A HOZAMGÖRBE TANULÁSI. Romhányi Balázs

Átírás

1 A HOZAMGÖRBE TANULÁSI HIPOTÉZISE Romháyi Balázs

2 PÉNZÜGYTAN TANSZÉK Témavezeő: Király Júlia Bírálóbizoság: Romháyi Balázs 200 2

3 Budapesi Közgazdaságudomáyi Egyeem Közgazdasági szakosíású dokori program A HOZAMGÖRBE TANULÁSI HIPOTÉZISE Ph.D. érekezés Romháyi Balázs Budapes 200 3

4 A HOZAMGÖRBE TANULÁSI HIPOTÉZISE Romháyi Balázs 200 KIVONAT A hozamgörbe várakozási hipoéziséek apaszalai kudarca szükségszerűe az jelei, hogy a szochaszikus diszkoéyező valószíűségi eloszlására voakozó várakozások időbe válozak. E várakozásoka olya éyezők is befolyásolhaják, amelyek em szerepelek a jegybaki reakciófüggvéybe, ehá em haak közveleül a rövid lejáraú kamalábra. Feladva a pézügya affi és piaci kamaláb-modelljeiek az a feléelezésé, hogy a kamalábak és a szochaszikus diszkoéyező iovációiak valószíűségi eloszlása ormális, levezeük egy álaláos fakor-modell, melybe a várakozási hipoézis szerepé az arbirázsmeesség egzak feléele veszi á. Ezálal a kamalábak modellezéséek problémája a várakozások modellezéséek problémájává alakul, melybe jeleős szerephez juha a racioális aulás folyamaa. Bemuajuk, hogy a várakozási hipoézis cáfoló empirikus esz-eredméyek hogya vezeheők le e modell kövekezméyeiké. (JEL E43 E52 F3) Kulcsszavak: kamalábak, hozamgörbe, moeáris poliika Romháyi Balázs Pézügymiiszérium Cím: Győri ú 2/a 23 Budapes Tel: (36) (oho) (36) (mukahely) Fax: (36) [email protected] 4

5 Taralomjegyzék ELMÉLETI BEVEZETÉS...8. PÉNZÜGYTAN A szochaszikus diszkoéyező Vélele bolyogás és időbe válozó várhaó hozamok A kamalábak modellezéséek alapfogalmai A hozamgörbe várakozási elmélee Aleraív eszközárazási modellek ÖKONOMETRIA VAR-modellek, egységgyök folyamaok és koiegráció Rezsimváló modellek MONETÁRIS MAKROÖKONÓMIA A racioaliás fogalma és a peso-problémák A moeáris poliika udomáya A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS AZ AMERIKAI HOZAMGÖRBE TÜKRÉBEN LEÍRÓ JELLEGŰ CIKKEK A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS ELVETÉSEI A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS MEGMENTÉSEI A HOZAMGÖRBE EGY ÁLTALÁNOS PIACI MODELLJE ARBITRÁZSMENTESSÉG ÉS A JENSEN-FAKTOR A HOZAMGÖRBE ZÁRT MEGOLDÁSA ÖSSZEHASONLÍTÁS A HEATH-JARROW-MORTON MODELLEL A JENSEN-TAG EGY MODELLJE EGY EGYSZERŰ PÉLDA A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS TESZTJEI A hozamgörbe hosszú végéek viselkedése A haáridős kamalábak, mi a kamalábak előrejelzői A Campbell-Shiller regressziók A JENSEN-FAKTOR ÉS A SZTOCHASZTIKUS DISZKONTTÉNYEZŐ REKONSTRUÁLÁSA KÖVETKEZTETÉSEK ÉS LEHETSÉGES KUTATÁSI IRÁNYOK...7 5

6 A moeáris poliika a fejle országok öbbségébe egy rövid lejáraú kamaláb segíségével, a raszmissziós mechaizmuso kereszül befolyásolja a gazdaság működésé. A raszmissziós mechaizmus első fázisa a rövid lejáraú kamaláb haása a hosszabb lejáraú kamalábakra, azaz a hozamgörbére. A rövid és hosszú lejáraú kamalábak közi kapcsola hagyomáyos megfogalmazása a várakozási hipoézis, amely szeri a hosszú lejáraú kamalábak a pillaayi és vár rövid lejáraú kamalábak álagaké adódak. Ha a moeáris haóság az eszközké haszál kamalába valamiféle szabály szeri alakíja makrogazasági muaók függvéyébe, akkor e makromuaók előrejelzése alapjá a piac a rövidlejáraú kamaláb várhaó alakulásá is becsülhei. Ez a becslés szolgálha a hosszú lejáraú kamalábakba foglal piaci várakozások alapjául. Ha viszo a hozamgörbe aralmazza a piac várakozásai a makromuaók voakozásába, akkor a jegybak, aki igyekszik a makrogazdasági folyamaoka megelőzve miegy előre ekive alakíai poliikájá, megkísérelhei kiyeri a makromuaókra voakozó várakozásoka a hozamgörbéből. A probléma ezzel a godolameeel kapcsolaba öbbréű. Egyrész problémá okoz, hogy a várakozási hipoézis a gyakorlaba egyálalá em lászik igazolódi, ehá a raszmissziós mechaizmus első lácszeme már gyege. Másrész problémá okoz, hogy ics semmiféle koszezus a gazdaság működésé megfelelőe leíró modell, kövekezésképp a hosszú lejáraú kamalábakak a gazdaságra kifeje haásá illeőe sem. Ez részbe aak is ulajdoíhaó, hogy még em állak redelkezésre kellőe hosszú makrogazdasági idősorok, ahhoz képes például, hogy milye riká fordulak elő jeleős, redkívüli eseméyek, melyek valószíűségé emia csak ige agy bizoyalasággal becsülhei a piac. Harmadrész probléma, hogy a piac várakozása em feléleül helyes, mivel az iformációhiáy ere egedhe uóbb (vagy legalábbis a vizsgál időszakba) em beigazolódó piaci várakozásokak, peso-problémákak is. A pézügya szokásos affi és piaci kamaláb modelljei első sorba maemaikai kezelheőségi megfoolásokból feléelezik, hogy a kamalábaka alakíó sokkok ormális eloszlásúak. Ez a megszoríás a apaszalaokkal em feléleül va eljes összhagba, viszo em is élkülözheele. E dolgozaba egy olya álaláos öbbválozós fakor-modell muauk be, amely. a eljes hozamgörbé modellezi, 6

7 2. leheősége ad a jegybaki reakciófüggvéybe megjeleő makroválozók figyelembe véelére 3. leheősége ad a piaci várakozások fudameális okokkal em magyarázhaó részé megragadó láes válozók figyelembe véelére 4. em éelezi fel az egyes fakorok valószíűségi eloszlásáak ormaliásá és 5. alkalmas öbb, a várakozási hipoézis cáfoló empirikus esz eredméyeiek ierpreálására. A dolgoza. részébe elmélei áekiés aduk a pézügyi, ökoomeriai és makroökoómiai szakirodalom elmúl 25 évéek émák szempojából legfoosabb részerüleeiről. A 2. részbe ömöre összefoglaluk az amerikai hozamgörbére voakozó empirikus aulmáyoka a eljesség igéye élkül, de örekedve a legfoosabb godolaok megjeleíésére. A 3. részbe vezejük le sajá modellüke, elemezzük és vejük össze a apaszalai eredméyekkel. A 4. rész kövekezeéseke vo le és ovábbi leheséges kuaási iráyoka jelöl meg. 7

8 Elmélei bevezeés Eze elmélei bevezeőbe éháy olya émá kíváok rövide bemuai, amely szükséges a dolgozaba szereplő modell megéréséhez és döőe az elmúl 25 évbe fejlődö ki a közgazdaságaba. Természeese a eljesség igéye élkül, midössze a dolgoza célja szempojából feléleül szükséges elemekre szoríkozuk. A émák 3 fő erülehez arozak: pézügya, ökoomeria és moeáris makroökoómia. 8

9 . Pézügya A pézügya alapproblémája a pézügyi eszközök árazása. A moder pézügya az eszközárazás az eszközárazás alapegyeleéből kiidulva árgyalja. Az alapegyele léyege, hogy az ár megegyezik a szochaszikus kifizeések és a szochaszikus diszkoéyező szorzaáak várhaó érékével. Ez em más, mi a deermiiszikus jeleérékszámíás álaláosíása szochaszikus esere. Mivel kockázamees eszközök eseé a kifizeés em szochaszikus (hisze kosas), ezér a kockázamees eszközök árazásáak problémája valójába a szochaszikus diszkoéyező meghaározásáak problémája... A szochaszikus diszkoéyező Tekisük egy diszkré Arrow-Debreu gazadságo, melybe világállapook száma, s... S a leheséges i... N pedig a redelkezésre álló pézügyi eszközök (ovábbiakba: eszközök) idexe. Defiíció szeri legye az i-dik eszköz ára p i, p pedig jelölje az eszközárak N vekorá. Az i-dik eszköz az s világállapoba xsi kifizeés eljesí, mely kifizeéseke összefoglalóa az aralmazza S N méreű X márix Defiiáljuk az S méreű q vekor, melyek ipikus eleme q s. A q vekor állapoár-vekorak modjuk, ha igaz, hogy X q p. Mide eszköz felfoghaó úgy, mi állapofüggő kifizeések egy köege. A q vekor s-dik eleme megadja az s- dik világállapoba kifizee egy dollár árá és mi mide eszköz árá úgy reprezeáljuk, mi az ő állapofüggő kifizeéseiek és a megfelelő állapoárakak a szorzaösszege: () pi qs x s si Foosabb szakirodalom: Cochrae (200), Campbell, Lo, MacKilay (997), Duffie (996), 9

10 Foos eredméy, hogy akkor és csak akkor léezik legalább egy poziív állapoárvekor, ha icseek arbirázs leheőségek (azaz em léezik olya eszköz, vagy eszköz-kombiáció, amelyek ics poziív kölsége ma, icseek egaív kifizeései holap és legalább egy világállapoba va poziív kifizeése). Bizoyíásáak léyege, hogy ellekező esebe megfelelő eszközkombiációval szieizálhaó olya, ulla kölségű porfólió, amelyek kifizeése egyik világállapoba sem egaív és legalább egy világállapoba poziív, ami maga az arbirázs-leheőség. Defiiáljuk az M s q s π s háyados, ahol π s az s-dik világállapo bekövekezéek valószíűsége. Bármely i eszközre kövekezik, hogy S (2) p q X π M x E{ Mx } i s s si S s s s si i M s az s-dik világállapo állapoáráak és valószíűségéek háyadosa, ehá poziív, mivel mid az állapoárak, mid pedig a valószíűségek poziívak. Ebből kövekezik, hogy akkor és csak akkor aláluk olya M valószíűségi válozó, amelyre feáll a (2) összefüggés, ha léezik poziív állapoár-vekor. Az M valószíűségi válozó a ovábbiakba szochaszikus diszkoéyezőek, fogjuk hívi. Kierjeszve a modell öbb időszakra, defiiálhajuk a és közöi időszakra érvéyes szochaszikus diszkoéyező is az alábbi egyele alapjá: (3) E { M x } p i,, i, ahol E a időpoba redelkezésre álló iformációra voakozó feléeles várhaó éréke jelöli. 2 A legálaláosabb felírás szeri (4) p E{ Mx} mely egyelee a ovábbiakba az eszközárazás alapegyeleéek evezzük. 2 A szochaszikus folyamaok elméleébe pl. ezzel egyeérékű az E{. Ω } jelölés, ahol Ω az iformációs halmaz. 0

11 A szochaszikus diszkoéyező léezéséek mi fe igazoluk szükséges és elégséges feléele a poziív állapoárak léezése, ez azoba em garaálja a szochaszikus diszkoéyező egyérelműségé. Az egyérelműség feléele a piacok eljessége (bármely állapofüggő kifizeés előállíhaó a redelkezésre álló eszközök kombiációjaké.) Külö figyelme érdemel az ú. kockázamees befekeések áráak és hozamáak meghaározása. Kockázameesek modjuk a befekeés, ha mide világállapoba ugyaaz a kifizeés eljesíi. A (2) egyele alapjá (5) p q x q x x q x E{ M} i s si s i i s s s s melyből kövekezik, hogy a kockázamees befekeés hozaméyezője, amelye a kifizeés és az ár háyadosaké defiiáluk: i (6) R x p i s q f i s E { M} Szavakba ehá a kockázamees befekeés hozaméyezője em más, mi a szochaszikus diszkoéyező várhaóérékéek reciproka. Kockázasemlegesek moduk egy befekeő, ha úgy érékeli az eszközöke, miha a szochaszikus diszkoéyező azoos lee mide világállapoba, ehá M s E { M}. Ebbe az esebe az eszköz éréke em más, mi az állapofüggő kifizeésekek a valószíűségekkel súlyozo álaga: (7) E{ M} p π s xs S s E R {} x f A E{ Mx} p egyele egy közkeleű raszformációja ú. kockázasemleges valószíűségeke eredméyez. Defiiáljuk a (8) π R R s ahol f f M π s q s s R f q s E{ M}

12 A π s háyadosok poziívak, -él em agyobbak és -re összegződek, ehá jogos valószíűségekek ekiei őke. Ezálal az eszközárazás alapegyelee az alábbi formába írhaó: (9) p() x qs xs f π s x R s s s E R {} x f Az E jelölés arra ual, hogy a várhaó érék számíásakor a kockázasemleges valószíűségek haszáladók. Eek kövekezébe eszközárazáskor feléelezhejük, hogy mide befekeő kockázasemleges, de a helye. π valószíűségekkel, a valóságos π valószíűségek A raszformáció, amely a éyleges valószíűségeke a kockázasemleges valószíűségekbe viszi á az alábbi formába ado: (0) π s E M s π { M} s Ezér az M s éyező ekihejük deriválak is, avagy mérékcseréek a valódi E{ M} valószíűségekből a szubjekív valószíűségekbe. A ké mérék ( π és ) s π s ekvivales, mivel poosa ugyaazokhoz a világállapookhoz ársíaak ulla valószíűsége. Ez abból kövekezik, hogy ami az feebb kimoduk - az arbirázsmeesség mia az M s szochaszikus diszkoéyező éréke mide em ulla valószíűségű világállapoba poziív, ehá várhaó éréke is poziív, M kövekezésképp az s E{ M} szorzó éréke is midig poziív. Az eszközárazás kockázasemleges valószíűségekkel öréő reprezeálása ige elerjed, külööse a származékos ermékek árazásáál, amikor az eredméy függele a kockázai kiigazíásól, valami folyoos idejű modellek alkalmazásakor. Folyoos modellek eseé a szummák ermészeese iegrálokba meek á, ezér a diszkoéyező szokás árazási magak is hívi. 2

13 Az egy ár örvéye a pézpiacoko kimodja, hogy egyeérékű porfoliók (befekeési sraégiák) ára egyelő kell, legye. Tekisük pl. az alábbi ké sraégiá. Az első esebe megvásároljuk az i-dik érékpapír, amely eljesí a időszakba. Ára { M x } E x egységyi kifizeés,. A második sraégiába megvásároljuk az a j-dik érékpapír a időpoba, amelyik a m időpoba éppe az i érékpapír akkori árá fizei, majd a m időpoba megvásároljuk magá az i érékpapír. Az i érékpapír ára a m időpoba { M x } E m m, lesz. A m időpoba ezzel egyelő kifizeés eljesíő j érékpapír ára a időpoba { M E { M x } E m m m m,, kell, legye. A öbbszörös feléeles várhaó érék feloldása uá adódik, hogy () { M x } E { M M x } E, m, m m, Mivel eek igazak kell leie bármely x kifizeési profilra, kövekezik, hogy (2) M, M m, mm m, Isméel behelyeesíéssel adódik, hogy (3) M, M j, j vagy logarimusba kifejezve (4) m, m j, j ahol ( M ) m,, l. Ebből kövekezik, hogy ha defiiáluk az egy időszakra voakozó diszkoéyező alakulásá leíró szochaszikus folyamao, akkor ezzel megaduk bármely időszakra voakozó diszkoéyező alakulásá is. 3

14 ..2 Vélele bolyogás és időbe válozó várhaó hozamok Eddig a külöféle eszközök áráak és várhaó hozamáak viselkedésére összpoosíouk. Érdemes figyelme szeelük egyele eszköz áráak vagy hozamáak ( y ) viselkedésére is az idő függvéyébe. Kiiduláské iszázi szükséges éháy alapfogalma. A vélele bolyogásak három em egyeérékű megfogalmazása léezik. Az. ípusú vélele bolyogás megköveeli, hogy a válozások (a differecia) függeleek és azoos eloszlásúak legyeek 3 : (5) y y ahol ε ~ iid ε 2 ( µ, σ ) Tulajdoképpe em szükséges, hogy ε eloszlása ké paraméerrel (várhaó érék és szórás) megadhaó legye, de így erjed el a jelölés, mivel a közgazdasági és ökoomeriai gyakorlaba legikább előforduló eloszlások legfeljebb ké paraméeresek. Ebbe az esebe a sodrás ( µ ) veszi figyelembe: y legjobb (lieáris, vagy em lieáris) becslése k (6) E { y } y kµ k A 2. ípusú vélele bolyogás ovábbra is megköveeli, hogy a válozások (a differecia) függeleek legyeek, de már em köveelméy az azoos eloszlás: (7) y y ahol ε ~ id ε 2 ( µ, σ ) 3 Az iid rövidíés az agol idepedely ad ideically disribued, azaz függele, azoos eloszlású kifejezés jelöli. Az id az agol idepedely disribued, azaz függele eloszlású kifejezés rövidíése. Eze kívül szokás éha haszáli az id rövidíés, ami az iid feléele úl 4

15 A léyeg, hogy ε mide paraméere szabado válozha, de csakis függele módo (ermészeese a kosas függeleek miősül). A szokásos defiíció szeri marigálak moduk egy y folyamao, ha kövekező időszaki érékéek legjobb pobecslése megegyezik jelelegi érékével, ehá (8) E { y y, y, K} y Ebből a defiícióból az is kövekezik, hogy marigál folyamaok differeciája múlbeli érékeik semmiféle függvéyeké em előrejelezheő: (9) E{ y y y, y, } 0 K Ha y pl. egy jáék kumulál yereségé, avagy a vagyo jelöli a időpoba, akkor fair jáék eseé a kövekező lépés uái vagyo várhaó éréke megegyezik a vagyo jelelegi érékével, ami azzal egyeérékű, hogy a kövekező lépésbe várhaó yereség éréke ulla. Pézügyi eszközök áraira alkalmazva, a marigál feléel kimodja, hogy em áfedő időszakok árválozásai függeleek és külö-külö ulla várhaó érékűek. Ez a feléel képleekbe foglalva a kövekező alako öli: (20) y y ahol ε ~ id ε 2 ( 0, σ ) Foos kiemelük, hogy az ε valószíűségi válozókak midössze a várhaó éréke köö (ulla), mide egyéb paraméere szabado válozha, de ermészeese csakis úgy, hogy az a várhaó éréke e befolyásolja (e segíse az előrejelzésbe). Összehasolíva a (7) és (20) defiícióka, láhajuk, hogy marigál mide olya 2. ípusú vélele bolyogás, ahol a sodrás ulla. Fordíva ez em igaz, mivel va ormaliás is jele. Megjegyezzük, hogy léezek azoos eloszlású, de em függele övekméyű folyamaok is, de ezek ikább csak a szemlélee alakíják. 5

16 olya marigál, amely em függele övekméyű. A leggyakrabba emlíe ilye példa az ARCH-modellek esee. 4 A 3. ípusú vélele bolyogás feladja a differeciák függeleségéek köveelméyé és midössze a korrelálalaságo írja elő: y ahol y 2 (2) ε ~ ( µ, σ ) és Cov ( ε, ε ) 0 i j i ε j Ez foos eyhíés, mivel leheővé eszi pl., hogy a differeciák szórása auokorrelál legye, ső a szórás függhe bárrmilye más válozóól is, beleérve az alapfolyamao. A marigál ulajdoság ez uóbbi em eszi leheővé, mivel ezálal a szórás ismeree alapjá jósolhaóbbá válik a folyama. Ezek uá visszaérheük az eszközárazás problémájához. Ha az érékpapír em fize oszaléko és közö, és rövidávo, amikor a szochaszikus diszkoéyező közel va az -hez, az alapegyele az alábbi alakra egyszerűsödik: (22) p E { p } Ezzel egyeérékű állíás, hogy az árak, mi idősor az alábbi ípusú folyamao köveek: (23) p p ε 2 Ha a σ ( ε ) variacia álladó, az árak. ípusú vélele bolyogási folyamao köveek. Álaláosabb esebe, amikor a variacia em álladó, az árak marigál folyamao köveek. Léyegébe, ha az ár ma sokkal alaa va aak, mi ami a befekeő holapra vár, akkor az emberek igyekezi fogak vásároli az érékpapírból. De ez az igyekezeük felyomja az érékpapír árá midaddig, amíg az 4 AuoRegressive Codiioal Heeroskedasiciy. Részlees bemuaása megalálhaó pl. Hamilo (994), pézügyi alkalmazásai pedig Bollerslev, Chou és Kroer (992). 6

17 ár el em éri a holapra vár ára. Ugyaez az állíás kifejezhejük máské is: em szabad, hogy a hozamok előrejelezheők legyeek; p -vel oszva, a várhaó hozam { } E p p álladó kell, hogy legye. Úgy is modhajuk, hogy a hozam olya kell legye, mi az érmedobálás. Álaláosabb esebe az árak akkor köveek marigál folyamao, ha figyelembe vesszük az eseleges oszaléko és skálázzuk őke a szochaszikus diszkoéyezővel. 5 Ez a godola elleébe áll azzal a épszerű ézeel, miszeri vaak olya redszerek vagy echikai elemzések, melyek álal bármely apo megjósolhaó, hogy a részvéyárak merre fogak elmozduli. Több évizedyi adabáyásza és épszerű elevízió és rádióriporok elleére, melyek igyekezek elmagyarázi, hogy merre araak a piacok, egyelőre em sikerül hiel érdemlőe bebizoyíai semmilye kereskedési szabályról, hogy a razakciós kölségeke is úléli, aélkül, hogy a befekeőre implici kockázao háríaa. Ugyaakkor újabba gyűlik a bizoyíék, hogy. hosszú ávo a öbblehozamok jósolhaók 2. a öbblehozamok variaciája válozik, de jeleőse auokorrelál E ké éy bizoyos mérékig az muaja, hogy az eszközök hozamáak közgazdasági magyarázaa hézagos. Maemaikai szempoból az a levohaó kövekezeés, hogy a marigál feléelezés ké okból is úl szigorú. Egyrész kizárja a em ulla várhaó érékű övekméyeke (bár megfelelő raszformációval eze lehe segíei), másrész feleslegese megköveeli a differeciák függeleségé, holo a gyakorlaba elegedő ső kifejezee haszos a pusza korrelálalaság. 5 Mivel a marigálokak haszos maemaikai ulajdoságai vaak és mivel a kockázasemlegesség egy ige egyszerű közgazdasági köryeze, sok eszközárazási eredméy köye levezeheő, ha az áraka és oszalékoka először áskálázzuk, majd haszáljuk a kockáza-semleges képleeke és közgazdasági érveke. 7

18 ..3 A kamalábak modellezéséek alapfogalmai 6 A kövéy megevezés a ovábbiakba lefed mide hielviszoy megesesíő pézügyi eszköz (agolul deb isrume), legye az akár kövéy, kicsárjegy, kereskedelmi váló, vagy más hasoló eszköz, függeleül aól, hogy omiális (péz), vagy reál (áru, vagy áruidex) egységekbe va-e deomiálva. A kövéy előre meghaározo fizeési sorozara szóló köveelés esesí meg. A kibocsáás és az uolsó kifizeés közöi időkülöbsége evezzük lejáraak. Ké gyakori ípusa ismer a fizeési sorozaokak. Az ú. elemi kövéyek fizeési sorozaa egyele elemből áll, kövekezésképp csak lejárakor fizeek, mégpedig az egyszerűség kedvéér - egysége. Az ú. kupokövéyek, ezzel szembe, redszeres időközökéi egyelees fizeés ígérek. Az egyes fizeési elemeke, az uolsó kivéelével, kupookak hívjuk. Az uolsó fizeési elem, melye a kövéy lejárakor fize, egységgel agyobb, mi a öbbi, mivel ilyekor örleszi az adós a őké is. A kupokövéyek ekiheők olya, elemi kövéyekből képze porfoliókak is, melyekbe az egyes elemi kövéy ípusok az egyes kupofizeési időpookba járak le, és az egyes ípusokból éppe az akuális fizeések megfelelő összegű va a porfolióba. Mivel ilye módo a kupokövéyek érékelése visszavezeheő elemi kövéyek és azokból képze porfoliók érékelésére, ezér az eszközérékelési elméle a elemi kövéyekre összpoosí. A kövéyek leheek kockázaosak, vagy kockázameesek. Ameyibe a kifizeések összege függ az esedékességkori világállapoól (beleérve a világállapook addigi öréeé is), akkor a kövéy kockázaos. Ez ermészeese em mod elle aak, hogy a kifizeések összege előre rögzíe. Elképzelheő, pl. egy olya kövéy, amely a kibocsáásól számío egy év múlva dollár fize, ha azap esik az eső, külöbe semmi. Ezeke az agol szakyelv sae coige deb-ek hívja. A magyar yelvbe jó példa erre a bizosíási kövéy megevezés, ugyais a bizosíási kövéy is csak akkor fize, ha pl. leége a bizosío ház. A kockázaos kövéyek leggyakoribb fajája a vállalai kövéy, mivel az csak akkor fizei ki az előre meghaározo összege, ha a kifizeés apjá az ado vállala 6 Foosabb szakirodalom: Shiller (990), James, Webber (2000), Cochrae (200) 8

19 eszközeiek éréke em kevesebb, mi a csőd ragsorba az illeő kövéyél em hárább sorol köelezeségeiek összege (ez is egy világállapo). Ha a kifizeés összege az előre meghaározo időpookba em függ a világállapoól, akkor a kövéy kockázameesek modjuk. A ovábbiakba kizárólag kockázamees elemi kövéyekkel foglalkozuk. A elemi kövéyek - szokásos jegyzésük szeri - lejárakor fizeek egy egysége (ez evezzük évérékek), kövekezésképp kibocsááskori áruk egyél kisebb. 7 Ebből adódóa egységyi pézér (pl. dollárér) egységél agyobb évérékű elemi kövéy vásárolhauk. Az egy egységyi pézér vásárolhaó elemi kövéy meyiség évéréké kamaéyezőek hívjuk. Hogy köyebb legye összehasolíai a külöféle lejáraú kövéyeke, bevezejük a lejáraig számío hozam fogalmá. A lejáraig számío hozam (ismé hagsúlyozom, hogy kizárólag elemi kövéyekről va szó) az az R, szám, amelyre igaz, hogy R, (24) p e, ahol p, a időpoba lejáró elemi kövéy ára a időpoba, e pedig a ermészees alapú logarimus alapszáma. Egyszerű áalakíással a lejáraig számío hozam is kifejezheő: (25) ( p ) R, l, A ovábbiakba - köveve az álaláos gyakorlao - a kamaláb kifejezés is a (25) szerii defiíció érelmébe haszálom. Ha egy időpoba lejáró kövéy megvásároluk időpoba, de azá m< időpoba mégis eladjuk, akkor arra az időre, amíg birokukba vol a 7 Csak ige kivéeles eseekbe fordul elő, hogy a kibocsááskori ár meghaladja a lejárakor kifizee összege, hisze akkor érdemesebb a péz oho arai. Ezekbe a kivéeles eseekbe is csak akkora lehe az elérés a ké összeg közö, ami em agyobb az ohoarás - elsősorba kockázai (olvajokól való félelem) és razakciós (auomaikus baki áualás helye mide egyes csekkel séálhauk a posára) - kölségeiél. 9

