődik, hisz adott ε hoz yilvá ott is jó lsz az a δ, amlyik az gész halmazo jó. g [, ] : driváltja korlátos : f ) ha. 4. Határozza mg a l határértékt! l l VAGY : y +, + hlyttsítéssl : l y l y y l y y + 5. Lgy f) cos ha és f). Létzik, és ha ig folytoos az f függvéy driváltja az origóba? Létzik, f f) f) ), mrt cos cos hisz gy korlátos és gy hoz tartó szorzatáak a hatérérték, d m folytoos, mrt ha, akkor f ) cos + si, amik prsz ics határérték az origóba, hisz az lső tagak, mit gy korlátos és gy hoz tartó szorzatáak a hatérérték, míg a második tagak prsz ics határérték az origóba pl. Átvitli lvvl, y és így a kttő összgék sm lht határérték itt. 6. si + cos d? si + cos d l + cos 4 + ) l l l sté f ) ), f y ) )