Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztius folyamato Medvegyev Péter 9. május 6.

Tartalomjegyzé 1. A sztochasztius folyamato általános elmélete 1 1.1. Sztochasztius folyamato trajetóriái......................... 1 1.. Filtráció, adaptált és progresszíven mérhet folyamato............... 3 1.3. Megállási id....................................... 8 1.4. Megállított változó, folyamato és σ-algebrá.................... 11. Martingálo és a megállási opcióról szóló tétel 14.1. Folytonos id paraméter martingálo deníciója................... 14.. A megállási opcióról szóló tétel............................ 18 3. Poisson-folyamat 5 3.1. Lévy-folyamato..................................... 5 3.. Poisson-folyamato.................................... 9 3..1. A gamma és a béta eloszlás........................... 31 3... Poisson-folyamato és az egyenletes eloszlás.................. 37 3.3. Sztochasztius integrálás................................. 38 3.3.1. Az integrál deníciója.............................. 38 3.3.. A parciális integrálás formulája......................... 39 3.3.3. A sztochasztius integrál mior lesz martingál?................ 4 3.4. Független Poisson-folyamato ugrásai......................... 44 3.5. Függelé: Fourier-transzformáció és függetlenség................... 45 3.6. Függelé: A regressziós függvény iszámolásána egy fontos esete.......... 48 4. Sztochasztius integrálás 49 4.1. Az integrál létezése.................................... 49 4.. A sztochasztius integrál tulajdonságai......................... 55 4.3. Mior lesz a sztochasztius integrál martingál?.................... 58 5. Itô-formula 6 5.1. Másodrend özelítése, vadratius variáció..................... 6 5.. Itô-formula id t l függ transzformációs függvény esetén............... 6 5.3. Az Itô-formula és a parciális integrálás formulája................... 63 5.4. A formula néhány alalmazása............................. 64 6. Wiener-folyamat 67 6.1. Wiener-folyamat visszatérése az origóba........................ 7 6.. Folytonos Lévy-folyamato és a centrális határeloszlás tétele............. 74 6.3. A Lévy-féle araterizációs tétel............................. 75 6.4. Parciális dierenciálegyenlete............................. 77 6.4.1. Lineáris sztochasztius dierenciálegyenlete................. 78 6.4.. A BlacScholes egyenlet............................ 78 6.4.3. Parciális és sztochasztius dierenciálegyenlete............... 8 6.4.4. A derivatív árazás alapéplete.......................... 83 i

ii TARTALOMJEGYZÉK 6.4.5. Példá....................................... 83

TARTALOMJEGYZÉK iii Ezt a jegyzetet ét oból írtam: Egyrészt össze aartam foglalni a Gazdaságmatematia szaon az elmúlt három évben tartott el adásaimat, másrészt egyértem en jelezni aartam a hallgatóna, hogy mi a tananyag, mit váro el t lü a vizsgán. A jegyzet pontosan öveti a medvegyev.uni-corvinus.hu honlapon szerepl tananyagot. Mintegy anna öszefoglalása és összeszeresztése. A tananyag tartalmán három év alatt nem soat változtattam. A jegyzet összeállítása során viszonylag önny dolgom lett volna ha a feltöltött állományo egy jelent s részéne nem veszett volna el a forrása. Ez sem oozott azonban so gondott ugyanis így csa vissza ellett nyúlnom az eredeti forrásuhoz, a Valószín ségszámítás és a Sztochasztius analízis önyvehez. Evvel persze az elmúlt éve isebb javításai esetleg elveszte és esetleg az eredeti anyagoban lev hibá újra visszaerülte. Természetesen a jegyzet alapvet en a sztochasztius folyamato modern elméletér l szól, de mindig a özgazdasági, els sorban pénzügyi alalmazáso szemléletéb l iindulva. Ezért a tárgyalás tengelyében a sztochasztius integrálás elmélete van. Az egyes fejezete a honlapon jelzett pontona felelne meg. Id nént el rehivatozásoal is találozhat az olvasó, és általában a tétele rendje nem feltétlenül logius. Ugyanis ez egy jegyzet és nem egy tanönyv.

1. fejezet A sztochasztius folyamato általános elmélete A továbbiaban rögzítsü az Ω, A, P valószín ségi mez t. Az Ω, A szerint mérhet, valós szám érté függvénye összességére mint valószín ségi változóra 1 fogun hivatozni. Az Ω, A, P mez r l feltesszü, hogy teljes, vagyis tartalmazza a nulla valószín séggel rendelez halmazo összes részhalmazát is. Ez a feltétel, bár nem jelent megszorítást némiéppen meglep. A teljességre azonban folyamatosan szüségün lesz. Például folytonos id paraméter mellett is biztosítani szeretnén, hogy a Borel-halmazo találati ideje 3 mindig megállási id 4 legyen. Enne igazolása a vetítési tételre 5 épül, és a vetítési tétel alalmazásaor fel ell tételezni a mérhet tér teljességét. A sztochasztius folyamato elméletében soszor találozhatun olyan mérhet függvényeel, amelye pozitív mérté halmazon végtelene, vagyis a függvény értéészlete hangsúlyozottan nem az R, hanem a iterjesztett valós számo R [, ] halmaza. A legfontosabb példát a véletlen id pontban beövetez, úgynevezett megállási id, más néven megállási szabályo szolgáltatjá. Ha a megállási szabály által reprezentált esemény valamely imenetelre nem övetezi be, aor a szabály értéét az adott imenetelen célszer végtelenne választani, így a megállási id értée pozitív valószín ség halmazon végtelen lehet. A sztochasztius folyamato értéeit minden id pontban valószín ségi változóna teintjü, el fordulhat azonban, hogy valamely sztochasztius folyamat értée bizonyos id pontoban végtelen 6. 1.1. Sztochasztius folyamato trajetóriái Els megözelítésben a sztochasztius folyamat olyan X t, ω étváltozós függvény, amely rögzített t paraméter esetén az Ω, A, P téren értelmezett valószín ségi változó. A lehetséges id paramétere Θ halmaza rendszerint a valós számo részhalmaza. Ha folytonos idej sztochasztius folyamatoat vizsgálun, aor a Θ egy intervallum, általában Θ R + [,, de paraméterhalmazént a [, ] és a, is gyaran el fordul. A továbbiaban, ha máséppen nem említjü, aor a lehetséges id ponto Θ halmazán az R + félegyenest értjü. A sztochasztius folyamat deníció azonban pontosításra szorul. A valószín ségi változó a valószín ségszámítás és a matematiai analízis felfogása szerint evivalenciaosztályo. Enne megfelel en rögzített ω esetén nem beszél- 1V.ö.: A valószín ségi változó fogalma és trajetóriá problémája. A teljesség feltétele mindig garantálható, így ártalmatlan és lényegtelen feltételne t ni. A megötés meglep volta éppen az, hogy erre a jelentételen, és éppen ezért gyanús feltételre egyáltalán szüség van. A feltétel gyanús volta éppen abban áll, hogy a valószín ségszámításban használt absztrat mértéelmélet ifejtése során a teljességre tulajdonéppen nincsen szüség. 3V.ö.: 1.19. deníció, 1. oldal. 4V.ö.: 1.14. deníció, 8. oldal. 5V.ö.: 1.. tétel, 1. oldal. 6Tipius példa a pontfolyamatohoz rendelt számláló folyamat. 1

