FELSİGEODÉZIA. Dr. Bácsatyai László. Sopron - Székesfehérvár

Átírás

1 FELSİGEODÉZIA Dr Bácsatyai László Sopron - Székesfehérvár 8

2 Bevezetés Az elektronika a számítástechnika az őrtechnika vívmányai a eodézia tudományáában is az utóbbi évtizedekben nay változásokat indítottak el Íy született me a eomatika elnevezés is A eomatika foalma Kanada Quebec tartományának Laval Eyetemén született és a eodézia különbözı szakterületein jelentkezı automatizálási törekvésekre utal Ez a kifejezés yorsan elterjedt a tartományi adminisztrációban és a kanadai eyetemek eodéziai tanszékei majd viszonyla yorsan a vilá minden táján is átvették az új elnevezést A eomatika foalmának definíciójaként a Kanadai Geomatikai Intézet (Canadian Institute of Geomatics) honlapján található mefoalmazást idézzük: A eomatika az a szakterület amely módszeresen interálja azokat az eszközöket amelyeket térbeli adatok yőjtésére és kezelésére használnak Ezeket az adatokat a tudományos a köziazatási a joi és a mőszaki feladatok vérehajtása során a térbeli információk elıállításának és kezelésének a folyamatában használják fel A eomatikának vannak részei amelyek jelleüknél fova de leinkább alapfoalmaik tekintetében viszonyla kevés változáson mentek keresztül s vannak olyan részei amelyeket neves tudós elıdeink már me sem értenének Az elıbbi kateóriához tartoznak pl a felsıeodézia eyes hayományos részei az utóbbihoz pl a GS technika A felsıeodézia a Föld alakjának és méretének valamint a földi vonatkoztatási rendszerek s ezeken belül a vonatkoztatási ellipszoidok elméletének és yakorlati mevalósításának a tudománya A földi vonatkoztatási rendszerekhez kapcsolódó alappont-hálózatok és sík vetületek teremtik me a helymehatározás eometriai infrastruktúráját A felsıeodézia tudományát több különbözı elnevezéső tantáry keretében oktatják a vilá szakirányú eyetemein Ilyenek az elméleti eodézia szferoidikus eodézia fizikai eodézia ravimetria vetülettan szatellita-eodézia kozmikus eodézia mőholdas helymehatározás lobális naviációs mőholdas rendszerek eodéziai alaphálózatok eofizika A különbözı témakörök bizonyos mértéki elkerülhetetlenül átfedik eymást mind tartalmukban mind jelölésrendszerükben Utóbbi azt jelenti hoy tartalmila különbözı foalmakhoz hasonló jelöléseket (kis és nay latin örö betőket) használnak Sajnos ez utóbbit én sem tudtam elkerülni l a eoidundulációt és a forási ellipszoid haránt irányú örbületi suarát a mayar és a nemzetközi szokásnak mefelelıen - eyséesen N-nel jelölöm természetesen mindi utalva rá mikor melyikrıl van szó Mivel eyütt ey fejezetben uyanaz a jelölés nem takar különbözı tartalmat remélem a meértés szempontjából ez nem okoz majd ondot Anélkül hoy a felsorolt tantárymenevezések möötti tartalmakat kifejtenénk látható nincs könnyő dolunk amikor me kell fontolnunk hoy a Felsıeodézia elnevezéső a BScképzés keretében ey féléves heti 3 elméleti és yakorlati óra terjedelmő tantáry kereteibe mi fér bele és mi nem Abból persze nem indulhatunk ki hoy a többséükben a mindennapos eodéziai yakorlat számára Székesfehérváron képzett szakemberek számára mire van konkrétan és feltétlenül szüksé Akkor ui melehetısen rövidre fohatnánk táryalásunkat sıt talán külön ilyen elnevezéső táryra sem lenne szüksé Induljunk ki abból hoy a tantáry oktatását - a felsıbb matematika oktatásához hasonlóan - a yakorló mérnök általános mőszaki intellienciájának iénye hívta-hívja életre Amikor pl a bennünket körülvevı szőkebb területrıl térképet készítünk uram bocsá inatlant tartunk nyilván tudnunk kell hoy ez a szőkebb terület a nay eésznek a Földnek része Nem hayhatjuk fiyelmen kívül uyanakkor azt sem hoy Mayarorszáon földmérı mérnök-oktatás Székesfehérváron kívül maas színvonalon folyik a Budapesti Mőszaki és Gazdasátudományi Eyetemen is A BME-n BSc-szinten folyó oktatás eyik fontos pillére a kü-

3 lönbözı elnevezések alatt oktatott s a felsıeodézia foalomköréhez tartozó tantáryak öszszessée Dr Joó István professzor úr a felsıeodézia székesfehérvári oktatását 4 részre osztotta éspedi sorrendben: csillaászati alapismeretek a földrajzi helymehatározás elemei elméleti eodézia felsırendő mérések A réi kredites képzésben az oktatás két tantáry keretében folyt a Felsıeodézia I az elméleti eodéziát és a felsırendő méréseket a Felsıeodézia II a csillaászati alapismereteket és a földrajzi helymehatározás elemeit folalta maába A BScképzés bevezetésével létrejött két félév helyett csak ey féléves Felsıeodézia táry Joó professzor úr által kidolozott tematikája részben a mőholdas technika (GS) yors fejlıdése részben a lecsökkent óraszám miatt a Felsıeodézia II keretében oktatott ismereteket már nem tartalmazza az oktatás erincét az elméleti eodézia és a felsırendő mérések alkotják A NyME Geoinformatikai Karán oktatott tantáryak közül a Vetülettan a Geodéziai hálózatok és a Mőholdas helymehatározás tantáryak tartoznak a szorosan vett Felsıeodézia foalmi keretébe Törekedtem arra hoy a Felsıeodézia tartalma ha vázlatosan is de átfoja mindazt ami e három tantáry keretébe nem fér bele Bizonyos fokú átfedések sajnos a meértés szempontjából elkerülhetetlenek voltak A tantáry anyaa tantáryi proramjában eybeesik Joó István professzor úr elképzeléseivel de részleteiben több is kevesebb is annál Valószínő hoy nem mentes teljesen a szubjektív szemléletmódtól sem Részletesebben táryalom a valódi és a normál nehézséi erıtérhez kapcsolódó fizikaieofizikai-eometriai ismereteket a különbözı maassáfoalmakat a füıvonalelhajláshoz és a eoid mehatározásához tartozó foalmakat Eltérı felfoásban de Joó Istvánhoz nayjából hasonló részletesséel térek ki a forási ellipszoid és a ömb mint a térképezés alapfelületei jellemzıinek ismertetésére és mehatározásuk módszereire Véül feltételezve hoy ez irányú ismereteket a hallatók más (nem feltétlenül csak felsıeodéziai jelleő) tantáryakból már szereztek csak átfoóan szólok az orszáos felsırendő vízszintes és maassái hálózatokról valamint az Orszáos GS hálózatról Elıre kell bocsátanom hoy a tantáry anyaa nem könnyő Minden általam fontosnak tartott képletet tartalmaz nayobb részben levezetés nélkül Részben azért mert a táry órakeretébe nem fér bele részben azért mert a hallatóknak a levezetések meértéséhez szüksées matematikai (elsısorban differenciáleometriai) alapjai feltehetıle hiányosak Meítélésem szerint azonban ezek az összefüések eyszerően kihayhatatlanok A bemutatott levezetések viszont szerintem - meérthetık a hallatók matematikai ismeretei alapján Szükséesnek tartom hoy a hallatók az órákon leadott tananyaal ne csak a vizsaidıszakban ismerkedjenek hanem már az órákkal ey idıben vay nem sokkal utánuk mert a vizsaidıszak kapkodásai közepette nem lesz elé idı a tananya elsajátítására

4 A felsı- és alsóeodézia határa Hayományosan azt mondjuk hoy a felsıeodézia feladatai ott vézıdnek ahol a Föld eyelıre nem részletezett szempontok szerint idealizált felszínét már síknak tekinthetjük Ez a határ pedi kiindulva abból hoy a eodézia véterméke a térkép ott van ahol a rafikus térképen az eymáshoz mm-nél közelebb esı pontokat már nem tudjuk eymástól mekülönböztetni Ez pld : méretarány esetén a terepen (pontosabban a vetületen) mm mm m -nek felel me Az alábbi ábrán a Föld felszínét az eyszerősé kedvéért ömbbel helyettesítjük Érintı sík K d s R Vízszintes felület (közelítéssel: ömb) R γ A földömb R suara mintey 638 km A γ az s ömbi hosszhoz tartozó középponti szö Az s hossznak az érintési síkra más szóval a K pont vízszintes síkjára vetített értéke d A kettı különbsée az s hossz torzulásának a terepen meenedhetı mértéke esetünkben m km Az ábrából s d s R tan γ s s s R tan s R s s 638 tan s 638 A fenti eyenletet az s 5 km érték eléíti ki azaz a torzulást a K pont környezetében mintey 5 km-es suarú körben hayhatjuk fiyelmen kívül Kisebb méretaránynál s értéke nayobb nayobb méretaránynál kisebb ld nayobb : méretaránynál s 3 km C 3

5 A valós vilától a térkép síkjái Z eoid Földünk a valós vilá Y Térbeli (3D eocentrikus) modell Vízszintes (D) modell Felsıeodézia Vetülettan Maassái (D) modell Ellipszoid: kis területen lejobban illeszkedik forástenely b meridiánq Eyenlítı Kicsinyítve: térkép Vonatkoztatási ellipszoid: alapfelület A térképezés felülete: képfelület Vetület síkja Vonatkoztatási rendszer: az ellipszoid fizikai és eometriai paraméterei a kapcsolódó vetületi rendszerek alaphálózat A fenti kép a valós vilától a térkép síkjának létrehozásái terjedı feladatok folyamatábrája A valós Föld modelljét alkotó pontokat ey térbeli derékszöő oriójával lehetıle a Föld tömeközéppontjával eybeesı Y Z koordinátarendszerben lehet definiálni A késıbbi síkban történı térképi ábrázolás lehetıvé tétele véett azonban a földfelszíni pontok térben elfolalt helyét két részre bontjuk: yerekkorunk óta kialakult szemléletmódunknak mefelelıen az ábrázolandó pontokat vízszintes (D azaz kétdimenziós modell) valamint maassái (D eydimenziós modell) helyzetükkel adjuk me A vízszintes modell a nehézséi erıtérben értelmezett idealizált felület más néven középtenerszint vay eoid A eoid matematikaila zárt formában nem írható le ezért a kezelhetısé érdekében a eoidon lévı pontokat ey a eoidot helyettesítı alapfelületen általában ellipszoidon az ún vonatkoztatási ellipszoidon értelmezzük Az alapfelületen lévı pontokat ey síkba fejthetı idomra (henerre kúpra vay közvetlenül maára a síkra) mint képfelületre vetítjük A képfelület síkba terítésével a vetület síkjához jutunk amelynek a méretarány szerinti kicsinyítése a térkép E jeyzetben a folyamatábra Felsıeodézia részével folalkozunk: ide soroljuk a Föld nehézséi erıterét valódi alakját az azt közelítı szferoidok és ellipszoidok fizikai és eometriai alapfoalmait a vonatkoztatási rendszereket Táryalásunkat kieészítjük az e foalmakat a fizikai földfelszínen metestesítı alaphálózatokkal A Felsıeodézia feladata a Föld (vay más éitest) méreteinek alakjának térbeli tájékozásának külsı nehézséi erıterének és idıbeli változásaiknak mehatározása a nayobb kiterjedéső területek orszáok földrészek és az eész Föld eysées felmérésének elméleti és yakorlati mealapozása 4

6 A Föld helyzetét a forástenelyen a pólusmozás a forástenelynek csillaokhoz viszonyított térbeli helyzetét a precesszió és a precessziózavar (vay csillaászati nutáció) jellemzi A felsıeodézia ismeretanyaa alapvetıen a természettudományokból fejlıdött ki íy közvetlenül épül a matematika (a felületek elmélete a potenciálelmélet stb) a fizika (a tömevonzás) a mechanika (a szabad tenely körüli foró mozás elmélete) a csillaászat (az asztrometria és az éi mechanika) a eofizika (a Föld alakját és méreteit befolyásoló fizikai folyamatok) valamint a eolóia eyes fejezeteire Az alapfelületrıl a képfelületre történı áttérés feladatainak a vetületi sajátossáoknak táryalása a vetülettan feladata Tantáryunk szempontjából is érintjük azonban annyiban amennyiben a fenti kép jobb alsó sarkában lévı definíció szerint a vetületi rendszerek a vonatkoztatási rendszer részei Külön kateóriaként kezeljük a maassái modellt amelynél a pontok vízszintes helyzetének mehatározásánál elfoadható közelítések nem enedhetık me 5

7 A felsıeodézia koordinátarendszerei A csillaászat a földtudományok és ezen belül a eodézia tudománya is olyan koordináta rendszereket használ amelyekben a természeti törvények érvényesülnek és azok a természetben eyértelmően kijelölhetık Kvázi inerciális éi koordináta rendszer A csillaászatban és a eodéziában használt inerciális (tehetetlenséi) koordinátarendszerek definícióját a Newton-féle mechanika alaptörvényei közvetett módon tartalmazzák Inerciálisnak nevezzük azt a nyualomban lévı vay eyenes vonalú eyenletes mozást vézı koordinátarendszert amelyhez ey eyenletes idıskála is tartozik és abban a Newtonféle mechanika alaptörvényei érvényesülnek A természetben ilyen ideális koordinátarendszert azonban nem lehet kijelölni Vea éömb Z északi vilápólus 35 o Sarkcsilla éitest ekliptika síkja éi eyenlítı síkja Föld O Tavaszpont (γ) α δ 35 o Y A Földhöz kapcsolódó méréseknél a háromdimenziós koordinátarendszer (3D) kezdıpontját célszerő a Föld tömeközéppontjában meválasztani (ábra) Mivel a Föld a Nap körül kis sebesséel kerin ezért csak kvázi az inerciálist jól meközelítı eocentrikus rendszert jelölhetünk ki A koordinátarendszer Z tenelyének a Föld forástenelyét (az északi vilápólus irányát) tenelyének pedi az eyenlítıi síkban az un tavaszpont (γ) irányát célszerő meválasztani A tavaszpont iránya a Földnek a Napkörüli kerinése alapján szintén eyértelmően kijelölhetı A Föld forástenelye azonban az inerciális térben a Nap ravitációs hatása miatt ey 35º nyílásszöő kúp palástja mentén kb 6 éves periódusú un precessziós mozást véez amelyre a Hold ravitációs hatása miatt ey 83 éves periódusú néhány ívmásodperces un csillaászati nutációs komponens is rárakódik Kb 3 ezer év múlva a Vea lesz a sarkcsilla Ezért a Z és a hozzá kapcsolódó tenely közepes (a nutációval korriált) irányát ey adott idıpontban kell meválasztani amely általában a J idıpont ( január óra) A harmadik az Y tenelyt a jobbsodrású rendszernek mefelelıen választják A fenti definíciók miatt ezt a rendszert konvencionális rendszernek is nevezik A precesszió és a csillaászati nutáció pontosan kiszámítható jelenséek 6

8 A mestersées holdak pályaszámításánál elsı lépésben ilyen eocentrikus kvázi inerciális koordináta rendszert alkalmaznak A csillaászatban az éi koordináta rendszer középpontját elméletile a naprendszer súlypontjában választják me mivel ez felel me a lejobban az inerciális rendszer definíciójának A naprendszer mozása miatt azonban ez sem tekinthetı inerciálisnak A yakorlati eodéziában a hayományos földrajzi helymehatározásnál olyan csillakatalóusokat használtak ahol a rendszer központja áthelyezhetı a Föld tömeközéppontjába A csillaok pozícióit az α rektaszcenzióval és a δ deklinációval adják me A vételen távoli csillaok koordinátái a kvázi-inerciális eocentrikus rendszerben változatlannak tekinthetık Kvázi inerciális földi koordináta rendszer Z O Y Greenwich Mivel a Föld tenelykörüli forást is véez ezért a Földhöz rözített a Földdel eyütt foró eocentrikus koordinátarendszerre is szükséünk van (A forás következtében centrifuális yorsulás is fellép ezért ez sem tekinthetı inerciális rendszernek) A rendszer természetbeli kijelöléséhez a Föld tömeközéppontja és forástenelye továbbra is felhasználható de a tavaszpont helyett most a Greenwichi kezdı meridián által kijelölt irányt választották A Föld pillanatnyi forástenelye a Föld felszínéhez viszonyítva (de nem az inerciális térben) ey tehetetlenséi fıirány körül szabálytalan periodikus mozást un pólusmozást véez ezért a koordinátarendszer Z tenelyének kijelöléséhez ezt az átlaos helyzetet is definiálni kell Korábban az 9 és 95 évek közötti csillaászati mefiyelések átlaos helyzetét (CIO - Conventional International Oriin) használták Újabban a korszerő mefiyelési technikák seítséével a Nemzetközi Földforás és Vonatkoztatási Rendszerek Szolálat (IERS International Earth Rotation and Reference Systems Service) által mehatározott átlaos pólushelyzetet (IR IERS Reference ole) használják A kezdı meridián és a Z tenely kijelölése miatt ezt is konvencionális rendszernek nevezik A pólusmozást és a földforás sebesséét amely kapcsolódik az idı foalmához is csak kozmikus eodéziai mérésekkel lehet kellı pontossáal mehatározni Ezek a mennyiséek a kvázi inerciális és a földi koordinátarendszerek közötti átszámításhoz szükséesek A nay pontossáú GNSS alkalmazásoknál az átszámítás során az általános és speciális relativitáselmélet összefüéseit is fiyelembe kell venni 7

9 Szintfelületi koordinátarendszer A yakorlati feladatok könnyebb elvézéséhez a 3D földi eocentrikus koordináta rendszerben további természetes koordináta rendszerek kijelölésére is szükséünk van amit a Newton-féle mechanika és a tömevonzási törvénynek mefelelıen a nehézséi erı és a földforás következtében fellépı centrifuális erı tesz lehetıvé A földi rendszerben valamely a Föld tömeén kívüli tömepontra a tömevonzási és a centrifuális erı eredıje hat Z A Föld forástenelye füıvonal ' H szintfelületi normális (ΦΛH ) pont szintfelülete O Λ Φ eoid Eyenlítı síkja Y A nehézséi erıtér zárt konstans potenciálértékő szintfelületek vételen sorozatát és a füıvonalakat hozza létre A füıvonal olyan térörbe amelynek minden pontjában húzott érintıje merılees az uyanezen ponton áthaladó szintfelületre vayis a nehézséi erı irányát jelöli ki A Föld elméleti alakját a eoidot ey alkalmasan választott szintfelülettel definiálják amely jól meközelíti a nyualomban lévı tenerek felszínét A yakorlatban a közepes tenerszinteket mareoráfok (vízszintreisztrálók) seítséével jelölik ki és az eyes pontok tenerszint feletti maassáát ettıl a nulla kezdıértéktıl vezetik le Ezzel a módszerrel ey kétdimenziós szintfelületi (D) és ey eydimenziós (D) maassái hálózatot hoznak létre Valamely pont normálisán átmenı és a forástenellyel párhuzamos sík a földrajzi északi irány síkját jelöli ki Ey adott pont normálisának az eyenlítı síkjával bezárt szöét Φ vel az adott ponthoz és a Greenwich-i kezdıponthoz tartozó földrajzi északi irányok síkjai által bezárt szöet Λ val a valamely ponton átmenı földrajzi északi irány síkja és a pont normálisán átmenı ey másik pont irányát tartalmazó sík által bezárt szöet A val fojuk jelölni A fenti foalmakra a szakirodalomban használatosak sorrendben vay a szintfelületi földrajzi vay a csillaászati szélessé hosszúsá és azimut kifejezések Az eyértelmősé és a rövidsé kedvéért a seédletben Φ re a szintfelületi szélessé Λ ra szintfelületi hosszúsá A-ra a szintfelületi azimut elnevezéseket fojuk használni A Φ Λ Α mennyiséeket a földrajzi helymehatározás során csillaokra vézett mérések seítséével lehet mehatározni Azokat a pontokat ahol ezeket a mennyiséeket mérik csillaászati (asztroeodéziai) pontoknak fojuk nevezni 8

10 A szintfelületi rendszerben tetszılees térbeli pont koordinátái a Φ Λ H értékekkel adhatók me ahol H a tenerszint feletti maassá a füıvonal mentén mérve A földrajzi helymehatározás elve A szintfelületi szélessé hosszúsá és azimut mehatározása hayományosan földrajzi helymehatározással naypontossáú felsırendő teodolitok seítséével történik A szintfelületi szélessé mehatározása szömérést a szintfelületi hosszúsá mehatározása idımérést iényel A szintfelületi szélessé mehatározását leeyszerőbben az alábbi ábrából érthetjük me Sarkcsilla Helyi füılees É α Z Föld Φ horizont A Sarkcsilla a Föld valódi forástenelyének mehosszabbításában helyezkedik el Mivel a Föld méreteihez képest a Sarkcsilla vételen távol van a Földfelszín ey tetszılees pontjában teodolitunk távcsövével azt meirányozva a teodolit irányzótenelye a helyi füıleessel a Z zenitszöet ill a helyi vízszintes síkkal (a horizont síkjával) az α maassái szöet zárja be (ábra) A merılees szárú szöek tétele alapján viszont o α Φ 9 Z A szintfelületi hosszúsá mehatározásához tekintsük az alábbi ábrát! Föld Föld forásiránya É meridián GT L LT csilla γ G kezdımeridián 9

11 Az ábrán γ a tavaszpont iránya Ha az idı mérésére ezt az irányt használjuk fel akkor ey mehatározott idıpontban a helyi idı a kezdımeridiánon (a reenwichi meridiánon) GT Uyanebben a pillanatban ey pontban a helyi idı LT (local time) A Föld nyuatról kelet felé forova ey teljes fordulatot (36 o -ot) 4 óra alatt tesz me Íy a két helyi idı különbsée fok-perc-másodpercre átszámítva meadja a pont meridiánjának a kezdımeridiánnal bezárt lapszöét azaz a Λ szintfelületi hosszúsáot: Λ LT GT A szintfelületi hosszúsá mehatározása tehát helyi idık mérésébıl és ezek összehasonlításából áll A helyi idı mehatározásához többfajta módszert doloztak ki a reenwichi idıt pedi rádió seítséével vett tudományos idıjelek révén ismerjük Az állócsillaok meirányzásához szüksées koordináták csillakatalóusból kereshetık ki Hozzáfőzzük mé hoy az ez úton vézett mehatározást késıbb mé pontosítják a pólusinadozás adatainak fiyelembe vételével Ellipszoidi felületi koordinátarendszer A sima lefutású de szabálytalan eoidot yakorlati szempontból célszerő ey matematikaila könnyebben kezelhetı forási ellipszoiddal meközelíteni A Φ Λ Α szintfelületi koordinátáknak és a szintfelületi azimutnak az ellipszoidon a ϕ ellipszoidi szélessé a λ ellipszoidi hosszúsá és az α ellipszoidi azimut felelnek me Ezek a mennyiséek a pont ellipszoidi normálisára vonatkoznak A szintfelületi és az ellipszoidi normálisok eltérését füıvonal-elhajlásnak (két komponens) a eoidnak az ellipszoid feletti maassáát pedi eoidundulációnak nevezzük (harmadik komponens) Z ellipszoidi normális (ϕ λ h) Greenwichi ellipszoidi meridián O λ ϕ h Q α A pont ellipszoidi meridiánja Y (Greenwich) Ellipszoidi eyenlítı síkja Az ellipszoidi rendszerben a pontok térbeli koordinátái a ϕ λ h értékekkel adhatók me ahol h az ellipszoid feletti maassá Ha a forási ellipszoidot a tenelyére merılees síkokkal metsszük el akkor az azonos szélesséő pontokat összekötı ellipszoidi szélesséi köröket (röviden: szélesséi köröket) kapjuk A nulla szélesséi körtıl (az ellipszoidi eyenlítıtıl) északra pozitív (északi) délre neatív (déli) szélesséekrıl beszélünk Ha az ellipszoidot a tenelyén átmenı síkokkal metsszük el az ellipszoidi meridiánokat (röviden: meridiánokat) kapjuk amely az azonos hosszúsáú pontokat köti össze (a metszet képe ellipszis) A kezdı meridiántól keletre pozitív (keleti) attól nyuatra neatív (nyuati) hosszúsáról beszélünk

12 Két pont közötti lerövidebb szakaszt eodéziai vonalnak nevezzük Az ellipszoidon a eodéziai vonal képe örbe Az ellipszoidhoz kapcsolódó részletesebb ismeretekre A térképezés alapfelületei c fejezetben térünk vissza Gömbi felületi koordináta rendszer Kisebb orszáok térképi ábrázolásánál vay lobális földrajzi térképek szerkesztésénél az ellipszoidot ömbbel is helyettesíthetjük Ekkor a meridiánok is hosszúsái körök lesznek és a számítások összefüései is lényeesen leeyszerősödnek mivel a ömbi normálisok a ömb középpontján mennek keresztül A ömbön a eodéziai vonal a két pont közötti lerövidebb ömbi kör A szélesséi körök azonban (a hosszúsái köröktıl eltérıen) nem eodéziai vonalak A ömb forástenelye (ϕ λ) ömbi normális Gömbi kezdımeridián Ψ ϕ λ Q α A pont ömbi meridiánja Gömbi eyenlítı síkja Az ábra jelölései: ϕ - ömbi szélessé; ψ ömbi pólustávolsá; λ ömbi hosszúsá; α - ömbi azimut Vetületi koordináta rendszerek A vetületi koordinátarendszerekkel a Vetülettan tantáryban már meismerkedtünk Itt röviden átismételjük az ott meismert foalmakat Az ellipszoidi és a ömbi koordináták seítséével az eyes pontok felületi távolsáai és a különbözı irányok által bezárt szöek matematikaila viszonyla könnyen és eyértelmően mehatározhatók az ellipszoid illetve a ömb eometriai paramétereinek az ismeretében

13 A földfelszíni pontok hayományos térképi ábrázolásánál vay a számítóépes mejelenítésnél azonban síkkoordinátákra van szükséünk ezért a felületi pontokat célszerő ey vetületi síkban is meadni és a számításokat ebben a vetületi síkban definiált koordinátarendszerben vérehajtani A síkot az ellipszoid vay a ömb felületéhez illesztett vay azt metszı síkba fejthetı felületekre való vetítés révén hozzák létre úy hoy a vetítés során elkerülhetetlen torzulások mé elfoadhatók leyenek +x +y y Q d y δ Q x Q K x x Q x Q δ Q y Q d Q δ Q δ Q Q y Q x Q x K y y Q +y a) +x b) A vetületi számítások során az ellipszoidi hosszúsá és szélessé helyett vetületi sík koordinátákra térhetünk át és az eyes feladatokat jóval eyszerőbb sík eometriai összefüések seítséével hajthatjuk vére A pontok maassáát továbbra is a tenerszintfeletti maassáal adjuk me A fenti ábrán délnyuati ill északkeleti tájékozású vetületi koordinátarendszert látunk azaz a rendszer +x tenelye délre ill északra +y tenelye nyuatra ill keletre mutat Az ábra jelölései: y x sík derékszöő koordináták

14 y y y x x x - koordinátakülönbséek Q Q δ irányszö Q Q Meridián képe + x É m É f É t ϑ µ α δ Α m Q K + y A vetületi koordinátarendszerben értelmeztük mé az alábbi foalmakat: α - ellipszoidi azimut (szötartó vetületeknél) Α m máneses azimut δ - irányszö µ vetületi meridiánkonverencia ϑ máneses tájékozó szö - deklináció Az É f É t és É m jelölések az ellipszoidi térképi és a máneses északi irányokat jelentik Helyi szintfelületi (horizonti mőszer-) koordináta rendszer ζ (helyi füılees) d f O (mőszerálláspont) h Z α d v β H ζ η (kezdıirány) ξ η ξ (helyi vízszintes sík) h ' Az ábrán a klasszikus földi eodéziai mérési eredményeket folaljuk össze a eodéziai mőszerek koordináta rendszerében (mőszer- vay helyi szintfelületi koordinátarendszer) 3

15 A vízszintes szömérések során az álláspont füıleesén átmenı és az irányzott pontokat tartalmazó síkok által bezárt szöeket mérjük A maassái szö a helyi vízszintes síknak a mért iránnyal bezárt szöét jelenti (a zenitszö a helyi normális irányával bezárt szö) Jelölések: β - vízszintes szö d v - vízszintes távolsá d f - ferde távolsá α - maassái szö (nem tévesztendı össze az ellipszoidi aimuttal!) Z - zenitszö H maassákülönbsé h mőszermaassá (nem tévesztendı össze az ellipszoid feletti maassáal!) ξ η ζ - térbeli derékszöő mőszerkoordináták ezeket a diitális mőszereknél a mért szöek és távolsáok füvényében a beépített mikroszámítóép számítja A β szö jelentése az x kezdıirány meválasztásától fü: I irányérték ha a kezdıirány a limbusz osztása Α - szintfelületi azimut ha a kezdıirány a földrajzi észak Α m máneses azimut ha a kezdıirány a máneses észak A vetületi koordinátarendszer +x tenelyével bezárt δ irányszöet nem lehet közvetlenül mérni A földfelszínen mért mennyiséeket elméletile a eoidra és az ellipszoidra is redukálni kell A szömérések esetében a földfelszíni pont és annak eoidi normálisa közötti eltéréseket általában elhanyaolhatjuk GS vevık koordinátarendszere A GS vevık helymehatározó adatai a WGS84 eocentrikus elhelyezéső ellipszoidon értelmezett ϕ ellipszoidi szélessé λ ellipszoidi hosszúsá és h ellipszoidi maassá Ezeket a vevı a mőholdas távolsámérési eredményekbıl számítja A ϕ λ és h koordináták zárt sziorú képletekkel átszámíthatók a földi eocentrikus Y Z koordináta rendszerbe Az átszámítás hasonlóan sziorú képletekkel visszafelé is elvéezhetı Az átszámítás sziorú zárt képleteire az Összefüések a földi eocentrikus és az ellipszoidi (felületi) koordináták között c fejezetben térünk vissza Maassái (D) koordinátarendszer Eymáshoz közel fekvı pontok m i nyers maassákülönbséeit (a rajtuk átmenı szintfelületek merılees távolsáát) eometriai szintezéssel határozzuk me Ha eyik pont maassáa ismert mehatározható a másik pont eoid (középtenerszint) feletti maassáa Mivel mint látni fojuk a szintfelületek nem párhuzamosak ezért a közöttük lévı távolsá nem állandó A yakorlatban a közepes tenerszinteket mareoráfok (vízszintreisztrálók) seítséével jelölik ki és az eyes pontok tenerszint feletti maassáát ettıl a nulla kezdıértéktıl vezetik le Ha a szabatos nay területre kiterjedı szintezést a mareoráftól kiindulva a szintezés útvonala mentén mefelelı sőrősében vézett i nehézséi mérésekkel (ravimetria) eészítjük ki a kétféle mérés eredményébıl az ún eopotenciális értékhez jutunk: K m i i 4

16 léc hátra l h m szintezés iránya szintezımőszer tenerszint léc elıre Q l e Ey mőszerállásban két szomszédos kötıpont közötti nyers szintezett maassákülönbsé (ábra): m l h l e A maassáfoalmakkal részletesen a otenciálkülönbsé és ortométeres maassá a Normálmaassá és maassái rendellenessé A kvázieoid és a eoidunduláció majd összefolalóan a Maassái mérıszámok c fejezetekben ismerkedünk me 5

17 A felsıeodézia vonatkoztatási rendszerei A felsıeodéziában használt koordinátarendszereket a koordinátarendszerek közötti átszámítás összefüéseit a Föld tömeét is maában folaló ún eocentrikus szintellipszoid fizikai és eometriai paramétereit a kapcsolódó vetületi rendszereket továbbá a földi koordinátarendszerben ismert alappontok hálózatát eyüttesen földi vonatkoztatási rendszereknek nevezzük A yakorlatban mevalósított vonatkoztatási rendszerek nem feltétlenül rendelkeznek a fenti elemek összesséével de minden esetben tartalmaznak ey alapponthálózatot (kerethálózat) amelynek a pontjait a Föld felszínén eyértelmően mejelölték és a pontok koordinátáit az adott rendszerben mehatározták A csillaászati rendszereknél az alappontok szerepét a csillaok veszik át A yakorlatban több földi vonatkoztatási rendszert is használnak A GS rendszer üzemeltetıi a WGS84 (World Geodetic System 984) földi vonatkoztatási rendszert használják amelynek a tenelyei a CIO rendszerben adottak A rendszer alapponthálózatát a rendszert fenntartó állomások koordinátái reprezentálják A GS berendezések az új pontok koordinátáit is ebben a rendszerben határozzák me Az ITRSxxxx (International Terrestrial Reference System) nemzetközi földi vonatkoztatási rendszert amelynek a tenelyei az IR rendszerben adottak nemzetközi tudományos eyüttmőködés keretében tartják fenn A rendszerhez tartozó nemzetközi földi alapponthálózatot (ITRFxxxx - International Terrestrial Reference Frame) a rendszer fenntartásában résztvevı obszervatóriumok és permanens GS állomások koordinátái reprezentálják Az xxxx jelölés az aktuális reprezentáció évszáma A litoszféra lemezek mozása következtében az alappontok folyamatosan változtatják a helyzetüket ezért a földi koordinátarendszerben a referencia idıpontra vonatkozó derékszöő koordinátákat és azok sebesséét is folyamatosan mehatározzák A rendszer nem tartalmaz külön szintellipszoidot Jelenle az ITRF az aktuális reprezentáció az alappontok koordinátái az Internetrıl is letölthetık Az Európai Unióban az eurázsiai litoszféralemezhez kapcsolódó ETRSxxxx (European Terrestrial Reference System) európai földi vonatkoztatási rendszert és az ahhoz kapcsolódó európai földi alapponthálózatot (ETRFxxxx - European Terrestrial Reference Frame) használják Az európai rendszert 989-ben vezették be ekkor az ITRF89 és az ETRF89 rendszerek azonosak voltak Jelenle az ETRF az aktuális alapponthálózat A rendszert az EUREF (European Reference Frame) szervezet koordinálásában tartják fenn A rendszerhez külön forási ellipszoid is tartozik a koordináták az Internetrıl szintén letölthetık A WGS-84 és az ETRS vonatkozási rendszerhez tartozó továbbá a Mayarorszáon használt IUGG/967 helyi elhelyezéső forási ellipszoid eometriai paramétereit a táblázatban folaltuk össze Az eyes rendszerek közötti átszámítás paraméterei is ismertek Néhány vonatkoztatási rendszer és a kapcsolódó ellipszoidok Vonatkoztatási rendszer: WGS84 ETRS89 hazai rendszer ellipszoid neve és elhelyezése WGS84 eocentrikus GRS8 reionális IUGG/967 helyi a b f

18 A Föld nehézséi erıtere A nehézséi erı A nehézséi erı az az erı amely minden testet a Földhöz vonz Mérıszáma a szabadon esı testre ható nehézséi yorsulás (jele ) Hayományos értelemben a nehézséi yorsulás mértékeysée a al: al Az eysényi tömere ható nehézséi erı számértékben meeyezik a nehézséi yorsulással ezért e két foalom között általában nem tesznek különbséet A továbbiakban kevés kivétellel - a nehézséi erı kifejezést fojuk használni akkor is ha az éppen aktuális összefüésben szereplı mennyisé dimenziója yorsulás Az SI rendszerben a nehézséi erı eysée az erıeysé N (Newton) átlaos értéke pedi: - m s k m 98 N 98 al k s Feltételezve hoy Földünk felszíne közelében a kozmikus suárzásból illetve a Nap a Hold a bolyók tömevonzásából adódó erıhatások (árapály) elhanyaolhatók ill fiyelembe vehetık a nyualomban lévı testre ható nehézséi erıt két erı eredıjeként határozhatjuk me (ábra): f + k ahol É O ρ f k ω a pont szösebessée ρ távolsá a forástenelytıl m esetén: k ω ρ O középpontú térbeli derékszöő koordinátarendszerben amelyben a Z tenely a Föld forástenelyével eyezik me a vektor a koordinátarendszer Y Z tenelyeinek irányába esı i j és k eysévektorok seítséével fejezhetı ki: f - A Newton-féle tömevonzás a Föld felszínén lévı valamely anyai pontra: Y Z i + j + k m M f G ahol R - G N m k vay m Newton-féle tömevonzási állandó M a Föld tömee R a Föld suara m a anyai pont tömee 3 - k s a k - Föld tenely körüli forásából származó centrifuális erı: k ω m ρ ahol Y Z a nehézséi erı Y Z tenelyirányú komponensei a nehézséi erı naysáa pedi: 7

19 + + A vektor irányát a derékszöő koordinátarendszerben az alábbi iránykoszinuszok határozzák me: Y Z cos( ) cos( Y ) cos( Z) Az ismert tétel szerint az eredı vetülete eyenlı a komponensek összeének vetületével vayis a nehézséi erı tenelyirányú Y Z vetületeit az alábbi összefüésekbıl kaphatjuk me: Y Z f f f Y Tetszılees és Q anyai pontok között a Newton-féle tömevonzási erı tenelyirányú vetületei (ábra): f Z Z iránya f Q(abc) Z Y + k + k Y + k Z ahol Z ( f ) ( f Y ) f f cosα f cos f f cos β f cos Y f f cosγ f cos( f Z ) Z f f (YZ) f iránya γ α β f Y Y iránya A képletekben a tömevonzás törvényének mefelelıen f a és Q pontok tömevonzása: m f G ahol r r a + b Y + c Z ( ) ( ) ( ) A Föld testén belüli rendkívül eyenlıtlen tömeeloszlás következtében a nehézséi erı a Föld felületén olyan bonyolult törvényszerőséek szerint változik hoy a nehézséi erı és ey földfelületi pont között fennálló pontos füvénykapcsolat nem adható me A nehézséi erı potenciálja A Föld nehézséi erıterének tanulmányozása jelentısen eyszerősödik ha bevezetjük a potenciálfüvény (vay eyszerően potenciál) foalmát otenciál alatt azt a füvényt értjük amelynek a koordinátatenelyek irányában vett elsı parciális deriváltjai a ható erı mefelelı tenelyirányú komponenseivel (vetületeivel) eyenlık Jelöljük a nehézséi erı potenciálját W-vel Ekkor a fenti definíciónak mefelelıen - a nehézséi erı koordinátatenely-irányú komponensei a következı összefüésekkel fejezhetık ki: 8

20 Y Z W W Y W Z A nehézséi erı potenciálja eyenlı a Newton-féle tömevonzási erı potenciáljának (V) és a centrifuális erı potenciáljának (V F ) összeével: A Newton-féle tömevonzás potenciálja a W V + V G M összefüésbıl számítható ki Az interálást a Föld eész tömeére kell elvéezni A Föld forásából eredı centrifuális erı potenciálja tisztán eometriai jelleő mennyiséeket tartalmaz: V ω ρ ω ( + Y ) F V F dm r A fenti két képletben metartottuk az eddii jelöléseket Z ds zenit W A nehézséi erı potenciáljának differenciálja eysényi töme vételen kis ds távolsára történı elmozdulásakor az alábbi: ( s) ds dw cos ahol a ( s) szö a zenitszöet 8 o -ra eészíti ki: o ( s) 8 Z W+dW s A fenti képlet lehetıvé teszi hoy a nehézséi erı tetszılees s irányba esı komponensét kiszámítsuk Valóban mivel kapjuk: ( s) s cos s dw ds A dw cos( s) ds képletbıl látszik az is hoy a potenciál differenciálja eyenlı a munka differenciáljával vayis az a munka amelyet a nehézséi erı véez eysényi töme vées távolsában lévı két pont közötti elmozdulásakor az e pontok közötti potenciálkülönbséel eyenlı: 9

21 ( ) A A d cos s s W W A nehézséi erı potenciálfüvénye vées folytonos és eyértékő Uyancsak vées folytonos és eyértékő a potenciál Z W Y W W három elsı parciális deriváltja E füvények fizikai értelme viláos a Z W Y W W Z Y képletekbıl azaz a nehézséi erı Y Z tenelyirányú komponensei A nehézséi erı potenciáljának létezik a hat második deriváltja: Z Y W Z W Y W Z W Y W W A nehézséi erı potenciálja a külsı vonzásmentes térben a ω W a vonzó tömeen belül (a belsı térben) a ω G W + 4 ϑ π ún Laplace-eyenletet eléíti ki ahol az eddii jelöléseken túl ϑ - térfoati sőrősé Z Y a Laplace-féle operátor a k j i + + z y x r nabla-operátor önmaával vett skaláris szorzata A potenciál második parciális deriváltjainak összee Z W Y W W W + + A potenciál második deriváltjaiban szereplı sőrősé arra utal hoy a potenciálfüvény második deriváltjai (ill közülük lealább ey) a vonzó tömeen belül a sőrőséi határfelületeken (ahol a sőrősé urásszerően változik) urásszerő változásokat szenvednek A nehézséi erı potenciálja teljes mértékben jellemzi a Föld nehézséi erıterét mivel ha ismerjük szüksé esetén számíthatók a nehézséi erı Z W Y W W Z Y komponensei ill a már ismert Z Y értékek birtokában a nehézséi erı Z Y + + naysáa valamint a ) cos( ) cos( ) cos( Z Y Z Y képletekbıl a nehézséi erı iránya a térben

22 Füıvonalak és szintfelületek A Föld nehézséi erıterének fontos jellemzıi az erıtér erıvonalai vay füıvonalai A füıvonalak olyan vonalak amelyeknek tetszılees pontjaiban húzott érintıi a nehézséi erı vektorának irányával esnek eybe A füıvonalak mindi folytonos füvénnyel fejezhetık ki az érintık iránya folyamatosan változik A füıvonal kettıs csavarodású térbeli örbe vonal amelynek örbületi vektora az alábbi képlettel határozható me: ahol a következı ábra szerint n W W i + j ρ Z Y Z n - a örbe fınormális irányú eysévektora (A fınormális irányú eysévektor merılees az érintı irányú eysévektorra és a füıvonalnak mint térörbének a pontbeli simulósíkjában fekszik) t érintı irányú eysévektor b binormális eysévektor az ábra síkjából merıleesen kifelé mutat ρ - a füıvonal örbületi suara b A füıvonal örbületi vektora az eltérı sőrőséő tömeek határfelületein urásszerően változik Uyanakkor a vonzó tömeen kívül a W potenciál második deriváltjai folytonosak ezért a külsı térben a füıvonalak örbületének változása is folytonos t n simulósík A füıvonal mellett a nehézséi erıtér fontos jellemzıi a szintfelületek A szintfelület olyan felület amelynek minden pontjában a potenciál eyenlı vayis amelynek eyenlete W ( Y Z) const füıvonal Különbözı konstans értékek mellett különbözı szintfelületeket kapunk A konstans naysáától füıen a szintfelületek a Föld tömeén kívül azt metszıen ill a Föld tömeén belül helyezkedhetnek el A nehézséi erı iránya a szintfelület minden pontjában a szintfelület normálisának iránya vayis a nehézséi erı vektora a szintfelületre annak minden pontjában merılees Ha ey eysényi tömeet a szintfelület mentén a nehézséi erı irányára merıleesen mozatunk úy ( s) 9 minden esetben Ekkor o a dw cos ( s) ds összefüés szerint d W azaz a szintfelületen maradva munkavézés nem történik A nyualomban lévı víz felszíne amelyre csak a nehézséi erı hat eybeesik a szintfelületek eyikével A szintfelületek eyensúlyi felületek mivel a nehézséi erı szintfelületi tetszıle-

23 es pontbeli érintıje irányába esı komponense zérus vayis semmilyen tanenciális erı nem keletkezhet amely a víztömeek mozását saját felületükön elıidézheti A nehézséi erınek azt a szintfelületét amely a nyílt tenerek nyualomban lévı felszínével esik eybe Listin német fizikus 873-ban eoidnak nevezte el A szárazföldek a eoidot két részre osztják: ey a tenerszinttel eybeesı külsı és ey a szárazföldek alatt haladó belsı részre A nehézséi erı potenciálfüvényének folytonossáából következik hoy mind a vonzó tömeen kívül mind az azt metszı vay a Föld belsejében lévı szintfelületek szakadásmentesek a felületi érintısík hajlásszöe a szintfelületi érintési pontok változásával szintén folytonosan változik Uyanakkor a különbözı sőrőséő réteeket metszı szintfelület örbülete urásszerően változik ott ahol urásszerően változik a sőrősé Ennek oka hoy a szintfelület örbületét valamilyen A azimut mentén a potenciálfüvény második deriváltjai határozzák me: ahol W W W cos A + sin A + sin A ρ Y Y ρ a szintfelület normálmetszetének örbületi suara Α a normálmetszet síkjának az tenellyel bezárt szöe (szintfelületi azimut) Következésképpen a eoid örbülete azokon a helyeken ahol szárazföldi tömeeket metsz urásszerően változik ezért a vonzó töme belsejében a eoid felületének akármilyen analitikus módszerekkel történı folytatása nem felel me a eoid ténylees helyzetének Íy a eoid örbületének ey analitikus füvénnyel való mehatározása komoly akadályokba ütközik (ld A eoid analitikus mehatározása c fejezetet) Nehézséet jelent az is hoy a szárazföldek alatti eoid helyzetének pontos mehatározásához ismernünk kell a sőrősé (töme) eloszlását a földkéreben (É) A iránya A iránya Y (K) iránya Y Vizsáljuk me a továbbiakban a potenciálfüvény második deriváltjainak fizikai értelmét A derékszöő koordináták oriója leyen most a földfelszín pontjában A Z tenely mutasson a füıvonal mentén a Föld belseje irányába az és az Y tenelyek mefelelıen északra és keletre (ábra) Eyértelmő hoy e rendszerben Z Z iránya W Z A Z W második deriváltját írjuk fel a következıképpen: W W Z Z Z Z ahonnan látható hoy ez a második derivált a nehézséi erı füılees radiense

24 3 Hasonló módon átírva a Z W Z W Y Z W Y Z Y W második deriváltakat látjuk hoy e deriváltak jellemzik a nehézséi erı változását a vízszintes síkban: a a meridián irányában a Y pedi haránt (vertikális) irányban Utóbbiakat a nehézséi erı vízszintes radienseinek nevezik A teljes vízszintes radiens a és a Y vektorok eometriai összee vayis az a s vektor amelynek irányában a nehézséi erı a leyorsabban nı (ill csökken) s amelynek naysáa: + + Z Y W Z W Y s A teljes vízszintes radiensnek az észak felé mutató tenellyel bezárt szöe pedi vayis az azimut az alábbi: Z W Z Y W Y A t A W a Y W és a Y W második deriváltak ahoy azt feljebb a A Y W A Y W A W sin sin cos + + ρ képletben láttuk a szintfelület normálmetszetének örbületét jellemzik A fenti összefüésben A -t helyettesítve kapjuk: ρ W (a meridián irányú metszet örbülete) π A - nél pedi ρ Y W (a szintfelület haránt irányú metszetének örbülete) A második deriváltakat az Eötvös-féle tenzor ey 3x3 mérető mátrixban folalja össze:

25 4 Z W Y Z W Z W Z Y W Y W Y W Z W Y W W E Az Eötvös-féle tenzor a nehézséi erıtér Z Y összetevıi radiensvektorának elemeit vayis a W potenciálfüvény tiszta és veyes második differenciálhányadosait tartalmazza A tenzor ismerete lehetıvé teszi a nehézséi erı elemi kis ds elmozduláshoz tartozó elemi d változásának kiszámítását a nehézséi erıtérben: s E d d A tenzor elemeinek jelentıs részét mérni lehet az Eötvös-féle torziós inával ill más (általában őreszközökön elhelyezett) radiométerekkel A potenciál elsı- és másodrendő deriváltjaival kapcsolatos néhány további kérdésre A eoid analitikus mehatározása c fejezetben térünk vissza A nehézséi erı füılees radiense A nehézséi erı füılees radiensének alábbi képletét akkor célszerő használni ha a szintfelület normálmetszeteinek örbületei ismertek Helyettesítsük a W és a Y W második deriváltakra kapott kifejezéseket a ω G W + 4 ϑ π Laplace-eyenletbe! Kapjuk: ϑ π ρ ρ + + G ω Z W Y 4 A fenti összefüés a nehézséi erı füılees radiensét fejezi ki a sőrősé füvényében Ebbıl következik hoy csak a Föld töme- (sőrősé-) eloszlására vonatkozó mebízható ismeretek teszik lehetıvé a vonzó tömeen belül a szintfelületek (íy a eoid) ezen a módon történı mehatározását A vonzó tömeen kívüli külsı térben ϑ íy az elızı esettel ellentétben viszonyla eyszerő a nehézséi erıtér pontos mehatározása otenciálkülönbsé és ortométeres maassá A középtenerszinthez viszonyított potenciálkülönbsé mehatározásához a eometriai szintezés eredményei szolálnak alapul

26 alakban A dn mennyisé úy tekinthetı mint vételen közeli szintfelületek közötti elemi kis dm maassákülönbsé Ezért a fenti összefüésben a dn érték a dm értékkel a (nyers) szintezett elemi maassákülönbséel helyettesíthetı Interálva a fenti összefüést a szintezési vonal mentén a szintezési vonal kezdıpontja (a mareoráf) és a maassái alappont között a két pont közötti (vées) maassákülönbsé az alábbi képletbıl számítható: K W W dm i mi A K mennyisé a pont eopotenciális értéke A eopotenciális érték szabatos szintezéssel és hozzá kapcsolódó nehézséi mérésekkel feltevésmentesen mehatározható eyszerő természetes mérıszám a maassára melynek eyetlen hátránya az hoy nem hosszúsá jelleő A eopotenciális érték mértékeysée a GU (eopotencial unit): A dw dm képletbıl következik hoy J m GU k s dw dm vayis a nehézséi erı a potenciálnak a szintfelület külsı normálisa irányában értelmezett elsı deriváltja Az eymáshoz közeli szintfelületek közötti távolsá fordítottan arányos a nehézséi erı értékével az adott pontban Valóban a dn n ds s (s) dw dm képletbıl A eometriai szintezésnél a szintfelületek közötti dn elemi normális szakaszokat mérjük amelyek úy tekinthetık mint a dl lécleolvasás-különbséek Ekkor az ábra szerint Írjuk fel a összefüést dw dm Mivel a nehézséi erı a szintfelületen nem állandó úy két szintfelület közötti távolsá a különbözı helyeken különbözı A nehézséi erı értéke az eyenlítıtıl a sarkok felé nı ezért a sarkok felé a szintfelületek közelednek eymáshoz az eyenlítı irányában pedi távolodnak eymástól ( s) dn ds cos dw cos ( s) ds dw dn 5

27 A szintfelületek tehát nem párhuzamosak emiatt a földfelszín két pontja közötti elemi kis maassákülönbséek összee nem határozható me eyértelmően mert az fü a szintezési vonal vezetésének irányától Jelöljük a füıvonal eoid feletti vées hosszát H dw dm kifejezést a füıvonal mentén Kapjuk: vel (ábra) és interáljuk a K W W d m k dm k H WW H WW fizikai földfelszín eoid Innen ahol H W W k a nehézséi erı átlaos értéke a szakaszon k Veyük észre hoy a füıvonal szakasza úy is tekinthetı mint a WW normálisának része mivel a két szakasz közti különbsé a és pontok közötti mé km-es naysárendő távolsánál is kisebb mint mm A pont íy kapott maassáát a tenerszint (eoid) felett ortométeres maassának nevezzük A H feletti index azt jelenti hoy a H mehatározásához ismernünk kell a ténylees nehézséi erı k átlaos értékét a szakaszon Az ortométeres maassá képlete az alábbi alakban is felírható: H k dm i mi A fenti interál (szumma) pontosan kiszámítható Ehhez az szüksées hoy a eoidot mehatározó mareoráf (tenerszintmérı eszköz) és a pont között olyan szintezési vonalat vezessünk amely lehetıvé teszi a dm (nyers m i ) szintezett maassákülönbséek mehatározását valamint e vonal pontjaiban mérjük a nehézséi erı értékeit A nehézséi erı k átlaos értéke a szakaszon ismeretlen Utóbbi mehatározásához ismernünk kellene a Föld felsı réteeinek felépítését az errıl szóló ismereteink azonban hiányosak E hiányt valamilyen modell alapján lehet pótolni Ennek több módja is lehetsées eyik szokásos meoldás a nehézséi erıtér ún oincaré-rey-féle modelljének alkalmazása (l A szárazföldön mért nehézséierı-értékek átszámítása a eoidra c fejezetet) Az ortométeres maassá hosszúsá jelleő maassái mérıszám hátránya hoy az azonos ortométeres maassáú pontok általában nincsenek azonos szintfelületen valamint az hoy számításukhoz feltételezésekre van szüksé k 6

28 A Föld külsı nehézséi erıtere és alakja mehatározásának problémája A Föld alakjának mehatározásához ismernünk kell a W potenciált Uyanakkor a potenciál pontos számítása a W V + képlet szerint nem lehetsées mert a képletben szerepel a ϑ térfoati sőrősétıl füı Newton-féle V tömevonzási potenciál A sőrősé változása a Föld belsejében viszont pontosan nem ismert Ezért a Föld nehézséi erıterének vizsálatakor hipotéziseket kellett felállítani a Föld belsı felépítésérıl 849-ben Stokes anol tudós bebizonyította hoy a Föld külsı potenciálja mehatározható a Föld sőrősé- (töme-) eloszlásától füetlenül Stokes elméleti vizsálatai szerint ha ismert a bolyó teljes tömee forási szösebessée és a nehézséi erı vonzó tömeeket teljesen maában folaló szintfelületének alakja úy a potenciál és maa a nehézséi erı eyértelmően mehatározható mind a külsı térben mind maán a szintfelületen Feltétel hoy a szintfelületen kívül nem lehetnek vonzó tömeek Ezzel mevan az elvi lehetısée annak hoy a potenciált mehatározhassuk a sőrősé- (töme-) eloszlás ismerete nélkül de nem ad választ arra a kérdésre hoyan oldható me a feladat ey adott konkrét szintfelületre E kérdés felvetése az ún Stokes-féle probléma A meoldásra született Stokes-féle módszer a problémát olyan viszonyla eyszerő felületekre oldja me mint a forási és a háromtenelyő ellipszoid Stokes a fordított feladattal is folalkozott azaz a nehézséi erı külsı szintfelülete alakjának és a külsı potenciálnak a mehatározásával azzal a feltétellel hoy ismert a forási szösebessé valamint a nehézséi erı és a W potenciál a szintfelületen Meoldásainál feltételezte hoy a keresett W külsı potenciál elé közel van ey meadható U ún normálpotenciálhoz Íy a Stokes-féle feladatban csak a kicsi T W U értékeket kell mehatározni amelynek második hatványai már elhanyaolhatók Mivel a eoid nem eléíti ki Stokes feltételeit azaz nem külsı szintfelület és felette szárazföldi tömeek helyezkednek el a nehézséi erıt a Föld fizikai felszínén s nem a eoid felületén mérik a potenciál és a eoid alakjának mehatározásához Stokes elmélete csak akkor használható ha a szárazföldi tömeeket fiyelembe tudjuk venni ill a Föld felszínén mért nehézséi erıt a eoidra tudjuk redukálni Stokes módszere sokái csak elméleti jelentıséel bírt a földi ravitációs hálózat sőrősée azonban már több évtizede elérte azt a fokot hoy kidolozott képletei yakorlati szempontból is hasznosíthatók M Sz Moloyenszkij elképzelése (945) szerint a eodézia elsıdlees feladata a Föld fizikai felszínének és külsı nehézséi erıterének mehatározása amibe a földalak-elmélet szorosan nem tartozik bele Iazolta hoy ez a feladat elvile sziorúan meoldható anélkül hoy bármilyen elképzelésünk lenne a Föld belsı felépítésérıl Azaz véleménye szerint a eodézia feladatai és a földalak-elmélet azaz a eoid mehatározásának problémája szétválasztható Moloyenszkij ezzel mekerülte a mért nehézséierı-értékek eoidra való redukálásának elvi nehézséeit elı kellett állítania viszont a mért nehézséi erınek a fizikai földfelszín normáli- V F 7

29 sának irányába esı összetevıjét A Moloyenszkij-féle elképzelés szorosan összefü a yakorló szakember számára leinkább fontos yakorlati maassámérés problémáival A feladatot Stokeshez hasonlóan ı is azon feltételezés mellett oldotta me hoy a Föld W külsı potenciálja közel van ey ismert U normálpotenciálhoz Vayis épp úy mint a Stokesféle feladatban ekkor is a kicsi T W U értékeket kell mehatározni ahol T a potenciálzavar Mind a Stokes-féle mind a Moloyenszkij-féle meoldásnál ismernünk kell U-t valamint me kell határoznunk a T potenciálzavart Ekkor a keresett W potenciál a képletbıl mehatározható W U + T 8

30 Ha a nehézséi erı A Föld normálalakja A normálpotenciál és a normál nehézséi erı W ( Y Z) const potenciálfüvényében a V vonzási potenciált kifejezı taot számszerően is me akarjuk határozni akkor a benne elıírt interálást a Föld belsı tömeeloszlása ill fizikai alakja ismeretének hiánya miatt nem tudjuk elvéezni A vonzási potenciál leírására s ezzel a szintfelületek valódi alakjának mehatározására alkalmasabb füvényalak a vonzási potenciálra felírható V V V V + + Y Z Z ψ r A Föld normálalakja bizonyos határokon belül mind eometriai mind fizikai értelemben önkényesen is meválasztható Minél alacsonyabb fokú (durvább) a közelítés annál messzebb kerülünk a valódi elméleti földalaktól ennek fejében viszont jóval eyszerőbb a normálalak matematikai kezelése A célszerősé azt diktálja hoy a Föld normálalakjaként olyan forási ellipszoidot válasszunk amelynek M tömee a Föld tömee kitölti az ellipszoidot és amelynek kistenelye körül a Föld valódi állandónak feltételezett szösebesséel foro Ekkor ez az ellipszoid alakú szintfelület a szintellipszoid (normál ellipszoid) lesz a Föld normálalakja és külsı potenciálja a normálpotenciál A szintellipszoid nem valamely szintszferoid közelítı felülete hanem tényleesen ellipszoid alakú szintfelület Mejeyezzük hoy a normálpotenλ Y és a térbeli poláris koordinátákra (ld ábra) átírt V r V ψ V V + + r sin ψ λ r V r + V + cotψ ψ alakú Laplace-eyenlet meoldására kapott n taszámú ömbfüvénysor Ha a taok összezését valamely n k < vées számnál abbahayjuk akkor a valódi potenciál helyett ennek ey k fokú közelítését kapjuk Ezt a közelítı füvényt a normálpotenciál füvényének (normálpotenciálnak) nevezzük és U k -val jelöljük Az e jelölésnek mefelelı U k ( Y Z) const összefüés a k fokú szintszferoid eyenletseree Ezekbıl ey a eoidnak mefelelı szintszferoid a Föld normálalakja 9

31 ciálnak csak ez az eyetlen szintfelülete ellipszoid alakú az összes többi külsı szintfelülete az ellipszoidnál nayobb lapultsáú szintszferoid A normál nehézséi erıt γ -val jelöljük A normál nehézséi erı tetszılees s irányba esı komponense: du γ s k ds A Stokes-féle elmélet szerint az M tömenek a felületét képezı szintellipszoidon belüli eloszlása ismeretlen lehet A szintellipszoid potenciálját a Stokes-probléma meoldásának eredményeként kapjuk A problémát a következıképpen foalmazhatjuk me: Leyen ismert a szintellipszoid teljes M tömee és ω forási szösebessée Mehatározandó a szintellipszoid potenciálja és a nehézséi erı mind a külsı térben mind pedi az ellipszoid felületén A szintellipszoid felületén a (normál) nehézséi erı a Somiliana olasz eodéta által mefoalmazott törvény szerint változik: ahol ϕ - ellipszoidi szélessé γ e - normál nehézséi erı az eyenlítın γ p - normál nehézséi erı a sarkokon a γ e cos ϕ + b γ p sin ϕ γ a cos ϕ + b sin ϕ a az ellipszoid fél naytenelye (eyenlítıi félátmérıje) b az ellipszoid fél kistenelye A képlet sorba fejtett alakja: ahol f - az ellipszoid lapultsáa ( + β sin ϕ β sin ϕ) γ γ e γ p γ e β β f + f β és γ 8 4 e A mestersées holdak méréseit is fiyelembe vették az 967-ben elfoadott és ajánlott alábbi képletben: γ sin ϕ 59 sin ϕ ( ) m A fenti képlet az IUGG/967 vonatkoztatási ellipszoidra vonatkozik a γ értékét eysében fejezi s ki Összefüések a szintellipszoid paraméterei között A szintellipszoid alakja forási szösebessée valamint a póluson és az eyenlítın érvényes nehézséierı-értékek között a izetti olasz tudós által felfedezett sziorú matematikai össze- 3

32 füés áll fenn A képlet az f lapultsá hatványai szerint sorba fejtve az alábbi alakra hozható: 5 γ p γ e 7 f q f q () γ 4 ahol e ω a q γ A fenti képlet az eyik nevezetes Clairaut-féle összefüés amelynek jelentısée abban van hoy lehetıséet nyújt a Föld elméleti alakját helyettesítı szintellipszoid f eometriai lapultsáának mehatározására az ω forási szösebessé és az ellipszoid a eyenlítıi félátmérıjének ismeretében a normál nehézséi erı γ p sarki és γ e eyenlítıi értéke vayis fizikai jelleő mennyiséek alapján: 5 γ p γ e q γ e f 7 + q 4 A q értékét ismertnek tekinthetjük Nehézséierı-méréseket mind a szárazföldeken mind a tenerek felszínén véeznek ezért természetes hoy a Clairaut-féle képlet útján mehatározható lapultsá jobban jellemzi a Földalak eészét mint a Föld kb /3-át lefedı szárazföldeken vézett fokmérésekbıl levezetett lapultsá (ld a Fokmérés c fejezetet) Az U normálpotenciál értékére a szintellipszoid felületén és a szintellipszoid M tömeére teljesen általános formában felírhatók az és a e ( a b ω γ ) U () U e ( a b ω γ ) G M G M (3) összefüések célszerően ömbfüvénysor formájában A Föld normálalakját és a normál nehézséi erıteret hét mennyisé határozza me: a f ω G M γ e γ p U ahol a G M szorzat az ún eocentrikus ravitációs állandó A 7 mennyisé közül eleendı néyet ismernünk mert az () () és (3) képletekkel a többi számítható A földi mérések adatainak feldolozásánál a 4 kiinduló mennyisé: a f ω γ e éldaképpen a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió (IUGG) 967 évi közyőlésén ajánlott Geodéziai Vonatkoztatási Rendszer (GRS67) paraméterei az alábbiak: a m f 9847 ω 795 s 3 4 Nm m G M (vay ) k s e 3

33 γ 9 N m e 7838 (vay ) k s β 534 A γ e és a β füvényében a γ p is számítható 7 m U J/k (vay ) s A GS vonatkoztatási rendszere a Geodéziai Vilárendszer (World Geodetic System WGS84) hasonló paraméterei: a m f ω 795 s 3 4 Nm m G M (vay ) k s γ 9 N m e (vay ) k s γ 9 N m p (vay ) k s 7 m U J/k (vay ) s Normál füılees radiens és normál örbület A normál füılees radiens a normál nehézséi erı változását fejezi ki a maassá füvényében és az alábbi összefüésbıl számítható: A fenti képletben γ γ ω 3855 n R k n a szintellipszoid külsı normálisának iránya R k a szintellipszoid közepes örbülete ( + 7 cos ϕ ) s ( + 7 cos ϕ ) mal m A normál füılees radiens ien csekély mértékben fü a pont ellipszoidi szélesséétıl Ezért kis maassáokon elhanyaolható ekkor a normál nehézséi erı értéke az ellipszoid felett h maassában az alábbi összefüésbıl kapható me: γ 6 γ γ h γ 386 h n m A fenti képletben h t méterben a normál nehézséi erıt (yorsulást) -ben kell kifejezni A s mínusz jel arra utal hoy az ellipszoid feletti pozitív maassáoknál a normál nehézséi erı maassái javítása neatív 3

34 A normál nehézséi erıtér füıvonalának örbülete: ρ β sin ϕ R k A normál nehézséi erıtér füıvonala a ténylees nehézséi erıtérrel szemben síkörbe amely a szabályos tömeeloszlás miatt mindi a meridián síkjában fekszik és a sarkok felé a homorú oldalát mutatja Minthoy β az f lapultsá naysárendő ebbıl következik hoy a füıvonal örbületi suara kb -szorosa a Föld suarának 33

35 A ténylees nehézséi erıtér és a normál nehézséi erıtér eltérései A potenciálzavar A fizikai földfelszín szintellipszoidtól való eltéréseit a potenciálzavar seítséével határozzuk me A eoid mehatározásakor a potenciálzavart értelmezni kell a földfelszíni pont eoidi mefelelıjében is A W V + összefüés analóiájára a normálpotenciált felírhatjuk az alakban ahol e V - a szintellipszoid vonzási potenciálja e U V + e VF - a szintellipszoidra vonatkozó centrifuális erı potenciálja Behelyettesítve a potenciálzavar T V F V e F W U képletébe írhatjuk: T e e ( V V ) ( V V ) Látható hoy a potenciálzavar értéke jelentısen fü a normálpotenciál meválasztásától vayis attól milyen ellipszoidot választunk szintellipszoidnak Geocentrikus elhelyezéső ellipszoidok esetén ideális esetben amellett hoy a szintellipszoid középpontja eybeesik a Föld tömeközéppontjával forástenelye is eybeesik a Föld forástenelyével tömee eyenlı a Föld tömeével az ellipszoid felületén az U potenciál meeyezik a középtenerszint W potenciáljával A reionális és helyi ellipszoidok ey földrész vay ey orszá alappont-hálózati méréseinek feldolozására szolálnak a Föld ey kisebb felületdarabján simulnak a eoidhoz és általában nem iazak vay csak részben iazak rájuk a fenti feltételek e Geocentrikus ellipszoidoknál V F V F mí reionális vay helyi ellipszoidoknál általában e VF V F Fiyelembe véve uyanakkor hoy az ellipszoidok és a Föld forástenelyeinek távolsáa mindössze m naysárendő ezt az eltérést elhanyaolhatjuk Következésképpen a potenciálzavar úy határozható me mint a Föld valódi vonzási potenciáljának és az ellipszoid vonzási potenciáljának a különbsée: T F e V V A potenciálzavar a vonzási potenciál minden tulajdonsáával rendelkezik A külsı térben a potenciálzavar harmonikus füvény vayis kieléíti a T Laplace-eyenletet A potenciálzavar közvetlenül nem mérhetı uyanakkor a földfelszíni pontokban mérésekbıl kapott mennyiséeken keresztül kifejezhetı Azt a feltételt amelyet a potenciálzavarnak a fizikai földfelszín vay a eoid pontjaiban ki kell eléítenie peremfeltételnek nevezzük F 34

36 A potenciálzavar mehatározása a T Laplace-eyenlet meoldására vezethetı vissza úy hoy a kapott T érték a fizikai földfelszín vay a eoid pontjaiban kieléítse a peremfeltételt Ezeket a feladatokat a potenciálelmélet peremérték-feladatainak nevezzük A földfelszíni füıvonal-elhajlás A Föld valódi nehézséi erıterének a normál nehézséi erıtértıl való eltérése miatt a földfelszín adott pontjában ható valódi nehézséi erı iránya nem esik eybe a normál nehézséi erı irányával uyanabban a pontban A földfelszíni pontban a valódi és a normálpotenciál szintfelületének felületi normálisai által bezárt szöet földfelszíni vay Moloyenszkij-féle füıvonal-elhajlásnak nevezzük θ eoid szintellipszoid A füıvonal-elhajlás értéke eyenletes síkhoz közeli terepen néhány szömásodperc naysárendő amely uyanakkor a maasabb heyekben akár az -et is elérheti Ennek következtében a földfelszíni pontok Φ Λ szintfelületi koordinátái eltérnek a ϕ λ ellipszoidi koordinátáktól A földfelszíni füıvonal-elhajlás ξ Μ meridián és η Μ haránt irányú összetevıi valamint a pont ϕ normálszélessée és λ normálhosszúsáa közötti összefüések az alábbiak: ϕ Φ ξ M κ η M λ Λ cosφ ahol az ismert jelöléseken túl κ - a normál nehézséi erıtér füıvonalának örbültsée miatti javítás: 4 κ 7 h sin ϕ A javítást -ben kapjuk ha a h-t méterben írjuk be A képletben h a pont ellipszoidi maassáa A fenti összefüés eyben kifejezi az ellipszoidi szélessé κ ϕ változását a h maassá füvényében Mint látjuk a λ ellipszoidi hosszúsá nem kap javítást uyanis forásfelületen a füıvonal mint mondtuk a Normál füılees radiens és normál örbület c fejezetben a szabályos tömeeloszlás miatt a meridián síkjában van 35

37 Α ξ Μ meridián és az η Μ haránt irányú összetevık elıjele pozitív ha a szintfelületi zenit az ellipszoidi zenittıl északkeletre neatív ha délnyuatra hajlik el A T potenciálzavar és a földfelszíni füıvonal-elhajlás között az alábbi összefüések állnak fenn: T ξ M γ Rk ϕ T η M γ R cosϕ λ ahol R k a közepes földörbület k Normálmaassá és maassái rendellenessé Jelöljük h -val a pont szintellipszoidi normális mentén vett ellipszoidi (ellipszoid feletti) maassáát * WW UW WW N h ζ H n telluroid fizikai földfelszín eoid UW ellipszoid Ha ismernénk a és a pont közötti U U normálpotenciál-különbséet (ábra) úy az ellipszoidi maassá az alábbi képletbıl lenne mehatározható: h U U γ ahol γ k - a normál nehézséi erı értéke a szakaszon Uyanakkor a mérési eredményekbıl a k W valódi potenciálkülönbsé határozható W me ahol W - a nehézséi erı potenciálja a középtenerszinten W - a nehézséi erı potenciálja a pontban Az U U normálpotenciál-különbsé helyett a W W valódi potenciálkülönbsébıl az ellipszoidi maassának csak a H n összetevıje az ún normálmaassá határozható me Ennek mefelelıen a normálmaassá értéke a pontban: * Az ortométeres maassá táryalásakor a H ortométeres maassáot s íy a pont helyzetét az ellipszoidon a pont füıvonala mentén értelmeztük A H n viszont a pontból az ellipszoidra bocsátott merıleesen (a szintellipszoidi normálison) helyezkedik el Emiatt a pont helyzete sem uyanaz Az eyenesek közötti szö mint láttuk feljebb - a földfelszíni füıvonal-elhajlás Ezt az eltérést a távolsáokra vonatkozóan most és a következı fejezetben fiyelmen kívül hayjuk 36

38 A fenti képletben A pont h ellipszoidi és H n W W γ ( + β sin ϕ β sin ϕ ) n γ H γ k γ e + n n H normálmaassáa közötti ζ h H különbséet maassái rendellenessének nevezzük A ζ maassái rendellenessé a pontbeli ellipszoidi normális N szakaszának hossza A maassái rendellenessé a földfelszíni potenciálzavar füvényében az alábbi összefüéssel fejezhetı ki: T ζ γ ahol γ N - a normál nehézséi erı értéke az N pontban (ld ábra) A fenti képlet szemléletesen belátható ha visszaidézzük A potenciálzavar c fejezet a potenciálzavar a vonzási potenciál minden tulajdonsáával rendelkezik meállapítását Ha ui a potenciálzavar (mint a potenciál maa) munka jelleő mennyisé akkor az elıbbi képlet szerint kifejezhetı a nehézséi erınek és a ζ útnak a szorzataként: T γ ζ A fentiek szerint tehát az ellipszoidi maassá két összetevı alebrai összee: N k N n h ζ + H Az eddiiekbıl látszik hoy az N pont a szakasz azon pontja amelyben a normálpotenciál U számértéke a pont valódi W potenciálértékével eyenlı (ábra) Az N pontok által alkotott felületet az eész Föld viszonylatában telluroidnak nevezik A telluroid tehát a fizikai földfelszín ey olyan közelítése amelynél a maassái rendellenesséet fiyelmen kívül hayjuk A normálmaassá a eometriai szintezés mérési eredményeibıl feltevésmentesen számítható yakorlati célokra íy az orszáos maassái alappont-hálózat számára jól használható maassái mérıszám Dinamikai maassá Meemlítjük hoy az ortométeres maassá azon hátrányát miszerint az azonos ortométeres maassáú pontok nincsenek azonos szintfelületen kiküszöbölhetjük úy hoy a pont eopotenciális értékét elosztjuk valamilyen meállapodásban rözített normál nehézséierı-értékkel Az íy kapott maassá ey nemzetközi szinten elfoadott normál o nehézséierı-képletbıl pl a ϕ 45 ellipszoidi szélessére számított érték az ún dinamikai maassá: d H K i mi γ γ 45 o A dinamikai maassá a pont eopotenciális értékével arányos mennyisé eometriai tartalma nincs 45 n o 37

39 A kvázieoid és a eoidunduláció Láttuk hoy a ζ érték a potenciálzavar füvénye és jellemzi a nehézséi erıtér rendellenesséének mértékét Ennek szemléltetése céljából a szintellipszoid felületi normálisa mentén hordjuk fel a fizikai földfelszín pontjaiban mehatározott ζ maassái rendellenesséeket Az alábbi ábra alapján íy a pontok halmaza jön létre Az íy definiált felületet MSz Moloyenszkij kvázieoidnak nevezte el Ekkor a ζ maassái rendellenessé nem más mint a kvázieoid maassáa az ellipszoid felett a H n normálmaassá pedi a fizikai földfelszín pontjának az ellipszoidi normális mentén értelmezett kvázieoid feletti maassáa A kvázieoid nem szintfelülete a nehézséi erınek A kvázieoid ζ eltéréseit a eoidtól az alábbi képletbıl kaphatjuk me: ahol γ n k k n ζ ζ ζ H H H ζ - a kvázieoid maassáa (undulációja) az ellipszoid felett ζ ' (a hazai és a nemzetközi irodalomban szokásos jelölése N) - a eoid maassáa az ellipszoid felett (eoidunduláció * ) k WW H H n fizikai földfelszín WW ζ N ζ eoid kvázieoid UW ellipszoid k és γ k a valódi és a normál nehézséi erı átlaos értékei a pontban A fenti képlettel vézett számítások szerint a ζ eltérések naysárendje sík terepen néhány cm a maasabb heyekben viszont meközelítheti a m-t Minthoy a tenerek felszínén a d m potenciálkülönbséek értéke zérus íy mind a normál mind az ortométeres maassáok is zérus értékőek s emiatt ζ Ez azt jelenti hoy a tenereken a eoid és a kvázieoid eybeesnek Következésképpen a kvázieoid csak a szárazföldön s ott is jelentéktelen mértékben tér el a nehézséi erı középtenerszintnek (eoidnak) nevezett szintfelületétıl Mivel a eoid hely- * Látjuk hoy a eoidunduláció valójában nem a füıvonal hanem az ellipszoid pontbeli normálisa mentén értelmezett eoid-ellipszoid távolsá Naysárendje azonban ellipszoidtól füıen változóan - mindössze néhányszor m ezért ez az értelmezésbeli különbsé elhanyaolható 38

40 zete a szárazföldek alatt nem határozható me pontosan ezért középtenerszintnek a kvázieoid felülete is elfoadható A szintvonalas térképeken ábrázolt s a szintvonalakban metestesülı normálmaassáok tehát a kvázieoid felett értelmezhetık A kvázieoid bonyolult az ellipszoidhoz viszonyítva hullámos felület amelynek ζ maassáai abszolút értelemben a m-t nem haladják me A mai yakorlatban találkozunk mind a eoid mind a kvázieoid foalmával A kettı mint láttuk - a tenereken eybeesik a szárazföldeken pedi annyira különbözik mint az ortométeres maassá a normálmaassától (< m) A két felület pontjait uyanis úy is értelmezhetjük hoy a fizikai földfelszínen lévı pontból vay az ortométeres maassáot vay a normálmaassáot mérjük vissza a pont füıleesén Elsı esetben a eoid második esetben a kvázieoid pontjaira jutunk Az ábrából látható hoy az ellipszoidi maassá úy is kifejezhetı mint a eoidunduláció és az ortométeres maassá alebrai összee: h N + H Az N eoidunduláció és a földfelszíni pont eoidi mefelelıjében a T potenciálzavar között a Normálmaassá és maassái rendellenessé c fejezet maassái rendellenesséhez kapcsolódó indoklásával az alábbi kapcsolat írható fel: N T γ * ahol γ - a normál nehézséi erı értéke a pontban (ld ábra) A szárazföldön mért nehézséierı-értékek átszámítása a eoidra Ha a valódi nehézséi erıteret ill az erıteret jellemzı mennyiséeket össze akarjuk hasonlítani a normál erıtér mefelelı adataival vay me akarjuk határozni ezek eltéréseit ismernünk kell a valódi nehézséi erıt a eoid (középtenerszint) és a szint (normál-) ellipszoid felületének eymásnak mefelelı pontjaiban A normál nehézséierı-értékeket számítani lehet A Föld normálalakja c fejezetben bemutatott ill nemzetközi szervezetek által ajánlott képletek alapján a valódi nehézséi erıt a szárazföldeken azonban csak a földfelszínen tudjuk mérni Ráadásul ezeken a területeken érthetı okokból a nehézséi erıt a könnyen hozzáférhetı helyeken mérik a nehezen meközelíthetı helyeken nehézséierı-méréseket nem (ritkán) véeznek Minél nayobb a szilárd földfelszín és a eoid felszíne közötti töme annál nayobb a mért nehézséi erı eltérése attól az értéktıl amelyet ha lehetne a eoid felületén mérnénk A felszíni tömeek hatása miatt tehát a szilárd földfelszín diszkrét pontjaiban mért nehézséi erıt a eoid felületére kell redukálnunk A redukálás mint a eodéziában általában itt is a mért értékek mejavítását korrekcióját jelenti Elvile minden mérési pontban a Föld eész tömee eoid feletti részének hatását fiyelembe kellene venni Ez a hatás a földfelszíni tömeek vonzásának a földfelszín adott pontjában a Füıvonalak és szintfelületek c fejezet koordinátarendszerében (a Z tenely a füıvonal mentén a Föld belseje irányába az és az Y tenelyek mefelelıen északra és keletre mutat) érvényes nehézséierı-irányú * Ez a képlet a nevezetes Bruns-féle összefüés arra az esetre amikor mint már említettük A potenciálzavar c fejezetben a eocentrikus szintellipszoid felületén az U potenciál meeyezik a középtenerszint W potenciáljával A képletnek majd a eoid mehatározásánál lesz szerepe 39

41 f Z δ M összetevıjével fejezhetı ki M - a Föld teljes eoid feletti domborzata A távoli tömeek hatása viszont olyan csekély hoy a δ redukálást eleendı a mérési pont (elıre mehatározott) környezetének hatására korlátoznunk A földfelszíni mérések eoidra történı átszámításánál az alábbi korrekciókat értelmezik: k - δ B π G ϑ H - a Bouuer-féle korrekció értéke ϑ 67 átlaos sőrőséérték 3 m 6 mellett δ B 9 H G tömevonzási állandó H - a vizsált pont maassáa m Ha a H maassá értékét m-ben írjuk be a javítás értékét -ben kapjuk; s 6 - δ F H - a Faye-féle (Free-air szabad leveı) tiszta maassái javítás Ha a m H maassá értékét m-ben írjuk be a javítás értékét szintén -ben kapjuk; s - δ T - toporafikus javítás a tömehiányok ill tömetöbbletek hatását veszi fiyelembe; - δ kond - kondenzációs korrekció; - δ izo - izosztatikus korrekció Attól füıen hoy a fenti korrekciókat milyen kombinációban alkalmazzák különbözı földmodell elképzelések alakultak ki A modellekbıl kapott δ értékeket hozzáadva a pontban mért mért nehézséierı-értékhez kapjuk a eoidra redukált red nehézséi erıt: Bouuer-féle modell E modellnél red mért + δ eltávolítjuk a mérési pont és a eoid között lévı szárazföldi tömeek hatását A valódi földfelszín és a eoid közötti tömeek hatását az alábbi ábrán látható H vastasáú vízszintesen vételen kiterjedéső lemez az ún Bouuer-lemez hatásával közelítjük Ezzel olyan értékre jutunk amit a földfelszíni pontban mérnénk ha alatta a eoidi nem lennének tömeek (Bouuer-féle korrekció) mérési pont földfelszín A B ϑ H vonatkoztatási szint 4

42 a mérési pontot a füıvonal mentén eltoljuk -be Az ebbıl származó tiszta maassái javítás a mért érték növelését jelenti mert a Föld tömeközéppontja és a mérési pont közötti távolsá csökken (Faye-féle javítás) A két korrekció összezésével a Bouuer-féle modell az alábbi: δ δ B + δ F E modellel olyan nehézséierı-értéket kapunk amelyet a eoidon mérnénk ha felette nem lennének tömeek Javított Bouuer-féle modell A Bouuer-féle korrekció a mérési pont és a vonatkoztatási szint közötti tömeek hatásának kiküszöbölésére csak az elsı lépés Az ábrából látszik hoy pl a és B pontok között kevés tömeet távolítunk el mí pl az A és pontok között olyan tömeet feltételezünk ami tulajdonképpen nem is létezik A δ T toporáfiai javítás a fizikai földfelszín és a Bouuer-lemez felsı határa közötti tömeek ill tömehiányok hatását veszi fiyelembe azaz a mefiyelt ponton áthaladó H const vízszintes síktól való eltérést A toporáfiai javítás fiyelembe vétele után olyan nehézséierı-értékhez jutunk amelyet akkor kapnánk ha a fizikai földfelszín a kiválasztott terület határain belül sziorúan vízszintes lenne A toporáfiai javítás értelemszerően pozitív elıjelő: δ δ + δ + δ B Mivel a sík anyai réte tömevonzása füetlen a pont rétetıl való távolsáától azon feltétel mellett hoy ez a távolsá kicsi a réte vastasáához képest mondhatjuk hoy a toporáfiai javítás bevezetése eyenértékő a vonzó tömeek H const maassában való sőrítésével A toporáfiai javítás számszerő értékének mehatározásához a fizikai földfelszínt a mefiyelt pont környezetében koncentrikus körökkel és radiális irányú suarakkal kicsiny szemensekre bontjuk A koncentrikus körök suarainak méretét ill a radiális irányú suarak számát úy állapítják me hoy minden szemens belsejében a mefiyelt pont feletti m maassáot állandónak lehessen tekinteni F T ϑ π / n r i r i+ m A toporáfiai javítás az eyes szemensek összezett hatásaként adódik: ( ( ri + m ) ( ri + + m ) + ri ri ) π δ T G ϑ + n A fenti képletben 4

43 n a suarak száma ϑ - a kızetsőrősé m a szemens maassáa a mefiyelt pont felett r i a belsı zóna suara r i+ a külsı zóna suara Az íy számított javítás a m-en kívüli és km-i terjedı környezet hatását az ún térképhatást fejezi ki Mejeyezzük hoy a m suarú közvetlen környezet hatását a δ T ún térszínhatást is fiyelembe szokták venni Ez a hatás ilyenkor hozzáadódik az elızı képlet jobboldalához: δ δ + δ Faye-féle modell T T Az elsı két lépés meeyezik a Bouuer-féle modell lépéseivel A 3 lépésben a eoid feletti tömeeket ien vékony de nay sőrőséő réteben a eoid alá tömörítjük Mivel mint mondtuk feljebb a sík anyai réte tömevonzása füetlen a pont rétetıl való távolsáától de fü a benne folalt töme naysáától a kondenzációs korrekció számítása leeyszerőbben a Bouuer-lemez mintájára történhet Ez esetben viszont a kondenzációs korrekció abszolút értékben meeyezik a Bouuer-féle korrekcióval de elıjele pozitív A δ B δ kond korrekciót hozzáadva a Bouuer-féle modellhez a B F T δ δ + δ + δ δ nayon eyszerő alakra jutunk ahol a eoidra történı átszámításhoz csupán a tiszta maassái (Faye-féle) javításra van szükséünk oincaré-rey-féle modell A középtenerszint (eoid) feletti (ortométeres) maassá számításához olyan nehézséierıértékre van szükséünk amit a Föld belsejében mérnénk úy hoy minden töme a helyén van A modell elsı két lépése itt is meeyezik a Bouuer-féle modell lépéseivel A 3 lépésben az elsı lépésben eltávolított tömeeket visszahelyezzük és fiyelembe vesszük vonzásukat a most már a eoidon lévı pontra Ennek fiyelembe vétele uyancsak a Bouuer-féle korrekcióval történik ami most ismét csökkenti a mért mennyiséet mert a eoid pontjában a földfelszíni ponthoz képest ezeknek a tömeeknek a vonzása a Föld többi tömeeivel ellentétes irányba hat: δ δ δ δ δ + δ B + F B B F A oincaré-rey-féle modellnek a nehézséi erı k átlaos értékének modellezésekor az ortométeres maassá számításakor van szerepe Az izosztatikus korrekcióval ill modellel az Izosztázia és izosztatikus rendellenessé c fejezetben folalkozunk majd A nehézséi erı rendellenesséei Attól füıen hoy a mehatározandó felületünk a Föld fizikai vay matematikai (elméleti) alakja képezzük a nehézséi rendellenesséet a földfelszíni vay eoidi pontban és beszélünk földfelszíni ill eoidi nehézséi rendellenessérıl A földfelszíni nehézséi rendellenessé számításakor a földfelszínen tényleesen mért mért értékeket vetjük össze a szintellipszoid felett H n normálmaassában a Normálmaassá és B F 4

44 maassái rendellenessé c fejezet ábrájának N pontjában a telluroid felületén lévı f normál nehézséierı-értékkel vayis számítjuk a kettı mért γ N különbséét Az íy kapott mennyisé a nehézséi erı földfelszíni rendellenessée (röviden: földfelszíni nehézséi rendellenessé) vay földfelszíni ravitációs anomália * A normálpotenciál és a normál nehézséi erı c fejezetben meadtuk a normál nehézséi erı szintellipszoid felületén való változására vonatkozó összefüést valamint ennek a γ e cos ϕ + b γ p sin ϕ γ a cos ϕ + b sin ϕ ( + β sin ϕ β sin ϕ) γ γ e sorba fejtett alakját A γ N érték A normál füılees radiens és normál örbület c fejezet mefelelı képlete szerint az ottani h helyett a H n normálmaassáot helyettesítve a γ γ 6 n N 386 H összefüésbıl számítható A képlet jobboldalának második taja valójában a Faye-féle tiszta maassái javítás amit most az ellipszoid felületétıl távolodva a γ értékbıl le kell vonni Földfelszíni Bouuer-féle rendellenessé A földfelszínen mért nehézséi erı (yorsulás) értékét csak a Bouuer-féle korrekcióval módosítjuk: Földfelszíni Faye-féle rendellenessé δ γ A mért nehézséierı-értéket csak a toporáfiai javítással módosítjuk: f B f F mért + δ γ A eoidi nehézséi rendellenessénél az elızı fejezetben táryalt red mért mért B T + δ összefüésbıl kapott értéket vetjük össze az uyanazon pont füıleesében az ellipszoid felületén számítható γ értékkel vayis képezzük a kettı red γ különbséét Az íy kapott mennyiséet a nehézséi erı eoidi rendellenesséének (röviden: eoidi nehézséi rendellenessének) vay eoidi ravitációs anomáliának nevezzük A eoidi nehézséi rendellenesséek mehatározásakor e különbséekbe a eoidra átszámított s az elızı fejezetben a különbözı modelleknek mefelelı nehézséierı-értékeket helyettesítjük be Geoidi Bouuer-féle rendellenessé A rendellenesséet a javított Bouuer-féle modellbıl kapjuk: δ + δ + δ γ B mért B F N N T γ N * A rendellenesséekbıl a kivonási mővelet során a centrifuális ta kiesik íy a maradékban már csak a tömevonzási (ravitációs) ta szerepel 43

45 A B Bouuer-féle rendellenesséek a eoid felszínén viszonyla sima lefutásúak jól interpolálhatók Hátrány hoy meváltozik a Föld tömee ill ennek következtében áthelyezıdik a tömeközéppontja Emiatt a eodéziában kevésbé használatos Geoidi Faye-féle rendellenessé A Faye-féle modell alapján felírható: + δ γ F mért A Faye-féle rendellenesséek jól tükrözik a domborzati formákat emiatt ien változatos nehezen interpolálható mennyiséek Használatuk - számításuk eyszerősée miatt - méis a leelterjedtebbek a eodéziában A nehézséi rendellenesséek lefontosabb felhasználási területe a Föld elméleti alakjának a eoidnak a mehatározása A eodéziai yakorlatban ezért elsısorban a Faye-féle rendellenesséet mí a eofizikai yakorlatban fıle a Bouuer- és a Faye-féle rendellenesséeket használják A oincaré-reyféle modellhez nehézséi rendellenesséet nem számítanak A nehézséi rendellenesséek mestersées holdak seítséével történı mehatározására A eoid mehatározása c fejezetben térünk majd ki A nehézséi erı rendellenesséeinek predikciója A nehézséi rendellenesséek mehatározása céljából a kérdéses területen részletes ravimetriai felmérést véeznek a mért értékeket minden mérési pontban redukálják majd minden eyes ponthoz számítják a nehézséi erı (yorsulás) normális értékét ill ezek alapján a rendellenesséeket red γ A eodéziai yakorlatban illetve a különbözı (Bouuer Faye) izoanomália-térképek (izoanomáliák az eyenlı rendellenesséel bíró pontokat összekötı vonalak) elıállításakor yakran elıfordulhat hoy olyan helyeken is szüksé van a nehézséi erı rendellenesséeire ahol valójában nem véeztünk méréseket ill azokat nem ismerjük A nehézséi rendellenesséek levalószínőbb értékeit ekkor az ún predikcióval (interpolációval és/ vay extrapolációval) határozhatjuk me Az alábbi meoldások elvile minden típusú rendellenessére alkalmazhatók de a különbözı rendellenesséekre más-más meoldásokat javasolnak Tételezzük fel hoy az alábbi ábrán látható pontmezı diszkrét pontjaiban ismertek a n rendellenesséek F 3? i n 44

46 Feladatunk az hoy a n rendellenesséek értékeinek felhasználásával mehatározzuk a rendellenessé értékét a pontban A feladat matematikaila az alábbi formában írható fel: A fenti füvény leeyszerőbben a ( ) f a + a + a n n n n i a lineáris alakban foalmazható me Ez esetben az a i eyütthatók értékei csak a pont többi ponthoz viszonyított elhelyezkedésétıl fünek Az a i eyütthatók meválasztásának módjától füıen leinkább az alábbi predikciós módszerek használatosak: Zérus-rendellenessé: Nayon ritka hálózatok esetén feltételezzük hoy az ismeretlen pontokon a rendellenessé értéke zérus Ez elsısorban az izosztatikus rendellenesséekre iaz (ld az Izosztázia és izosztatikus rendellenessé c fejezetet!) hiszen az izosztatikus eyensúly esetén ez valóban zérus vay ahhoz ien közeli érték Ez esetben minden eyüttható értéke zérus: Reprezentatív érték: a a a i a n A ritka (általában km-nél kisebb pontsőrőséő) hálózatok esetén a leinkább jellemzı i értéket tekintjük a pont ismeretlen rendellenessé-értékének vayis i Ekkor az i pont rendellenessé-értékéhez az a i eyüttható tartozik mí a többi eyüttható értéke zérus: Geometriai interpoláció: a a a n A módszer elve az alábbi ábrán követhetı nyomon i i 3 ( Y ) (Y) ( Y ) Y 3 ( 3 Y 3 ) 45

47 46 A és 3 pontokban ismert rendellenesséek felhasználásával a 3 3 a a a + + összefüés eyütthatói a és 3 pontok koordinátáinak ( ) ( ) ( ) Y Y Y Y a a Y Y Y Y a a Y Y Y Y a a füvényei A lekisebb néyzetek elve: A fenti eljárásoknál pontosabb meoldást szoláltat a lekisebb néyzetek elve szerinti predikció Leyen i n i a i a rendellenessé lineáris predikcióval mehatározott értéke Ha a rendellenessé valódi értéke (elméleti várható értéke) a kettı ε eltérése a predikció hibája Kiinduló feltételünk hoy a predikció ε µ szórásnéyzete (középhiba-néyzete) minimális leyen: min ) var( ε µ ε A lekisebb néyzetek elve szerinti meoldást a ( ) ( ) (n) T n n n C c összefüés szoláltatja ahol a ( ) T (n) T n C C C c transzponált vektor az új pont és az ismert pontok közötti kovarianciákat a ( ) n n vektor a mérésekbıl levezetett ismert rendellenessé-értékeket tartalmazza a ( ) nn n n n n n n C C C C C C C C C C

48 szimmetrikus mátrix pedi a mért pontok variancia-kovariancia mátrixának inverze Az eyenlı kerek rendellenessé-értékő pontokat összekötı izoanomália vonalakat a szintvonal-szerkesztés ismert szabályai szerint szerkesztik me A szerkesztés eredményei az ún izoanomália térképek Az izoanomália vonalak szerkesztése a Bouuer-féle és az izosztatikus rendellenesséek esetében eyszerő mert ezek lineárisan interpolálhatók A Faye-féle rendellenesséek a maassá füvényei s mint ilyenek csak közvetve interpolálhatók Mayarorszá területérıl :5 és : méretarányú Bouuer- és :5 méretarányú Faye-féle izoanomália térképek készültek Az eész Föld területére a párizsi BGI (Bureau Gravimetric International) azaz a Nemzetközi Gravimetriai Iroda készített : : valamint : 5 méretarányú Bouuer- és Faye-féle izoanomália térképeket A Föld szerkezete Hidrosztatikus eyensúly és a Föld lapultsáa A Föld belsı felépítésének tanulmányozásakor - közvetlen kísérleti anyaok hiányában - közvetett (ravimetriai szeizmolóiai stb nehézséi rendellenesséek földrenés hullámok terjedése mélyfúrások) adatokat használnak Elfoadható közelítéssel mondható hoy a Föld koncentrikus ömbhéjak vételen sokasáából áll E réteek sőrősée a mélysé növekedésével nı Belátható hoy a sőrősé általánosan a ϑ f (r) törvényszerősé szerint változik A fenti képletben r a Föld középpontjától való távolsá A Föld belsejében a sőrőséi eloszlás mefelel a Föld ismert M tömeének és a forástenelyhez viszonyított C tehetetlenséi nyomatékának A Föld teljes tömee kifejezhetı a koncentrikus elhelyezkedésőnek elfoadott ömbhéjak tömeei összeeként Ekkor ha ey héj sőrősée ϑ f (r) vastasáa pedi dr úy e héj tömee Innen a Föld teljes tömee: dm 4 π ϑ r dr 4 π f ( r) r dr ahol R a közepes földsuár A ömbalakú Föld térfoata V R M 4 π f ( r) r dr π R ahonnan a Föld átlaos sőrősée A C tehetetlenséi nyomatékra pedi a M 3 ϑ k f ( r) r dr 3 V R R összefüés írható fel C 8 π 3 R f ( r) r 4 dr 47

49 A Föld tömeére átlaos sőrőséére és tehetetlenséi nyomatékára felírt 3 összefüés alapján a ϑ f (r) füvény nem határozható me eyértelmően Ezért a feladatot rendszerint kísérleti úton oldják me azaz olyan földmodell meválasztására törekszenek amely a lenayobb mértékben összhanban van a mefiyelési adatokkal A szeizmikus mérési eredmények jelenle folytonos sőrősé eloszlást valószínősítenek a Föld belsejében Az eddii ismereteink szerinti mintey 6 km ill 9 km mélysében lévı eymástól élesen elkülönülı sőrőséi határok a Föld belsejét 3 fı övezetre osztják Ezek a kére a köpeny és a ma E három fı övezeten belül is léteznek olyan sőrőséi határok ahol az anya fizikai tulajdonsáai urásszerően változnak A kére és a köpeny között elhelyezkedı jellezetes sőrőséi határ az ún Mohorovicic-felület (a továbbiakban röviden Moho ) Ez a felület az óceánok alatt kb km mélysében a kontinensek alatt pedi alacsony fekvéső alföldi vidékeken mintey 3-4 km heyvidékek és felföldek alatt mintey 6 km mélyen található (pl Közép-Ázsiában) de pl a chilei Andokban a 7 km-t is eléri A köpeny a Mohotól a 9 km mélysében található következı jelentıs sőrőséő határfelületi terjed A Moho alatt a mintey 6 km (az óceánoknál 5 km) vasta lefelsı köpeny található A kére és a lefelsı köpeny eyüttesen alkotja a szilárd litoszférát Ennek átlaos vastasáa kb km (az óceánoknál 8 km) A köpeny felsı mintey km mélyséi terjedı részében (felsı köpeny) az anya részben olvadt állapotban van A köpeny alsóbb részeiben (alsó köpeny) a szilikátok mellett manézium és vasoxid található A Föld maja külsı és belsı részbıl áll A külsı ma a 9 km mélysétıl mintey 5 km mélyséi terjed Anyaa folyadékszerő állapotban van A belsı ma anyaa meint szilárd de ez a ma feltehetıen nem központosan helyezkedik el Az eyes réteek Bomford által számított átlaos sőrőséét a következı táblázat tartalmazza: Mélysé ϑ (k/m 3 )

50 A nay szilárdsáú litoszféra 8 nayobb és több kisebb lemezre taolódik A lemezek különbözı sebesséel és irányban mozonak (úsznak) a jórészt meolvadt anyaú felsı-köpenyen A korszerő eodinamikai vizsálatok eyik fı törekvése a lemezek mozási jellemzıinek mehatározása (lemeztektonika) A lemezek mozási sebessée naysárendile cm/év dimenzióban fejezhetı ki Litoszféra lemezek mozására látunk példát az alábbi ábrán A lemezek mellett vándorolnak a kontinensek is Ezt a jelenséet Weener ismerte fel elıször Feltételezett ismert sőrőséeloszlás esetén a Föld belsejében a nehézséi erı és a nyomás számítható Gömbhéjas szerkezető Föld esetén a centrifuális erıt fiyelmen kívül hayva a Föld középpontjától r távolsában a nehézséi erı az összes ettıl mélyebben fekvı ( r r ) réte tömevonzási erejével azonosítható mivel a homoén réteek belsı pontra yakorolt tömevonzása zérus Ez esetben (ld A nehézséi erı c fejezet ábráját is) ahol az m az r suarú ömb tömee Az G m r képlethez hasonlóan M 4 π R f ( r) r dr r m 4 π f ( r) r dr G m Behelyettesítve a összefüésbe -re kapjuk: r 49

51 4 π G r r f ( r) r dr Számítsuk ki a nyomást Föld belsejében A hidrosztatikus eyensúly eyenlete dp ϑ dr A képlet jelölései: a nehézséi yorsulás ϑ sőrősé A kijelölt interálás elvézése után a nyomást a Föld középpontjától értelmezett r távolsá alábbi füvényeként kapjuk: p R r f ( r) dr A fenti képletekbıl következik hoy a nehézséi erı és a nyomás értékeit a Föld belsejében a sőrősé változására elfoadott törvényszerőséek határozzák me Ha arra a kérdésre szeretnénk választ kapni hoy a Föld hidrosztatikus eyensúlyban van-e úy össze kell hasonlítanunk a Föld nehézséi erıterét azzal az erıtérrel amelyet a Föld úy hozott volna létre mintha az eyensúly a nehézséi erı hatására következett volna be Írjuk át a hidrosztatikus eyensúly fenti képletét a dp ϑ dw alakba Innen következik hoy hidrosztatikus eyensúly esetén a szintfelületek eyben eyenlı nyomású és eyenlı sőrőséő felületek is A Föld tenelykörüli forásának hiányában ezek a felületek ömb alakúak; a tenelykörüli forás által létrehozott centrifuális erı a szintfelületeken az ω forási szösebessétıl és a ϑ térfoati sőrősé mélysé szerinti változási törvényszerőséeitıl füı lapultsáot hoz létre Ha az ω forási szösebessé kicsi mint a Föld esetében úy a szintfelületek ömb alaktól való eltérése is kicsi Teyük fel hoy a tenelye körül kis ω szösebesséel foró inhomoén folyékony halmazállapotú bolyó vételen számú kis lapultsáú közös középpontú és forástenelyő szferoidikus rétebıl áll Önmaában minden réte homoén (sőrőséük ϑ const) de a sőrősé réterıl rétere tetszılees ϑ f ( r ) törvényszerősé szerint változik A fenti összefüésben r a réte távolsáa a bolyó középpontjától A belsı réteek f lapultsáa folytonosan változó de mindi kis érték amelynek sorba fejtés utáni másod- és maasabb rendő tajait elhanyaolhatjuk Feltételezzük hoy minden belsı réte f lapultsáa az r mennyisé valamilyen füvénye ( r ) f ϕ A forásban lévı inhomoén folyékony halmazállapotú bolyó tetszılees réteének eyensúlyi feltételét (a másod- és maasabb rendő taok meenedhetı elhanyaolhatósáával) Clairaut vezette le Az eyensúlyi feltételt kisebb átalakítások után kiterjeszthetjük a bolyó eész külsı felületére: 5

52 f q ϑk 3 5 R A ahol f - a hidrosztatikus eyensúlyban lévı bolyó külsı felületének lapultsáa q / 88 a centrifuális erı és a nehézséi erı aránya az eyenlítın ϑ k - a bolyó közepes sőrősée A a szferoidikus réteek ϑ belsı sőrőséeitıl és e réteek f lapultsáaitól füı eyüttható: Számítsuk ki az f lapultsáot ) homoén Föld esetére R () d 5 A ϑ ( r f ) dr dr ) véletes inhomoenitású Föld esetére amikor a bolyó eész tömee a középpontjában tömörül Az ) esettel Newton a ) esettel Huyens folalkozott eset R d 5 5 ϑ ϑ k const A ϑ ( r f ) dr ϑk R f dr Behelyettesítve az () eyenletbe kapjuk: eset 5 f q : 3 4 Jelöljünk ki a Föld középpontja körül tetszıleesen kis r suarú ömböt Feltételezzük hoy a Föld M tömee a ömb belsejében tömörül E ömbön belül a sőrősé állandó és a képlettel fejezhetı ki Ekkor R 3 M ϑ 4 π r d 5 3 M d A ϑ ( r f ) dr r 3 r π r ( d 4 dr E kifejezés értéke r mellett zérus íy az () képlet alapján R f q : f ) dr 3 4 M r f π A Föld valódi lapultsáa e két szélsı érték között van; nyilvánvalóan közelebb a Newton-féle értékhez mert a Föld szerkezete sokkal inkább a Newton mint a Huyens által vizsált felépítéshez van közelebb A f ( r ) ϑ füvény ismerete lehetıvé tenné a valódi f hidrosztatikai lapultsá kiszámítását Ezt a füvényt azonban nem ismerjük tehát a számítást e füvény ismerete nélkül kell 5

53 elvéeznünk Ehhez az f hidrosztatikus lapultsá és a Kövesliethy Radó * által bevezetett η eyüttható közötti összefüést kell felhasználnunk Kövesliethy Radó mehatározása szerint Az f és az η fennáll az alábbi összefüés: d ln f r df η d ln r f dr 5 q η () f Az η paraméter és a Föld poláris tenelyére vonatkozó C tehetetlenséi nyomatéka között az alábbi összefüés írható fel: C M a η (3) C Ha ismerjük értékét úy a (3) és () képletek alapján mehatározható az a lapultsá M a amely a hidrosztatikus eyensúlyban lévı Földet jellemezné C M a A értékét a képletbıl határozzák me ahol A k az A eyüttható átlaos értéke a M a J J H C C A M a a másodfokú ún tömefüvény vay ömbfüvény-eyüttható (a tömevonzási erı potenciáljának második zonális harmonikusa) más néven az ellipszoid sztatikai lapultsáa amely a mestersées holdakra vonatkozó mefiyelések útján határozható me A k C Ak H C precessziós állandó más néven dinamikai lapultsá csillaászati mérésekbıl vezethetı le H 3737 és J 886 értékek mellett * Kövesliethyt 887-ben Eötvös Loránd javaslatára nevezték ki a Királyi Tudomány Eyetem Kísérleti fizika tanszékének tanárseédjévé Ekkoriban kezdett Eötvös kísérletezni a ravitációs mérésekkel amelynek eredményeként 89-ben mealkotta a róla elnevezett nay érzékenyséő torziósmérleet (Eötvös-inát) E munkájában nay seítséet jelentett számára a fáradhatatlan szoralmú és kitőnı matematikai felkészültséő Kövesliethy Radó Szinte kezdettıl fova részt vett az Eötvös-ina próbáin és annak elsı nayszabású terepi alkalmazásán a Vas meyei Sá-heyi mérésekben Ez utóbbi yakorlati kivitelezése szinte teljesen Kövesliethy feladata volt 5

54 C 339 M a Ennek fiyelembe vételével a () és (3) képletekbıl a lapultsára f : 998 érték adódott A Föld ténylees f eometriai lapultsáa eltér az f értéktıl Ez a Föld nehézséi erıterének komoly anomális különleessée Izosztázia és izosztatikus rendellenessé A nehézséi erı rendellenesséei fejezetben láttuk hoy ha a Faye-féle rendellenessébıl levonjuk a Bouuer-féle korrekciót és hozzáadjuk a toporáfiai javítást mekapjuk a Bouuer-féle rendellenesséet: δ + δ + δ γ B B F T A melepı az hoy ez a rendellenessé a szárazulaton * sokszor neatív és abszolút értékben nayobb mint a Faye-féle rendellenessé mintha látszóla a vonatkoztatási szint (eoid középtenerszint) feletti kızetlemeznek nem lenne tömee Ez a jelensé amely általánosnak tőnik az izosztázia Ez azt jelenti hoy a füılees kızetoszlop tömee a Földön mindenütt uyanakkora füetlenül a toporáfiától és a maassától a kontinenseken és az óceánokon eyaránt Ha tehát a kızetoszlop sőrősée kisebb akkor térfoata nayobb (és ezért a felületrıl jobban kiemelkedik) A jelensé hasonló a hidrosztatikus eyensúlyhoz Ey nyualomban levı folyadékban eyazon felületen az ekvipotenciális felszínen a nyomás uyanakkora máskülönben áramlás indulna me A folyadékfelszín alatti bármekkora mélysében a nyomás (azaz az eysényi felületre ható erı) eyenlı a és az eysényi keresztmetszeti felülető anyahasáb tömeének szorzatával vayis a kieyenlítıdési szintnek hidrosztatikus úszási eyensúly esetén azonos nyomású (izobár) felületnek kell lennie A kızetoszlopok tömeének azonossáára a lejobban alkalmazható az Airy-féle izosztatikus modell amelynél feltételezik hoy ey-ey kızetoszlopban eltérı arányban vesznek részt különbözı sőrőséő anyaok Láttuk hoy a köpeny a Moho alatt nayobb sőrőséő mint a kére a Moho felett A tömeek eyenlısée e modell szerint úy áll elı hoy a kére a kiemelkedett területeken vastaabb mint a mély területeken Az Airy-féle izosztatikus modell szerint szárazulati területen adott H tenerszint feletti maassához kérevastaodás óceáni területen adott H bemélyedéshez kérevékonyodás tartozik Az alábbi ábra három különbözı típusú kéreblokkot mutat be az A blokk óceáni a B blokk kontinentális tenerszinti a C és a D blokk kontinentális maasheyséi blokk A néy blokk közül a lemaasabb Moho helyzet az A blokkban a lemélyebb Moho helyzet a D blokkban feltételezhetı Az utóbbi blokkban a földkérevastasá maximális E korreláció helyesséét szeizmikus adatok nay vonalakban iazolták A lemélyebb Moho helyzeteket eddi a amírban és a chilei Andokban mérték 7 km körüli kérevastasáal * Szárazulat: a hat kontinens és számtalan sziet átlaos tenerszint feletti maassá 875 m Arányuk az északi féltekén nayobb Az északi póluson tener a déli póluson szárazulat található A szárazulatok lehetnek kontinentális vay óceáni kérelemezek részei is 53

55 A B C D középtenerszint H C H D ϑ A H A d A Moho d B ~33 km d C földkére ϑ F ~7 km ϑ K Moho felsı köpeny d D ~7 km kieyenlítıdési felület Moho p const Moho A Föld területének lenayobb része izosztatikus eyensúlyban van de vannak anomális területek ahol általában hosszú keskeny sávok mentén izosztatikus rendellenesséek jelentkeznek Ezek olyan területek ahol a Bouuer-féle rendellenesséet sem a kérevastasá sem a sőrősé valószínősíthetı értékei nem redukálják nullára ozitív rendellenessé tömetöbbletet neatív rendellenessé tömehiányt jelent ozitív rendellenessé van pl Hawaii szietén ahol a friss lávatömeek alatt a kére mé nem süllyedt mefelelı mélysére további süllyedés várható A neatív rendellenesséel jellemezhetı területrészeknek az izosztatikus eyensúlyi helyzet kialakulása érdekében emelkedniük kell élda erre Skandinávia amelynek területe a jékorszakban a belföldi jé hatalmas súlya alatt mesüllyedt majd a jé elolvadása után emelkedésnek indult Az emelkedés mértéke helyenként mé ma is majdnem eléri az cm-t (az alábbi ábrán 9 mm) 54

56 Az izosztatikus rendellenesséek miatt az eddi meismert korrekciókat kieészítik a δ izo izosztatikus korrekcióval Ez a korrekció kiejti a földkére aljának hullámzásából származó ravitációs hatásokat Az izosztatikus rendellenessé: δ + δ + δ + δ γ izo B F T izo Az izosztatikus rendellenesséek a lemunkaiényesebb és a lekevésbé feltevésmentes rendellenesséek viszont sima lefutásúak ezért jól interpolálhatók 55

57 A füıvonal-elhajlás Tisztán eometriai értelmezés szerint a füıvonal-elhajlás a helyi füılees (a füıvonal érintıje) iránya és a vonatkoztatási ellipszoid mefelelı a földfelszíni ponthoz kötött normálisa által közbezárt szö Jelöljük ezt a szöet Θ val Θ Helmert Θ izetti szintfelület földfelszín eoid ellipszoid Attól füıen hoy a füıvonal-elhajlást a földfelszíni pontban vay ennek ' eoidi mefelelıjében értelmezzük mekülönböztetjük a füıvonal Helmert-féle illetve izettiféle elhajlásait A füıvonal-elhajlás tehát olyan szö amelynek eyik szára a helyi füılees a másik szára pedi az ellipszoid normálisa Jelöljük a füıvonal-elhajlás meridián irányú összetevıjét ξ-vel a szélesséi kör (haránt-) irányú összetevıjét pedi η-val A füıvonal-elhajlás a két összetevıbıl elıállítható: ξ η Θ + helyi füılees Θ ellipszoidi normális Θ heysé eoid ellipszoid tener tömehiány tömetöbblet 56

58 Az elızı ábrából látható hoy a kiválasztott körzetben milyen szöet zár be eymással az ellipszoid és a eoid ill a földfelszín észlelési pontjában a szintfelület A merılees szárú szöek miatt a füıvonal-elhajlás eyben a két felület eymáshoz viszonyított eltérését is mutatja Az ábrából kiolvasható mé az is hoyan jelenik me a tömeelrendezıdés különbözısée a Θ -ban valamint az is hoy az ellipszoid a tenereknél a eoid felett a szárazulatokon pedi a eoid alatt helyezkedik el Az ellipszoid Földhöz viszonyított elhelyezése szerint a füıvonal-elhajlás lehet eocentrikus (abszolút) vay relatív Ha az ellipszoid középpontja eybeesik a Föld tömeközéppontjával vayis eocentrikus elhelyezéső ellipszoidoknál eocentrikus (füıvonal-elhajlásról minden más esetben relatív füıvonal-elhajlásról beszélünk A füıvonal-elhajlás és az ellipszoidi koordináták közötti összefüéseket az alábbi ábra alapján tehetjük szemléletessé: Z helyi füılees Ellipszoidi normális Λ λ ε Greenwich Λ λ cosϕ ϕ O Θ ξ η Φ ϕ Φ λ Λ A füıvonal-elhajlás észak-déli (meridián-) és kelet-nyuati (szélesséi kör- haránt-) irányú összetevıi az alábbi képletekbıl számíthatók: ξ Φ ϕ η ( Λ λ) cosϕ A fenti képletben Φ és Λ a pont szintfelületi ϕ és λ a pont ellipszoidi koordinátái Az η haránt irányú összetevı kifejezhetı mé a szintfelületi és ellipszoidi azimutok füvényében is: ( α ) ctϕ () η A () ahol Α a szintfelületi α - az ellipszoidi azimut A két utolsó összefüés összevonása majd rendezése után a háromszöelési hálózatok számításában fontos szerepet játszó Laplace-eyenlethez jutunk: 57

59 Ey α azimutú síkban felírható mé: A fenti ábra derékszöő háromszöébıl pedi: ( Λ λ) sinϕ A α (3) ϑ ξ cosα + η sinα η t ε ξ A füıvonal-elhajlások mehatározási módszerei Toporáfiai módszer A füıvonal-elhajlást jelentısen befolyásolják a földfelszín toporáfiai adatai Nyilvánvaló hoy nay domborzati tömeek sıt nay mérnöki létesítmények közelében a füıvonal jobban eltér a normál helyzettıl mint a toporáfiaila jelletelen területeken e d c b a k δ d α a c b α k α k+ α β k γ a k+ a i r i r i+ r Y Leyenek a pont környezetében a nehézséi erı szintfelületétıl eltérı a eoid felett vay a eoid alatt elhelyezkedı tömetöbbletek ill tömehiányok (domborzati formák heyek mélyedések) stb E tömeek hatására meváltozik a füıvonal iránya Képzeljünk el a pont környezetében különbözı r b r c r d r e stb suarú füılees henerfelületeket (hasábokat) s a henerpalástra merılees α α α k α k+ stb azimutú a a a k a k+ stb radiális irányú füılees síkokat (ábra) Az Α szintfelületi azimut helyett az α ellipszoidi azimut használata a füıvonal-elhajlás értékeire nincs érzékelhetı hatással Ezzel a terepet különálló prizmákra bontottuk fel leyen mindeyik prizma átlaos maassáa H 58

60 Határozzuk me a (vées) αβγδ prizmának a pontra yakorolt f tömevonzását E célból keressük elıször az a b c d elemi vékonysáú füılees prizma tömevonzását a k futópontban Jelöljük a prizma azimutját α-val Az a b c d elemi prizma térfoata r d r dα H tömee ϑ r d r dα H A nehézséi erı c fejezetben láttuk hoy a tömevonzási erı az m tömeel eyenesen az r távolsá néyzetével fordítva arányos: m f G r Ennek alapján az elemi prizma tömevonzása: A tömevonzás meridián irányú komponense: r dr dα H dr dα H df G ϑ G ϑ r r dr df df cosα G ϑ H cosα dα r A vées αβγδ prizma tömevonzását a fenti képlet interálásával kapjuk: f ri + k + dr G ϑ H cos d G H r α α ϑ ri α α k r ln r ( sinα sinα ) k+ k Ha most a radiális irányú füılees síkok azimutját és a henerek suarait úy választjuk me hoy ri + sinα k+ sinα k konst χ N; ln konst κ r f az alábbi alakot ölti: f G ϑ χ N κ H A ponttól északra fekvı prizmák tömevonzása: ahol H N f N N i f G ϑ χ κ H - a ponttól északra fekvı prizmák maassáainak összee Analó módon a ponttól délre fekvı prizmák tömevonzása ahol r dα a d b c S f α a k irány azimutja r a k pont távolsáa -tıl ϑ - a pont körüli kızetek sőrősée H a prizma maassáa G a Newton-féle tömevonzási állandó Az ábra alapján a b r dα ; a d dr N G ϑ χ κ H H - a ponttól délre fekvı prizmák maassáainak összee S S N i+ i 59

61 Az összeezett tömevonzás a meridián síkjában f ( H ) NS N S f f G χ N κ N H S ϑ NS Határozzuk me a füıvonal elhajlását az f meridián irányú tömevonzás füvényében a meridián síkjában Az alábbi ábrán vonalkázással jelölt vonzó töme hatására a füıvonal pontbeli érintıje eltér a pontbeli γ normál nehézséi erı irányától Z ξ t NS f (meridián síkja) ξ t γ N N Az ábrán N a γ tömevonzási erı iránya * NS a toporáfiai földfelszín hatása nélkül Az f erı hatására a füıvonal N iránya a tömekieyenlítıdésre való törekvés következtében az N helyzetbe kerül A ξ t NN szö kifejezi a földfelszíni toporáfia füıvonalelhajlásra yakorolt hatását a pontban Mivel a ξ t szö kicsiny a γ értéke a ömbre vonatkozó alábbi összefüésbıl számítható: 3 4 R 4 γ π G ϑ π G ϑ R 3 R 3 ahol γ a normál nehézséi erı R - a Föld közepes suara ϑ - a Föld közepes sőrősée Az ábra alapján NS NS f f ξ t ill ξ ρ t γ γ NS f és γ értékét he- ahol ρ az radián szömásodpercben kifejezett értéke Az lyettesítve a füıvonal-elhajlás értéke -ben: ill átalakítással ( H H ) N S ρ 4 G ϑ χ N κ ξ t 3 π G ϑ R ( H ) ϑ ξ H t 773 χ N κ N ϑ S * A nehézséi erı helyett tömevonzási erı írható mert a centrifuális erıre a földfelszíni tömetöbblet (tömehiány) nincs hatással ill hatása minden komponensre eyforma 6

62 A füıvonal-elhajlás meridiánra merılees (haránt-) irányú η összetevıje a fenti képlethez hasonlóan az ϑ η t 773 χ E κ ( H ) E H W ϑ képletbıl számítható A képletben H és E H - a pont meridiánjától keleti ill nyuati irányban elhelyezkedı vonzó W tömeek χ E cosα k + cosα k konst A földfelszíni tömeeknek hatása a toporáfiai módszerrel kapott füıvonal-elhajlás komponenseire toporáfiai térkép seítséével számítható A számításokban ϑ 76 k/m 3 ; 3 ϑ 55 k/m A fenti levezetésben fiyelmen kívül haytuk a földfelszín nem sík voltát íy ha a képletet mintey 6 km suarú körön kívül kívánjuk használni fiyelembe kell venni a Föld örbületét Csillaászati-eodéziai módszer Az orszáos felsırendő háromszöelési hálózatok kiválasztott I rendő csillaászati pontjainak (a Laplace-pontoknak) földrajzi helymehatározással mehatározott Φ Λ szintfelületi koordinátái vay a mefelelı I rendő irány Α szintfelületi azimutja összevethetık az uyanazon pontok ϕ λ vonatkoztatási ellipszoidi koordinátáival vay α ellipszoidi azimutjával Ennek alapján a füıvonal elhajlás összetevıi A füıvonal-elhajlás c fejezet () () (3) képletei alapján számíthatók Az íy mehatározott ξ cs és η cs füıvonalelhajlás-értékeket közvetlenül a csillaászati szintezésben használják Az orszáos háromszöelési hálózatok alapfelületei általában helyi ellipszoidok tehát az íy kapott értékek relatív füıvonalelhajlások A toporáfiai módszerrel és a csillaászati-eodéziai módszerrel kapott füıvonal-elhajlások között jelentıs eltérések tapasztalhatók A vizsálatok azt mutatták hoy ha a toporáfiai módszerrel kapott füıvonal-elhajlások értékeinek számításánál fiyelembe veszik az izosztatikus hatást (rendellenesséet) és a füıvonal-elhajlást az izosztatikus redukcióval módosítják úy a toporáfiai és a csillaászati-eodéziai módszerrel kapott füıvonalelhajlások értékei közötti különbsé már minimális Ezt szemlélteti az alábbi táblázat: Santa Barbara (Észak-Amerika) unta Arena (Észak-Amerika) Siliuri (India) Jalpaiuri (India) ξ η Csill Topor Izoszt Csill Topor Izoszt Geocentrikus füıvonal-elhajlás A eocentrikus füıvonal-elhajlásokat mestersées holdak mefiyelésével ill a nehézséi rendellenesséek ismeretében lehet mehatározni A eocentrikus füıvonal-elhajlások nay elınye hoy lehetıvé teszik eymástól távol lévı eodéziai hálózatok összekapcsolását uyanazon az ellipszoidon (ld mé a Geocentrikus elhelyezés és tájékozás c fejezetet) A 6

63 nay hatótávolsáú interkontinentális katonai rakéták pályaadatait uyanezen adatokból számítják íy az eész Földre kiterjedı ma már ien azda anyaot polári célokra csak korlátozott mértékben lehet használni A eocentrikus füıvonal-elhajlás a nehézséi erıtér füıvonala irányának a (eocentrikus) földi ellipszoid normálisával bezárt szöe A meridián- és haránt irányú összetevık Venin-Meinesz alábbi képleteibıl számíthatók (ábra): N (-γ) R α R ψ k -γ ξ η eoc eoc π π ( ψ ) cosα dα dψ π Q π π ( ψ ) sinα dα dψ π Q A képletek közelítık közel sík lankás terepen mefelelı pontossáúak A Földet valamilyen átlaos suarú ömbbel helyettesítjük A fenti összefüésekben Faye-féle rendellenessé ψ ömbi pólustávolsá α azimut ( o 36 o ) ρ ψ ψ ψ 3 ψ ψ ψ Q( ψ ) cos + sin 3sin + sin ln sin + sin γ ψ ψ + sin sin az ún Venin-Meinesz-féle füvény A képlet jobboldalát ρ -cel szorozva a Q ( ψ ) értékét szömásodpercben kapjuk A Venin-Meinesz-féle füvény jobboldalán a γ normál nehézséi erı és a ψ pólustávolsá számítható ξ cs S ξ ξ eoc Helyi ellipszoidi normális eocentrikus ellipszoidi normális A helyi vonatkozási és a eocentrikus földi ellipszoidokhoz köthetı füıvonal-elhajlások között az alábbi összefüések állnak fenn (ábra): ξ ξ + ξ eoc cs ; η η + η cs eoc E képletekben ξ és η a helyi és a eocentrikus földi ellipszoidhoz húzott normálisok közötti szö meridián- és haránt irányú komponensei Füıvonal iránya 6

64 Gravimetriai módszer Kis suarú körön belül a Venin-Meinesz képleteiben elıírt interálással e környezetben a füıvonal-elhajlás komponensei mefelelı pontossáal számíthatók Σ ' Σ < km E célból a eocentrikus füıvonal-elhajlásokat a Σ és Σ felületek füvényében két részre bontjuk: eoc ( Σ + Σ ') ξ ( Σ ) ξ ( Σ ' ) ξ ξ + eoc ( Σ + Σ ') η( Σ ) η( Σ ' ) η η + A két hatást külön-külön számítjuk A képletek jobboldalának második része csillaászati ravimetriai és eodéziai adatok összesséébıl kapható me A ξ ( Σ ) ξ rav és a η ( ) η rav Σ mennyiséek a ravimetriai módszerrel kapott füıvonalelhajlás összetevıi Visszatérve a Venin-Meinesz képletekhez a füıvonal-elhajlás meridián irányú összetevıjére írhatjuk: ξ rav ψ π ξ ( Σ ) ( ψ ) cosα dα dψ π Q A fenti képletben ψ kis szöérték az R hosszúsáú suárhoz tartozó ömbi pólustávolsá (ábra) Hasonló képlet írható fel a haránt irányú összetevıre: A η rav ψ π η π Q ( Σ ) ( ψ ) sinα dα dψ ψ ömbi távolsá kicsinyséét fiyelembe véve az elızı fejezet ( ψ ) Q füvényében ψ ψ cos és a sin * helyettesíthetık Az eyszerősé kedvéért az alábbi levezetésben leyenψ ψ Kapjuk: R O ψ r/ r ρ ( ) ρ R Q ψ γ ψ γ r sin mert a baloldali ábra szerint ψ r R sin és ψ sin R r * A Q ( ψ ) füvény zárójelen belüli összeének elsı tajában nem hiszen ott -sal kellene osztani 63

65 Az ábrának mefelelıen térjünk át a ψ - rıl az r - re (a yakorlatban az r értékét térképrıl veszik le)! A fenti baloldali képlet deriválásával ψ mert ψ kicsiny szö ezért cos A fenti képletbıl Továbbá ψ dψ dr R cos R dψ dr d ψ R ρ R dr ρ dr 3 ρ dr Q( ψ ) dψ γ r R γ r γ R r << R íy jó köze- A képlet jobboldalának második tajában - meint ψ kicsinysée miatt - lítéssel elhayható Behelyettesítve: ξ rav r π ρ dr cosα dα π γ r A nehézséi rendellenesséet a mérési eredményekbıl kapjuk A rav számszerő értékét numerikus interálással kicsiny mennyiséek összezésével kapjuk É ξ r i- r i γ konst Σ α k- α k Ny K D A területeket lehetıle úy kell meválasztani hoy azok határain belül a rendellenesséek állandóak leyenek (ábra) Ekkor a kiemelhetı az interáljel alól s az interálási határok módosításával véül 64

66 r i k dr ξ rav c Σ cosα dα r r α α i k ahol ρ c π γ A fenti képlet könnyen interálható: Véül kapjuk: r ξ ( sinα sinα ) i rav c Σ ln k k ri A háromszöelési hálózatok mérési eredményeinek ellipszoidra történı redukálásához pedi minden eyes pontban ismerni kellene a füıvonal-elhajlások értékét Mint láttuk a Csillaászati-eodéziai módszer c fejezetben a csillaászati-eodéziai úton kapott füıvonalelhajlások összetevıit közvetlenül az I rendő háromszöelési hálózatok azon pontjaiban tudják elıállítani amelyekben földrajzi helymehatározásra (szintfelületi koordináták mehatározására) is sor került (a Laplace-pontokon) A Laplace-pontok távolsáa eymástól Mayarα k- α k ξ rav ri ahol c ln r C Σ C ( sin sinα ) i α k Következésképpen minden cellára a rendellenesséet kell számítani mert a fenti feltételek mellett C konst A meridián irányú füıvonal-elhajláshoz hasonlóan a füıvonal-elhajlás haránt irányban: k ahol C η rav r C Σ ( cos cosα ) i c ln k k ri α Az hoy a füıvonal-elhajlások a földfelszínre vay a eoidra vonatkoznak attól fü hoy a fenti képletekben a mennyisé földfelszíni vay eoidi nehézséi rendellenessé A füıvonal-elhajlások sőrítése A füıvonal-elhajlások két lefontosabb alkalmazása a ) eoidkép mehatározása ) kiterjedt háromszöelési hálózatok számítása ill e célból a terepfelszínen mért adatok átszámítása (redukálása) az ellipszoidra A eoidmehatározáshoz elvile olyan sőrősében kellenének a ξ és η értékek hoy a szomszédos pontok közötti változásuk már lineárisnak leyen tekinthetı Ez azt jelenti hoy a terepviszonyoktól füıen néhány km-enként (-5 km) kellene ismerni a ξ és η értékeket 65

67 orszáon kb -5 km A füıvonal-elhajlás összetevıit tehát sőríteni kell Veyük fiyelembe hoy nem eocentrikus azaz helyi vonatkoztatási ellipszoidok esetén a sőrítés eredményei is relatív füıvonal-elhajlások ) A sőrítés eyik módja az eddii ismereteink birtokában kézenfekvı: a sőrítést a nehézséi rendellenessé alapján véezzük Ez az ún ravimetriai sőrítés Írjuk fel az alábbi már ismert összefüéseket! Ezekbıl eoc ξ ξ + ξ eoc cs η η + η cs eoc ξ ( Σ + Σ ') ξ ( Σ ) ξ ( Σ ' ) ξ ( Σ ) ξ rav η( Σ + Σ ') η( Σ ) η( Σ ' ) η ( Σ ) ηrav ξ + η + eoc ( Σ ' ) ξ ( Σ ' ) η ξ ξ + ξ + cs rav η η + η + cs rav Az elızı fejezet alapján a ξ rav és az ηrav mennyiséek már ismertek A sőrítés feladata az összefüések jobboldalán lévı két-két ta mehatározása Írjuk át az elızı két összefüést az alábbi alakba: ' ( Σ ) ξ ( Σ ' ) η ξ ξ ξ + cs rav η η η + cs rav Ezek a különbséek a Laplace-pontokon ismertek következésképpen ismertek az összefüések jobboldalai is A fenti különbséek vizsálata iazolta hoy mintey km-es körön belül az összefüések jobboldalainak változása lineáris Ez közel van a mayarorszái Laplace-pontok átlaos távolsáához és meenedhetıvé teszi a lineáris interpolációt Ha a linearitás fennáll iazak a következı összefüések: ( Σ ' ) + ξ a Φ + b Λ + c ( Σ ) + η α Φ + β Λ γ ξ η ' + A képletekben Φ és Λ a szintfelületi szélessé és hosszúsá Az a b c α β és γ eyütthatókat a földrajzi helymehatározás a ravimetriai mérések és a földi eodéziai mérések eyüttes feldolozásával határozzák me D A A A ( ξ cs η cs ) A A ( ξ η ) rav ~ km rav D D ( ξ cs ηcs ) D D ( ξ η ) rav rav C B B B ( ξ cs ηcs ) B B ( ξ η ) rav rav C C ( ξ cs ηcs ) C C ( ξ η ) rav rav Az ábrán mintey km suarú körön belül leyenek A B C és D Laplace-pontok A 4 Laplace-pontra felírhatók a következı eyenletek: A A A A A) ξ ξ a Φ + b Λ + c cs rav A A A A η η α Φ + β Λ + γ cs rav B B B B B) ξ ξ a Φ + b Λ + c cs rav B B B B η η α Φ + β Λ + γ cs rav 66

68 C C C C C) ξ ξ a Φ + b Λ + c cs rav C C C C η η α Φ + β Λ + γ cs rav D D D D D) ξ ξ a Φ + b Λ + c cs rav D D D D η η α Φ + β Λ + γ cs rav A 6 eyüttható az A B C pontokra felírt 6 eyenletbıl mehatározható A D vay esetlees újabb pontok (ha vannak) lehetıvé teszik a kieyenlítést ill a pontossábecslést is Az eyütthatók ismeretében a keresett pont csillaászati-eodéziai módszerrel kapott füıvonal-elhajlás komponensei: ξ ξ + a Φ + b Λ + c cs rav η η + α Φ + β Λ + γ cs rav Hasonló összefüés írható fel természetesen bármely közbensı sőrítendı pontra A kb km-es zónán belül mehatározott csillaászati füıvonal-elhajlások középhibája mintey ± 6 A zónán kívül a linearitás romlik és ezzel a középhiba értéke jelentısen nıhet ) A füıvonal-elhajlások a ravimetriai meoldás helyett sőríthetık toporáfiai úton a toporáfiai módszerrel kapott és az izosztatikus redukcióval módosított füıvonal-elhajlások értékeinek felhasználásával A Csillaászati-eodéziai módszer fejezet véén a táblázat azt mutatta hoy ezek az értékek jó összhanban vannak a Laplace-pontokon számítható füıvonal-elhajlásokkal 3) Mayarorszá ien pontos és részletes eoidképe a GS mérések kiterjedt felhasználhatósáa szempontjából ien fontos yakorlati jelentıséő A részletes eoidkép mehatározásához viszont a füıvonal-elhajlás értékek sőrő hálózatára van szükséünk A füıvonal-elhajlás értékek ravimetriai sőrítési lehetıséei a yakorlati alkalmazhatósá szempontjából melehetısen korlátozottak mivel kellı pontossá csak akkor érhetı el ha a mehatározandó pont környezetében több száz km távolsái részletes nehézséi adatok állnak rendelkezésre Emellett a ravimetriai sőrítési módszer túlzottan számításiényes és nehezen proramozható A füıvonal-elhajlások sőríthetık (interpolálhatók) a nehézséi erıtér potenciálja szintfelületei örbületi viszonyainak ismeretében az Eötvös-inával vézett mérések adatai alapján A hazai adottsáok mellett ez a módszer rendkívül azdasáos lehet hiszen az Eötvös-ina mérésekbıl Mayarorszá területének jelentıs részén rendelkezésre állnak a füıvonal örbületét kifejezı W Z W W és W YZ vízszintes radiensek mellett az ien nay pontossáú a szintfelületek alakját jellemzı W Y Z Y Z W W W és a W WYY W Y Y Y örbületi radiensek Mivel a korábbi Eötvös-ina méréseket fıként nyersanyakutatás céljából véezték ezért többnyire csak a vízszintes radienseket dolozták fel A eodézia számára fontos örbületi radiensek mindeddi feldolozatlanok maradtak íy ezek óriási lehetıséet rejtenek a füıvonal- elhajlások részletes mehatározására Ezzel a kérdéssel eddi viszonyla kevesen folalkoztak de jelenle ez tőnik a leolcsóbb lehetısének a füıvonalelhajlások sőrítésére és ezen keresztül a eoid részletes mehatározására 67

69 Az Eötvös-ina méréseknél azt a körülményt használják ki hoy két pont viszonylatában a ξ és η értékek változása a és a γ (a valódi és a normál nehézséi erı) potenciálja vízszintes irányú elsı differenciálhányadosainak különbséével arányos Ezeket a differenciálhányadosokat az Eötvös-inával vézett mérésekbıl kapott adatok (második deriváltak) vonalinterálásával kapják A kérdéssel az utóbbi idıben Mayarorszáon Völyesi Lajos folalkozott többek között a Füıvonal-elhajlás interpoláció Eötvös-ina mérések alapján c habilitációs értekezésében 68

70 A eoid mehatározása A kvázieoid és a eoidunduláció c fejezetben láttuk hoy a kvázieoid helyettesítheti a eoidot íy a mehatározás elvile mind a eoid mind a kvázieoid felületére irányulhat Elsı esetben az ortométeres maassáokra második esetben a normálmaassáokra vonatkozó felületet kapjuk A GS mérések távolsámérési eredményeibıl ellipszoidi maassáokat számítunk (a GS vevık ezt jelzik ki) amikbıl a eoidunduláció ismeretében a H h N H n h ζ összefüésbıl kaphatjuk me a eoid (középtenerszint) feletti ortométeres vay a kvázieoid feletti normálmaassáokat A eoid alakjának mehatározásán most a eoidunduláció felületszerő mehatározását fojuk érteni tekintettel arra hoy az alaphálózati pontoknak mint a eoid ellipszoidi normálisán fekvı pontoknak vízszintes helyzete ismert azaz ϕ λ ellipszoidi koordinátáik meeyeznek a földfelszíni hálózati pontokéval A mehatározás módszerei többféleképpen csoportosíthatók Elfoadott csoportosítási elképzelés szerint a mehatározásnak elvile két plasztikusan elkülönülı útja van: az eyik az analitikus a másik a pontonkénti eljárás Az analitikus eljárás alkalmazhatósáa mint látni fojuk napjainkban is yakorlati korlátokba ütközik íy a pontonkénti eljárásokat részesítik elınyben Mindkét eljárásnál szüksé van azonban a füıvonal-elhajlások ismeretére ill mivel utóbbiakat általában csak ritka hálózatban határozzák me szüksé van ezek mefelelı módszerrel történı sőrítésére Az eljárások között vannak tisztán eometriai tisztán fizikai és veyes meoldások de használhatók a szatellita-eodézia módszerei is A eoid analitikus mehatározása A Füıvonalak és szintfelületek c fejezetben találkoztunk a nehézséi erı potenciáljának elsı és második parciális deriváltjaival Az elsı deriváltak a nehézséi erı tenelyirányú komponensei a második deriváltakat pedi az Eötvös-féle tenzorban folaltuk össze A jelzett fejezetben alkalmazott jelöléseket szokásosan az alábbi formába írják át: Y Z W W W WY ; Y W WZ Z W W W Y Z W WY W Z W W W E WY WYY WYZ Y Y Y Z WZ WZY WZZ W W W Z Z Y Z Uyancsak az e fejezetben szereplı ábrán a derékszöő koordináták oriója a földfelszín pontjában volt a Z tenely a füıvonal mentén a Föld belseje irányába az és az Y tenelyek mefelelıen északra és keletre mutattak Eyértelmő volt hoy e rendszerben W Z Láttuk hoy ebben a koordinátarendszerben a szintfelület (íy a eoid) örbülete a nehézséi erı füılees és teljes vízszintes radiense a teljes vízszintes radiensnek az észak felé mutató tenellyel bezárt szöe pedi a szintfelületi azimut valamint a szintfelület meridián- és haránt irányú metszetének örbülete az Eötvös-féle tenzor W WYY WZZ W Y WZ WYZ elemeinek füvényei 69

