BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS SZAKCSOPORT MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédle a Redszer és Paraméer Ideifikáció c. ayagrészhez a Közlekedésméröki és Járműméröki Kar MSc szakos hallgaósága számára Prof.Dr. Zobory Isvá egyeemi aár BUDAPEST 24
.Az ideifikáció álaláos kérdései Az ideifikáció szó azoosíás jele. A redszerechikába valamely ismerele ávieli ulajdoságú egység jelávieli ulajdoságaiak azoosíásáról va szó elsősorba a be és kimeő jellemzők empirikus vizsgálaára ámaszkodva. Egy műszaki folyama modelljéek meghaározására ké fő leheőség kíálkozik:. Álaláos örvéyeke alapuló maemaikai-fizikai aalízis alapjá, 2. Méréseke alapuló iformációra ámaszkodó megfigyeléses ill. kísérlei ideifikáció. A vizsgál redszer ávieli ulajdoságaiak meghaározása az R redszeroperáor azoosíásáak feladaá űzi ki. Egyszerű ömbvázla alkalmazásával a kövekező kép alakíhaó ki: u R R v v = R u Ameyibe a jelze R redszeroperáor eljese ismerele, akkor fekee dobozról beszélük. Ha pedig az R redszeroperáor srukúrája és paraméerei részbe ismerek, akkor szürke dobozról beszélük. Rika az a műszaki probléma, hogy éylegese fekee dobozzal állák szembe. Előzees iformáció, apaszalai ismere valamilye mérékbe midig redelkezésre áll a vizsgál redszer ávieli ulajdoságával kapcsolaba, ezér a szürke doboz probléma feállása álalába feléelezheő. 2. Az ideifikáció módszere Saikus ideifikáció Az u bemeő jellemző a v kimeő jellemzőbe (a válaszba) ávivő szabályszerűsége egyszerű függvéykapcsola formájába, sokszor a függvéykapcsolao megjeleíő jelleggörbe alakjába haározzuk meg, a folyamaba jelekező uóhaásos, vagy emlékezere ualó sajáosságok elhayagolásával. A saikus ideifikáció sokszor egésze jól haszálhaó képe ad a be- és kimeő jellemző közö feálló összefüggésről és boyolulabb redszerek eseé is képe ad a kapcsola edeciájáról. Korláol poossága melle előye az egyszerű kivielezheőség. Későbbiekbe részleezzük, hogy az ideifikáció i az azoos időpohoz arozó u( i ) és v( i ), i=,2,...,n ipu és oupu miavéeli érékeke dolgozza fel. Diamikus ideifikáció Diamikus ideifikáció eseé az u() ipu és a v() oupu közöi kapcsola leírására az ávieli ulajdoságokba az uóhaásosság és az emlékeze jeleléé is megegedő modelloszályok kerülek alkalmazásra. Így az ipu ás az oupu kapcsolaá az időaromáyba vizsgálva differeciálegyeleek (d.e.), differeciálegyele-redszerek (D.E.R.), iegrálegyeleek (i.e.) és iegrálegyele-redszerek (I.E.R) alkalma- 2
zása veze célra. Lieáris redszeroperáor jelelééek éye vagy feléelezheősége esé az ávieli ulajdoságok frekveciaaromáybeli vizsgálaára a komplex frekveciafüggvéyek és az ávieli függvéyek bevoása célszerű. Emlékezeük arra, hogy valamely ávieli redszer R operáorá homogé lieárisak evezzük, ha az redelkezik az összegarás és az aráyarás ulajdoságával az alábbiak szeri:. Összegarás: R ( u() + u2()) = R u() + R u2(), 2. Aráyarás: R ( λu( )) = λr u( ). A lieáris redszeroperáor időivariás ulajdoságáak feállása ovábbi egyszerűsíő körülméy jele az ideifikáció sorá. Az időivariacia a eszőleges τ időelolásak alávee ipura ado válasz alábbi egyszerű ulajdoságával va defiiálva: R u( τ ) = v( τ ), ahol v( ) = R u( ). Diagramba szemléleve τ > eseére: u() R v() v() = R u() u() v()=r u() τ u(-τ) τ v(-τ)=r u(-τ) Foos hagsúlyozi, hogy ameyibe valamely lieáris redszer ávieli ulajdoságai álladó együhaós lieáris ihomogé differeciálegyele (vagy D.E.R) írja le, akkor a redszer időivariás is. 3. Az ideifikáció szkémája Deermiiszikus ideifikáció Deermiiszikus ideifikáció eseé a redszer bemeeére szabályos időfüggvéyeke (vizsgáló jeleke) vezeük, és elemezzük a kapo válaszfüggvéy és a vizsgálójel kapcsolaá. A deermiiszikus ideifikáció kivielezése kevésbé összee eljárásoka kívá, éppe a szabályos függvéyek kezeléséből kifolyólag. Szochaszikus ideifikáció Szochaszikus ideifikáció eseé a megevezésből is kövekezőe szochaszikus (véleleől is függő, bizoyalasággal erhel) jelek kerülek az ideifikáladó redszer bemeeére. Ilye esebe ermészeese a válasz-jelek is szochaszikus folyamaok (másképp: vélele függvéyek) leszek. Hagsúlyozi kell, hogy a gyakorlai műszaki redszerekbe kialakuló üzemi folyamaok midig szochaszikusak, kér- 3
dés csupá a szereplő valószíűségi válozó sokaság szórási viszoyaiak alakulásába va. A deermiiszikus közelíés csak kis szórású folyamaok eseé lehe idokol. 4. Az ideifikáció iráyulsága Passzív ideifikáció A passzív ideifikáció sorá csupá megfigyelésekre szoríkozuk, méréssel vizsgálva a bemeő és válasz-jeleke. I az eseek agy öbbségébe szochaszikus folyamaok realizációs függvéyeiek megfigyeléséről és saiszikai-diamikai elvek alapjá öréő kiérékelő eljárások alkalmazásáról va szó. Akív ideifikáció Az akív ideifikáció sorá erveze vizsgálójelekkel gerjeszjük a vizsgáladó redszer, és ezekre a jelekre ado válaszoka érékeljük. Ez a evékeység ehá kimeríi a udaos kísérleezés fogalmá. Az ideifikáció oszályozásáak 3 szempoja saikus deermiiszikus passzív diamikus szochaszikus akív I./a.) Saikus ideifikáció deermiiszikus szkéma kereébe Legye u() a redszer bemeeére érkező függvéy, ekisük eek a időpoba megkezde és a időpoba végződő ekvidiszás miavéellel származao reprezeás ordiáa-sorozaá. Jelölje u, u,, u i,, u az így redelkezésre álló érékeke. Az u() bemeőjelre ado v() = R u() válaszfüggvéy is miavéelezzük ugyaazo az ekvidiszás időpo-sorozao, melyek eredméyeképpe előáll a v, v,,v i,,v reprezeás ordiáa-soroza. Az ipu és oupu jelek kapcsolaá az azoos miavéeli időpohoz arozó jelpárok álal kirajzol saikus jelleggörbével jellemezzük. A saikus jelleggörbe egyes eseekbe kéérékűre is adódha, azoba ekkor megadhaó lehe, hogy a bemeő jelsoroza övekvő ill. csökkeő ordiáa részsorozaaihoz redelődő kimeei érékek mely jelleggörbe ágo sorakozak. Ilye esebe ulajdoképpe a bemeő jel deriváljáak előjelviszoyai jászaak léyegi szerepe, ehá a redszerproblémá ké bemeeű és egy kimeeű (MISO = Muliple Ipu Sigle Oupu) modellre voakozó problémaké is kezelhejük. u i { u i} i = u() R v() = R u() Az kiérékelés sorá ehá az u i -hez a v i érék arozik. Az összearozó érékpároka felrakva egy síkbeli koordiáaredszerbe kirajzolódik a kerese függvéykapcsolao reprezeáló posoroza. v() v i i = v i { } 4
