Fraktálok Bevezetés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014-2015 Tavasz TARTALOMJEGYZÉK 1 of 51
Előzetes a bevezetőhöz 2 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem
Előzetes a bevezetőhöz 3 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom
Előzetes a bevezetőhöz 4 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával
Előzetes a bevezetőhöz 5 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry
Előzetes a bevezetőhöz 6 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature
Előzetes a bevezetőhöz 7 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature Richard M. Crownover: Introduction to Fractals and Chaos
Előzetes a bevezetőhöz 8 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature Richard M. Crownover: Introduction to Fractals and Chaos... és még sokan mások
Előzetes a bevezetőhöz 9 of 51 Értékelés ÉRTÉKELÉS Feladatok
Előzetes a bevezetőhöz 10 of 51 Értékelés ÉRTÉKELÉS Feladatok Programok
Előzetes a bevezetőhöz 11 of 51 Értékelés ÉRTÉKELÉS Feladatok Programok Kiselőadások
Előzetes a bevezetőhöz 12 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák
Előzetes a bevezetőhöz 13 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia
Előzetes a bevezetőhöz 14 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió
Előzetes a bevezetőhöz 15 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió
Előzetes a bevezetőhöz 16 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet
Előzetes a bevezetőhöz 17 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet Hasudorff-dimenzió és egyéb tört dimenziók
Előzetes a bevezetőhöz 18 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet Hasudorff-dimenzió és egyéb tört dimenziók Alkalmazások
Előzetes a bevezetőhöz 19 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet Hasudorff-dimenzió és egyéb tört dimenziók Alkalmazások...
Előzetes a bevezetőhöz 20 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma
Előzetes a bevezetőhöz 21 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció
Előzetes a bevezetőhöz 22 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek
Előzetes a bevezetőhöz 23 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok
Előzetes a bevezetőhöz 24 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai
Előzetes a bevezetőhöz 25 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai Sztringek formális leírása (szabad félcsoportok)
Előzetes a bevezetőhöz 26 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai Sztringek formális leírása (szabad félcsoportok) Jelölések: Z, R,...
Előzetes a bevezetőhöz 27 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai Sztringek formális leírása (szabad félcsoportok) Jelölések: Z, R,... Programozás
Előzetes a bevezetőhöz 28 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy
Előzetes a bevezetőhöz 29 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a
Előzetes a bevezetőhöz 30 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u
Előzetes a bevezetőhöz 31 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A =
Előzetes a bevezetőhöz 32 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A =
Előzetes a bevezetőhöz 33 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A = A felső határ: lim sup n x n = lim n sup k>=n x k
Előzetes a bevezetőhöz 34 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A = A felső határ: lim sup n x n = lim n sup k>=n x k Ha f valós függvény, akkor lim sup x 0 f (x) = lim s 0 sup 0<x<s f (x)
Előzetes a bevezetőhöz 35 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A = A felső határ: lim sup n x n = lim n sup k>=n x k Ha f valós függvény, akkor lim sup x 0 f (x) = lim s 0 sup 0<x<s f (x) Az alsó határ hasonlóan
Némi történelmi bevezetés 36 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I
Némi történelmi bevezetés 37 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I
Némi történelmi bevezetés 38 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I
Némi történelmi bevezetés 39 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I
Némi történelmi bevezetés 40 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I Nem róla lesz szó...
Némi történelmi bevezetés 41 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II
Némi történelmi bevezetés 42 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II
Némi történelmi bevezetés 43 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II
Némi történelmi bevezetés 44 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II Weierstrass: f (x) = k=1 ak cos(b k πx), ahol 0 < a < 1, b pozitív páratlan egész és ab > 1 + 3 2 π
Némi történelmi bevezetés 45 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II Weierstrass: Hermite: f (x) = k=1 ak cos(b k πx), ahol 0 < a < 1, b pozitív páratlan egész és ab > 1 + 3 2 π
Némi történelmi bevezetés 46 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II Weierstrass: Hermite: f (x) = k=1 ak cos(b k πx), ahol 0 < a < 1, b pozitív páratlan egész és ab > 1 + 3 2 π Poincare:
Némi történelmi bevezetés 47 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK III
Némi történelmi bevezetés 48 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK III
Némi történelmi bevezetés 49 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK III