Statszta és valószíűségszámítás 305 VII. FEJEZET A STATISZTIKA ÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ELEMEI VII.. Statszta adato és jellemző VII... Statszta adato és ábrázolásu A mdea életbe gyara hallu statszta adatoról. A választáso előtt so embert érdeel, hogy mely árt a legesélyesebb, a szavazato háy százaléával fog redelez. Járváy dejé jó tud, hogy a saját orosztályua meora esélye va a megbetegedésre. A felvétel előtt a túljeletezés aráya, az llető szaot elezdő hallgató és a végzősö aráya, vagy a végzősö társadalm belleszedésée esélye md fotos téyező az egyetem vagy aár a özésola megválasztásába. A matemata statszta valamely jeleségre voatozó adato csoortosításával, elemzésével és értéelésével, valamt az llető eseméy beövetezésére voatozó jóslato, előrejelzése megfogalmazásával, dolgozásával foglaloz. Külöösebb előézettség élül, egyszerűe józa eszüre támaszodva, m s gyara végzü lye jellegű tevéeységet. Ehhez gyara a redelezésüre álló formácóat átcsoortosítju a eü megfelelő szemoto szert. Az alább táblázat egy 8 fős osztály félév matematajegyet tartalmazza. Jegy Tauló száma 0 0 3 3 4 5 6 5 7 0 8 4 9 0 VII.. táblázat A vzsgált halmazt ez esetbe az osztály taulóa halmazát statszta soasága, a halmaz elemet statszta egyedee, a vzsgált tulajdoságot a félév matematajegyet statszta smérve vagy aratersztáa, a táblázatba szerelő ároat l. az -0-t, a -0-t, a 3-3-at stb. statszta sora evezzü. Aszert, hogy az smérv számoal fejezhető-e, vagy sem, meység és mőség smérveről beszélü. Az smérv lehetséges értéee számát változtathatju tetszésü és célja szert. Ha csa arra vagyu ívácsa, hogy az első félévbe háy tauló buott meg, aor észíthetü az előbb táblázatál egyszerűbbet s. A övetező táblázat csa az átmeő és a buotta számát tartalmazza:
306 Statszta és valószíűségszámítás Jegy Tauló száma -4 5 5-0 3 VII.. táblázat A továbbaba, ha az előbbhez hasoló átcsoortosítást végzü, azt modju, hogy az adatoat osztályoba sorolju. Valamely osztály szélességé az adott osztályba tartozó legagyobb és legsebb smérvérté ülöbségét értjü ha eze em léteze, aor a legagyobb helyett a szurémumot, a legsebb helyett az fmumot vesszü. Így a VII.. táblázat első osztályáa szélessége 3, másod osztályáa szélessége 5. Gyara előfordul, hogy egy soaságot több smérv szert vzsgálu. Az alább táblázatba valamely sola 0 tzedes dáját a testmagasságu és az általu látogatott szaörö szert csoortosítottu. <60 cm 60-70 cm 70-80 cm >80 cm Matemata 0 3 3 Szíjátszás 0 3 7 Kézművesség 3 0 Idege yelv 5 8 VII.3. táblázat Az előbb táblázat alajá jelethetjü, hogy a vzsgált tauló özött a magasa a 80 cm fölötte em vozóda a ézművességhez, míg az alacsoya em vozóda a szíjátszáshoz. Ezt a jeletést azoba em általáosíthatju más taulócsoortora s. Persze az s egy ülö robléma, hogy a soaság elemeről lehete előre meghatározott otosságú becslést ad aélül, hogy a soaság mde elemét megvzsgálá. Például állíthatju-e, hogy a 80 cm fölött embere legalább 80 százaléa em ézműves? A matemata statszta ée azoat a feltételeet taulmáyozza, amelye az lye jellegű általáosításoat lehetővé tesz, lletve arra ad választ, hogy a vzsgálata alávetett mtát hogya ell választa ahhoz, hogy a mta tulajdosága az egész soaságra ézve meghatározó legyee. M egyelőre csa az adato éháy csoortosítás, lletve ábrázolás módszerét vzsgálju, és értelmez róbálju az adato éháy jellemzőjét. Az alább ét számsorozat ét tízfős csaat tagjaa vzsgaeredméyet tartalmazza százaléba fejezve. I. csaat 0 5 3 39 40 45 70 75 80 95 II. csaat 0 0 3 5 30 35 35 50 60 6 VII.4. táblázat Az első csaatba a 35 százaléos teljesítméy messze az átlag alatt va hsz az átlagos teljesítméy 5, míg a másod csaatba é ey az átlagteljesítméy, m több, e fölött csa hárma teljesítette. Másrészt a másod csaat homogéebb, mt az első, mert az átlagtól való eltérése összege sebb. Az első csaat átlagos 0 + 5 + 3 + 39 + 40 + 45 + 70 + 75 + 80 + 95 teljesítméye: m 5 százalé, és 0
Statszta és valószíűségszámítás 307 az ettől való eltérése összege: e 0 5 + 5 5 + 3 5 + 39 5 + + 40 5 + 45 5 + 70 5 + 75 5 + 80 5 + 95 5 8. Hasoló számítható, hogy a másod csaat átlagos teljesítméye 35 százalé, és az átlagostól való eltérése összege 4. Az előbb éldából tű, hogy egy-egy adat értelmezéséhez szüség lehet esetleg az összes adatra vagy legalább az adato valamlye jellemzőjére.... Feladat a A táblázato adatat csoortosítsd sorold osztályoba a megadott rtérumo szert: Magasság cm Személye száma Magasság cm Személye száma Magasság cm Személye száma 58 69 4 80 7 59 70 5 8 7 60 7 5 8 6 6 7 6 83 5 6 73 7 84 4 63 3 74 7 85 4 64 3 75 5 86 5 65 76 8 87 3 66 77 0 88 67 4 78 89 68 3 79 8 90 VII. 5. táblázat Sorold az adatoat égy azoos szélességű osztályba! b Teljesítméy %-ba Személye száma 0 0 0 0 0 3 0 30 35 30 40 3 40 50 5 50 60 70 60 70 75 70 80 55 80 90 30 90 00 0 VII.6. táblázat Elégtele a 0 50%-os teljesítméy, elégséges az 50 70%-os teljesítméy, jó a 70 90%-os teljesítméy és tűő a 90%- o felül teljesítméy. Redezd át a táblázat adatat úgy, hogy az új táblázatba az elégtele, elégséges, jó és tűő teljesítméyel redelező százaléaráya jeleje meg! Gyara fordul elő, hogy az előbbhez hasoló táblázato em eléggé szemléletese. Láthattu az előbb feladat b otjába, hogy a 90% fölött teljesítméyel redelező százaléos aráyát aárcsa a több osztályo esetébe a táblázat alajá ellett számolu. Ahhoz, hogy a százaléos aráyoat megjeleítsü, soal előyösebb a örc alaú ábra, amelybe az egyes
308 Statszta és valószíűségszámítás osztályoa megfelelő c özéot szöge aráyos az llető osztály százaléos aráyával, vagy a téglalaoat haszáló ábra, amelybe az egyes osztályohoz redelt téglalao szélessége egyforma és magassága aráyos az llető osztály százaléos aráyával. A melléelt ábrá több lye megjeleítés mód látható, ezeet a VII.6. táblázat alajá észítettü. Téglalao Téglateste 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Elégtele Elégséges Jó Ktűő 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Az előbb éldából az s látsz, hogy ezeet a dagramoat aor s haszálhatju, ha az smérv em meység, haem mőség. Láttu, hogy szemléletesebb ábráat ahatu, ha em az smérv értéee megfelelő előfordulás számoal, haem az előfordulás száma és a soaság összlétszámáa az aráyával dolgozu. A termológa tsztázásáért bevezetjü a övetező megevezéseet:... Értelmezés a Az smérv valamely x értéée abszolút gyaorságá a soaság azo egyedee számát értjü, amelye redeleze az smérv x értéével. Az x abszolút gyaorságát x -szel jelöljü. x b Az smérv valamely x értéée relatív gyaorságá az f x aráyt értjü, ahol a soaság egyedee száma...3. Megjegyzés A övetezőbe az smérv helyett gyara a statszta változó fejezést vagy egyszerűe a változó szót haszálju. Az előbb ét gyaorságo ívül éha a halmozott gyaorságot s haszálju. Ezt a övetezőée értelmezzü:..4. Értelmezés. Az smérv valamely x értééél em agyobb értéehez hozzáredelt abszolút relatív gyaorságo összegét az x felfele halmozott abszolút vagy relatív gyaorságáa evezzü.. Az smérv valamely x értééél em sebb értéehez hozzáredelt abszolút relatív gyaorságo összegét az x lefele halmozott abszolút relatív gyaorságáa evezzü.