Egy másik példá a hiszerézis jellegű (em egyérékű) függvéykapcsola eseére muajuk be az ordiáa érékek egymáshoz redelődésé. Ebbe az esebe v = F(u,u ) saikus függvéykapcsola adódo. du d < v v v i du d > u i u sziuszos jel i u i I. /b.) Saikus ideifikáció szochaszikus szkéma kereébe A szochaszikus szkéma kereébe végze vizsgála sorá az u() és v() realizációs függvéyek miavéelezése az előzőekbe a deermiiszikus esere ismeree módo mehe végbe, de mos a szochasziciás mia az azoos miavéeli időköz arozó pook em fogak szorosa egy görbe, vagy egy hurok meé sorakozi, haem egy pofelhő alkoak. Az ebbe az esebe is adódó u,,u i,,u valami v,,v i,,v -elemű sorozaoka saiszikai miaké kell ekieük, i azoba figyelemmel kell lei arra, hogy a kis miavéeli idő mia eze miaelemek em függeleek, ehá a saiszikai bizoság számíásakor eek figyelembevéelével kell eljári. A ké miasoroza alapjá a kövekező vizsgálaok szükségesek a ájékozódáshoz: - középérékek számíása - korrigál empirikus szórások számíása - regressziós elemzés A miavéeli sorozaokból elsőek a középérékek haározadók meg: ui vi i= i= u =, v =. A kiérékelés második lépésébe a korrigál empirikus szórások számíása végzedő: 2 2 ( ui u) ( vi v) * i= * i= ( ) =, ( ) = s u s v. 5
A pofelhő felrajzolása uá lieáris regressziós voal meghaározása a kövekező lépés. Eek eredméyeképpe döei lehe, hogy a lieáris kapcsola kielégíőe jól közelíi a be és kimeő folyama kapcsolaá, vagy ovábbi összeeebb modell alkalmazása szükséges. v ξ v E(ξ v ξ u =u ) feléeles várhaó érék f(v u ) feléeles sűrűségfüggvéy Regressziós voal (u és v lieáris kapcsolaa) u ξ u u A lieáris regressziós voal egyeleé v = m u + b alakba vesszük fel és a ké paraméeréek m-ek és b-ek a meghaározása a legkisebb égyzeek módszerével öréhe. A ké miavéeli sorozara ámaszkodva a Gauss-féle ormál egyeleek a kövekező alako ölik: 2 ui m+ ui b= uv i i i= i= i=. ui m+ b= vi i= i= A fei egyeleredszer ˆm és ˆb megoldása az iráyages együhaóra és az abszolú agra: uv i i uv ˆ i= m=, bˆ = v ˆ mu. 2 2 ui u i= Nemlieáris regresszió Ha az u és v válozók kapcsolaa emlieáris, akkor célszerű az ismerele összefüggés egyelőre haározala együhaókkal u = ae alakba felvei. Logarimálva a mu kifejezés, az l v = l a+ mukifejezés adódik. Bevezeve a v* = lv és c = la jelöléseke, a v* = m u + c egyelee kapjuk, amelyre már alkalmazhaók a legkisebb égyzeek módszerébe szokásos Gauss-féle lieáris ormálegyele-redszer. Korrelációs együhaó A kér vizsgál szochaszikus folyama realizáció helyeesíő ξ u, ξ v valószíűségi válozó-párra voakozó -elemű miasorozaok alapjá becsüli lehe a ké valószíűségi válozó lieáris függvéykapcsolaáak erősségére jellemző korrelációs együhaó. Ismerees, hogy ké valószíűségi válozó eseé a korrelációs együhaó az E ( ξu E ξu)( ξv E ξv) cov( ξu, ξv) R( ξu, ξv) = = Dξ Dξ varξ varξ u v u v 6