20 kövéy, arási periódusra számío hozamo kalkulálhauk. Midössze arra kell figyelük, hogy időpoba még egy lejáraú kövéy vásároluk, viszo m időpoba már csak egy -m lejáraú kövéy aduk el. A vásárláskori ár p,, az eladáskori ár viszo p m m,. Így a kamaéyező p m, m p,, a hozam pedig (26) hpr, m, p l m p m, m, l ( p ) l( p ) R ( ) m, m m,, m m R m, m Kövéy vásároli emcsak azoali fizeés elleébe lehe. Ige elerjedek az olya ügyleek, amelyekbe a kövéy vásárlója a véelára egy későbbi időpoba fizei ki - vagy másik oldalról ekive, a kövéy csak később - egy a szerződésköés uái időpoba - bocsáják ki és így a kibocsáó csak később ju hozzá a kölcsökéredő összeghez. Az ilye ügyleekbe a éyleges kibocsáás (ehá em a szerződés megköéséek pillaaa) és a örleszés közöi időaramo számío hozamo evezzük haáridős kamalábak. Ha ma köük egy szerződés arról, hogy ké év múlva kölcsö foguk kéri egy befekeőől dollár és mához három évre visszafizeük eki dollár 0 cee, akkor az modjuk, hogy a ké éves horizoo az éves lejáraú haáridős kamaláb 0 százalék. Ha időpoba megszüleik egy szerződés arról, hogy az adós m időpoba kölcsökér f p m, m, dollár, majd időpoba visszafize a hielezőek dollár, akkor az modjuk, hogy a időpoba a m időszak horizoo az -m lejáraú haáridős kamaláb 8 f f (27) ( p ) R m, m, l m, m, m Néha szokás a haáridős kamalábakól való világos megkülöbözeés kedvéér a (25) szeri defiiál kamalábakra az azoali kamaláb megevezés haszálaa is. Egy haáridős kamalábra voakozó ügyleel azoos pézáramlás eredméyező megoldás, ha ké elleées iráyú azoali kamaláb ügylee köük külöböző 8 Az i megjeleő f a felső idexbe em összeéveszedő a korábba bevezee, kockázamees kamaláb f R felső idexével. 20

21 lejáraokra. Ha például ma kölcsökérük valakiől dollár ké évvel későbbi örleszéssel és ugyaakkor az így szerze egy dollár kölcsöadjuk más valakiek egy évvel későbbi örleszéssel, akkor összességébe ma éppe se em fizeük, sem em kapuk péz, viszo egy év múlva kapuk valameyi péz, ké év múlva pedig mi fizeük. A kérdés már csak az, hogy mikor meyi. Ha dollár évérékű egyéves lejáraú elemi kövéy mai ára, pl. p, 0, dollár évérékű kééves lejáraú elemi kövéy mai ára pedig p 2, 0, akkor p, 0 évérékű egyéves lejáraú és p 2, 0 évérékű kééves lejáraú elemi kövéy ér ma dollár. Tehá egy év múlva kapuk p,0 dollár, ké év múlva pedig kifizeük 2, 0 p dollár. Ebbe az összee ügylebe bee foglalaik egy éves horizoú egy éves lejáraú haáridős kamaláb ügyle p 2, 0 dollár évérékkel. Ha p 2, 0 dollár évérékű haáridős ügyle ára p, 0 dollár, akkor dollár évérékű ügyle ára p 2,0 p, 0 dollár. Akkor zárhajuk ki az arbirázs leheőségé, ha az egy éves horizoú egy éves lejáraú haáridős kamaláb [ l( p, )] meghaározo l( p p ) megfogalmazva maemaikai formába: éppe megegyezik a fei összee ügyle álal 2,0,0 ú. implici haáridős kamalábbal. Álaláosabba (28) R f m, m, l ( p ) l( p ), m m, R, mr m m, Ha a kibocsáás és a örleszés időpojá elkezdjük közelíei egymáshoz, azaz a lejárao elkezdjük közelíei a ullához, akkor a lejáraig számío hozam egy haárérékhez ar. Bár zéró lejáraú ügyle a valóságba em léezik, elemzési szempoból ige foos, mivel sok, a kamalábakkal foglalkozó elméle eek az ú. pillaai kamalábak (r ) a viselkedéséből idul ki. Maemaikai formába (29) lim l( p ) r, 0 Teljese hasoló módo defiiálhajuk a haáridős pillaai kamalába is:, m l m f f (30) lim ( p ) r m m, m, 2

22 ..4 A hozamgörbe várakozási elmélee Ha a külöféle lejáraokhoz arozó kamalábaka felrajzoljuk a lejára függvéyébe, akkor az ú. hozamgörbéhez juuk. A apaszalaok szeri a hozamgörbe ige sűríe formába aralmaz regeeg iformáció a gazdaság pillaayi és várhaó állapoáról. Évizedek óa, az uóbbi évekbe pedig külööse a közgazdasági kuaás közpoi émái közé arozik a kérdés, hogy hogya lehe ezeke az iformációka a apaszal hozamgörbékből kiyeri. Az egyik legrégebbi (Joh Hicksől származó 9 ) elméle szeri a rövid és a hosszú lejáraú kamalábaka a rövid lejáraú kamalábak alakulására voakozó várakozások kapcsolják össze. A isza várakozási hipoézis a hozamgörbe alakjára voakozó három (csak bizoyos feléelek eljesülése eseé egyeérékű) állíás,. Az periódus lejárahoz arozó hozam megegyezik a kövekező darab periódus lejárahoz arozó hozam várhaó álagával.,... (3) R E { R R R R },,, 2, 2. A haáridős kamaláb egyelő a várhaó azoali kamalábbal. f (32) E { R } R,,, 3. Az azoos arási periódusra számío várhaó hozam mide lejáraú kövéye azoos. (33) E { hpr } R m, m, m, Láhaó, hogy a várakozási hipoézis hogya magyarázza a hozamgörbe alakjá. Ha a hozamgörbe emelkedő - a hosszú lejáraú kövéyek hozama magasabb, mi a rövid lejáraúaké - akkor a várakozási hipoézis szeri ez azér va, mer a rövid lejáraú kamalábak várhaóa emelkedi fogak. 9 Hicks (939), megjele magyarul: Hicks, J. Érék és Tőke, KJK

23 Midhárom iméi felírás eseébe kibővíheő az egyele egy kockázai felár aggal. Midhárom felírásba az egyele egyik oldala magasabb kockázaú ügylee jele, mi a másik. Például a második esebe a haáridős kamaláb a jelebe is ismer, míg a várhaó azoali kamaláb még bizoyala. Ha ez a kockázai felár eszőleges lehe, akkor az egész egyele em mod semmi. A várakozási hipoézis isza formája az a feléelezés, hogy a kockázai felár ulla. A várakozási hipoézis gyege formája ezzel szembe csak ayi éelez fel, hogy a kockázai felár időbe álladó. Rége felvee kérdés, hogy jósolhaók-e a hosszú lejáraú kamalábak, avagy marigálké viselkedek-e. A várakozási hipoézis szeri poosa akkor jósolhaók a hosszú lejáraú kamalábak, ha a rövid lejáraú kamalábak is jósolhaók. Ez a kövekezőképpe vezehejük le: a hosszú lejáraú kamalábak a rövid lejáraú kamalábak vár álagaké adódik, ehá: (34) R, [ r E { r } E { r 2} K E { r } ] T, ahol T, az lejáraú kövéy lejárai prémiuma. Mos írjuk fel a (34) egyelee időszakkal későbbre. (35) R, [ r E { r 2} E { r 3} K E { r }] T, A ké egyele külöbségeké adódik a hosszú lejáraú kamaláb válozása: (36) R, R, [ r E { r } ] [ E { r 2} E { r 2} ] [ E { r } E { r }] [ E { r } E { r } ] [ E { r } r ] [ T T ], M 3, 3 A jobb oldal első agja a kövekező időszaki kamaláb előrejelzési hibája, ami racioális várakozásoka feléelezve defiíció szeri marigál külöbség. A kövekező (-) ag ado időszaki kamalábakra voakozó várakozások megválozása, ehá hasolóa az első aghoz defiíció szeri megi csak 23

24 marigál külöbségek. Az uolsó ag a lejárai prémium megválozása. Erről még a várakozási hipoézis gyege formája is feleszi, hogy ulla. Marad az uolsó elői ag, ami em más, mi a rövid lejáraú kamaláb vár válozása. Ha a rövid lejáraú kamaláb marigál, akkor ez a ag elűik, ehá (36) alapjá a marigál-ulajdoság áöröklődik a hosszú lejáraú kamalábakra is. A várakozási hipoézis gyege formája új megvilágíásba kerül, ha az eszközárazás moder fogalmai haszáljuk. Írjuk fel a (26) alai egyele segíségével a (33) szerii formá és szorozzuk á a evezővel. (37) mr ( m) E { R } R, m, m, m A (2) és (25) egyeleek alapjá megeremhejük a közvele kapcsolao a hozamok és a diszkoéyezők közö: (38) l( p ) ( E { M }) k, k, l k, kr k ahol a (2) egyele alkalmazásakor felhaszáluk, hogy az elemi kövéy lejárakor kockázamees egységyi kifizeés eljesí. Behelyeesíve a (38) egyelee a (37) egyelebe és megszorozva (-)-gyel: (39) l( { M }) l( E { M }) ( E { M }) E, m, m l m, Ez állíja ehá a hozamgörbe isza várakozási hipoézise (gyege formába kibővíve egy kosassal). Mos vegyük a szochaszikus diszkoéyezőre voakozó (2) alai egyele logarimusá midké oldalo, majd számísuk feléeles várhaó éréke: (40) { l( M )} E { l( M )} E { ( M )} E, m, m l m, Ez ehá igaz, ha a piaco ics arbirázsleheőség. A (39) egyele ehá csak akkor lehe igaz bármilye és m lejára-kombiációkra, ha legfeljebb egy kosasba ér el a (40) egyeleől. Ez pedig csak akkor igaz, ha mide lejárara külö-külö igaz, hogy 24

25 (4) ( E { M }) E { l( M )}. l,, cos Bekaer és Hodrick (200) levezeésé köveve érjük á a diszkoéyező logarimusára és fejsük Taylor-sorba az ( ), k (42) exp( m ) exp( E { m }), 0 exp kifejezés az álaga körül: m, ( m E { m }), k!, k Ebből kövekezik, hogy (43) E { exp( m )} exp( E { m }), ν, k 2 ahol ν, () k jelöli m, k-dik feléeles cerális momeumá (másodszor azér idul az idex 2-ől, mivel az első cerális momeum ermészeese ulla). Visszaérve mos a diszkofakor-jelölésre és véve az egyele logarimusá, az kapuk ehá, hogy (44) l( E { M }) E { l( M )},, () k k! ν, l k 2, () k k! A bal oldal ké agja közi külöbség a Jese-egyelőleségből fakad. Mivel a logarimus képzés em lieáris művele, ezér em felcserélheő a (lieáris) várhaóérék képzéssel. A felcserélés elérésre veze. Miél agyobb mérékbe szór M, a várhaó éréke körül ( miél kevésbé kosas ) aál erősebb ez a haás. A hozamgörbe várakozási hipoéziséek gyege formája akkor igaz, ha a szochaszikus diszkofakor logarimusáak összes feléeles cerális momeuma (léezik és) időbe álladó, azaz feléeles eloszlásfüggvéye válozala. Ha az eloszlásfüggvéy ké paraméer haározza meg (megfelelő raszformációval az álag és a szórás), akkor szükséges és elégséges feléel a homoszkedasziciás. 25

26 ..5 Aleraív eszközárazási modellek 0 A szochaszikus diszkoéyező érelmezéséhez egy másik oldalról visz közelebb, ha kiidulva a (2) szerii várhaó érék alakból - az árak a kifizeés szerii deriváljával érelmezzük: pi (45) π s M s x si E felírás szeri ké éyezőől függ, hogy ado világállapoba eljesíedő kifizeés milye aráyba ha az érékpapír árára. Az egyik az ado világállapo bekövekezéséek (éyleges) valószíűsége, a másik az ahhoz a világállapohoz arozó szochaszikus diszkoéyező éréke. Taralmilag a szochaszikus diszkoéyező ebbe az esebe em más, mi egy áryékár: az ado világállapoba eljesíedő egységyi kifizeés éréke a befekeő számára. Az, hogy a befekeő mi alapjá érékeli az ado világállapoba eljesíedő kifizeés, em elegedheele része a modellek. Erre voakozóa lehe külö modelleke épíei, vagy lehe egyszerű echikai feléelezésekkel éli. A léyeg, hogy mide eszközárazási modell valójába a szochaszikus diszkoéyező modellezése. Megkerülheő ( áugorhaó ) a szochaszikus diszkoéyező modellezéséek problémája, ha a (0) szerii defiíció köveve a (46) p x i si E π { } s M Eszeri az állapofüggő kifizeés hozzájárulása az árhoz a kockázasemleges valószíűségől és a szochaszikus diszkoéyező várhaó érékéek reciprokáól, azaz a kockázamees kamalából függ. Techikaiak ekiheő pl. ha ad absurdum - felesszük, hogy a szochaszikus diszkoéyező éréke párala sorszámú világállapookba, párosokba 2 (más 0 E fejezebe erőse ámaszkodom Cochrae (200) köyvére. Eze úlmeőe foosabb szakirodalom: Campbell, Lo, MacKilay (997), Duffie (996), Sarge (987) 26

27 kérdés, hogy az ez alapjá adódó eszközárak meyire leszek összhagba a megfigyelésekkel). Ehhez hasolóa echikaiak ekiheő az a feléelezés is, hogy a szochaszikus diszkoéyező éréke mide világállapoba (vagy legalábbis azoos), ami a fe defiiál kockázasemlegesség esee. A maapság leggyakrabba alkalmazo aralmi megközelíés szeri a szochaszikus diszkoéyező kizárólag a fogyaszók haározzák meg, ameyibe az ado világállapoba megvalósuló fogyaszásuk haárhasza szeri érékelik az eseleges öbblejövedelme. Az alábbiakba külöféle eszközárazási módszereke, ill. modelleke muauk be...5. Arbirázs-árazás A E{ Mx} p reprezeáció pusza léezése és a szochaszikus diszkoéyező poziiviása gyakra elegedő ahhoz, hogy egyes eszközök árá ki udjuk fejezi más eszközök áráak aráyába. A Black-Scholes opcióárazási formula épp ez valósíja meg: mivel egy opció kifizeése előállíhaó részvéyből és kövéyből összeállío porfolió kifizeéseké is, ezér mide olya szochaszikus diszkoéyező, amellyel meghaározhaó a kövéy és a részvéy ára, egybe megadja az opció árá is Fakormodellek Az ú. fakormodellek feléelezik, hogy a szochaszikus diszkoéyező affi függvéye valamiféle egyéb fakorokak: A B (47) a b f b f K M A B ahol i f jelöli az egyes fakoroka, a és b i pedig paraméerek. Többek közö ebbe a családba arozik a CAPM-modell, melybe (48) W M a br ahol W R a eljes vagyo ( világvagyo ) hozama, melye álalába egy kellőe agy és diverzifikál porfolióval szokás közelíei. 27

28 Természeese még agyo sok más leheőség is adódik, de a hozamgörbe modellezése szempojából mos számukra ké modellcsalád külööse foos, az affi modellek és a piaci modellek. Az affi kamalábmodellek feléelezik, hogy a szochaszikus diszkoéyező éháy álalába a hozamgörbéhez köődő - válozó (rövid lejáraú kamaláb, a hozamgörbe meredeksége, görbülee, sb.) haározza meg. A piaci kamalábmodellek feléelezik, hogy a hozamgörbe egésze (végele számú fakor) szükséges a szochaszikus diszkoéyező alakulásáak leírására. Affi modellek Az affi modellek álaláos elméleé Duffie és Ka (996) dolgoza ki. Diszkré idejű felírásba, k-dimeziós állapovekor véve, három egyele defiiálja a modell:. Az állapoválozók mozgásegyelee: z θ A z θ V z (49) ( ) ( ) ( ) 2 ahol z az állapoválozók vekora, { e } ~ NID( 0,I) poziív elemekkel, θ kosas vekor, V ( z ) pedig e 2. A szochaszikus diszkoéyező egyelee: e, A sabil márix, álójába -gyel kompaibilis márix. (50) l ( M ) δ m z l V( z ) 2 e ahol δ kosas skalár, m és l pedig kosas vekorok. 3. A kamaláb egyelee (5) R, g() () z g ahol g () a lejára skalárfüggvéye, g () pedig a lejára vekorérékű függvéye. A megoldás meee a kövekező lépésekből áll: Felírjuk az eszközárazás alapegyeleé a periódus lejáraú elemi kövéyre 28

29 (52) p ( z ) E { M p ( z )} Áérve logarimusokra, elhagyva az állapoválozók jelölésé és a kövéyárak helye kamalábaka írva: (53) ( ) R l[ E { exp( M R )} ], l, Behelyeesíve először a (5) egyeleből a kamalába, majd a időszaki állapoválozóka kiválva a (49) egyele szerii mozgásegyeleel kapjuk, hogy (54) l M R, [ δ z l ( ) 2 V z e ] g() g ()( I A) θ Az V( z ) { [ e ]} m 2 Összeredezve a agoka kiszámíjuk e válozó várhaó éréké és variaciájá: (55) E Var { l M R } [ g() g ()( )] [ m g, δ I A θ () ] { l M R } [ l g () ] V( z )[ l g( ) ], A z Eze a poo kövekezik a modellcsalád egy kulcsfoosságú feléelezése, éspedig, hogy e ormális eloszlású, melyből kövekezőe midké jobboldali válozó (ehá összegük is) ormális eloszlású. Felhaszálhajuk az a valószíűségszámíási eredméy, hogy ha a ξ valószíűségi válozó ormális eloszlású µ várhaó 2 érékkel és σ szórással, akkor a E exp() ξ exp µ σ. Figyelemmel a { } ( ) kiszámío momeumokra és a kövéyárakra voakozó affi függvéyformára, az (53) alai egyele az alábbi rekurzív szabályra veze: 2 (56) ( ) R [ g() g ()( )] [ m g, δ I A θ () ] [ l g () ] V( z )[ l g( ) ] 2 A z Ami az Duffie és Ka (996) levezee, a kamalábak akkor leheek affi függvéyei az állapoválozókak, ha a V ( z ) márix diagoális és a diagoális elemek (57) vi ( z ) α i iz b 29

30 alakúak, ahol α i kosas skalár, szerii rekurzió széesik ké részre: b i pedig kosas vekor, akkor ugyais az (56) (58) k [ j j ] ( ) g( ) [ δ g( ) g ( )( I A) θ ] l g() k [ j j ] ( ) ( ) [ g m g ( ) A] l g() 2 j 2 j 2 b j 2 α j ahol () j g a g () vekor j-dik elemé jelöli. Kiidulva az lim g() 0 0 és () 0 lim g feléelekből (lejárakor a kövéy egysége fize, amiek 0 logarimusa 0) a rekurziók előre megoldhaók. Először a g () soroza, mivel az auoóm, majd az eredméy felhaszálásával az g () soroza. Az állapoválozók mozgásegyelee megkívája, hogy a v i () volailiásfüggvéyek éréke mide megegede állapovekor melle poziív legye. Eek elégséges feléelei, mi a paraméerekre voakozó megszoríásoka folyoos idejű modellekre Duffie és Ka (996) vezee le. Eredméyüke diszkré idejű modellekre Backus, Foresi és Telmer (996) íra á. A z állapovekor a D z vi () z 0 i aromáyba marad, ha az { } állapoválozók mozgásegyelee kielégíi az alábbi ké feléel:. z D állapovekorra, melyre v () z 0 (a poziiviás korlája effekív) a 2 sodrás kellőe poziív: j ( A)( z) > b j b j i b I θ és 2. ha a b j vekor i-dik eleme i j esebe külöbözik ulláól, akkor v i () z és v j () z aráyosak (háyadosuk egy poziív kosas). A külöféle affi kamaláb-modellek a paraméerválaszásba érek el egymásól. A leghíresebbek ezek közül Vasicek (977) és Cox, Igersoll és Ross (985) modellje. A Vasicek-modell állapoválozói (egyválozós esebe maga a pillaai kamaláb) korrelálalaok és első redű, sacioer, homoszkedaszikus auoregresszív folyamao köveek. A Cox-Igersoll-Ross modell lazíja a homoszkedasziciás feléelé, az egyes állapoválozók szórása az ado állapoválozó érékéek lieáris 30

31 függvéye. E ké modell, ehá a ké haárese az álaláos affi modellbe, ugyais a szórás az állapoválozó érékéek affi függvéye lehe. Piaci modellek Ho és Lee (986) agy válozásoka hozo a pézügyi modellezés iparába. A korábbi modellek éháy paraméer megfelelő megválaszásával igyekezek közelíei a hozamgörbe álagos viselkedésé. Gyakorlai alkalmazásokra ez em megfelelő. Pl. az egyválozós Vasicek és CIR modellek 4 paraméere a hozamgörbe 5 pojáak illeszésé eszi leheővé, de ez em elegedő poosság azo piaci szereplők számára, akik a eljes hozamgörbé szereék közelíei. Ho és Lee az javasola, hogy ezeke a modelleke ki kell egészíei időfüggő éyezőkkel, melyek segíségével hagolhaóvá válik a görbe. Ho és Lee ez a megközelíés biomiális modellre dolgoza ki, de az öle álaláosabb. Ők az árazási mag logarimusáak egyeleébe a ( δ ) sodrás eék időfüggővé, mások ez a megoldás kierjeszeék ovábbi paraméerekre. Ezek közül a legfoosabb Black, Derma és Toy (990), akik a volailiás kööségé oldoák fel. Ez az álaláosíás agy előrelépés jelee a kamaláb-opciók árazásába, amelybe közpoi paraméer a apaszalaok szeri agyo is válozó - volailiás. Heah, Jarrow és Moro (992) a Ho és Lee álal megkezde úo halad, de új iráyba. Ők a haáridős kamalábakra kocerálak. A módszer illuszrálására lieáris, egy-dimeziós esee veszük 2. Tegyük fel, hogy a haáridős hozamgörbe az alábbi módo alakul: f f (59) R, R, α, σ, ε ahol { ε } függele, azoosa szederd ormál eloszlású valószíűségi válozó. Az egyele aralma, hogy folyamaosa kiszámíjuk haáridős kamalába a és, összefüggés, f közi időszakra. A időpoba ez az ( ) R R R,, Ezeke a modelleke szokás eljes hozamgörbe, vagy arbirázsmees modellekek is hívi. 2 A levezeés forrása Backus, Foresi, Telmer (998) 3

32 f míg a időpoba az, R, ( ) R, R összefüggés alapjá számíhaó. Ahogy haladuk egyre közelebb a kiválaszo időszakhoz, úgy válozik a számío haáridős kamaláb is. Ez a válozás írja le az (59) alai egyele. A kérdés, hogy milye megszoríásoka kell ei az { } α,,σ, paraméerekre, hogy a haáridős kamalábak válozása e adjo leheősége arbirázsra. Ha igaz, hogy a hosszabb lejáraú kamalábak a rövid lejáraú kamalábakból adódak össze, akkor a hosszabb lejáraú kövéyeke realizálhaó hozam ké éyezőből evődik össze: az azoali egyidőszakos kamalábból és a ovábbi időszakokra számío haáridős kamalábak válozásából. (60) l R R, f f ( ) R, r ( R j, R j, ) r r j,, α, σ j j A S ε, ε ahol A, és S, defiíciója adódik az egyeleből és r R,. Eze a poo ké leheséges iráyba lehe ovábblépi. Az eredei szerzők (HJM) az első megoldás köveék:. megoldás: A hozam logarimusáak várhaó éréke r A,, szórása S,, variaciája pedig S 2,. A ormális eloszlású valószíűségi válozókra alkalmazhaó, jól bevál módszer szeri ehá 2 (6) log( E { R }) r A S, 2, HJM feleszi, hogy az egyes lejáraokhoz arozó várhaó öbblehozam aráyos a megfelelő szórással (egyfaja CAPM logika szeri): 2 (62) A τ, Sτ, γ Sτ, 2 HJM a γ paraméer a kockáza piaci áraké érelmezi. Az arbirázsmeesség feléele ezek uá megfelelő megszoríásoka jele a paraméerekre ézve. 32

33 2. megoldás: Tegyük fel, hogy az diszkoéyező logarimusa az alábbi egyele szeri alakul: (63) m δ λ ε Alkalmazva az eszközárazás alapegyeleéek hozamokra felír formájá (64) E { M R } a (60) szerii hozamra kapjuk, hogy (65) r δ A ( λ S ) 2, 2, Ha felírjuk ez az egyelee az 0 és τ eseekre, majd a ké egyelee kivojuk egymásból, megkapjuk az arbirázsmeesség ké feléelé: 2 (66) A λ S S 0 τ, τ, 2 τ, és (67) δ 2 r λ 2 Ez uóbbi egyele aalóg a CAPM-modell alapegyeleével, ahol a szochaszikus diszkoéyező mozgásá a piaci porfólió haározza meg. Ha összehasolíjuk a ké megoldás, láhaó, hogy egyeérékűek a γ λ feléel melle Fogyaszás alapú eszközárazási modellek A fogyaszás-alapú eszközárazási modellek feléelezése, hogy a szochaszikus diszkoéyező a fogyaszók fogyaszásból eredő haárhasza haározza meg. Első lépéské ekisük egy ké-periódusos modell. Céluk, hogy meghaározzuk a időpoba esedékes x kifizeés éréké a időpoba. Modellezzük a reprezeaív befekeő egy olya haszossági függvéyel, amelye jelelegi és jövőbeli fogyaszásá érelmezük: U ( ) C C,. Legye a befekeő exogé 33