Statszta és valószíűségszámítás 309..5. Példa. Az alább táblázatba egy 40 résztvevős 00 méteres sífutóversey eredméyet láthatju. Az smérv a 00 méter lefutásához szüséges dő, a lehetséges értée edg a táblázatba feltütetett tervallumo. Idő s Verseyző Verseyző Idő s száma száma 0,5 0,7,5,7 7 0,7 0,9,7,9 6 0,9,,9, 5,,3 5,,3 4,3,5 7,3,5 VII.7. táblázat Írd fel mde értée az abszolút és a relatív gyaorságát, valamt a felfele és lefele halmozott gyaorságat! Például a 0,9, tervallum által meghatározott osztály abszolút gyaorsága, relatív gyaorsága, a felfele halmozott abszolút 0 gyaorság 4, a felfele halmozott relatív gyaorság 0, a lefele halmozott abszolút 9 gyaorság 38 és a lefele halmozott relatív gyaorság. Látható, hogy ez esetbe a 0 felfele halmozott abszolút gyaorság azt mutatja, hogy háy verseyző deje em haladta meg a, másodercet, míg a felfele halmozott relatív gyaorság azt mutatja, hogy a verseyző háy százaléáa deje em volt agyobb, mt, s. Meység smérve eseté a statszta soro ábrázolására még a övetező dagramoat haszálju: a Bot-dagram Az O tegelye az smérv értéet tütetjü fel, és mde értée megfelelő otba az llető érté gyaorságával aráyos magasságú szaaszt húzu. Például a VII.8. táblázatba egy 8 családból álló özösség családo szert gyereee számát foglaltu össze. A megfelelő bot-dagram a táblázat mellett ábrá látható. Gyeree száma Abszolút gyaorság 0 5 0 6 3 4 4 5 VII.8. táblázat 0 3 4 5 Ezt a fajta ábrázolást aor haszálju, ha az smérv evés értéet vesz fel. Abszolút vagy relatív
30 Statszta és valószíűségszámítás b Hsztogram Az egyelő szélességű osztályora botott sor hsztogramját úgy aju, hogy az O tegelye egyelő hosszúságú szaaszoat veszü fel eze ábrázoljá az osztályoat, és mdegyre a megfelelő osztály gyaorságával aráyos magasságú téglalaot szeresztü. A VII.9. táblázat adataa hsztogramja a melléelt ábrá látható: Ismérv Gyaorság 0 3 40 3 4 30 4 5 0 VII.9. táblázat c Gyaorság soszög Ha a hsztogram észítéseor a vízsztes tegelyre felmért egyes szaaszo özéotjába a megfelelő osztály gyaorságával aráyos hosszúságú merőleges szaaszt emelü és ezee a szaaszoa az O-re em lleszedő végotjat összeötjü, aor a gyaorság soszöget aju. Alább a VII.9. táblázat gyaorság soszöge látható: o x d Halmozott gyaorság soszög Valamely statszta sor felfele halmozott gyaorság soszögét úgy aju, hogy az abszcsszá övevő sorredje szert összeötjü azoat az x, y otoat, amelyere az x valamely osztályöz jobb oldal határa, az y edg az x felfele halmozott gyaorsága. A VII.9. táblázat felfele halmozott gyaorság soszöge a melléelt ábrá látható: 00 80 50 0 O x
Statszta és valószíűségszámítás 3 VII... A statszta soro jellemző értée. A sor átlaga Az eddg taulmáyato alajá tudjáto, hogy az x, x,..., x és x számo x + x + + x számta özéaráyosa vagy átlaga az M a... fejezés értée. Gyara láttáto azt s, hogy bzoyos esetebe amor a ülöböző adato em egyformá fotosa súlyozott özéaráyost ell számol. Erre a legegyszerűbb élda talá a félév jegy számolása egy olya tatárgyból, amelyből félév dolgozatot s írto. Eze ívül gyara találozhattato a súlyozott özéaráyos fogalmával fzaórá l. ha egy redszer súlyotjáa oordátát ell számol vagy éma órá l. ha ülöböző százaléos ocetrácójú vegyülete everéée százaléos ocetrácóját ell meghatároz stb. Így az x, x,..., x és x számoa az α, α,..., α és α értéeel súlyoal számolt súlyozott özéaráyosa: α x + α x +... + α x M a α, α,..., α, α + α +... + α amelyet még az M α, α α a,..., α α x alaba s szotu ír. Ha az α, α,..., α és α számo természetes számo, aor ez a özéaráyos felfogható mt α darab x -gyel, α darab x -vel, és α darab x -el egyelő szám számta özéaráyosa. Ha az α, α,..., α és α számo racoálsa, aor szté szereszthető olya véges számsorozat, amelye a számta özéaráyosa az eredet számo súlyozott özee. Ha valamely smérv lehetséges értée az x,,..., x x és ha az egyes értée abszolút vagy relatív gyaorsága redre az y,,..., y y, aor az smérv x y + x y +... + x y özéértéé az fejzés értéét értjü. Ha y y + y +... + y x f az abszolút gyaorsága, aor az relatív gyaorság értelmezése alajá f y y, tehát x f. A VII.8. táblázat statszta soráa átlaga az előbbe alajá 0 5 + 0 + 6 + 3 4 + 4 + 5 47, 678. 5 + 0 + 6 + 4 + + 8
3 Statszta és valószíűségszámítás Ha az smérv értée egy tervallum mde értéét felvehet, aor amt már láttu az adatoat célszerű osztályoba sorol. Az lye osztályoba sorolt x y + x y +... + x y statszta sor átlagáa az fejezés értéét y + y +... + y evezzü, ahol x,,..., x az osztályo özéotja és y, y,..., y az llető x osztályo gyaorsága. Így éldául a VII.9. táblázat statszta soráa átlaga,5 0 +,5 40 + 3,5 30 + 4,5 0 30 3,. 0 + 40 + 30 + 0 00... Feladat. Vzsgáljáto meg, hogya változ a statszta sor átlaga, ha az smérv mde értéét a csöetjü x 0 -val; b felére csöetjü a gyaorságo mdét esetbe változatlao. Megoldás. Jelöljü x -gyel, x -vel,, x -el az smérv lehetséges értéet és -gyel, y -vel,, -el a e megfelelő gyaorságoat. A sor átlaga y x y x y másod esetbe y, míg a módosított sor átlaga az első esetbe x x x 0 y x és a y x y x y x 0 y. Eszert x x x 0 és y y x y x x. Tehát az első esetbe az átlag s x 0 -val csöe, míg a y másod esetbe az eredet átlag felére csöe. Összefoglalásét megemlítjü a övetező értelmezést, lletve tételt:... Értelmezés. Ha egy változó lehetséges értée x x,..., és eze gyaorsága y, y,..., y, aor a változó átlaga x x y y,..3. Megjegyzés. Az változó átlagát éha M-szel s szotu jelöl...4. Tétel. Ha tetszőleges változó, valamt x 0 és a ét valós szám, aor érvéyese a övetező egyelősége: a M x 0 M x 0 ; b M a am.. x
Statszta és valószíűségszámítás 33. A szóráségyzet A statszta sor értéee a saját átlagutól való átlagos eltérés jellemzésére em haszálható az eltérése átlaga, hsz eze özött lesze egatív értée s, ematt a oztív és egatív eltérése egyelíteé egymást. Például, ha az változó értée 0 és 0, és mdettő gyaorsága, aor az átlag 5, és az ettől való eltérése 5, lletve 5. Ezért az eltérése átlaga 0. Látható, hogy az átlagtól való tetszőlegese agy eltérése eseté s lehet az eltérése átlaga 0, ezért az átlagos eltérés em jellemezhető az eltérése átlagával. Az x x,..., értée átlagutól való eltérését x x, legmegfelelőbbe az fejezéssel jellemezhetjü. Ha a gyaorságo egyelő, ezt a meységet az változó szóráségyzetée vagy varacájáa evezzü. Ha fgyelembe vesszü, hogy tetszőleges változó esetébe a gyaorság az llető érté előfordulásaa számát mutatja, a övetező értelmezést adhatju:..5. Értelmezés. Az x átlaggal redelező statszta változó szóráségyzete a x x y y x fejezés értée. Ezt σ -tel jelöljü, és a σ meységet égyzetes eltérése vagy egyszerűe csa szórása evezzü...6. Feladat. Bzoyítsd be, hogy ha x egy statszta változó, aor σ x x. Megoldás. Idulju a szóráségyzet értelmezéséből! σ x x y y x y x y y x + x x x x + x x x. y y y 3. Modus Valamely statszta sor modusá ejtsd: modusá vagy legjellemzőbb értéé dszrét smérv értée eseté a legagyobb gyaorságú smérvértéet, osztályora botott folytoos változó eseté edg a legagyobb gyaorsága megfelelő osztályözeet értjü. Ez ülööse aor fotos, ha egy modus létez, és ee a gyaorsága a több gyaorsághoz vszoyítva agy. Például a VII.8. táblázat statszta soráa modusa, míg a VII.9. táblázat soré,5.
