XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 25 Miskolc, 25. auusztus 25-27. KÉT PONTON GÖRDÜLŐ GOLYÓ NEM-FOLYTONOS DINAMIKÁJA Antali Máté, Stépán Gábo 2,2 Budapesti Műszaki és Gazdasátudományi Eyetem, Műszaki Mechanikai Tanszék Budapest, Műeyetem kp. 5. antali@mm.bme.hu, stepan@mm.bme.hu Absztakt: Ey olyan mechanikai modellt vizsálunk, melyben ey henees edény kököös mozatásával hozunk mozásba ey olyót. A olyó és az edény két pontban éintkezhet, és mindkét pontban többféle viselkedés is előfodulhat (ödülés, csúszás, elválás), ami ey összetett, nemfolytonos dinamikai endszehez vezet. A lefontosabb esetekben mekeessük a stacionáius mozásokat és mehatáozzuk azok stabilitását. Mevizsáluk továbbá az stacionáius meoldások léteöttének feltételeit, és a különféle stacionáius mozások kapcsolódásait a eesztés paaméteeinek hatásáa. A kapott átalakulások ey észe mefeleltethető a szakiodalomban található nem-folytonos bifukációknak, de találunk olyan különlees bifukációt is, melye nincs utalás a szakiodalomban. Az eedmények seítik a szezők által koábban vizsált olyós áamlásméő dinamikáának mélyebb meétését. A választott mechanikai modell alapán később létehozható kíséleti beendezés, ami lehetőséet ad az eedmények ellenőzésée. Kulcsszavak: kétpontos ödülés, öldülő olyó, nem-folytonos dinamika, nem-folytonos bifukáció. BEVEZETÉS Az elmúlt évtizedekben több olyan szabadalom is született folyadék téfoatáamának méésée, melyben az áamlás ey folyadékba helyezett olyót hat me ey henees edény fala mentén [, 2]. Amint a szezők koábbi munkáukban kimutatták [3, 4], a olyó és az edény közötti kapcsolat nem-folytonos ellee miatt a dinamika különlees bifukációkat tatalmaz. A folyadék és olyó kölcsönhatásának paaméteei azonban bizonytalanok, íy az eedmények kíséleti ellenőzése nehézkes. Jelen tanulmányban ey az. ábán látható mechanikai endszet vizsálunk, mely hasonló felépítésű a olyós áamlásméőhöz, azonban a olyót folyadék helyett az edény mozatásával hozzuk mozásba. Ezen endsze alkalmas aa, hoy a kapott analitikus eedményeket később kíséleti úton kapott eedményekkel vessük össze, melyből közvetetten ellenőizhetők a olyós áamlásméőe kapott eedmények is. 2. MECHANIKAI MODELL A olyó mozását az edényhez özített vonatkoztatási endszeben íuk le, ami az edény mozatása miatt nem ineciaendsze. Az edényt úy mozatuk köbe, hoy szösebessée minden pillanatban nulla és minden ponta e suaú pályán, ω e naysáú sebesséel mozo. A továbbiakban ω -t a eesztés köfekvenciáának, e-t pedi a eesztés amplitúdóának nevezzük. A eesztés a mozó vonatkoztatási endsze minden pontában eyfomán fellépő, ωe 2 naysáú szállító yosulással vehető fiyelembe. Ezen szállító yosulás iányát ellemezzük ey b eysévektoal, mely ω szösebesséel foo a füőlees tenely köül. A számítások eyszeűsítése édekében a