34 jövedelme az egyes időszakokba redre e és e és álljo a befekeő redelkezésére a pézügyi piaco egy eszköz, amely leheősége ad arra, hogy jövedelme csoporosíso á egyik időszakról a másikra. Az eszköz ára a időpoba legye p és eljesíse a időpoba x szochaszikus kifizeés. Mivel a kifizeés szochaszikus, a eljes elér haszosság is az lesz. Ezér felesszük, hogy a befekeő a eljes elér haszosság várhaó éréké kívája maximalizáli. A feladváy ehá az alábbi maemaikai formá öli: (68) max E ξ úgy, hogy C C e e { U( C, C )} p ξ x ξ ahol ξ jelöli a pézügyi eszközből vásárol meyisége. Behelyeesíve a feléeleke a célfüggvéybe és a derivála egyelővé éve ullával kapjuk, hogy (69) p U C E x U C Összeveve az eszközárazás alapegyeleével, eredméyüke úgy érelmezhejük, hogy a szochaszikus diszkoéyező szerepé eseükbe az egyes időszakok fogyaszása szerii haárhaszosságok háyadosa öli be: (70) M U C U C Példáka mos kierjeszjük öbb időszakra. Kiidulási pouk Lucas (978) modellje. Vegyük egy reprezeaív befekeő, akiek prefereciái az j 0 j (7) U E β u( C ) j haszossági függvéyel jellemezheők, ahol C a időszaki fogyaszás. A Beroulli-féle (egy időszakra voakozó) haszossági függvéy u jelöli és az időbeli 34

35 helyeesíés ráája β. Mide időszakba a befekeő exogé módo szer esz e meyiségű romladó jószágra. Ebbe az esebe opimális döés, ha midig elfogyaszja a eljes e készlee. Mos együk fel, hogy elérheő számára külöböző pézügyi eszköz. Az első eszköz ára p, és egységyi kockázamees omiális kifizeés eljesí a időpoba. A második eszköz ára p 2, és egységyi kockázamees omiális kifizeés eljesí a 2 időpoba, sb. Így ehá a befekeő problémája: (72) E 0 0 PC β u úgy, hogy k ( C ) p k, ξ max k, e k ξ k, k ahol ξ k, jelöli a k-dik eszközből a időpoba vásárol meyisége és P a fogyaszási jószág ára a időpoba. A probléma Lagrage-függvéye: (73) L E β u( C ) λ e PC 0 k, k 0 k k ξ p k, ξ k, és az opimaliás elsőredű feléelei: (74) u ( C ) λ P k (75) λ p β E { } 0 k k, λ k Behelyeesíve az első feléel a öbbibe (76) k E β u u ( C k ) ( C ) P P k p k, A u ( C k ) P ( C ) P k k β kifejezés a k-periódusra voakozó árazási mag M k, k. u Az egy ár örvéyéek kövekezébe melye a (2), ill. (4) formulák fejezek ki - elegedő modellezük az egy időszakra voakozó árazási mago (ill. aak 35

36 logarimusá). Elleőrzés céljából behelyeesíhejük eredméyüke az arbirázsmeesség (2) szerii feléelébe: (77) β u u ( C ) ( C ) P P β m u ( C m ) ( C ) u P P m β m u u ( C ) P m ( C ) P m ami yilvávalóa igaz. Ha felesszük, hogy a reprezeaív befekeő Beroulli-féle haszossági függvéye haváyfüggvéy 3, akkor az árazási mag az alábbi formá öli: P C (78) m, l M, l β l γ l P C Az árazási mag logarimusáak mozgásegyeleé ehá az ifláció és (reál)fogyaszás szochaszikus folyamaa haározza meg. A apaszalaok szeri a fogyaszás-alapú eszközárazási modellek a gyakorlaba em eljesíeek úl jól (még közelebbről elég rosszul). Eek öbb oka lehe, az egyik kézefekvő leheőség, hogy em megfelelő a modellbe feléeleze haszossági függvéy. Természeese semmi akadálya (hacsak em a maemaikai kezelheőség), hogy a modell a feiél boyolulabb haszossági függvéyekre alkalmazzuk, mi pl. az időbe em szeparálhaó, vagy a fogyaszási szokások kialakulásá is leheővé evő 4 haszossági függvéyek Az álaláos egyesúly Az álaláos egyesúlyi modellek úllépek a szűke érelmeze fogyaszás problémájá és olya egyesúlyi döési szabályoka igyekezek levezei, amelyek a fogyaszás más válozókhoz mi pl. jövedelem, vagy beruházás kapcsolják. Ha az eszközárazási modellbe a f ( y i,k) C szabály alkalmazzuk, akkor az, eszközárak is ezekhez a gazdasági válozókhoz fogak kapcsolódi. 3 A haszossági függvéy ( C) logarimikus haszossági függvéyhez ar. γ C u alakú. A γ γ haármeebe az u( C) l C 36

37 Eze úlmeőe az igazi álaláos egyesúlyi modellek eljese leírják a gazdaságo, beleérve az összes válozó álal kövee szochaszikus folyamao is. Képesek megválaszoli az a kérdés, hogy miér éppe ayi egy eszköz kifizeéséek és a diszkoéyezőek a kovariaciája ameyi, ahelye, hogy ez az éréke adoságak ekieék. Elvileg még olya srukurális kérdéseke is képesek megválaszoli, mi hogy hogya haa az eszközök árára egy másfaja gazdaságpoliika, avagy egy új pézügyi eszköz piaci kibocsáása. Egyik kérdés sem megválaszolhaó, ha puszá a befekeő számára opimális döés első redű feléelé vizsgáljuk. Felmerül a kérdés, hogy milye az oksági összefüggés a fogyaszás és az eszközárak közö, illeve hoa származak a kifizeések és haárhaszok saiszikai ulajdoságai. Egyálalá mi lehe modai a gazdaságo erelő alapveő sokkokról? Az alapveő árazási egyele csak az modja, hogy meyiek kell leie az árak, ha adoak vesszük a fogyaszás és a kifizeések együes eloszlásá. Semmi akadálya, hogy az alapveő árazási egyelee áalakíva a kövekező írjuk (i mos elekiük az árszívoal eseleges válozásáól): { β / } u c E u c x p (79) ( ) ( ) Tekihejük ez az egyelee úgy is, mi amely a mai fogyaszás haározza meg az eszközárak és kifizeések ismereébe, em pedig a mai eszközáraka haározza meg a fogyaszás és a kifizeések függvéyébe. Ha így godolkoduk az alapveő árazási egyeleről, akkor a fogyaszás permaes jövedelem modelljéhez juuk. Melyik a yúk és melyik a ojás? Melyik az exogé és melyik az edogé? A válasz, hogy egyik sem, és a legöbb alkalmazás szempojából ez léyegele is. Az elsőredű feléelek bármelyik egyesúly meghaározzák. Ha öréeese E{ mx} -e ismerjük, akkor ebből meghaározhajuk p-; ha viszo öréeese p ismerjük, akkor ebből levezehejük a fogyaszási és megakaríási döéseke. 4 Agolul habi formaio 37

38 Egy yilvávaló ovábblépési leheőség modell-gazdaságuk eljes megoldása felé, ha mid a fogyaszás, mid az áraka valóba exogé haások függvéyébe udjuk meghaározi. Az eredméy ermészeese függei fog aól, hogy milye a gazdaság öbbi része, külööse a ermelés, vagy az időbeli raszformációs echológia és a piacok. Az. ábra egy leheséges álaláos egyesúly mua. Tegyük fel, hogy a ermelési echológia (a echológia, amelyek segíségével időszaki fogyaszás időszaki fogyaszássá uduk raszformáli) lieáris, ehá a reál, fizikai hozamo (az időbeli raszformációs ráá, az ábrá láhaó egyees meredekségé) em befolyásolja a beruházás (feláldozo időszaki fogyaszás) meyisége. Ebbe az esebe a fogyaszásak alkalmazkodia kell ehhez a echológiailag ado hozamhoz. Ha az időbeli raszformációs ráa váloza, akkor a fogyaszási folyamaak is válozia kellee. Kimodalaul így működik a permaes jövedelem modell és még sok más pézügyi modell. Ezek a modellek először meghaározzák a hozamok alakulásá leíró folyamao, majd megoldják a fogyaszó fogyaszási és porfolió döései a haszossági görbék segíségével (az ábrá láhaó görbe voal egy leheséges haszossági görbé jelöl.. ábra A fogyaszás alkalmazkodik, a hozamo lieáris echológia haározza meg. 38

39 Az 2. ábra a ermelési echológia egy másik szélsőséges eseé muaja. Ez egy készlegazdaság. Romladó fogyaszási javak jeleek meg (ermelődek) mide időszakba. Seki sem képes megakaríai, felhalmozi, beruházi, vagy bármi más módo jelebeli fogyaszás jövőbeli fogyaszássá alakíai. Kövekezésképpe az eszközárakak kell igazodiuk midaddig, amíg a fogyaszók em alálják opimálisak a redelkezésre álló akuális készleel megegyező fogyaszás. Ebbe az esebe a fogyaszás exogé és az eszközárak alkalmazkodak. Lucas (978) az egyik leghíresebb példája az ilye modellgazdaságokak. 2. ábra Készlegazdaságba az eszközárak alkalmazkodak a fogyaszáshoz Melyik leheőség a helyes ezek közül? Természeese egyik sem. A valóságos gazdaság és mide valamirevaló álaláos egyesúlyi modell ikább úgy éz ki, ahogya az a 3. ábra muaja: áviheő a fogyaszás egyik időpoból a másikba, de csak csökkeő aráyba. A beruházások övekedével a hozam csökke. 39

40 3. ábra Álaláos egyesúly. A folyoos voalak a közömbösségi görbés és a ermelési leheőségek görbéjé jeleíik meg. Az egyees szaggao voal az egyesúlyi hozamo jeleíi meg. A szaggao églalap egy olya készlegazdaságo jeleí meg, amelyből ugyaez a fogyaszás-hozam párosíás kövekezik. Érvéyeleíi-e ez midazoka a modelleke, amelyek lieáris echológiával, vagy készlegazdasággal dolgozak? Nem. Iduljuk ki abból az egyesúlyból, amelye a 3. ábra mua. Tegyük fel, hogy a gazdaságo lieáris echológiával modellezzük, de öréeese éppe az a szochaszikus folyamao válaszjuk a lieáris echológia hozamáak leírására, amely az álaláos egyesúlyból adóda. A fogyaszáseszközhozamok együes folyama poosa ugyaaz lesz, mi ami az álaláos egyesúlyból adóda. Hasolóképp, együk fel, hogy a gazdaságo készlegazdaságké modellezzük, de öréeese éppe az a szochaszikus folyamao válaszjuk a fogyaszás modellezésére, amely az álaláos egyesúlyból adóda. Ismé, a fogyaszás-eszközhozamok együes folyama poosa ugyaaz lesz, mi ami az álaláos egyesúlyból adóda. Ezér em okoz problémá, bármelyik alábbi sraégiá is válaszjuk empirikus mukáikba 40

41 . A kövéy- és részvéyhozamok egy saiszikai modelljéből megoldjuk a fogyaszási és porfolióválaszási problémá, majd az egyesúlyi fogyaszási érékeke haszáljuk a p E{ mx} egyelebe. 2. A fogyaszási folyama egy saiszikai modelljéből kiidulva, közveleül a p E{ mx} alapveő árazási egyele alapjá számíjuk ki az eszközök árá és hozamá. 3. Egy eljese helyes álaláos egyesúlyi modellből iduluk ki, mely aralmazza a ermelési echológiá, a haszossági függvéy és a piac szerkezeé, majd ebből levezejük az egyesúlyi fogyaszás és eszközáraka leíró folyamaoka. A p E{ mx} egyele egyike lesz az egyesúly feléeleiek. Ha a fogyaszás és/vagy az eszközáraka leíró saiszikai modellek helyesek, azaz egybeesek azokkal az egyesúlyi fogyaszási vagy hozam folyamaokkal, amelyeke a valós gazdaság ermel ki magából, az első ké megközelíés bármelyike helyes jóslaokra fog vezei a fogyaszás-hozam együes folyamao illeőe. Az 950-es évekől az 970-es évek elejéig kifejlesze legöbb pézügyi modell kimodalaul lieáris echológiá éeleze fel. A Lucas (978) álal bevezee készlegazdasági megközelíés áörés vol, mivel sokkal köyebbek bizoyul. Sokkal köyebb megoldai a p E{ mx} egyelee rögzíe m-re, mi megoldai a fogyaszás-porfolió problémá ado hozamokra, majd levezei az egyesúlyi fogyaszási folyamao. Ha közveleül a fogyaszási folyamao modellezzük, akkor mide egyes eszköz külö-külö ekiheük és a számíás szie magáól éreődő. A lieáris echológia eseé mide új eszköz bevezeésekor újra meg kell oldai az egész opimalizációs feladao Likvidiás alapú eszközárazás A fogyaszás-alapú eszközárazási modell külööse szigorú felevése, hogy a vállalaok és pézügyi közveíők (akik álalába a pézügyi eszközök piacá a forgalom agyobb részé geerálják) semmiféle haással em leheek az áralakulásra. Nem számíaak az aszimmerikus iformációs problémák, a csődörvéyek, sb. Ehhez képes megleheős új felveés az a közgazdasági modell, amelybe felesszük, hogy a kifizeés aszeri érékeli a befekeő (vállala, vagy 4

42 magászemély), hogy az ado világállapoba meyire lesz likvidiás (profiábilis befekeéshez szabado felhaszálhaó péz) szűkébe. Ez az alapgodolao feji ki egyelőre csak alap szie - Holmsröm és Tirole (200). Bár a kuaás jelelegi állására való ekieel egyelőre csak érdekességké emlíjük meg ez a modell, mégis úgy godoljuk, hogy várhaóa ige gyümölcsöző lesz ez az új kuaási erülee. 42

43 .2 Ökoomeria Az elmúl évized alá legermékeyebb makroökoomeriai erülee a VARmodellek fejlődése és alkalmazása vol. E erüle alapfogalmai vezei be az alfejeze első része. Bár a maemaikába már régóa kidolgozo erüle, a makroökoómiába mégis csak az elmúl évizedbe erjed el a Markov-lácok alkalmazása. Ezek rövid bemuaása és szemléleése kövekezik az alfejeze második részébe..2. VAR-modellek, egységgyök folyamaok és koiegráció VAR-modellek A XX. század középső harmadába kialakul ökoomeriai gyakorla (az ú. Cowles Commissio megközelíés 6 ) komoly elmélei és gyakorlai problémáka vee fel, amikor gazdaságpoliikai elemzésre kerül vola sor. Az elmélei probléma klasszikus megfogalmazása az ú. Lucas-kriika (Lucas, 976): A modell-szimuláció külöféle gazdaságpoliikai rezsimek összehasolíásá jelei. A rezsimválás a becsül egyeleek paraméereiek megválozásá okozhaja, és ezér az alapszceárió melle becsül modell em haszálhaó egy aleraív szceárió kiérékelésekor. Lucas ebből arra a kövekezeésre juo, hogy olya modelleke kell haszáli, amelyek paraméerei (ú. mély paraméerek) em válozak meg a poliikai rezsimválás haására. Ebből az elgodolásból fejlődö ki a makroökoomeria egyik agy mai ága, amely levezei a reprezeaív gazdasági szereplők ieremporális opimalizálási feladaáak Euler-egyeleei 7, majd ezeke 5 Foosabb szakirodalom: Hamilo (994), Waso (994), Hayashi (2000) 6 E gyakorla kifejleszői és elerjeszői első sorba az amerikai Yale egyeeme működő Cowles Commissio kuaói volak. 7 Ilye Euler-egyele pl. az eszközárazás alapegyelee, amikor fogyaszás-alapú modellből vezejük le. 43

44 az Euler-egyeleeke becsüli álaláosío momeum módszerrel (GMM) 8. A Lucas-kriikára egy másik válasz ado Sims (980) és elidíoa a makroökoomeria egy másik agy és ermékey ágá, a Vekor AuoRegresszív modelleke (ovábbiakba VAR-modellek). A VAR-megközelíés eljese elfogadja a Lucas-kriika erejé és elismeri, hogy olya kérdéseke, mi hogy Hogya kellee reagália a közpoi bakak a makrogazdasági válozóka érő sokkokra? az üzlei ciklusok kvaiaív, álaláos egyesúlyi modelljeiek kereébe kell megválaszoli. Tehá a válaszak elmélei modelle kell alapulia, em pedig egy ad hoc empirikus makroökoomeriai modelle. Ebbe a kerebe új szerephez ju az empirikus elemzés: bizoyíékoka kell gyűjeie azokról a silizál éyekről, amelyekkel összhagba kell leie a gazdaságpoliikai elemzésekhez haszáladó elmélei modellekek, és amelyek alapjá válaszai lehe az egymással versegő álaláos egyesúlyi modellek közö. Az alábbiakba bemuajuk a VAR-modellezés legfoosabb fogalmai. Srukurális forma Tekisük a gazdasági válozók egy ( k ) méreű y vekorá és együk fel, hogy alakulásuka egy vekor auoregresszív folyama írja le: (80) A ( L) ahol y e A ( ) L A 0 k A k L k ahol L a késleleési operáor, az A márixok ( ) méreűek, az e - alkoó darab (ú. srukurális) sokk pedig szederdizál 9, egymásól függele (vagy legalábbis 8 E megközelíés kifejleszésébe foos szerepe jászo öbbek közö Lucas, Sarge, Hase és Barro. 9 Ezzel egyeérékű felírás lehe eléri, ha kiköjük, hogy az A 0 márix valameyi diagoális eleme. I em árgyaladó problémá jele, ha ez em lehe eléri, mivel az A 0 márix sziguláris. 44

45 korrelálala) és auokorrelálala. A srukurális VAR reprezeáció ké okból előyös. Egyrész, ha a modell paraméerei ismerek, felhaszálhaó az ismerele exogé sokkok kiszámíására megfigyelheő y válozók jelelegi és korábbi érékéek függvéyeké. Másrész kéyelmes keree bizosí a modell paraméereiek becslésére: ha az A ( L) végele márix-poliomo véges márixpoliommal közelíjük szederd szimulá becslési eljárások alkalmazhaók. Ha az A ( L) késleleési poliom p-ed redű, akkor a srukurális forma az alábbi alako öli: (8) A 0y Ay A 2y 2 K A py p e I emlíjük meg, hogy mide véges redű (vekor)auoregresszív folyama felírhaó elsőredű (vekor)auoregresszív folyamaké is, ha a válozók késlelee érékei öálló válozókké fogjuk fel. Példaké ekisük az alábbi ké-válozós, másodredű VAR folyamao: y, y, y, 2 ε, (82) A A 2 y2, y2, y2, 2 ε 2, Ezzel egyeérékű felírás az alábbi, ú. compaio forma: (83) y, y2, y, y2, A I y A y 2 0 y y, 2,, 2 2, 2 ε, ε 2, 0 0 Redukál forma Mivel a (8) szerii szimulá modell em aralmaz exogé válozóka, ezér ebbe a formába em becsülheő. A modell redukál formája 45

46 (84) y Φ y ahol Φ és e i A A 0 0 e A Φ y i 2 2 K Φ i, K, p p y p e Ideifikáció Az ideifikáció problémája a srukurális forma paraméereiek kiszámíása a redukál forma paraméereiek segíségével. Éppe ideifikálak modjuk a modell, ha ez a számíás poosa egyféle eredméyre vezehe. Alulideifikál a modell, ha em lehe mide srukurális paraméer egyérelműe meghaározi és úlideifikál a modell, ha em léezik a problémáak megoldása. A fei srukurális formába mide márix 2 elemű, ehá összese ( p ) 2 paraméer va. A redukál formába becslés kapuk a p darab becsül márixra, ami 2 p paraméer, valami kiszámíhajuk az e reziduumok kovariacia-márixá, ami viszo szimmerikus lévé csak ( ) redukál forma függele paraméereiek száma ehá összese Összehasolíva a ké modell-formá az aláljuk, hogy ( ) 2 függele eleme aralmaz. A ( ) 2 p. 2 darabbal öbb 2 függele paraméere va a srukurális formáak, mi aháy paraméer a redukál formába becsülheő. Ideifikáló megszoríások Ahhoz, hogy a modell ideifikálhaó legye, legalább ( ) megszoríás kell ei. 2 darab ovábbi A VAR-irodalom kezdei éveibe álalába az a kézefekvő és áralmalaak űő (!) megszoríás vol szokás ei, hogy az A 0 márix riaguláris. Az ideifikáció ebbe az esebe megoldhaó aak a lieáris algebrai éelek (Cholesky-felboás) a segíségével, mely szeri bármely szimmerikus és poziív defii márix 46

47 egyérelműe felbohaó egy riaguláris márix és raszpoáljáak szorzaára. Ez a éel alkalmazva a redukál forma reziduumaiak kovariacia márixára (85) Σ DD és A - 0 D Természeese ugyaez a kovariacia márixo fogjuk becslési eredméyké kapi, ha em az A 0 márix a srukurális forma, haem az A 0 U márix, ahol U uiér márix (ehá U U I ), ső a éel fordíva is igaz: mide megoldása az ~ ideifikációs problémáak olya A 0 márixra vezehe csak, amely az A 0 márix egy elforgaása, ehá léezik olya U uiér márix, melyre ~ A U. A 0 0 Mi modam, ez a megszoríás eljese echikaiak, kövekezésképp áralmalaak ű, azoba idővel kiderül, hogy a riagulariás agyo is szigorú exogeiási sorrede jele és a modell viselkedése alapveőe válozha meg puszá a válozók sorredjéek felcserélése kövekezébe. Ez ermészeese em elfogadhaó hiba. A Cholesky-korszak uá éppe az ideifikáló megszoríások megfelelő megválaszása vál a VAR-irodalom közpoi problémájává. A éma részlees bemuaása megalálhaó pl. Favero (2000) köyvébe. Impulzus-válasz függvéyek Ami Sims (980) részleesebbe is kifeji, auoregresszív redszerek működésé ige ehéz leíri, az együhaók érelmezése problémás, mivel azok gyakra oszcillálak az egyes késleeések közö és a redszer gyakra csak ige lassa kovergál a hosszú ávú egyesúlyhoz. Ezér Sims az javasola, hogy a leíró elemzés a redszerek külöféle ipikus vélele sokkokra ado válaszá vizsgálja. Eek ké fő eszköze az impulzus-válasz függvéy és a variacia dekompozíció. Wold reprezeációs éele kimodja, hogy mide (kovariacia-)sacioer 20 y folyama felírhaó 20 Lásd az Egységgyök-folyamaok és koiegráció fejezee. 47

48 (86) y µ ψ jε j 0 j formába, ahol ε az a fehérzaj hiba, amelye akkor köveük el, amikor y - sajá korábbi érékeiek lieáris függvéyeké jelezzük előre, és ahol 2 ψ j <, 0 ovábbá ψ 0. A (86) szerii felírás szokás a folyama MA( ) alakjáak is hívi. Ez alapjá írjuk fel a (8) szerii modell MA( ) alakjá 2 : j (87) y ahol A és C C ( L) ( L) ( L) e A ( L) A 0 k C k p k L k A k L k e Az impulzus-válasz függvéy egyele, kiválaszo srukurális sokkak a haásá muaja egy kiválaszo válozó alakulására az idő előre haladával. A C k márix ( i, j) eleme az adja meg, hogy mekkora haással lesz az i-dik válozó k időszakkal későbbi érékére egy mosai j-dik srukurális sokk: (88) C ( i, j) k y ε i, k j Variacia dekompozíció A variacia-dekompozíció arra keresi a válasz, hogy ado időhorizoo valamely kiválaszo srukurális sokk mekkora részbe járul hozzá egy kiválaszo válozó variaciájához. Természeese ez a módszer is az MA( ) formából idul ki: (89) ( y { y }) C0 v Cv K C s E s s s s v 2 Feléve, hogy A ( L) iverálhaó. 48

49 Ebből kövekezőe az előrejelzési hiba variaciája: (90) Var( y E { y }) C 0IC 0 CIC K C IC s s s s Csak a szemléleés kedvéér érdemes felíri ugyaez a (86) szerii egy-válozós esere: s (9) ( { }) Var y s E y s j 0 ψ 2 j Wold reprezeációs éele éppe eek a variaciáak a végelebe ve haárérékéről modja ki, hogy sacioer esebe véges Egységgyök-folyamaok és koiegráció A gazdasági idősorok sacioeriása, illeve iegrálsága az elmúl évizedekbe egyik közpoi kérdésévé vál a makroökoomeriáak. Az adaok olya saiszikai ulajdoságairól va szó, amelyekek léyeges közgazdasági (aralmi) kövekezméyei vaak. Ezek figyelme kívül hagyása aralmilag ikoziszes modelleke eredméyezhe. Probléma ugyaakkor, hogy a saiszikai eszek közel sem elég erősek ahhoz, hogy jó éháy idősor egyérelműe be udáak soroli egyik, vagy másik ípusba. Több kokré idősorral kapcsolaba évizedeke kereszül jeleek meg a külöféle empirikus esz-eredméyek, válakozó végső kövekezeésekkel. Sarkosa fogalmazva, az elmélei modellező ebbe a helyzebe em agyo ehe más, mi mide egyes, álala haszál idősorról eldöi, hogy milye saiszikai ulajdoságoka éelez fel róla. Ebbe a döésébe három vezérelve lehe:. e modjo elle az empirikus eredméyekek, ahol azok egyérelműek 2. e modjo elle léyeges elmélei örvéyszerűségekek 3. a felépíe modell legye koziszes Hogy ezekek meg udjo feleli, legalább elmélei szie ismerie szükséges az alapfogalmaka és az empirikus eszek problémái. 49

50 Sacioeriás A { z i } (,2,K) i szochaszikus folyama (szigorúa) sacioer, ha bármely véges r egész számra és bármely eloszlása csak az i, i 2,, i K idex-halmazra a ( z z, z,, z ) r i, i i K 2 i r együes i i, i i,, 2 K i i érékekől függ, de i érékéől em. Például r ( z ) együes eloszlása megegyezik ( ),z 5 z eloszlásával. 2,z 6 Kovariacia (vagy gyegé) sacioer egy folyama, ha (i) E{ z i } em függ i érékéől és (ii) Cov( z ) z, léezik, véges és csak j érékekől függ, de i érékéől em. i i j [Pl. ( z, z ) Cov( z z ) Cov ] 5 2, 6 Iegrálság I(0) folyamaak evezük egy sacioer folyamao, ha legjobb hosszú ávú előrejelzési hibájáak variaciája véges és poziív. Differecia-sacioerak moduk egy folyamao, ha ő maga em sacioer, de első differeciája az. Ugyaezeke a folyamaoka szokás első foko iegrál rövide I() - folyamaokak is hívi, mivel sacioer folyama összegzéseké állíhaók elő. Ezzel aalóg módo defiiálhaók a d-ed foko iegrál folyamaok, amelyek d-dik differeciája sacioer 22. Az I() folyamaoka szokás egységgyök folyamaokak is hívi az alábbi modell alapjá: (92) ( ρl ) y δ u ahol u ulla várhaó érékű I(0) folyama. Ez egy auoregresszív folyama eselegese auokorrelál zajjal, melye u reprezeál. Ameyibe a ρ L 22 Uóbb kierjeszeék a fogalma d ör érékeire is azo az elve, hogy az ( ) d egyele áírhaó az y ( L) h L ε alakra, ahol ( d k) ε 0! k 0 d y ε h és h. 50