34 Statszta és valószíűségszámítás 4. Medá Valamely statszta sor medájáa evezzü az smérve azt az x értéét, amely azzal a tulajdosággal redelez, hogy ugyaay statszta egyed vesz fel x-él sebb értéeet, mt amey x-él agyobb értéet vesz fel. Ha osztályora botott statszta sorról beszélü, aor előbb az osztályoo belül feltételezzü, hogy az smérvértée egyeletese öveede, és az így aott értésor medáját határozzu meg. Tehát, ha egy osztály a 0 0 tervallum, és ee a gyaorsága 0, aor feltételezzü, hogy az smérvértée egyesével öveede, és mdegy gyaorsága egy, így az osztály helyett a 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 értésorhoz jutu. Például a, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 0 statszta sor medája 6, mert öt darab, 6-ál sebb, és öt darab 6-ál agyobb smérvérté létez. VII.. A valószíűségszámítás eleme VII... Eseméye és eseméyalgebra A valószíűségszámítás olya jeleségeel foglaloz, amelye léyegébe azoos örülméye özött tetszőlegese soszor megsmételhető, de meetelüet em lehet előre megjósol, mert a léyeges téyezőö ívül so más ömagába s hatású téyező s befolyásolja. Ilye éldául a lottóhúzás, a ocadobás, a ézfeldobás, tetszőleges szám választása adott tervallumból, egy gémutácó megjeleése, és agyo so más jeleség. Az lye tíusú jeleségeet, lletve eze megfgyelését a továbbaba ísérlete, a ísérlet egyes lehetséges meetelet végeredméyet edg elem eseméyee evezzü. Általába eseméye evezü mdet, amről a ísérlet végrehajtása utá egyértelműe eldöthetjü, hogy a ísérlet sorá beövetezett-e vagy sem. Két eseméyt azoosa tetü, ha a ísérlet mde lehetséges meeteleor vagy mdettő beövetez, vagy egy sem övetez be. Az eseméye jelölésére yomtatott agy betűet haszálu. Például, ha egy játéoca feldobásaor az érdeel, hogy háyas jele meg, aor az elem eseméye az -es, -es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os számo megjeleését jelet. Potosabba, ha {,, 3, 4, 5, 6}, aor A azt jelet, hogy a dobás eredméye ée. A ocadobás ísérlet utá azoba agyo so más tulajdoságot s vzsgálhatu. Például, ha az érdeel, hogy az eredméy osztható-e hárommal, aor értelmezzü az A eseméyt, amely ée egy, a hárommal osztható szám megjeleését jelet. Az A eseméy edvező meetele, azoat a végeredméyeet elem eseméyeet értjü, amelye eseté az A beövetez. Kedvezőtlee evezzü az elem eseméyeet, ha az A em övetez be. Lehetetle eseméye evezzü azt az eseméyt, amely bztos em övetez be. Például, ha egy játéocával dobu, amelye oldala az -es, -es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os számo vaa, aor lehetetle, hogy a megjeleő szám osztható legye 7-tel, vagy az, hogy a megjeleő szám osztóa száma hat legye stb. Bztos eseméye evezzü azt az eseméyt, amely a ísérlet mde lehetséges végmeetele eseté bztosa beövetez. Például, ha véletleszerűe választu egy 6-tal osztható számot, aor bztos eseméye számít a 3-mal osztható szám megjeleése.
Statszta és valószíűségszámítás 35 Általába fotos, hogy egy tetszőleges eseméyt elem eseméye segítségével fejezhessü, ezért értelmezzü az eseméyeel való műveleteet és az eseméye özött relácóat. Már említettü, hogy ét eseméyt aor evezü azoosa, ha a ísérlet mde lehetséges meeteleor vagy mdettő beövetez, vagy egy sem övetez be, ezt az A B szmbólummal fogju jelöl. Továbbá, ha az A eseméy beövetezése maga utá voja a B eseméy beövetezését vagys az A eseméy csa aor övetezhet be, ha a B s beövetez, aor azt modju, hogy B A. Látható, hogy, a halmazohoz hasolóa, az eseméye esetébe s érvéyes az A B [ A B B A] evvaleca. A halmazműveletehez hasolóa az A és B eseméye egyesítésé azt a C eseméyt értjü, amely aor és csa aor övetez be, amor az A és a B eseméye özül legalább az egy beövetez. Az A és B eseméye metszeté azt a C eseméyt értjü, amely aor és csa aor övetez be, ha az A s és B s beövetez. A C A \ B eseméy aor és csa aor övetez be, ha az A beövetez és a B em. Az A eseméy omlemeteré azt az eseméyt értjü, amely aor és csa aor övetez be, ha az A em övetez be. Látható, hogy ha mde eseméyhez hozzáredeljü a e edvező elem eseméye halmazát, aor az eseméye egyesítéséhez metszetéhez, ülöbségéhez, omlemeteréhez a hozzáredelt halmazo egyesítése metszete, ülöbsége, omlemetere tartoz, tehát a halmazművelete összes tulajdosága az eseméyeel végzett művelete egy-egy tulajdoságáa felel meg. Mdezeet a övetező értelmezés tartalmazza:... Értelmezés és jelölése a A C A B eseméy aor és csa aor övetez be, ha az A és B eseméye özül legalább az egy beövetez. b A C A B eseméy aor és csa aor övetez be, ha az A és B eseméye özül mdettő beövetez. c A C A \ B eseméy aor és csa aor övetez be, ha az A eseméy beövetez és a B eseméy em övetez be. d A C A eseméy aor és csa aor övetez be, ha az A eseméy em övetez be. e A C A B eseméy aor és csa aor övetez be, ha az A és a B eseméye özül csa az egy övetez be.... Feladat. Bzoyítsd be a halmazművelete alább tulajdoságat, és mdegy esetbe fogalmazd meg, mt jelet az eseméyere voatozóa az llető tulajdoság! a A B A B ; b A B A B De Morga törvéye; A B A \ B A B B \ A ; c d A B C A C B C dsztrbutvtás. Megoldás. A halmazművelete tulajdosága vagy a aratersztus függvéy tulajdosága alajá az egyelősége bzoyíthatóa. Ezért m csa az eseméyere voatozó megfelelő tulajdoságot fogalmazzu meg:
36 Statszta és valószíűségszámítás a Ha az A és a B eseméye özül egy sem övetez be A B, aor sem az A, sem a B eseméy em övetez be A B. b Ha az A és a B eseméye özül em övetez be mdettő A B, aor vagy az A, vagy a B eseméy em övetez be A B. c Az A és B eseméye özül legalább az egy aor övetez be A B, ha A \ B, vagy ha beövetez a B és beövetez az A és em övetez be a B em övetez be az A B \ A, lletve ha mdét eseméy beövetez. d Az A és a B eseméye egye, valamt a C eseméy aor és csa aor övetez be, ha beövetez az A és a C, vagy ha beövetez a B és a C...3. Megjegyzés. Egyes öyvebe az egyesítés helyett az összeget, a metszet helyett edg a szorzást haszáljá. Ez so esetbe leegyszerűsít a műveleteet, mert az összeadás és a szorzás smert tulajdosága a halmazműveletere s érvéyese mdét művelet asszocatív, ommutatív, a szorzás dsztrbutív az összeadásra ézve stb., de ée a öye formalzálható művelete matt soal ehezebb az eseméye loga övetése...4. Feladat. A hadosztály és a főhadszállás özött három ülöböző telefovoalat létesítette. Jelöljü meg ezeet a voalaat az -es, -es, és 3-as számoal. Az elleség ersze egyfolytába gyesz megsemmsíte ezeet a telefovoalaat. Jelöljü A-val, B-vel és C-vel az -es, -es, lletve a 3-as voal meghbásodását jelető eseméyt. Eze elem eseméyee számítaa, ha a ísérlet a telefovoala műödésée elleőrzését jelet. Fejezd elem eseméye segítségével a övetező eseméyeet: a csa az első voal hbás; b az első ét voal hbás a harmad em; c legalább az egy voal hbás; d mdhárom voal hbás; e otosa egy voal hbás; f otosa ét voal hbás; g egy voal sem hbás ; h legfeljebb egy voal hbás; legfeljebb ét voal hbás. Megoldás. Segítségée éháy eseméyt fejeztü lásd az értelmezése előtt részt: a Ha csa az első voal hbás, aor ez azt jelet, hogy az A teljesül és em teljesül sem a B, sem a C, tehát a ívát eseméy: A B C. b Ha az első ét voal hbás és a harmad em, aor az A, a B és a C eseméyee egydejűleg ell teljesülü, tehát a ívát eseméy: A B C. h Ha legfeljebb egy voal hbás, aor vagy otosa egy voal hbás, vagy egy sem hbás. Eszert a vzsgált eseméy: A B C A B C A B C A B C.
