.5 Első derváltat génylő módszerek Az első derváltat génylő módszerek (elsőrendű módszerek, melyek felhasználák a gradens nformácókat, általában hatékonyabbak, mnt a nulladrendű módszerek. Ennek az az ára, hogy elő kell állítan a gradens nformácókat, vagy a véges-dfferencák módszerével, vagy analtkusan. Az első rendű módszerek nem hatékonyak, ha a derváltak nem folytonosak. Általában azért hatékonyabbak, mnt a nulladrendű módszerek..5. Büntető-függvényes módszerek: SUMT, belső, külső büntetőfüggvény A büntető függvények módszere az első próbálkozások körébe tartozk, hogy a feltételes optmálás probléma megoldható legyen. Az alapelképzelés az, hogy olyan feltétel nélkül optmálás problémát oldon meg, melynek megoldása konvergál a feltételes optmálás probléma megoldásához. Ez a típusú feltétel nélkül optmálás probléma két különböző típusú büntető függvényt alkalmaz: az egyk típust az egyenlőtlenség, a másk típust az egyenlőség feltételekre. Az egyenlőség feltételek nem bonthatók két egyenlőtlenségre, mvel ott nncs megengedett tartomány. A SUMT (Sequental Unconstraned Mnmsaton Technque elárást Facco és McCormck (968 felesztette k. Az eredet probléma célfüggvényét és méretezés feltételet használa ahhoz, hogy egy feltételnélkül célfüggvény-mnmálást fogalmazzon meg többváltozós esetben. Külső büntető függvények A külső büntető függvények a feltételek megsértéséhez kapcsolódnak. Az külső elnevezés arra utal, hogy a büntetés csak a megengedett tartományon kívül kerül alkalmazásra. A leggyakorbb külső büntető függvény az, amelyk arányos a feltétel túllépésének négyzetével. Ennek a módszernek az előnye az s, hogy nem megfelelő kezdőpontból s ndítható. Másk előnye az, hogy csak az aktív feltételek vannak hatással a célfüggvény optmumára. Hátránya, hogy nncs megfelelő megoldás mndaddg, amíg az optmumot nem érte el. Másk hátránya, hogy a büntető paraméterek a végtelenhez közelítenek az optmumnál.
M l F(,rk = f ( + rk { ma[ 0,g ( ]} + [ hk ( ] = k= ahol a határ lm F = f. r k mn mn, (.9 A büntető függvény első része poztív részt elöl, a mamumát a (0, g ( tartománynak. A külső büntető-függvény bemutatása látható az..a. ábrán. F* a mnmáls függvényértékű pontot elöl. F(X r k F(r F(r 3 f( F(X r k F( r F( r F( r 3 F F F 3 F(r F F 3 F optmum f( optmum (a X (b X. ábra Külső és belső büntető-függvények értéke Belső büntető függvények A belső büntető-függvények módszerénél mnden közbenső megoldás a megengedett tartományon fekszk és olyan megoldásba konvergál, mely szntén a megengedett tartományon van. Ez a büntető függvény az nverze a méretezés feltételnek, ha a feltétel naktív. A módszer előnye, hogy mnden terácó megfelelő, az elárás bármkor megállítható. A méretezés feltételek krtkussá csak az optmum közelében válnak. Hátránya, hogy mnden méretezés feltétel hatással van célfüggvényre függetlenül attól, hogy aktív-e, vagy sem az optmumnál. Nagy hátránya, hogy a nem megfelelő pont nagy negatív büntető függvényt eredményez. Ez azt elent, hogy az optmálást megfelelő kezdőpontból kell ndítan és sohasem szabad nem megfelelő pontot vzsgáln. A feltétel nélkül probléma megfogalmazásánál az un. büntető függvény tag az eredet célfüggvényhez van hozzáadva, mely büntet az f( függvényt, ha elhagya a megengedett