vektookat ey i,, k otonomált bázisvektookkal ellemzett foó koodináta-endszeben aduk me. Az i bázisvekto a olyó C középpontából adiálisan befelé mutat, a bázisvekto az edény szimmetiatenelyéhez kötött, mí a k bázisvekto a k := i keesztszozásból adódóan tanenciális iányú. A foó koodináta-endsze szösebessée leyen ω c (t) := ω c (t). Az ω c és a. táblázatban szeeplő többi változó t időtől való füését a továbbiakban csak akko elölük, ha az a meétéshez szüksées. A olyó szöhelyzetét a eesztés iányához képest képest ey szöel adhatuk me, melyen az i eysévekto b-vel bezát szöét étük. A szö előelét úy definiáluk, hoy = ω c ω telesülön, íy azt feezi ki, hoy a olyó mennyit siet a eesztéshez képest. A olyó C középpontának helye, sebessée és yosulása felíható, mint OC := x R + y, v C := ṙ OC + ω c OC = v x v y ω c (R x), ()
R + b ω edeny = y B C A m, x O i µ i k ω e e. ába. A mechanikai modell. A bal oldali ábán az edény és a olyó látható füőlees metszetben. A obb oldali ábán a eesztés fiyelhető me felülnézetben: az edényt úy mozatuk vízszintes síkban, hoy szösebessée (ω edeny ) zéus leyen és minden ponta ey e suaú köpályán mozoon ω e naysáú sebesséel. Jelölés Mennyisé Métékeysé x adiális elmozdulás m y axiális elmozdulás m keületi szöhelyzet a eesztéshez képest v x adiális sebessé m/s v y axiális sebessé m/s ω c olyó középponta által kielölt foó koodináta-endsze szösebessée /s ω x adiális csúszási szösebessé /s ω y axiális csúszási szösebessé /s ω z tanenciális csúszási szösebessé /s. táblázat. A olyó állapotának leíásához szüksées változók. Ey tébeli meev test helyzetét és sebesséállapotát 2 változóval lehetne leíni, most azonban csak 9 változóa van szükséünk, mivel a olyót saát középponta köül való elfoatása nem befolyásola a dinamikát. a C := v C + ω c v C = v x + ωc 2 (R x) v y, (2) ω c (R x) 2 ω c v x ahol a olyó suaa, R + az edény belső suaa, x(t) és y(t) a olyó elmozdulása adiális és axiális iányban, v x := ẋ és v y := ẏ pedi a hozzáuk tatozó adiális és axiális sebesséek. A diffeenciálásko fiyelembe kell vennünk a foó koodináta-endsze hatását, és hoy az edényhez özített vonatkoztatási endszeben v O =. A olyó szösebesséét és szöyosulását az alábbi alakban íhatuk fel: ω := R x ω c + ω x ω c + ω y R x (v y v x ) + ω z, ε = ω + ω c ω = R x ω c + ω x + ω c(v y 2v x ) + ω c ω z R x ω c + ω y + ω cv x ( v y v x ) + ω z R x ωc 2 ω c ω x, (3) ahol ω x (t), ω y (t) és ω z (t) a olyó csúszási szösebesséei. A változók ezen választása és elnevezése indokolható, ha kiszámítuk a olyó A lealsó és B lekülső pontainak sebesséét, ω z + v y v x v A := v C + ω CA = v y, v B := v C + ω CB = ω z + v x, (4) ω x ω y ahol CA := és CB := i. Amennyiben a olyó tatósan hozzáé az edény alához (v y = ) illetve a falához (v x = ), akko v A illetve v B az éintkezési pontok csúszási sebesséét adák me, melyek ekko tisztán a mefelelő csúszási szösebesséekkel íhatóak le. Az A vay B pontban az edényől a olyóa ható, eyelőe ismeetlen koncentált eőket F A -val illetve F B -vel elölük, mí a avitációs eő és a mozó vonatkoztatási endszeből adódó szállító eő eedőét a C pontban ható