összefüggés érelmezi, ahol az E a várhaó érék képzés, D pedig a szórásképzés fukcioálja, cov( ξu, ξ v) a ké valószíűségi válozó kovariaciájá, a varξ u és varξ v pedig a szóba forgó ξ u és ξ v valószíűségi válozók szóráségyzeé variaciájá jelöli. Az így érelmeze korrelációs együhaóra érvéyes, hogy R( ξu, ξv). Emlékezeük arra, hogy ameyibe a ξ v a ξ u -ől lieárisa függ a ξ v = a ξ u + b képle szeri, akkor aól függőe, hogy az a együhaó milye előjelű, a kövekező összefüggés érvéyes: ha a > R( ξu, ξv) =. ha a < A ké helyeesíő valószíűségi válozóra redelkezésre álló -eleű mia alapjá a korrelációs együhaó ˆR becslése a kövekező képle szeri számíhaó: ( ui u)( vi v) ˆ i= R =. 2 2 ( u u ) ( v v ) i i i= i= II. /a.) Diamikus ideifikáció deermiiszikus szkéma kereébe Ideifikáció az időaromáyba Az időaromáyba végze deermiiszikus ideifikáció eseé a vizsgál redszer bemeeére ipikus vizsgálójeleke kapcsoluk. Ezek a vizsgálójelek alapveőe az egységimpulzus (Dirac-δ) és az egységugrás (Heaviside-féle) függvéy jeleik. Ismerees, hogy a lieáris időivariás redszer válasza a δ() egységimpulzus bemeere a redszer h() súlyfüggvéyé adja, a szokásos jelölésekkel: h() = R δ(). Hasolóképpe, a lieáris időivariás redszer válasza az U() egységugrás bemeere a redszer A() ámeei függvéyé adja: A() = R U(). A súlyfüggvéy és az ámeei függvéy közö feálló kapcsolao a kövekező ké formula rögzíi: da() h() =, A( ) = h( τ ) dτ d. Tekieel a Dirac-δ függvéy problemaikus érelmezésére, és az egységugrás függvéy zéróhelyi diszkoiuiására, gyakorlai számíásokhoz a jelze függvéyek azo jóidulaú válozaai célszerű haszáli, amelyek a problemaikus zéró hely köryezeébe kis poziív ε érék alkalmazásával adódak. A Dirac-δ helye a δ ε () Dirac-δ közelíő égyszöglökés függvéy és az egységugrás függvéy helye az U ε () véges meredekségű egységugrás függvéy alkalmazása előyös. A ké jelze közelíő függvéy diagramjaik és eseszéválaszásos defiíciójuk megadásával jellemezzük: 7
a.) Dirac-δ közelíő égyszöglökés függvéy ha (, ε ) δε () = ha (, ε ) ε δ ε ε ε b.) Véges meredekségű egységugrás függvéy ha Uε () = mi, ha > ε U ε ε A bevezee δ ε () és U ε () függvéy közöi kapcsola az ábráról leolvashaó módo eljese hasoló a Dirac-δ és az egységugrás függvéyek közö feálló, összefüggéshez: du () δ ε () = ε, Uε( ) = δε( τ) dτ d. Az δ ε és U ε közelíő függvéyeke mi a redszer bemeő jellemzői alkalmazva a lieáris időivariás redszer ké redszerjellemző függvéyéek, a súlyfüggvéyek ill. ámeei függvéyek közelíésé kapjuk. Egyrész ehá a δ ε () bemeő jelre a h ε () = R δ ε (), közelíő súlyfüggvéy, másrész pedig az U ε () véges meredekségű egységugrás bemeő jelre válaszké az A ε () = R U ε () közelíő ámeei függvéy kapjuk. A mos bevezee ké közelíő függvéy kapcsolaa közveleül beláhaó módo adódik: h ε () = da ε ( ), Aε( ) = hε( τ ) dτ. d A feiekbe megado defiíciók uá a súlyfüggvéy ideifikációjával foglalkozuk kissé részleesebbe. Ismerees, hogy a lieáris időivariás redszer válaszá a súlyfüggvéy ismereébe kovolúciós iegrállal lehe meghaározi a kövekező kifejezés szeri: v () = h ()* u () = h ( τ )( uτ) dτ = h( τ)( u τ) dτ. 8