Statszta és valószíűségszámítás 37..5 Gyaorlato és feladato. Válassz a számegyeese egy x otot. Jeletse A azt az eseméyt, hogy < x < 5, B edg azt az eseméyt, hogy 3 < x < 4. Vzsgáld meg, hogy mlye tervallumba ell elhelyezede az x száma ahhoz, hogy a övetező eseméye teljesüljee ülö-ülö! a A B ; b A B ; c A \ B ; d A B ; e A B ; f A B. Hasolítsd össze a végeredméyt a, 5 és 3, 4 tervallumoal végzett hasoló művelete végeredméyevel!. Bzoyítsd be, hogy gaza az alább egyelősége! A A A B A A B A B ; ; b a d A B C A B A C ; e A B C A B C ; f A B A B A B A B. Fogalmazd meg, hogy mt jelet az A B C eseméy! Próbáld általáosíta ezt a tulajdoságot! 3. Mlye feltétel szüséges ahhoz, hogy az alább egyelősége gaza legyee? a A B A ; b A B A ; c A B A B A \ A B B A. ; d B 4. Ha az halmaz elemee számát -szel jelöljü, bzoyítsd be, hogy: a A A A + A A A ; b A A A A + A + A A A A A A + 3 3 3 3 A + A ; A A3 c A A A A + A A A... + A. < j j < j< 5. Egy céltáblá tíz ocetrus ör va. A örö sugarat csöeő sorredbe jelöljü r -gyel, r -vel,, és r0 -zel r > r >... > r0. Az A eseméy aor teljesül, ha a találat az r sugarú ör belsejébe es. Mt jeletee az alább eseméye? a B ; b B 0 ; 0 A c B3 A6 A7 A6 A7 A \ ; d A \ A \ A \ 4 7 0 8 A9 4 4 j B ; B 5 0 \ 6 e A A A + ; f B A \ A. 6. Egy urába darab számozott golyót helyezü el a golyóat -től -g számoztu meg, majd találomra húzu egy golyót. Jelöljü -el azt az eseméyt, hogy a húzott golyó sorszáma osztható 3-mal. Határozd meg az A A -e edvező
38 Statszta és valószíűségszámítás eseméye számát! Ha rögzített eseté K -el jelöljü az A -e edvező K esete számát, határozd meg a H N halmaz szurémumát! 7. Egy urába darab számozott golyót helyezü el a golyóat -től -g számoztu meg, majd találomra húzu egy golyót. Jelöljü B -el azt az eseméyt, hogy a húzott golyó sorszáma teljes égyzet. Határozd meg a B -e edvező eseméye számát! Ha rögzített eseté -el jelöljü a -e edvező esete számát, határozd meg a H N halmaz fmumát! 8. Egy harmcétlaos ártyacsomagot jól összeeverü ez azt jelet, hogy a lao mde lehetséges sorredje azoos eséllyel megjelehet a everés eredméyeét. Legye az A eseméy az, hogy a égy ász egymás mellett va, a B eseméy az, hogy az ászo úgy helyezede el, hogy sorszámu felülről lefele számolju számta haladváyt éez. Határozd meg az A-a, lletve a B-e edvező esete számát! 9. a Egy szgete lovago, lóötő és ormáls embere éle. A lovago mdg gazat modaa, a lóötő mdg hazuda, a ormálso éha hazuda, éha edg gazat modaa. A szget három laója a bíróság előtt áll, a vzsgálóbíró már derítette, hogy hármu özül csa az egy övethette el a bűtéyt, valamt azt, hogy a bűös az egyetle lovag a három vádlott özül. A három vádlott a övetezőet állítja: A: Ártatla vagyo. B: Ez gaz. C: B em ormáls. Melyü a bűös? b A lóötő szgeté a rály egyetle láyával fával szeretél tácol. Ő ezt csa aor fogadja el, ha az első modatoddal meg tudod győz arról, hogy te egy gazdag lóötő vagy. M ell legye az első modatod? Mt ell modaod, ha arról ell meggyőzd, hogy gazdag lovag vagy? VII... Egyelő valószíűségű eseméye. Egy eseméy valószíűsége Az előbb részebe olya ísérleteet vzsgáltu, amelye véges so meetellel redelezte, és a meetele egyforma eséllyel jelehette meg ha a játéoca szabályos, aor md a hat lehetséges szám egyforma eséllyel jele meg stb.. Mt s értü ez alatt matematalag? Kézeljü el, hogy egy ísérletet éldául a ézfeldobást agyo soszor elvégzü l. 00000 -szer, és mde dobás utá feljegyezzü a fej megjeleésée relatív gyaorságát vagys az addg dobáso özött megjeleő feje számáa és a dobáso számáa aráyát. M 5 ézfeldobást végeztü, és a övetező eredméyeet atu F jelöl a fejet és I az írást: FFFFFFFIIFFIIIFIFFIIIIFF. Az ötöd, tzed, tzeötöd, huszad és huszoötöd dobás utá a fej megjeleésée relatív gyaorsága redre ; 0,7; 0,6; 0,6 és 0,56. Ha ezeet az értéeet ábrázolju, a melléelt grafohoz jutu. K K B
Statszta és valószíűségszámítás 39 0,7 0,6 0,5 5 0 5 0 5 Látható, hogy ez a relatív gyaorság em ostas. Igazolható és ísérletleg róbálható, hogy ha agyo soszor megsmételjü a ísérletet, aor a relatív gyaorság az örül gadoz ez azt jelet, hogy tetszőlegese s oztív ε -ra létez olya 0 természetes szám, amely esetébe az dobás utá feje relatív gyaorsága és az ülöbsége em agyobb ε -ál, ha 0. Természetese ez em azt jelet, hogy a feje és az íráso száma megözelítőleg egyelő, hsz 00 000 000 dobás utá, bár a relatív gyaorság égy tzedesy otossággal megözelít a 0,5-öt, attól még a fej és íráso ülöbsége több ezer s lehet. Mégs mvel a relatív gyaorság tetszőlegese megözelít az -et, azt modju, hogy a fej és az írás megjeleésée azoos esélye va. Ha összese lehetséges meetel va, és mde meetel relatív gyaorsága az örül gadoz, aor a meetele egyformá valószíűe. Ebbe a aragrafusba egyelőre csa olya ísérleteet vzsgálu, amelyehez azoos valószíűséggel redelező elem eseméyeet redelhetü otosabba, ha egy véletle eseméyről beszélü, aor feltételezzü, hogy a ülöböző elem meetele egyformá valószíűe. A VII.. aragrafusba láttu, hogy egy eseméy általába felbotható elem eseméye egyesítésére. Eszert, ha az elem eseméye azoos valószíűségűe, az A eseméye darab edvező elem eseméye és összese darab elem eseméye létez, aor az A eseméy relatív gyaorsága a tört értée örül gadoz, ezért ebbe az esetbe az A eseméy valószíűségé a tört értéét értjü. Ez azt fejez, hogy hosszú távo a ísérlete számáa örülbelül -ed részébe fog beövetez az A eseméy.