1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE hetün az X t, ω értér l 7. Mivel erre szüségün van, a továbbiaban valószín ségi változó alatt nem az evivalenciaosztályt, hanem a függvényosztályból alalmas szabályo szerint ivett onrét reprezentánst értün 8. Máséppen a sztochasztius folyamat megadásaor meg ell adni a függvényosztályt, amely tartalmazza a trajetóriáat. 1.1 Deníció. Valamely Ω, A,P mez n és Θ id halmazon értelmezett sztochasztius folyamaton olyan a Θ Ω halmazon értelmezett étváltozós függvényt értün, amely a másodi oordinátájában az Ω, A, P mez n értelmezett mérhet valós függvény. 1. Deníció. Ha az ω Ω imenetelt rögzítjü, aor a t X t, ω hozzárendeléssel deniált X, ω : Θ R függvényt az X sztochasztius folyamat ω imenetel melletti realizációjána vagy trajetóriájána fogju nevezni. Ebben a felfogásban a folyamat onrét realizációja nem id pontonént függ a véletlent l, hanem a realizáció egésze függ t le. A sztochasztius folyamato lezajlását nem célszer úgy elgondolni, hogy minden id pontban ocát vetün, hanem úgy, hogy a folyamat elején egyszer generálun egy véletlen imenetelt, amely már iválasztja a folyamat teljes realizációját. A látszólagos szemléleti ellentmondást úgy oldhatju fel, ha megjegyezzü, hogy az Ω halmaz általában már maga is függvénytér, amely a t Θ paramétert l függ függvényeb l áll, tehát az ω Ω meghatározása egy véletlen folyam iválasztását jelenti 9. Mindjárt a tárgyalás elején célszer jelezni, hogy a trajetóriáról folytonossági megötéseet fogun tenni. Igen gyaran meg fogju övetelni a trajetóriá folytonosságát, vagy hogy a trajetóriána minden id pontban legyen jobb és bal oldali határértée. 1.3 Deníció. Az X folyamatot jobbról regulárisna mondju, ha a trajetóriái jobbról folytonosa és rendelezne bal oldali határértéel. Hasonlóan, ha a folyamat trajetóriái balról folytonosa és rendelezne jobb oldali határértéel, aor a folyamatot balról regulárisna mondju. Az értelmezési tartomány alsó határán a folyamat bal oldali határértéén, illetve az értelmezési tartomány fels határán a folyamat jobb oldali határértéén, deníció szerint, a folyamat helyettesítési értéét értjü, feltéve természetesen a helyettesítési érté létezi. Némiéppen meglep, de az, hogy a szaadási pontoban a folyamat a jobb, vagy a bal oldali határértéét veszi fel lényeges megötést jelent. Ezt azért érdemes jelezni, hogy az olvasó mindjárt a tárgyalás elején érzéelje a trajetóriára, illetve a folyamatora tett mérhet ségi és folytonossági megötése súlyát. Ha az X folyamat trajetóriái minden id pontban rendelezne jobb és bal oldali határértéel, aor beszélhetün a folyamat X t X t+ X t ugrásairól. Az értelmezési tartomány alsó és fels határán a határértéere vonatozó onvencióna megfelel en az R + -on értelmezett, jobbról reguláris függvény esetén X X + X. Például a χ R+ függvény, legalábbis mint sztochasztius folyamat a t pontban balról és jobbról is folytonos, a t nulla pontban vett ugrása a onvencióna megfelel en 7Ez az a nullmérté halmazo bosszúja!!! Most búji i a szög a zsából. Pontosabban már ibújt a feltételes várható érté deníciójaor, de aor még nem látta seni. 8Az, hogy ez megtehet vagy sem, az mindig egy jó érdés. Szemben a valószín ségszámítás legtöbb érdésével a sztochasztius folyamato elmélete egy sor nem triviális részletérdéssel terhelt, igen techniás terület. A szüséges technia elsajátításána ényszere éppen a nullmérté halmazo bosszúja! 9Általában Ω a lehetséges trajetóriá halmaza, és a ülönböz folyamatoat az Ω-án megadott mértée deniáljá. Ebben a szemléletben a folyamato, vagy legalábbis az alapfolyamato, onstruciója alalmas mértée onstruálását jelenti. Ha Ω a lehetséges trajetóriá tere, aor a folyamat anonius modelljér l beszélün. A sztochasztius folyamato elmélete nem függvénytér érté valószín ségi változóal foglalozó valószín ségszámítás, de az elmélet számos érdése függvénytereen értelmezett mértée vizsgálatára vezethet vissza.

1.. FILTRÁCIÓ, ADAPTÁLT ÉS PROGRESSZÍVEN MÉRHETŽ FOLYAMATOK 3 nem egy hanem nulla! Természetesen nem aarju a határérté fogalmát újradeniálni 1, csa a szóhasználat egyszer sítésér l és a terminológia pontosításáról van szó. 1.. Filtráció, adaptált és progresszíven mérhet folyamato Minden folyamat alapvet sajátossága az alapul vett id irreverzíbilis változása. Az id múlását a ltráció fogalma írja le. 1.4 Deníció. Az Ω, A, P valószín ségi mez n minden t Θ id ponthoz rendeljü hozzá egy F t A σ-algebrát. Ha minden s < t esetén F s F t, aor az F F t t Θ összességet eseményfolyamna, ltrációna nevezzü. Az Ω, A,P, F négyest sztochasztius alaptérne mondju. Az F ltráció segítségével elészíthetjü az F t+ s>t F s, σ-algebrát. 1. Az F ltráció jobbról folytonos, ha minden t-re F t F t+.. Azt mondju, hogy az Ω, A,P, F sztochasztius alaptér teljesíti a szoásos feltételeet ha az F jobbról folytonos, az F tartalmazza az Ω, A, P nulla halmazait valamint az Ω, A,P teljes. Miént az elnevezés is mutatja, a sztochasztius alaptérr l mindig fel fogju tenni a szoásos feltételeet. Az F t σ-algebrát szoás úgy interpretálni, mint az olyan eseménye halmaza, amelye beövetezése, illetve be nem övetezése a t id pontig eldönthet, máséppen fogalmazva F t a t id pontig felhalmozódott információ összessége. A nulla halmazora vonatozó feltétel úgy interpretálható, hogy eze beövetezését irrelevánsna gondolju. A ltráció fogalmával esetlegesen el ször találozó olvasóban felmerülhet, hogy miént lehet ltrációt észíteni, illetve hogy az A σ-algebrána milyen rész σ-algebrái vanna. Filtrációt számos módszerrel lehet megadni. Teintsü az úgynevezett anonius modellt, vagyis tegyü fel, hogy az Ω elemei a Θ paramétertéren értelmezett alalmas tulajdonsággal rendelez függvénye, és az Ω, A eseménytér legyen a szorzatmérhet ség által induált mérhet ségi strutúra, vagyis teintsü az {ω : ω t 1 I 1,..., ω t n I n } 1.1 alaú halmazo által generált σ-algebrát, ahol a t 1,..., t n id ponto a Θ tetsz leges elemei, az I 1,..., I n pedig az esemény megfogalmazásához szüséges halmazo. Ha az F t halmazt úgy deniálju, mint az olyan 1.1 alaú halmazo által generált σ-algebrát, amelyere a t i id ponto egyie sem nagyobb mint t, aor monoton növeed σ-algebra sorozathoz jutun. Az F t ismeretében az Y t, ω ω t folyamat atuális realizációját meghatározó ω imenetel t id pontig való lefutása meghatározható, hiszen tetsz leges s t id pontra és I intervallumra eldönthet, hogy az {ω s I} F t esemény teljesült vagy sem. Természetesen, ha s > t, aor az ω s alaulását az Ft már nem írja el. Ez a onstrució speciális esete a övetez ne: Rögzítsü az X alapfolyamatot, és Ft X σ X s : s t. Mindét esetben a fels index arra utal, hogy a deniált ltráció még nem azonos a tényleges ltrációval. Enne oa, hogy a folyamat által generált ltráció általában nem teljesíti a szoásos feltételeet, azaz nem tartalmazza a nullmérté halmazoat és legtöbbször nem jobbról folytonos. Mivel ez igen nagy hiányosság, ezért az F X ltrációt i ell b víteni. Leggyarabban a tényleges F ltrációt az X alapfolyamat és az Ω, A, P-nullmérté halmazo 1 Az értelmezési tartományon ívülr l nem lehet határértéet venni, így az általun bevezetett onvenció nem ütözi a megszoott denícióval. Megjegyezzü, hogy az irodalomban néhány szerz az X onvencióval él. Ilyenor általában X X.