tartományt. Egy r k tényező ada meg f büntetésének mértékét. Az f ( r k sorozatnál r k 0 ha k = 0,,,..., a büntető függvény defnálható például a következőképpen F (,r k = f( - r k ; vagy F (,r g ( k = f( - r k ln g (, (.30 ahol a határ lm F mn = fmn. r k A belső büntető függvény ábrázolása az..b. ábrán látható. F* a mnmáls függvényértéket elent. Kteresztett belső büntető függvény Ez a büntető függvény kombnála a belső és külső büntető függvényeket, melyek az előzőekben kerültek smertetésre. Egy ú ε paramétert vezet be, mely kvaltatíve vezérl a két függvény között kapcsolatot. Egyk típusa a kteresztett belső büntető függvénynek a következő: r P( = g( ; g( ε, (.3 r g( 3g( P( = + + 3 ; g ( > ε. (.3 ε ε ε Ez a büntető függvény olyan felépítésű, hogy az első és másodk derválta folytonosak az átmenetnél, ha a méretezés feltétel sma. Ha a feltételek megsértése nagy mértékű, akkor a külső büntető függvények módszerét alkalmazza, egyébként a belső büntető függvények módszerét. Ezáltal a módszer rendelkezk mnd a belső, mnd a külső büntető függvények módszerének előnyevel. Elhagyható a megfelelő pont szükségessége. Az elárás hátránya, hogy ha az átmenet paraméter értéke redukálva van, akkor a feltételek megsértése különösen nagy büntető függvény értékeket eredményez. A feltétel nélkül nemlneárs programozás probléma megoldható bármely elárással, pl. kváz-newton kereső módszerrel, mely vonalment kereséssel kombnált. Mndazonáltal a vonalment keresésnek nagyon pontosnak kell lenne, mvel a büntető függvények matt a vzsgált tartomány nagyon szűk. A m számítógép programunkban a Davdon-Fletcher- Powell elárás került beépítésre a SUMT módszerbe a belső büntető függvények módszerével. A programlsta ANSI C-ben megtalálható a Farkas, Járma 997b könyv B függelékben.
Nagyszámú varácó és kombnácó létezk a büntető függvényekre (pl. Facco and McCormck 968. Általában a büntető függvények módszerének a hátránya, hogy a Hessan mátr kondcószáma növekszk, ha az r k paraméter túl naggyá válk. A belső büntető függvény algortmus a következőképpen működk:. A módosított célfüggvény az eredetből és a büntető függvény tagból áll és a következő alakú F(,r=f(+r k P +r g ( -/ k P+M = = P+ ( h, (.33 ahol r k poztív konstans. Ahogy az algortmus halad előre, r k úra meghatározásra kerül és egy monoton csökkenő sort alkot r > r >... > 0. Amkor r k kcsvé válk, megfelelő feltételek esetén F elér f et és a feladat megoldásra kerül.. Választ egy kezdőpontot (megfelelő, vagy nem-megfelelő és rk.kezdet értékét. 3. Meghatározza a megfelelő elárással a módosított célfüggvény mnmumát az adott rk esetén. 4. Megbecsül az optmáls megoldás értékét etrapolálással. 5. Ú értéket választ rk nak és addg smétl az elárást, amíg a konvergenca-krtérum nem telesül. A módszer folyamatábráa az.3 ábrán látható. rk értéke az elárás során 0-4 körülre csökken le.