30 Statszta és valószíűségszámítás... Értelmezés. Ha egy ísérlete véges so, egyelő valószíűségű meetele lehetséges, aor a ísérletre voatozó valamely A eseméy valószíűségé a edvező meetele esete és az összes lehetséges meetel számáa aráyát értjü. Ezt PA -val jelöljü.... Tulajdoságo. Ha az A, A,..., A eseméye egy olya ísérletre voatoza, amelye véges so, azoos valószíűségű meetele lehetséges, és ha egy tetszőleges A eseméy valószíűségét PA -val jelöljü, aor érvéyese a övetező tulajdoságo: a 0 P A. b P 0 és P I, ahol a lehetetle eseméy és I a bztos eseméy. c P A B P A + P B ha A és B dszjut eseméye, vagys ha A B. d Ha az A, A,..., A eseméye ároét zárjá egymást j A A j, aor P A P A. e Ha A B, aor P A P B. f P A B P A + P B P A B, ahol A és B ét tetszőleges eseméy. g P A B C P A + P B + P C P A B P B C P C A + + P A B C, ahol A, B és C tetszőleges -re voatozó eseméy. h P A + P A. Ha a ísérlet mde meeteleor az A, A,..., A eseméye özül csa egy övetez be, aor P. A Bzoyítás. A valószíűség értelmezése alajá a tulajdoságo agy része ylvávaló, hsz a edvező esete száma em haladhatja meg az összes esete számát ebből övetez az a ot. A lehetetle eseméye egyetle meet sem lehet edvező, és a bztos eseméye mde meet edvező ebből övetez a b ot. Ha A B, aor az A B eseméy edvező meetelee száma az A- a edvező meetele és a B-e edvező meetele számaa összege ebből övetez a c ot, és ez tetszőlegese so eseméyre s gaz ebből övetez a d ot. Ha A B, aor az A-a edvező esete száma sebb, mt a B-e edvező esete száma mert mde, a B-e edvező eset az A-a s edvező, tehát P A PB stb...3. Példá és megoldott feladato. Egy 4-es összlétszámú osztályba 4 láy és 0 fú va. Az osztályba sorsola ét szíházjegyet úgy, hogy mde felírja a evét egy s aírdarabra, majd a aíráat egy saába összeever és vala húz ét aírt. Meora a valószíűsége aa, hogy a ét jegy özül az egyet fú, a másat edg láy aja?
Statszta és valószíűségszámítás 3 Megoldás. A 4 dá özül ettőt C 4 76 ülöböző módo lehet választa, tehát a ísérlete összese 76 meetele lehetséges. Eze a meetele azoos valószíűségűe, hsz semm ou feltételez, hogy a húzáso em véletleszerűe. A edvező esete száma 4 0 40, mert 40 olya árt tudu éez, amelye az egy tagja fú és a más láy. Így a vzsgált eseméy valószíűsége 40 35 0,507. 76 69. Egy ézérmét többször feldobu. Jelöljü A-val azt az eseméyt, amely otosa aor övetez be, ha égy dobásból három fej, és jelöljü B-vel azt az eseméyt, amely otosa aor övetez be, ha yolc dobásból öt fej. Hasolítsu össze a ét eseméy valószíűségét! Megoldás. Mvel mde dobás eredméye fej vagy írás a több dobástól függetleül, hsz az érmée cs memórája, és em tudhatja, hogy a több dobás eredméye m volt vagy lesz, összese 4 6 ülöböző, égy hosszúságú, dobássorozat létez. Így égy dobás eseté a ísérlete 6 lehetséges meetele va, és ezeet tethetjü azoosa valószíűe. A edvező meetelebe otosa három dobás fej és a egyed írás. Ilye dobássorozat C 3 4 4 darab létez, 4 tehát P A 0,5. Hasoló godolatmeettel yolc dobás eseté az összes 6 4 lehetőség száma 8 56, ebből C 5 8 56 7 56 edvező, tehát P B 56 3 0, 8. Az előbbe alajá P A > PB. 3. Brdzsjátéhoz az 5-laos ártyacsomagot a égy játéos özött egyelőe osztjá szét a csomag égy fajta, ör, áró és treff laot tartalmaz, mdegy fajtából 3 3 darabot. Mey a valószíűsége aa, hogy az egy előre választott játéoshoz ée darab {0,,, 3,..., 3} erül? Megoldás. Feltételezhetjü, hogy osztásor em csala, tehát mde la azoos valószíűséggel erül az egyes játéosohoz. Így a lehetséges meetele száma 3 C 5, mert az 5 laos csomag bármely 3 laot tartalmazó részhalmaza a választott játéoshoz erülhet. Másrészt, ha otosa darab laja va a játéosa, aor 3 ez C C 3 39 ülöböző módo lehetséges mert a darab et a 3 özül és a több 3 darabot a 39 em özül aja. Így a eresett valószíűség C 3 3 C39 P A. 3 C5 4. Egy dobozba 8 ros és 4 feete golyó va. Egyeét húzu találomra golyóat. A húzott golyó szíét feljegyezzü, majd a golyót vsszadobju. Számítsu aa a valószíűségét, hogy az -ed húzott golyó a -ad ros! Megoldás. Ha az -ed húzott golyó a -ad ros, aor a húzássorozat otosa darab ros és darab feete golyó húzását jelet, ahol az utolsó golyó ros. Tehát az első húzásból meg ell jelölü húzást a
3 Statszta és valószíűségszámítás feetéet. Ezt C ülöböző módo tehetjü meg. A ros golyóat a 8 ros golyó özül húzhatju, a feete golyóat edg a 4 feete golyó özül, tehát a edvező esete száma C 8 4. Másrészt húzás eseté összese a lehetséges húzáso száma, tehát a eresett valószíűség: 8 4 C P A C C. 3 3 3 5. Bzoyítsu be, hogy ha az ísérletre voatozó A eseméye a valószíűsége P A, és ha egy ettől függetle Y ísérletre voatozó B eseméy valószíűsége P B, aor aa a valószíűsége, hogy az A s és a B s beövetez P A P B! Általáosítsu ezt a tulajdoságot! Bzoyítás. Jelöljü az és Y ísérlet lehetséges meetelee számát x-szel, lletve y-al, az A-a, lletve a B-e edvező esete számát a-val lletve b-vel. Tehát az és az Y ísérlete x y lehetséges meetele va és mvel a ísérlete özött cs összefüggés, eze egyforma valószíűséggel redeleze. A edvező eset azt jelet, hogy az ísérletbe az A-a, míg az a Y ísérletbe a B-e edvező a meetel, tehát a edvező esete száma a b mde A-a edvező eset társítható egy-egy B-e edvező esettel. Ebből övetez, hogy az A és a B eseméye a b a b együttes beövetezésée valószíűsége P A P B. x y x y A Descartes-szorzat alalmazásaor láttu, hogy ez a godolatmeet több halmazra s terjeszthető, tehát ha az ísérletere voatozó A eseméy valószíűsége P A, 9999 6 feladat szert a eresett valószíűség P A 0, 0000 0, 99999 9, 04 0, mert aa a valószíűsége, hogy egy beacsolásor a rocesszor em ég 0,99999., aor a ísérlete együttes végrehajtásaor az eseméye együttes beöveteztée valószíűsége P. 6. Aa valószíűsége, hogy egy számítógé rocesszora áramerősség gadozásor vagy áramszüetor ég, 0,0000. Mey a valószíűsége aa, hogy a tízezred beacsolásor ég a gé rocesszora? Megoldás. Ahhoz, hogy otosa a 0000-d beacsolásor égje a rocesszor az ell, hogy az első 9999 beacsolásor e égje és a tízezred beacsolásor égje. Ha A -val jelöljü azt az eseméyt, hogy a -ad beacsolásor em ég a rocesszor, aor a vzsgált eseméy VII..3. Feltételes valószíűsége A 0000 9999 A A A alaba írható, tehát az előbb.3.. Feladat. Egy dobozba ros és 8 feete golyó található. Számítsu aa a valószíűségét, hogy a harmad húzásor ros golyót veszü, ha az első ét húzásor feete golyót vettü véletleszerűe és egy golyót sem tettü vssza.