51 auokorrelációs együhaó (auoregressziós gyök) az éréke veszi fel, az y folyama első differeciája válik I(0) folyamaá, ehá az { y } folyama I(). A közgazdasági elemzés szempojából léyeges külöbség, hogy egy folyama sacioer I(0), avagy differecia-sacioer I(), ké okból is:. A folyamao érő sokkok haása az előrejelzési horizo övekedével I(0) sacioer esebe ullához ar (elűik), míg I() differecia-sacioer esebe csillapíalaul ha a végeleségig. 2. Az idősorok sacioeriási ulajdoságai ayira alapveők, hogy az ebből a szempoból külöböző idősorok egymással való magyarázaa valójába ikoziszes modellekre veze. Egyes folyamaok iegrálsági fokáak eszelésére öbb eljárás is redelkezésre áll. Ezek a eszek (szie kivéel élkül) az I() ull-hipoézis melle eszelik az I(0) aleraív hipoézis (a fordío logikájú eszek kismiás ulajdoságai kedvezőleek). Aélkül, hogy részleese árgyalák i az egyes eszeke, mideképpe megemlíedő, hogy egyikük ereje sem úl agy a közel-egységgyök folyamaokkal szembe és em udak külöbsége ei valóba I() folyamaok és srukurális örés szevedő I(0) folyamaok közö. Nelso és Plosser (982) cikke számos makrogazdasági válozóról kimuaa, hogy alakulásuk em sacioer. Az azóa végze vizsgálaok (kierjeszve ermészeese ovábbi foos válozókra is) eredméyeik egy részé megerősíeék, de öbb esebe megválozo, vagy válozóba va a szakmai koszezus. Az iegrálsági fok meghaározásáak ehézségeire példaké felhozhaó akár az amerikai omiális kamalábak esee, ahol az I(0)/I() döés yio még. Az egyik legfoosabb problémá ermészeese az időszak srukurális örése okozza (Paul Volcker Fed elök első hivaali évei, amikor a Fed egyálalá em próbála sabilizáli a kamalábaka, haem a kereskedelmi bakok szabad aralékai céloza). Az egységgyök folyamaok egy speciális és egybe legegyszerűbb - esee a marigálok. A marigál-folyama defiíciója, hogy a folyama későbbi érékeire voakozó legjobb becslés a pillaayi érék: 5

52 (93) E { y } y > 0 k k Feloldva a várhaó éréke a modell áírhaó az (94) y ε y formára, ahol ε ulla várhaó érékű és auokorrelálala folyama. Éppe eze felírás alapjá az ilye folyamaoka marigál-külöbségek is szokák evezi, de ermészeese alkalmazhaó vélele bolyogás megevezés is. Hagsúlyozadó, hogy ε csak auokorrelálala kell, legye, a függeleség em feléel. Nem kizár pl., hogy ε variaciája ε -ől, vagy aak variaciájáól függjö. Éppe ebből fejlődö ki az ú. ARCH-modellcsalád. Klasszikus példa a marigálok makroökoómiai szerepére Hall (978) cikke, melybe kimuaa, hogy a fogyaszók opimalizálási feladaáak eredméyeké a fogyaszás haárhasza marigál (vélele bolyogás) folyamao kell, hogy kövesse, álaláosa elfogadhaó haszossági függvéy eseé pedig maga a fogyaszás is marigál-folyama kell, hogy legye. Tred-sacioerak moduk egy folyamao, ha sacioerré eheő azálal, hogy levojuk belőle az idő valamilye (álalába lieáris) deermiiszikus függvéyé. A közgazdasági elemzés szempojából léyeges külöbség, hogy egy folyama red-sacioer, avagy differecia-sacioer, ké okból is:. A folyamao érő sokkok haása az előrejelzési horizo övekedével redsacioer esebe ullához ar (elűik), míg differecia-sacioer esebe csillapíalaul ha a végeleségig. 2. Saiszikai hipoézis-vizsgálaokál léyeges kérdés az együhaók becsléseiek haáreloszlása. Tred-sacioer esebe a -saiszika eloszlása a szederd ormális eloszláshoz ar, míg differecia-sacioer esebe a haáreloszlás em szederd. 52

53 A differecia-sacioer és red-sacioer eseek ehéz megkülöbözeésére jó példa az amerikai GNP. 23 Koiegráció A koiegráció fogalmá Grager (98) vezee be az ökoomeriába és azóa haszálaa ige elerjed mid a pézügyi, mid a makroökoómiai empirikus vizsgálaokba. Koiegrálak modjuk egyeké I() válozók egy em-ulla elemekből álló a (koiegráló) vekor, melyre y vekorá, ha aláluk olya a y I(0) folyama. Visszaualva az iegrál folyamaokról modoakra, kiemeljük, hogy a koiegráció jelesége leheővé eszi, hogy azoos modellbe szerepeljeek külöböző iegrálsági fokú idősorok. A koiegráció egyik klasszikus példája a jövedelem és a fogyaszás modellje 24, amely az muaja, hogy bár (logarimusokba számolva) mid a fogyaszás, mid a jövedelem egységgyök folyama, hosszú ávo a fogyaszás a jövedelem közel kosas része. 25 A koiegráció eszelése hagyomáyosa a becsül koiegrációs vekor alapjá számío reziduum iegrálsági fokáak eszelésé jeleee, de maapság sokkal elerjedebb Johase (988) módszere, amely leheővé eszi a lieárisa függele koiegráló vekorok számáak meghaározásá is. Az e erülee végbeme jeleős fejlődés elleére ovábbra is problémá okoz az empirikus vizsgálaokba az egységgyök- és koiegráció-eszek kis ereje a paraméerérékek szempojából közeli (aralmilag eseleg ige ávoli) aleraívákkal szembe. 23 A ké leheőség közi döésre már számos cikk szülee, pl. Rudebusch (993), vagy Cheug és Chi (996) 24 Davidso, Hedry, Srba, Yeo (978) 25 Logarimusokba számolva ez a ké idősor külöbségé jelei. 53

54 Ami arról még később lesz szó, az eddigi vizsgálaok alapjá em egyérelmű pl, hogy a külöféle lejáraú amerikai kamalábak koiegrálak-e, azaz külöbségeik (eseleg más lieáris kombiációjuk) valóba I(0) folyamaok-e. Külö emlíés érdemel a koiegrál válozókból alkoo VAR-modellek problémája. 26 Ha em koiegrál I() folyamaoka szereék vizsgáli, akkor ekvivales áalakíás a differeciaképzés (sziek helye differeciákra írjuk fel a VAR-modell). Ha azoba koiegrál válozókról va szó, akkor a differeciákra felír modell kihagyo válozó maga a koiegráló vekor mia ikoziszes becslésre veze. Az ilye koiegrál VAR-modellek leggyakrabba haszál formája az ú. hibakorrekciós forma. Eek előye, hogy közgazdaságilag is jól érelmezheő, ső közgazdaságilag érelmes ideifikációs megszoríások levezeésé is leheővé eszi. Álaláos esebe az (95) y Φy Φ 2y 2 K Φ py p e eredei forma helye a (96) y ahol C C és p j Π Φ Πy Φ C j p C C y Φ j I C y 2 2 K C p y p e forma haszálaa ajálhaó. Az egyszerűség kedvéér ekisük csak egy kéválozós ( y, x ), elsőredű koiegrál VAR-modell 27 : (97) y Πy Be és legye a koiegráló vekor [ ], ehá a Π márix ragja. 26 A problémakör részlees összefoglalásaké ajálhaó Waso (994) 27 Koiegrál redszerek elemzésével foglalkozik pl. Lükepohl és Reimers (992), vagy Ware (997). 54

55 55 (98) [ ] v v b b b b x y x y 2,, α α ami eljese ekvivales módo írhauk á: (99) ( ) ( ) v v b b b b x x y x x y L 2,, α α A redszer koiegrációs ulajdoságai az sugallják, hogy kéféle sokk va jele: egy permaes (mely a ké válozóba közös redhez kapcsolódik) és egy razies (amely a koiegráló vekorhoz kapcsolódik). Ezér azá kézefekvő öle az ideifikációra az a megszoríás, hogy az egyik sokk permaes, a másik pedig razies kell, legye. Mivel sacioer redszerbe vagyuk, a sokkok ideifikálhaók a külöféle válozók külöféle sokkokra ado hosszú ávú válasza alapjá. A (99) egyele alapjá adódik, hogy (00) ( ) v v b b b b x x y L L L 2,, α α amiből kiyerheők a hosszú ávú válaszfüggvéyek, ha az L behelyeesíés elvégezzük. (0) ( ) v v b b b b x x y 2,, α α v, 2 razies sokk akkor, ha ics hosszú ávú haása a szochaszikus redre. Ez akkor igaz, ha (02) b b α α ami a paraméereiek ismereébe bizosíja az ideifikációhoz szükséges (B paraméereire voakozó) megszoríás.

56 .2.2 Rezsimváló modellek 28 A rezsimváló modellek makroökoómiai alkalmazása Hamilo (989) cikkével kezdődö 29, melybe a szerző az amerikai üzlei ciklusoka elemeze új módszerével. Az alapöle, hogy a redszerek, amelye vizsgáluk öbb állapoa leheséges. Az egyes állapookba külöböző modellek (azoos modell-srukúra, de külöböző paraméer-érékek) írják le a redszer viselkedésé, az egyes állapook pedig bizoyos valószíűségekkel válogaják egymás. Az egyes állapook közi ámee valószíűségé az ú. ámee-márix aralmazza Markov-lácok N-állapoú Markov-lácak evezzük a redszer, ha várhaó ovábbi viselkedésé a redszer jelelegi állapoa meghaározza, a korábbi állapook az em befolyásolják. E defiíció alapjá a Markov-lácok részbe hasolíaak a vélele bolyogásra, de aál ágabb halmaz jelölek, ameyibe em lieáris modelleke is képesek magukba foglali, mi pl. (03) y ahol ε y ~ iid a ε { 0,} Markov-lácoka ige ömöre ábrázolhauk és elemezheük, ha bevezejük az ( N ) méreű ξ valószíűségi vekorválozó, melyek j-edik eleme, ha a redszer a j-edik állapoba va, külöbe pedig zéró. Az ámee-márixo P-vel jelölve defiiálhajuk a redszer a E x Px (04) { } x 28 Foosabb szakirodalom: Hamilo (994), Diebold, Lee és Weibach (994) 29 A probléma ökoomeriai árgyalása megjele már a Quad (958) és Goldfeld és Quad (973) cikkébe is. 56

57 első fokú vekor auoregresszív modell segíségével 30, ahol a P márix ( i, j) eleme aak valószíűsége, hogy a redszer a j-dik állapoból az i-dik állapoba megy á. Ez a felírás leheővé eszi, hogy bármely Markov-láco kifejezzük a (05) x Px v alakba, ahol a v iováció marigál-külöbség. Ebből kövekezőe Markovlácok előrejelzése ige egyszerű: 2 m m (06) x m v m Pv m P v m2 K P v P x a várhaó érék pedig E x m (07) { m } x P x Ha ismerjük az iduló állapoo (legye ez az i-dik állapo), akkor kiszámíhajuk a redszer m időszakka későbbi állapoáak valószíűségeloszlásá: (08) P P P { s m s i} { s 2 s i} m { s N s i} m M P m e i ahol e i az i-dik egységvekor. Reducibilis Markov-lácok Reducibilisek moduk egy Markov-láco, ha léezik az egyes állapookak olya sorredje, melybe a P ámee márix blokk-riaguláris: B C (09) P 0 D 30 Lásd a VAR-modellek fejezee. 57

58 ahol B egy ( K ) K méreű márix és K < N. Ha a P márix blokk-riaguláris, akkor ugyaúgy blokk-riaguláris a egy m P márix is, ehá ha a redszer valamikor elér j K állapoba, akkor ics öbbé leheősége visszaéri egyele i > K állapoba sem. Egy Markov-láco irreducibilisek moduk, ha em reducibilis. Egy ké-állapoú Markov-lác pl. irreducibilis, ha p < és p <. 22 Ergodikus Markov-lácok A (04) egyeleből kövekezik, hogy a P márix mide oszlopösszege : (0) P Ergodikusak evezük egy Markov-láco, ha a P ámee márix egyik sajáéréke, a öbbi pedig az egységkörö belül alálhaó. Az sajáérékhez arozó sajávekor az ergodikus valószíűségi vekorak modjuk és π -vel jelöljük: () Pp p A π vekor ormalizáljuk úgy, hogy elemeiek összege legye. Igazolhaó, hogy ergodikus Markov-lácok eseé m (2) lim P p m Ké-állapoú Markov-lácok Ké-állapoú Markov-lácok reprezeálhaók egyszerű egyválozós AR() folyamaal is, a kövekezőképpe. Legye a x vekor első eleme ξ,, azaz, ξ egy olya valószíűségi válozó, amely éréke vesz fel, ha s és ullá külöbe. A ké-állapoú lác oká a x vekor második eleme ξ, kell, hogy legye, ehá ξ, p p ξ 22, v, (3) ξ, p p ξ 22, v2, A márix alakba felír ké egyele aralmilag azoos, pl. az első áírhaó AR() alakba: 58

59 ξ p p p ξ v (4), ( 22 ) ( 22 ),, melyből kövekezik, hogy élküli várhaó éréke pedig ξ auokorrelációs együhaója ( p p ), 22, feléel (5) E{ ξ }, p22 2 p p Illuszráció Hamilo (989) az amerikai üzlei ciklus vizsgálaára alkalmazo rezsimváló modell. A redszer ké állapoa megfeleleheő a kojukúráak és a recesszióak. Az ámee-valószíűségek márixa megadja, hogy kojukúrából milye valószíűséggel vál á a gazdaság recesszióba és viszo. Kiidulási po az amerikai reál GNP egyedéves övekedési üeme, a becsül modell pedig y µ φ y µ φ y µ φ y µ φ y µ ε (6) ( ) 2 ( 2 ) 3( 3 ) 4 ( 4 ) s 2 ahol ε ~ iid N( 0, σ ) s s 2 és az s állapoidexek ké-állapoú Markov-lác szeri s 3 s 4 alakulak p ij ámee-valószíűségekkel. A maximum likelihood becslés eredméye szeri az első állapoba a GNP évesíe övekedési üeme 4,8% (ez evezhejük kojukúráak), míg a második állapoba éves szie,6% a csökkeés (ez evezhejük recesszióak). Aak valószíűsége, hogy expaziós egyedév uá ismé expaziós egyedév kövekezik 90%, ehá ez a rezsim álagosa ( ) 0 p egyedévig fog femaradi. Aak valószíűsége, hogy korakciós egyedév uá ismé korakciós egyedév kövekezik 75%, ehá ez a rezsim álagosa ( 22 ) 4 p egyedévig fog femaradi. Ami az Diebold, Lee és Weibach (994) kimuaa, a Hamilo-féle modellbe em jogos megszoríás, hogy az ámee-valószíűségek időbe álladóak. Az ő modelljükbe a rezsimválás időbe válozó ámee-valószíűségekkel megy végbe: az ámee-valószíűségek az állapoválozók (makrogazdasági muaók) logiszikus függvéyei. (A logiszikus függvéy léyeges ulajdosága, hogy a eljes 59

60 60 számegyeese érelmeze és mideképpe 0 és közi eredméy ad, ehá alkalmas arra, hogy az állapoválozók eré valószíűségekké raszformálja.) (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp exp exp exp ;, ;, 0 exp exp exp exp ; 0, ; 0, β β β β β β β β β β β β x x x x x s s P x s s P p p p x x x x x s s P x s s P p p p állapo idôpo állapo állapo idôpo állapo M M M M M M LLLLLLLLLLLL M LLLLLLLLLLLL M M M M M M P Forrás: Diebold, Lee, Weibach (994) p.285 Ami az várhaó, az ámee-valószíűségek válozalaságáak feladása jeleőse javíoa a modell illeszkedésé.

61 .3 Moeáris makroökoómia A közgazdasági elméle és gyakorla együműködéséek elmúl 25 éve a moeáris makroökoómia erüleé a közgazdasága egyik sikeröréee. Eek egyik alapja mide bizoyal az vol és az marad, hogy elegedőe sok szakember éree (érse) meg az együműködés előyei. A kooperáció kokré formái a közös kofereciák szervezéséől egésze a mukaerő megoszásáig (jegybaki iszségviselők egyeemi szerepvállalása, illeve egyeemi kuaók részmukaidős jegybaki aácsadása) erjed. Személyes véleméyem szeri e gyümölcsöző kapcsola másik foos alapja, hogy a gazdaságpoliika külöféle erüleei közül alá a moeáris poliika a legikább modellezheő, mivel kevés aggregál válozó vesz figyelembe, még kevesebb (álalába egy-ké) eszköz haszál és legalábbis szádéka szeri hosszú ávú haásokra kocerál. Midez pl. a kölségveési poliikáról em modhaó el. Mid e szépségek elleére ami lái fogjuk - bőve marad probléma a jegybakárok és akadémikusok számára..3. A racioaliás fogalma és a peso-problémák 3 A várakozások gazdasági szerepe az évezredek folyamá fokozaosa vál yilvávalóvá. A fejlődés a várakozások egyre kifiomulabb modellezésébe is megyilvául. A közgazdasága maapság uralkodó felfogása a Muh (96) álal bevezee racioális várakozásoka ekii álaláosa elfogadhaó feléelezések. A hipoézis léyege, hogy a gazdasági szereplőkek a gazdasági muaókra és állapoválozókra voakozó várakozása megegyezik e válozók éyleges saiszikai várhaó érékével. Kimodalaul ez az jelei, hogy a szereplőke úgy modellezzük, miha poosa ismerék a gazdaság működésé és döési helyzebe a modell megoldva maximalizálják célfüggvéyüke. Ez a feléelezés ermészeese ige erős és mideki udá soroli a valóságból ellese példáka, amikor egy gazdasági szereplő várakozása yilvávalóa elér a racioálisa várhaóól, vagy amikor 3 Felhaszál szakirodalom: Evas és Hokapohja (200), Bossaers (200), Evas (996) 6

62 kiderül, hogy az illeő még a sajá célfüggvéyével sem vol iszába (vagy legalábbis em vol képes az megfogalmazi). Az pedig végképp valóságól elrugaszkodoak űik, hogy a gazdaság héközapi szereplői birokába leéek aak a gazdaságo leíró ökélees modellek, amelye a eljes közgazdász szakma képele vol megalkoi az elmúl évszázadokba. Midez ömagába mégsem alap a hipoézis elveésére, legfeljebb aak érelmezésbeli fiomíására. A hipoézis korrekebb ierpreációja szeri agy számú gazdasági szereplő hosszú idő álagába racioálisa viselkedik. Egy állíólag Abraham Licolól származó idéze frappása fogalmazza meg éppe ez a feléelezés: Olya, hogy valaki midig be lehe csapi, olya va. Olya, hogy egyszer mideki be lehe csapi, olya is va. De olya, hogy midig mideki be lehesse csapi, olya ics. Ez a megközelíés már bizoyára sokkal kevésbé ha valóságidegeek. Eek elleére a várakozások alakulásáról alkoo elképzelések és kövekezésképp modellek ovább fejlődek és az uóbbi időkbe egyre ikább erjedő felfogás szeri a gazdasági szereplők (ermészeese ismé csak agy számú gazdasági szereplő és hosszabb idő álagába) úgy viselkedik, mi jól felkészül saiszikusok: Az éppe redelkezésre álló iformációka haszálják fel racioálisa. Formálisa ez az jelei, hogy a gazdaságról alkoo modelljük szerkezee helyes, de a modell paraméerei kéyeleek a megfigyelheő válozók alapjá becsüli. Ahogy elik az idő, folyamaosa halmozódak a apaszalaok és a paraméerek becslése egyre poosabbá válik. Bossaers (200) ez úgy fogalmazza, hogy a szereplők em racioálisa várakozak, haem racioálisa aulak. Vegyük például a japá földregések eseé. A Richer-skála szerii 2-3 erősségű földregések ige gyakoriak, ezér már az is lehe udi, hogy meyire gyakoriak. A helybeliek ayira hozzászokak, hogy éjszaka már fel sem ébredek rá, em hogy az újságok beszámoláak róla. Egy ilye vidéke mideképpe megva a valószíűsége aak, hogy a kövekező egy évbe háromszor is legye 7-8 erősségű földregés. Eek elleére bizoyára á kellee érékeliük apaszalaika a szeizmológusokak, ha ez éyleg bekövekeze. A racioális várakozások fogalmához szorosa köődik a haékoy piacok hipoézise, melyek viszo kövekezméye, hogy a kockázai kiigazíásoka leszámíva az árfolyamok alakulása jósolhaala. A racioális aulás 62

63 hipoéziséből ez em kövekezik, haem csak az, hogy a kokré előrejelző szempojából jósolhaalaok az árfolyamok, mivel az sem udhaja, hogy a kövekező időszakba mi fog megauli. Egy külső elemző számára akiek már vaak bizoyos öbble ismereei - eek elleére lehe jósolhaó a vizsgál árfolyam. Egyszerűbb eseekbe igazolhaó, hogy a aulási folyama eredméyeké a várakozások a racioális várakozásokhoz kovergálak. Amikor ehá a piaci szereplők gazdasági köryezee sabil, racioális várakozásaikba (eseleg racioális aulás eredméyeké) olya szubjekív valószíűség-eloszlás ulajdoíaak a gazdaságo érő sokkokak, amely megegyezik a múlbeli folyamaoka geeráló válozók eloszlásával. Isabil köryezebe a szubjekív valószíűségek elérheek a megelőző időszakba megfigyelheő és saiszikailag mérheő előfordulási gyakoriságokól. Ha pl. a döéshozók iszába vaak vele, hogy rosszul specifikálják modelljüke, mivel a gazdaságba folyamaos (srukurális) válozás va, akkor maga a aulási folyama is álladósulha. Ilyekor a szubjekív valószíűségek elérheek a múlbeli adaokból saiszikailag levezeheő érékekől, hisze a szereplőkek arról már lehe apaszalaa, hogy em opimális a múlbeli adaokra szoríkozi várakozásaik kialakíásakor. Szélsőséges esebe olya eseméyek eseleges bekövekezé is figyelembe veheik, amelyek korábba soha em fordulak elő, egyszerűe bee vaak a pakliba. Az egyszerű saiszikai megközelíés alapjá úgy űik, miha a szereplők em leéek racioálisak. Ez a jelesége szokás Peso-problémáak evezi. Bár a Peso-probléma kifejezés poos eredee em ismer, álalába Milo Friedmaak szokás ulajdoíai, aki a mexikói peso 70-es évekbeli alakulásá vizsgála. Ebbe az időszakba a peso-kamaláb jeleőse a dollár-kamaláb fölö marad, holo az árfolyam válozalaul 0,08 peso/dollár vol. Friedma azzal érvel, hogy a kamaláb külöböze a peso leérékelésére voakozó piaci várakozásoka ükröze. Ezuá, 976 auguszusába a várakozások beigazolódak: a rögzíe árfolyam feladása yomá a peso 46 százalékkal érékelődö le. A peso-problémá írásba először Rogoff (980) vizsgála. Érvelése szeri a peso azoali és haáridős árfolyamai 974 júiusa és 976 júiusa közö aláámaszják a piac leérékelési várakozásaiak hipoézisé. 63

64 A probléma formális bemuaásához legye s az azoali árfolyam logarimusa. 954 áprilisa és 976 auguszusa közö az árfolyam 0,08 peso/dollár éréke vol rögzíve, 0 0 s s. Ha ( s ) várhaó azoali árfolyam s < az azoali árfolyam a leérékelés uá, akkor a (8) { } ( ) 0 E s π s π s Ω ahol π a piac becslése a leérékelés valószíűségére a kövekező időszakba. Amíg a peso árfolyama rögzíe vol s 0 szie, addig a éyleges és a piaco vár árfolyam közi külöbség 0 0 (9) s E{ s Ω } π ( s s ) vol. Tehá midaddig, amíg a piac részvevői úgy godolák, hogy a leérékelés valószíűsége haározoa poziív ( π > 0 ) addig előrejelzési hibájuk sziszemaikusa poziívak bizoyul. Ez a példa illuszrálja, hogya befolyásolja a piaci szereplők előrejelzési hibái olya diszkré eseméyek leheősége, amelyek a vizsgál időszakba em kövekezek be. Ez az elgodolás a léyege azokak az újabb keleű modellekek, amelyek figyelembe veszik a peso-problémák leheőségé is. Foos külöbség e modellek és az eredei mexikói peso-piac közö, hogy a modellek álalába em egyele eseméyre összpoosíaak, haem riká megismélődő sokkoka éelezek fel. Ez foos megkülöbözeés, mivel a pesoprobléma ípusú eszközárazási modellek előrejelző képessége egy-egy kokré eseméy köryezeébe ige csekély. Pl. a mexikói peso eseébe a modell csak akkor jele megszoríás a piaci várakozásokra, ha rögzíve va a leérékelés valószíűsége és a leérékelés uái s árfolyam. Peso-probléma feállása eseé a piaci várakozások ideifikálása ehéz felada. Sosem kizár, hogy a piaci várakozásokra haással va olya diszkré eseméyek leheősége, amelyek az adaokba em megfigyelheők. Ilye esebe leheele megkülöbözei a peso-problémá és az irracioális várakozásoka. A mai modellek öbbsége elkerüli az ilye paológikus peso-problémáka azálal, hogy a piaci várakozásoka az adaokból becsülheő diszkré elolódásokhoz köi. A π 64

65 Hamilo (988, 989) álal kifejlesze rezsimváló modellek egyszerű és jól kezelheő keree adak az elemzéshez. A peso-probléma egyszerűbb formája az ú. isza peso-probléma, amikor legalább a redszer pillaayi állapoa ismer. Az álaláosío peso-probléma eseébe a redszer pillaayi (iduló) állapoa sem ismer. Ilyekor a isza pesoprobléma aulással kapcsolódik össze..3.2 A moeáris poliika udomáya 32 Miuá láam a moeáris poliiká midké oldalról, állíhaom, hogy jegybakárak lei a gyakorlaba legalább ayira művésze, mi udomáy. Eek elleére, amikor ez a söé művészee gyakorolam, midig ige haszosak alálam a udomáy. 33 Ala S. Blider.3.2. A moeáris poliika céljai és eszközei 34 Végső célok A moeáris poliiká gyakorló jegybakok ú. végső céljá álalába a örvéyekbe szokás meghaározi, de ez közel sem jelei az, hogy valami eljese egyérelmű dologról lee szó akár meghaározás, akár érelmezés ekieébe. A legöbb demokraikus országba a jegybak legalább egyik célja az árszívoallal va kapcsolaba. A külöféle megfogalmazások közö aláluk olya, mi a péz vásárlóerejéek fearása, az árszívoal sabiliásáak megőrzése, vagy az ifláció alacsoy szie való sabilizálása. Ezek a megfogalmazások agyo hasolíaak, de a gyakorlaba sokszor mégsem midegy, hogy mi szerepel a örvéybe. Amikor pl. az Európai Közpoi Bak megkezde működésé (kisvárava) eldööe, hogy számára az alacsoy ifláció évi 2%-o jele. 32 Foosabb szakirodalom: McCallum (999), Clarida, Gali, Gerler (999), Walsh (998) 33 Blider (997) p A éma köye olvashaó összefoglalásá adja Heller (988) 65