F C eővel vesszük fiyelembe, A x B x mωe 2 cos F A := A y, F B := B y, F C := m mωeb 2 = m. (5) A z B z mωe 2 sin A olyó tehetetlenséi nyomatéka felíható J := m 2 I alakban, ahol a dimenziótlan tehetetlenséi nyomaték ( = 2/5 homoén olyóa), I pedi az eysémátix. A definiált mennyiséekkel felíható a dinamika alaptétele a olyóa, { F A + F B + F C = ma C CA F A + CB F B = m 2 (6) ε. Ennek kifetésével és átendezésével kapuk: A x + B x = m v x + mωc 2 (R x) + mωe 2 cos, A y + B y = m v y + m, A z + B z = m ω c (R x) 2mω c v x + mωe 2 sin, A z = m ( R x ω c + ω x + ω ) c(v y 2v x ) + ω c ω z, B z = m ( R x ω c + ω y + ω ) cv x, A x B y = m ( ( v ) y v x ) + ω z R x ωc 2 ω c ω x, melyből kifeezhetők a v x, v y, ω c, ω x, ω y, ω z változók deiváltai: v x = m (A x + B x ) ωc 2 (R x) ωe 2 cos, v y = m (A y + B y ), ω c = m(r x) (A z + B z ) + 2 R x ω cv x ω 2 e R x sin, ( ) ω x = + m A z + B z ω cv y ω c ω z + ω 2 e sin, ( ) ω y = m A z + + B z + ω cv x ω 2 e sin, ( ) ω z = + m A x + B x A y + B y + + ω c ω x ω 2 e cos. Ezen 6 változót a endsze kvázi-sebesséeinek tekinthetük ([5], 27. oldal), hiszen eyételműen leíák a olyó mozásállapotát. A ömbszimmetia miatt a olyó oientációával nem szüksées folalkoznunk, íy a olyó eometiai helyzete 3 általános koodinátával eyételműen meadható (x, y, ), és ezen koodináták deiváltai a má koábban bemutatott ẋ = v x ẏ = v y (9) = ω c ω összefüésekkel adódnak. A (8)-(9) eyenletendszeben eyelőe mé ismeetlenként szeepelnek az A és B pontokban fellépő eőkomponensek. A hiányzó eyenleteket a olyó és az edény kapcsolatától füően adhatuk me. Az A és B pontokban háomféle állapot lehetsées: a olyó ödülhet, mecsúszhat az edény felületén vay elválhat tőle. Gödülés esetén a (4) eyenletben szeeplő mefelelő éintkezési pont sebessée nulla, csúszás esetén eyszeű Coulomb-tövényt feltételezünk µ súlódási tényezővel, elválás esetén pedi nem lép fel eő. Ezek fiyelembe vételével az A pont esetée a következő összefüések adódnak: ödülésko: ω x =, ω z =, y = ; ω csúszásko: A x = µa z ω y, A ω 2 z = µa x y, y = ; () x + ω z ω 2 2 x + ω z 2 elválásko: A x =, A y =, A z =. A B ponta hasonló eyenleteket kapunk: ödülésko: ω y =, ω z =, x = ; csúszásko: B y = µb x ω z ω 2 y + ω 2 z, B z = µb x ω y ω 2 y + ω 2 z, x = ; () elválásko: B x =, B y =, B z =. (7) (8)