4 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE valamilyen N A osztálya generálja, vagyis F t σ Ft X N. Az így apott F ltrációt szoás az F X ib vített ltrációjána mondani. Meglep módon a ib vített ltráció igen gyaran 11 jobbról folytonos, vagyis teljesíti a szoásos feltételeet. Ezt mutatju be a övetez alapvet jelent ség példával 1 : 1.5 Példa. A ltráció ib vítése lényeges, az F X t σ X s : s t nem feltétlenül jobbról folytonos. Az X folyamat legyen egy w Wienerfolyamat és F legyen az olyan ω imenetele halmaza, amelyhez van ε >, hogy a [, ε] szaaszon a w ω trajetória nulla. Világos, hogy F n F n, ahol F n az olyan imenetele halmaza, ahol a w ω nulla a [, 1/n] szaaszon. Az F n mérhet, hiszen evivalens a w r n, ω, r n [, 1/n] Q feltétellel 13. Evidens módon 14 P F n, ezért az F is mérhet és P F. Deníció szerint w, ezért F {Ω, }, ugyanis tetsz leges onstans érté függvény által generált σ-algebra csa az üres halmazból, illetve az alaphalmazból áll 15. Tehát 16 F / F. Ha t > és 1/n t, aor F n F t, amib l 1/n t F n F t. Ugyanaor tetsz leges t-re 1/n t F n F, ugyanis evidens módon 1/n t F n F, de ha ω F, aor alalmasan nagy n-re ω F n 1/n t F n. Ebb l viszont F t> F t F +, vagyis F F +. A példa fényében némiéppen meglep a övetez állítás: 1.6 Állítás. Ha F jelöli valamely w Wiener-folyamat ib vített ltrációját, aor az F jobbról folytonos. 1.7 Deníció. Adaptált folyamat Ha az X folyamat minden t id pontban az ω szerint F t -mérhet, vagyis ha minden t-re az X t változó, F t -mérhet, aor azt mondju, hogy az X adaptált az F-re nézve 17. Az A Θ Ω halmazt adaptáltna mondju, ha az A halmaz χ A araterisztius függvénye adaptált. A továbbiaban, ha csa explicite nem mondju az ellenez jét, mindig csa adaptált folyamatoal foglalozun. Könnyen belátható, hogy az adaptált halmazo σ-algebrát alotna. Az adaptáltság és a mérhet ség özötti ülönbség választja el a mértéelméletet a sztochasztius folyamatotól. Az F t σ-algebrá elvileg jóval sz ebbe lehetne mint az A, de mivel csa adaptált folyamatoal foglalozun, feltehetjü 18, hogy A F, ahol F σ F t : t Θ. 11Vegyü észre, hogy ha a ltráció jobbról folytonos, aor a nullhalmazoal ib vített ltráció is jobbról folytonos marad, tehát a jobbról folytonosság garantálása a nehezebb. 1A Wiener-folyamattal és bb részletesebben foglalozni fogun. A jelen példa els olvasásra ihagyható. 13Ugyanis a w trajetóriái deníció szerint folytonosa. 14A folyamat értééne eloszlása minden id pontban folytonos, ugyanis a w t minden t-re normális eloszlású. Így nulla anna a valószín sége, hogy w a folyamat megszámlálható el re megadott pontban nulla értéet vegyen fel. 15 Ugyanis a generált σ-algebra az f 1 B, B Borel-halmaz, alaú halmazoból áll, és ha f azonosan onstans, aor az f 1 B vagy üres, vagy a teljes Ω. 16Felmerülhet a érdés, hogy esetleg F. Megmutatható hogy ha Ω C [, jelöli a [, szaaszon értelmezett folytonos függvénye összességét és A a C [, szeparábilis metrius tér Borelhalmazai, aor van olyan P valószín ségi mérté az Ω, A mérhet strutúrán, amelyre a w t, ω ω t, ω Ω oordinátafolyamat Wienerfolyamat. A pontosság edvéért a Wienerfolyamatot w -val deniáltu, ezért a C [, helyett csa a t -ban nulla függvényeet ell venni, de ez a gondolatmenetet nem befolyásolja. Ebben a speciális esetben az F evidens módon teljesül. 17Az irodalomban szoás volt jöv t l való függetlenségr l beszélni. Ez alatt az ellett érteni, hogy a folyamat értée a t id pontban nem függ a t után felvett értéét l, a folyamatna nincsene a jöv re nézve váraozásai. 18Feltehetjü, de enne semmi jelent sége a és bbieben nem lesz.

1.. FILTRÁCIÓ, ADAPTÁLT ÉS PROGRESSZÍVEN MÉRHETŽ FOLYAMATOK 5 1.8 Példa. Ha F t {, Ω} minden t-re, aor csa az ω szerint onstans értéet felvev sztochasztius folyamato adaptálta 19. Az F t A minden t-re, ltrációra nézve minden sztochasztius folyamat adaptált. 1.9 Deníció. Progresszíven mérhet folyamat Az A Θ Ω halmazt progresszíven mérhet ne mondju, ha minden t Θ esetén A [, t] Ω B [, t] F t, vagyis az A halmazna a [, t] Ω halmazra való lesz ítése B [, t] F t -mérhet. A progresszíven mérhet halmazo σ-algebrát alotna, amelyet R-rel fogun jelölni. Az X folyamat progresszíven mérhet, ha mint étváltozós függvény R-mérhet. A progresszíven való mérhet ség fogalma némiéppen er ltetettne t ni. Miért nem elegend az adaptáltság? Milyen heurisztius indo magyarázza a progresszíven való mérhet ség bevezetését? A ltrációt általában valamilyen, a vizsgált modellben szerepl, ott explicit módon megadott üls véletlen forrás deniálja: a ltráció általában ezen üls forrás által generált ltráció, természetesen iegészítve a nullmérté halmazoal. Ilyenor a generált σ-algebrá strutúrája szerint 1 az Ft σ-algebrában szerepl tetsz leges eseményt a véletlen forrás t el tti megszámlálható számú id pontban való meggyeléséb l származó információ írja le. Az F t -ben tehát nullmérté halmaztól elteintve a megszámlálható meggyeléssel leírható halmazo vanna. Enne megfelel en az adaptáltság heurisztiusan a megszámlálható id pontban meggyelt információtól való függést jelenti. A progresszíven való mérhet ség megövetelése esetén a nem megszámlálható számosságú id pontoban való meggyeléseet is gyelembe aarju venni. Hangsúlyozzu, hogy az adaptáltság a parciális mérhet ségne megfelel fogalom, a progresszíven való mérhet ség a szorzatmérhet ség általánosítása. Általában a szorzatmérhet ség garantálása nem is olyan egyszer. Az egyedüli jól használható ritérium a övetez : 1.1 Állítás. Ha az X adaptált folyamat minden realizációja minden id pontban vagy balról vagy jobbról folytonos, aor az X progresszíven mérhet 3. Bizonyítás: Jelölje F a ltrációt. Tegyü fel, hogy a folyamat trajetóriái jobbról folytonosa. Az egyszer bb jelölés végett vegyü a [, intervallumot, és rögzítsün le egy t > id pontot. Jelölje X a lesz ített folyamatot. Minden n N természetes számra osszu fel a [, t] intervallumot n részre, és { X t X n s, ω, ω ] ha s 1t n, t n n. X, ω ha s Mivel az s F s monoton, ezért az X n lépcs s folyamat B [, t] F t mérhet. A feltételezett jobbról való folytonosság miatt, ha s, ω [, t] Ω, aor lim X n s, ω X s, ω, n 19Ezeet szoás determinisztius folyamatona mondani. Vagy ami ugyanaz, minden t esetén a folyamat lesz ítése a [, t] id szaszra B [, t] Ft-mérhet. 1A mértéelméleti bevezetés során meg szoás mutatni, hogy valamely függvényhalmaz által generált σ-algebra minden eleme benne van egy az eredeti halmaz egy alalmas megszámlálható részhalmaza által generált σ- algebrában. Máséppen egy függvényhalmaz által generált σ-algebra a generáló függvénysereg megszámlálható részhalmazai által generált σ-algebrá egyesítése. Kés bb látni fogju, hogy a progresszíven való mérhet ség a sztochasztius folyamato trajetóriánénti integrálása során, illetve a megállított változó mérhet ségéne indolásaor szerepel. Mindét esetben a onstrució során észített változó értée az eredeti folyamat nem megszámlálható id pontban felvett értéét l függ. 3A balról illetve a jobbról való folytonosság nem imenetenént értend, hanem az egész folyamatra nézve vagy az egyi vagy a mási oldali folytonosságna ell teljesülnie. Ismételten hangsúlyozzu, hogy szinte ivétel nélül mindig feltesszü, hogy a trajetóriá regulárisa, vagyis hogy a trajetóriána nincsen másodfajú szaadása, és valamelyi oldalról folytonosa. Enne megfelel en a progresszív mérhet ség igen enyhe megötés. Mivel az F t A ltrációra minden sztochasztius folyamat adaptált, ezért speciálisan minden, az id paraméter szerint jobbról, vagy balról folytonos folyamat szorzatmérhet.