71 (É) α W iránya α iránya Y (K) W Y iránya Z W Z iránya A differenciál-eometria Bonnet-tétele szerint 6 eymás között bizonyos feltételeket kieléítı mennyisé eyértelmően mehatározza a felületet Ez a 6 Gaussról elnevezett mennyisé (a Gauss-féle fundamentális mennyiséek) elıállíthatók a felület füvényének esetünkben a W potenciálfüvénynek elsı és második parciális deriváltjaiból A fenti ábra szintfelületi érintısíkú koordináta-rendszerében a 6 mennyisé az alábbi: E ; F ; G ; W L - W M - W N - Az elsı és második parciális deriváltak a szintfelület minden tulajdonsáát mehatározzák íy a 6 fundamentális mennyisé alapján a szintfelület eyenlete levezethetı lenne YY Y ; ; torziós szál fényforrás n D tükör m n h szintfelületek m 7

72 Az Eötvös-féle torziós ina * meadja az inarúd felfüesztési pontján áthaladó szintfelületre a szintfelületek alakját (ömbalaktól való eltérését) jellemzı W Y és a W W YY W örbületi radienseket Ha memérjük a nehézséi yorsulás WZ értékét és me tudjuk határozni a WZZ -t is úy a külsı vonzásmentes térre vonatkozó W W + W + W ω YY Laplace-eyenletbıl számítható a W + WYY össze is Íy rendelkezésre állna minden adat ami a fundamentális mennyiséek képzéséhez és ezek révén a szintfelület eyenletének elıállításához szüksées A szintfelületek analitikus mehatározása két yakorlati korlátba ütközik: Sokái nem sikerült olyan berendezést szerkeszteni amelyik a WZZ -t az Eötvös-inával mehatározott mennyiséekkel azonos mebízhatósáal adta volna me A nehézséi erı W ZZ füılees radiensének mérése eészen a leutóbbi idıki a többinél csak - naysárenddel kisebb mebízhatósáal sikerült a mai eszközökkel (radiométerekkel) azonban ez a különbsé meszőnıben van A mérést nem lehet olyan ponton véezni hoy az inarúd felfüesztésén áthaladó szintfelület ne messen bele a Föld tömeébe Ekkor viszont a felület további részét már másik füvénnyel kellene leírni Természetesen iaz ez a eoidra is amely mélyen a mőszerálláspont alatt fekszik A tenerek esetében a mőszert elvile a eoid maassáába tehetnénk de ott az Eötvös-ina nem használható A tömeeloszlásra vonatkozó mai ismereteink sem eleendıek a eoid kellı mebízhatósáú és részletesséő mehatározására ezen a módon íy erre a célra más meoldást (is) kell keresnünk A eoid pontonkénti mehatározása A Földhöz tartozó szintfelületek (íy a eoid) alakját a Föld fizikai felszínének és belsı sőrősé- (töme-) eloszlásának szabálytalansáai befolyásolják Ebbıl kiindulva a eoid alakjának mehatározásakor is csak azt tehetjük amit a fizikai földfelszín alsóeodéziai szintő térképezésekor: a eoid felületét pontonként határozzuk me és ezekbıl a pontokból rakjuk össze az eészet azaz a eoidot Az eyes pontok térbeli koordinátahármasát meadhatjuk Y Z térbeli derékszöő koordinátáival a földi eocentrikus koordinátarendszerben A valós vilától a térkép síkjái c fejezetben mondottak miatt a térbeli derékszöő koordináták helyett kettıt az eddiiekben va- ZZ * Eötvös ravitációs méréseiben kétféle alakú torziós inát használt Az elsı alak: a torziós dróton füı vízszintes rúd mindkét véére platinasúly van erısítve azaz a rúd véein elhelyezkedı tömeek eyenlı maassában helyezkednek el (örbületi variométer) A örbületi variométer a Coulomb-mérle pontosabbá és stabillá tett változata amivel a nehézséi erı potenciáljának második deriváltjait lehet mehatározni Ebbıl elvile levezethetı a szintfelület alakja A második alak: a vízszintes rúd eyik véére uyancsak platinasúly van erısítve másik véén vékony szálra erısített platinahener ló alá szóval a rúd véein levı tömeek különbözı maassában vannak íy a szintfelületek párhuzamossáát jellemzı W és Z W vízszintes radienseket is me lehet határozni (horizontális variométer ábra) A horizontális variométer Eötvös fımőve a tulajdonképpeni Eöt- YZ vös-ina A horizontális variométer az elsı Eötvös-ina 89 májusában készült el A mőszer elve hoy ha a két tömere ható vonzóerı nem teljesen eyenlı eymástól naysában vay irányban eltér akkor a rúd a vízszintes síkban elfordul és a felfüesztı platina szál mecsavarodik A mecsavart drót rualmassáa a rudat eredeti helyzetébe iyekszik visszafordítani 7

73 lamilyen örbe felülethez kötöttünk (vízszintes modell) a harmadikat pedi e örbe felülettıl való távolsáal azonosítottuk (maassái modell) A könnyebb kezelhetısé miatt örbe felületnek ey matematikai táryalásra alkalmas szabályos ún alapfelületet leeyszerőbb esetben ellipszoidot választottunk Ezt neveztük vonatkoztatási ellipszoidnak A csillaászati pontokban mind a szintfelületi mind az ellipszoidi koordináták ismertek következésképpen a füıvonal-elhajlások is A felület további pontjait a kezdıponthoz képest kellı sőrőséi mefelelı matematikai eljárással leeyszerőbb esetben lineáris predikcióval interpoláljuk Eredményként ey koordináta-jeyzéket (számítóépen adatbázist) kapunk Szüksé esetén analó vay számítóépes eljárással a eoid felületét rajzban letöbbször izovonalak formájában is ábrázolnunk kell A csillaászati szintezés A kvázieoid és a eoidunduláció c fejezetben a eoidundulációt a eoid felületén lévı pontbeli potenciálzavar és a szintellipszoid felületén lévı pontbeli normál nehézséi erı füvényében az N T γ Bruns-féle képlettel adtuk me Az összefüésben T - a potenciálzavar értéke a földfelszíni pont eoidi mefelelıjében γ - a normál nehézséi erı értéke a pontban a szintellipszoid felületén A potenciálzavart nem ismerjük A eometriai meoldás érdekében dn képezzük az N eoidunduláció elsı deriváltját E derivált értéke a füıvonal-elhajlás s ds irányú összetevıje amit a Füıvonal-elhajlás c fejezetben ϑ -val jelöltünk: d N ϑ * ds Eyszerősítési célból a indexet elhaytuk A derivált a eoid felületén lévı pontból kiinduló tetszılees azimutú s ív mentén meadja a eoidunduláció változását Α ξ meridián- és η haránt-irányú összetevıkre természetesen fennállnak a dn dϕ ξ és dn η dλ összefüések E képletekben ξ és η sziorúan véve a valódi és a normálpotenciál szintfelületének felületi normálisai által bezárt szö eoidra vonatkozó összetevıi általános esetben azonban ezeket az adott orszá vonatkoztatási ellipszoidjára vonatkozó füıvonal-elhajlás értékekkel helyettesítjük Ez eyébként elınyös is mert íy az N értékek alapfelülete (ellipszoidja) azonos lesz a vízszintes mérések alapfelületével A fenti összefüések interálásával általános esetben N ( s ) ϑ ds * a meridián- és a haránt-irányú összetevık esetén az N ( ϕ ) ξ dϕ és N ( λ ) η dλ * Itt a ϑ izetti-féle füıvonal-elhajlás (ld A füıvonal-elhajlás c fejezetet) A zárójelbe tett indexek uyanazon eoid-unduláció számítási módjára utalnak 7

74 összefüésekhez jutunk Ha mefelelı sőrősében ismerjük a füıvonal-elhajlások értékeit a eoid valamilyen azimutú metszete (szelvénye) mentén úy az interálokat a Σ jellel azaz alebrai összezéssel helyettesíthetjük (numerikus interálás) Valamilyen adott N eoidundulációjú pontból kiindulva az i-ik eoidundulációt a kezdı ponthoz képest az összefüésbıl számíthatjuk k N i ϑ s i i i A vérehajtás lényeét az alábbi ábrán követhetjük nyomon Az ismert füıvonal-elhajlású pontok olyan közel helyezkednek el eymáshoz hoy a eoid ill az ellipszoid közöttük lévı ívei eyeneseknek az N i (az ábrán csak az N és N láthatók) szemközti befoójú a befoóval szemben lévı ϑ ien kis heyesszöő háromszöek derékszöőeknek tekinthetık A kis szöek miatt N ϑ s N ϑ s + ϑ s N ϑ k s + ϑ s + + ϑ k s k k ϑ ϑ eoid ϑ N N N ϑ ϑ s ellipszoid s N N ϑ N k Mivel a füıvonal-elhajlás yorsan változik célszerő a ϑ i mennyiséek helyett a fenti képletekbe a ϑ i i ( ϑi + ϑi ) középértékeket helyettesíteni A kezdı pont ismert N értékét az N i értékekhez mé hozzá kell adnunk: N i N i + N Az N értékét általában önkényesen választják me pl ey hálózati kezdıpontban -nak Ezért ey eoidunduláció-térkép mindi relatív s természetesen fü a vonatkoztatási ellipszoidunktól A szelvényeket rendszerint észak-dél (meridián-) vay kelet-nyuat (haránt-) irányban jelölik ki Ekkor a Füıvonal-elhajlás fejezet szerint ξ Φ ϕ η ( Λ λ) cosϕ 73

75 ólus s R ϕ R ϕ s R cosϕ λ s ϕ s R cosϕ λ és ( α ) ctϕ η A Az s ívhosszakat ilyenkor a szelvény menti szomszédos pontok szélessé- ill hosszúsákülönbséeinek és a földömb suarának vay a szélesséi kör suarának szorzataiként célszerő kifejezni A csillaászati szintezés fontos követelménye hoy a tervezett szelvények mentén a képletek alkalmazhatósáához eleendı számú pontban ismerjük a füıvonal-elhajlásokat Mivel a mind a szintfelületi mind az ellipszoidi koordinátákkal rendelkezı csillaászati pontok (az ún Laplace-pontok) eymástól való távolsáa km körüli vay akár nayobb azokat mefelelı módszerrel sőríteni kell (ld a A füıvonal-elhajlások sőrítése c fejezetet) Az eddii yakorlat szerint csillaászati szintezéssel nayobb területre eoidképet úy határoznak me hoy elıször mefelelı sőrőséő hosszúsái és szélesséi vonalak metszéspontjaiban (yakorlatila néyzethálózat sarokpontjaiban) mehatározzák a ξ és az η füıvonalelhajlás összetevık értékét Ezt követıen a szélesséi vonalak mentén a η összetevık- a hoszszúsái vonalak mentén pedi a ξ összetevık felhasználásával számítják a eoid metszeteket λ i λ i+ N i N i+3 N i+ N i+ ϕ j ϕ j+ A hayományos szintezési polionokhoz hasonlóan ey zárt néyzetben az eyik sarokpontból kiindulva majd uyanoda visszatérve uyanazt a eoidunduláció-értéket kellene kapnunk Miután ez nem teljesül a rács eészére a feltételes mérések módszere szerinti kieyenlítést célszerő alkalmazni A kieyenlített eoidunduláció-értékek között az interpolálással kapott azonos kerek értékő eoidundulációkból - a szintvonal-szerkesztéshez hasonlóan rafikusan vay számítóépes szoftverrel izovonalas eoidunduláció-térképeket készítenek A csillaászati szintezést a Bruns-féle összefüésre azaz fizikai alapra vezettük vissza A meoldás viszont tisztán eometriai szemléletet iényelt A meoldásban szereplı füıvonal-elhajlások mehatározása az eyes orszáok eodéziai alaphálózataihoz kapcsolódik s mivel az eyes orszáok alaphálózatait különbözı alapfelületeken (ellipszoidokon) értelmezik a különbözı eoid-részletek nem kapcsolhatók össze Az eyes szelvények kezdıpontjaiban az N értékek ismeretlenek a eoidkép relatív Hosszadalmas és fáradsáos mehatározásuk következtében füıvonal-elhajlás értékek viszonylaosan kis számban állnak rendelkezésre emiatt a csillaászati szintezés azaz a füıvonal-elhajlás adatok felhasználása a eoid mehatározásában az utóbbi két évtizedben háttérbe szorult pl a ravimetriai módszerekkel szemben A eoid mehatározása fizikai módszerrel A csillaászati szintezés elızı fejezetben említett hátrányai a nehézséi rendellenesséeken alapuló fizikai módszerrel kiküszöbölhetık E módszernél az alapfelület a Föld eész felületén közös ún földi ellipszoid A földi ellipszoid méretei összhanban vannak a normál nehézséi erı nemzetközi szervezetek által javasolt képletében szereplı a nehézséi rendelle- 74

76 nesséek képzéséhez is használt eyütthatókkal Elıny az is hoy a nehézséi erı a tenereken is mérhetı mí a csillaászati szintezésbıl a tenerek óceánok területe kimaradt A módszer kiindulópontja az N T γ Bruns-féle összefüés A potenciálzavart a potenciálelmélet ún harmadik peremértékfeladatának meoldása eredményeként kapjuk me A pont eoidi mefelelıjében uyanis a T potenciálzavarnak ki kell eléítenie a T + T R R ( γ ) összefüést Utóbbi a fizikai eodézia alap differenciáleyenlete amely kapcsolatot teremt a potenciálzavar és valamelyik γ nehézséi rendellenessé között A nehézséi rendellenessé ismeretében a differenciáleyenletbıl mehatározzuk a potenciálzavart majd a Bruns-féle képletbe helyettesítve mekaphatjuk a pontbeli eoidundulációt A képletben R a közepes földsuár a ténylees nehézséi erı a eoidon γ a normál nehézséi erı a szintellipszoidon Az eyszerősé kedvéért az indexeket elhaytuk A feladat meoldását ey elvi nehézsé nehezíti A peremérték-feladatokban általában azt a felületet amelyre a feltételt kikötjük ismernünk kell Uyanakkor esetünkben a határfelület ez most a eoid saját maa is mehatározásra szorul Ezért a feladatot közelítések útján oldják me Kétfajta közelítési lehetısé kínálkozik: ) meoldás ömbfüvény sorral ) meoldás a Stokes-féle képlettel és a Stokes-féle füvénnyel Az alábbiakban ez utóbbi meoldást vázoljuk A meoldás módja hasonlít a Gravimetriai módszer fejezetben bemutatott eljáráshoz N R ψ S A fenti képletben S α (-γ) k -γ Az alábbi képletekben az általánosítás kedvéért az indexeket elhayjuk Az ellipszoid felületét ömbfelülettel helyettesítjük A fizikai eodézia differenciáleyenletének meoldása Stokes képlete szerint: π π R T ( ψ ) sinψ dψ dα π S 4 ψ ψ ψ ψ sin ( ψ ) 6 sin + 5 cosψ 3 cosψ ln sin + sin 75

77 az ún Stokes-féle füvény vay Stokes-féle interál Ekkor az T N szerint a eoidunduláció: γ π π R N ( ψ ) sinψ dψ dα π γ S 4 Az α szerinti interálást elvéezve írhatjuk: Bevezetve az π R N S( ψ ) sinψ dψ γ F ( ψ ) S( ψ ) sinψ jelölést és a kijelölt interálást numerikus interálással helyettesítve a eoidundulációra véül az képletet kapjuk ahol N C R C F( ψ ) dψ γ A C konstans értéke a Gravimetriai módszer c fejezet 3 ábrájához valamint az ott leírtakhoz hasonlóan határozható me a vizsált pont köré rajzolt koncentrikus körök és a pontból kiinduló suarak révén vay úy hoy a szélesséi és hosszúsái vonalakkal foknéyszöeket állítanak elı Ha a ψ ömbi távolsá eléé kicsi a F(ψ) füvény a ψ - hez tartozó felületelemen belül konstansnak tekinthetı A felületelemhez tartozó eoidi értékek izoanomália térképekrıl olvashatók le ennek feltétele a kellı sőrőséő ravitációs hálózat meléte Mint azt A nehézséi erı rendellenesséeinek predikciója fejezetben említettük nayon ritka hálózatok esetén feltételezzük hoy az ismeretlen pontokon a rendellenessé értéke zérus Ez elsısorban a tenereken az izosztatikus rendellenesséekre iaz hiszen az izosztatikus eyensúly esetén a valóban zérus vay ahhoz ien közeli érték Meemlítjük mé a eometriai és a fizikai módszerek eyüttes feldolozását amely a táabb értelemben vett kieyenlítı számításban a kollokáció módszerével történik A eoid mehatározása szatellita-eodéziai módszerekkel A mestersées holdak (ma már eyre inkább a GS) mefiyeléséhez kapcsolódó módszerek alkalmazásával létrehozott eodéziai alappont-hálózat (Mayarorszáon az OGSH Orszáos GS Hálózat) pontjainak térbeli koordinátáit eyetlen eljárás eredményeként kapjuk A ϕ λ és h ellipszoidi koordinátákkal azonban a földfelszínt csak eometriaila határoztuk me a felhasználó részére viszont a eoid (a középtenerszint) feletti maassáokra is szüksé van * A mestersées holdakra alapozott helymehatározási technikák (a GS) ma már eyre fokozódó mennyisében rendelkezésünkre álló adatainak maassái részét csak akkor tudjuk hasznosítani ha ismerjük a eoid-ellipszoid távolsáokat a eoidundulációkat eyszóval a * Tulajdonképpen csak ez utóbbiakra van szüksé hiszen pl ey út vay vasúttervezı mérnök az ellipszoidi (a tervezés szempontjából lényeében teljesen fiktív ) maassáokkal semmit nem tud kezdeni 76

78 minél részletesebb eoidképet Ennek és más jellemzıknek ** a mehatározására az eltelt viszonyla rövid idı alatt eometriai és dinamikai módszerek is kialakultak A szatellita-eodézia eometriai alkalmazása A címben folalt eometriai szó csak a mestersées holdak mefiyelésébıl mehatározott eometriai jelleő helymehatározási adatokra (helyvektorra vay a helyvektor térbeli összetevıire) vonatkozik Természetesen tudjuk uyanakkor hoy a mestersées holdak pályamozása már fizikai törvényeken alapul A meoldást olyan földfelszíni pontokban tudjuk használni amelyeknek a eoidhoz viszonyított H maassái helyzetét eometriai szintezéssel (esetle ien pontos trionometriai maassáméréssel) mehatároztuk Ez esetben a pontnak a mestersées holdas technikával mehatározzuk a (GS esetében a WGS84) ellipszoidi felületi helyzetét (ϕ λ koordinátáit) és h ellipszoidi maassáát Az ellipszoidi maassából a pont eoid feletti maassáát levonva mekapjuk a eoidnak az ellipszoid feletti maassáát (a eoidundulációt a földfelszíni pont ellipszoidi normálisán mérve): N h H Nayszámú íy mehatározott pont esetén a eoidi pontokból metszeteket készíthetünk vay meszerkeszthetjük az azonos eoidundulációjú pontok mértani helyeit azaz elkészíthetjük a eoidkép izovonalas ábrázolását Az íy mehatározott eoidkép a mestersées holdas (ma már többnyire a GS) helymehatározás vonatkoztatási rendszerére vonatkozik Ha most a eoid mehatározásában felhasznált pontok ϕ λ felületi helyzetét valamilyen más helyi ellipszoidon (ilyen az EOV IUGG/967 ellipszoid mayarorszái simuló változata) ismerjük akkor a kapott eoidkép erre az ellipszoidra vonatkozik A módszer elınye hoy a földfelszín bármely helyén íy mehatározott eoidi pont ellipszoid feletti N maassáa uyanazon eocentrikus elhelyezéső ellipszoidhoz tartozik Ez lehetıvé teszi az eymástól füetlen eodéziai hálózatokban csillaászati szintezéssel mehatározott relatív eoid-ábrázolások közös eocentrikus rendszerbe kapcsolását Dinamikai szatellita-eodéziai módszerek A Föld közelében mozó éitestek mestersées holdak pályáját elsısorban a Föld nehézséi erıtere befolyásolja íy az éitestek mozását követve következtetni lehet az eymással szorosan összefüı olyan jellemzıkre mint a nehézséi erıtér szerkezete a eoid alakja és a nehézséi rendellenesséek ** Ilyenek: eymástól több ezer (sıt tízezer) km-re lévı pontok összekapcsolása kontinentális sıt viláhálózatok kialakítása kiemelkedı mebízhatósáal a Föld körüli térsé nehézséi erıtere jellemzıinek részletes és yors mehatározása aminek eredményeként a részletesebb és pontosabb eoidkép is kialakítható kéremozások hatékony tanulmányozása (lemeztektonika) a Föld tenelykörüli forásának továbbá az árapály hatásainak részletesebb meismerése stb A továbbiakban a eoidmehatározás szatellita-eodéziai lehetıséeit tekintjük át a kérdés széleskörő volta miatt a teljessére törekvés iénye nélkül 77

79 Z Y ω Z ω leszálló csomópont Föld O ν r h mestersées hold ω perieum Y éi eyenlítı síkja Ω kezdı irány (γ) ω i felszálló csomópont A mestersées holdak pályáját (ld a Kvázi inerciális éi koordináta rendszer c fejezet ábráját is) részben a Föld tömevonzási rendellenesséei a Hold és a Nap árapálykeltı hatása részben az ún nemkonzervatív erık fıképpen a léköri ellenállás és a napszél befolyásolják Gömbszimmetrikus töme vonzási erıterében mozó mestersées holdak pályája ha nem lennének ezek a zavaró hatások a térben állandó helyzető ellipszis lenne Az ellipszis pályáját a 6 Kepler-féle pályaelem határozza me: a az ellipszis fél naytenelye pályasík e elsı numerikus excentricitás Ω - a felszálló csomópont rektaszcenziója ω - a perieum (ún földközelpont) szöe (perieum: a Föld körül kerinı mestersées hold pályájának a Föld tömeközéppontjához leközelebb esı pontja) i pályahajlás (inklináció) ν a mestersées hold pillanatnyi helyzetét jellemzı szö (ún közép-rendellenessé vay középanomália) A fenti ábrán a az ún szubszatellita pont (a mestersées hold alatti földfelszíni pont amely rajta van a Föld O tömeközéppontja és a mestersées hold összekötı eyenesén) Mivel a Föld vonzási erıtere nem ömbszimmetrikus a körülötte kerinı mestersées holdak pályája ellipszis helyett bonyolult térörbe lesz Az erıtér ömbszimmetrikustól való eltérése nem nay ezért a pályát valamely adott idıpontra vonatkoztatott Kepler-féle pályaelemekkel jellemezzük meadva a pályaelemek idıbeli változásának mértékét Az árapálykeltı és a nemkonzervatív erıhatások kiszőrése után e térörbe perturbációi a Föld tömevonzási rendellenesséeire vezethetık vissza A normálpotenciál és a normál nehézséi erı c fejezet elején utaltunk arra hoy a Föld vonzási potenciálját a Laplace-eyenlet meoldására kapott ömbfüvénysorral írják le E ömbfüvénysorból a ömbszimmetrikus rész eyszerően számítható vonzási potenciálját levonva kapjuk azt a zavarfüvényt ami a bonyolult ún perturbált pályát okozza Matematikai úton (a Larane-féle másodrendő differenciáleyenletek meoldásából) az eyes pályaelemek perturbációi (azok idıbeli változásai) kifejezhetık a zavarfüvény eyütthatóinak füvényében Az idıbeli változások tapasztalati úton mehatározhatók íy az eyütthatók e füvényekbıl kiszámíthatók 78

80 Mivel a T W U potenciálzavar ömbfüvény sorában is uyanezek az eyütthatók szerepelnek ezek behelyettesítésével mekaphatjuk a potenciálzavart Az íy kapott értéket az T N γ Bruns-féle képletbe beírva a eoidunduláció N értéke kiszámítható Ha ismert a potenciálzavar úy a fizikai eodéziának a nehézséi rendellenessé és a potenciálzavar között felírható T + T R R ( γ ) alap differenciáleyenletébıl a nehézséi rendellenessé értékét is számítani tudjuk Az íy kapott nehézséi erıt csak a eoidra redukáljuk eyéb javítással nem látjuk el ezért a kapott mennyisé Faye-féle rendellenessé: F A dinamikai módszerek felhasználásával vezetik le a Föld-modelleket Az íy levezetett Földmodellek tartalmazzák a mefiyelı állomások eocentrikus koordinátáit a nehézséi erıtér potenciálfüvényében szereplı nayszámú eyütthatót amelyek seítséével mint mondtuk feljebb meszerkeszthetı a eoidkép az izoanomália-térképek valamint eyéb jellemzık A fentebb leírt módszer a nehézséi erıtér ill a eoid lobális leírására ad lehetıséet Ha több információra van szüksé más új mestersées holdas eljárásokat is iénybe vehetünk Ilyen pl az őrravimetria Őrravimetria A teljes Föld tömeeloszlásával nehézséi erıterével kapcsolatos eddii becslések mindeyike melehetısen inhomoén eloszlású méréseken alapult: a sőrőbben lakott területekrıl íy például Európáról jellemzıen sokkal több adat áll rendelkezésre mint az elhayottabb vidékekrıl például Grönlandról Szibériáról vay az Antarktiszról Ezen változtatnak a ravimetriai mőholdak Bár nem tudják teljes eészében meoldani ezt a problémát méis jóval eyséesebb meoldást nyújtanak mivel az általuk észlelt adatok mennyiséének eloszlása pusztán a szélessé füvénye tehát ey-ey meridián mentén uyanannyi és uyanolyan minıséő észlelést véeznek Az őrravimetria vay mestersées holdas ravimetria ey olyan új eljárás aminek a célja a lobális tömeátrendezıdések nyomon követése A ravimetriai mőholdak -ben a német CHAM fellövésével kezdték me mőködésüket amelyet -ben a GRACE elnevezéső mőhold páros követett A mőholdak mérési eljárásainak a hátterében a mőhold szabadesése és az azt kiváltó nehézséi erıtér kapcsolata áll A mőholdak méréseinek feldolozása korántsem eyértelmő tudományos feladat évek óta folalkoztatja a eofizikai és a eodéziai közösséet * A GRACE elnevezés két mőholdat takar közel azonos pályán ahol a két mőhold között folyamatos távolsámérés történik (ábra) Az eneria memaradás törvénye lehetıvé teszi a két * A Mayar Őrkutatási Iroda honlapján több információt is találhat az érdeklıdı olvasó: 79

81 mőhold belsı eneriája különbséének reisztrálását s ezen keresztül a ravitációs yorsulás térbeli meváltozásainak mehatározását A fenti ábrán a ravimetriai mőholdak rendszerét látjuk (balra lent: CHAM jobbra lent: GRACE jobbra fent: GOCE) * Szatellita-altimetria S altiméter h óceán felszín eoid tener-fenék ellipszoid A szatellita-altimetria a Föld (pontosabban az óceánok) felszínének alakjáról szoláltat információt A mestersées holdon elhelyezett altiméter (radar maassámérı) a saját maassáát méri az óceán felszíne felett Az altiméteres mérés elvét az ábrán mutatjuk be A folyamatos mérések eredményeként ien nay részletesséel ismerhetı me az óceán felszíne Az altiméter yőjti a h maassái adatokat amelyeket elıbb kieyenlítenek majd o o -os hálóban számítják közepes értékeiket Az íy meismert adatokat több célra lehet felhasználni a számunkra érdekes eoid- ill a nehézséi rendellenessé-mehatározást vázlatosan mutatjuk be az alábbi ábrán * Forrás: Institute für Astronomische und hysikalische Geodäsie Technische Universität München 8

82 S r S h h h h N OF KÁOF eoid R földi ellipszoid terepfelszín O Az ábra jelölései: O a Föld tömeközéppontja S a mestersées hold pillanatnyi helyzete a szubszatellita pont a pont ellipszoidi mefelelıje OF a pillanatnyi óceán felszín KÁOF a kvázi állandó óceánfelszín r S a mestersées hold eocentrikus helyzeti vektora R - a pont eocentrikus helyzete h - az altiméterrel mért érték amely S-nek a OF feletti maassáát adja h a OF maassáa az ellipszoid felett h a pillanatnyi és a kvázi állandó óceánfelszín közötti maassái eltérés h a eoid és a KÁOF közötti maassákülönbsé N a eoidunduláció Az ábrából h r R h S mivel pedi r S ismert íy h számítható Felírható továbbá hoy N + h h h A h értéke meteorolóiai és óceáni hatások fiyelembevételével ismerhetı me A ténylees N értéket tehát úy lehet levezetni ha kellı ismeretünk van h rıl Kellı ismeretek hiányában az N + h össze határozható me amely - m-es eltérést jelent A eoidundulációk birtokában a Stokes-füvény inverz meoldásával a nehézséi rendellenesséek is levezethetık (ld a A eoid mehatározása fizikai módszerrel c fejezetet) 8

83 A nehézséi erı mérése A nehézséi erı (yorsulás) mehatározása lényeében elvéezhetı minden olyan jelensé vay állapot mefiyelése révén amely jelensé vay állapot létrejöttében a nehézséi erınek szerepe van: szabadesés ina lenése ruó menyúlása terhelés hatására stb A kérdés csak az hoy az adott jelensé ill állapot mefiyelésébıl nyert mérési eredményekbıl a értéke kellı mebízhatósáal számítható-e A nehézséi erı mérési módszerei alapvetıen két csoportra oszthatók: ) dinamikai módszerek ) statikai módszerek A dinamikai módszereknél valójában yorsulást mérnek a mozásban lévı test mefiyelése útján a statikai módszereknél térerısséet mérnek a mefiyelt test nyualmi állapotában ) A dinamikai módszerekhez soroljuk: ina nehézséi erı hatására bekövetkezett lenésidejének mérése ina nehézséi erı és rualmas lemez eyüttes hatására bekövetkezett lenésidejének mérése testek esési sebesséének mérése húr rezési frekvenciájának mérése folyadék kiáramlási sebesséének mérése keskeny nyíláson át ) A statikai módszerekhez soroljuk: hipszometrikus módszer hianybarométerrel és hipszométerrel (termobarométer maassá mérésére szoláló hımérı) mért lényomások összehasonlítása barométeres módszer hianyoszlop maassáának mérése a rualmas ázerı és a nehézséi erı eyensúlyi helyzetében a nehézséi erı és valamilyen más erı (pl ruóerı) hatására eyensúlyban lévı töme elmozdulásának mérése A nehézséi erı mérése céljából mealkotott mőszerek közül terepi használatra a leelterjedtebbek az inás mőszerek ballisztikus elven mőködı mőszerek a rualmas erıhatás elvén mőködı raviméterek Ezek a rualmas erıhatás túlnyomó többsében a ruóerı-hatás elvén mőködnek Mekülönböztetünk mé ) abszolút -mérést ) relatív -mérést Az abszolút -mérés a mérés helyére vonatkozó teljes nehézséi erıre vonatkozik a kérdéses eyetlen ponton Ekkor vay a fizikai ina lenésidejét mérik vay a testek esésének mefiyelésén alapuló ún ballisztikus módszerek valamelyikét használják A relatív -mérésnél a mehatározandó és az ismert pontok közötti különbséet mérik ahol - nehézséi erı a mehatározandó - nehézséi erı az ismert kezdıponton 8

84 Abszolút -mérés fizikai inával A nyualmi helyzetébıl kimozdított és maára hayott tömepont nyualmi helyzet körüli lenı mozását a nehézséi erı hozza létre A matematikai ina azon jellezetesséét hoy az ina lenésideje füetlen a kimozdulás amplitúdójától (izochronizmus * ) mé Galilei fedezte fel 589-ben 673-ban Huyens a matematikai ina vételen kis amplitúdójú féllenésidejére az alábbi összefüést állította fel: A fenti összefüésben t a fél-lenésidı l az ina hossza a nehézséi yorsulás l t π Huyens tudta hoy a fizikai (valósáos) ina sziorúan véve nem izochron azaz a nayobb amplitúdójú lenések valamivel lassabbak a kisebb amplitúdójúaknál A lenés amplitúdója és a lenésidı közötti sziorú összefüést elsıként Euler állította fel 736-ban: ahol az eddii jelöléseken túl α amplitúdó l α 9 4 α t π + sin + sin Az abszolút -mérésekre az ún reverziós inákat használják Az elsı reverziós inát (ábra) H Kater anol fizikus készítette 88-ban A reverziós ina körülbelül m hosszú rúd amelyen a csavarokkal rözíthetı két forástenely eymással szemben áll Az eltolható nehezékek a lenésidıt mehatározó paraméterek - a tehetetlenséi nyomaték súlyponttávolsá - változtatására szolálnak t a t a C t t a C a Ha sikerült elérnünk azt hoy - az inát a két tenely körül lenetve - a két lenésidı eyenlı akkor az ékek távolsáa éppen az ina lr ún redukált hosszával eyenlı E távolsá és a lenésidı mérése után a nehézséi yorsulás: * Izochronizmus: az inalenések idıtartamának eyenlısée 83