A gyakorlai eseekbe fellépő lieáris redszerek súlyfüggvéyei a redszerbe alálhaó csillapíások kövekezébe legöbbször bizoyos T idő múlva már lecsegeek. Így a kovolúciós iegrálra kapo uolsó kifejezésbe az iegráció elegedő a T felső haárig végezi: v () = h ()* u () h( τ )( u τ) dτ. Az így adódó iegrál az ő származaó iegrálközelíő összeggé visszadurvíva és τ oszásközzel számolva a T v () h( τ )( u τ) dτ v ( τ) hk ( τ)( u τ k τ) τ közelíő összeg adódik. A közelíő összegbe az összegzés felső haárá csak a v argumeumába szereplő érékig kell kierjeszei, mivel mid az u bemeei függvéyek, mid a v válaszfüggvéyek a mér éréksorozaa csak emegaív idexekre áll redelkezésre, és k > eseé az u bemeő érék egaív idexhez arozó éréke lee szükséges, mely érék em áll redelkezésre. Válasszuk mos a τ = oszásköz speciális eseé, akkor a kövekező kifejés adódik: T k = hku ( ) ( k) = h() u ( ) + h() u ( ) + h(2) u ( 2) + k =. + hku ( ) ( k) +... + h ( ) u() + hu ( ) () Adódik ehá az -edik oszáspohoz arozó válasz előállíása a súlyfüggvéy és a bemeő függvéy redelkezésre álló miavéeli érékeiek lieáris kombiációjaké a kövekező alakba: v ( ) hu ( ) () + h ( ) u() +... h() u ( ) + h() u ( ) A kifejezés sajáos szerkezee mia ráézésre elleőrizheő a v ( ) hku ( ) ( k) = h ( kuk ) ( ) k= k= összefüggés helyessége. A kapo összefüggés =,, 2, -re öréő sorozaos felírásával kapo egyeleredszer leheővé eszi a súlyfüggvéy ordiáasoroza kiérékelésé. A jelze egyeleredszer a kövekezőképp alakul:. v() = h() u() 2. v() = h() u() + h()u() 3. v(2) = h(2) u() + h()u() +h()u(2) sb. Az első egyeleből h() éréké, eek ismereébe a második egyeleből h() éréké meg lehe haározi (rekurzív helyeesíés). Előáll ehá a vizsgál lieáris lieáris redszer súlyfüggvéyéek az ado miavéeli sorozao adódó ordiáa sorozaa. A bemuao eljárás eszőleges u(k), k=,,2,,r bemeőjel-soroza és az arra ado v(k), k=,,2,,r válaszsorozara elvégezheő. Célszerű azoba speciálisa válaszo 9
bemeőjeleke alkalmazi, mer a számíási muka agymérékbe egyszerűsödhe. Így például ha a bemeei jelsorozara u() =, és u(k) =, ha k >, akkor a kimeőjel soroza azoal a súlyfüggvéy ordiáa sorozaá szolgálaja:. v() = h() 2. v() = h() + 3. v(2) = h(2) + sb. Ha a bemeei jelsorozara u(k) = mide k eseé (azaz u(k) miavéeleze egységugrás), akkor:. v() = h() 2. v() = h() + h() 3. v(2) = h(2) + h() +h() sb. Ebből:. h() = v() 2. h() = v() - v() 3. h(2) = v(2) - v() sb. A kapo eredméy megfelel a várakozásak, ugyais a v(k) soroza az A() ámeei függvéy miavéeli érékei adja, és feáll a () ( ) ( ) () da ( ) v k h hk v k = d differeciálháyados közelíő összefüggés. Ideifikáció a frekveciaaromáyba A lieáris időivariás redszerek deermiiszikus szkéma kereébe végze diamikus ideifikációjára ige alkalmasak a ferkveciaaromáybeli eljárások. Az eljárás léyege az, hogy a redszer bemeeére ado ω körfrekveciájú és A u (ω) ampliúdójú, a ulla időpoba zérus éréke felvevő sziuszos jele bocsáva vizsgájuk a lieáris redszer kimeeé jelekező válaszfolyamao, amely szié sziuszos kell, hogy legye, és amelyek körfrekveciája megegyezik a bemeere kapcsol jel ω körfrekveciájával. A redszer jelformálása lieáris redszerek eseébe csupá abba jelekezhe, hogy a válaszfüggvéy A v (ω) ampliúdója és ϕ v (ω) fázisszöge külöbözik a bemeere alkalmazo sziuszos jel jellemzőiől. A gerjesző sziuszos függvéy ω körfrekveciájához hozzáredelheő egy H(iω) komplex szám, amelyek abszolú éréke a A v (ω)/a u (ω) ampliúdó-háyadossal egyelő, és fázisszöge megegyezik a kimeőjel ϕ v (ω) fázisszögével. Ha zérusól poziív lépéseké öveljük a bemeő sziuszos jel körfrekveciájá, akkor az így előálló külöböző ω j érékekhez előáll a H(iω j ) komplex számok sorozaa, amely soroza a vizsgál lieáris redszer jellemző H(iω) komplex frekveciafüggvéy helyeesíési érékei, azaz az ideifikációs fel-