Statszta és valószíűségszámítás 33 Megoldás. Ha már húztu ét feete golyót, aor a dobozba ros és 6 feete golyó maradt, tehát aa a valószíűsége, hogy rosat húzu. 8 3.3.. Feladat. Jelöljü A-val és B-vel ét eseméyt, amelye valamely véges so, azoos valószíűségű meettel redelező ísérletre voatoza. Ha a B eseméye eset edvez, és eze özül m edvez A-a s, aor mey a valószíűsége aa, hogy beövetez az A, ha a B már beövetezett? Fejezzü az eredméyt a P B és P A B valószíűsége segítségével! Megoldás. Ha a B eseméy beövetezett, aor az A vzsgálataor a lehetséges esete csa a B-e edvezőe, tehát a lehetséges esete száma. Eze özül az A- m a s edvező esete száma m, tehát a eresett valószíűség. Ha az összes m lehetősége száma, aor ez az P A B alaba s írható, mert P B tulajdoée az A B eseméye edvező esete száma..3.3. Megjegyzés. Látható, hogy em az A eseméy valószíűségét számoltu, haem az A eseméy valamlye feltételre a B eseméyre voatozó beövetezésée valószíűségét. A továbbaba az lye jellegű valószíűségeet feltételes valószíűségee evezzü. Általába az A eseméye a B eseméyre voatozó valószíűségét P A B -vel jelöljü, és az előbb feladat alajá P A B P A B. Ez egy fotos összefüggés, ezért tétel formájába s P B jeletjü..3.4. Tétel. Az A eseméy B-re voatozó feltételes valószíűségét a P A B P A B összefüggés alajá számíthatju. P B.3.5. Feladat. Az érettség vzsgá a 45 vzsgatétel özött 0 jó tétel va vagys mde ebből a tízből szerete húz. Mey a valószíűsége aa, hogy az első dá em húz jó tételt, a másod jó tételt húz és a harmad em húz jó tételt? Megjegyzés: a húzott tételeet em tesz vssza. Megoldás. Jelöljü -gyel, -vel és A -mal a övetező eseméyeet: A A A A 3 : az első dá em húz jó tételt; : a másod dá jó tételt húz; A 3 : a harmad dá em húz jó tételt. A.3.4. tétel alajá P A A P A A P A3 A A P A P és P A A A3 P A A, tehát A A A P A A A P A A P A A A P A A P 3 3 3 A.
34 Statszta és valószíűségszámítás 35 7 0 5 9 De A A A P A3 A A, mert az A 45 9 44 43 beövetezése utá a 44-ből 0 jó tétel marad, és az A és A beövetezése utá a 43 tételből otosa 9 jó tétel marad. Eszert mdhárom eseméy 9 5 7 35 beövetezésée a valószíűsége P A A A3 0, 037. 43 9 946 Az tt levezetett összefüggés a.3.4. tétel terjesztésée s tethető. Mt láttu a.3.4. tétel alajá számíthatju ét eseméy metszetée valószíűségét a feltételes valószíűség segítségével, ebbe a feladatba edg három eseméy metszetée valószíűségét számoltu a feltételes valószíűsége segítségével. Ezzel az eljárással általáos összefüggést írhatu fel, amely segítségével egy tagú metszet valószíűségét s számíthatju. A.3.4. tétel alajá P A j P A A j P A j, mert A j A j A. Ha ebbe az j j j j j összefüggésbe -a redre az,, értéeet adju és a aott egyelőségeet összeszorozzu, aor a P A j P A A j összefüggéshez jutu tt j j P, P és A 0 A j j Ezt tétel formájába s jeletjü. P szmbólumot úgy tetjü, mtha P vola..3.6. Tétel. Több eseméy metszetée valószíűségére érvéyese az alább összefüggése: P A A A P A A A P A A P ; a 3 3 A b P A j P A A j. j j.3.7. Megjegyzés. Az A és B eseméyeet függetleee evezzü, ha P A B P A P B. Soszor adódhat olya helyzet, amor em feltételes valószíűséget ell számítau, de a ísérlet szerezete szüségessé tesz a feltételes valószíűsége bevezetését. A.3.5. feladatba lehet, hogy az első ét dá húzásáról cs formácó még em jötte a teremből, de met mégs érdeel, hogy mlye esélyü va jó tételt húz. Hogya számíthatju a jó tétel húzásáa valószíűségét? Vlágos, hogy a harmad húzás llaatába az első ét húzástól függőe több lehetséges tételcsomóból húzhatu. Ha az első ét dá jó tételt 8 húzott, aor csa, míg ha az első ettő özül egy sem húzott jó tételt, aor 43 43 0. Úgy tű, hogy a téyleges valószíűség e ét érté özött va hsz az első a legrosszabb és a másod a legjobb eset. Próbálju meg számíta a vzsgált A
Statszta és valószíűségszámítás 35 eseméy valószíűségét az összes lehetséges eset fgyelembevételével! Jelöljü és A -vel a övetező eseméyeet: A : az első dá jó tételt húz; A -gyel A : a másod dá jó tételt húz. Mvel cs formácó az első ét húzás eredméyéről, az összes lehetséges meetelt meg ell vzsgálu. Vlágos, hogy eze a meetele az A, A A, A A és A A eseméyee felele meg. Tehát, ha A-val jelöljü azt az eseméyt, hogy a harmad dá jó tételt húz, aor írhatju, hogy: A A A A A A A A A A A A A. Mvel az előbb egyelőség jobb oldalá dszjut egymást záró eseméye szereele, a valószíűség tulajdosága a... d tulajdoság alajá: P A P A A A + P A A A + P A A A + P A A A. A metszete valószíűségee meghatározására haszálhatju a.3.4. tételt, tehát 8 9 0 P A A A P A A A P A A ; 43 44 45 9 0 35 P A A A P A A A P A A ; 43 44 45 9 35 0 P A A A P A A A P A A ; 43 44 45 0 34 35 P A A A P A A A P A A. 43 44 45 Ebből övetez, hogy 8 9 0 + 9 0 35 + 9 0 35 + 0 34 35 0 P A. 43 44 45 45 8 0.3.8. Megjegyzés. Az eredméy a és a özött va, tehát az eredet sejtésü 43 43 helyes volt. Látható tehát, hogy ha cs formácó az első húzásoról, aor ugyaay az esélyü, mt az első vzsgázóa. Felmerülhet tehát a érdés, hogy érdemes-e formácóat gyűjte az első vzsgázó által húzott tételeről? Mey a valószíűsége aa, hogy ha megtudju az első ét húzás eredméyét, aor esélye javula? Sőt egy még zgalmasabb érdés s felmerül, ha a sorred esetleg cs rögzítve ez em voatoz az érettség vzsgára, de általába érvéyes az egyetem vzsgára, aor meddg érdemes formácóat gyűjtögetve az ajtó előtt váraoz? Az előbb godolatmeet általáos formába a övetezőée fogalmazható meg:.3.9. A teljes valószíűség tétele. Ha a B, B,..., B és B eseméye özül bármely ettő egymást zárja, és az ísérlet mde lehetséges meeteleor özülü egy teljesül, aor egy tetszőleges -re voatozó A eseméy valószíűségére érvéyes az alább egyelőség: A B P P A P. B A