Ezek a feltételek időben folyamatosan fennállnak, íy például ω x = alatt pontosabban a ω x feltételt étük. Mivel az A és B pontokban eyaánt háomféle különféle viselkedés fodulhat elő, a ()-() eyenletekből a 9 különböző esetben közvetlenül vay közvetetten kiszámíthatók a kontakteők, íy a (8)-(9) eyenletek ey elsőendű közönsées diffeenciáleyenletet adnak. Ez alól kivétel az az eset, amiko mindkét pontban ödülés áll fenn: ekko bá mekapható a diffeenciáleyenlet-endsze, az F A és F B eyes komponenseit nem tuduk mehatáozni. Ezt az okozza, hoy a () és () eyenletek ödülési esetekben évényes soai nem füetlenek. A fentiek mellett mé fiyelembe kell vennünk az elválásból és a mecsúszásból adódó kolátokat. Mivel a olyó és az edény között csak nyomó iányú eő lehetsées, ezét ödülés és csúszás esetén fenn kell állnia a A y illetve B x (2) feltételeknek az adott pontban, különben a olyó elválik az edény falától. Az eyszeű Coulumb-tövény miatt ödülésko telesülnie kell a A 2 x + A 2 z µa y illetve By 2 + Bz 2 µb x (3) feltételnek, különben a olyó mecsúszik az adott pontban. A következő pontokban az eyes esetekben kapott diffeenciáleyenletek stacionáius helyzeteivel folalkozunk, melyeket mechanikai szempontból stacionáius mozásoknak nevezünk. 3. STACIONÁRIUS MOZGÁSOK AZ EDÉNY FALÁN GÖRDÜLÉSKOR Tekintsük előszö azt az esetet, amiko a olyó ödül az edény falán, viszont nem é hozzá az edény alához. Ekko a () és () feltételek közül a mefelelő sookat kiválasztva (8)-(9) fiyelembe vételével az B x = mω 2 c R + mω 2 e cos, B y = mrω 2 c + mω c ω x, B z = + meω2 sin (4) összefüéseket kapuk. Ha az azonosan nulla változókat leválasztuk, a endsze állapota ey U = R 5 fázistében íható le. Ennek eleme az U u := (v y, ω c, ω x, y, ) állapotvekto, melye a következő diffeenciáleyenlet adódik: v y = + Rω2 c + + ω c ω x + ω c = + e R ω2 sin ω x = + e ω2 sin ω cv y (5) ẏ = v y = ω c ω. A endsze általános ételemben konzevatív, a E u (u) := 2 m (( + ) ( v 2 y + (ω c ω ) 2 R 2) + ( ω x + Rω c ) 2) + my merω 2 cos (6) mennyisé uyanis időben állandó (Ėu ). Az első ta a mozási eneiával van kapcsolatban, a második a avitációs potenciál, a hamadik pedi a eesztésből adódó potenciál. Ha mekeessük (5) stacionáius mozásait, a meoldások két családát kapuk: v y ω c ω x y ω ω R ω y =: u, v y ω c ω x y ω ω R ω y =: u 2, (7) π mindkét esetben y tetszőleesen választható nemneatív állandó, mely azt feezi ki, hoy milyen maasa emelkedett a olyó az edény alához képest. A u meoldás esetén = azt elenti, hoy a olyó a keület mentén a eesztés iányában helyezkedik el. Mí a u 2 meoldásnál = π azt elzi, hoy ekko a olyó a eesztéssel átellenes iányban helyezkedik el. Ha lineaizáluk a (5) eyenletet a u meoldás köül, a + ω + + Rω + ω + u = e ω + e ω2 ω2 (u u ) + O 2 (u u ) (8)