6 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE ezért az X is B [, t] F t mérhet. A bizonyítás cseély módosításával, az X n deníciójában az intervallum mási végpontját megadva, az állítás igazolható aor is, ha az X balról folytonos. 1.11 Példa. X t X t X t folyamat progresszíven mérhet. Progresszíven mérhet folyamatora a anonius példát a reguláris trajetóriájú sztochasztius folyamato ugrásaiból álló folyamato szolgáltatjá. Ha az X folyamat például jobbról reguláris, aor az ugrásaiból álló X t X t X t folyamat nem lesz se jobbról, se balról folytonos, de progresszíven mérhet lesz, ugyanis ét progresszíven mérhet függvény ülönbsége. 1.1 Példa. Adaptált folyamat, amely nem progresszíven mérhet. Legyen Θ Ω [, 1], a σ-algebra mind a ét halmazon legyen B [, 1]. Az F ltráció minden t-re álljon a [, 1] egy pontból álló részhalmazai által generált σ-algebra halmazaiból. Legyen { 1 ha t ω X t, ω ha t ω. Vagyis X legyen a {t, ω : t ω} [, 1] [, 1] átló araterisztius függvénye. Az X t minden t id pontban csa ét értéet vehet fel, és triviálisan adaptált az F ltrációra nézve 4. Ugyanaor az X például nem B Θ F 1/ mérhet, és ezért az X nem progresszíven mérhet. Ha az X folyamat szorzat mérhet lenne, aor a [, 1/] Ω [, 1/] Ω {X 1} halmaz is szorzat mérhet lenne és a halmaz Ω halmazra való vetületéne, vagyis a [, 1/] halmazna, mérhet ne ellene lenni 5. Vegyü észre, hogy ha P az Ω [, 1] halmazon a Lebesguemérté, aor az X t minden t id pontban evivalens az Y t progresszíven mérhet folyamattal, vagyis az X-hez található olyan Y progresszíven mérhet folyamat, hogy minden t-re az X t és az Y t valószín ségi változó ugyanabba az osztályba tartozna. A progresszíven való mérhet ség igen enyhe feltétel, tulajdonéppen a sztochasztius folyamato elméletében használható legenyhébb használható mérhet ségi megötés. A progresszíven való mérhet ség fontos övetezménye, amely a Fubinitétel özvetlen folyománya, hogy a feltétel teljesüléseor tetsz leges µ loálisan véges 6 mérté esetén a t, ω t X s, ω dµ s integrálfolyamat adaptált marad. Hangsúlyozni ell, hogy a µ mérténe loálisan végesség miatt deniálható a V t µ, t] eloszlásfüggvénye, amely egy orlátos változású függvény. Ha µ {}, aor a V jobbról reguláris. A µ {} megötésre a t pontban tett speciális megötése miatt van szüség. Ezt az észrevételt általánosíthatju véletlen mértée esetére is. 1.13 Állítás. Legyen V jobbról reguláris és adaptált folyamat. Tegyü fel továbbá, hogy a V mindegyi trajetóriája véges változású, vagyis az összes [, t]. ompat id szaaszon az összes trajetória orlátos változású. 4Az {X t 1} halmaz egyetlen pontból áll és így eleme az egy pontból álló halmazo által generált σ- algebrána. 5Ha a legfeljebb megszámlálható halmazo mértée nulla, a nem megszámlálhatóé pedig egy aor a mértétér teljes. 6A loálisan végesség deníció szerint azt jelenti, hogy minden ompat halmaz mértée véges. Így a µ σ-véges.

1.. FILTRÁCIÓ, ADAPTÁLT ÉS PROGRESSZÍVEN MÉRHETŽ FOLYAMATOK 7 1. Ha minden ω imenetelre az X ω trajetóriá a V ω mértére nézve az összes véges id szaaszon integrálhatóa, aor az Y t, ω t X s, ω V ds, ω χ, t] X s, ω V ds, ω χ [, t] X s, ω V ds, ω parametrius integrálo jobbról regulárisa. Speciálisan ez a tulajdonság teljesül, ha az X trajetóriái regulárisa 7.. Ha az X progresszíven mérhet, aor az Y adaptált. Bizonyítás: Az állítás els fele a majorált onvergencia tétel özvetlen övetezménye. Például Y t+, ω lim t+h h t+1 lim h t+1 lim h t+1 lim h t X s, ω V ds, ω χ [, t + h] X s, ω V ds, ω lim h χ [, t + h] X s, ω V ds, ω χ [, t] X s, ω V ds, ω X s, ω V ds, ω Y t, ω. A bizonyításban természetesen minden egyes ω imenetelre a V ω trajetória által generált mérté szerint ellett ülön-ülön integrálni. A reguláris trajetória deníciója miatt a V minden trajetóriája folytonos a t pontban, így a {t } pont mértée az összes imenetelre nulla. Az els tulajdonság másodi fele egyszer övetezménye anna, hogy egy reguláris függvény minden ompat halmazon orlátos: Ha ez nem így lenne és egy reguláris f függvény egy ompat [a, b] szaaszon nem lenne orlátos, aor egy alalmas az [a, b] szaaszból vett t n sorozatra f t n n lenne. Mivel az [a, b] ompat ezért feltehet, hogy a sorozatna van részsorozata, amely egy t [a, b] ponthoz onvergál. A számegyenes elemi tulajdonsága miatt a t vagy egy jobbról vagy balról vett sorozattal és elérhet. De ez triviálisan ellentmond anna, hogy az f-ne minden pontban van jobbról és balról is határértée. A bizonyítás másodi felére rátérve vegyü észre, hogy mivel a V nem determinisztius, az állítás másodi feléne igazolásához nem alalmazhatju özvetlenül a Fubini-tételt, de a Fubini-tétel bizonyításána gondolatmenete értelemszer en iterjeszthet erre az esetre is. Jelölje H az olyan orlátos folyamato családját, amelyre az Y t minden t-re F t -mérhet. Mivel a feltétel szerint a véges id szaaszoon a V minden trajetóriája orlátos változású, ezért az általa generált mérté minden imenetelre minden véges id szaaszon véges, így a orlátos függvénye integrálhatóa, övetezéséppen a H lineáris tér és a H, tartalmazza a onstans X 1 folyamatot. Ha H n H és H n H és a H orlátos, aor a domináns onvergencia tétel miatt H H. Ebb l övetez en a H egy λ-rendszer. Ha C F t és s 1 s t, valamint B s1, s] C, aor felhasználva, hogy a V a feltétel szerint adaptált az t χ B s, ω V ds, ω χ C V s V s 1 7Figyeljü meg, hogy deníció szerint az integrációs tartomámyból a t pontot mindig ihagyju.