36 Statszta és valószíűségszámítás Bzoyítás. Az adott feltétele alajá megjeleő P A P A B P A B A A, és a jobb oldalo eseméye ároét zárjá egymást, tehát a... d alajá. De a feltételes valószíűség értelmezéséből övetez, hogy A B P A B P B,,, tehát a tétel állítása gaz. A.3.9. tétel segítségével azoal levezethetjü a Bayes-tételt, amelye segítségével olya feltételes valószíűségeet s számolhatu, amelyebe a ét eseméy sorredje az eddgehez éest fordított. Például, ha egy 8 ros és 6 feete golyót tartalmazó urából vsszatevés élül egyesével húzu három golyót, és a harmad húzott golyó ros, aor mey a valószíűsége aa, hogy az első golyó fehér volt? P B A P B A P A P A B P A B P B, valamt a A és a P B A A egyelősége alajá A B P B P B A B valószíűség tétele alajá P B A tételeét éve smerjü. P P j A B A B B, tehát a teljes P A P B. Ezt az összefüggést Bayes P B.3.0. Bayes tétele. Ha a B, B,..., B és B eseméye özül bármely ettő egymást zárja, és az ísérlet mde lehetséges meeteleor özülü egy teljesül, aor egy tetszőleges az -re voatozó A eseméyre érvéyes az alább egyelőség: P A B P B P B A. P A B P B j.3.. Feladat. Három urába ros és feete golyó vaa. Az első urába 5 ros és 5 feete, a másodba 4 ros és 8 feete, míg a harmadba 3 ros és 9 feete golyó található. Egy találomra választott urából veszü egy golyót. Határozd meg aa a valószíűségét, hogy a vett golyó ros, ha az egyes urá választásáa valószíűsége egyelő! Megoldás. Tulajdoée ét választás törté. Előbb az urát választju, majd az llető urából egy golyót mdét választás véletleszerű! Jelöljü A-val a ros golyó húzásáa eseméyét, és -gyel, -vel, lletve -mal az egyes urá B választásáa eseméyét. A B, B és B 3 eseméye teljesít a.3.9. tétel feltételet, tehát P A P A B P B + P A B P B + P A B P. B j j j j B 3 3 B3
Statszta és valószíűségszámítás 37 Másrészt P B P B P B 3 3, mert az urá választásáa valószíűsége 3 3, tehát 0 3 4 3 P A + + 0,36. Elleőrzhető, hogy ha a golyóat md egy 3 3 3 4 3 36 urába teé, és oa húzá egy golyót, aor a ros golyó megjeleésée valószíűsége 0, 35, tehát ha ros és feete golyó va, aor a ros 34 5 4 egyelő, és P A B, P A B, P A B golyó megjeleésée valószíűsége övelhető az által, hogy a golyóat em egy urába tárolju, haem több, em azoos szerezetű urát észítü. Ez smét so érdést eredméyez. Meddg övelhető ez a valószíűség az urá számáa vagy szerezetée stb. változtatásával?.3.. Feladat. Va ét orogu: az egy mdét oldalá ros, a mása az egy oldala ros a más feete. A övetező játéot játsszu: a ét orogot beletesszü egy alaba, majd véletleszerűe veszü egy orogot és az asztalra tesszü. Ha a oroga a felső fele ros, aor a játszótársua arra ell tele, hogy mlye szíű a orog alsó fele. Ha a orog felső fele ros, aor vsszatesszü a alaba, és újra húzu. A érdés az, hogy mre érdemes tel. Megoldás. Ha megszámozzu a orogo oldalat feltételezhetjü, hogy a rosfeete orog ros oldalát -gyel jelöltü meg, aor a húzott orog felső fele lehet PP-, lletve PP-, vagy PF-, lletve PF-, ahol PP-vel a ét ros oldalú orogot és PF-el a ülöböző szíű oldalaal redelező orogot jelöltü. Látható, hogy ha a orog az asztalo marad, aor ez a PP-, vagy a PP-, lletve a PF- esetet jelet. Így az azoos valószíűséggel redelező meetele száma 3. Látható, hogy: ha A-val és B-vel jelöljü azt az eseméyt, hogy a húzott orog alsó oldala ros, lletve, feete, aor P A és P B. Eszert érdemes arra tel, 3 3 hogy a orog alsó oldala ros. Megjegyzés. A feladat matemata léyege azoos a övetező valós élethelyzet roblémájával. Egy televízós játé győztesée három egyforma ajtó özül ell egyet választaa. Két ajtó mögött egy-egy baecse, míg a harmad mögött a egy személygéocs rejtőz. Mutá a játéos választ egy ajtót, a játévezető a más ét ajtó özül ytja az egyet, amely mögött ecse va, és megérd a játéost, hogy tart-e eredet választása mellett. A érdés ersze az, hogy tarta vagy változtat érdemesebb? Ha alaosabba végggodolju a lehetséges eseteet, azoal rájövü, hogy eze em azoos valószíűségűe, mert ha az első választás a főyereméyt rejtegető ajtóra es, aor a játévezető a más ét ajtó özül bármelyet ythatja, míg ha az első választás egy ecsét rejtegető ajtóra es, aor a játévezetőe cs választás lehetősége. Fogalmazd meg az előbb feladat megoldását a feltételes valószíűség segítségével, majd oldd meg a ecsés feladatot s!
38 Statszta és valószíűségszámítás.3.3. Feladat. Tíz azoos alaú doboz özül az első lecbe 6-6 golyó va, mdebe három ros és három feete. A tzed dobozba 0 ros és feete golyó va. Az egy, találomra választott dobozból véletleszerűe veszü egy golyót. Ha a vett golyó ros, mey a valószíűsége aa, hogy a tzed dobozból választottu? Megoldás. Jelöljü A-val a ros golyó megjeleésée eseméyét és -val a -ad ura választását, ha,0. Mvel az urát találomra választju, P B mdegy dobozt azoos valószíűséggel választhatju. A megfelelő 0 feltételes valószíűsége: P A, [,, 3, 4,..., 9} B, tehát a Bayes-tétel 5, 0 6 értelmébe 5 P A B0 P B 0 5 P B 6 0 0 A 0. 5 P A B 3 P B 9 + 0 6 Tehát 3 5 aa a valószíűsége, hogy a ros golyót a tzed dobozból húztu! B VII..4. A Posso- és a Beroull-féle modell.4.. Feladat. Ha A, A,..., A és A egymástól függetle eseméye, aor fejezzü eze függvéyébe azt az A eseméyt, amely aor és csa aor övetez be, ha az előbb eseméye özül otosa darab övetez be tehát darab beövetez, és em övetez be, majd írju fel az A valószíűségét az A, A,..., és A eseméye valószíűségée függvéyébe! A Megoldás. Azt, hogy az A A,..., és A eseméye beöveteze és a több, A eseméy em övetez be, az A A... A A + A +... A metszettel írhatju le. Ezt a darab beövetező eseméy mde lehetséges megválasztására meg ell smételü, és a aott C metszetet egyesíteü ell. A ívát eseméy tehát A A j A j, H j H j H ahol {,, 3, 4,..., }. H Ha az A eseméy valószíűsége, aor szerelő metszete valószíűsége P A...... + alaú, ahol 3 +, tehát az A fejezésébe v v, v, és,,..., az első természetes szám egy tetszőleges
Statszta és valószíűségszámítás 39 sorredje. Ebből övetez, hogy az A eseméy valószíűsége...... alaú, ahol az összegzést az halmaza a elemű + {,,..., } dexhalmaza szert végezzü. Belátható, hogy ez az összeg ée a x + x +... x + olom x tagjáa az együtthatója, tehát érvéyes a övetező tétel:.4.. Tétel. Ha az A eseméy valószíűsége, és, ahol,, valamt eze az eseméye ároét függetlee, aor aa a valószíűsége, hogy az A, A,..., A és A eseméye özül otosa darab övetezze be, a x + x +... x + olom x -t tartalmazó tagjáa az együtthatója..4.3. Példa. Három ura özül az elsőbe 4 ros és 6 feete, a másodba 4 ros és feete, a harmadba edg 3 ros és feete golyó va. Mdegy urából húzu egy-egy golyót. Mey a valószíűsége aa, hogy ros és feete golyót húzzu? Megoldás. Jelöljü P A 3 3 5 x A -val azt az eseméyt, hogy a -ad urából húzott golyó ros. A feladatba ért eseméy aor és csas aor teljesül, ha az özül otosa ettő teljesül. A feltétele alajá. A.4.. tétel értelmébe a eresett valószíűség ée az 3 4 3 F x x + x + x + 5 5 5 5 5 5 eseméye olom -es tagjáa együtthatója. Számolással elleőrzhető, hogy a eresett 58 együttható ée 0,464. 5.4.4. Megjegyzése P A C. 3. A Beroull-modellt agyo gyara egy ísérlet többször elvégzéseor alalmazhatju lásd a... éldá özül a másodat és a egyedet. A 4 P és P A 5, A 5. Azoról az eseméyeről, amelye éháy függetle eseméy özül rögzített számú eseméy beöveteztével azoosítható, azt modju, hogy a Posso-féle modellt övet.. Ha a.4.. tételbe szerelő A eseméye azoos valószíűséggel redeleze, aor azt modju, hogy az A eseméy a Beroull-féle modellt övet. Ebbe az esetbe, a tételbe megjeleő olom ée egy bom -ed hatváya, tehát Newto bomáls tétele alajá