ada gyakorlai megoldásá adja. A kapo komplex frekveciafüggvéy poziív körfrekveciákra így meghaározo szakaszá diagramba szemlélejük. Im ω = ϕ H(iω j ) Re ω > ω j II./b.) Diamikus ideifikáció szochaszikus szkéma kereébe Szochaszikus folyamaok Az időől (vagy valamely más skalár paraméeről, pl. az úhosszól) és a véleleől függő kéválozós ξ(,w) függvéy szochaszikus folyamaak evezzük. I a függele válozó befuja a végele számosságú I halmaz a folyama u. paraméer eré, míg a w függele válozó (az elemi eseméy) befuja a W eseméyere. A ξ(,w) folyama érékei a folyama állapoeréek elemei. Valamely szochaszikus folyama rögzíe w elemi eseméy mellei lefuása a szochaszikus folyama realizációs függvéye, vagy miafüggvéye az I iervallumo érelmeze x() =ξ(,w ) valósérékű függvéy. Ha ado I paraméer éréke rögzíjük, akkor a szochaszikus folyama paraméerpohoz arozó ξ (w)=ξ(,w) u. perem-valószíűségi válozóka kapjuk. Eze a defiíció elidulva a szochaszikus folyamao, mi a perem valószíűségi válozóiak {ξ (w): I } egyparaméeres végele seregeké érelmezhejük. ξ(,w) w w 2 m ξ ()=E ξ(,w) w 3 I A valószíűségszámíásból ismer várhaó érék léezésé feléelezve az összes szereplő perem-valószíűségi válozó eseébe, képezheő a folyama I iervallumo érelmeze m ξ () = E ξ(,w) várhaó érék függvéye, amely a folyama válozási edeciájá redjé muaó deermiiszikus függvéy. Szemléleéské megrajzoluk egy folyama három realizációs függvéyé és felüeük a folyama várhaó érék függvéyé is, amely körül helyezkedek el a vélele igadozás muaó realizációs függvéyek.
A szochaszikus folyamaokak a várhaó érék függvéy melle a másik foos jellemzője az auokorrelációs (ökorrelációs) függvéy, mely szié egy várhaó érékkel va érelmezve. Az auokorrelációs függvéy érelmezési aromáya az I x I szorzahalmaz, és a kokré érelmezés a kövekező képle rögzíi: B ξξ (s,) = E ξ(s,w)ξ(,w), (s,) I x I. Jól láhaó, hogy az auokorrelációs függvéy már em függ a véleleől, mer a várhaó érék képzés a vélele igadozás kiküszöböli. Másodredű gyege sacioariás A műszaki alkalmazások agy részéél azo speciális ulajdoságú szochaszikus folyamaok jászaak foos szerepe, amelyek várhaó érék függvéye kosas, és auokorrelációs függvéye csak a τ = s paraméerkülöbségől függ. Ezeke a folyamaoka másodredbe gyegé sacioárius folyamaokak evezzük. Az emlíe ké defiiáló ulajdoságo az alábbiakba képleel is rögzíjük:. m ξ () = E ξ(,w) = álladó, mide I, 2. B ξξ (s,) = E ξ(s,w)ξ(,w) = B ξξ ( - s) = B ξξ (τ), mide (s,) I x I. Korrelációs függvéyek ávieli redszerek eseé A kövekezőkbe másodredbe gyegé sacioárius szochaszikus u(,w) bemeő folyamao és az ilye gerjeszés eseé a lieáris időivariás redszer kimeeé jelekező ugyacsak másodredbe gyegé sacioárius v(,w) szochaszikus válaszfolyamao vizsgáljuk. Mid a gerjesző, mid a válaszfolyamról a kövekezőkbe felesszük, hogy várhaó