8 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE parametrius integrál F t -mérhet. A C s 1, s ] alaú halmazo π-rendszert alotna, így a araraterisztius függvényei halmaz szorzat zárt. A monoton osztály tétel miatt a H tartalmazza a χ B alaú függvénye által generált σ-algebrát. Mivel a C F t tetsz leges lehet ezért az említett π-rendszer éppen a B, t] F t szorzatmérhet halmazoból álló σ-algebrát generálja. Az X progresszíven mérhet, így a [, t] szaaszra való lesz ítése B, t] F t -mérhet. Követezéséppen az állítás teljesül, ha az X orlátos és progresszíven mérhet. Ebb l az általános eset a majorált onvergencia tételb l már övetezi. 1.3. Megállási id A ltráció mellett a sztochasztius folyamato elméleténe mási alapfogalma a megállási id, vagy máséppen megállási szabály. A megállási id interpretációja a véletlen id pontban beövetez esemény beövetezéséne id pontja. Nem túl meglep módon a sztochasztius folyamatoal apcsolatban felvethet legtöbb releváns érdés megállási szabályoal függ össze. Nem minden véletlen id pont megállási id. Csa azoat a véletlen id pontoat teintjü megállási id ne, amelye az alábbi denícióban szerepl módon összeapcsolódna a ltrációval. Interpretációját teintve a megállási id olyan véletlen id pont, amelyne beövetezése a ltrációban szerepl információ alapján eldönthet 8. 1.14 Deníció. Legyen adva az Ω imenetele halmaza és az F ltráció. Legyen τ : Ω Θ { }. 1. A τ függvényt az F ltrációhoz tartozó megállási id ne, vagy megállási szabályna mondju, ha minden t Θ esetén {τ t} F t.. A τ : Ω Θ { } az F ltrációhoz tartozó gyenge megállási id, vagy gyenge megállási szabály ha minden t Θ esetén {τ < t} F t. Ha az F ltráció a szövegörnyezetb l evidens, aor a rá való hivatozást elhagyju és egyszer en megállási id r l, vagy gyenge megállási id r l fogun beszélni. 1.15 Példa. Majdnem mindenhol nulla függvénye mint megállási id. Legyen N nulla valószín ség halmaz és a τ függvény legyen nulla az N omplementerén. Mivel megöveteltü a szoásos feltételeet, ezért az F t eseménytere tartalmazzá a nulla valószín ség halmazoat és minden t-re az Ω, F t, P teljes. Ebb l övetez en a τ megállási id, ugyanis minden t-re teljesül a {τ t} F t feltétel. Hasonlóan, ha a σ nullmérté halmaztól elteintve +, aor a σ megállási id. A ét példa speciális esete a övetez ne: Ha a τ megállási id és a τ és a σ nullmérté halmaztól elteintve azonosa és σ, aor a σ is megállási id. A példa minden trivialitása ellenére alapvet, ugyanis rámutat a teljesség egyi igen gyaran használt övetezményére, miszerint teljesülése esetén a megállási szabályoat nullmérté halmazon módosítva megállási szabályt apun. 8 Ha autóval utazun, és τ egy megadott város utáni els benzinút eléréséne ideje, aor a τ megállási id, de a város utolsó benzinútjána elérési ideje nem megállási id, ugyanis csa úgy találhatju meg, ha a város végét jelz tábla után visszafordulun. Ugyancsa nem megállási id például a trajetória maximumána helye, ugyanis az, hogy hol van a maximum csa a teljes trajetória ismeretében állapítható meg. Nem megállási id a trajetóriá utolsó zérushelye, de általában az els zérushely megállási id. A megállási id tehát interpretációját és matematiai denícióját teintve igen speciális mérhet függvény. Az irodalomban a terminológia nem egységes. Id nént megállási id n csa a véges érté megállási id et érti, a végtelen értéet is felvev megállási id t pedig Marovid ne nevezi, de a fordított megülönböztetésre is találhatun példát.

1.3. MEGÁLLÁSI IDŽK 9 Többször látni fogju, hogy a sztochasztius folyamato elmélete az id tengely szempontjából nem szimmetrius. A ltráció az id tengely egyértelm irányítását deniálja. Enne egyi fontos megjelenése a övetez elemi, de igen gyaran használt állítás. 1.16 Állítás. Minden megállási id gyenge megállási id. gyenge megállási id megállási id. Ha az F ltráció jobbról folytonos, aor minden Bizonyítás: Valóban, felhasználva, hogy minden ltráció monoton n { {τ < t} n τ t 1 } F t. n Megfordítva, ha az F jobbról folytonos, vagyis ha F t+ F t, aor { {τ t} n τ < t + 1 } n F t+1/n F t+ F t. n A ltráció jobbról való folytonossága fontos szerepet játszi a övetez állításban is. 1.17 Állítás. Ha τ és σ megállási id, aor a τ σ és a τ σ is megállási id. Ha τ n megállási id monoton növeed sorozata, aor a τ lim n τ n is megállási id. Ha az F ltráció jobbról folytonos és τ n megállási id monoton csöen sorozata, aor a τ lim τ n n szintén megállási id. Bizonyítás: Legyene τ és σ megállási id. Ha τ n τ, aor minden t-re Ha τ n τ, aor minden t-re {τ σ t} {τ t} {σ t} F t, {τ σ t} {τ t} {σ t} F t. {τ t} n {τ n t} F t. {τ t} n {τ n t} F t vagyis {τ < t} n {τ n < t} F t. Ha az F ltráció jobbról folytonos, aor a τ megállási id. 1.18 Követezmény. Ha az F ltráció jobbról folytonos és τ n megállási id b l álló sorozat, aor a lim supτ n, n lim inf n τ n határértée szintén megállási id.