66 Sok országba (ilye pl. az Egyesül Államok is) az ifláció leszoríásával egyeragú cél kapcsolódik a gazdasági akiviáshoz. Ez megfogalmazhaó mid a kibocsáás, mid a foglalkozaás oldaláról. Ezeke úlmeőe is leheek a jegybakak ovábbi előír céljai, mi pl. a Fed azo (örvéybe megfogalmazo) célja, hogy a hosszúlejáraú kamalábaka alacsoy szie arsa. Ismereeim szeri a szakirodalom eddig em agyo foglalkozo eek a célak az érelmezésével, elmélei kövekezméyeivel és a másik ké célhoz való viszoyával. Ezek a végső célok sokszor egymásak ellemodaak. A moeáris poliika, mi poliika léyegéhez arozik az egymásak feszülő célok közöi válaszás. Ez a válaszás lehe ad hoc, vagy szabályszerű, még akkor is, ha maga a döési szabály, amely súlyozza az egyes részcéloka, em formalizál. Kozervaívak szokás modai azoka a jegybakároka, akik kimodva, vagy kimodalaul viszoylag agy súly fekeek az ifláció leszoríására/alacsoy szie arására. Eszközök A moeáris poliika céljaiak eléréséhez külöféle eszközök állak a jegybak redelkezésére. Ezek ké fő csoporja a piaci eszközök és a em piaci eszközök. Nem piaciak ekiheők azok az eszközök, amelyeke a jegybak haósági jogaiál fogva alkalmazha. Ilyeek például a köelező aralékráa, a külöféle hiel és kamaláb plafook. A em piaci eszközök haszálaa az uóbbi évizedekbe agyrész visszaszorul. Piaciak ekiheők azok az eszközök, amelyeke a jegybak, mi piaci szereplő (még ha em is profi-szempooka köveve) alkalmaz. Ezek az eszközök a más piaci szereplőkkel (első sorba a kereskedelmi bakokkal) folyao üzleek udaos alkalmazásá jeleik. Ide arozik külöféle hiel- és beékosrukciók meghirdeése akár folyamaos redelkezésre állás, akár időszakos redelkezésre állás, akár (meyiségi, vagy ár) aukciók formájába, valami az ú. yíl piaci műveleek, amikor a jegybak esei jelleggel akív szereplőké jeleik meg a piaco, és árelfogadóké viselkedik. Nyíl piaci műveleek kereébe a jegybak álalába állampapírokkal (eseleg kereskedelmi válókkal) és devizával kereskedik. Maapság a legjellemzőbb moeáris poliikai eszköz valamely rövid lejáraú (álalába apos, vagy hees) kamaláb, amely 66

67 melle a jegybak a kereskedelmi bakokkal üzlee köz. Ez álalába hielkamalába jele, de lehe beéi kamaláb is, aól függőe, hogy a kereskedelmi bakok álagosa likvidiás szűkébe, vagy bővébe vaak. Úgy is szokás modai, hogy a jegybak az előbbi esebe az akív, az uóbbi esebe a passzív oldalo va. A raszmissziós mechaizmus, közbeső célok A raszmissziós mechaizmus az a folyama, ahogya a moeáris poliikai eszközök (még közelebbről az azokba bekövekeze sokkok, ehá em vár válozások) kifejik haásuka a gazdaságba. Az uóbbi évizedbe a raszmissziós mechaizmus vizsgálaa vol (és valószíűleg marad) a VAR-irodalom legfoosabb émája. 35 Az amerikai gazdaságra voakozó eredméyeke, mi mide (amerikai adaoko végzedő) makroökoómiai elemzés empirikus megalapozásá (lásd Sims megközelíésé) foglalja össze Chrisiao, Eichebaum és Evas (999). Az első és legfoosabb eredméy 36, hogy (leszámíva a fe már emlíe időszako) az amerikai moeáris poliika megfelelőe reprezeálhaó a jegybaki kamalábbal (Fed fuds rae). Eze úlmeőe viszoylag sabil eredméy a VARmodellek ideifikáló megszoríásaiól függeleül, hogy resrikciós sokk haására ké egyedév késéssel csökkei kezd a reál GDP és ez a csökkeő haás egymásfél év uá éri el maximumá, majd elkezd csökkei. A GDP defláor (az ifláció mérésére alkalmazo muaó) kb. másfél éve kereszül válozala, majd elkezd csökkei. Mivel a vizsgálaok az muaják, hogy a raszmissziós mechaizmus lefuása viszoylag lassú (és ez agyjából világos vol már a VAR-irodalom elő is), kialakul az a szokás, hogy a közpoi bakok ú. közbeső céloka űzek/űzek ki. Ezek a közbeső célok olya gazdasági adaokra voakozak, amelyeke viszoylag jól képes koroláli a moeáris haóság, amelyek viszoylag szorosa együ mozogak a végső célválozókkal, és amelyek éréke viszoylag kis késéssel 35 A szakirodalom összehasolíó érékelésé adja Bagliao és Favero (998). Kriikai észrevéeleke esz Rudebusch (996) 36 Berake és Blider (992) 67

68 ismeré válik (pl. a GDP adaoka álalába csak fél éves késéssel publikálják a saiszikai hivaalok). Ilye közbeső célok szokak lei a péz meyisége, valamely hosszabb lejáraú kamaláb, vagy az árfolyam. Az uóbbi évizedbe erjed az ú. iflációs célköveés módszere. 37 Eek léyege, hogy a jegybak akiek végső célja az ifláció féke arása makroökoómiai modellje és más módszerek segíségével készí egy előrejelzés az ifláció későbbi (pl. 2 évvel későbbi, aól függőe, hogy a apaszalaok szeri meyi idő ala zajlik le a raszmissziós mechaizmus) érékére és akkor váloza a sajá eszközé (pl. a jegybaki kamalábo), ha az előrejelzés egy ado küszöbérékél jobba elávolodik a kiűzö célérékől (pl. az ECB eseébe ez az a bizoyos 2%). Operaív cél és a jegybaki reakciófüggvéy A közbeső céloka még midig csak korláozoa képes a jegybak befolyásoli, mid poosság, mid gyorsaság ekieébe. Ami valóba koroláli ud, azok az eszközök. Egyes szerzők felveik, hogy meg kell külöbözei az eszközöke az operaív célokól. A Fed pl. (de sok más jegybak is) ulajdoképpe em közveleül és szó szeri a jegybaki kamalába haározza meg, haem ehelye úgy végez yíl piaci műveleeke (apoa egy megado rövid időiervallumba), hogy a piaco meghaározódó kamaláb a megcélzo érék szűk köryezeébe maradjo. A Fed eseébe pl. a Federal Fuds rae egyes apoko akár bázispoal is elérhe a meghirdee célérékől, de már hei álagba számolva is csak éháy bázispo az elérés. Ebbe a működési redbe a moeáris poliika eszköze a yíl piaci műveleek, a rövid lejáraú kamaláb pedig az operaív cél, de a ovábbiakba ez a külöbségéel elhayagoljuk és moeáris poliikai eszközek fogjuk evezi a rövid lejáraú kamalába. A jegybaki reakciófüggvéy (másik evé moeáris poliikai szabály) egy olya formula, amely meghaározza a moeáris poliikai eszköz azo éréké, amellyel elérheő, hogy a célválozók a kiűzö érékhez közel kerüljeek. Ha r az eszközválozó és x a célválozó, akkor a kiidulási po lehe a szabály: 37 Összefoglalás és ovábbfejleszés olvashaó pl. Svesso (997) cikkébe. 68

69 (20) r f ( x ) Ez azoba em elégséges, hisze csak ayi mod, hogy hol kell leie a kamalábak, ha a célválozó éréke éppe a kiűzö érék, de em mod semmi arról, hogy mi a eedő abba az esebe (gyakorlailag álladóa), amikor a célválozó eől elér. Az egyik legegyszerűbb ilye szabály pl. (2) r r λ( x x ) λ 0 < ami az modja, hogy az eszközválozó éréké csökkeei kell, ha a célválozó éréke az előző időszakba elmarad a kiűzö érékől. Egyes szerzők azo az álláspoo vaak, hogy egy poliikai szabály akkor eljes, ha sikerül kiválaszai egy célválozó, és sikerül meghaározi a célpályá (eseleg az elfogadási aromáy). Ezzel összefüggésbe Svesso (997) megkülöböze eszközszabályoka és célszabályoka, modvá, ez uóbbiak melyeke előybe részesí csak a célválozó haározzák meg de a moeáris poliikai eszköz éréké em. Eek elleére e dolgozaba reakciófüggvéye az eszközválozó éréké meghaározó szabály érük. Mideképpe emlíés érdemel legalább példaké az ú. Taylor-szabály, amely maapság már valamivel álaláosabb fogalom, mi az eredei Taylor (993) cikkbe. 38 O a szerző az amerikai ifláció és kibocsáás havi adaai hasolíoa össze a Fed kamalábával a megelőző 5 évbe és az alála, hogy a Fed kamaok viselkedése ige jól közelíheő az alábbi formulával: r (22) ahol γ π α γ >, γ y π ( π π ) γ ( y y ) > 0 y ahol r a kamalábak a szabály alapjá megcélzadó éréke, π az ifláció éyleges, π pedig a megcélzo éréke (pl. 2%), y a kibocsáás éyleges, y pedig 38 Más moeáris poliikai reakciófüggvéyeke is elemez pl. Clarida, Gali és Gerler (997) és McCallum (2000) 69

70 a poeciális szije. Az ifláció célérékől való elérése -él agyobb együhaóval szerepel, mivel az ifláció leszoríásához a reálkamalábak kell emelkedie. Taylor becslése 39 szeri a vizsgál időszakba a ké együhaó éréke,5 és 0,5 körül vol, ami ehá az jelei, hogy a jegybak a reálkamalába alakíva egyelő súllyal vee figyelembe az ifláció és a kibocsáás elérésé a kiűzö érékekől Taylor cikke ige agy haás válo ki és gyorsa ere hódío a moeáris poliikai gyakorlaba is. Azóa Taylor-szabályak szokás hívi mide olya jegybaki reakciófüggvéy, amely az ifláció és a kibocsáás valamilye kombiál célfüggvéyé valósíja meg. Tekieel arra, hogy a jegybaki döések ami az a VAR-irodalom is igazola jeleős késéssel fejik ki haásuka a gazdaságba, em megfelelő egy olya jegybaki reakciófüggvéy, amely a célválozók pillaayi deviaciájára reagál. Ez felismerve, az uóbbi évekbe az ú. előreekiő reakciófüggvéyek alkalmazása/feléelezése vál elfogadoá. 40 Eek egy speciális esee a fe már emlíe iflációs célköveés, amikor az előreekiő reakciófüggvéybe csak az ifláció szerepel, de eljese aalóg módo kierjeszheő a megoldás öbbválozós eseekre is. A közgazdasági elemzés szempojából émi problémá jele az előreekiő reakciófüggvéyek bevezeése, hisze ilyekor először meg kell oldai egy (racioális) várakozásoka is aralmazó makromodell, mielő becsüli lehe aak redukál formájá A moeáris poliika ehézségei 4 Azok számára, akik em foglalkozak moeáris, vagy makroökoómiával, meglepő lehe, hogy meyi via zajlik moeáris poliikai szabályok körül. Bizoyára úgy szóla az érvelésük, hogy em lehe úlságosa boyolul megoldai az opimális korol problémájá, ha redelkezésre áll a gazdaság egy megfelelő modellje, amelybe kiszámíhaó az opimális moeáris poliikai szabály. A modellek 39 A moeáris poliikai reakciófüggvéy becslésekor a szabály Taylor simíási haással bővíee: r ( λ) r λr 40 Lásd pl. Baii és Haldae (999) 4 A ehézségek közül jó éháya bemua Blider (997) 70

71 ermészeese olyaak kellee leie, amely kiállja a Lucas-kriiká, de ez sem lehe újdoság. 42 Ami a valóságo illei, ez az érvelés po a léyege feleji el, ami körül a viák döő része zajlik: pillaayilag ics olya elemzésre alkalmas - modellje a makrogazdaságak, amely fölö kellő egyöeűséggel sorakoza fel a szakma összes képviselője. Már arról is megoszlaak a véleméyek, hogy az elképzel modell mely részeibe va a probléma (pl. a pézkeresle, vagy a moeáris és reálválozók diamikus kapcsolaai, eseleg a fogyaszás és beruházás modellezése, em is beszélve a yio gazdasági modellekhez szükséges árfolyamokról). A megfelelő modell hiáyáak alapveő problémájá a szakma azzal igyekszik megkerüli, hogy olya moeáris poliikai szabályok uá kua, amelyek öbbféle modell eseé is megközelíik az opimaliás. 43 Egy ilye a robuszusságra alapuló kuaási sraégia émi védelme yúj a Lucas-kriikával szembe is. Eze úlmeőe, ahhoz, hogy a moeáris poliika api sziű döései koziszes módo lehesse meghozi, elegedheele a végső célok eljesüléséek mérése. Bár első pillaásra ez em űik problémásak, kicsi alaposabb vizsgála uá mégis kiderül, hogy már ez a erüle is komoly ehézségeke rej. Hogy csak éháya emlísük:. Mi már fe példaké emlíeük, jó éháy makrogazdasági válozóról em eldöö/eldöheő, hogy I(0), vagy I() folyamao köve-e. Egy megfelelő makromodell ebből a szempoból kövekezees kell, hogy legye. Nem midegy például, hogy a Taylor-szabályba az egyes válozók szijükkel, avagy differeciájukkal kell, hogy szerepeljeek A legöbb gazdasági válozóak va valamiféle szezoaliása, de ez a szezoaliás álalába em eljese sabil. Elmélei szempoból probléma, ha a 42 Ilye ípusú modell pl. Roemberg és Woodford (998), vagy McCallum és Nelso (997) 43 Lásd pl. Oaski és Sock (2000) 44 A émáról lásd pl. a Deusche Budesbak (999) cikké. 7

72 szezoiszíás az alkalmazadó makromodellől függeleül végezzük, de az együes becslés is komoly (gyakorlai) ehézsége okoz A moeáris poliika szempojából relevás áridex meghaározása (pl. az olajárak válozása em feléleül kell, hogy befolyásolja a moeáris poliiká, mivel a jegybakak arra érdemi haása em lehe). A megoldás maapság ú. magifláció számíása A redelkezésre álló ár-adaok csak korláozoa képesek figyelembe vei a miőségi javulás. Ez a haás is próbálják figyelembe vei a jegybakok, amikor az iflációs cél em 0%-ba haározzák meg. 5. A poeciális kibocsáás becslése szükséges ahhoz, hogy a moeáris haóságak egyálalá esélye legye a gazdasági igadozások csillapíására. A redelkezésre álló maemaikai apparáus, evezeese a külöféle szűrők alkalmazása ömagába em ad eligazíás arra ézve, hogy a frekvecia-aromáy mely szakaszai feleleedők meg az üzlei ciklusokak, mivel a frekveciaeloszlásokak álalába icseek jól elválaszhaó szakaszai. Burs és Michell (946) aulmáya óa szokás (!) elfogadi a 6-48 egyedév aromáy, mi az üzlei ciklusok jellemző hullámhossz-aromáyá A poeciális kibocsáás a kibocsáási rés meghaározásához szükséges. Ha a jegybaki reakciófüggvéybe a gazdasági akiviás mérőszámaké a kibocsáás helye a (míusz) mukaélkülisége haszáljuk, akkor a NAIRU 48 becslése a probléma. Az Egyesül Államokba, pl. széles vol a koszezus a 80-as évekbe, hogy a NAIRU valahol 5-6% körül va. A 90-es évek hosszú kojukúrája 45 A émáról lásd pl. Hase és Sarge (993) cikké. 46 A émáról lásd pl. Wye (999) összefoglalójá, ovábbá Buier (998), Brya és Cecchei (999), vagy Apel és Jasso (999) cikké. 47 Az üzlei ciklusok elemzéséről lásd pl. Sock és Waso (999) aulmáyá. A frekveciaaromáyba való filerezésről Baxer és Kig (998) ír részleese. Egyéb módszereke is bemua és összehasolí idősorok redjéek meghaározására Higo és Nakada (998), ovábbá Dupasquier, Guay és S.Ama (997). 48 No Acceleraig Iflaio Rae of Uemployme, a mukaélküliség azo méréke, amely melle még em gyorsul az ifláció. Szokás a mukaélküliség ermészees ráájáak is evezi. 72

73 ikább a 2-3% körüli éréke valószíűsíi. Egy ilye mérési hiba komoly kibocsáási veszeségeke képes okozi (a poeciálishoz képes), ha a gazdaságpoliika a rossz becslésre épí. Még agyobb yugalaságo kell, hogy okozzo, ha kiderül, hogy a 90ües évek elejé bekövekeze srukurális örésről va szó, hisze akkor hasoló örés a jövőbe is bekövekezhe. Eek elleére Esrella és Mishki (999) arra a kövekezeésre ju, hogy a NAIRU foos fogalom, amely haszálhaó a moeáris poliikába, de em úgy, mi egy leheséges fix célérék (pl. 6%), haem mivel segí a gazdaságpoliikusokak az ifláció előrejelzésébe. 7. A makrogazdasági adaok jeleős része először előzees adaké lá apvilágo, a piaci szereplők ezekre az előzees adaokra reagálak. A végleges adaok megjeleése már csak agyo riká szoko címszalagba megjelei, az elemzésekhez haszálaos modellek számszerűsíésekor viszo az addigra már ismeré vál végleges adaok haszálaosak. Ez az elérés sok uóbb eheze érelmezheő jeleségre is magyarázao adha. Orphaides (997) az vizsgála, hogy milye moeáris poliikai szabályra lehe kövekezei a Taylor (993) álal alkalmazo módszer alapjá, ha a végleges adaoka a valós idejű adaokkal helyeesíjük. Eredméyei szeri az időszakba előreekiő reakciófüggvéyel jobba leírhaó a moeáris poliika, mi a hasoló Taylorféle specifikációval. Ez a éy agyrész elfedi, ha a vizsgálaba uólag javío adaoka haszáluk. Álaláosságba az modhajuk, hogy a moeáris poliika szie mide pojá ele va bizoyalasággal. Még az a probléma is felmerül, hogy a jegybakárok prefereciái em azoosíhaók a jegybak prefereciáival. 49 Az iformációk zajossága arra vezei a jegybakároka, hogy a moeáris poliikai eszközök haszálaába óvaosak legyeek. Ez a gyakorlaba megfigyelheő viselkedés 50 elmélei modellek szeri is helyes. 5 A modell paraméereiek és a gazdaság 49 E kérdés árgyalja Siber (200) 50 Sack (998a) VAR-elemzése szeri a Federal fuds rae mozgásáak fokozaosságába agyrész a gazdasági modell paraméereiek bizoyalasága jászo szerepe. 5 Orphaides (998), Sack (998b) 73

74 állapoáról alkoo képek a bizoyalaságá úl ovábbi érvek is felhozhaók a kamalábak simíása melle 52. Amao és Laubach (999) azzal érvel, hogy a magászekor előreekiő viselkedése mia a simío kamalábak mozgásáak agyobb a haása, mivel a gazdasági szereplők arra számíaak, hogy a simíás mia a válozaás ovább érvéybe marad. Goodhar (996) öbbek közö az állíja, hogy ha a jegybak simíás élkül megvalósíaá az a moeáris poliiká, ami gazdasági előrejelzései dikálak, akkor defiíció szeri úgy kellee viselkedie a kamalábak, mi ahogya az előrejelzés befolyásoló hírek érkezek: eljese radom módo, ez pedig komoly kommuikációs ehézségeke okoza, mivel ké kamaláb-csökkeés közö egy övelés (vagy fordíva) kívülről eljese feleslegesek lászik A hozamgörbe szerepe a moeáris poliikába A hozamgörbe és a moeáris poliika kapcsolaa kéiráyú és midké iráyba összee. A moeáris poliika felől idulva a rövid és hosszú lejáraú kamalábaka legalább elméleileg összekapcsolja a várakozási hipoézis. (Hogy ez meyire igaz, arra a 2. fejezebe érük ki.) Ez alapjá a jegybak az godolhaja, hogy képes meghaározi a hosszú lejáraú kamalábaka, amire szüksége is va a raszmissziós mechaizmus üzemeléséhez. Ez a haalmá a jegybakak erőse relaivizálja a Lucas-kriika, hisze a hozamgörbe alakja éppe abból adódik, hogy a piacak elsősorba a korábbi apaszalaok alapjá vaak elképzelései arról, hogy a jövőbe hogya fog viselkedi a jegybak. A piacok álal feléelezeől elérő viselkedés megválozahaja magára a viselkedésre voakozó várakozásoka is, miek kövekezébe a hozamgörbe em feléleül fog úgy reagáli a moeáris poliika döésére, mi az a jegybak a döés elő megfigyelheő hozamgörbe alapjá godola. Ha em próbálja a jegybak meglepi a piaco, haem arja magá a sajá eseleg öbbé-kevésbé yilváos reakciófüggvéyéhez, amelybe makrogazdasági muaók szerepelek, akkor a hozamgörbe hosszabb vége haszálhaóvá válik e makrogazdasági válozók előrejelzésére (poosabba az 52 Egy Amerikába közkeleű szólás szeri: Ha em udod, mi égy, edd fioma. 74

75 azokra voakozó piaci várakozások kiyerésére), ami megköyíhei az előreekiő viselkedés. A piacok felöl ézve a hozamgörbe egyrész exogé adoság, ameyibe a jelelegi és vár jövőbeli jegybaki döések haározzák meg, másrész edogé, ameyibe a jegybak viselkedésére voakozó várakozások a jegybakól (a jegybakárok éyleges szádékaiól) eljese függeleül is alakulhaak. Külööse érdekes bár em célszerű az a helyze, amikor a jegybak kizárólag a hozamgörbéből yer iformációk alapjá hozza döései. Ilyekor képleese fogalmazva em udi, hogy ki ki éz a ükörbe. Jó példa erre a kérdés, hogy előrejelzi-e a hozamgörbe a recesszió. A valóságba recessziók álalába akkor szokak kövekezi, amikor a jegybak szigorío a moeáris poliiká, hogy leküzdje az ifláció. Egy fordío hozamgörbe ebbe az esebe em sok öbbleiformáció hordoz a jegybakár számára. Eek elleére jól haszálhaó a hozamgörbéből yer kibocsáás, ill. iflációs előrejelzés, ha em a rövid lejáraú kamalábak, haem a lejárai prémium válozására voakozó várakozások jeleké érelmezzük Lásd pl. Hamilo és Kim (2000) 75

76 2 A várakozási hipoézis az amerikai hozamgörbe ükrébe Az alábbiakba ömör összefoglalásoka aduk olya cikkekről, amelyek amerikai adaoko vizsgálák a várakozási hipoézis. A cikkek jeleős része öbb kérdés is vizsgál, ezek közül csak a émákhoz közveleül kapcsolódókra összpoosíuk. Bár igyekezük az idők folyamá felmerül léyeges godolaok, vagy szempook agy részé megjeleíei, eek elleére eleve em ű realiszikusak a eljesség igéye. Először leíró jellegű cikkeke veszük sorra, majd olyaoka, amelyek a várakozási hipoézis elveése melle foglalak állás. Végül kövekezek azok, amelyek külöféle magyarázaokkal igyekezek a várakozási hipoézis mégis megmeei. 76

77 2. Leíró jellegű cikkek Nippai, Liu és Schulma (200) 995 okóbere és 996 márciusa közö via foly a Fehér Ház és a Kogresszus közö az államadósság öveléséek felső haáráról, amiek kövekezébe felmerül a Kicsár fizeésképeleségéek leheősége. Ez abba is megyilvául, hogy csökke az állampapírok (kicsárjegyek) és a kereskedelmi papírok közi kamakülöböze, ami az állampapírok kockázai feláraké érelmezheő. A vizsgála szeri eek az eseméyek em vol arós haása az állampapírok hozamára, mivel a kéféle isrumeum hozamáak külöbsége visszaér a korábbi szire. Összességébe az modhajuk, hogy az amerikai állampapírok jó közelíéssel ekiheők kockázameesek. Elligse és Södersröm (998) 54 A cikk empirikus részébe a szerzők az időszak moeáris poliikai lépesei (47 alkalom) a Wall Sree Joural-be olvashaó kommeárok alapjá sorolják ké kaegóriába. Rövide fogalmazva, exogéek ekieek mide olya lépés, amely legalább részbe (mérékébe) meglepeés okozo a piaco és edogéek azoka, amelyekre a piac alapveőe számío. Ezuá megvizsgálják a moeáris poliikai döések haásá a hozamgörbére és az alálják, hogy. az exogé és edogé válozások haása a hozamgörbére em azoos 2. az exogé válozások (sokkok) haása a lejára övekedével 00%-ról fokozaosa ullára csökke Kuer (200) A cikk a Federal fuds rae válozásai aak alapjá oszja fel vár és várala részre, hogy a döés másapjá hogya válozo haáridős fuds rae jegyzés a chicagoi őzsdé (ahol e haáridős ermékkel 989 óa kereskedek). Megerősíi az a 54 A cikk az éve belüli kamalábakra a Federal Reserve Bak of S. Louis adaai haszálja, míg éve úl álladó lejárahoz arozó másodpiaci állampapír-hozamoka. 77

78 apaszalao, hogy 994 óa a moeáris poliika em sok meglepeés okozo (midössze egy alkalommal vol jeleős a em vár rész. A döések ké alkalma kivéve midig az FOMC 55 ülésé szüleek.) Ezuá a szerző a külöféle lejáraú kamalábak válozásá eszeli a kéféle fuds rae válozás függvéyébe és az alálja, hogy. a em vár moeáris poliikai döésekek jeleős haása va a piaci kamalábakra 2. a vár döések haása csekély 3. a em vár döésekek gyakorlailag ics semmi haása a későbbi döésekre voakozó várakozásokra 4. az eredméyek robuszusak arra ézve, hogy a mérés az FOMC üléséek apjára időzíve végezzük, avagy havi álagokkal számoluk Evas és Marshall (998) 56 A cikk az vizsgálja, hogy hogya ha egy exogé moeáris poliikai sokk a hozamgörbére. VAR-modell 57 kereébe három külöböző ideifikációs sraégiá alkalmaz a sokkok meghaározására. Midhárom módszer azoos eredméyre veze aekiebe, hogy moeáris poliikai sokkok a hozamgörbe rövid végé jeleős, de rövidéleű emelkedés okozak, a kamalábak reakciója a lejára övekedével csökke, a hosszú lejáraú kamalábak gyakorlailag válozalaok maradak. 55 Federal Ope Marke Commeee, a Fed operaív moeáris poliikai döéshozó szerve, amely redszeres időközöké ülésezik. Rika kivéelől elekive ezeke az üléseke szüleik döés a Fed fuds rae megcélzadó érékéről. 56 A haszál adabázis McCulloch és Kwo (993) az időszakra. 57 A modellek mide esebe aralmazzák a Fed fuds rae-e, éháy makrogazdasági válozó és egy hosszabb (éháy hóaposól öbb évig erjedő) lejáraú kamalába. 78