érékük zérus. A szokásos redszermodell az alábbi ábra muaja az alkalmazo jelölésekkel. u(,w) R v(,w) v(,w) = R u(,w) Tekieel arra, hogy mos mid a be- mid a kimeő másodredbe gyegé sacioárius szochaszikus folyama vizsgálaa egyidejűleg szükséges, érelmezi kell mid az auokorrelációs, mid pedig a kereszkorrelációs függvéyeke. Az auokorrelációs függvéyeke a B uu (s,) = E u(s,w)u(,w) = B uu (-s), B vv (s,) = E v(s,w)v(,w) = B vv (-s), (s,) I x I összefüggés-pár, a kereszkorrelációs függvéyeke pedig a B uvξ (s,) = E u(s,w)v(,w) = B uv (-s), B vu (s,) = E v(s,w)u(,w) = B vu (-s), (s,) I x I összefüggés-pár érelmezi. A fe defiiál függvéyekből, mi elemekből megalkohaó a márix-érékű 2 x 2 méreű korrelációs függvéy: Buu ( τ ) Buv ( τ ) B ( τ ) = Bvu ( τ ) Bvv( τ ). 2
Spekrális sűrűségfüggvéyek A vizsgál lieáris időivariás redszer ideifikációjához elsőredű, haszos segédeszköz jeleeek a zérus várhaó érékű másodredbe gyegé sacioárius szochaszikus folyamaok korrelációs függvéyeiből iverz Fourier-raszformációval származao körfrekvecia-függő spekrális sűrűségfüggvéyek. Az érelmezésüke ekive az auospekrumoka a def def iωτ iωτ suu ( ω) = e Buu ( τ) dτ, svv( ω) e Bvv ( τ) dτ 2π = 2π képlepár, a kereszspekrumoka pedig a def def iωτ iωτ suu ( ω) = e Buu ( τ) dτ, svv( ω) e Bvv ( τ) dτ 2π = 2π képlepár érelmezi. Megjegyezzük, hogy míg az auospekrumok a körfrekvecia emegaív valósérékű függvéyei, addig a kereszspekrumok mi a körfrekvecia függvéyei komplex-érékűek. A korrelációs márix-függvéyhez hasolóa a spekrális sűrűségfüggvéyeke is márix-érékű 2 x 2 méreű márix függvéy formájába célszerű rögzíei, eek eve spekrális sűrűségfüggvéy márix-függvéy. suu ( ω) suv( ω) S ( ω) = svu ( ω) svv( ω). A komplex frekveciafüggvéy A vizsgál redszer szochaszikus bemeő- és válaszfolyamaa spekrális sűrűségfüggvéyeiek ismereébe a redszer korábba is árgyalásba vo Hi ( ω ) = R iω e iω e komplex frekveciafüggvéyéek ideifikációja elvégezheő. A bemeő és válaszfolyama spekrális sűrűségfüggvéyei a folyamaok realizációiak mérésével, és kiérékelésével lehe meghaározi. Eze kiérékelés részleeivel mos eze árgyalásukba em foglalkozuk. Az ideifikációs felada részleges csak a vizsgál lieáris időivariás redszer agyíási függvéyéek a Hiω ( ) abszolú érékéek megadásá célzó részleges megoldásaké elegedő csupá a bemeő és a válaszfolyama auospekrumáak ismeree, míg a redszer eljes ideifikációjához a Hiω ( ) komplex frekveciafüggvéy maradékala meghaározása szükséges, amihez a bemeő és a válaszfolyama keresz-spekrális sűrűségfüggvéye és a bemeő folyama auospekruma szükséges. A agyíási függvéy meghaározása Az előzőekbe e megjegyzésük szeri, a saiszikai diamika s ( ω) = H( iω) s ( ω) vv alapörvéyéből a ké auospekrum ismereébe a redszer ismerele agyíási függvéye azoosíhaó: svv( ω) Hi ( ω) =. s ( ω) uu 2 uu 3