85 lr π t Késıbb Bessel olyan mefiyelési módszert javasolt amely mefelelı javítás bevezetésével - lehetıvé teszi a izochron helyzettıl való eltérést Repsold Bessel javaslatai alapján készítette el a róla elnevezett inát (ábra jobboldali része) Az ékek távolsáa változatlan a lenési idık nem eyeznek me ( t t ) A matematikai ina képletébe a idıt helyettesítik ahol t t t a + t ( t t ) a a 3 t s és l a + a m esetén ha pl µ ±mal ( 5 m al ) középhibával akarjuk a nehézséi erıt mehatározni úy az idıt µ ± 35 s az s 7 inahosszat 7 µ l ± 7 m középhibával kell ismerni A t idıt az amplitúdó a hımérséklet a leveı sőrősée az órajárás az ék alakja és az ún állványeyüttlenés miatt javításokkal kell ellátni A nehézséi erıt a l π t képletbıl számítják ahol t a javítások fiyelembe vételével kapott lenésidı A Repsold-féle inával Mayarorszáon Gruber Lajos vézett méréseket amelyeknek eredményeit Oltay Károly dolozta fel Reverziós inával mé a század elején határozták me a otsdami Geodéziai Intézet adott pontjára vonatkozó alábbi nehézséi erı értéket: al otsdam ± 97-ben eysées ravimetriai rendszert hoztak létre (ISGN-7) Ekkor a otsdamra vonatkozó -érték is korrekcióra szorult mintey 3-4 mal naysárendben Abszolút -mérés ballisztikus módszerekkel Az abszolút -mérésnél alkalmazott ballisztikus módszerek alapja a szabadon esı test eyenes vonalú eyenletes yorsulásának ismert törvényszerősée: A fenti képletben t h h + v t + h v a test kiinduló helyzete és sebessée h a test által t idı alatt metett út a nehézséi erı értéke amelyet a h úton változatlannak foadunk el Ha ey skálán reisztráljuk a t i idıpontokban mért h i mért útszakasz értékeket a fenti eyenlet alapján felírható eyenletrendszer lekisebb néyzetek módszere szerinti meoldása szoláltatja a nehézséi yorsulás ismeretlen értékét A közelmúltban több új ballisztikus elven mőködı abszolút -mérı mőszert készítettek a vilá több orszáában Ezeknek két változata létezik: t 84

86 ) obszervatóriumi (telepített) és ) szállítható (terepi) változat Sakuma japán kutató a szabadesés mefiyelésére szerkesztett ey ien pontos berendezést amellyel a korábbi inamérések pontossáát kb két naysárenddel sikerült mejavítani és -6 íy csaknem elérte a ± µal ± al pontossáot ± középhibával -6 A terepi változatok pontossáa valamivel kisebb mintey ( 8 ) al jellemezhetı Relatív nehézséi yorsulás mérés Bár a korszerő technika következtében az utóbbi idıben eyre pontosabbá váltak az abszolút -mérı mőszerek a különbözı külsı hatások (lényomás hımérséklet rualmas deformáció stb) miatt az abszolút mérések pontossáa nem éri el a relatív -mérések pontossáát A relatív -mérések dinamikai módszerénél az ún relatív inákat a statikai módszerénél a ravimétereket alkalmazzák Relatív inák Az eljárás lényee az azonos ina lenésidejének mérése két ponton Íy ey ismeretlen ponton a nehézséi yorsulást ey alapállomáshoz viszonyítva határozzák me Nem kell ismerni az ina hosszát csak arról kell ondoskodni hoy az a két észlelés között ne változzék A már ismert összefüésbıl felírható a t π aránypár ahonnan az ismeretlen értéke kifejezhetı: t l t t t A t és a t eymástól szélsı esetben az 5 vay a 4 értékes jeyben különböznek Ekkor t t + t Mivel a t kicsi a binomiális sor felhasználásával t t t t t ( t t) t + t t t t + t íy t t Ha csak a lenésidıket mérjük eredményül mekapjuk -t A nehézséi yorsulás értéke az ismeretlen pontban: + 85

87 A mért idıt az amplitúdó a hımérséklet a leveı sőrősée az órajárás és az állványeyüttlenés miatt itt is me kell javítani Ha most közelítıle 98 al és t 5 s úy t Innen következik hoy t - ben al 4 s mal s 7 s eysére esı hiba a - ben vay másképpen a - ben mal naysáú hiba a lenésidıben kb Relatív inákat a relatív -mérésre ma már nem használnak Graviméterek 4 mal hibát okoz 5 7 s - et jelent A raviméter a nehézséi erı változásának statikus módszerrel való mérésére szoláló a nehézséi erıt rualmas erıhatás révén ellensúlyozó mőszer A raviméterek kisebb része a nyomás alatt lévı leveı (áz) töme rualmas erejét használja a többiben a rualmas ellensúlyt fém vay kvarcruó képviseli A rualmas rendszer mőködésének jellee alapján a raviméterek lehetnek eyenes és torziós (foró) tömemozású raviméterek G m K l K Az eyenes tömemozású raviméternél az eyensúly feltétele akkor teljesül ha a rendszerben ható minden erı összee zérus A rendszer eyensúlyi állapotának eyenlete G ahol m Jelöljük a ruó hosszát l-lel a ruóállandót (a ruó eysényi hosszúsára feszítéséhez szüksées erı) D- vel akkor G D l vayis a rendszer akkor van eyensúlyban ha m D l Differenciáljuk ezt az eyenletet és helyettesítsük a vételen kis mennyiséeket vées menynyiséekkel: m l l () D Ha most pl az eszközzel délrıl észak felé haladunk a nehézséi erı értéke nı s ahhoz hoy az eyensúly fennmaradjon a ruóra erısített súly lefelé elmozdul Az elmozdulás nem maával a nehézséi erıvel hanem annak l C l ( ) K K változásával arányos (nyilvánvaló hoy a mennyiséet most nem a nehézséi rendellenessé jelölésére használjuk) 86

88 Az () összefüésbıl levezethetı hoy a nehézséi yorsulás értékének mal-nyi meváltozásakor ( mal) ami relatív értékben l l 98 6 naysáúnak felel me ey m hosszúsáú ruó menyúlása ( ) m l 6 l 7 Ha a ravimétertıl lealább mal pontossáot várunk el a ruó hosszváltozását -9 m ( nanométer!) naysárendő pontossáal kell memérnünk A torziós ravimétereknél azt követeljük me hoy a ható erık nyomatékösszee leyen zérus Az alábbi ábrán a θ szöel mecsavart fonál (pl kvarcszál) hordja a CE kar véén felfüesztett m tömeet Jelöljük α-val a kar vízszintessel bezárt szöét l-lel a CE kar hoszszát és τ-val a fonál anyatól és mérettıl füı torziós eyütthatóját Feltételezve hoy a rualmas erıhatásra a fonálban létrejövı nyomaték a θ szöel eyenesen arányos vayis a θ C α l m E τ θ szorzattal eyenlı az m töme által létrehozott nyomaték pedi m l cosα úy a nyomatéki eyensúlyi eyenletet a τ θ m l cosα alakban írhatjuk fel Ha a θ szö állandó nyilvánvalóan m l cos α konst és a értéke kifejezhetı A fenti eyenlet az α lehajlási szö és a nehézséi erı (yorsulás) közötti kapcsolatot fejezi ki Határozzuk me a fenti rualmas rendszer érzékenyséét E célból elıször loaritmáljuk majd differenciáljuk az utolsó eyenletet Kapjuk: Mivel az l és az m állandók írhatjuk: ahonnan Vées különbséekre rátérve kapjuk: Mivel az α szö kicsi tan α α és ln m + ln + lnl + ln cosα const d sinα dα cosα d tanα dα tanα α 87

89 α α Következésképpen a rendszer szöérzékenysée az α szötıl fü és nem lineáris Minél kisebb az α szö annál érzékenyebb a rendszer Az α szö növekedésének füvényében az érzékenysé csökken: α o α α mal o α 4 3 mal Az ilyen típusú mőszer pontossáa nem haladja me a mal-t A kar vízszintes helyzetében (α ) a rendszer érzékenysée vételen nay és a mérés yakorlatila lehetetlenné válik A torziós raviméterek mé további két nayobb csoportra oszthatók: ) asztatikus ) lineáris raviméterek Az asztatikus rendszerben a tömere ható nehézséi erı és a rualmas erı csak közel van az eyensúlyi helyzethez aminek az a következménye hoy a nehézséi erı arányla csekély meváltozására lényeesen nayobb alakváltozás következik be mint amennyi a ruó minıséének mefelelne Ennek a rendszernek elınye a csekély változások könnyebb lemérése A lineáris rendszerben az alakváltozások nayon kicsinyek ezeket nehézkes optikai vay elektronikus úton annyira felnayítani hoy mefiyelhetık leyenek Ha kicsi a mérési tartomány csak párszáz mal-nyi -változás mérhetı Íy távoli vay nay maassákülönbséen lévı állomások csak több lépcsıben kapcsolhatók össze Ebbıl a szempontból kiváló a Worden-raviméter amely mal pontossáal 55 mal különbséet is mér A raviméterek ey kisebb csoportja a nyomás alatt lévı leveı (áz) töme rualmas erejét használja a barométer-elv felhasználásán alapul Ezek a raviméterek ey hianyoszlop súlyának meváltozását állandó ázmennyisé térfoatának meváltozásával mérik Ilyen raviméterrel a otsdami Geodéziai Intézet szakemberei Németorszá területén több ezer ponton véeztek nehézséi yorsulás mérést ± mal pontossáal Az Eötvös-ina Az Eötvös-féle torziós ina meadja az inarúd felfüesztési pontján áthaladó szintfelületre a szintfelületek alakját (ömbalaktól való eltérését) jellemzı W Y és a W W YY W örbületi radienseket Lényeét és mőködési elvét A eoid analitikus mehatározása c fejezetben már ismertettük 88

90 A térképezés alapfelületei A forási ellipszoid A Föld valódi alakját a térképezés céljára mint ahoy azt a Vetülettan tantáryból már tudjuk forási ellipszoiddal helyettesítjük Ha az ellipszoidot vonatkoztatási felületként már definiáltuk a továbbiakban az ellipszoidot a térképezés eometriai alapfelületeként használjuk Az alábbiakban a forási (kéttenelyő) ellipszoidhoz kapcsolódó eometriai ismereteket tekintjük át A folyamatos táryalás érdekében e fejezetben nem kerülhetı el néhány tartalmi átfedés az eddi meismert foalmakkal A fejezet jelölései is mutatnak némi átfedést az eddii fejezetek jelöléseivel de értelemszerően mást kell majd alattuk érteni forástenely Az Ellipszoidi felületi koordinátarendszer c fejezetben tetszılees földfelszíni pont helyzetét a ϕ λ h ellipszoidi koordinátákkal adtuk me (ld a jelzett fejezet ábráját) Az ellipszoib q a meridián-ellipszis a Eyenlítı Ha az ellipszoidot a forástenelyén áthaladó síkkal elmetsszük a meridián-ellipszishez jutunk A földi ellipszoid méretét és alakját az ellipszoid fél naytenelyével a-val és fél kistenelyével b-vel adják me (ábra) Az a és b értékekbıl levezethetık a földi ellipszoidra vonatkozó alábbi paraméterek: q - meridiánkvadráns a b f - az ellipszoid lapultsáa a a b e - elsı a fél naytenelyre vonatkozó numerikus excentricitás a a - b e - második a fél kistenelyre vonatkozó numerikus excentricitás b Összefüések a két numerikus excentricitás között: e e e ; e e + e Mehatározásuk idejétıl helyétıl és módjától füıen az eyes ellipszoidok méretei különböznek eymástól 89

91 di koordináták és az ellipszoidhoz kapcsolt Y Z térbeli derékszöő koordináták között az átszámítás sziorú zárt képletekkel történik ( Összefüések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi (felületi) koordináták között c fejezet) Definíciószerően soroljunk fel néhány további fontos foalmat: Valamely Q ellipszoidi ív azimutja (ellipszoidi azimut) a pontban az ívnek a ponton átmenı meridián északi áával bezárt α szöe a meridián és az ív pontbeli érintıi között az óramutató járásával meeyezı irányban értelmezve a a c a + e - pólusörbületi suár e b (Ellipszoidi szélessétıl füı) seédmennyiséek: Az ellipszoid meridián irányú örbületi suara Az ellipszoid harántörbületi suara: V + e cos ϕ ; W e sin ϕ a ( e ) ( e sin ϕ) 3 a ( + e ) 3 ( + e cos ϕ) M - ( e sin ϕ) Kapcsolatok a seédmennyiséek között: a ( + e ) ( + e cos ) a N ϕ ( e ) c a N ; 3 3 V W c a N V W a ϕ esetén vayis az eyenlítın M + e N a ; o ϕ 9 esetén vayis a póluson M N a + e c Innen származik c re a pólusörbületi suár elnevezés A és Q pontok távolsáa az ellipszoidon a pontokat összekötı lerövidebb ellipszoidi ív a eodéziai vonal Az ellipszoid pontbeli normálisán és a Q ponton átfektetett sík valamint a Q pontbeli normálisán és a ponton átfektetett sík által az ellipszoid felületébıl kimetszett normálmetszetek nem azonosak (ábra) mivel az ellipszoid lapultsáa miatt a normálisok nem esnek ey síkba hanem kitérı eyenesek (kivéve ha a és Q pontok ey meridiánon vay ey szélesséi körön helyezkednek el) A eodéziai vonal /3 és /3 arányban osztja a két normálmetszetet és folyamatosan követi a kitérı eyenesek változását minden eyes pontjában a örbületi suár iránya eybeesik a felületi normálissal Mivel értéke csekély ( kmes távolsáon is csak mintey 4") e tulajdonsának csak az ellipszoidon mint alapfelületen vézett számítások eyértelmősée szempontjából az ellipszoidi koordináták és az ellipszoidi azimutok számításánál van jelentısée Azt az ellipszoidot amelyre az eyes orszáok térképezési rendszerüket vonatkoztatják vonatkoztatási ellipszoidnak nevezzük A vonatkoztatási ellipszoid olyan ellipszoid amelynek földfelszíni kezdıpontja és tájékozása van valamint ismert a eoidunduláció a kezdıpontban 9

92 Q normálmetszet Q normálmetszet Q A GS mérések eredményei a WGS84 ellipszoidra vonatkoznak A rendszerváltás elıtt a Varsói Szerzıdés keretén belül katonai térképeit Mayarorszá is a Kraszovszkij-féle ellipszoidra vonatkoztatta A vonatkoztatási ellipszoidok orszáonként különbözıek de mé uyanazon orszáon íy Mayarorszáon - belül is a különbözı idıszakokban változtak A vonatkoztatási ellipszoidok idıhöz kötöttek táabb értelemben ezért yakran használják a eodéziai dátum elnevezést Ebben az értelemben használatos pl Mayarorszáon az IUGG/967 vonatkozási ellipszoidra a HD-7 (Hunarian Datum 97) elnevezés A eodézia fıfeladatai az ellipszoidon Az I rendő vízszintes hálózatok számításakor a mért mennyiséek ellipszoidra redukálása és a hálózat feltételes mérések szerinti kieyenlítése után ey ismert pontból kiindulva ki kell számítani az összes ellipszoidi pont ellipszoidi koordinátáit Az alábbi ábra szerint ha ismertek pl az A pont ϕ Α λ Α ellipszoidi koordinátái valamint az A pontból a pont felé menı irány α A ellipszoidi azimutja és az A és pontok eodéziai vonal mentén értelmezett s távolsáa úy a pont ϕ λ ellipszoidi koordinátáit valamint az α A ún ellenazimutot az elsı eodéziai fıfeladat seítséével lehet számítani α A A(ϕ Α λ Α ) s É α A (ϕ λ ) Mayarorszáon a polári célú eodéziai munkáknál és térképeknél sokái a Bessel-féle vonatkoztatási ellipszoidot használták 975-tıl az Eysées Orszáos Térképrendszerre történı áttéréskor a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió által 967-ben elfoadott IUGG/967 ellipszoidot vezették be Ha a pont koordinátáit már ismerjük úy további pontok koordinátái lesznek számíthatók A feladat meoldására született eljárások többsée mintey km távolsái használható amely az I rendő háromszöek méreteit tekintve teljes mértékben mefelelı Léteznek olyan eljárások is amelyek nayobb kontinentális hálózatok esetén alkalmazhatók Ha a forási ellipszoidon adottak A és pont ellipszoidi koordinátái s belılük akarjuk számítani az s α A és α A mennyiséeket akkor ezt a feladatot második eodéziai fıfeladatnak nevezzük 9

93 A ömb A Föld méreteit Newtoni visszamenıen eyetlen paraméterrel a suárral jellemezték A Krisztus elıtt 3 században élt Eratosthenes volt az elsı aki a földömb suarát meállapította forástenely o 7 Nap Alexandria R R Syene (Asszuán) Gömbi eyenlítı Eratosthenes mefiyelte hoy a nyári napforduló idején délben Syenében (a mai Asszuán) a napsuarak ey kút fenekét meviláították vayis merıleesen érkeztek a Föld felületére mí ey teljesen hasonló idıpontban Alexandriában a teljes kör mintey /5-ed részével eltértek ( 7 ) Az Alexandria és Syene közötti ömbi meridiánív hosszára a két hely között o áthaladó karaván haladási idejébıl és sebesséébıl következtetett (mai hosszmértékben ez a távolsá mintey 67 km) Ez nyilvánvalóan pontatlan hiszen Alexandria és Syene nincsenek uyanazon a meridiánon és a napsuarak nem pontosan füıleesek Az R suarú körben az ív és a suár hányadosa eyenlı a középponti szö radiánban kifejezett értékével ahonnan: o 67 8 R 535 km π o 7 Ez az érték mintey 6%-kal kisebb a ma ismert R 637 km körüli értéknél A és Q ömbi pontok közötti lerövidebb vonal a lenayobb ömbi kör e két pont közé esı íve a ömbi eodéziai vonal Az ábrán két további ömbi vonalat ábrázolunk: az ortodrómát és a loxodrómát Az ortodróma örö szó szó szerinti fordításban eyenes futást jelent Az a hajó amely e vonal mentén törekszik céljának elérésére a lerövidebb utat vayis a lenayobb ömbi körívet követi Az ortodróma és a ömbi eodéziai vonal ekvivalens kifejezések Látjuk hoy a meridiánokat mindi más-más szö alatt metszik az e szerinti tájékozódás nem eyszerő A loxodróma ferde futást jelent és azimutja állandó a meridiánok és az eyenlítı mentén a lenayobb ömbi kör a szélesséi körök mentén ömbi kör Más irányban ey olyan csavarvonal amely aszimptotikusan közeledik csavarodik a pólushoz A réi hajósok csak arra üyeltek hoy iránytőjük seítséével ezt a szöet tartsák A naviálás íy eyszerő de idıvesztesées volt a loxodróma uyanis hosszabb mint az ortodróma 9

94 α ortodróma α azimut loxodróma α Kisebb kiterjedéső orszáokban mint amilyen Mayarorszá is az ellipszoid felületének ey darabját ey ún simulóömbbel helyettesíthetik Ez a ömb az ellipszoidot az ábrázolandó terület közepe táján meválasztott pont környezetében érinti Az ellipszoid és a simulóömb felületei olyan közel esnek eymáshoz hoy a mérési eredményeket közvetlenül ömbi adatoknak tekinthetjük Ezt az ellipszoid felületéhez lejobban simuló ömböt Gauss-ömbnek nevezik A Gauss-ömb suara ey mefelelıen kiválasztott pontban az ellipszoid meridián irányú és harántörbületi suarának mértani közepe: Az e kifejezésbıl származtatott kifejezés az ún Gauss-féle örbület c R M N V R M N Gauss ehhez kapcsolódó tétele szerint bármely örbe felületen íy az ellipszoidon is a felület középörbületi suarához viszonyítva bármilyen elemi mérető felületet íy a háromszöet is elemi mérető ömbi felülettel íy háromszöel helyettesíthetünk Az ellipszoid esetében annak eometriai jellemzıit (szöeit és oldalhosszait) R M N suarú ömbön lévı menynyiséeknek tekinthetjük Íy a hayományos I rendő hálózatok háromszöei a ömbön lévıknek tekinthetık Az ellipszoidi szöfölösleet és a háromszöek ellipszoidi oldalhosszait ezért a továbbiakban a ömbi szöfölösleel és a ömbi háromszöoldalakkal helyettesítjük A háromszöek ömbi oldalhosszainak számítása Az I rendő vízszintes alaphálózatok kialakításának klasszikus módszere szerint általában csak az alapvonalak hosszát mérik ill számítják Majd ezeket vetítik az ellipszoidra Ahhoz viszont hoy a hálózatot az ellipszoidon értelmezzék szüksé van minden eyes I rendő pont ellipszoidi felületi koordinátáira A koordináták számításához viszont minden I rendő oldal hosszát számítani kell Az alábbiakban az ellipszoidi oldalhosszakat ömbi oldalhosszaknak fojuk tekinteni b α A C γ c a β B A b α C γ c a β' B Leendre kimutatta hoy mindaddi amí a ömbháromszö oldalhosszai csekélyek a Föld méreteihez viszonyítva a ömbi oldalhosszak a síkháromszöre vonatkozó ismert összefüésekkel vezethetık le ha a ömbi szöeket eyenként a szöfölösle /3-ával csökkentjük azaz ha 93

95 akkor ε ε ε α α ; β β ; γ γ a a ; b b ; c c Eszerint ha ey ömbi háromszöoldalt pl az a-t ismerjük a másik két ömbi háromszöoldal a síkbeli szinusz-tétel felhasználásával számítható: sin β sin γ b a ; c a sinα sinα A vonatkoztatási ellipszoid mehatározása Keressük a forási ellipszoid olyan a és e értékpárját amelyre - eyrészt a fizikai valósá leképezése minél kisebb torzulásokkal jár - másrészt az ellipszoidi maassáok viszonyla kis értékek és íy eyszerő általában lineáris összefüésekkel leyenek számíthatók Ha ezt a feladatot pusztán eometriai (szö és távolsá jelleő) mérési eredményekre támaszkodva oldjuk me úy a vonatkoztatási ellipszoid mehatározásának eometriai vay csillaászati-eodéziai (asztroeodéziai) módszereirıl beszélünk E módszereknek az alábbi változataival ismerkedünk me vázlatosan az alábbiakban: ) fokmérés ) felületek módszere 3) ellipszoid méretek mehatározása szatellita-eodéziai úton Fokmérés A ömb suarának Eratosthenes-féle mehatározásakor láttuk hoy a ömb alakúnak képzelt Föld suarának mehatározásához ey középponti szö és az ehhez tartozó ívhossz ismeretére van szüksé Mivel a forási ellipszoid bonyolultabb felület mehatározásához több mérésre van szüksé A VIII század közepén Franciaorszában kezdték me azokat a munkálatokat amelyek során kb o középponti szöhöz tartozó meridián ív mehatározására törekedtek Ezeket a méréseket nevezték fokméréseknek A mérések eredményei kétsételenné tették a Föld lapultsáát a levezetett lapultsá érték mintey /5-nek adódott A fokmérések eredményeként mondta állítóla V Lajos francia király hoy sajnálattal értesültem róla uraim hoy az Önök munkája orszáom jelentékeny részétıl mefosztott A fokmérés lényeét az ábra seítséével mutatjuk be 94

96 ólus M B s ϕ ϕ ϕ ϕ A B B A M ϕ A ϕ ϕb ϕa és ϕ ϕb ϕa A mindkét ívhez tartozó közepes ellipszoidi szélesséek: ϕa + ϕb ϕ k és ϕ ϕ + ϕ A B k Mivel a mért ívek a Föld méretéhez képest elemi hosszak a meridiánív olyan körívdarabnak tekinthetı amelynek suara az M meridián irányú örbületi suár az ív középpontjában Íy felírható hoy s s M és M ϕ ϕ mert kör esetén a szö eyenlı a hozzá tartozó körív és a suár hányadosával radiánban kifejezve Az M és M meridián irányú örbületi suarakra az a fél naytenely az e elsı numerikus excentricitás és a ϕ k ϕ k mennyiséek felhasználásával felírhatjuk (ld A forási ellipszoid c fejezetet): M ϕ B s A Eyenlítı a ( e ) 3 ( e sin ϕ ) k Az s ívhossz két vépontja A és B amelyekhez a ϕa és a ϕ B ellipszoidi szélesséek tartoznak Hasonlóan az s ívhosszra A és B valamint a ϕa és a ϕ B A keresett meridián-ellipszis méreteinek mehatározása véett mehatározták az s és s ívhosszakat és a hozzájuk tartozó ϕ A ϕ B ϕ A ϕ B szöeket Ez utóbbiakból az ív két vépontjához tartozó széles- sékülönbséek: a ( e ) és M 3 ( e sin ϕ ) s s Az M és M ismert értékeket a fenti képletekbe helyettesítve a kapott két ismeretlenes eyenletrendszerbıl az a és e értéke számítható Ezzel a forási ellipszoidot me- ϕ ϕ határoztuk Az e értékét csak úy lehet kieléítı pontossáal számítani ha a ϕ k ϕk közepes ellipszoidi szélesséek különbsée nay Ezért törekedtek arra hoy az eyik ívet az eyenlítı a másikat a sark(ok) közelében vayis a lehetı lenayobb mértékben különbözı örbületi viszonyok mérjék A meridián-darab s ívhosszát háromszöeléssel határozták me Itt két problémát kellett meoldani: - a háromszöelési láncolat kezdı- és vépontja nem ey meridiánon vannak ezért a kezdı és vépont összekötı vonalát az ellipszoid kistenelyére kellett vetíteni k 95

97 - már a háromszöelési hálózat számításához fel kellett venni valamilyen ellipszoidot Ha kettınél több meridián-ívdarabot mértek az ellipszoid méreteit kieyenlítéssel vezették le A történelmi Mayarorszá vetületeinek alapfelületéül szoláló Bessel-ellipszoid mehatározásakor Bessel tíz fokmérés anyaát használta fel Kezdetben az ellipszoidi hosszúsá mehatározásának mebízhatatlansáa miatt - kizáróla meridián irányú fokméréseket véeztek Jóval késıbb már az elmúlt század elején - a rádión suárzott pontos idıjelek bevezetésével szélesséi kör mentén is véeztek fokméréseket (ábra) Az s és s hosszakat itt is háromszöelési hálózat seítséével vezették le de mivel a láncolat kezdı- és vépontja itt sem került uyanarra a szélesséi körre a hosszakat itt is vetíteni kellett A harántörbületi suár képletének felhasználásával a keresett ellipszoid a és e paraméterei között most az ( e sin ϕ ) ( λ λ ) a cosϕ s és az B A ólus s a cosϕ ( e sin ϕ ) ( λ λ ) B A A s λ B ϕ állandó ϕ állandó λ A s B összefüések írhatók fel E két eyenletbıl a és e paraméterek mehatározhatók A számos nevezetes fokmérés eredményei közül Mayarorszáot Walbeck (89) és Bessel (84) ellipszoidja érdekelte leinkább Az elıbbi azért mert a 9 század utolsó harmadában a sztereorafikus vetület bevezetése idején ennek az ellipszoidnak az alapulvételével vezették le Bécsbıl a Gellérthey pont koordinátáit amelyeket a ferdetenelyő henervetületek bevezetéséi (98) használtak is A Bessel-ellipszoid pedi azért volt fontos mert a viláháború elıtti - réi háromszöelési hálózat és az arra épülı kataszteri térképek alapfelülete volt A fokmérések eredményeképpen kapott különbözı ellipszoidok méretei jelentıs mértékben eltérnek eymástól Ennek oka hoy az eyes ellipszoidok mehatározásához a méréseket csak a földfelszín kis területén véezték s íy a kapott ellipszoidok csak a mehatározás helyén ey-ey meridián vay szélesséi kör mentén simulnak a Földhöz Várhatóan annál jobb eredményt kapunk minél nayobb területre terjednek ki a Föld felszínén vézett mérések Ennek a követelménynek a felületek módszere tesz eleet 96

98 Felületek módszere ϕ j λ j K ΦΛΑξη A füıvonal-elhajlások táryalásakor meállapítottuk hoy valamely kiválasztott pontban a eoid és a vonatkoztatási ellipszoid eymáshoz viszonyított helyzetét a füıvonal-elhajlás mértéke fejezi ki Ha kellıen nay területre kiterjedı összefüı háromszöelési hálózatot hoznak létre (ábra) amelyben a szokásos módon mérnek minden belsı szöet és mehatározzák lealább ey oldal hosszát s amellett kiválasztott ún asztroeodéziai pontokon földrajzi helymehatározást is véeznek (szintfelületi koordinátákat és azimutot határoznak me) akkor mehatározhatják a behálózott felületdarab eoidjához lejobban simuló forási ellipszoidot Ey a el és eel paraméterő elızetesen felvett ellipszoidra átszámítják a háromszöelési hálózat mérési eredményeit A számítás részleteit mellızve most az elsı eodéziai fıfeladat sorozatos alkalmazásával számítják a kiválasztott kezdıpontból kiindulva az összes pont ellipszoidi koordinátáit A kezdıpont célszerően a hálózat közepe táján lévı valamelyik asztroeodéziai pont (ábránkon K) Az itt mért és a eoidra átszámított Φ Λ Α értékeket foadják el általában a kezdıpont ellipszoidi koordinátáiként azaz Φ ϕ Λ λ A α A számítás befejezésekor minden eyes pontban rendelkezésre állnak a ϕ jel λ jel elızetes értékek (j az összes pont száma) Íy a eoidra átszámított Φ i Λ i értékeken túl a csillaászati pontokon is ismertek a ϕ iel λ iel mennyiséek (i a csillaászati pontok száma) Ezek felhasználásával A füıvonal-elhajlás c fejezetben bemutatott ξ Φ ϕ η ( Λ λ) cosϕ összefüésekkel számítani lehet a füıvonal-elhajlás ξ i η i elızetes összetevıit A továbbiakban a lekisebb néyzetek módszere szerint az elızetesen felvett a el és e el értékekhez számítják a da és a de javításokat az alappontok vélees füıvonal-elhajlási öszszetevıit majd velük a vélees ellipszoidi koordinátákat A lekisebb néyzetek elve alkalmazásakor a lejobban simulás feltételének a ( ξ i + ηi ) min feltételt tekintik A simuló ellipszoidot véül az adatpár szoláltatja a el + da a eel + de A feladat meoldására Helmert és Venin-Meinesz is dolozott ki eljárást e 97

99 Helmert eljárása lényeében a fokmérés továbbfejlesztése (általánosítása) úy hoy nem csupán eyes meridián ill szélesséi kör ívdarabokhoz hanem a eoid eyes felületdarabjaihoz számítanak simuló ellipszoidot A Venin-Meinesz-féle eljárásnál az elıbbi meoldásnál tökéletesebb simuló helyzetet érhetnek el azzal hoy eyel több szabadsáfokot meenedve az ellipszoidnak a eoidhoz viszonyított három dimenziós változását teszik lehetıvé A harmadik irány ez esetben az ellipszoid felületére merılees Matematikaila ez a változás azzal érhetı el hoy kezdetben felvesznek ey elızetes N el eoid-ellipszoid távolsáot (eoidundulációt ami nulla is lehet) is A simuló helyzet elérése érdekében a dn változást is meenedik és hozzáveszik a kiszámítandó ismeretlenek közé Ily módon az ismeretlenek száma eyel növekszik Véeredményként mekapják a simuló ellipszoid méretét és alakját továbbá a simuló helyzetben az N eoidundulációt valamint az ellipszoid tájékozását jellemzı kezdı azimutot A Mayarorszáon a Gauss-Krüer vetület alapfelületét szoláltató Kraszovszkij-féle ellipszoidot is a felületek módszerével határozták me A Kraszovszkij-féle ellipszoid mérete és alakja ien közel van a késıbb korszerő szatellita-eodéziai úton mehatározott ellipszoidi paraméterekhez Ellipszoid-méretek mehatározása a szatellita-eodézia eometriai módszerével A mestersées holdak eodéziai célú mefiyelése az utóbbi évtizedekben lehetıvé tette hoy valamennyi földrészre kiterjedı összefüı viláhálózatok létesüljenek Íy lehetıvé vált a eoidhoz az eész Föld viszonylatában jól simuló forási ellipszoid a és e paramétereinek eometriai módszerrel történı mehatározása Az eljárás lényeében a felületek módszerének kiterjesztése arra az esetre amikor a felület alatt az eész Földet a hálózat pontjain pedi a viláhálózat pontjait értjük Ennek mefelelıen ismertek a viláhálózati pontok valamilyen szatellita-eodéziai módszerrel (ma elsısorban a GS-sel) mehatározott r i helyvektorai amelyekbıl ey elızetesen meválasztott a el és paraméterő ellipszoidon számíthatók a pontok ϕ i el λ i el h i el elızetes ellipszoidi koordinátái Ha a szatellita-eodéziai viláhálózat n számú pontjának eometriai szintezéssel mehatározzuk a eoid (tenerszint) feletti H i maassáait is akkor az eyes pontokban a kétféle maassái mérıszám különbséeként számíthatjuk a eoid és az elızetesen felvett ellipszoidra vonatkozó N i eoidundulációkat Az N i hi el H különbséekben a H mennyiséek a természetben mért valósáos méretek mí a i h i el menynyiséek a felvett ellipszoid paramétereitıl füı (tehát valójában nem létezı) értékek i e el Keressük az ellipszoid paramétereinek azokat a da de változásait amelyeket a választott elızetes a el és e el értékekhez hozzáadva olyan a és e mérető és alakú forási ellipszoidot kapunk amelynél a lejobban simulás feltétele most N i min A szintezéssel is mehatározott maassáú szatellita-eodéziai viláhálózati pontokra felírt javítási eyenletrendszerbıl a lekisebb néyzetek módszerével számítható az adatpár a el + da a eel + de e 98