79 Ag és Piazzesi (200) 58 Az arbirázsmeesség feléelével korláozo VAR-modell kereébe elemzi a kamalábak és makrogazdasági válozók diamikájá, majd kibővíi a modell láes válozókkal. Az eredméyek szeri mid az arbirázsmeesség feléele, mid a makroadaok (és késleleejeik) bevezeése jeleőse javíja a VAR előrejelző erejé. A variacia-dekompozíció az muaja, hogy a hozamgörbe válozásaiak 85%-á magyarázzák a makro adaok, melyek első sorba a hozamgörbe rövid és középső szakaszá haak, míg a hosszú vége egy láes válozóé a döő szerep (90%). Cochrae és Piazzesi (200) A szerzők váralaul egy olya fakorra bukkaak, amely 45%-os R 2 erővel képes előrejelezi az egyéves kövéyek lejárai prémiumá. A fakor haáridős kamalábak lieáris kombiációjaké állíhaó elő, ahol a súlyok sáoralako köveek. Bár a fakor korrelál az üzlei ciklussal, em jelzi előre a kibocsáás. Magyarázauk szeri ez a fakor korábba azér em merül fel a szakirodalomba, mer a hozamgörbe leírásába jóak alál modellek elfedék a lejárai prémium agy válozékoyságá az -éves lejára köryéké. 58 A haszál adabázis: Fama CRSP (Cere for Research i Securiies Prices, Uiversiy of Chicago) zero coupo files,, 3, 2, 36, és 60 havi kamalábak az időszakra. 79

80 2.2 A várakozási hipoézis elveései Cochrae (999) Felsorolja a pézügya azo mára már széles körbe elfogado - éyei, amelyek elérek a 80-as évek elejéig álaláos ézeekől. Ezek közö felsorolja az a éy, hogy a kövéyhozamok mi a öbbi pézpiaci hozam előrejelezheők: a hosszú lejáraú kövéy arási periódusára számío hozam magasabb, mi a megfelelő időszak rövid lejáraú kamalába. Bár ezek az előrejelzések em jeleeek garaciá jeleős kockázao hordozak a edecia mégis egyérelmű. Makiw és Miro (986) A várakozási hipoézis hosszú idősoroko ( ) vizsgálva a cikk arra a kövekezeésre ju, hogy a hozamgörbe rövid végé a hozamkülöbségek magyarázó ereje a rövid kamalábak későbbi válozására ézve megválozo 95 körül, amikor lérejö a Fed redszere. A hozamkülöbség és a kövekező válozás közi 0,4 érékű korrigál R 2 muaó eől kezdve gyakorlailag ullára csökke és a rövid lejáraú kamaláb mozgása közel kerül a vélele bolyogáshoz. Campbell és Shiller (99) 59 Ez a cikk, az egyik legfoosabb viszoyíási po az elmúl évizedbe, melyre a későbbi cikkek agyrész ámaszkodak, ill. ualak. A cikk kifejezee a várakozási hipoézis eszelésé űzi ki célul, öbbféle lieáris regresszió segíségével, melyeke ké fő csoporba sorolhauk. Midké esebe kulcs szerepe jászik a hosszú és rövid lejáraú kamalábak külöbségeké defiiál hozamgörbe meredekség, ami S -vel jelölek. Az első vizsgálacsoporba a kamalábak válozásá próbálják meg magyarázi a hozamgörbe meredekségéek segíségével, melyre ké regresszió fuaak: 59 A haszál adabázis McCulloch (990) az időszakra. 80

81 (23) R s m, m R, α βs, m, ε m ahol, m, m S m, m, m m ( R R ), m, A második egyele az első egyele egy közelíése, amely agy -érékekre érvéyes: (24) R ha R, m R, α βs, m,, m ~ R m, m ε m A várakozási hipoézis szeri midké egyelebe a β együhaó éréke kell, hogy legye (isza várakozási hipoézis szeri eze felül a kosas éréke ulla). A becslési eredméyek szeri, ezzel szembe az együhaók éréke eszőleges lejárakombiáció melle jeleőse az érék ala marad, ső a lejára övekedével aszimpoikusa lieárisa ar a míusz végelebe (kivéve az részmiaidőszako, amikor a plusz végelebe). Ezuá a szerzők először kéválozós VAR-modell kosruálak a rövid lejáraú kamaláb válozásából ( ) r és a pillaayi hozamgörbe meredekségből. Implicie feléelezik (ami később Egsed és Taggaard formálisa is eszel és aláámasz), hogy ez a ké válozó I(0) folyamao köve. Ezuá a VAR-modell segíségével előrejelzés készíeek a rövid lejáraú kamaláb vár válozásaira, majd abból a pillaayi lejárai külöböze elmélei érékére ( S ) melle - ha igaz a hozamgörbe várakozási hipoézise a hozamgörbe megfigyel és elmélei meredekségéek meg kell egyezie, vagy legalábbis a számío regressziós együhaóak -ek kell leie. Ezzel szembe a esz az muaja, hogy az együhaó jóval fölö va, ehá a megfigyel hozamgörbe meredekség jóval igadozóbb (volailisebb), mi az elmélei, ami a hozamgörbe meredekség úlreagálásaké érelmezheő a kamalábak válozásakor. Egsed és Taggaard (994) Céljuk kimodoa a Campbell-Schiller (99) aulmáy implici feléelezéséek eszelése. Megerősíik, hogy - a feléelezések megfelelőe az amerikai 8. Racioális várakozások

82 omiális kamalábak egyeké I() folyamao köveek, de pároké koiegrálak [ ] koiegráló vekorral. Soka viaják ez az eredméy arra hivakozva, hogy a omiális kamalábak szükségszerű poziiviása elméleileg összeegyezeheele az I() jelleggel, és hogy az es időszak srukurális örése adha magyarázao az I(0) jelleg ökomeriai elveésére. Bekaer, Hodrick és Marshall (997) Felhívja a figyelme az auokorrelációs együhaókkal kapcsolaos ökoomeriai eszek gyegeségére amikor a vizsgál folyama ige közel va az egységgyökhöz. Ilye esebe még 500-as mia elemszám is kismiáak bizoyul. Kevéssé csillapodó folyamaok eseé az OLS becslés az auokorrelációs együhaó lefelé (ullához) orzíja, ami a várakozási hipoézis eszelő regressziókba a vizsgál együhaó agyobbak (-hez közelebbiek) muaja a valóságosál. Némileg meglepőe a Campbell-Shiller (99) cikkbe szereplő, VAR-alapú korrelációs együhaó csak agyo kevéssé orzío és valószíűségi haáréréke körül kevéssé szór. A cikk, összességébe eljese megerősíi a Campbell-Shiller-féle eredméyeke. Suo (998) Megisméli a Campbell-Shiller vizsgálao az időszakra és az alálja, hogy bár a ké szerző eredméyei öbbyire ovábbra is megállják a helyüke, az adaok em ámaszják alá a korábbi cikk azo (implici) feléelezésé, hogy a hozamgörbe meredeksége elmélei és apaszal érékéek külöbségeké defiiál hiba orogoális lee a prémium elmélei érékére, ehá a ké érékből képze regresszió becsül együhaója orzío. Taralmilag ez az is jelei, hogy a kamalábak előrejelzéséek hibája összefügg a hozamgörbe meredekségével. 82

83 2.3 A várakozási hipoézis megmeései Rudebusch (995) Rudebusch, miuá bemuaja, hogy a várakozási hipoézis magyarázó ereje válozik a lejáraal, api adaoko bemuaja, hogya egyezeheő össze a apaszalaokkal a várakozási hipoézis, ha a piaco megfigyelheő kamaláb elér a Fed álal kiűzö kamaláb-célól. 60 Balduzzi, Berola és Foresi (997) A cikk - felhaszálva a Fed álal akkoriba publikál új kamaláb-cél idősor - rávilágí a kamaláb-célokba bekövekező diszkré válozásokak a kövekezméyeire a hozamgörbe viselkedésé illeőe. Elemzésük az muaja, hogy a rövid lejáraú kamalábak és a Federal fuds rae külöbségé alapveőe a kamaláb-cél válozására voakozó várakozások haározzák meg, em pedig az egyapos piaci kamalábakak a cél körüli igadozása. Ebből kövekezőe a várakozási hipoézis apaszalai kudarca szeriük a moeáris poliika későbbi válozásaiak hibás előrejelzéséből ered. Fuhrer (996) Feléelezi, hogy a jegybak Taylor-szabály haszál reakciófüggvéyké, de megegedi, hogy válozzaak a paraméerek (az ifláció és a kibocsáás súlya, valami a hosszú ávú iflációs cél). Felboja az időszako részidőszakokra ( ), majd ezekre külö elvégzi a kövekező három lépés:. egyedéves adaokból becsül egy égyválozós VAR-modell, melybe az ifláció, a kibocsáás (poosabba a lieáris redől számío kibocsáási rés), a rövid lejáraú kamaláb és a hosszú lejáraú kamaláb szerepel 60 Lásd a moeáris poliika operaív céljáról szóló rész feebb. 83

84 2. kiveszi a becsül redukál VAR-formából a kibocsáásra és az iflációra voakozó egyelee, mellé eszi a várakozási hipoézis isza formájá és egy Taylor-szabály 3. megkeresi a Taylor-szabályba alkalmazadó paraméerek éréké úgy, hogy eljesüljö a várakozási hipoézis Az egyes részmiákra külöböző paraméer-érékek adódak. 6 Az így adódó kamaláb-előrejelzések és a hozamgörbe meredeksége már ige jól megközelíik a várakozási hipoézis álal dikál érékeke. Balduzzi, Berola, Foresi és Klapper (997) A cikk először megállapíja, hogy az időszakba, amikor a Fed akíva céloza a Fed fuds rae-e, az -3 hóapos bakközi kamalábak redszerese, jeleőse, de erőse válozó mérékbe elérek a célérékől. A moeáris poliika számára ez az jelei, hogy még a Fed fuds rae szigorú korolja sem voja maga uá a hosszabb lejáraú kamalábak szoros elleőrzésé. Valójába a piac iszába va vele, hogy a célérék megválozha és ez a várakozás akár helyes, akár helyele haással va a hosszabb lejáraú kamalábakra. A Fed befolyásolhaja a kamalábaka a cél meglepeésszerű megválozaásával, de ezálal em kívá volailiás is vihe a rövid lejáraú kamalábakba, mivel a piac a zajos iformáció kéyele feldolgozi. Lage, Sack és Whiesell (200) A apaszalaok szeri a 80-as évek végéől kezdve a pézpiacokak a korábbiál jobba sikerül előrejeleziük az FOMC döései. Eől az időől kezdve a hosszú lejáraú kamalábak és a haáridős kamalábak egyre ikább aralmazák a Fed fuds rae válozásai öbb hóapra előre. A cikk arra a kövekezeésre ju, hogy ez a javuló előrejelezheőség részbe a kamaláb-válozások fokozaosságáak és a moeáris poliika raszpareciájáak is ulajdoíhaó. Külööse foos válozásak lászik, amikor az FOMC elkezde a döések bejeleésekor magyarázao is adi a döésre. 6 Puszá érdekesség kedvéér írjuk ki a égy egymás köveő időszakra becsül hosszú ávú iflációs cél: 7.4%, 5.8%, 0%, 3.9% 84

85 Campbell (995) 62 Eseaulmáyké elemzi az 994. február-május időszako, amikor a Fed 4 lépésbe összese,25% poal emele a kamalába. Az elemzők és gazdaságpoliikusok meglepeésére a hosszú lejáraú kamalábak gyakorlailag ugyailye mérékbe emelkedek. A hozamgörbe rövid végéek alakulása még magyarázhaó lee azzal, hogy a 90-es évek elejé a Fedől már megszokoá vál a fokozaosságra való örekvés, ehá egy kamaláb-emelés előreveíi a kövekező emelés, de ez em lehe magyaráza az 5-0 éves kamalábak reakciójára, hisze azo az időávo már mideképpe haia kell az aiiflációs poliikáak, ha az hiheő. Campbell ikább elfogadja az a magyarázao, hogy a megövekede bizoyalaság mia megövekede a hosszúlejáraú kövéyek elvár öbblehozama (~kockázai prémiuma). Ez ámaszja alá az a éy is, hogy majdem százalékpoal csökkeek májusba a haáridős kamalábak az 5-0 éves horizoo, miuá a Fed a korábbi szokásokól elérőe sajóközleméy bocsáo ki, melybe kifejee, hogy a közeli jövőbe em lája szükségé ovábbi hasoló lépésekek. Ag és Bekaer (998) Rezsimváló modell segíségével próbálják magyarázi a kamalábak mozgásá. Eredméyeik szeri a rezsimváló modellek jobba magyarázzák az adaoka, mi a hagyomáyos modellek. Eek magyarázaá éppe abba láják, hogy a becslésekből adódó rezsimek viszoylag jól megfeleleheők az üzlei ciklusokak. Ez a em-lieariás, ami a kamalábak alakulására kövekezik a rezsimválásból, foos szempo lehe a moeáris raszmisszió vizsgálaakor. Lae (999b) Az eurodollár kamalábaka vizsgálja az időszakba és az alálja, hogy rezsimváló modellbe összeegyezeheők a éyek a várakozási hipoézissel, ha peso-problémák is felmerülheek. 62 Természeese jó éháy egyéb kérdéssel is foglalkozik, melyeke a öbbi cikkél idézük. I csak az emlíjük meg, ami a öbbi cikkbe em szerepel. 85

86 Bekaer, Hodrick és Marshall (200) 63 A Campbell-Shiller regressziók és VAR-módszer segíségével eszelik a várakozási hipoézis és arra a kövekezeésre juak, hogy a Campbell és Shiller álal dokumeál aomáliák magyarázhaóak egyfaja álaláosío peso-problémával, amikor a magas kamalábbal jellemze rezsimek rikábba fordulak elő a valóságba, mi az racioálisa vári lehee vola. Összességébe úgy alálják, hogy megfelelőe írja le az adaoka egy olya modell, amely peso-problémákkal kombiálja a hozamgörbe időbe válozó meredekségé. Bekaer és Hodrick (200) Álaláosságba vizsgálja azoka az ökoomeriai hipoézisvizsgáló módszereke (Wald, Likelihood-raio és Lagrage-muliplikáor), amelyekkel VAR-modellek kereé belül eszelheő a várakozási hipoézis. Moe Carlo szimulációkra alapozva levoja a kövekezeés, hogy a szakirodalomba álaláosa haszál Wald-eszek uasíják el legerősebbe a várakozási hipoézis, ugyaakkor eze eszek kismiás ulajdoságai a legrosszabbak. A másik végle az LM-eszek, amelyek az ikább úl riká uasíják el. A apaszalai bizoyíékok a várakozási hipoézissel szembe sokkal gyegébbek aszimpoikus esebe. Tzavalis és Wickes (997) 64 Bemuaják, hogy a Campbell és Shiller álal dokumeál apaszala miszeri a hozamgörbe meredekség csak az iráyá jósolja helyese a hosszú lejáraú kamalábakba később bekövekező válozásokak, de a válozás agyságá em eljese megmagyarázhaó puszá azzal, ha az időbe válozó lejárai prémium (hosszabb lejáraú eszköz kövekező periódusra vár hozamáak és a rövid lejáraú kamalábak a külöbsége) korrelál a hozamgörbe meredekségével. Evas és Lewis (994) Az vizsgálják, hogy a hosszú lejáraú kamalábakak a görgee rövidlejáraú kamalábakhoz képesi öbblehozama magyarázhaó-e puszá sacioer kockázai 63 A haszál adabázis a frissíe McCulloch (990) az időszakra. 64 A haszál adabázis McCulloch és Kwo (993) az időszakra. 86

87 prémiumok bevezeésével. Számukra is meglepőe arra az eredméyre juak, hogy em, amire leheséges magyarázaké a kockázai prémiumo érő permaes sokkok, vagy a kamaláb alakulásába racioálisa előre vár srukurális válozásoka hozzák fel. Ez az eredméy ellemodásba va Egsed és Taggaard (994) eredméyével, amire egyrész magyarázao adha az es srukurális örés, vagy az egységgyök-eszek problémái. Lae (999a) 65 A Campbell-Shiller regressziók robuszusságá vizsgálja aak féyébe, hogy a hozamgörbe meredekségéek auoregressziós együhaója (közelsége az egységgyök-folyamahoz) az idők folyamá válozo. Becslései szeri részmiaidőszakokra számíva a várakozási hipoézis em elveheő a hozamgörbe hosszú végé. McCallum (994) Azzal kísérli meg megmagyarázi Campbell és Shiller (99), Makiw és Miro (986), valami mások empirikus eluasíásá a várakozási hipoézissel szembe, hogy újszerű moeáris poliikai reakciófüggvéy éelez fel, melye AR() ípusú kockázai prémiummal kombiál. Magyarázaa szeri a várakozási hipoézis apaszalai kudarcáak oka, hogy a jegybak reakciófüggvéyébe szerepel a hozamgörbe meredeksége. A cikk levezeésébe hiba va, de az alapgodolao ovábbviszi Hsu és Kugler (997) és Kugler (998). Dai és Sigleo (200) folyoos modellbe valósíja meg ugyaez a szochaszikus folyamao, azzal a külöbséggel, hogy a moeáris poliikai reakciófüggvéy szerepé o a kockáza piaci ára veszi á. Favero (200) Az empirikus aulmáyok öbbsége egy egyelebe eszeli a várakozási hipoézis és ezálal em ud külöbsége ei a sziszemaikus várakozási hibák és a kockázai prémiumba bekövekeze válozások közö. Favero, ezzel szembe egy 3-válozós (kibocsáás, ifláció, rövid lejáraú kamaláb) előreekiő modell becsül, majd a kapo paraméerbecslések segíségével rövid lejáraú kamaláb-pályáka 65 A haszál adabázis McCulloch és Kwo (993) az időszakra. 87

88 szimulál és eszeli, hogy a megfigyel hosszú lejáraú kamalábak beleesek-e az elméleileg vár érék körüli (95%-os) kofidecia iervallumba. Eredméyei alapjá a várakozási hipoézis em elveheő. 88

89 3 A hozamgörbe egy álaláos piaci modellje Az alábbiakba egy álaláos piaci modell foguk bemuai. Piaci modell, mivel csak a hozamgörbe egészéek segíségével becsülheő, mi pl. a Heah-Jarrow- Moro modell, viszo álaláosabb, mivel em éelezi fel az állapoválozók iovációiak feléeles ormaliásá. Ehelye a modell lieáris VAR formába írjuk fel, ami leheővé eszi, hogy összekapcsoljuk a hozamgörbe modellezésé a moeáris makroökoómiába alkalmazo VAR-modellekkel. 89

90 3. Arbirázsmeesség és a Jese-fakor Modellük kiidulópoja a szochaszikus diszkoéyező és a (folyoosa őkésíe) kamaláb közi külöbség. Az áekiheőség kedvéér ahol szükséges - megisméeljük az elmélei bevezeő legfoosabb egyeleei. Az eszközárazás alapegyelee kimodja, hogy mide eszköz ára megegyezik a szochaszikus kifizeések és a szochaszikus diszkoéyező szorzaáak várhaó érékével. Mivel kockázamees elemi kövéyek eseé a omiális kifizeés mide világállapoba egység, ezér az periódus lejáraú elemi kövéy ára (25) E { M } p,, A folyoos őkésíésű kamaláb defiíció szeri (26) ( p ) R, l, E keőből kövekezik, hogy (27) ( E { M }) R, l, Ami Bekaer és Hodrick (997) levezee: (28) l( E { M }) E { l( M )} ahol () k, ν a ( ),, l k 0 ν, () k ν () k k! l k 2, időszakra voakozó szochaszikus diszkoéyező logarimusáak k-dik cerális momeuma. A második egyelőség abból kövekezik, hogy eszőleges valószíűségi válozóra a ulladik cerális momeum éréke, az első pedig ulla. Közpoi szerep ju az eszközárazásba eek az egyeleek, amikor a külöféle modellek feleszik, hogy az árazási mag logarimusa ormális eloszlású. Áérve az álaláos jelölésre bezejük a H operáor:, k! 90

91 l k (29) H ( ξ ) l[ E { exp( ξ )}] E { ξ } 0 E k {[ ξ E { ξ }] } k! ahol a ξ valószíűségi válozó. Köye beláhaó, hogy az operáor kosas hozzáadására ivariás: (30) H ( α ) H ( ξ ) R ξ α ehá elegedő csak ulla várhaó érékű valószíűségi válozókkal foglalkozuk. Skalárral való szorzásra voakozóa sajos ics egyszerű függvéykapcsola: (3) H ( αξ ) k {( ) } k αξ E { ξ } E l l α k 0 k! k 0 k k! Egyele speciális esebe adhaó egyszerű függvéykapcsola, éspedig a ormális eloszlás eseé, ekkor ugyais (32) H ( αξ ) α H ( ξ ) α σ R ξ α 2 ahol 2 σ ξ a ξ valószíűségi válozó variaciája. Ebből az is kövekezik, hogy a szederd ormális esere az operáor éréke 2. Megjegyezzük, hogy kizárólag függele valószíűségi válozókra igaz a (33) H ( ξ η ) H ( ξ ) H ( η ) összeadási szabály. Korrelálalaság em elegedő. Felhaszálva a H operáor, az eszközárazás alapegyeleé felírhajuk a válozók logarimusára is: (34) p E { l( M ) l( x )} H { l( M ) ( x )} l l Midez azér foos, mer így áérheük az árakról a kamalábakra, valami köyebbe számolhauk olya modellekkel, ahol az árazási mag logarimusáak mozgásegyelee ado. 9

92 A ovábbiakba a (28) egyele jobb oldalá a Jese-egyelőleségek ulajdoíhaó kifejezés (eloszva az lejáraal) Jese-agak fogjuk evezi és bevezejük a (35) h, ν l k 0, () k k! jelölés. Ez és a kamaláb defiíciójá figyelembe véve a (28) egyelee az alábbi formába írhajuk: (36) { l ( M )} ( R h ) E,,, Az arbirázsmeesség feléele a pézpiacoko megköveeli, hogy igaz legye az (37) M, M m, mm m, egyelőség. Először vegyük e kifejezés logarimusá, számísuk ki a m időpora voakozó feléeles várhaó éréké és helyeesísük be (36) egyelee a megfelelő lejára- és időidexszel: (38) { l( M )} E { ( M )} ( m) E { R h } E m, m l m, m m m, m m, m Mos vegyük a kapo egyele feléeles várhaó éréké a időpoba, végezzük el a behelyeesíés és szorozzuk meg az egyelee (-)-gyel: (39) ( R h ) m( R h ) ( m) E { R h },, m, m, m, m m, m Ez az egyele em más, mi a várakozási hipoézis a Jese-aggal kiigazío kamalábakra. Ami Bekaer és Hodrick is bemuaja, ha a Jese-ag időbe álladó, akkor visszakapjuk a várakozási hipoézis gyege formájá. Isméel behelyeesíéssel a rövid lejáraú (egy-időszakos, kiigazío) kamaláb vár válozásaira vezehejük vissza a hosszú lejáraú kamalábaka: (40) ( ) R h E { R h },, j 0, j, j 92

93 3.2 A hozamgörbe zár megoldása Hogy a eljes hozamgörbe egy modelljé kapjuk, ekisük s darab gazdasági (megfigyelheő, vagy láes) állapoválozó egy z vekorá és együk fel, hogy ezek mozgásá a (4) z ( θ ) θ A z ahol u ~ iid ( 0, V( z ) u ahol A a kosas auokorrelációs együhaók együhaók s méreű vekora (valójába s s méreű márixa, θ kosas z várhaó éréke), u pedig a z -re merőleges zaj. Az álaláosság kedvéér megegedjük, hogy a reziduum kovariaciamárixa is függjö az állapoválozókól, de ermészeese lehe kosas is. Téelezzük fel, hogy a kamaláb és a Jese-ag külö-külö affi függvéyei az állapoválozókak: (42) R h k, k, g h () k g () k z () k d () k z ahol g () k és h () k csak a lejáraól függő skalárok, míg g () k és d () k szié csak a lejáraól függő, s méreű kosas sorvekorok. A várakozási hipoézis kiigazío formája alapjá (40)-ből az együhaókra az alábbi megszoríás adódik: (43) () () [ () ()] g d g d j 0 A j j j (44) g() h() [ g() h() ] [ g () d () ] θ [ g () d () ] A θ 0 További ké megszoríás adódik a paraméerekre, ha első fakorak a rövid lejáraú kamalába válaszjuk, ekkor ugyais 93

94 (45) g és g () 0 () e ahol e az első egységvekor (első eleme, a öbbi 0). Ebbe az esebe az A márix első sora felfoghaó a jegybaki reakciófüggvéy redukál formájaké is, hisze (46) E { r } E { ez } e( I A) θ ( ea) z Ugyaeze az elve előre jelezhejük a rövid lejáraú kamalába bármilye ávoli időhorizora is: k k (47) E { r k } E { e z k } e( I A ) θ ( ea ) z 94

95 3.3 Összehasolíás a Heah-Jarrow-Moro modellel A HJM-modell logikája három lépésbe adhaó meg.. Feléelezzük, hogy a külöféle lejáraú elemi kövéyek arási periódusra számío öbblehozama affi függvéye az állapoválozó(k)ak: (48) ( hpr ) r ( ) R [ r R ] ( A S ε ) l,,,,, Feléelezzük, hogy a szochaszikus diszkoéyező logarimusa affi függvéye az állapoválozó(k)ak: (49) ( M ) ( δ λ ε ) l, 2. Alkalmazzuk az eszközárazás alapegyeleé az arbirázsmeesség feléelével a öbblehozamokra: (50) ( E { M hpr }) 0 l,, Áérük az árazási egyele logarimusokra felír (34) szerii formájára (5) E H {( r A, S, ε ) ( δ λε )} {( r A S ε ) ( δ λ ε )} 0,, elvégezve az egyszerűsíéseke kapjuk, hogy (52) A δ r H {( S λ ) ε },, 3. Felesszük, hogy az állapoválozó(k) feléeles valószíűségi eloszlása szederd ormális, ehá 2 (53) H {( S λ ) ε } ( S λ ) H { ε } ( S λ ) 2, 2, 2, melye behelyeesíve kapjuk az arbirázsmeességből adódó megszoríás a paraméerérékekre: 95