endszet kapuk, ahol O 2 elzi a nemlineáis taokat. Számítsuk ki az eyütthatómátix λ saátétékeit, λ,2 = ±iα = ±iω + e R, λ 3,4 = ±iα 2 = ±iω +, λ 5 =. (9) A λ 5 = saátétékhez az y koodináta iányába mutató saátvekto tatozik, mivel u nem eyetlen izolált stacionáius mozást, hanem stacionáius mozások ey családát elenti, melyek csak y koodinátában tének el eymástól. Mivel a endsze konzevatív, a két tisztán képzetes yökpá elzi, hoy az eyensúlyi helyzet kis mezavaásáa a endsze kvázi-peiodikus ezéssel válaszol. Mefiyelhető, hoy a ezés α saát-köfekvenciáa fü a eesztés e amplitúdóától is, mí az α 2 saát-köfekvencia az amplitúdótól füetlenül az ω eesztési saát-köfekvencia köülbelül.53-szoosa (homoén olyó esetén). Ha a (5) eyenletet az u meoldás köül lineaizáluk, a + ω + + Rω + ω + u = e ω2 ω + e ω2 (u u 2) + O 2 (u u 2 ) (2) endsze adódik, ahol a mátix saátétékei λ,2 = ±ω + e R, λ 3,4 = ±iα 2 = ±iω +, λ 5 =. (2) A különbsé az előző (9) esethez képest az, hoy a λ,2 saátétékek valósak, melyek közül az eyik pozitív, íy az u 2 stacionáius mozások instabilak. Vayis a falon való stacionáius ödülést yakolatban csak a eesztés iányában ( = ) lehet létehozni. Vizsáluk me, hoy a (7) stacionáius meoldások milyen feltételek mellett valósulhatnak me. A (2) feltételből azt kapuk, hoy az u meoldások mindi a falon maadnak, mí az u 2 mozások esetén bekövetkezik a faltól való elválás, ha e > R. A (3) feltételből pedi azt kapuk, hoy az u és u 2 meoldások esetén akko következik be mecsúszás, ha ω < µ(r+e) illetve ω < µ(r e). Vayis ha a eesztés fekvenciáa nem elé nay, akko a olyó mecsúszik a falon, a stacionáius ödülő mozás nem alakul ki. 4. STACIONÁRIUS MOZGÁSOK AZ EDÉNY ALJÁN GÖRDÜLÉSKOR Tekintsük most azt az esetet, amiko a olyó ödül az edény alán, de nem é hozzá az edény falához. Ekko a (8)-() összefüésekből az ismeetlen eőkomponenseke az A x = + meω2 cos, A y = m, A z = + meω2 sin (22) kifeezések adódnak. Az azonosan nulla változók leválasztása után ey W = R 5 fázisté adódik, melynek ey pontát a W w := (v x, ω c, ω y, x, ) vekto ía le. A kapott diffeenciáleyenlet a v x = ωc 2 (R x) + eω2 cos ω c = 2 R x ω cv x + e R x ω2 sin ω y = ω cv x + e ω2 sin (23) ẋ = v x = ω c ω alakba íható. Ismét található általánosított eneiafüvény, E w (w) = 2 m (( + ) ( v 2 x + (ω c ω ) 2 (R x) 2) + ( ω y Rω c ) 2) a endsze konzevatív. A v x ω c ω y x = ω ω y R π + e m(r x)ω 2 ( ) e cos + ( + )(R x), (24) =: w, (25) stacionáius mozások eypaamétees családot alkotnak, ahol ω y tetszőleesen meválasztható. Vayis a stacionáius mozás léteöhet attól füetlenül, hoy a olyó milyen szösebesséel foo a füőlees tenely köül.
Viszont az edény fala miatt a x > feltételnek telesülnie kell, vayis a stacionáius mozás csak az e < ( + )R esetben létezik. A (23) eyenleteket a (25) stacionáius mozás köül lineaizálva a 2 + ω e ω 2 2 e ẇ = ( + )ω ω 2 ω + e ω2 (w w ) + O 2 (w w ) (26) endszet kapuk. A mátix saátétékei λ,2 = λ 3,4 = ±iω, λ 5 =. (27) A zéus saátétékhez az ω y iányú saátvekto tatozik, mely a stacionáius mozások eymáshoz képesti elhelyezkedését