100 A vonatkoztatási ellipszoid elhelyezése és tájékozása A mestersées holdak mefiyelésével (elsısorban a GS-sel) létrehozott eodéziai alapponthálózatok (Mayarorszá esetében ez az OGSH Orszáos GS Hálózat) esetén a vonatkoztatási rendszer (a GS hálózatnál a WGS84) már maában folalja a vonatkoztatási ellipszoid elhelyezését és tájékozását is Ez a vonatkoztatási ellipszoid a GS vevık koordinátarendszere és A felsıeodézia vonatkozási rendszerei c fejezetekben mondottak szerint eocentrikus A potenciálzavar c fejezetben a eocentrikus elhelyezéső ellipszoidot a nehézséi erıtérben olyan szintellipszoidként értelmeztük amelynek középpontja eybeesik a Föld tömeközéppontjával forástenelye eybeesik a Föld forástenelyével tömee eyenlı a Föld tömeével az ellipszoid felületén az U potenciál meeyezik a középtenerszint W potenciáljával Ha vonatkoztatási ellipszoidunk nem a mestersées holdas hanem a hayományos eometriai módszerekkel mehatározott eodéziai alaphálózatok alapfelülete úy elhelyezésének és tájékozásának adatait - a mehatározás ill elfoadás idejéhez kötött - ún eodéziai dátumban folaljuk össze Ilyenkor a vonatkoztatási ellipszoid elhelyezése és tájékozása háromféle módon történhet: ) Önkényes elhelyezés és tájékozás ) Simuló (relatív) elhelyezés és tájékozás 3) Geocentrikus (abszolút) elhelyezés és tájékozás Önkényes elhelyezés és tájékozás E leeyszerőbb esetben a vonatkoztatási ellipszoidot eyetlen kezdıpontnak tekintett asztroeodéziai ponthoz és az ebbıl kiinduló irányhoz kötik p eoid Az azimutmérés eredményére vonatkozó α A α A kikötéssel a eoidi és az ellipszoidi tenelyek párhuzamossáát a B b biztosítjuk A fenti feltételekkel a vonatkoztatási ellipszoidunk A pontbeli normálisa eybeesik az asztroeodéziai O kiindulópont eoidi mefelelıjének helyi füıleesével az ellipszoid felszíne pedi uyanabban a pontban érinti a 9 ο ϕ eoidot n Az ábrán a folytonos vonalak és a naybetős jelölések a eoidhoz a szaatott vonalak és a mefelelı kisbetős ellipszoid jelölések az ellipszoidhoz tartoznak Leyen a kezdıpontunk A E pontban ismerjük a földrajzi helymehatározás mérési eredményeit azaz a Φ és Λ szintfelületi koordinátákat és ey B pont felé menı irány Α szintfelületi azimutját Az elhelyezés és tájékozás ez esetben nayon eyszerő: feltételezzük hoy az ellipszoidi koordináták és az Α azimut az A pontban meeyeznek a szintfelületi koordinátákkal és azimuttal a eoidi maassá pedi meeyezik az ellipszoidi maassáal: ϕ Φ λ Λ α A h H Ez más szóval azt jelenti hoy ebben a pontban a füıvonal-elhajlás összetevıi és a eoidunduláció értékrendszerét zérus értékben vesszük fel: 99

101 ξ η N Az önkényes elhelyezés és tájékozás elınye eyszerősée a földrajzi helymehatározás minimális mérésiénye valamint az hoy a kezdıpont környezetében az ellipszoidra történı vetítés csak minimális torzulással jár Hátrány uyanakkor hoy a kezdıponttól távolodva a torzulások eyre nayobbak amelyek a széleken akár meenedhetetlenek is lehetnek Simuló (relatív) elhelyezés és tájékozás A simuló elhelyezés és tájékozás problémája hasonló ahhoz amivel már meismerkedtünk a Felületek módszere c fejezetben Ha uyanis eodéziai alaphálózatunk több pontjában is vézünk földrajzi helymehatározást ill mérünk szintfelületi azimutokat esetle maassáokat úy a lekisebb néyzetek módszerének az említett fejezetben a füıvonal-elhajlások összetevıire elıírt ( ξ i + ηi ) min feltétele lehetıvé teszi azt hoy a választott vonatkoztatási ellipszoidot a hálózat eész területén a eoidhoz simuló helyzetbe hozzuk Az említett fejezethez hasonlóan a simuló elhelyezés is lehet két- ill háromdimenziós attól füıen hoy az ellipszoidnak csak a saját felületén vay arra merıleesen is lehetıvé tesszük a változásokat (csak ellipszoidi szélessé és hosszúsá változása vay uyanez a maassái változással eyütt) A Felületek módszere c fejezethez képest ez esetben az a különbsé hoy akkor éppen az ellipszoidi paraméterek értékét kerestük a lejobb simulás érdekében itt viszont fordítva már adott (többnyire nemzetközile ajánlott) mérető és alakú ellipszoidnak a eoidhoz lejobban simuló elhelyezkedését keressük Íy nem az ellipszoidi paramétereket hanem adott paraméterek mellett az elhelyezés és tájékozás adatait számítjuk a kieyenlítésbıl Erre többféle meoldást is kidoloztak Wolf lekisebb néyzetek elve szerinti szabatos meoldása a Helmert-féle meoldás füıvonal-elhajlások összetevıire elıírt feltétel mellett az azimutokra vonatkozó ellentmondások összeét is bevonja a minimum-feltételbe Ledersteer közelítı módszerében külön eléíti ki a füıvonal-elhajlásokra valamint az azimutokra vonatkozó minimumfeltételt Sem az önkényes sem a simuló elhelyezés és tájékozás nem teszi lehetıvé a különbözı helyi rendszerek összekapcsolását Két vay több eodéziai alaphálózat összekapcsolásának kísérletekor uyanis uyanazon pontok koordinátáiban olyan durva eltérések mutatkozhatnak amelyek pl a toporáfiai dokumentációkban meenedhetetlen átfedésekhez vay szakadásokhoz vezethetnek Az eyes helyi ellipszoidok közötti kapcsolat létesítésének yakorlati iénye hozta életre az eysées közös elhelyezéső vonatkoztatási ellipszoid bevezetésének kérdését Ez a helyzet a Mayarorszáon az EOV alapfelületeként elfoadott simuló elhelyezéső és tájékozású IUGG/967 ellipszoidon kiszámolt vízszintes eodéziai alaphálózatnál is Többek között ennek az alaphálózatnak valamely nemzetközile elfoadott viláhálózatba történı beillesztése a felsıeodézia eyik ma ien aktuális és idıszerő feladata A eocentrikus (abszolút) elhelyezés és tájékozás A földfelszín nayobb részeire a kontinensekre vay akár az eész Földre kiterjedı eodéziai viláhálózatok csak úy alakíthatók ki ha a korábbi eymástól füetlen helyi (nemzeti) hálózatok helyett a Föld bármely részén létrehozott eodéziai hálózat pontjainak koordinátáit uyanazon uyanolyan mérető és alakú elhelyezéső és tájékozású vonatkoztatási ellipszoidon értelmezzük

102 Geocentrikus elhelyezés esetén eodéziai alaphálózatunk A kezdıpontjának koordinátái: ϕ λ h vayis eoc eoc eoc ϕ ϕ λ λ h h eoc A hálózat tájékozásához a kezdı oldal ellipszoidi azimutját földrajzi helymehatározás útján vay a kezdı oldal vépontja eocentrikus koordinátáinak ismeretében a II eodéziai fıfeladattal határozzák me Ha most a kezdı pont íy elfoadott koordinátáinak és a kezdı azimutnak a füvényében az I eodéziai fıfeladattal számítjuk a többi hálózati pont koordinátáit akkor ez utóbbiak is eocentrikus ellipszoidi koordináták lesznek Ey ilyen rendszerben a Föld bármely részén akár eymástól teljesen füetlenül kialakított (eometriai módszerekkel mért) eodéziai alaphálózatok valamennyi pontjának helyzetét koordinátáit azonos koordináta-rendszerben tudjuk mehatározni A pontok koordinátáinak ismeretében pedi a II eodéziai fıfeladat összefüéseivel eymástól bármilyen messze fekvı hálózati pontok között számíthatunk távolsáot és azimutot A eocentrikus elhelyezés eyetlen hátránya hoy mivel az ilyen elhelyezéső ellipszoid a Föld eész eoidjához simul eyes helyeken akár mintey ±3 m-rel eltérhet tıle Ez pedi a földfelszínnek az ellipszoidra történı vetítésekor - pl a nay méretarányú térképezésben - kedvezıtlen torzulásokhoz vezethet A eocentrikus ellipszoidi koordinátákat jelenle lemebízhatóbb módon GS mérések útján tudjuk mehatározni A GS mestersées holdak pályája uyanis Kepler törvénye szerint a Föld tömeközéppontja körül alakul ki Ezért a GS rendszerben a mestersées holdak pályaadatait eocentrikus elhelyezéső koordináta-rendszerben adják me íy a GS távolsámérési eredményeibıl a WGS84 vonatkoztatási ellipszoidra vonatkozóan mindi eocentrikus ellipszoidi koordinátákat ill ellipszoidi maassáokat számítanak (ill számít maa a vevı) A eocentrikus ellipszoidi koordináták mehatározhatók az A kezdıpontban vézett földrajzi helymehatározással és eometriai szintezéssel is A földrajzi helymehatározásból az A pont Φ Λ szintfelületi koordinátáit a szintezésbıl a H eoid (tenerszint) feletti maassáát kapjuk me A eoidról az ellipszoidra történı átszámításhoz a eocentrikus füıvonalelhajlás összetevıit és a eoidundulációt a nehézséi rendellenesséekbıl számíthatjuk Velük a eocentrikus elhelyezés adatai * A füıvonal-elhajlás c fejezet képletei valamint a eoidunduláció képlete alapján az alábbiak: ξ Φ ϕ η eoc ( Λ λ) cosϕ N h H eoc ηeoc ϕ Φ ξ eoc λ Λ h H + N cosϕ A mestersées holdakra vézett mérésekbıl levezetett eocentrikus koordináták középhibája ± 5 m re tehetı Ha valamely pont helyzetét valamely viláhálózat (ITRF) vay Európában az eysées európai hálózat keretpontjaira (EUREF) támaszkodó mérésekkel vezetjük le * Emlékeztetünk arra hoy a eocentrikus füıvonal-elhajlások mehatározásáról a Geocentrikus füıvonalelhajlás és a Gravimetriai módszer a eoidunduláció mehatározásáról pedi A eoid pontonkénti mehatározása és A eoid mehatározása fizikai módszerrel c fejezetben volt szó

103 a mebízhatósá ennél akár két naysárenddel is nayobb lehet A ravimetriai módszer alkalmazásával kapott eocentrikus (abszolút) koordináták középhibája viszont mintey m naysárendő íy ez a módszer az aktuális pont környezetének ravimetriai felmértséétıl füetlenül is a mestersées holdak mejelenése óta inkább csak elvi jelentıséő Az utóbbi évtizedben a vilá számos orszáában íy Mayarorszáon is létrehozták az orszáos GS hálózatokat (Mayarorszáon az OGSH) A GS hálózati pontokban ismertek mind a WGS84 ellipszoidi eocentrikus mind a korábbi hayományos eodéziai alaphálózatok helyi ellipszoidi koordinátái A két rendszerben ismert ún közös vay azonos pontok alapján a két rendszer között a területi kiterjedéstıl füı pontossáal átszámítások véezhetık Vayis mefelelı szoftverrel a helyi ellipszoidi koordinátákból eocentrikus WGS84 ellipszoidi a eocentrikus WGS84 ellipszoidi koordinátákból pedi helyi ellipszoidi koordináták számíthatók Átszámítás vonatkoztatási ellipszoidok között Az eysées eodéziai viláhálózat kialakítására irányuló törekvés ellenére a jelenlei eodéziai yakorlat fıképpen helyi (önkényes vay simuló) elhelyezéső vonatkoztatási ellipszoidokat használ Ez meköveteli hoy az eyes helyi rendszerekben meadott φ λ h ellipszoidi koordinátákat és a eoidundulációkat ey másik vonatkoztatási ellipszoidra is át tudjunk számítani Gyakran elıfordul az is hoy uyanazon eodéziai alaphálózat pontjainak koordinátaszámításához bevezetett eodéziai dátumot késıbb más új dátumra kívánják felcserélni sıt ezzel ey idıben más mérető és alakú alapfelületet (pl újabb nemzetközi ellipszoidot) is be kívánnak vezetni E felsorolt feladatok összesséét yőjtınéven dátummódosításnak nevezzük A dátummódosítás történhet helyi elhelyezéső ellipszoidok vay helyi és eocentrikus elhelyezéső ellipszoidok között oda-vissza vonatkozásban A dátummódosítás nem más mint az alaphálózati pontok ellipszoid-középpontú térbeli derékszöő koordinátái közötti koordináta-transzformáció A helyi elhelyezéső ellipszoidok középpontja nem esik eybe a eocentrikus ellipszoidok középpontja eybeesik a Föld tömeközéppontjával Ha adottak az alaphálózati pontok ellipszoidi koordinátái és a eoidunduláció a réi rendszerben úy ezeket térbeli derékszöő koordinátákká kell átszámítani majd az átszámítás utáni új ellipszoidra vonatkozó derékszöő koordinátákról át kell térni az új ellipszoid koordinátáira és a eoidundulációira A térbeli derékszöő és az ellipszoidi koordináták közötti zárt összefüéseket az Összefüések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi (felületi) koordináták között c fejezetben vezettük le A különbözı ellipszoidokhoz tartozó derékszöő koordinátarendszerek tenelyei vay párhuzamosak eymással vay - általában kicsi néhány másodperc naysárendben - eltérnek a párhuzamostól A dátummódosítás különbözı célú lehetsées átszámítási módszerei közül az általánosan alkalmazható az analitikus fotorammetriából is ismert térbeli hasonlósái transzformációval a Vetülettan tantáryban már meismerkedtünk Az alapfelületek nemzetközisée A lobalizálódási folyamat Európában az Európai Unió létrejötte és fokozatos bıvülése az eyre korszerőbb helymehatározási módszerek ezen belül a mestersées holdak eodéziai célú mefiyelésének lehetısée a GS s nem utolsó sorban a nemzetközi eodéziai szervezetek (IUGG) ajánlásai az utóbbi évtizedekben eyre inkább elıtérbe helyezték a eodéziai alapfelületek nemzetközi jelleét

104 Az eddii mefontolásaink eyértelmővé tették hoy napjainkban a eodéziai alapfelületekkel a vonatkoztatási ellipszoidokkal szemben támasztott követelmények az alábbiakban foalmazhatók me: - az ellipszoid simuljon a lehetı lejobban az eész eoidhoz - lehetıle leyen eocentrikus földi ellipszoid (középpontja a Föld tömeközéppontjával kistenelye pedi a Föld forástenelyével esik eybe) - lehetıle minden (ill minél több) orszá uyanazt az ellipszoidot használja E követelmények közül lenehezebben a harmadik követelmény teljesíthetı a yakorlati mevalósításnak uyanis több lényei részben technikai-azdasái részben katonai akadálya van Az eyes orszáok már létrehozott eodéziai hálózataikon a hálózatra ráépült térképrendszeren nem szívesen változtatnak részben anyai de s nem utolsósorban érzelmi okokból sem Mayarorszáon is vita tárya volt a GS rendszerhez kapcsolódó WGS84 vonatkoztatási ellipszoid s a hozzá mint alapfelülethez kapcsolódó UTM vetület bevezetése (a Gauss-Krüer vetülető katonai toporáfiai térképeken pl már mintey éve az UTM fokhálózati vonalakat is feltüntetik) de az : méretarányú toporáfiai s az ennél nayobb méretarányú földmérési alaptérképek vetületi rendszereként memaradt a helyi elhelyezéső IUGG/967 vonatkoztatási ellipszoidra épült Eysées Orszáos Vetület Másrészt a eodéziai hálózatok mindi is fontos szerepet játszottak a katonai hadviselésben (tüzérsé interkontinentális rakéták) emiatt a szembenálló felek nem hozzák nyilvánossára eodéziai adataikat sıt tudatosan más alapfelületet választanak Iaz viszont az is hoy a technika fejlıdését a történelem során javarészt a katonai iények hozták életre s az elért eredmények csak lassan szivárotak át a polári célú használatba A mérési eredmények redukálása az ellipszoidra Az I rendő vízszintes alaphálózatban vérehajtott mérések eredményeit az ellipszoidra kell redukálnunk Ekkor az ellipszoid felületén lévı vonalak irányok szöek háromszöek vay eyéb eometriai alakzatok között fennálló összefüések ismeretében matematikaieometriai mőveletek véezhetık Ilyen mőveletek lehetnek: ellipszoidi (ömbi) háromszöek területek szöfölösle ellipszoidi koordináták számítása a hálózat kieyenlítése stb Induljunk ki abból hoy annak az ellipszoidnak amelynek felületére a földfelszíni mérési eredményeket redukálni kívánjuk méretei elhelyezése és tájékozása ismertek Matematikai szempontból nincs jelentısée annak hoy milyen mérető elhelyezéső és tájékozású a vonatkoztatási ellipszoidunk yakorlati szempontból viszont fontos hoy eltérései a valódi földalaktól minél kisebbek leyenek és az ellipszoid felülete közel párhuzamos leyen a szintfelületekkel (a eoiddal) Ha kicsik az eltérések lényeesen eyszerőbb a redukciós képletek levezetése könnyebb a yakorlati számítások vézése és a redukciók számításához szüksées bemenı adatoktól sem várunk el nay pontossáot A mérési eredmények vonatkoztatási ellipszoidra redukálásának két módszerét különböztetjük me: ) vetítési vay projektív módszer ) kifejlesztési vay transzlatív módszer Az ) esetben a vetítés a földfelszín és a redukciók között felírható matematikaila korrekt képletek seítséével történik: az alapvonalakat az ellipszoidi normális mentén vetítik az ellipszoidra az irányok füıvonal-elhajlás miatti redukcióit az ellipszoidi normálishoz viszonyítva számítják a maassái javítás alapja az irányzott pont ellipszoidi normálisa mentén vett távolsá stb 3

105 A ) esetben a mérési eredményeket a eoidra redukálják a redukciókat a földfelszín és a eoid eymáshoz viszonyított helyzetét mehatározó mennyiséek füvényében számítják Íy például az alapvonalak redukálásakor a tenerszint (vayis a eoid) feletti a füıvonalak mentén értelmezett maassáokat használják a mért szöeket semmilyen redukcióval nem látják el stb A eoidra redukált mennyiséeket mintey kiterítik kibontják (kifejlesztik) az ellipszoid felületére azaz úy tekintik azokat mintha azokat az ellipszoidra redukálták volna vayis a redukciók számításakor a eoid és az ellipszoid eltéréseit elhanyaolják Röviden a vetítési módszer a földfelszín és az ellipszoid közötti összefüések matematikaila sziorú alkalmazásán alapul amihez elızetesen pontosan ismerni kell a vonatkoztatási ellipszoid méreteit elhelyezését és tájékozását A kifejlesztési módszer matematikaila bár nem korrekt de az esetek túlnyomó többséében elfoadható redukciókhoz vezet A Föld felszínén mért ferde távolsáok redukálása A hayományos I rendő háromszöelési hálózatban ez a feladat a 4 m-es invár dróttal mért alapvonalak redukálását jelentette Ma már invár dróttal alapvonalat nem mérnek a hayományos hálózatok méretarányát a pontos elektronikus távmérıkkel ma már eyre inkább a GS vevıkkel mehatározott távolsáok biztosítják Utóbbi esetben ondot okoz hoy a GS-es helymehatározás mérési eredményeit a közös pontok alapján történı átszámítások lerontják (ld a Térbeli hasonlósái transzformáció c fejezetet) Természetesen már létezı hálózatok esetén az alapvonalakat nem mérik újra de a már az ellipszoid felületén kiszámított hálózatba ellenırzés céljából belemérhetnek Az alábbiakban ey földfelszínen mért távolsá redukálásának projektív módszerrel történı módját mutatjuk be feltételezve hoy a ferde távolsáot elektronikus távmérés esetén - meteorolóiai redukcióval módosítottuk és az esetlees külpontos távmérés eredményeit központosítottuk A α n H k ζ k H n a B A a b s l a dl ζ b b B fizikai földfelszín kvázieoid Vonatkoztatási ellipszoid Feladatunk a földfelszínen mért AB távolsá redukálása a vonatkoztatási ellipszoidra azaz az A B távolsá mehatározása A redukció szemléltetéséhez alakítsuk át A kvázieoid és a eoidunduláció c fejezet ábráját A redukció mehatározásához itt a H n normálmaassáot használjuk mejeyezve hoy teljesen hasonló okfejtés lenne iaz az ortométeres maassá esetére is azzal a különbséel hoy sziorúan véve az ortométeres maassáot a füıvonal mentén értelmeztük Ott a kvázieoid szerepét a eoid venné át Veyük az AB távolsá elemi hosszúsáú dl ( ab) szakaszát (tetszılees kis méret a klaszszikus invárdrótos hosszmérés esetén 4 m) Az ab elemi szakaszra vonatkozó keresett redukció az alábbi három összetevıbıl áll: redukálás a vízszintesre (az ab elemi szakasz vetülete a szintfelületen) a szintfelület és a vonatkoztatási ellipszoid nem párhuzamossáából fakadó redukció redukció a mért távolsá vonatkoztatási ellipszoid feletti maassáa miatt 4

106 θ a ν dl dl θ ds b b dh θ b b H n a ds h ζ a ds b b kvázieoid vonatkoztatási ellipszoid ρ A normális füıvonal normális füıvonal Az ábrák jelölései: dl az elemi ab távolsá hossza dl a dl elemi hossz vetülete az a ponton áthaladó szintfelületen ds a dl elemi hossz vetülete az ellipszoid normálmetszetével párhuzamos ab örbére a távolsá síkjában ν a dl elemi szakasz a pontbeli vízszintesével bezárt hajlásszöe (maassái szöe) θ relatív füıvonal-elhajlás a távolsá füılees síkjában dh az a és b pontok maassákülönbsée ds a dl elemi távolsá vetülete a vonatkoztatási ellipszoidon ρ A az a b normálmetszet örbületi suara n h H + ζ az a pont ellipszoidi maassáa (ld a Normálmaassá és maassái rendellenessé c fejezetet) A baloldali ábrából következik hoy l dl cosν és s dl θ dh d A baloldali ábra alapján felírható az alábbi aránypár: Vonjuk mindkét oldalt -bıl: ds ds Továbbá ds ds ds ds ρ A ρ + h h A ρ A ρ + h ds A d ds ds h ds ρ + h d ρ A + h h ρ A + ρ A A neatív kitevıjő binomiális sor másod- és maasabb rendő tajainak elhanyaolásával ds h h ds ds ds d ρ A ρ A ρ A ρ A h h A h s s 5

107 A ds dl θ dh kifejezést behelyettesítve és a harmadik taot kicsinysée miatt elhanyaolva kapjuk: h h dl θ dh ds dl dl ρ A ρ A vay h h ds dl dl dl θ dh interálással pedi ρ ρ A A s d s A h értékét helyettesítsük a pont AB távolsára vonatkozó h k átlaos maassáával Írhatjuk: hk hk dl θ dh ds dl dl ρ ρ Áttérve a vées mennyiséekre véül: A fenti képletben l l hk hk s l + l l ρ ρ A A h A A cosα ahol α az AB szakaszra vonatkozó maassái szö A füıvonal-elhajlás értékét a mért távolsá mentén állandónak tekintve és az interáljelet szummával helyettesítve: h θ dh θ dh AB ahol dh az elemi szakaszokra vonatkozó maassákülönbséek a h az A és B pontok ellipszoid feletti maassáainak illetve a mért távolsá mentén a ζ maassái rendellenessé értékét állandónak feltételezve - tenerszint feletti maassáainak különbsée Ha pl elıírjuk hoy a távolsái redukció relatív középhibája ne haladja me az értéket a n h H + ζ n értéke nem haladhatja me a 3 métert A képletben H a normálmaassá-különbsé ζ ζ ζ N ζ a eoidunduláció és a maassái rendellenessé különbsée az AB szakaszon (ld A kvázieoid és eoidunduláció c fejezetet) A Föld felszínén mért szöek redukálása A szöek redukálására eyrészt a mefiyelt külsı pont maassáa másrészt az ellipszoidi és a szintfelületi normális közötti eltérés miatt van szüksé A szakirodalomban az elsı redukciót j yel a másodikat j 3 mal szokás jelölni Létezik mé az ellipszoidi normálmetszetrıl a eodéziai vonalra való áttérés j vel jelölt hatása amelyet kicsisée miatt általában elhanyaolnak ) A j redukcióra azért van szüksé mert a mefiyelt pont nem az ellipszoidon hanem az ellipszoid felett h maassában helyezkedik el Az alábbi ábrán az A pontból irányozzuk B-t B ellipszoidi maassáa h a és b az A és B pontok ellipszoidi mefelelıi Ha a B pont az ellipszoidon a b pontban lenne (h ) úy az ab irány α val azimutja a an a meridián és AB 6

108 az a b és n a pontokon átmenı sík közbezárt szöe Mivel az irányzott B pont nincs az ellipszoidon hanem h maassában az ellipszoid felett ezért a B pont irányzásakor az iránysík ABb n a helyzetet folalja el Az AB irány mért α mért azimutja ekkor az Aan a meridiánsík és az AaBb n a sík közbezárt szöe A j α A a α val α mért ) A földfelszínen mért vízszintes szö olyan lapszö amelynek éle a teodolit állótenelye azaz a füıvonal A földfelszínen mért szö ellipszoidi mefelelıje olyan lapszö amelynek éle az ellipszoidi normális A redukcióra tehát a füıvonal és az ellipszoidi normális által bezárt szö azaz a füıvonal-elhajlás miatt van szüksé A redukció naysáa: B h b b j 3 η cosα ξ sinα tan Z A képletben Z a zenitszö A két redukció értéke az oldalhosszak füvényében a szömásodperc tizedeiben fejezhetı ki ami nem éri el a felsırendő szömérések pontossáát Az I rendő háromszöelési hálózatokban azonban többnyire méis fiyelembe vették szabályos jelleük miatt uyanis hatásuk különösen ey rosszul meválasztott mérető vonatkoztatási ellipszoid esetén kedvezıtlenül összeadódhat A csillaászati adatok redukálása A földrajzi helymehatározás (csillaászati méréseink) eredményei (szintfelületi szélessé hosszúsá) az ellipszoid felett bizonyos maassában nem az ellipszoid felületi normálisaira hanem a terepi mérési ponton áthaladó szintfelület normálisaira vonatkoznak E kérdés meoldásával kapcsolatban összefolalóan a következı meállapításokat tehetjük: ) A füıvonal mint tudjuk kettıs csavarodású térörbe az ellipszoidra redukáláskor viszont a normál nehézséi erıtérnek a szabályos tömeeloszlás miatt a meridián síkjába esı füıvonalának örbületét kell ismernünk ) Az alábbi eltéréseket yakorlatila elhanyaolhatjuk: R O n a n b val α mért kicsi szö a mefiyelt külsı pont maassáa miatti redukció amely a tényleesen irányzott B ponton és annak b ellipszoidi vetületén átmenı síkok eltérésébıl adódik Az ábra alapján a j értéke levezethetı: h j ρ cos e ϕ sin α A fenti képletben M k α mért α M k a közepes meridián irányú örbületi suár ϕ - a mérési terület közepes földrajzi szélessée e az elsı numerikus excentricitás 7

109 - a tereppont füıvonalának az ellipszoid feletti hossza és ellipszoidi maassáa között - a füıvonal érintıjének és az ellipszoid felületi normálisának iránya között - a h maassában lévı terepponton átmenı ellipszoidi normális iránya és az uyanezen a ponton átmenı füıvonal érintıjének iránya között Emlékezzünk rá hoy ezekkel az elhanyaolásokkal már a normálmaassá és a eoidunduláció foalmainak ismertetésekor is éltünk Eyedül az ellipszoidi szélessének a h maassá füvényében bekövetkezı κ változását kell fiyelembe venni a füıvonal ξ meridián irányú összetevıjének számításakor A κ változásra a Földfelszíni füıvonalelhajlás c fejezetben a 4 κ 7 h sin ϕ összefüést írtuk fel Az ottani meállapítás szerint a redukciót -ben kapjuk ha a h-t méterben írjuk be Uyancsak az említett fejezet alapján az íy módosított meridián irányú füıvonal-elhajlás: ξ Φ ϕ + κ ( ) Az I rendő vízszintes alaphálózat számítása A hayományos hálózatok jelentıs része (íy a mayarorszái I rendő hálózat is) szöméréses háromszöelési hálózat (léteznek trilaterációs azaz távolsáméréses háromszöelési és hosszúoldalú sokszöeléssel vay a különbözı módszerek kombinálásával létrehozott hálózatok is) A hálózatokat a számítástechnika akkori (Mayarorszáon az 95-es évek) fejlettséi szintjét fiyelembe véve a feltételes mérések módszere (korreláta-kieyenlítés) szerint eyenlítették ki Az alábbiakban a teljessé iénye nélkül az I rendő szöméréses háromszöelési hálózatban elıforduló feltételi eyenleteket folaljuk össze Mivel az I rendő hálózatokat az ellipszoidon számították ill eyenlítették ki a mért adatok redukálása után de mé a hálózat kieyenlítése elıtt a következı feladatokat kellett elvéezni: - A szöfölösle számítása a teljes hálózat minden háromszöére a Gömbi szöfölösle c fejezetben levezetett képlet alapján Erre eyrészt a háromszözárások másrészt az ellipszoidi oldalhosszak számítása miatt volt szüksé Az eyes I rendő háromszöek mért szöeit az adott háromszöre számított szöfölösle eyharmadával változtatták me (ld A háromszöek ömbi oldalhosszainak számítása c fejezetet) - Ki kellett számítani minden eyes I rendő háromszöoldal hosszát A számításnál fiyelembe kellett venni hoy a kezdıoldal (redukálás után) az ellipszoid ívhosszának tekintendı Az oldalhosszak számításánál a mért szöeknek a szöfölösleek harmadával csökkentett értékeit használták - Ki kellett választani a hálózat ún csillaászati kezdıpontját s a hálózatot A vonatkoztatási ellipszoid elhelyezése és tájékozása c fejezetben leírt valamelyik módszerrel el kellett helyezni és tájékozni A vázolt feladatok elvézése után rendelkezésre állt: - az összes mért szönek a szöfölösle harmadával módosított értéke - valamennyi háromszöoldal ellipszoidi hossza - a háromszöhálózat kitüntetett pontjaiban a ϕ λ ellipszoidi koordináták és ey szomszédos pontra menı irány α ellipszoidi azimutja 8

110 A feltételes mérések módszere szerinti kieyenlítés feltételi eyenletei δ AB A d AB B E a) láncolat F 8 9 C D d CD δ CD d AB δ AB B A 8 F E D δ 4 CD d CD G C b) centrális rendszer A fenti ábrán az I rendő háromszöelési hálózatok két fı alakzatát a láncolatot és a centrális rendszert látjuk Az ábrán a csillaászati (az ún Laplace-) pontokat belsejükben kisebb kitöltött kört tartalmazó körrel a többi pontot üres kitöltetlen körrel jelöltük A csillaászati pontokat összekötı vonalakat vastaon a többi vonalat vékonyan rajzoltuk Az A B C és D pontokon ismertek mind a szintfelületi mind az ellipszoidi koordináták ill a szomszédos csillaászati pontok közötti irányok szintfelületi és ellipszoidi azimutjai Az ellipszoidi koordinátáknak a vetületi síkban a vetületi koordináták az α azimutoknak a δ irányszöek felelnek me A d AB és d CD (a réi hálózatoknál alapvonal-fejlesztı hálózatokból mehatározott) ismert a vetületre redukált alapvonalak Az arab számokkal jelölt szöek a háromszöenkénti szöfölösle harmadával redukált szöei Feltételi eyenletek az I rendő szöméréses háromszöelési hálózatban: ) Háromszöfeltételi eyenlet: mivel minden háromszöben az eyik szö mérése fölös mérés azok összee a mérési hibák miatt nem lesz 8 íy pld az a) vay b) ábrákon lévı o ABE háromszöben az és 3 szöekre a feltételi eyenlet az alábbi o ) Állomásfeltételi eyenlet: az ábra jobboldali része szerint a centrális rendszer centrumára az alábbi feltételi eyenlet írható fel: ) Oldalfeltételi eyenlet: ey tetszılees háromszöoldal hossza ey másik szintén tetszılees oldalból kiindulva a szinusz-tétel sorozatos felírásával két úton is mehatározható Az ábra jobboldali részén ezt nyilakkal szemléltettük Az oldalfeltétel a két úton mehatározott érték eyenlıséét fejezi ki Az oldalfeltételek értelemszerően centrális rendszerben fordulnak elı A fenti ábra centrális rendszerében a sin sin 5 sin 7 sin d CE d AE és sin sin 6 sin 8 sin összefüések összevetésébıl az oldalfeltételi eyenlet: d CE o d AE sin4 sin8 sin3 sin7 9

111 sinsin 5 sin 7 sin sin3sin7 sin sin 6 sin 8 sin sin4 sin8 Irányszö-feltételi eyenlet * : a hálózat adott azimutjából számított irányszöbıl kiindulva a mért szöek felhasználásával ey másik adott azimutból kapott irányszö számítható Ez a feltétel a számított és az adott irányszöek eyenlıséét fejezi ki Az ábra láncolatában az δ + o ± 8 o ± δ AB CD centrális rendszerében az o o δ AB + ± ± 8 + δ CD irányszö-feltétel írható fel 5) Alapvonalfeltételi eyenlet: ey adott alapvonalból kiindulva a szömérési eredmények felhasználásával a szinusz tétel folyamatos alkalmazásával ey másik adott alapvonal hossza számítható Az alapvonal feltétel a másik adott alapvonal számított és adott hosszának az eyenlıséét fejezi ki A fenti ábra láncolatára az alapvonal feltétel a centrális rendszerére a alakban írható fel 6) Laplace-feltételi eyenlet Az sinsin 5 sin 7 sin d CD d AB sin 3 sin 6 sin 9 sin d CD d AB sin sin8 sin4 sin sin 3 sin7 sin3sin ( α A ) ( λ Λ) sinϕ alakú eyenletek a Laplace-pontok közötti irányokra írhatók fel Abban az esetben ha a hálózatban (vay hálózatrészen) adott három nem szomszédos pont az ábrán pld az A B és C pontok mejelennek az ún koordinátafeltételi eyenletek A feltételi eyenletek lényee hoy pld a vázolt esetben az adott C pont ellipszoidi koordinátái mekaphatók ha számítjuk a mért szöekbıl az irányszöeket és a szinusz-tételekbıl sorozatban a távolsáokat és az I eodéziai fıfeladat szerint számítható koordinátakülönbséeket pld az A pont koordinátáihoz hozzáadjuk A lekisebb néyzetek elve szerinti kieyenlítés után mekapjuk a mért szöek mérési javításait Ekkor az összes fentebb vázolt feltételnek teljesülnie kell A szöméréses háromszöelési hálózat vélees koordinátáit a szöméréses elımetszéssel számítják A hálózat feltételes mérések szerinti kieyenlítése után az I rendő hálózati pontok vélees koordinátáit az I eodéziai fıfeladat eymás utáni alkalmazásával kapjuk A szöméréses háromszöelési hálózat a különbözı alakzatok összessée bonyolult rendszer Az oldalfeltételeknél a kiinduló és a kapott oldalakat sokféle módon lehet kiválasztani az alapvonal feltételek esetén a szomszédos háromszöek útjának meválasztása többféleképpen történhet Hátrány hoy általános esetben ien körülményes biztosítani a különbözı típusú feltételi eyenletek füetlenséét * A vetületi síkban a vetületi meridiánkonverencia ismeretében