96 (54) ( ) 2 A δ r S λ, 2, Ado időpora voakozava a külöféle lejáraokhoz arozó feléeleke kivohajuk egymásból: 2 2 (55) A A λ ( S S ) ( S S ), m,, m, 2, m, Felhaszálva, hogy (56) A S 0 0, 0, (ami köye beláhauk, ha a (48) egyelebe elvégezzük az 0 behelyeesés) kövekezik, hogy (57) A λ S S 2,, 2, és 2 (58) δ r λ 2 Ez uóbbi egyele aalóg a CAPM-modell alapegyeleével, ahol a szochaszikus diszkoéyező mozgásá a piaci porfólió haározza meg. Javasol modellükbe midez a kövekezőképpe írhaó: A (48) és (49) egyeleek az alábbi megfeleleésekkel íradók (59) A, ahol c 0 és S c, c 0 [( ) g( ) g( ) ] [ g() h() ] [( ) g ( ) g ( ) A] [ g () d () ] g c z () V( z ) 2 valami 96

97 (60) δ ahol d 0 és d d 0 λ l V z d z [ g() h() ] [ g () g () ] ( ) 2 A ormaliás feléelezése ké megszoríás jele. Egyrész a {[ ] ( ) } [ () ] ( )[ ( ) ] (6) H g () l z 2 e g l V z g l ahol e ~ ( 0, I) NID h d V 2, másrész, h 2 z l V z (62) () () ( ) l Összességébe em másról va szó, mi egy rekurzív szabályról, amely együese meghaározza az állapoválozóka és a külöféle lejáraokhoz arozó együhaóka. A szabály léyegese boyolulabb, mivel égyzees agoka is aralmaz, viszo em ad öbb szabadsági foko. Ahelye, hogy megköék az iovációk valószíűségi eloszlásáak ípusá, hogy eze az áro jussuk becsülheő modellhez, célszerűbbek arjuk a lieariás megszoríásá a Jese-ag eseébe is, hogy azá eseleg fordío logikával - ebből haározhassuk meg az iovációk eloszlásá (vagy legalábbis az eloszlás éháy léyeges ulajdoságá). 97

98 3.4 A Jese-ag egy modellje A (43) és (44) képleek ermészeese csak akkor ekiheők a hozamgörbe modelljéek, ha ismer a Jese-ag, vagy legalábbis aak modellje. Úgy is fogalmazhauk, hogy a hozamgörbe modellezéséek problémájá a Jese-ag modellezéséek problémájává alakíouk á. Hagsúlyozoa csak példaké, ekisük az árazási mag logarimusáak alábbi mozgásegyelé (ehhez hasoló levezeheük pl. a fogyaszás-alapú eszközárazási modellekél, de eljese szabado válaszhauk helyee fakormodell, vagy eseleg likvidiás-alapú modell is): m, ahol 2 (63) ω ~ ( 0, σ ) és σ 2 µ ω 2 2 { σ, σ } L H ahol µ kosas és ω ulla várhaó érékű, auokorrelálala, de feléelese heeroszkedaszikus folyama. Felesszük, hogy ké rezsim közö vál az árazási mag logarimusa: egy alacsoy volailiású (L állapo) és egy magas volailiású (H állapo) közö. A rezsimválás valószíűségé a ql qh (64) Π ql qh ámee-márix írja le. A márix (i,j) eleme aak valószíűségé adja meg, hogy a redszer a j állapoból az i állapoba kerül (Feléelezzük, hogy a márix ké sajáéréke külöböző 66. Ha a redszer az i állapoból idul, akkor k periódus uá az állapook valószíűség-eloszlásá az k eiπ kifejezés adja meg, ahol i e az i-dik 66 A ké sajáérék és λ q L q. H 98

99 99 egységvekor. Mivel az árazási mag logarimusa auokorrelálala, a k periódussal későbbi eloszlása (65) ( ) 2,,,, 0, ~ ahol k k k k k k k m k k σ ω ω µ szeri alakul. Áugorva az ualmas algebrá (66) ( ) ( ) H L L H k L L H L k j j i k k q q k q k k e ahol , λ σ σ λ λ λ σ σ σ σ Π Ami az a (36) és (40) egyeleekből kövekezik, a Jese-ag az alábbi kifejezés valószíűség-eloszlásáól fog függi: (67) ( ) , L H k L L k k k q k σ σ λ λ λ σ σ Az árazási mag logarimusáak egy periódusra számío variaciája aszimpoikusa ( k sebességgel) a (68) ( ) ( ) , lim L H q q L L H L L k k k L H q k σ σ σ σ σ λ σ σ érékhez ar. Ha a modell mide paraméere ismer és kosas, akkor a Jese-ag éréke ulla, amiből kövekeze, hogy érvéyesül a várakozási hipoézis isza formája. Ha em válozik a gazdaság állapoa (leszámíva az L, ill. H állapooka), akkor idővel a piaci szereplők megaulják az ámee-valószíűségek helyes éréké. Mos együk fel, hogy az ámee-valószíűségek em álladók, haem válozak a gazdaság állapoá jellemző makro muaók (em az L, ill. H állapook, haem eseleg az üzlei ciklus) függvéyébe. Ha a gazdaság állapoá leíró szochaszikus folyamaok sacioerek, akkor a gazdaság állapoáak legjobb előrejelzése rövid

100 ávo a makro válozókól (eseleg az üzlei ciklusól) függ, hosszú ávo viszo kosas (a feléel élküli várhaó érékek), ehá az ámee-valószíűségek is kosashoz araak. Ezzel összhagba va Lae (999a) eredméye, miszeri rész-miaidőszakokra em elveheő a várakozási hipoézis a hozamgörbe hosszú végé. Ez úgy érelmezhejük, hogy a vizsgál rész-miaidőszakokba az ámeemárix valószíűségei sacioerek volak ekiheők. Ha a gazdaság állapoa és az ámeevalószíűségek közi kapcsola em eleve ismer, akkor a megfelelő függvéyek a apaszalaokból becsüledők a piaci szereplők számára a racioális aulás elve alapjá. Ha a gazdaság működésé leíró szochaszikus folyama em válozik, akkor a piaci szereplők idővel megaulják, hogy az ámee-valószíűségek hogya függeek a gazdaság makro-állapoáól. Ez már egy sokkal lassabb folyama, mi az előző. Ha eze úlmeőe még alapveőbb válozások is bekövekezek (mi pl. megválozik a jegybak reakciófüggvéye), akkor a aulási folyama álladósulha. A problémá jól illuszrálja, hogy pl. Hamilo (989) az időszak adaai alapjá a kojukúra időszakaiak álagos élearamá 0 egyedévre becsüle, majd em sokkal ezuá kövekeze egy majdem 0 éves kojukúra. Kérdés, hogy mos meyiek becsülé ugyaez a valószíűsége. Külööse agy problémá jelehe a aulásba a rikábba előforduló (magas volailiású) állapohoz arozó ámee-valószíűségek becslése, hisze ha belegodoluk, megleheős ehéz lee becslés adi arra pl., hogy ha mos kezdőde megi egy agy gazdasági világválság, akkor az meddig araa. A leguóbbi 4 évig aro, de azér em valószíű, hogy ez megismélőde. Ami Hamilo (989) példájá is lájuk, három évized adaaiból levohaó kövekezeéseke jeleős mérékbe megválozahaják egyele ovábbi évized öréései. Ha ez összevejük azzal, hogy pl. a GDP adasorok még az Egyesül Államokra voakozóa sem hosszabbak 00 évél, akkor kiderül, hogy meyire icseek felhalmozo kvaiaív ismereeik a gazdaságok működéséről. A sok bizoyalaság és a megfelelő hosszúságú idősorok hiáya ige ág ere yi a pesoproblémákak is. Összességébe arra a kövekezeésre juuk, hogy a várakozásoka célszerű külö folyamaké kezeli, ami az a (42) szerii felírás is muaja. Ez leheővé eszi, hogy az állapoválozók közö legyeek olyaok is, amelyek csak a kamalábakra és olyaok is, amelyek csak a Jese-agra haak. A pézügya 00

101 szokásos kamaláb-modelljeibe ismereeim szeri em fordul elő olya fakor, amely a rövid lejáraú kamalábra közveleül em ha, de a diszkoéyezőre ige. Ez a fakor Jese-fakorak fogjuk hívi. (Természeese em lee akadálya, hogy a modellbe öbb Jese-fakor is legye, de egyszerű elemzési céljaikhoz elegedő lesz egyele ilye fakor bevezeése is. Ha a szochaszikus diszkoéyező elég gyorsa kovergál a haárérékéhez (példákba ez a (67)-(68) szerii képleel megado kovergecia), miközbe maga a haárérék időbe válozik, akkor az empirikus vizsgálaokba relevás lejáraoko 67 a Jese-ag a lejáraól (de em az időől) függeleké modellezheő. 67 Ha a Fed fuds rae egyapi kamaláb, akkor a 3 hóapos kamalábál 90. 0

102 3.5 Egy egyszerű példa A legegyszerűbb példaké ekisük az alábbi ké-válozós modell. Legye r (69) z ξ ahol r a jegybaki kamaláb, ξ pedig a Jese-fakor. Feléelezzük, hogy a Jese-fakor a lejáraól függeleül modellezheő. Az állapoválozók ilye megválaszásából kövekezik, hogy (70) R h, k, e z e z 2 k > 0 Mozgásuka ké egyele írja le, a jegybaki reakciófüggvéy és a feléeleze aulási folyama. Tegyük fel, hogy a jegybak a kamalába egy fix ( r ) éréke igyekszik arai, de ( λ mérékű) simíás alkalmaz: (7) r r λ ( r r ) ζ ahol ζ érelmezheő moeáris poliikai sokké (melyről felesszük, hogy marigál-külöbség). A aulási folyama legye egy egyszerű sacioer AR() folyama, amely kifejezi, hogy az újdoságoka a piac idővel feldolgozza és miuá kiismere az új világo a Jese-fakor aszimpoikusa visszaér a ulla érékhez. (72) ξ ρξ ε Márix formába a modell ehá a (73) z r ( λ) r λ 0 0 r ρ ξ ξ 0 ζ ε alako öli. A hozamgörbe zár megoldása a (43) képle alapjá 02

103 03 (74) r R ξ ρ ρ λ λ, Érdemes megfigyeli, hogy a hosszú lejáraoko a hozamgörbe alakjá (em a szijé) az az állapoválozó fogja meghaározi, amelyikek (abszolú érékbe) agyobb az auokorrelációs együhaója.

104 3.6 A várakozási hipoézis eszjei Ebbe az alfejezebe három olya jelesége vizsgáluk meg, amelyek a várakozási hipoézis apaszalai eluasíására vezeek eddig. A hosszú lejáraú kamalábak úlzo volailiása, illeve úlreagálása moeáris poliikai sokkok eseé, a haáridős kamalábak orzíása a jövőbeli kamalábak előrejelzésekor, valami a Campbell- Shiller regressziók A hozamgörbe hosszú végéek viselkedése A (74) képleből kiolvashaó, hogy a hozamgörbe rövid végé a jegybaki kamaláb, míg a hosszú végé a Jese-ag haározza meg. Ez a jeleség álaláosa is levezeheő a (43) zár formából: (75) lim g j 0 ahol A j () lim d () [ g () d () ] lim A lim d ( ) [ g () d () ] lim A A Ha a redszer eljese sacioer (az A márix sabil, ehá összes sajáéréke az egységkörö belül va), akkor lim A 0, kövekezésképp (76) lim g () lim d () Ez az összefüggés aláámaszja mid Campbell (995), mid pedig Ag és Piazzesi (200). Campbell az 994 avaszi jeleős Fed kamaemelés-sorozao vizsgálva az alála, hogy a haáridős kamalábak 68 sem az emelések időszakába, sem pedig azuá, em a várakozási hipoézisek megfelelőe alakulak. A magyaráza, 68 Bár végele lejáraú kamalábak még az amerikai pézpiaco sem megfigyelheők közveleül, mégis adhaó ezekre becslés, ha a ávoli időhorizora voakozó haáridős kamalábak kovergálak egy érékhez. A végele lejáraú kamalábak e haárérékhez kell araia. 04

105 amelye Campbell is hajlamosabb elfogadi, hogy a piaci szereplők érékelése a bizoyalaságokról válozo meg midké esebe. Hogy lássuk, hogya jeleik meg ez modellükbe, először kiszámíjuk a haáridős rövid lejáraú kamalába: (77) r f f R, ( ) R, R, [( ) g( ) g( ) ] [( ) d ( ) d ( ) ] z [ g () d () ] A z Ha a redszer sacioer és a Jese-ag gyorsa kovergál haárérékéhez (a lejára függvéyébe) akkor az uolsó ag elűik és a haáridős kamaláb csak a haáridős Jese-agól függ. Ha elhayagoljuk a kosas és a Jese-fakor az egyik állapoválozó, akkor aszimpoikusa a haáridős kamalába egyszerűe a f (78) lim r [( ) ( ) ( ) ] lim d d e z ξ z 2 egyele adja meg. Eek féyébe úgy is érelmezhejük a (69)-(74) egyeleekbe bemuao példá, mi ahol a eljes hozamgörbé a pillaayi és a végele ávoli haáridős rövid lejáraú kamaláb haározza meg. Mivel Campbell em a végelebe ve haáréréke vizsgála, haem az 5-0 éves horizoo, ezér még marad valameyi az A márix kövekezésképp a jegybaki kamaláb haásából. Ezér a kamaláb-emelések uá is marad émi arós haás ezeke a lejáraoko. Egyszerű, kis példáka véve, ha feléelezzük, hogy havi szie a λ paraméer éréke 0,97 (ami empirikus vizsgálaokba gyakori eredméy), akkor 25 bázispoos emelés haása 5 éves horizoo 20 bázispoos emelkedés (Campbell 30 bázispoál kisebb érékről ír), feléve, hogy a Jese-ag eljese visszaér korábbi érékéhez. Miél agyobb λ éréke, aál agyobb a haás a véges lejáraoko, de a végele időhorizoo eől függeleül elűik, ami az Evas és Marshall (998) is kimuaja. Ami fei egyszerű példák eseébe bemuauk - a hosszú lejáraoko a hozamgörbe alakjá (em a szijé) az az állapoválozó fogja meghaározi, amelyikek (abszolú érékbe) agyobb az auokorrelációs együhaója. Ag és Piazzesi (200) úgy alála, hogy aak a láes válozóak, amelyik a hozamgörbe hosszú végéek variaciájá domiálja az auokorrelációs együhaója 0,99 körül 05

106 va, ehá a hosszú ávú aulási folyama működéséről a hozamgörbe hosszú végéek aulmáyozásából szerezheük ismereeke. A Jese-fakor ilye magas auokorrelációs együhaója az voja maga uá, hogy az iovációkak ige hosszú ávo femarad a haása. Ebből az is kövekezik, hogy a jelelegi hozamgörbe akár öbb évizeddel ezelői egyszeri eseméyek haásá is aralmazhaja a várakozások alakulásába beölö szerepükö kereszül, ha pedig ez így va, akkor olya rika eseméyek is hosszú ávo hahaak, amelyek előfordulási gyakoriságáak poos becslésére még yilvávalóa em állha redelkezésre kellő hosszúságú idősor. Szélsőséges példá véve, ami egyszer megöré az elmúl 20 évbe, az megöréhe a kövekező 20 évbe is, de hogy eek poosa mekkora a valószíűsége, az gyakorlailag em becsülheő. Ilye eseméy ermészeese em csak kokré eseméy lehe, haem elérő szochaszikus folyamaokkal (pl. volailiással) jellemezheő időszakok beköszöése, illeve elmúlása is. Ez alapjá megfogalmazajuk az a hipoézis, hogy a hozamgörbe magyarázaához em lehe elég a racioális várakozások feléelezése, szükségképpe be kell kapcsoli a modellezésbe a racioális aulás folyamaá A haáridős kamalábak, mi a kamalábak előrejelzői Defiíció szeri a haáridős kamaláb a hozamgörbéből a (28) képle szeri számolhaó: mr, m R R, f (79) m, ( ) m, Behelyeesíve a zár alakú megoldásoka a kamalábak helyére: f (80) mr [( m) g( m) g( ) ] [( m) g ( m) g ( ) ] z, m, Ezzel szembe az időszakkal későbbi m lejáraú kamaláb legjobb előrejelzése alapjá: (8) me mg { Rm } mg( m) mg, ( m) E { z } ( m) mg ( m)( I A ) θ mg ( m) A z 06

107 Összehasolíva a ké eredméy az lájuk, hogy a hiba, ami a haáridős kamalábbal való előrejelzéskor elköveük, em feléleül függ azokól a fakorokól, amelyek a jegybaki kamalába meghaározzák. Elhayagolva a kosas és behelyeesíve a zár alakú megoldás f (82) R E { R }, m, ( m) d ( m) d ( ) m, d m ( m) z A Bár modellük alapveőe diszkré idejű, logikailag mégis megehejük, hogy m éréké ullához közelísük és kiszámísuk a pillaai kamaláb előrejelzési hibájá, mi haáréréke. Az eredméy deriválak formájába írhaó: f (83) [ R E { R }] h() lim, m 0, m, m [ ] h() 0 [ d () ] d () 0 z A A várakozási hipoézis visszayeri érvéyességé a véges lejáraoko, ha az állapovekor együhaója azoosa ulla. Egyszerű példáka véve alapul, a kosas agoka elhayagoljuk. Feléelezzük, hogy a Jese-fakor auoóm folyamao köve, ehá csak sajá idősorából jelezheő előre, viszo a külöféle lejáraokhoz arozó együhaók éréké egedjük eléri, ehá legye ξ (84) és d ρξ () ε 0 () d Az állapovekor együhaója ulla, ha feáll a (85) d() [ ] d() 0 ρ egyelőség. Ez akkor igaz, ha aláluk olya d () 0 és c kosasoka, amelyekre () d 0 (86) d() ρ c l ρ 07

108 Hogy ez megfelelő függvéyforma lehe-e a Jese-fakor együhaóiak becslésére, arra a apaszala adha válasz A Campbell-Shiller regressziók Az egyik legfoosabb cáfolaa a várakozási hipoézisek a Campbell-Shiller (99) regressziók, ezér mos ezeke vizsgáljuk meg. Mivel beüke legikáb a hozamgörbe hosszú vége érdekel, ahol a Jese-fakor szerepe a modell szeri agy, ezér csak a másodikkal foglalkozuk (aszimpoikusa a ké egyele egyébké is ekvivales). m m (87) R, m R, α β ( R, Rm, ) ε m Nem befolyásolja az együhaók éréké, ha az egyele midké oldalá a időpora voakozó feléeles várhaó éréke számoluk. Behelyeesíve a modell szerii zár formáka és összevova a kosasoka: m m m (88) g ()( A I) z cos. βˆ [ g () g ( m) ] z Ebből kövekezik, hogy m m m (89) g ()( A I) βˆ [ g () g ( m) ] Campbell és Shiller (99) em sacioer, koiegrál kamalábakkal számol (ami Egsed és Taggaard (994) is aláámaszo), így mi is így járuk el. Alappéldáka a λ esere alkalmazva 69 az kapjuk, hogy ρ (90) R r ξ ρ, λ λ 69 Ebbe az esebe 08

109 Behelyeesíve ez alapjá (89)-ba: ρ ρ ρ (9) [ ] β [ ] 0 0 ˆ m m 0 ρ m m ρ ρ 0 0 ρ m amiből kövekezik, hogy m (92) βˆ ρ ( ρ ) m ρ m ρ ρ ρ ρ m m Az aszimpoikus érék végelebe arása eseé (93) lim βˆ ( ρ)( m) ami egy egaív meredekségű egyees az lejára függvéyébe. Campbell és Shiller mérései alapjá az együhaó éréke hóapál 3., 20 hóapál 5..9 Ebből kövekezőe a becslés ρ érékére Ami lájuk, a Jese-fakor ige közel va az I() folyamahoz, ezér sem úlságosa meglepő, hogy Evas és Lewis (994) em uda eluasíai az hozamgörbe meredekségéek sacioeriásá (ami Campbell és Shiller feléeleze) 7. Felmerül ehá, hogy a kamalábak eseleg em csak azér bizoyulhaak iegrál folyamaokak az empirikus eszekbe, mer a jegybak reakciófüggvéye szeri kell aak leiük, haem mer a Jese-fakor közel iegrál folyama. Ez az kell, hogy jelese, hogy a auladó folyamaokba vaak örések. Ilyeek leheek pl. jeleős, diszkré válozások a jegybak reakciófüggvéyébe (mi az Evas és Lewis is felvei), vagy a gazdaságo érő egyéb srukurális sokkok. 70 Campbell és Shiller havi adaokkal dolgozik és az idéze ké becslés az m esere voakozik. 7 Ha Campbell és Shiller (a) áblázaából kiszámíjuk az évél hosszabb lejáraokra adódó összes β becslés, akkor a 47 ada közül keő is fölöe va az -ek, ami durvá úgy is fogalmazhaó, hogy 4 százalékos szigifikacia szie em eluasíhaó az egységgyök. 09

110 0 McCallum (994), Hsu és Kugler (997), valami Kugler (998) azzal próbálja magyarázi a várakozási hipoézis empirikus kudarcá, hogy a jegybak a hozamgörbe meredekségére reagál, amikor a rövid lejáraú kamalába meghaározza. (94) ( ) p r R r r ζ λ σ, Továbbra is fearjuk a Jese-fakor meghaározó AR() folyamao. 72 Az ebbe az esebe kicsi boyolulabb márix-jelölés helye legye (95) () () () r r g R ξ γ γ ξ, Behelyeesíve ez alapjá a reakciófüggvéybe szereplő hosszabb lejáraú kamalába: (96) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) r r p g p r p ζ σ ξ λγ γ λ ξ Bár McCallum még csak haáreseké, Kugler már kizárólagosa csak az egységgyök folyama eseé árgyalja, ehá amikor σ. Ha ez elfogadjuk, akkor udjuk, hogy () r γ mide -re, mivel koiegrálak a kamalábak [ ] koiegráló vekorral, ehá (97) ( ) r r p ε ζ ξ ρ ξ λγ ξ ebből kövekezik, hogy (98) ( ) ( ) p r p r ε ζ λγ ξ ρ ρλγ ξ ξ ξ 0 0 Az egyele válozás a korábbiakhoz képes, hogy i már a Jese-fakor és a Jese-fakor befolyásoló sokkok is befolyásolják a jegybaki kamalába, emcsak 72 Maga McCallum is már AR() ípusú kockázai prémiumo éeleze fel a várakozási hipoézisbe.

111 a moeáris poliikai sokkok. Taralmilag ez az jelei, hogy a hozamgörbe meredekségére reagálva a jegybak éha piaci pleykákak is felülhe. A red kedvéér kiírjuk a zár megoldás: (99) R, r ρ ρ [ λγ ξ ( p) ] λγ ( p) [ ] ξ ξ de ez ermészeese még em eljese explici megoldás. Az explici megoldáshoz ki kell fejezük ( p) γ éréké, ami úgy uduk megei, ha helyére p- ξ helyeesíük, majd a kapo együhaó egyelővé esszük γ ( p) ξ -vel. Foos megjegyezük, hogy λ 0 eseé visszakapjuk az előző példá, amikor a jegybak még em reagál a hozamgörbe meredekségére. Mivel o is sikerül produkáluk a Campbell-Shiller regressziókba becsül paraméer aomáliájá, az kell modjuk, hogy a magyaráza léyege em a jegybak reakciófüggvéyébe va, haem sokkal ikább a Jese-fakorba, ami McCallumál az AR() ípusú kockázai prémiumba jeleik meg.