1 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE A megállási id absztrat fogalmát a övetez deníció és az azt övet tétel teszi tartalmassá. 1.19 Deníció. Ha Γ R + Ω, aor a τ Γ ω inf {t : t, ω Γ} 1. ifejezést a Γ halmaz ezd idejéne nevezzü. Ha B R, X sztochasztius folyamat, aor a esetenént a τ B ω inf {t : X t, ω B} 1.3 τ B ω inf {t > : X t, ω B} 1.4 változót a B halmaz elérési, vagy találati idejéne fogju nevezni 9. A halmazo elérési ideje speciális esete a halmaz ezd idejéne, ugyanis ha B R, X sztochasztius folyamat, Γ {X B}, illetve Γ {X B} {t > }, aor τ Γ τ B. 1. Példa. Találati id re, így megállási id re vonatozó legfontosabb példá a τ a ω inf {t : X t, ω Ra} típusú szintátlépési id, ahol R a, >,, < reláció valamelyie. A szoásos feltétele alapvet e a övetez Dellacheriet l származó tételben: 1.1 Tétel. Megállási id onstruálása Ha az Ω, A,P,F ielégíti a szoásos feltételeet és a Γ halmaz progresszíven mérhet, aor a Γ 1. ezd ideje megállási id. A tétel bizonyításához szüségün lesz a övetez re 3 : 1. Tétel. Vetítési tétel Ha az Ω, A, P tér teljes és aor U B R n A, proj Ω U {x : t, t, x U} A. Érdemes hangsúlyozni, hogy az állítás érvényét veszti, ha az Ω, A, P nem teljes. Meg ell még jegyezni, hogy a tétel aor sem teljesül, ha a B R n A helyett egy b vebb σ-algebrát veszün, ami egyúttal a Borel és a szorzatmérhet ség fogalma fontosságát nyomatéosítja. A vetítési tétel bizonyítása túl messzire vezetne, így elhagyju. Bizonyítás: Vegyü a Γ t Γ [, t Ω halmazt. Az elérési id deníciója alapján {τ Γ < t} proj Ω Γ t, ugyanis ha τ Γ ω < t, aor van olyan s, hogy s, ω Γ t, vagyis az ω eleme a vetületne, megfordítva, ha ω eleme a vetületne, aor alalmas s [, t esetén s, ω Γ, vagyis τ Γ ω s < t. A Γ progresszíven mérhet, ezért Γ t B [, t] F t. Emléeztetün, hogy általában valamely szorzatmérhet halmaz vetülete nem lesz mérhet. Az A a feltétel szerint 9Ha τ ω, aor ezt úgy interpretálju, hogy az ω imenetelre az τ által leírt esemény nem övetezi be. Enne megfelel en τ Γ ω, ha nincs olyan t, amelyre t, ω Γ. A τ B típusú jelöléseet ülönböz helyzeteben eltér tartalommal fogju használni. Ha a B halmaz a folyamat értéészleténe részhalmaza, aor a τ B a B találati ideje, ha B az R + Ω részhalmaza, aor a τ B ezd id. Ha B az Ω részhalmaza, aor a τ B a τ megállási id lesz ítése a B eseményre. 3A vetítési tétel és a hozzá apcsolódó problémá a mértéelmélet valóban nehéz érdései özé tartozna és távolról sem természetese, vagy intuitíve világosa. Számos látszólag egyszer probléma megoldásaor szembeerülün avval, hogy mérhet halmazo épét ell vizsgálni. A mérhet függvény deníciója a mérhet halmazo sépéne mérhet ségét biztosítja. Még folytonos függvénye esetén is el fordulhat, hogy valamely mérhet halmaz épe nem mérhet. Például ét Borelmérhet halmaz összege nem feltétlenül lesz Borelmérhet.

1.4. MEGÁLLÍTOTT VÁLTOZÓK, FOLYAMATOK ÉS σ-algebrák 11 teljes, az F t a szoásos feltétele teljesülése miatt tartalmazza a nulla halmazoat, ezért az F t is teljes, így a vetítési tétel 31 alapján a Γ t szorzatmérhet halmaz vetülete F t -mérhet, vagyis {τ Γ < t} proj Ω Γ t F t, Az F jobbról folytonos 3, ezért minden gyenge megállási id megállási id, vagyis a τ Γ megállási id. 1.3 Követezmény. Ha az Ω, A,P,F ielégíti a szoásos feltételeet, az X folyamat progresszíven mérhet és a B halmaz Borelmérhet, aor az 1.3 és az 1.4 ifejezése megállási id. 1.4. Megállított változó, folyamato és σ-algebrá Megállási id segítségével deniálhatju a megállított változóat, folyamatoat és σ-algebráat. Eze a fogalma a sztochasztius folyamato elméleténe specius 33 ategóriái. 1.4 Deníció. Legyen X sztochasztius folyamat, τ megállási id. 1. Megállított folyamaton az esetenént az X τ t, ω X τ ω t, ω, X τ t, ω χ τ > X τ ω t, ω, folyamatot,. megállított változón az X τ ω X τ ω, ω változót értjü. Az X τ helyett legtöbbször a jobban olvasható X τ jelölést fogju használni. Vegyü észre, hogy a megállított változó deníciója pontatlan, ugyanis nem világos, hogy amennyiben a folyamat nem terjeszthet i a + id pontra, aor mi a megállított változó értée a {τ + } halmazon. Ilyenor szoás az denícióval élni 34. X τ ω X τ ω, ω χ τ < ω 3. Az F τ megállított σ-algebra az olyan A A halmazoból áll, amelyere minden t-re A {τ t} F t. 1.5 Példa. A nulla id pont speciális szerepe a megállított folyamat esetén. 31V.ö.: 1., tétel, 1. oldal. 3 El fordulhat, hogy s, ω Γ, ha s > t, de t, ω / Γ. Ilyenor τ Γ ω t, de ω / proj Ω Γ [, t] Ω. A bizonyításban tehát a ltráció jobbról folytonosságát ihasználtu! 33Specius abban az értelemben, hogy a mértéelméletben a fogalmana nincsen igazán analóg párja. 34Amennyiben az X valamilyen játé értée, és τ a játé befejezéséne id pontja, aor a deníció alapján, ha a játéna valamely ω imenetelre soha sincsen vége, aor a játé nyereménye nulla. A jelölés egyszer sítés edvéért a χ τ < ifejezéssel való szorzást rendszerint elhagyju.

1 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE Megállási id n legtöbbször a τ inf {t : X t a} típusú szintátlépési id et szoás teinteni. A τ deniálását övet en általában az X τ a + X τ becsléssel szotun élni. Nyilván ha a τ ω >, aor az s < τ ω id pontoban az X s, ω < a, ugyanis ha nem így lenne, aor a τ ω értée csöenthet lenne. Az s τ ω id pontban lehet a folyamatna ugrása, így az értée átlépheti az a szintet, de a maximális eltérés csa az ugrás nagysága lehet. Természetesen, ha a folyamat folytonos, aor X τ, és ilyenor X τ a. Ez a gondolatmenet azonban nem igaz, ha τ ω. Ha tehát a folyamat már a t id pontban a megadott szint felett indul, aor az értée a megállítással nem módosítható. Ezért szoás id nént a denícióban a χ τ > tagot is teinteni. Ha ugyanis valamilyen imenetelre τ ω, vagyis a folyamat apásból az a szint felett indul, aor az ilyen imenetelere az értée nulla lesz, tehát az említett becslés ilyenor is teljesülni fog. A megállási id el, illetve megállított σ-algebráal apcsolatban számos egyszer állítás, reláció fogalmazható meg. Eze mindegyiéne igazolása néhány sor, de mivel a özel azonos, gyaran igen hasonló tartalmú állításo száma igen nagy, éppen elemi voltu miatt nem feltétlenül didatius et egy csoorban, el re igazolni. Az olvasóna nem az egyes állításoat, hanem azo igazolásána techniáját célszer elsajátítani. Éppen ezért a többszörös ismétlésb l ered terjedelemnöveedést elfogadva a megállási id el apcsolatos isebb észrevételeet a felmerülésü helyén, esetlegesen többször, fogju indoolni. Az alábbi állítás a legfontosabb összefüggéseet tartalmazza, és teinthet az említett elsajátítandó technia bemutatásána. 1.6 Állítás. Legyen F tetsz leges ltráció, τ és σ legyene megállási id. 1. A τ változó F τ -mérhet.. Ha σ τ, aor F σ F τ. 3. F σ F τ F σ τ. Bizonyítás: Miént említettü, az összefüggése indoolása a deníció elemi övetezménye. 1. Elegend megmutatni, hogy minden a-re a {τ a} halmaz F τ -mérhet. Ez az F τ deníciója szerint azt jelent, hogy minden t-re {τ a} {τ t} F t. Világos, hogy a jobb oldalon álló metszet éppen {τ min a, t}. Mivel a τ megállási id, ezért {τ min a, t} F mint,a F t ahol az utolsó tartalmazás az F monotonitásából evidens.. Ha σ τ, aor {τ t} {σ t}. Ha A F σ, aor A {τ t} A {σ t} {τ t} F t, ugyanis a metszet mindét tényez je eleme az F t -ne, így A F τ. 3. Az el z pont alapján F τ σ F τ F σ. Ugyanaor, ha F F τ F σ, aor vagyis F F σ τ. F {σ τ t} F {σ t} {τ t} F {σ t} F {τ t} F t, A megállási id specius tulajdonsággal rendelez véletlen id ponto. A denícióban szerepl megötése célja, hogy a megállási id el épzett új folyamato mérhet ségi, adaptáltsági tulajdonságai megmaradjana.