elzi. Ezen kívül eyetlen, kétszees multiplicitású tisztán képzetes yökpát kapunk, melyhez nem található a multiplicitásnak mefelelő számú saátvekto. Íy a stacionáius mozás instabilis. Ellenőizzük az (25) stacionáius meoldás létezését a (2)-(3) feltételek alapán. A (2) feltétel mindi telesül, a olyó nem emelkedik el az edény aláól. A (3) feltételből pedi az következik, hoy a olyó mecsúszik, ha ω > µ(+) e. 5. STACIONÁRIUS MOZGÁSOK KÉTPONTOS GÖRDÜLÉSKOR Abban az esetben, amiko a olyó két pontos ödülést véez, a kontakteők nem hatáozhatók me eyételműen, mivel az A és B pontokban felít ödülési feltételek nem füetlenek eymástól. A keületi iányú komponenseke az A z = B z = + 2 meω2 sin (28) összefüést kapuk, mí az A x, A y, B x, B y hatáozatlanok. Ennek ellenée a mozás mehatáozható: tekintsük a Q := U W = R 2 fázisteet mint a Q q := (ω c, ) állapotvektook teét. Ekko a dinamikát a { ω c = +2 e R ω2 sin, (29) = ω c ω diffeenciáleyenlet ía le. A endsze ismét konzevatív általános ételemben, a E q (q) := 2 m( + 2)(ω c ω ) 2 R 2 + merω 2 ( cos ) (3) eneiafüvény időben állandó. A stacionáius mozások [ ] [ ] ωc ω =: q, [ ] ωc [ ] ω =: q π 2. (3) A falon való ödülés (7) meoldásához hasonlóan a eesztés iányába eső ( = ) és ezzel szemközti iányba eső ( = π) stacionáius mozást is kapunk. Az előbbi esetben a [ q = +2 e ] R ω2 (q q ) + O 2 (q q ) (32) lineáis endszet kaphatuk, ahol az eyütthatómátix saátétékei λ,2 = ±iα = ±iω +2 e R. (33) Vayis a q stacionáius mozás a konzevativitás miatt neutálisan stabilis, állandó amplitúdóú ezések alakulnak ki. Édemes mefiyelni, hoy a kis ezések α köfekvenciáa alacsonyabb, mint a (9) esetben kapott α köfekvencia. A q 2 stacionáius mozás esetén a q = [ +2 e R ω2 ] (q q 2 ) + O 2 (q q 2 ) (34) lineáis endszet kapuk a λ,2 = ±ω +2 e R (35) saátétékekkel. A két valós yök közül az eyik pozitív, íy a q 2 stacionáius mozás instabilis. Kétpontos ödülés esetén a kontakteők nem hatáozhatók me, íy a (2)-(3) feltételek nem alkalmazhatók. Azonban a meoldások létezése vizsálható közvetlenül a dinamikából is. Ha a (3) stacionáius mozást olyan
ω x ω x w u q mecsúszás R ω q 2 mecsúszás µ(r+e) R ω µ(+) ω 2 R(+) e 2. ába. Bifukációs diaamok. A bal oldali ába azt a bifukációt mutata, ahol a kétpontos ödülés (eesztés iányába eső) q stacionáius meoldása és a falon való ödülés u mefelelő meoldása lép kapcsolatba. A obb oldali ábán az a bifukáció látható, ahol a kétpontos ödülés (eesztéssel ellentétes iányba eső) q 2 stacionáius meoldása és a talaon ödülés w stacionáius meoldása keül kapcsolatba. Az ábákon a folytonos vonal a mevalósuló, a szaatott vonal pedi a látszólaos meoldásokat elöli. zavaás éi, mely meszakíta a kapcsolatot a olyó és az edény ala között, akko a (5) eyenlet lép életbe. Helyettesítsük a (3) meoldásokat a (5) eyenlet első soába, íy