112 3.7 A Jese-fakor és a szochaszikus diszkoéyező rekosruálása Cochrae és Piazzesi (200) külöféle ( éve úli) lejáraú kövéyek arási periódusra számío hozamá próbálja előrejelezi a pillaayi és a haáridős rövid ( éves) lejáraú kamalábak segíségével. 73 Regressziójuk sajá jelölésüke haszálva a kövekezőképpe éz ki: 5 [ R R ] cos. β [ kr ( k ) R ] ε, (200) R ( ),,,, k k, k k, ahol β, k a becsüledő paraméerek. Ezeke a regresszióka 4 külöböző érékre (2-5 év) fuaják le. Először a -időpora voakozó feléeles várhaó éréke számíuk (ez em befolyásolja a paraméerbecslések éréké), majd (a kosas elhayagolva) megfelelejük egymásak a paraméereke: (20) [ g ( ) ( ) g ( ) A g ( ) ] β [ kg ( k) ( k ) g ( k )] 5 k, k A kamalábak paraméerei behelyeesíve (43) alapjá a Jese-ag paraméereivel: (202) 5 k [ A ] [ d ( ) ( ) d ( ) A d ( ) ] β kd () k ( k ) d ( k ) [ g () d ()] k, k 73 A regresszióka az időszakra fuaák. 2

113 Tegyük fel, hogy lefuajuk ezeke a regresszióka (ami az Cochrae és Piazzesi is ee) valameyi lejárara -ől -ig 74. Ha feléelezzük, hogy a redszerbe s állapoválozó va, akkor az összes paraméerek száma:. az A márix aralmaz 2 s eleme 2. a Jese-ag külöféle lejáraokhoz arozó d () k együhaóvekoraiak elemszáma s 3. az periódus lejáraú kamaláb g () együhaóvekora aralmaz s paraméer 4. Az álaláosság csökkeése élkül megköhejük, hogy g () e és d () e 2, ehá a meghaározadó paraméerek száma csökke 2s-sel 2 Összese ehá a meghaározadó paraméerek száma s ( )s. Ha az egyes regressziókba az időhorizoig erjedő haáridős kamalábaka vesszük figyelembe, akkor ( ) függele paraméerre kapuk becslés (lásd 74. lábjegyze). Az állapoválozók maximális száma függvéyébe meghaározhaó az 2 (203) s ( ) s ( ) feléel alapjá, ahol s, ermészeese egész szám kell, hogy legye. Az 5 esere ez legfeljebb ké állapoválozó eged meg, mivel 2 a szükséges paraméerek száma, és 6 paraméerre kapuk becslés. Mivel így marad ovábbi égy becsül paraméerük, em élük a () ieráció iduló éréke. g e és d () e 2 megszoríásokkal, csak mi az Az A márix és a öbbi paraméer számío érékei az alábbi áblázaok muaják: 74 Az első ezek közül ermészeese degeerál, hisze az a jelelegi rövid lejáraú kamalába magyarázza sajá magával és a haáridős kamalábakkal, ehá a becsül együhaók vekora egységvekor lesz. 3

114 . ábláza. állapoválozó 2. állapoválozó g () d () d () d () d () d () A jegybaki kamaláb és a Jese-fakor paraméerei Cochrae és Piazzesi (200) alapjá becsül érékek 2. ábláza. állapoválozó 2. állapoválozó. állapoválozó állapoválozó Az állapoválozók auokorreláció-márixa Cochrae és Piazzesi (200) alapjá becsül érékek Az eredméyek váralaul közel állak ahhoz, ami egyszerű kis példákba feléelezük. Ezek alapjá megfelelehejük a jegybaki kamalába az. állapoválozóak, a Jese-fakor pedig a 2. állapoválozóak. A modellből a jegybaki reakciófüggvéy em ideifikálhaó, mivel égy paraméer ( ρ, λ, σ, p) kellee meghaározi három becsül érék alapjá. Nyilvávaló, hogy a σ felevéssel em élheük, de az modhajuk, hogy a jegybak a kamalába jeleős mérékbe simíja és em elhayagolhaó mérékbe reagál a őle függeleül alakuló Jese-fakorra (valószíűleg a hozamgörbe meredekségé kereszül). A 4

115 Jese-fakor gyakorlailag I() folyamaak ekiheő 75, ez a paraméer az egyele, amely ömagába is ideifikál ( ˆ ρ. 04 éves szie) Természeese ovábbi, kierjedebb vizsgálaok leheővé eék, hogy e csak 2- válozós modell rekosruálhassuk, illeve megállapíhassuk a d () vekorok második eleméek haáréréké. 76 A Jese-fakor rekosruálása akkor eljes, ha em csak az alakulásá meghaározó folyama ulajdoságai ismerjük (első sorba korrelációjá más válozókkal, illeve auokorrelációs együhaójá), haem a miaidőszak mide egyes időpojához mide lejárara meg udjuk haározi az éréké. Ehhez láes válozós módszereke kell alkalmazi, melyre jó példa Ag és Piazzesi (200) modellje, ahol 5 válozó (és késleleejeike) foglalak VAR-srukurába. A Cochrae és Piazzesi (200) számíások alapjá adódó korrelációs és auokorrelációs együhaók ideifikációs megszoríásokké alkalmazhaók egy ilye becslésél. Midez ovábbi kuaás émája lehe. Ami a (42)-(43) képleekből láhaó, d () k és h () k együhaók megfelelő megválaszásával bármilye hozamgörbe előállíhaó (leszámíva az periódus lejárao, ahol a g () és g () paraméerek a mérvadóak). Mi már feebb részleesebbe szóluk erről, ayiba hasolí a megközelíés a Heah-Jarrow- Moro (992) megközelíésre, hogy ez is egy piaci kamaláb-modell, viszo ayiba elér, hogy em éelezi fel az állapoválozók feléeles valószíűségeloszlásáak ormaliásá. Ezér i éppe fordío logika is érvéyesülhe: kiidulva a d () k és h () k együhaók olya megválaszásából, amely megfelelőe 75 Véleméyük szeri ez az becslési időszakba bekövekeze srukurális örésekek köszöheő. 76 I, csak ayi láuk a áblázaból, hogy az -5 éves horizoo csökkeő ami peso-problémával kombiál rezsimváló modellük alapjá is váruk de kérdés, hogy a haárérék ulla-e, avagy poziív szám. Meglepő módo az. Táblázaba szereplő 5 ada legjobba b haváyfüggvéyel közelíheő, em pedig expoeciális ( ) b a alakú ae b, avagy hiperbolikus ( a ) függvéyel. Még ezekél is rosszabbul eljesí a (90) szerii függvéyforma, de ermészeese ez az adameyiség em ad alapo részleesebb elemzésre. 5

116 reprodukálja a apaszalai hozamgörbé, a Jese-fakor (35) szerii defiíciója alapjá az eseek agy részébe rekosruálhaó a szochaszikus diszkoéyező eloszlása. (Elméleileg mide uduk az eloszlásról - a várhaó éréke kivéve, ha ismerjük az összes cerális momeumo és a momeumokból, mi Tayloregyühaókból képze ú. geeráorfüggvéy az egységsugarú körö belül koverges. Sajos ez uóbbi feléel öbb a gyakorla szempojából foos esebe em eljesül. Ilye pl. a logormális eloszlás.) 6

117 4 Kövekezeések és leheséges kuaási iráyok A hozamgörbe alakulásáak egyik meghaározó éyezője a várakozások alakulása, ami racioális aulási folyamao is jelehe. A redelkezésre álló apaszalai eredméyek egyelőre em elégségesek aak eldöésére, hogy a hozamgörbe alakulása magyarázhaó-e puszá a gazdaság állapoáak racioálisa vár válozásaival, avagy szükséges a beáll válozások feldolgozásáak aulási folyamaá is bekapcsoli. A Jese-fakor ige lassú lecsegése (közel egységgyök folyama) arra ual, hogy olya, ige riká előforduló eseméyek előfordulásáak leheősége is haással lehe a hozamgörbe alakulására, amelyek előfordulási gyakoriságáak poos becslésére még yilvávalóa em állha redelkezésre kellő hosszúságú idősor. Midez újabb érve szolgála a racioális aulási folyama modellezéséek szükségességéhez. I csak a legegyszerűbb ké-válozós modellek elemzésével foglalkozuk, első sorba szemléleési céllal. Bár az eredméyek meglepőe összhagba vaak a valósággal, yilvávalóa em ekiheőek ezek a hozamgörbe megfelelő modelljéek. Kierjedebb vizsgála szükséges a makrogazdasági válozók (ifláció, kibocsáás, sb.) bekapcsolására, ami leheővé eé a raszmissziós mechaizmusra koceráló VAR-irodalom folyaásá és szorosabb összekapcsolásá a hozamgörbe egészéek modellezésével. Ha sikerül rekosruáli a Jese-fakoroka, majd azokból a szochaszikus diszkoéyezők eloszlásá, akkor alkalmazhaóvá válik a modell a kamalábak származékos ermékeiek árazására is, aélkül, hogy feléelezék a kamalábaka alakíó iovációk feléelese ormális eloszlásá. Mideképpe megoldadó problémá jele, hogy modellükbe ics kezelve a omiális kamalábak ulla alsó korlája. Ez is kidolgozásra vár. Az alkalmazo affi kamaláb-modell elemzése aláámaszja az a hagyomáyos ézee, hogy a hosszú lejáraú kamalábak foos iformáció hordozak a gazdaságról, viszo kiderül, hogy ehhez valóba a agyo hosszú (leheőség szeri a végele) lejárao kell ekiei. Eze a poo külö kuaási iráy lehe, pl. az 7

118 Európai Uió ú. maasrichi kovergecia-kriériumaiak egyike, a hosszú lejáraú kamalábak kovergeciája. A feléel úgy szól, hogy a Gazdasági és Moeáris Uióhoz csalakozi kíváó országba a hosszú lejáraú kamaláb em haladhaja meg 2 százalékál jobba a referecia éréke. A referecia érék a három legalacsoyabb iflációjú agország hosszú lejáraú kamalábáak ákaga. Nem része a feléelek, hogy a hosszú lejára poosa meyi is jele, mivel országoké válozik az állampapír piaco forgalmazo leghosszabb lejára. Fei elemzésük féyébe, amely kimuaa, hogy a jegybak hajlama a rövid lejáraú kamalábak simíására jeleőse befolyásolja a moeáris poliika haásá a hosszabb lejáraoko, az kell modauk, hogy valójába mide országba ki kellee számíai a Jese-fakoroka és arra kellee megköveeli a kovergeciá. Ha igaz az, hogy a végele lejárao már csak a várakozások bizoyalasága ha, akkor ulajdoképpe ez a láes válozó válik a legfoosabb kovergecia kriériummá (ami helye a maasrichi szerződésbe szereplő hosszú lejáraú kamalábak csak közveleül mérheő proxyk) hisze azok az országok arozak igazá egy gazdaságba, amelyek piacai még a várakozások is azoosak, mivel még az őke érő sokkok is azoosak (ami az egy opimális pézügyi uióól meg szokás köveeli). Csalakozi kíváó országok eseébe a csalakozás kiűzö időpojáak hielességé mérhei a megfelelő haáridős Jese-fakor kovergeciája. Az Egyesül Államok jegybak örvéye, a Federal Reserve Ac három cél űz a jegybak elé. Ezek közül keő e szer agyobb közismerségre: az ifláció leszoríása és a eljes foglalkozaás elősegíése. A harmadik a hosszú lejáraú kamalábak alacsoy szie arása. Hasolóa az EU maasrichi kamalábkriériumához, i is feléelezhejük, hogy a eveze kamaláb csak proxyké szolgál, és a valódi cél a gazdasági bizoyalaságok csökkeése, ami egy jegybak számára igazá szép és emes felada. 8

119 IRODALOMJEGYZÉK AMATO, J.D. ad LAUBACH, Th. [999]: The Value of Ieres Rae Smoohig: How he Privae Secor Helps he Federal Reserve. FED of Kasas Ciy, Ecoomic Review. Q ANG, A. ad BEKAERT, G. [998]: Regime Swiches i Ieres Raes. NBER Workig Paper, ANG, A. ad PIAZZESI, M. [200]: A No-Arbirage Auoregressio of Term Srucure Dyamics wih Macroecoomic ad Lae Variables. NBER Workig Paper, APEL, M. ad JANSSON, P. [999]: A Parameric Approach for Esimaig Core Iflaio ad Ierpreig he Iflaio Process. Sveriges Riksbak Workig Paper Series, No. 80. BACKUS, D.K., FORESI, S. ad TELMER, CH. I. [996]: Affie Models of Currecy Pricig. NBER Workig Paper, BACKUS, D.K., FORESI, S. ad TELMER, CH. I. [998]: Discree-Time Models of Bod Pricig. NBER Workig Paper, BAGLIANO, F.C. ad FAVERO, C.A. [998]: Measurig Moeary Policy wih VAR Models: A Evaluaio. Europea Ecoomic Review, BALDUZZI, P., BERTOLA, G. ad FORESI, S. [997]: A Model of Targe Chages ad he Term Srucure of Ieres Raes. Joural of Moeary Ecoomics, vol.39: BALDUZZI, P., BERTOLA, G., FORESI, S. ad KLAPPER, L. [997]: Ieres Rae Targeig ad he Dyamics of Shor-Term Raes. NBER Workig Paper, BATINI, N. ad HALDANE, A.G. [999]: Forward-Lookig Rules for Moeary Policy. i: Taylor, J.B. (ed.) Moeary Policy Rules; The Uiversiy of Chicago Press, Chap.4. BAXTER, M. ad KING, R.G. [998]: Measurig Busiess Cycles: Approximae Bad-Pass Filers for Ecoomic Time Series. Mauscrip. 9

120 BEKAERT, G. ad HODRICK, R.J. [200]: Expecaios Hypohesis Tess. Joural of Fiace. BEKAERT, G. ad HODRICK, R.J. ad MARSHALL, D.A. [997]: O Biases i Tess of he Expecaios Hypohesis of he Term Srucure of Ieres Raes. Joural of Fiacial Ecoomics, BEKAERT, G., HODRICK, R.J. ad MARSHALL, D.A. [200]: "Peso Problem" Explaaios for Term Srucure Aomalies. Joural of Moeary Ecoomics. BERNANKE, B.S. ad BLINDER, A.S. [992]: The Federal Fuds Rae ad he Chaels of Moeary Trasmissio. America Ecoomic Review, BLACK, F., DERMAN, E. ad TOY, W. [990]: A Oe-Facor Model of Ieres Raes ad is Applicaio o Treasury Bod Opios. Fiacial Aalyss Joural, BLINDER, A.S. [997]: Wha Ceral Bakers Could Lear from Academics ad Vicaversa. Joural of Ecoomic Perspecives, vol., Number2, pp 3-9. BOLLERSLEV, T., CHOU, R.Y. ad KRONER, K.F. [992]: ARCH Modelig i Fiace: A Review of he Theory ad Empirical Evidece. Joural of Ecoomerics, S / BOSSAERTS, P. [998]: O Raioaliy i Fiacial Markes. Mauscrip. BOSSAERTS, P. [200]: The Paradox of Asse Pricig. Priceo Uiversiy Press, forhcomig. BRYAN, M.F. ad CECCHETTI, S.G. [999]: The Mohly Measureme of Core Iflaio i Japa. IMES Discussio Paper Series, No.99-E-4. BUITER, W.H. [998]: The Cocep ad Measureme of Domesically Geeraed Iflaio. Mauscrip. BURNS, A.F. ad MITCHELL, W.C. [946]: Measurig Busiess Cycles. NBER Workig Paper. CAMPBELL, J.Y. [995]: Some Lessos from he Yield Curve. Joural of Ecoomic Perspecives,

121 CAMPBELL, J.Y. ad COCHRANE, J.H. [999]: Explaiig he Poor Performace of Cosumpio-Based Asse Pricig Models. NBER Workig Paper CAMPBELL, J.Y. ad SHILLER, R. [99]: Yield Spreads ad Ieres Rae Movemes: A Bird's Eye View. Review of Ecoomic Sudies, CAMPBELL, J.Y., LO, A.W. ad MACKINLAY, A.C. [997]: The Ecoomerics of Fiacial Markes. Priceo Uiversiy Press. CHEUNG, Y-W. ad CHINN, M.D. [996]: Furher Ivesigaio of he Ucerai Ui Roo i GNP. NBER Techical Workig Paper Series, 206. CHRISTIANO, L.J., EICHENBAUM, M. ad EVANS, CH. [999]: Moeary Policy Shocks: Wha Have We Leared ad o Wha Ed. i: Taylor, J.B. & Woodford, M. (eds.) Hadbook of Macroecoomics, Norh Hollad, Chap.2. CLARIDA, R.H., GALÍ, J. ad GERTLER, M. [997]: Moeary Policy Rules i Pracice: Some Ieraioal Evidece. CEPR, 750. CLARIDA, R.H., GALÍ, J. ad GERTLER, M. [998]: Moeary Policy Rules ad Macroecoomic Sabiliy: Evidece ad some Theory. NBER Workig Paper CLARIDA, R.H., GALÍ, J. ad GERTLER, M. [999]: The Sciece of Moeary Policy: A New Keyesia Perspecive. NBER Workig Paper 747. COCHRANE, J.H. [999]: New Facs i Fiace. FED of Chicago Ecoomic Perspecives, COCHRANE, J.H. [200]: Asse Pricig. Priceo Uiversiy Press. COCHRANE, J.H. ad PIAZZESI, M. [200]: Bod Risk Premia. Mauscrip. COX, J.C., INGERSOLL, J.E. ad ROSS, S.A. [985]: A Theory of he Term Srucure of Ieres Raes. Ecoomerica, CUTHBERTSON, K. [996]: Quaiaive Fiacial Ecoomics. Joh Wiley & Sos. DAI, Q. ad SINGLETON, K.J. [200]: Expecaio Puzzles, Time-Varyig Risk Premia, ad Dyamic Models of he Term Srucure. NBER Workig Paper 867. DAVIDSON, J.E.H. ad HENDRY, D.F. ad SRBA, F. ad YEO, S. [978]: Ecoomeric Modellig of he Aggregae Time-Series Relaioship bewee 2

122 Cosumers' Expediure ad Icome i he Uied Kigdom. Ecoomic Joural 88, DEUTSCHE BUNDESBANK [999]: Taylor Ieres Rae ad Moeary Codiios Idex. Deusche Budesbak Mohly Repor, April DIEBOLD, F.X., LEE, J.-H. ad WEINBACH, G.C. [994]: Regime Swichig wih Time-Varyig Trasiio Probabiliies. i: Hargreaves, C.P. (ed.) Nosaioary Time Series Aalysis ad Coiegraio; OP, DUFFIE, D. [996]: Dyamic Asse Pricig Theory. Priceo Uiversiy Press. DUFFIE, D. ad KAN, R. [993]: A Yield-Facor Model of Ieres Raes. Mahemaical Fiace 6, DUPASQUIER, CH., GUAY, A. ad ST-AMANT, P. [997]: A Compariso of Aleraive Mehodologies for Esimaig Poeial Oupu ad he Oupu Gap. Workig Paper, Bak of Caada, ELLINGSEN, T. ad SÖDERSTRÖM, U. [998]: Moeary Policy ad Marke Ieres Raes. Sveriges Riksbak Workig Paper Series, No.56. ENGSTED, T. ad TANGGAARD, C. [994]: Coiegraio ad he US Term Srucure. Joural of Bakig ad Fiace, ESTRELLA, A. ad MISHKIN, F.S. [999]: Rehikig he Role of NAIRU i Moeary Policy: Implicaios of Model Formulaio ad Uceraiy. i: Taylor, J.B. (ed.) Moeary Policy Rules; The Uiversiy of Chicago Press, Chap.9. EVANS, CH.L. ad MARSHALL, D.A. [998]: Moeary Policy ad he Term Srucure of Nomial Ieres Raes: Evidece ad Theory. Caregie-Rocheser Coferece Series o Public Policy, 53-. EVANS, G.W. ad HONKAPOHJA, S. [200]: Learig ad Expecaios i Macroecoomics. Priceo Uiversiy Press. EVANS, M.D.D. [996]: Peso Problems: Their Theoreical ad Empirical Implicaios. i: G.S.Maddala ad C.R. Rao, eds., Hadbook of Saisics, Vol.4., Elsevier Sciece, B.V., Chaper 2. 22

123 EVANS, M.D.D. ad LEWIS, K.K. [994]: Do Saioary Risk Premia Explai I All?. Joural of Moeary Ecoomics, FAVERO, C.A. [2000]: Applied Macroecoomerics. Oxford Uivesiy Press. FAVERO, C.A. [200]: Does Macroecoomics Help Udersad he Term Srucure of Ieres Raes?. Mauscrip. FUHRER, J.C. [996]: Moeary Shifs ad Log-Term Ieres Raes. Quarerly Joural of Ecoomics, GOLDFELD, S.M. ad QUANDT, R.E. [973]: A Markov Model for Swichig Regressios. Joural of Ecoomerics, 3-6. GOODHART, C.A.E. [996]: Why Do Moeary Auhoriies Smooh Ieres Raes. LSE Fiacial Markes Group Special Paper, No.8. GRANGER, C.W.J. [98]: Some Properies of Time Series Daa ad heir Use i Ecoomeric Model Specificaio. Joural of Ecoomerics, HALL, R.E. [978]: Sochasic Implicaios of he Life Cycle - Permae Icome Hypohesis: Theory ad Evidece. Joural of Poliical Ecoomy. HAMILTON, J.D. [988]: Raioal Expecaios Ecoomeric Aalysis of Chages i Regime: a Ivesigaio of he Term Srucure of Ieres Raes. Joural of Ecoomic Dyamics ad Corol, HAMILTON, J.D. [989]: A New Approach o he Ecoomic Aalysis of Nosaioary Time Series ad he Busiess Cycle. Ecoomerica, HAMILTON, J.D. [994]: Time Series Aalysis. Priceo Uiversiy Press. HAMILTON, J.D. ad KIM, D.H. [2000]: A Re-Examiaio of he Predicabiliy of Ecoomic Aciviy Usig he Yield Spread. NBER Workig Paper, HANSEN, L.P. ad SARGENT, T.J. [993]: Seasoaliy ad Approximaio Errors i Raioal Expecaios Models. Joural of Ecoomerics, v.55,2-55. HAYASHI, F. [2000]: Ecoomerics. Priceo Uiversiy Press. HEATH, D., JARROW, R.A. ad MORTON, A. [992]: Bod Pricig ad he Term Srucure of Ieres Raes: A New Mehodology. Ecoomerica,

124 HELLER, R. [988]: Implemeig Moeary Policy. FED Bullei, HICKS, J.R. [939]: Value ad Capial. Oxford Uivesiy Press. HIGO, M. ad NAKADA, S.K. [998]: How Ca We Exrac a Fudameal Tred from a Ecoomic Time Series?. Isiue for Moeary ad Ecoomic Sudies, Bak of Japa. HO, T.S.Y. ad LEE, S-B. [986]: Term Srucure Movemes ad Pricig Ieres Rae Coige Claims. Joural of Fiace, HOLMSTRÖM, B. ad TIROLE, J. [200]: LAPM: A Liquidiy-Based Asse Pricig Model. Joural of Fiace 56. HSU, CH. ad KUGLER, P. [997]: The Revival of he Expecaios Hypohesis of he US Term Srucure of Ieres Raes. Ecoomics Leers, JAMES, J. ad WEBBER, N. [2000]: Ieres Rae Modellig. JWS. JOHANSEN, S. [988]: Saisical Aalysis of Coiegraio Vecors. Joural of Ecoomic Dyamics ad Corol, KUGLER, P. [998]: The Term Premium, Time Varyig Ieres Rae Volailiy ad Ceral Bak Policy Reacio. Mauscrip. KUTTNER, K.N. [200]: Moeary Policy Surprises ad Ieres Raes: Evidece from he Fed Fuds Fuures Marke. Joural of Moeary Ecoomics, LANGE, J., SACK, B. ad WHITESELL, W. [200]: Aicipaio of Moeary Policy i Fiacial Markes. FED Board of Goverors, Fiace ad Ecoomics Discussio Paper. LANNE, M. [999a]: Near Ui Roos ad he Predicive Power of Yield Spreads for Chages i Log-Term Ieres Raes. Review of Ecoomics ad Saisics, LANNE, M. [999b]: Tesig he Expecaios Hypohesis of he Term Srucure of Ieres Raes i he Presece of a Poeial Regime Shif. Bak of Filad Discussio Paper, 20/99. 24

125 LUCAS, R.E. JR. [976]: Ecoomeric Policy Evaluaio: A Criique. i: Bruer, K. & Melzer, A. (eds.) The Phillips Curve ad he Labor Markes, Amserdam, Norh-Hollad. LUCAS, R.E. JR. [978]: Asse Prices i a Exchage Ecoomy. Ecoomerica, LÜTKEPOHL, H. ad REIMERS, H.-E. [992]: Impulse Respose Aalysis of Coiegraed Sysems. Joural of Ecoomic Dyamics ad Corol, MANKIW, N.G. ad MIRON, J.A. [986]: The Chagig Behavior of he Term Srucure of Ieres Raes. Quarerly Joural of Ecoomics, MCCALLUM, B.T. [994]: Moeary Policy ad he Term Srucure of Ieres Raes. NBER Workig Paper, MCCALLUM, B.T. [999]: Issues i he Desig of Moeary Policy Rules. i: Taylor, J.B. & Woodford, M. (eds.) Hadbook of Macroecoomics, Norh Hollad, Chap.23. MCCALLUM, B.T. [2000]: Aleraive Moeary Policy Rules: A Compariso wih Hisorical Seigs for he Uied Saes, he Uied Kigdom, ad Japa. NBER Workig Paper, MCCALLUM, B.T. ad NELSON, E. [997]: A Opimizig IS-LM Specificaio for Moeary Policy ad Busiess Cycle Aalysis. NBER Workig Paper, MCCULLOCH, J.H. [990]: U.S. Term Srucure Daa, , Appedix i: Friedma, B.M. ad Hah, F.H. (eds.) Hadbook of Moeary Ecoomics Vol.. Chaper 3. Elsevier, Norh Hollad. MCCULLOCH, J.H. ad KWON, H.-C. [993]: U.S. Term Srucure Daa, Ohio Sae Uiversiy, workig paper, o MUTH, J.F. [96]: Raioal Expecaios ad he Theory of Price Movemes. Ecoomerica. NELSON, CH.R. ad PLOSSER, CH.I. [982]: Treds ad Radom Walks i Macroecoomic Time Series: Some Evidece ad Implicaios. Joural of Moeary Ecoomics,

126 NIPPANI, S., LIU, P. ad SCHULMAN, C.T. [200]: Are Treasury Securiies Free of Defaul?. Joural of Fiacial ad Quaiaive Aalysis, ONATSKI, A. ad STOCK, J.H. [2000]: Robus Moeary Policy uder Model Uceraiy i a Small Model of he U.S. Ecoomy. NBER Workig Paper, ORPHANIDES, A. [997]: Moeary Policy Rules Based o Real-Time Daa. FED Board of Goverors, mauscrip. ORPHANIDES, A. [998]: Moeary Policy Evaluaio wih Noisy Iformaio. FED Board of Goverors, Fiace ad Ecoomics Discussio Paper. QUANDT, R.E. [958]: The Esimaio of Parameers of Liear Regressio Sysem Obeyig Two Separae Regimes. Joural of he America Saisical Associaio, ROGOFF, K. [980]: Essays o Expecaios ad Exchage Rae Volailiy. Upublished PhD Disseraio MIT. ROTEMBERG, J.J. ad WOODFORD, M. [998]: A Opimizaio-Based Ecoomeric Framework for he Evaluaio of Moeary Policy: Expaded Versio. NBER Techical Workig Paper Series, No.233. RUDEBUSCH, G.D. [993]: The Ucerai Ui Roo i Real GNP. America Ecoomic Review, RUDEBUSCH, G.D. [995]: Federal Reserve Ieres Rae Targeig, Raioal Expecaios ad he Term Srucure. Joural of Moeary Ecoomics, RUDEBUSCH, G.D. [996]: Do Measures of Moeary Policy i a VAR Make Ses. Baca d'ialia, Temi di Discussioe, o.269. SACK, B. [998a]: Does he Fed Ac Gradually?. FED Board of Goverors, mimeo. SACK, B. [998b]: Uceraiy, Learig, ad Gradual Moeary Policy. FED Board of Goverors, mauscrip. SARGENT, T.J. [987]: Dyamic Macroecoomic Theory. Harvar Uiversiy Press. SHILLER, R.J. [990]: The Term Srucure of Ieres Raes. i: Friedma, B. & Hah, F. (eds.) Hadbook of Moeary Ecoomics, Vol. Chaper (wih a Appedix by MCCULLOCH, J.H.) 26

127 SIBERT, A.C. [200]: Moeary Policy wih Ucerai Ceral Bak Prefereces. Mauscrip. SIMS, CH.A. [980]: Macroecoomics ad Realiy. Ecoomerica, -48. STOCK, J.H. ad WATSON, M.W. [999]: Busiess Cycle Flucuaio i US Macroecoomic Time Series. i: Taylor, J.B. & Woodford, M. (eds.) Hadbook of Macroecoomics, Norh Hollad, Chap... SUTTON, G.D. [998]: Spread Overreacio i Ieraioal Bod Markes. BIS Workig Paper, 55. SVENSSON, L.E.O. [997]: Iflaio Forecas Targeig: Implemeig ad Moiorig Iflaio Targes. Europea Ecoomic Review, -46. TAYLOR, J.B. [993]: Discreio Versus Policy Rules i Pracice. Caregie- Rocheser Coferece Series o Public Policy, TZAVALIS, E. ad WICKENS, M.R. [997]: Explaiig he Failures of he Term Spread Models of he Raioal Expecaios Hypohesis of he Term Srucure. Joural of Moey, Credi ad Bakig, VASICEK, O. [977]: A Equilibrium Characerizaio of he Term Srucure. Joural of Fiacial Ecoomics, WALSH, C.E. [998]: Moeary Theory ad Policy. MIT Press. WARNE, A. [997]: Iferece i Coiegraed VAR Sysems. Review of Ecoomics ad Saisics, WATSON, M.W. [994]: Vecor Auoregressio ad Coiegraio. i: Egle, R.F. & McFadde, D.L. (eds.) Hadbook of Ecoomerics, Elsevier Sciece, vol.iv WYNNE, M.A. [999]: Core Iflaio: A Review of Some Cocepual Issues. ECB Workig Paper Series, 5. 27