1.4. MEGÁLLÍTOTT VÁLTOZÓK, FOLYAMATOK ÉS σ-algebrák 13 1.7 Állítás. Ha X progresszíven mérhet és τ tetsz leges megállási id, aor az X τ megállított változó F τ - mérhet, az X τ megállított folyamat progresszíven mérhet. Bizonyítás: Az els állítás övetezi a másodiból, ugyanis ha B Borelmérhet és X progresszíven mérhet, aor minden s-re {X τ B} {τ s} {X τ s B} {τ s} {X τ s B} {τ s} F s, ugyanis a metszet mind a ét tagja eleme az F t eseménytérne. Vagyis az X τ megállított változó F τ -mérhet. Teintsü tehát az állítás másodi felét. Legyen Y t, ω { 1 ha t < τ ω ha t τ ω. Az Y triviálisan jobbról reguláris. A τ megállási id, így {Y t } {τ t} F t. Tehát az Y adaptált, így az Y progresszíven mérhet. Ha τ ω >, aor 35 Z t, ω,t] { X s, ω Y ds, ω ha t < τ ω X τ ω, ω ha t τ ω. Mivel az X progresszíven mérhet a Z adaptált és jobbról-reguláris, így szintén progresszíveb mérhet. Elemi megfontolással X τ XY Z + X χ τ, így az X τ triviálisan progresszíven mérhet 36. 1.8 Követezmény. Ha X progresszíven mérhet, τ tetsz leges megállási id, aor az X τ megállított folyamat adaptált. 35Ha τ ω aor Z ω. 36 Ha a χ τ > tag is szerepel a denícióban, aor az utolsó ifejezést el lehet hagyni. Mivel egy F -mérhet onstansról van szó a χ τ > -val való beszorzás nem módosítja a progresszív mérhet séget.

. fejezet Martingálo és a megállási opcióról szóló tétel A feltételes várható érté és a martingálo fogalmával orábbi tanulmányain során már megismeredtün, így ebben a jegyzetben ismeretüet feltételezzü. A legfontosabb martingálora vonatozó állítás a megállási opcióról szóló tétel. A fejezet f célja enne a tételne és alalmazásaina bemutatása. A martingálelmélet bevezet fejezeteine célja bizonyos értelemben a megállási opcióról szóló tétel igazolásána el észítése. A megállási opcióról szóló tétel bizonyítása így igen messze vezetne, és ezért a tétel bizonyítását elhagyju..1. Folytonos id paraméter martingálo deníciója Emléeztetün, hogy egy X adaptált folyamat deníció szerint logiai martingál, ha az Xt minden t id pontra integrálható, és tetsz leges s < t id ponto esetén teljesül az EXt F s m.m. Xs.1 egyenl ség. Folytonos id horizonton egy logiai martingált csa aor teintün martingálna, ha a trajetóriái jobbról regulárisa. Vegyü észre, hogy a feltételes várható érté onstruciója szerint a feltételes várható érté csa egy nulla valószín ség halmaz erejéig meghatározott. A martingál, mint sztochasztius folyamat azonban minden id pontban egy függvény és nem egy valószín ségi változó 1. Ezért szerepel a.1 sorban az egyenl ség felett a m.m. jel. A jobbról reguláris trajetóriá alapvet en azért fontosa, mert a regularitás miatt tetsz leges id pontban az értéü a racionális id pontban felvett értéei által egyértelm en meg van határozva. Vagyis a regularitás miatt elég ismerni a martingál értéét a racionális id pontoban. A gyelmes olvasó azonnal megjegyezheti, hogy ez a balról reguláris trajetóriá esetén is így van. Valóban ez a helyzett, a pont jobbról és nem balról való regulritás megövetelése soal inább a megállási opcióról szóló tétel miatt szüséges. Ha a trajetóriáat balról és nem jobbról regularizálnán aor a megállási opcióról szóló tétel nem lenne érvényes. Mivel a racionális id ponto megszámlálhatóan soan vanna, ezért reguláris trajetóriá esetén viszonylag önnyen biztosítható a martingáloal felírt ülönböz logiai ifejezése mérhet sége..1 Deníció. Az X és az Y folyamato módosítás erejéig egybeesne, ha minden t-re Xt m.m. Y t vagy ami ugyan az minden t-re az X t és az Y t ugyanazt a valószín ségi változót reprezentálja. 1Ugyanis egyébént nem beszélhetnén a trajetóriáról. 14

.1. FOLYTONOS IDŽPARAMÉTER MARTINGÁLOK DEFINÍCIÓJA 15 A szoásos feltétele egyi fontos övetezménye, hogy a logiai martingálo és a martingálo a szoásos feltétele teljesülése esetén módosítás erejéig egybeesne. Máséppen fogalmazva, ha teljesülne a szoásos feltétele, aor minden logiai martingálhoz van olyan martingál, amely értéei minden t id pontban majdnem mindenhol megegyezne a logiai martingál értéeivel. Ezt úgy is i szoás fejezni, hogy a szoásos feltétele teljesülése esetén a logiai martingálo regularizálhatóa. A továbbiaban mindig a logiai martingálo valamelyi reguláris verzióját teintjü. A fogalom pontos megértése céljából teintsün néhány alapvet példát:. Példa. Ha teljesülne a szoásos feltétele és ξ tetsz leges integrálható valószín ségi változó, aor van olyan X martingál, hogy tetsz leges t-re Xt m.m Eξ F t. Mivel teljesülne a szoásos feltétele elegend belátni, hogy a t Eξ F t bármely verziója 3 logiai martingál. Ha teintjü a példában deniált X egy tetsz leges verzióját, aor a torony szabály miatt minden t > s esetén EXt F s m.m. EEξ F t F s m.m. Eξ F s m.m. Xs. Vagyis az így apott változó logiai martingált alotna. A szoásos feltétele miatt az idézett tétel alapján a folyamatna van reguláris verziója, amely már deníció szerint martingált alot..3 Példa. Ha teljesülne a szoásos feltétele és X független növemény folyamat és minden id pontban létezi a folyamat várható értée, aor az ompenzált folyamat martingál. Y t Xt EXt A feltételes várható érté elemi tulajdonságai miatt ha t > s, aor EY t F s EY t Y s + Y s F s m.m. m.m. EY t Y s F s + EY s F s m.m. m.m. EY t Y s + EY s F s EY s F s m.m. Y s ahol természetesen ihasználtu, hogy az Y adaptált 4 és független növemény 5 és az Y növeményeine várható értée triviálisan nulla. Ebb l övetez en az Y logiai martingál. Mivel Az állítást nem bizonyítju. A bizonyítása egyrészt messze vezetne, másrészt nem tartalmaz túl so érdees és tanulságos megfontolást. Ugyanaor hangsúlyozni ell, hogy éppen ez az állítás indoolja a szoásos feltétele megövetelését. 3Emléeztetün, hogy egy sztochasztius folyamat, deníció szerint mindig egy étváltozós függvény. A feltételes várható érté, szintén deníció szerint, egy valószín ségi változó, vagyis egy evivalencia osztály. Enne megfelel en minden Eξ F t evivalencia osztályból i ell venni egy reprezentánst. A érdés csa az, hogy ez megtehet -e úgy, hogy a ivett értée jól, vagyis jobbról reguláris módon, apcsolódjana össze. Ehhez szüségese a szoásos feltétele. 4Deníció szerint minden független növemény folyamat adaptált a téren adott ltrációra. Ha a ltráció nem adott, aor a folyamatot a saját maga által generált ltráció szerint teintjü, amelyre nyilván adaptált. Vegyü észre, hogy az E X t egy egyszer determinisztius függvény, amely a növeménye függetlenségét nem befolyásolja. Az egyetlen érdés csa az, hogy ez a függvény jobbról reguláris-e? 5Ezért hagyható el a feltétel a várható értéb l a harmadi sorban.