mindkét esetben kapuk: v y = + Rω2 + (36) Ha v y <, akko a (5) vektomező visszalöki a olyót a kétpontos ödülés állapotába. Ez akko áll fenn, ha ω < R. Ha viszont v y >, akko a olyó felemelkedik az edény aláól, és tatósan kialakul a falon való ödülés. Ebben az esetben a kétpontos ödülés valóában nem tud kialakulni. Tekintsünk most ey olyan zavaást, mely az edény falával való kapcsolatot szünteti me, ekko a (23) eyenlet lép életbe. Helyettesítsük a (3) meoldásokat (5) első soába: v x = ωr 2 + eω2, (37) ahol a ± a q illetve q 2 meoldások esetén évényes. A (36) kifeezéshez hasonlóan azt feltételezhetük, hoy a kétpontos ödülés abban az esetben létezik, ha v x <, ekko a olyó nem válik el az edény falától. Ez a q meoldása mindi telesül, a q 2 meoldása viszont csak akko, ha e < ( + )R. Ha ezen feltétel nem telesül, akko a q 2 meoldás nem létezik, a olyó elválik az edény falától. Szüksé lenne mé annak vizsálatáa, hoy a olyó mecsúszhat-e eyik vay mindkét kontaktpontban. Ez az elváláshoz hasonlóan metehető közvetett módon, a endsze csúszási esetekben felít diffeenciáleyenleteinek vizsálatával. A számítás hosszadalmas, elen táyalásunkban nem téünk ki á. Fontos azonban meeyezni, hoy bizonyos paaméteétékek mellet a mecsúszás tovább szioíthata a kétpontos ödülés létezésének feltételét. Sőt, az ey- illetve kétpontos csúszás esetén is előfodulhatnak úabb stacionáius mozások (lásd [3], [4]) 6. A STACIONÁRIUS MOZGÁSOK BIFURKÁCIÓI A különféle stacionáius mozások létezésée kapott feltételek és a paaméteek nay száma miatt nem vállalkozunk a endsze bifukációinak átfoó bemutatásáa. Csupán két példát mutatunk aa, hoy a paaméteek változtatása esetén a endsze nem-folytonos viselkedése milyen ellebeli változást okoz a stacionáius mozásokban. A endszeben eyensúlyi helyzetek nem-folytonos bifukációi elennek me, melyek elméletét öviden [6, 7], átfoóan pedi [8] mutata be. Tekintsük előszö a µ > R R+e esetben a u és a q stacionáius mozásokat az ω eesztési köfekvencia változtatása közben. A stacionáius meoldás helyzetét az edény falán való pöés ω x := ω x + R ω c szösebesséével íuk le, mely a olyó (3) szösebesséének adiális iányú komponense. Az eedmények a 2 ába bal oldalán láthatóak. A folytonos vonalak a valódi stacionáius mozásokat elölik, mí a szaatott vonalak a látszólaos stacionáius mozásokat, ahol valamilyen feltétel lehetetlenné teszi a meoldás mevalósulását. Látható, hoy a eesztés ω köfekvenciáát növelve a q stacionáius meoldás ω x pöési sebessée aányosan növekszik. Eléve az ω = R étéket (fekete pont az ábán) a kétpontos ödülés a talatól való elválás miatt má nem öhet léte. Ezen étéknél a falon ödülés u stacionáius meoldás az y = esetben eybeesik a kétpontos ödüléssel. Első ánézése olyan szokatlan bifukációól van szó, melyben a két eyensúlyi helyzet összeolvad.