112 Maassámérés Maassái mérıszámok A otenciálkülönbsé és ortométeres maassá a Normálmaassá és maassái rendellenessé valamint A kvázieoid és a eoidunduláció c fejezetekben már meismerkedtünk a eopotenciális érték az ortométeres maassá a normálmaassá a dinamikai maassá és az ellipszoidi maassá foalmaival Ezeket itt nem kívánjuk (nem is kell) újradefiniálni de mivel a GS-technika szerepe a maassámehatározásban már érezhetı s a közeljövıben mé inkább növekedni fo ehhez kapcsolódóan e rövid fejezetben külön is felhívjuk a fiyelmet arra hoy a mefelelı maassái mérıszám alkalmazása ondos körültekintést iényel * Folaljuk össze és eészítsük ki az elsı bekezdésben felsorolt fejezetekben definiált a nehézséi erıtérben érvényes - maassáfoalmakat Valamely földfelszíni pont eopotenciális értéke a ponton átmenı szintfelületnek valamely kezdıpont (a mareoráf) és a pont közötti (vées) maassákülönbsé: K W W dm i mi Ennek mefelelıen valamely szintezési vonal két vépontján (pl és B) átmenı szintfelület potenciálkülönbsée az alábbi kifejezéssel adható me: B B K m A eopotenciális érték ill a eopotenciális értékek fenti különbséei nem metrikus hanem fizikai értelemben definiált maassáok ill maassákülönbséek Valamely földfelszíni pont ortométeres maassáa a ponton átmenı szintfelület és a maassái alapszintfelület (eoid) távolsáa a pont füıvonalán mérve a valódi nehézséi erıtérben: K H i mi k ahol mint láttuk k a nehézséi erı átlaos értéke a eoid a földfelszíni pont között a pont füıvonalán mérve A k átlaos érték ismeretlen E hiány csak bizonyos feltételezések mellett pótolható valamilyen modell alapján eyik szokásos meoldás a nehézséi erıtér oincaré-rey-féle modelljének alkalmazása Az ortométeres maassá hosszúsá jelleő maassái mérıszám hátránya az is hoy az azonos ortométeres maassáú pontok általában nincsenek azonos szintfelületen E hátrányt úy próbálják kiküszöbölni hoy a pont eopotenciális értékét nem a nehézséi erı k átlaos értékével hanem valamely nemzetközi szinten elfoadott normál nehézséi erı képletbıl számított rözített normál nehézséi erı értékkel osztják el Íy a eopotenciális * Ádám J Tokos T Tóth Gy: Maassái mérıszámok és azok kapcsolata Mayarorszáon c tanulmánya nyomán ** A otenciálkülönbsé és ortométeres maassá c fejezethez képest itt az ottani W W helyett W W különbséet írtunk azaz az íy definiált eopotenciális érték elıjele pozitív k i i **

113 értékkel arányos naysáú de hosszúsá jeleő maassái mérıszámot kapunk Ilyen a Normál maassá és maassái rendellenessé c fejezetben a ϕ 45 ellipszoidi szélessére o számított dinamikai maassá: H d γ 45 o K γ 45 o i mi A normálmaassá a földfelszíni pont eoidhoz viszonyított W W valódi potenciálkülönbséének a normál nehézséi erıtérben mefelelı N füılees távolsá a szintellipszoid felett: n W W H γ k WW UW WW H N h ζ H n telluroid fizikai földfelszín eoid UU W ζ ζ N ζ kvázieoid szintellipszoid A normálmaassá az UU W potenciálértékő szintellipszoid Q és a telluroid N pontja közötti távolsá a normál füıvonal mentén mérve A normálmaassá a mérési eredményekbıl feltevésmentesen tetszılees pontossáal számítható Az ortométeres maassától való eltérése annyi mint a eoid eltérése a kvázieoidtól Az ábrán összefolaljuk az eddii foalmakat A csillaászati adatok redukálása c fejezet értelmében az áttekinthetıbb ábrázolás kedvéért elhanyaoltuk a tereppont füıvonalának az ellipszoid feletti hossza és ellipszoidi maassáa közötti a füıvonal érintıjének és az ellipszoid felületi normálisának irányába esı tömevonzási erı közötti és a h maassában lévı terepponton átmenı ellipszoidi normális iránya és az uyanezen a ponton átmenı füıvonal közötti eltéréseket Ezek az elhanyaolások nem befolyásolják meállapításainkat A GS-sel vézett helymehatározás eredményei a földfelszíni pontok WGS84 ellipszoidi eocentrikus térbeli derékszöő koordinátái ill opcionálisan a zárt képletekkel az elıbbiekbıl számítható WGS84 ellipszoidi szélessée hosszúsáa és ellipszoidi maassáa Ez a (fiktív) maassái rendszer csak eometriai értelemben adott és nem kapcsolódik a nehézséi erıtérhez ill annak idıbeli változásaihoz Az ellipszoidi maassáoknak a yakorló szakember számára szüksées eodéziai maassái értékekké történı átszámítása alapvetı fontossáú mert a yakorló eodéta az úttervezı mérnök stb csak a tenerszint (eoid) feletti maassáokkal tud valamit kezdeni

114 A GS-sel mehatározott eocentrikus ellipszoid feletti maassáok és a nehézséi erıtérben érvényes feljebb felsorolt maassáfoalmak közötti alábbi összefüésekkel uyancsak találkoztunk már a felsorolt fejezetekben: h N + H H h N h + H n ζ h ζ H n A fenti képletekben N a eoidunduláció ζ a maassái rendellenessé (a kvázieoid undulációja) Hasonlóan a maassákülönbséekre H h N és H n h ζ írhatók Mivel az ellipszoid feletti h maassáok ill a h ellipszoid feletti maassákülönbséeket a GS mérési eredmények feldolozásából nay pontossáal mehatározhatjuk a nehézséi erıtérben érvényes és a yakorlat számára használható maassákülönbséek számításához az N eoidundulációk ill a N eoidunduláció-különbséek vay a ζ maassái rendellenesséek ill a ζ maassái rendellenessé-különbséek szüksées pontossáú ismeretére van szüksé A felírt összefüésekbıl következik hoy az ortométeres és normálmaassá között fennáll a h H + N H összefüés A Kvázieoid és eoidunduláció fejezetben a kvázieoid ζ eoidtól való eltérésére pedi az alábbi képletet foalmaztuk me: n + ζ γ n k k n ζ ζ ζ N ζ H H H Kimutatták hoy a fenti képlet számlálója a ( γ ) k f B földfelszíni Bouuer-féle k k rendellenesséet tartalmazza * Ekkor a k helyett a γ k átlaos normál nehézséi erıt helyettesítve írhatjuk: N különb- f A képletben ha a séet méterben kapjuk me Az ( N ζ ) B N γ f ζ n B n () H H k H -t alban és a H n -t km eysében adjuk me akkor az ( ζ ) -re meadott összefüésekkel számíthatók a normál- és az ortométeres maassáok közötti különbséek s ezzel adott az átmenet a kétfajta maassá ill a eoidunduláció és a maassái rendellenessé között A témára az Eysées Orszáos Maassái Alaphálózat (EOMA) táryalásakor mé röviden visszatérünk * Heiskanen WA Moritz H: hysical Geodesy Freeman and Co San Francisco 967 3

115 Maassái alaphálózatok S valós vilától a térkép síkjái c fejezetben a késıbbi síkban történı térképi ábrázolás lehetıvé tétele véett a földfelszíni pontok térben elfolalt helyét két részre bontottuk: - vízszintes (D) modellre valamint - maassái (D) modellre Az I rendő vízszintes alaphálózatok a vízszintes modellt reprezentálják a Föld felszínén E fejezetben a maassái modellt reprezentáló maassái hálózatokról lesz szó A vízszintes hálózatokhoz hasonlóan a maassái hálózatoknál is szüksé van olyan keretre amely orszáos kiterjedésben biztosítja a maassáok összhanját és a yakorlat számára is mehatározott sőrősében szoláltatja a maassái értékeket E nélkül elképzelhetetlen a domborzatot is ábrázoló orszáos térképrendszer kialakítása De nayobb kiterjedéső és maassái információkat iénylı mőszaki proramok (úttervezés -építés árvízvédelem stb) sem véezhetık a maassái információk ismerete nélkül A maassái hálózatok mindmái lepontosabb mérési módszere a eometriai szintezés A szintezéssel szemben a GS technika jelent komoly kihívást de az íy kapott mérési eredményekbıl levezethetı tenerszint (eoid) feletti maassáok mérési mebízhatósáa nem éri el a eometriai szintezését A eometriai szintezéssel és a GS technikával nyerhetı maassái mérıszámok kapcsolatáról az elızı fejezetben adtunk összefolalást A jól kialakított maassái alaphálózatok számos lényees tulajdonsában eltérnek a vízszintes hálózatoktól Ilyenek: - Törekedni kell arra hoy az alappontok közötti maassákülönbsé minél kisebb leyen Ezért a nay maassáú helyeket (dombtetı heycsúcs) kerülni kell - Az alappontok szintezési vonalak mentén helyezkednek el ezért eyenletes területi eloszlásukat nehéz biztosítani Két szomszédos maassái alappont közé esı vonalat szintezési vonalnak nevezzük A szintezési vonalakat úy kell vezetni hoy azok mefelelıen meválasztott közlekedési útvonalak mentén helyezkedjenek el Ha a szintezési vonal túl hosszú azt szintezési szakaszokra osztjuk A szintezési szakaszok hosszát úy választják me hoy oda-vissza szintezésüket ey nap alatt el tudják véezni A szintezési szakasz meenedett hossza a felsırendő (szabatos) szintezésnél mintey - km A m d I 3 m3 d 3 7 B m 4 d 4 4 C m d II m 5 d 5 E 5 m 6 d 6 6 D III m 7 d 7 Több szintezési vonal összekapcsolásával a (zárt) szintezési polionokhoz jutunk A szintezési polionok összessée alkotja a maassái (szintezési) hálózatot Kettınél több szintezési vonal találkozási pontja a szintezési csomópont Tetszılees számú szintezési polionból álló szintezési hálózat sziorúan kieyenlíthetı mind a közvetett - mind pedi a feltételes mérések szerinti kieyenlítés módszerével A fenti ábra alapján az alábbiakban a feltételes mérések szerinti kieyenlítés lényeét folaljuk össze 4

116 A feltételi eyenletek itt azt fejezik ki hoy az eyes szintezési vonalakra vonatkozó maassákülönbséek összee zárt polionban zérus (a szintezési polion zárt ha ey tetszılees maassái alappontból kiinduló eymás után futó szintezési vonalak közül az utolsó a kiindulási alappontba fut be) A zérustól való eltérések a polion záróhibák a feltételi eyenletek ellentmondásai A maassákülönbséek elıjeleinek eyértelmősée véett rözítsük nyilakkal a körüljárási irányokat! Római számokkal a polionokat arab számokkal a szintezési vonalakat m j -vel a maassákülönbséeket d j -vel a j vonal km-ben vett hosszát jelöljük (j 7) Az ábra szintezési hálózatában a feltételi eyenletek az alábbiak: m m + m + m m m + m + m m + m Ha a szintezési hálózatban lealább pont (az ábrán az A) maassáa adott a többi B C D és E pont maassáát a kieyenlített mérési eredmények értelemszerő hozzáadásával kapjuk A maassáok számításakor természetesen fiyelembe kell venni hoy ortométeres normál vay dinamikai maassái rendszerben dolozunk Mejeyezzük hoy a szintezési hálózatok kieyenlítésénél az eyes szintezési vonalakra vonatkozó maassákülönbsé mérési eredményeket a távolsáal fordított arányban súlyozzák ami azt fejezi ki hoy a nayobb távolsáokon kapott maassákülönbséek súlya kisebb és fordítva: c p j d j 7 6 A képletben c célszerően de tetszıleesen meválasztott konstans érték 5

117 Gravimetriai hálózatok A ravimetriai hálózatok a ravimetriai munkák összhanját és mebízhatósáát biztosítják Korszerő ravimetriai hálózatokat csak korszerő raviméterekkel vézett abszolút - mérésekre támaszkodva lehet létesíteni E hálózatokat azután relatív -mérésekkel sőrítik Sziorú követelmény a ravimetriai értékek orszáos de táabb értelemben kontinentális sıt az eész Földre kiterjedı összhanjának biztosítása Kühnen és Furtwänler között vézett mérései alapján 99-ben vezették be a otsdami Gravimetriai Rendszert Késıbb a mejelent abszolút -mérı mőszerek seítséével meállapították hoy a potsdami abszolút -érték 4 µal-lal nayobb a tényleesnél Az IUGG moszkvai ülésén ezért bevezették az IGSN7 hálózatot (International Gravity Standartisation Net-7) Ez a hálózat 854 pontot tartalmazott amelyek közül 5 ponton véeztek abszolút -mérést Mé késıbb a Nemzetközi Geodéziai Szövetsé (IAG) ey 36 pontból álló lobális abszolút -hálózatot (IAGBN International Absolut Gravity Bassistation Network) létesített A részletes földi ravimetriai felméréseket eyre nayobb részét váltják ki a korszerő őrtechnikákkal Ezek között a ravimetriai hálózatok tökéletesítésében az őrravimetria (ld A eoid mehatározása szatellita-eodéziai módszerekkel c fejezetet) jelenthet komoly áttörést Mayarorszá ravimetriai alaphálózata Az elsı orszáos ravimetriai hálózatot a MÁELGI (Mayar Állami Eötvös Loránd Geofizikai Intézet) 95-ben hozta létre ruós raviméterrel vézett mérések alapján ± mal mebízhatósáal 6 ponton (MGH-5) Erre a hálózatra támaszkodva készült el a II rendő ravimetriai hálózat 493 ponttal Ez a hálózat szolált alapul az orszá részletes ravimetriai felméréséhez A 6-as években az ELGI az akkor korszerő Sharpe és Worden raviméterekkel is rendelkezett A kelet-európai orszáok ez irányú eyüttmőködését Ju D Boulaner fota össze Az eyüttmőködés keretében több proramot hajtottak vére Nemzetközi Gravitációs Hitelesítı olion (NGH) létesítése Ez a - relatív inákkal vérehajtott proram ± ( 3 ) ) mal relatív mebízhatósáú hálózatot eredményezett Kiinduló pontja a potsdami S- pillér volt Ekkor létesült Feriheyen az az új ravimetriai fıalappont amelynek a potsdami pillérhez viszonyított relatív mebízhatósáa ± 3 mal lett A raviméterek orszáon belüli hitelesítésére külön Nemzeti Gravimetriai Hitelesítı oliont hoztak létre A pontok relatív mebízhatósáa ± mal volt Az új I rendő ravimetriai hálózatot Sharpe CG raviméterrel mérték E hálózat kiinduló pontjai a Ferihey-pont és az idıközben Szeeden létesített hitelesítı pont voltak A 9 pontból álló hálózat mebízhatósáa ± ( 4) ) értékkel volt jellemezhetı Az 974-ben mekezdett mérések alapján ey 36 pontból álló II rendő hálózatot létesítettek A kelet-európai orszáok eodéziai szervezetei által kezdeményezett munkák eredményeként hazánkban elıször öt ponton véeztek abszolút -méréseket: Siklós (978) Budapest Szerencs Kısze (98) Gyula (988) A vézett munkálatok eredményeként jött létre az új MGH-8 elnevezéső felsırendő ravimetriai hálózat Az alábbi két ábra sorban az MGH-8 I rendő és a teljes felsırendő hálózatot mutatja be 6

118 7

119 A felsırendő hálózat kieyenlítését 99-re fejezték be A kieyenlítésbıl az eysésúlyú mérés középhibájára µ ±6 mal adódott a pontok -értékének mebízhatósáa pedi közé esett µ ± ( 9) µ al A rendszerváltás után lehetıvé vált a mayar ravimetriai hálózat összekapcsolása az Eysées Európai Gravimetriai Hálózattal (UEGN) A mérések során lehetısé nyílt több ien korszerő abszolút mőszer íy a YILA6-6 és az AIS FG5 mőszerek használatára is Ez tette lehetıvé az MGH- ravimetriai hálózat létrehozását Az alábbi ábrán az UEGN hálózat mayarorszái részét mutatjuk be 8

120 Mayarorszá felsırendő alaphálózatai EOVA Eysées Orszáos Vízszintes Alaphálózat A címben folalt elnevezés kapcsolódik az EOV (Eysées Orszáos Vetület) elnevezéshez 976-tól az EOV bevezetésétıl kezdve használják Az elnevezés azt jelenti hoy az alapponthálózat vetületi rendszere az EOV s minden új pontot ebben a vetületi rendszerben kell mehatározni A GS-sel mehatározott pontokat valamint - ma már ritkábban - a réebbi (sztereorafikus ferdetenelyő hener) vetületi rendszerekben ismert pontokat az EOVre kell átszámítani Az EOVA a felsırendő (elsı- másod- és harmadrendő) vízszintes hálózati alappontok valamint a hayományos és a GS módszerrel létesített ill a kevésbé mebízható felsırendő pontokból neyedrendő pontokká átminısített neyedrendő alappontok rendszere Az EOVA-ba illeszkednek bele a nem orszáos alappontokként nyilvántartott ötödrendő valamint a részletmérés és a térképezés feladatait közvetlenül mealapozó felmérési alappontok Mayarorszá jelenlei felsırendő hálózatát réi 945 elıtti felsırendő alappontok felhasználásával a második viláháború után alakították ki Általánosan kialakult szokás szerint - a hálózat eyüttes kieyenlítését mekönnyítendı - elıször az orszá határai mentén alakítottak ki ey átlaosan 5-3 km oldalhosszúsáú amennyire lehet eyenlı oldalú háromszöekbıl álló keretláncolatot (koszorút) amelyet a Duna-Tisza közén ey ún merevítı láncolattal kötöttek össze (ábra) Ez Mayarorszá I rendő alapponthálózata Laplace pontok Alapvonalak Fejlesztett háromszöoldalak Az elsırendő alappontok többséét heycsúcsokon helyezték el a szomszédos pontok jó öszszelátása céljából A méréseket nem a földi pontjelrıl hanem az annak füıleesében elhelyezett mőszerasztalról véezték amelyet különlees építmény az állványos úla tartott mereven E úlák biztosították eyben a pont távolról való irányozhatósáát is A szöméréseket a Wild T3 felsırendő teodolitokkal véezték 9

121 A hálózat méretarányának mehatározására 6 db az átlaos háromszöoldal hosszánál jóval rövidebb (a yakorlatban is alkalmazható elektronikus távolsámérés akkor mé nem létezett) alapvonalat mértek amelyekbıl ey különlees háromszöelési alakzat az alapvonalfejlesztı hálózat seítséével hozták létre az ún fejlesztett háromszöoldalakat Ha a feltétlenül szüksées ey ismert oldalnál több van ez lehetıvé teszi az ellenırzést és a hálózat szöeinek sziorú kieyenlítését C A D B Q A baloldali ábrán az A és B pontok az alapvonal vépontjai az AB az alapvonal és Q a Laplace pontok Q az elsırendő háromszöelési hálózat fejlesztett oldala A C és D pontok az elsırendő hálózat pontjai a C QC D és QD oldalak az elsırendő hálózat oldalai Az AB alapvonalat mérték ezután pusztán szömérések alapján számították a CD oldalt (ez nem elsırendő háromszöoldal!) majd a Q fejlesztett háromszöoldalt Tekintettel arra hoy itt ey viszonyla rövid mért oldalból indulunk ki a kellemetlen hibaterjedés miatt mind az alapvonalat mind pedi a szöeket szélsı pontossáal kellett mehatározni Ha a fejlesztett háromszöoldalakat tájékozzuk rájuk "fel lehet főzni" az eész orszá térképrendszerének alapját képezı alapponthálózatot A fejlesztett háromszöoldalak tájékozásához az összesen 4 Laplace pontban mehatározták a szintfelületi szélesséet és hosszúsáot valamint a 6 fejlesztett háromszöoldal szintfelületi azimutját A vetületi koordinátarendszerre való áttérésnél fiyelembe kellett venni a vetületi redukciókat Az elsırendő hálózatot szöméréses háromszöeléssel határozták me a minden kombinációban vézett szömérés ey változatával az ún Schreiber-féle szöméréssel Mivel a mért szöek súlyát a p n i összefüéssel számították azok a mért irányok n számával eyenesen arányosak s alappontonként a különbözı számú irányok miatt különbözıek voltak Schreiber e problémán úy seített hoy a súlyokat választotta konstansnak (p4) s a mérési ismétlések i számát csökkentette ill növelte az 4 i n összefüésnek mefelelıen Az eyenlı súlyokkal a kieyenlítés lényeesen eyszerőbb volt Az elsırendő pontok koordinátáit a kieyenlített szöértékek birtokában pontról pontra számították A másodrendő vízszintes alapponthálózat pontjait az elsırendő keret- és merevítı láncolat háromszöeinek súlypontja környezetében jelölték ki úy hoy az összes szomszédos elsırendő alapponttal az összelátás biztosított leyen Az íy kialakított háromszöek átlaos oldalhoszsza 5 km A másodrendő hálózatban az irányméréses háromszöelés módszerét alkalmazták az iránymérést pontonként 8-8 fordulóban véezték Az elsırendő hálózat oldalaira tájékozó irányokat mértek A harmadrendő vízszintes alapponthálózat pontjait az elsı- és másodrendő hálózatból kialakuló háromszöek súlypontja körül jelölték ki úy hoy azok átlaos távolsáa 7-8 km leyen A hálózatot az irányméréses háromszöelés módszerével mérték 4-4 fordulóban A

122 másod- és harmadrendő hálózatban is elsısorban a Wild T3 felsırendő teodolittal mértek a hálózatok a közvetett mérések módszere szerint számították A harmadrendő pontokat tartalmazó háromszöeken belül azok súlypontja közelében ún neyedrendő fıpontokat is mehatároztak A II és III rendő hálózatokat az I rendő hálózatokkal ellentétben - nem az ellipszoidon hanem a vetületi síkon számították Az orszá belsejében az üresen maradt részeken a felsı rendő hálózatot nem a fent leírt módon létesítették Azért hoy a sík területeken az állványos úlák ien maas építési költséét metakarítsák e területeken 95 és 96 között elıször ey harmadrendő ún kitöltı hálózatot létesítettek Ien ondos mérés és számítás után e hálózat pontjaiból fiktív elsırendő (ún domináns) pontokat hoztak létre A domináns pontokból létrehozott hálózatot úy eyenlítették ki mintha elsırendő hálózat lett volna A kitöltı hálózat területén értelemszerően másodrendő hálózatot sem létesítettek Az orszá most már eész területét lefedı felsırendő hálózatban homoenitási problémák merültek fel amelyek miatt a harmadrendő hálózatot a késıbbiekben már korszerőbb mérési és számítási módszerekkel korszerősítették A felsırendő pontoktól kb -5 m távolsára lehetıle eymásra merılees irányban két ún iránypontot helyeztek el azzal a céllal hoy a felsırendő pontokhoz sokszöeléssel csatlakozni lehessen akkor is ha eyéb tájékozó irány nem áll rendelkezésre EOMA Eysées Orszáos Maassái Alaphálózat Mayarorszá maassái alapponthálózatának 979-ben meindult kialakításakor eyrészt tudományos szempont a nemzetközi kéremozás-vizsálati eyüttmőködés játszott szerepet másrészt pedi az hoy a nemzetazdasá különbözı területein folyó térképezési és építési munkák során mefelelı mennyiséő a korábbiaknál nayobb mebízhatósáú maassái adatra volt szüksé AZ EOMA létesítésével kapcsolatos elıírásokat a "Szabályzat az eysées orszáos maassái alapponthálózat létesítési munkáiról" * folalta össze Az EOMA alapszintfelülete a balti középtenerszint Ez váltotta fel az ún nadapi (adriai) középtenerszintet Utóbbit úy értelmezték hoy az átmey a Fejér meyei Nadap maassái fıalappont füıleesének az Adriai tener szintje felett mé a I században mehatározott m-re lévı pontján A balti és a nadapi középtenerszint feletti abszolút maassáok között az alábbi összefüés érvényes: A képletben H B a balti H H 6747 m B A H A a nadapi középtenerszint feletti maassá (ábra) Idıközben a Nadap ısjey mellett a hálózat kiinduló pontjaként új alappontot határoztak me (Nadap II) Ennek maassáa a balti rendszerben H B m H A H B A Föld felszíne Balti középtenerszint Nadapi középtenerszint Az EOMA elsırendő hálózatát (az ún kéremozási hálózatot) az alábbi ábrán mutatjuk be Az elsırendő hálózatot 7 szintezési vonalból kialakított zárt polion alkotja A hálózatot a szomszédos orszáok szintezési hálózataival csatlakozó vonalak kötik össze amelyek további ún félpolionokat alkotnak * Orszáos Földüyi és Térképészeti Hivatal Földmérési Fıosztály 979

123 A félpolionok száma A hálózat csomópontjainak száma 7 A csomópontokban valamint a vonalak mefelelıen kiválasztott helyein 4 db fıalappontot létesítettek A vonalakon átlaosan 6 km-re eymástól helyezkednek el a kéremozási pontok (KK- vay röviden K- pontok) A zárt polionok átlaos területe 48 km a vonalak átlaos hossza 34 km A másodrendő hálózatot az elsırendő polionokon belül -6 csomópont létesítésével alakították ki A másodrendő szintezési vonalak vépontjai másodrendő csomópontok vay másodrendő csomópont és elsırendő K-pont kivételesen két elsırendő pont A másodrendő csomópontok is K-pontok A másodrendő vonalakon 5- km-enként szintén kéremozási pontokat terveztek Az elsı- és másodrendő hálózat vonalai másodrendő szintezési polionokat alkotnak Utóbbiakat több csomópont létesítésével harmadrendő hálózattal sőrítik A harmadrendő vonalak vépontjai harmadrendő csomópontok vay harmadrendő csomópont és elsı- vay másodrendő K-pont kivételesen elsı- vay másodrendő K-pontok A harmadrendő hálózatban K- pontokat nem terveztek Az EOMA észlelését ien nay pontossáú szintezımőszerekkel kellett véezni olyanokkal amelyek elızetes km-es középhibája a ± 3 mm/km értéket nem haladja me Ilyenek voltak a Wild N3 a MOM NiA3 és a Zeiss Ni szintezımőszerek Az alappont-szintezés szabályait sziorúan be kellett tartani a talaj közeli rendellenes refrakció viszonyok elkerülésére az irányvonal talaj feletti minimális maassáát a másodrendő hálózatban 5 cm a harmadrendő hálózatban 3 cm-ben maximálták Maát a mérést HE-EH (hátra-elıre elıre-hátra) sorrendben véezték Mind az észlelési differenciákra mind a polion záróhibákra mind az adott maassáú pontok közötti maassái záróhibákra sziorú elıírásokat foalmaztak me Az Eysées Orszáos Maassái Alaphálózat másod- és harmadrendő vonalainak telepítése - különösen a Dunántúl nay részén - más fontos feladatok miatt nemréen fejezıdött be A FÖMI KGO * 998-ban vizsálta - többek között az MTA Geodéziai Tudományos Bizottsáá- * Földmérési és Távérzékelési Intézet Kozmikus Geodéziai Obszervatórium enc

124 ban is folytatott viták után - a GS technikának a harmadrendő szintezési munkálatokban való alkalmazhatósáát A vizsálatok eredményeként olyan teljes mérési és feldolozási technolóiát doloztak ki amely összhanban van a harmadrendő szintezések pontossái követelményeivel és amelynek eredményeként a azdasáossái és a pontossái szempontok fiyelembevételével a harmadrendő hálózat létesítését a GS technikával fejezték be * Mint tudjuk a szintezés GS-sel való kiváltásához a Maassái mérıszámok c fejezetben leírtak yakorlatban való alkalmazására van szüksé A yakorlati alkalmazási eljárást a FÖMI KGOban dolozták ki Maassái mérıszám-eltérések Mayarorszáon ** Mayarorszáon a normál- és az ortométeres maassáok között az N ζ maassái eltérések +74 mm és -74 mm között változnak jó összhanban a toporáfiával o A normálmaassá és a ϕ 45 normál nehézséi erı alapján számított dinamikai maassáok eltérései - cm és -9 cm között változnak Az orszá túlnyomó részén a ζ korrekciók értéke kisebb mint cm Ezért itt a nehézséi rendellenessé-különbséek a GS technika alkalmazásából származó maassáoknál elhanyaolhatók Ott azonban ahol a ζ értékei mehaladják az cm-t ez az elhanyaolás már nem enedhetı me Ezt a körülményt fontos lehet fiyelembe venni az EOMA I rendő újraméréseinek feldolozásakor annál is inkább mert az I rendő maassái hálózat újramérését mekezdték Az Orszáos GS hálózat *** Napjainkban nem szorul különösebb mayarázatra hoy a eodézia történetében milyen mértékő változást hozott a háromdimenziós (3D) helymehatározást lehetıvé tevı GS Ahhoz hoy ezt a lekorszerőbb helymehatározási módszert a yakorlati eodézia szintjén tudjuk alkalmazni mefelelı infrastruktúrára van szüksé A GS technika esetén ez az infrastruktúra a mefelelı sőrőséő GS hálózat Az ún passzív GS hálózat állandósított pontokra épül ez Mayarorszáon az Orszáos GS hálózat (OGSH) Milyen jelentıs tényezık különböztetik me az OGSH-t a hayományos hálózatoktól? A fontosabbak: - Nem érvényesül a hayományos hálózati hierarchia az eymásra épültsé - Eyütt kezeljük a vízszintes és maassái koordinátákat - A pontok közötti összelátás nem szüksées az éboltra való kilátás viszont mintey 5 o -os suárkúpban ien - A GS által szoláltatott koordináták eocentrikusak azaz a Föld középpontjára vonatkoznak A yakorlati eodéziában viszont (vízszintes) vetületi koordinátákra ill tenerszint feletti maassáokra van szüksé A GS-sel történı vízszintes helymehatározás pontosabb a maassái helymehatározás pontatlanabb mint a hayományos hálózatokban A vízszintes értelmő helymehatározást rontja hoy a pontosabb GS eredményeket * Dr Borza T Kenyeres A: Az EOMA III rendő vonalak GS technikával történı mehatározása: Tesztmérések és technolóia kidolozása Beszámoló az MTA Geodéziai Tudományos Bizottsá számára enc 999 március ** Ádám J Tokos T Tóth Gy: Maassái mérıszámok és azok kapcsolata Mayarorszáon c tanulmánya nyomán *** E fejezet a Földmérési és Távérzékelési Intézet (Budapest 998) "Orszáos GS hálózat" c dokumentációja felhasználásával készült 3

125 kell a hierarchikus hálózati felépítés miatt pontatlanabb hayományos hálózatba transzformálni - Az OGSH nemzetközi hálózatokkal összekapcsolható - Lehetıvé válik az eredmények eysées térinformatikai rendszerben való kezelése Bár az OGSH felépítése nem hierarchikus létrehozása a "nayból a kicsi felé" elv alapján létesült Elıször két lépésben ey az Európai referencia hálózathoz (EUREF89) tartozó 5 majd további 9 pontból álló kerethálózatot hoztak létre törekedve arra hoy azok az orszá területét nayjából eyenletesen fedjék le A 4 pontos hálózatot az alábbi ábrán mutatjuk be Az öt EUREF pontot 99 október véén a többit közvetlenül ezután november elején határozták me kétfrekvenciás TRIMBLE SST vevıkkel AGGT SATO HOLL MISK TAR SOR GYOR BUDA ENC HAJD KOSZ NADA ILI TISZ MEZO KOND DISZ BALL IHAR REGO CSER CSAR OTTO CSAN EUREF pontok OGSH kerethálózat pontjai A 4 pontos hálózat sőrítésekor az OGSH pontokat átlaosan mintey km távolsában hozták létre Részben az állandósítási munkák költséeinek metakarítása céljából részben pedi azért hoy a vízszintes alappont hálózat és a GS hálózat "átjárható" leyen az OGSH pontokat döntı hányadban a vízszintes alappont hálózat IV rendő pontjaiból választották ki (az "átjárhatósá" azt jelenti hoy minden OGSH pont mind WGS84 mind EOV koordinátákkal rendelkezik) Az alappontok helyét 994-ben választották ki az alábbi szempontok alapján: - lehetıle épkocsival meközelíthetı leyen o felett leyen szabad kilátás az éboltra s a közelben ne leyen rádió TV adó és maasfeszültséő vezeték - a pont leyen szintezhetı - fennmaradása hosszú távra biztosított leyen A mérést 9 db GS vevıvel statikus módszerrel véezték külön e célra kialakított speciális technolóiával minden ponton lealább órai méréssel A keretpontokat minden szomszédos ponttal összemérték s a mérés során törekedtek arra hoy a mehatározandó vektorok hossza - a pontossá növelése érdekében - minél rövidebb leyen 4

126 km 5 km km * EUREF mérés (99) OGSH ütem (995) o OGSH ütem (996-97) x OGSH 3 ütem (997-98) 998-ra 3 ütemben elkészült az 54 pontból álló nemzetközi szempontból is kiemelkedı Orszáos GS Hálózat (ábra) Az ütemben 995-re a Tiszántúl a ütemben ben a Duna-Tisza köze és az Északi Középheysé véül a Dunántúl készült el A hálózat kieyenlítését a FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatóriumának munkatársai az általuk kidolozott módszer szerint véezték el Az OGSH pontok mind WGS84 ellipszoidi mind EOV koordinátákkal és tenerszint feletti maassáal rendelkeznek Mivel az összesen 54 OGSH pontból mindössze 34-nek volt szintezett maassáa a többi pont maassáát a kisebb pontossáú trionometriai maassáméréssel határozták me 5