16. MARTINGÁLOK ÉS A MEGÁLLÁSI OPCIÓKRÓL SZÓLÓ TÉTEL teljesülne a szoásos feltétele az Y -na létezi olyan módosítása, amely jobbról reguláris, vagyis alalmas Ŷ jobbról regularizált folyamatra mindenh t id pontban Ŷ t m.m. Xt EXt.. Deníció szerint minden független növemény folyamat jobbról reguláris, ezért az Ŷ X is jobbról reguláris és minden t-re majdnem minden imenetelre egyenl az EXt-vel. Teintsü a racionális id pontoat és az itt lev nulla mérté halmazoat összevonva egy nulla mérté halmaztól elteintve Ŷ r, ω X r, ω EXr minden r racionális szám esetén. A jobb oldalon a jobbról való folytonosság miatt minden t-re lim Ŷ r X r Ŷ t X t. r t Ha most lim r t EXr EXt lenne, aor nem teljesülhetne a. Ezért egy nulla mérté halmaztól elteintve Ŷ t, ω X t, ω E X t. Így az egyenl ség legalább egy ω esetén minden t-re teljesül, így az EXt függvény szüségszer en jobbról reguláris, így az Y folyamat is jobbról reguláris..4 Példa. Ha teljesülne a szoásos feltétele és X egy Lévy-folyamat és minden id pontban létezi a folyamat várható érté, aor az Y t Xt t EX1 ompenzált folyamat martingál. Emléeztetün, hogy a Lévy-folyamato stacionárius növemény független növemény folyamato. Így csa azt ell belátni, hogy E X t t E X 1. A stacionárius növeedés feltétele miatt tetsz leges a id pont és n természetes szám esetén Ebb l E X na E X na X n 1 a + E X n 1 a E X a + E X n 1 a ne X a. ne X így ha t p/q alaú racionális szám, aor p E X t E X q 1 E X 1, n pe X 1 p E X 1. q q Mivel az el bbi példa alapján az E X t jobbról reguláris, ezért tetsz leges t-re E X t t E X 1. Emléeztetün, hogy ha X egy Poisson-folyamat, aor az Xt minden t-re λt paraméter Poisson-eloszlású változó. Ebb l övetez en EXt λt. Így az Xt λt folyamat, amelyet ompenzált Poisson-folyamatna mondun, martingál. Vegyü észre, hogy most nem volt szüségün a jobbról való regularitásra, ugyanis a példa speciális jellege miatt az azonosság minden további nélül teljesült. EXt t EX1 A martingálelmélet erejét azonban nem az imént bemutatott példá szolgáltatjá. Bizonyos értelemben martingálora a legfontosabb példáat azo a martingálo adjá, amelyeet egy várható

.1. FOLYTONOS IDŽPARAMÉTER MARTINGÁLOK DEFINÍCIÓJA 17 értéel rendelez valószín ségi változó szorzatai hozna létre. Vagyis nem a nulla várható érté független valószín ségi változó összegei által generált bolyongáso, hanem az egy várható értéel rendelez multipliatív folyamato mutatjá meg a martingálelmélet lényegét. Mivel eze a martingálo lehetne aár omplex érté e is nem egyszer logaritmius transzformációról van szó. A legegyeszer bb példa a övetez :.5 Példa. Ha X tetsz leges Lévy-folyamat, aor az X-hez tartozó exponenciális martingál valóban martingál. Tetsz leges t-re deniálhatju a ϕ t u ϕu, t EexpiuXt Fourier-transzformáltaból álló folyamatot. Mivel a Lévy-folyamato deníció szerint jobbról regulárisa a majorált onvergencia tétele miatt a ϕ t u minden u-ra jobbról reguláris. A független és a stacionárius növemény feltételét ihasználva ϕ t+s u EexpiuXt + s EexpiuXt + s Xt expiuxt EexpiuXt + s Xt EexpiuXt EexpiuXs EexpiuXt ϕ t u ϕ s u, Követezéséppen ϕt+s u ϕt u ϕ s u. Mivel ϕ t u 1 és ϕ u 1 a Cauchy-féle függvényegyenletb l ϕ t u expt cu. Ebb l övetez en a ϕ t u soha sem lehet nulla. Ha t > és h >, aor a jobbról való folytonosság miatt ϕt u ϕ t h u ϕt h u ϕ t u ϕ t h u 1 ϕt h u ϕh u 1 ϕ h u 1, ha h. Követezéséppen a ϕ t u balról is folytonos. Tehát a ϕ t u minden u-ra a t id változóban folytonos. Enne érdees övetezménye, hogy EiuXt Xt ϕ t u lim h ϕ t h u ϕ tu ϕ t u 1. A Fourier-transzformáció egyértelm en jellemzi az eloszlást, övetezéséppen Xt m.m. Xt. Máséppen fogalmazva Lévy-folyamato esetén tetsz leges t-re az ugrás valószín sége nulla. Deníció szerint egy X Lévy-folyamat exponenciális martingálja Zt, u, ω expiuxt, ω. ϕ t u

18. MARTINGÁLOK ÉS A MEGÁLLÁSI OPCIÓKRÓL SZÓLÓ TÉTEL A Z valóban martingál: ha t > s, aor expiuxt, ω EZ t u F s E F s ϕ t u expiu Xt, ω Xs, ω expiuxs, ω E F s ϕ t s u ϕ s u expiuxs, ω expiu Xt, ω Xs, ω E F s ϕ s u ϕ t s u expiuxs, ω expiu Xt, ω Xs, ω E ϕ s u ϕ t s u expiuxs, ω ϕ s u Hasonló gondolatmenet igaz ha a ϕ t u Fourier-transzformált helyett az Laplace-transzformálttal osztun, vagyis az 1 Lt, s Eexp sxt, s > exp sxt Eexp sxt, s > transzformáltat teintjü. Ez aor hasznos, ha az X nem negatív, ugyanis ilyenor minden s esetén véges a nevez ben szerepl várható érté..6 Példa. Wiener-folyamato exponenciális martingálja. Ha w Wiener-folyamat, aor a wt eloszlása, a Wiener-folyamat deníciója szerint, N, t. Iyenor a standard normális eloszlás Fourier-transzformáltjána éplete szerint ϕ t u E exp iu N, t E exp iu u t t N, 1 exp exp t u. Így Z t, u exp iuw t + t u. Ha a Fourier-transzformált helyett a Laplace-transzformáltat vesszü, aor Z t, s exp sw t t s... A megállási opcióról szóló tétel A megállási opcióról szól tételne ét alaja van. Az els alaban fel ell tenni, hogy a megállási id orlátosa.