8 Közöségs diffriálgltk umrikus mgoldása 8 Dfiíió g Ω IR tartomá IR I ílt itrvallum f : I Ω IR foltoos függvé Az : I IR diffriálató függvékr voatkozó f ( ( I gltt közöségs (lsõrdû pliit diffriálgltk vzzük Az f ( ( I ( fladatot kzdti érték problémáak (KÉP vzzük 8 Dfiíió: Az f függvé a második változójába tljsíti a ipsitz-fltétlt a K Ω kompakt almazoz > mlr f ( f K sté 8 Tétl ( Piard-idlöf Ha az f : I Ω IR foltoos függvé kilégíti a második változójába a ipsitz-fltétlt akkor I és Ω sté a KÉP-ak létzik mgoldása Az : k : f ( t ( t függvésorozat glts kovrgál a KÉP mgoldásáoz (Szuksszív approimáió Mgjgzés A függvésorozatba az itgrálást koordiátákét az f ( f koordiáta függvéir értjük A továbbiakba sak az sttl foglalkozuk k dt f 8 Aalitikus módszrk (Két példá sak a lgismrtbbk Példa Szparábilis (szétválaszató változójú diffriálglt Mgoldás l ( l ( d I A kzdti fltétl: A KÉP mgoldása: Példa Elsõrdû liáris iomogé diffriálglt
Mgoldás A omogé glt: vagis Szparábilis gltkét mgoldva kapjuk og az általáos mgoldása: Az iomogé glt mgoldása az álladók variálásáak lvévl törtéik alakba krssük Hlttsítsük b az iomogé gltb: A mgoldást Pariális itgrálást alkalmazva: ( d ( ( ( ( Tát ( alakú d A kzdti fltétlbõl tát a KÉP mgoldása: 8 Kvázi aalitikus (vag kvázi umrikus módszrk A Piard itráió (ásd 8 Tétl függvésorozata Példa Alkalmazzuk a Piard itráiót az Példa fladatára Mgoldás t dt 6 t ( t dt stb átjuk og mid lépésb a mgoldás Talor soráak újabb tagját kapjuk mg B Talor sor módszr A mgoldás Talor sorát közlítjük az mgatározásával ( k ( ( k k! Az ( k ( k drivált értékkt az gltbõl mgatározzuk ( k ( ( ( f ( ( f ( f ( ( f ( f ( f ( stb értékk 8
4 Példa Alkalmazzuk a Példa fladatára Mgoldás ( k ( k I k -ra ( k és íg ( k Tát a mgoldás:!! k! 8 umrikus módszrk 8 Dfiíió Diszkrét módszrk vzzük azt az ljárást aml a diffriálglt k I mgoldását végs sok potba állítja lõ A diszkrét módszrt k lépéss módszrk vzzük a az mgoldás potbli k k értékkbõl állítja lõ A továbbiakba : I IR f I Ω IR IR : közlítõ értékét az Ω és I ttszõlgs I Jlölésk: : : ( ( kzdti érték és az ( potos mgoldás közlítés 84 Dfiíió A umrikus módszr kovrgs a I > lim ma ( sté A módszr p -drdb kovrgs a > : p ( ( 85 Dfiíió A umrikus módszr lokális ibája a módszrrl g lépés alatt lkövttt iba a potos értékbõl iduluk azaz d : ( fltév og ( A umrikus módszr globális ibája a módszrrl több lépés utá flalmozódó iba azaz : ( fltév og (
84 Epliit Eulr módszr A diszkrtizáiós jlöléskt aszálva az pliit Eulr módszr alakja: : adott f ( ( Motiváió: A drivált közlítésér gakra aszáljuk a diffria áadost: ( ( ( ( Flaszálva az gltb: ( f ( ( I átrdzv f ( 8 Tétl Az pliit Eulr módszr lokális ibája: d ( O( ( azaz > : d Bizoítás Az potos mgoldásra írjuk fl a Talor formulát: ( ( ( O( ( f ( ( O Mivl d ( ( f ( ( O( f ( O( 8 Tétl Ha az f függvé a második változójába tljsíti a ipsitz-fltétlt akkor az pliit Eulr módszr kovrgs Bizoítás A Talor formulából ( ( ( O( ( f ( O az Eulr módszrbõl f ( A kifjzéskt kivova és abszolút értékt vév f ( ( f ( ( f ( ( O( ( ( f ( O( ( ( A továbbiakba tljs idukióval blátjuk og ( -ra ( igaz az állítás Tgük fl og -r igaz bizoítsuk -r : (
( ( (( ( ( Mivl ( továbbá lsõrdb kovrgs ( O a módszr globális ibája p 84 Tétl Ha g pliit glépéss módszr lokális ibájára d alakú bslés adató és az f függvé a második változójába tljsíti a ipsitz-fltétlt akkor a globális ibája p -drdû azaz p ~ Kidolgozott példák Példa Az [ ] itrvallumo vizsgáljuk az pliit Eulr módszrt Mgoldás A KÉP potos mgoldása az összasolításoz: a Például sté írjuk fl az Eulr módszr közlítését 4 5 4 4 5 4 6 5 5 5 b Vizsgáljuk az pliit Eulr módszr lokális- globális ibáját és kovrgiáját ttszõlgs I sté : (
f okális ibája: tgük fl og potos O < Globális ibája: tgük fl og potos O Tát az pliit Eulr módszr lsõrdb kovrgs a mgadott KÉP-ra Példa A [ ] itrvallumo vizsgáljuk az pliit Eulr módszrt Mgoldás A KÉP potos mgoldása az összasolításoz: a Például sté írjuk fl az Eulr módszr közlítését 4 6 b Vizsgáljuk az pliit Eulr módszr lokális- globális ibáját és kovrgiáját ttszõlgs I sté :
okális ibája: potos! O ξ Globális ibája: potos O Tát az pliit Eulr módszr lsõrdb kovrgs a mgadott KÉP-ra