A redszer komplex frekveciafüggvéyéek azoosíása A felada megoldása az ismer suv( ω) = H( iω) suu ( ω) összefüggés áredezésével a kövekező suv( ω) Hi ( ω) = suu ( ω) képle alapjá adódik. Az elegedőe sok körfrekvecia érékkel elvégze számíás eredméyeké a komplex frekveciafüggvéy vizsgál szakasza megrajzolhaó. Lieariás ideifikáció kohereciafüggvéy A lieáris redszer spekrális sűrűségfüggvéyei ismereébe számíhaó a redszer jellemző kohereciafüggvéy is, amely lieáris redszer eseé mide körfrekvecia érékél azoosa éréke kell, hogy felvegye. A kohereciafüggvéy kifejezéséhez az auospekrumok, és a kereszspekrum abszolú érékéek ismeree szükséges az alábbi képle szeri: 2 2 suv( ω) γuv( ω) = s ( ω) s ( ω) uu Ameyibe a γ 2 uv( ω) koherecia éréke valamely körfrekvecia iervallumba kisebb mi egy, az három okra vezeheő vissza. A három egymás em kizáró ok az alábbi lehe: i.) A vizsgál redszer operáora emlieáris, ii.) A vizsgál redszer bemeő- és válaszfolyamaá mérési zaj erheli, iii.) A vizsgál redszerre a ekiebe ve u(,w) bemeő folyamao kívül ovábbi bemeei jel is működik, a- mely a v(,w) válaszfolyamao befolyásolja. 5. Modellbázisú ideifikáció A vizsgál redszer ávieli ulajdoságaiak ideifikációjá sok esebe eredméyese végezhejük modell bázisú eljárással. Ez az jelei, hogy a vizsgál redszer srukúrájára ézve megfelelő iformációk va és csupá a redszer paraméerei kérdésesek. A redszermodell R m(p) operáora a p paraméervekoról függ, éppe a legkedvezőbb ˆp paraméerérék behaárolása a felada, mely melle ugyaazo u() bemeőjel alkalmazása melle a valóságos redszer kimeeé mér v r () jel a leheő legkevésbé ér el a modell redszer kimeeé adódó v m () jelől. A vázol ideifikációs eljárás blokksémájá az alábbi ábra muaja. u() R r R m(p) v r () v m (,p) + vv ε(,p) Φ(p)=mi! ˆp 4
Az ideifikációs eljárás kivielezéséhez a valóságos redszer kimeeé mér v r () jel és a p paraméervekor melle a modell kimeeé adódó (mér vagy szimulál) v m (,p) jel külöbségé képezve a ε (, p) = vr() vm(, p ) alakú függő külöbségjel egy fukcioáljá kell miimalizáli. Az eljárás a legkisebb égyzeek elvére ámaszkodóa elegedőe hosszú T időkerebe végezve szolgálaja az miimalizáladó Φ(p) függvéy a kövekező alakba: T ( p) 2 ε (, p ) d mi! Φ = = Numerikus paraméerilleszés a Φ miimalizálására A Φ(p) függvéy umerikusmiimalizálására a gradies módszer muajuk be. A Φ(p) függvéy mos ké-dimeziós p paraméervekor eseére az alábbi ábra Φ(p,p 2 ) jellegfelülee szemlélei. Φ A Φ(p,p 2 ) kéválozós, folyoos és differeciálhaó függvéy jellegfelülee C C 2 P 2 ˆp 2 Φ mi ˆp p () egaív gradies vekorok λ-szorosai A umerikus miimalizáladó eljárás a p () paraméerpoból idíjuk, és a Φ(p) függvéy gradies vekoráak sorozaos képzésével ovábblépük a miimumhely felé a kövekező algorimus szeri: () i ( i+ ) ( i) gradφ( p ) p = p λ. () i gradφ( p ) Az algorimusba szereplő λ szorzó egy kis poziív számérékek válaszadó (lépésköz), és a miimumhely felé közeledve célszerű éréké ovább csökkeei, hogy el lehesse kerüli a miimumhely eseleges álépéséből adódó ehézségeke. Végül is az algorimus álal szolgálao {p (i) } vekorsoroza a Φ(p) függvéy miimalizáló ˆp vekorhoz kovergál, ezzel megva az alkalmazadó opimális paraméer vekor : lim p (i) = ˆp. P 5
6. Irodalom: [] Csáki, F.: Iráyíási redszerek modellezése. Egyeemi jegyze. Taköyvkiadó, Budapes, 975. [2] Ljug, L.: Sysem Ideificaio. Theory for he User. Preice-Hall, Ic. Egle Wood Cliffs, New Jersey 7632, 987. 6