Valóában a helyzet bonyolultabb, hiszen u nem eyetlen stacionáius mozás, hanem stacionáius mozások eypaamétees családa. Ilyen bifukációa utalás a szakiodalomban elenle nem található. Az ábán látható továbbá, hoy a falon való mecsúszás ey további kolátot elent az u meoldás létezésée. Ezek a elenséek nayon hasonló fomában mefiyelhetők a olyós áamlásméő modellében is [4]. Mivel ezen stacionáius mozások stabilisak, ezen bifukáció vizsálata mevalósítható lenne kíséletile is. Tekintsük most a µ < Rω2 esetben a q 2 és a w stacionáius mozásokat az e eesztési amplitúdó változtatása közben. Az eedményeket a 2. ába obb oldalán láthatók. Amennyiben a eesztés e amplitúdóa kisebb, mint R(+), akko eyideűle létezhet az edény alán ödülés w stacionáius mozása és a kétpontos ödülés q 2 stacionáius mozása. Eléve az e = R( + ) étéket (fekete pont az ábán), mindkét meoldás meszűnik létezni. Ezen viselkedés mefeleltethető a nem-folytonos nyee-csomó bifukációnak [6, 7], azonban az éintett eyensúlyi helyzetek tisztán képzetes és zéus kaakteisztikus yökei miatt annak ey elfault esetéől beszélhetünk. Továbbá az edény alán töténő mecsúszás miatt e kis étéke esetén nem ön léte a w stacionáius mozás. A olyós áamlásméő esetében ez a bifukáció nem elenik me. Mivel mindkét szeeplő stacionáius mozás instabilis, ezen bifukáció vizsálata kíséletile nehézkes lenne. 7. KÖVETKEZTETÉSEK A henees edény mozatásával eesztett olyó vizsálatáa ey olyan mechanikai modellt hoztunk léte, mely az edény és a olyó kapcsolatának háom lehetsées esetét (ödülés, csúszás, elválás) tatalmazza. A két kontaktpont miatt összesen 9 különféle viselkedés alakulhat ki, melyek eyütt ey nem-folytonos dinamikai endszet alkotnak. A stacionáius mozások stabilitását és a mevalósulás feltételeit vizsáltuk az edény falán és alán töténő eypontos ödülések, valamint a kétpontos ödülés esetén. Többféle lehetsées stacionáius mozást is kaptunk, melynek léteöttét az edény felületétől való elválás és az edény felületén való mecsúszás kolátozza. Az elválás feltételét a kétpontos ödülés esetén, közvetett módon tudtuk ellenőizni közvetlenül a maasabb dimenziós dinamikai endsze seítséével. A kétpontos mecsúszás vizsálata további számításokat iényelne. Mevizsáltuk a stacionáius mozások nem-folytonos viselkedésből adódó bifukációit. A 2. ába bal oldalán látható bifukáció mefelelőét koábban a olyós áamlásméőnél is sikeült kimutatni. Ez azt a elenséet tatalmazza, amiko nay eesztési fekvencia esetén a olyó elválik a talatól és kizáóla a falon kezd el ödülni. A 2. ába obb oldalán látható nem-folytonos nyee-csomó bifukáció viszont údonsá a olyós áamlásméőnél kapott eedményekhez képest. Ez azt elenti, hoy az edény alán lévő eypontos ödülés és a eesztéssel szemközti oldalon kialakuló kétpontos ödülés stacionáius mozásai ey bizonyos eesztési amplitúdót eléve eyszee eltűnnek. A továbbiakban célszeű lenne a számításokat az eddi nem vizsált eseteke (például kétpontos csúzsás) is elvéezni. Édemes lenne továbbá kíséleti beendezést építeni a kapott analitikus eedmények ellenőzése célából. HIVATKOZÁSOK [] G. ELDRIDGE AND R. ELDRIDGE. Cyclonic flow metes. US Patent, US 5 95 2, 999. [2] M. L. J. P. PETERS. Obital ball flowmete fo as and fluis. US Patent, US 8 55 378 B2, 23. [3] M. ANTALI AND G. STEPAN. Nonlinea dynamics of a dual-point-contact ball. Poc. Appl. Math. Mech., 4:33 34, 24. [4] M. ANTALI AND G. STEPAN. Nonsmooth bifucations of a dual-point-contact ball. Nonlinea dynamics, 25, publikálás alatt. [5] D. T. GREENWOOD. Advanced Dynamics. Cambide Univesity Pess, 23. [6] R. I. LEINE AND D. H VAN CAMPEN AND B. H VAN DE VRANDE. Bifucations in nonlinea discontinuous systems. Nonlinea Dynamics, 23(2):5 64, 2. [7] M. DI BERNARDO AND S. J. HOGAN. Discontinuity-induced bifucations of piecewise smooth dynamical systems. Phil. Tans. R. Soc A., 368:495 4935, 2. [8] M. DI BERNARDO AND C. J. BUDD AND A. R. CHAMPNEYS AND P. KOWALCZYK. Piecewise-smooth Dynamical Systems. Spine, 28.