330 Statszta és valószíűségszámítás.5. Gyaorlato és feladato. Bzoyítsd be, hogy ha P A 0,4 és P B 0, 8, aor P A B 0,.. Egy társaság tagjat yelvtudásu szert csoortosítju, és bevezetjü a övetező eseméyeet: A: a választott személy tud agolul; B: a választott személy tud émetül; C: a választott személy tud fracául. Ha smered az A, B és C eseméy valószíűségét, határozd meg aa a valószíűségét, hogy egy tetszőlegese választott személy az említett három yelv özül legalább az egy yelve beszél! 3. Határozd meg aa a valószíűségét, hogy egy találomra választott, legfeljebb százjegyű természetes szám égyzetée utolsó ét számjegye a és az! 4. Egyszerre dobu hat szabályos dobóocával. Mey a valószíűsége aa, hogy legalább ét dobóocá azoos otszám jele meg? 5. Egy dobozba 4 ros golyó va. Legevesebb háy feete golyót ell a dobozba elhelyezü ahhoz, hogy egy találomra húzott golyó legalább 0,9 valószíűséggel feete legye? 6. Számozzu meg tíz orogot a 0,,, 3,, 9 számoal, és tegyü a orogoat egy urába. Véletleszerűe, egymás utá húzzu öt golyót, és helyezzü el a húzáso sorredjébe egymás utá. Mey a valószíűsége aa, hogy az így aott szám a osztható 3-mal; b osztható 396-tal? 7. Az S {,, 3, 4,..., } halmaz összes részhalmaza özül válasszu ét részhalmazt vsszatevéssel. Mey a valószíűsége aa, hogy a ét választott halmaz metszete üres? 8. Az S {,, 3, 4,..., } halmaz összes részhalmaza özül válasszu vsszatevéssel darab részhalmazt. Mey a valószíűsége, aa, hogy a választott halmazo ároét em metsz egymást? 9. Egy ládába ros és m feete golyó va. Véletleszerűe húzu özülü darabot. M a valószíűsége aa, hogy a húzott golyó özött otosa r ros golyó va? j j 0. Az előbb feladat segítségével számítsd a C C összeget!. Mey a valószíűsége aa, hogy a C szám osztható 7-tel, ha egy 7-él agyobb természetes szám?. Két szabályos dobóocával dobu. Mey a valószíűsége aa, hogy ét ötöst dobtu, ha tudju, hogy a dobott számo összege osztható 5-tel? 3. Mde másodercbe más dőszatól függetleül valószíűséggel halad el egy autó az úto. A gyalogosa három másodercre va szüsége ahhoz, hogy átérje az úttest más oldalára. Mey a valószíűsége aa, hogy egy átel szádéozó gyalogosa em ell 4 másodercél többet vára arra, hogy átmehesse az úto? 7 j 0 m
Statszta és valószíűségszámítás 33 4. Két ocát addg dobu, amíg legalább az egyel hatost dobu. Mey a valószíűsége aa, hogy az első hatost ée a -ad dobásor érjü el? 5. Addg dobu egy ocával, amíg ötösél sebb számot au. Mey a valószíűsége aa, hogy az utolsó dobás eredméye legalább ettő? 6. A számegyees egész oordátájú otja egy bolha ugrál. Mde másodercbe valószíűséggel ugr jobbra és valószíűséggel balra. Határozd meg aa a valószíűségét, hogy másoderc utá a bolha az orgóból az m abszcsszájú otba erül! 7. Baach ét doboz gyufát vásárolt, és valaháyszor gyufát ell gyújtaa mdg találomra vagy az egy, vagy a más gyufásdobozt vesz elő és mdg egyetle szál gyufát haszál el. a Mey a valószíűsége aa, hogy amor észrevesz, hogy az egy dobozba már cs gyufa, aor a másba ée darab gyufaszál legye, ha eredetleg mdét dobozba otosa darab gyufaszál volt? Aor vesz észre, hogy a doboz üres, amor az + -ed gyufaszálat róbálja előve az llető dobozból. b Bzoyítsd be, hogy C! 0 c Általáosítsd az előbb feladatot, és vezess le az előbbhez hasoló azoosságoat! 8. Egy vasút szerelvéy ocsból áll. A utas mdegye találomra választ egy ocst és felszáll a választott ocsba. a Mey a valószíűsége aa, hogy mdegy ocsba legalább egy utas va? b Mey a valószíűsége aa, hogy az ocs özül otosa r-be lesze utaso? c Számítsd az C j összeget, ha az -él em agyobb j j j természetes szám! 9. Mama levelet írt meg, és leragasztotta a borítéoat aélül, hogy megcímezte vola. Ezutá az ülöböző címet találomra ráírta a borítéora. Mey a valószíűsége aa, hogy a címzette özül legalább egy a e írt levelet aja? 0. Ha K egy tetszőleges szám, határozd meg aa a valószíűségét, hogy a szám első számjegye megegyezzee a K számjegyevel?. Bzoyítsd be, hogy ha a, R oztív számo összege, aor m m + >, ahol m és természetes számo.
33 Statszta és valószíűségszámítás VII.3. Valószíűség változó VII.3.. Valószíűség változó értelmezése A valószíűségszámítás feladato esetébe láttu, hogy léteze olya helyzete, amor em csa egy cselevés eseméy valószíűsége érdeel, haem az összes lehetséges eseméy özül ell választau, és ehhez mde eseméy valószíűségét smerü ell. Például, vala egyesével húzogatja a ártyáat egy csomag magyar ártyából, és eü ell találu az első ász húzását az azelőtt ártyáról cs formácó. Kérdés, hogy háyad húzásál érdemes telü. Vzsgálju meg {,, 3,..., 9} eseté, hogy m a valószíűsége aa, hogy az első ász ée a -ad húzásor jö. Az első húzott ász az első 9 ártya özt ell hogy legye, mert égy ász va a csomagba. A lehetséges esete száma a húzáso lehetséges sorredjée száma V 3. Eze özül edvező, ha az első ártyát a 8 darab, ásztól ülöböző ártyából és a 9-edet a égy ász özül húzzu. 8 Ezt 4 V ülöböző módo tehetjü meg. Tehát aa a valószíűsége, hogy a - 3 3 30 ad húzásál jele meg az első ász. A aott értée ét 8 9 30 3 tzedesy özelítéset táblázatba foglalju úgy, hogy mde -a megfeleltetjü az előbb eredméyt. 3 4 56 6 7 8 9 0 0,5 0, 0,0 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,05 0,04 3 4 5 6 7 8 9 0,03 0,03 0,03 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,007 A több -a megfelelő értéeet em írtu be, mert 0,0-ál sebbe. Mt láthatju, érdemes arra tel, hogy az első húzás ász. Ha a táblázatba a valószíűsége otos értéét írju, és mde {,, 3,..., 9} -re töltjü a táblázatot, aor ez egy függvéye tethető, amely mde {,, 3,..., 9} -re megadja aa a valószíűségét, hogy az első húzott ász a -ad. Általába az E eseméyhalmazt valamlye számhalmaz segítségével rerezetálju, ezért tetjü az : E R függvéyt, amely mde E-bel eseméyhez hozzáredel egy valós számot. Ha -gyel, x -vel,, x -el jelöljü az x lehetséges értéee halmazát, aor azt a függvéyt, amely megadja mde x érté megjeleésée a valószíűségét, az valószíűség változó eloszlásfüggvéyée evezzü. Az eddgeet a övetező értelmezésebe foglaltu össze: 3... Értelmezés. Ha E egy teljes eseméyredszer az E eseméye ároét zárjá egymást, és egyesítésü a bztos eseméy, aor az : E R függvéyt valószíűség változóa evezzü. Csa olya változóat vzsgálu, amelye véges so értéet vehete fel.