a kezdő pont és az r kezdő értékének kválasztása kndulás pont módosítása módosított célfüggvény mnmálása optmáls pont meghatározása etrapolácóval r csökkentése n konvergenca telesül? stop.3 ábra A SUMT módszer folyamatábráa Az egyenlőtlenség feltételekre vonatkozó büntető függvény lehet más alakú, nemcsak az.30 egyenletnek megfelelő recprokfüggvény /g(, hanem például logartmkus függvény - ln(g(. Az egyes büntető függvények hatékonysága függ a probléma természetétől..5. A Davdon-Fletcher-Powell módszer A Davdon (959 által kfelesztett változó metrkáú módszert Fletcher és Powell (963 felesztette tovább. Ez az egyk legobb általános felhasználású feltétel nélkül optmáló elárás, mely a rendelkezésre álló derváltakat alkalmazza. ( Kndul az eredet kezdőpontból és az N*N méretű poztív defnt szmmetrkus mátrból H. Ez a H mátr általában az egységmátr I. Az terácószám =. ( A módszer meghatározza a függvény f( gradensét a kezdőpontban és felvesz az rányokat
S = H f. (.34 * ( Megkeres az optmáls lépésméretet λ, az S rányban és számíta a következő pontot + = * + λ S. (.35 ahol H mnt az egységmátr kerül felvételre. (v Ellenőrz az ú pontot + az optmaltás szempontából és ha + optmum, akkor megállíta az teratív elárást, egyébként folytata a számítást. (v Frssít a H mátrot H+ = H + M + N, (.36 M N SS = λ *, (.37 S Q T T T HQ HQ = ( (, (.38 T Q H Q és Q = f ( + f (. (v Ú terácót kezd = + és megy az ( lépéshez. A belső büntető függvények módszerét használa az elárás a feltételek kezeléséhez az (.30 képlet szernt. Köbös nterpolácós módszert használ a mnmáls lépésméret meghatározásához négy lépésen. Néha túlcsordul a számítás során az F(,r k függvény, mvel g( nagyon közel kerül a zérushoz az optmum közelében, ezért a konvergenca-krtérum nagyon fontos. λ *.6 Másodk derváltat használó módszerek A másodk derváltat használó módszerek, melyek között legsmertebb a Newton módszer, az f( függvény négyzetes közelítésén alapulnak. Másodrendű nformácókat használnak fel, melyeket f( nek a független változók szernt másodrendű parcáls derváltaból nyerk..6. A Newton módszer
Klasszkus másodrendű módszer a Newton módszer. Az elárás a másodrendű Taylor-sor kteresztésével ndul. A keresés s ránya a következőképpen kerül meghatározásra: ( k ( k+ ( k Ha ( - (k kcserélésre kerül Δ = közelítése Δ ( k -val kfeezve a következő -vel, akkor a célfüggvény f( kvadratkus ( k T ( k ( k ( k T ( k ( k f( f( + f( ( + ( f( (,(.39 f( mnmuma a Δ ( k rányban az f( dfferencálásából adódk az összes Δ komponens fgyelembevételével és az egyenletet zérussal egyenlővé téve a következőket kapuk ahol [ [ ] ( k ( k ( Δ = f( f( k, (.40 ] ( f( k az nverz Hessan mátr H((k, mely az.0 feezetben van defnálva (a mátr f( másodrendű parcáls derválta szernt, meghatározva (k-ban. Megegyezzük, hogy az.40 egyenletben a mátr nvertálása szükséges és nagyon fontos olyan módszert alkalmazn, mely garantála az nverz poztív defnt ellegét, mnt arra még később hvatkozunk. Több standard mátr nvertálásra készült számítógép program nem megfelelő ebből a szempontból. Szükséges hangsúlyozn, hogy a másodrendű parcáls derváltat analtkusan elő kell állítan, vagy közelíten, am néhány esetben nehézséget okoz. A Newton módszer konvergencáát garantála, feltételezve hogy az f( kétszeresen derválható, az hogy a Hessan mátr nverzének poztív defntnek kell lenne. f( mnmuma az S k rányban az f( függvény szernt derválásából adódk, a derváltat nullának véve. A tervezés változók ú vektora a következő k k = + α S ( ( * ( k k ahol k az terácószám, S (k a keresés rány, α k * ( k ( k ( k = ( (, (.4 skalárs szorzótényező változásának megadására ebben az terácóban. Az.40 egyenletből kapuk a következőt [ ] S H f, (.4 ( ahol [ H k ( ] a Hessan mátr H ( ( k nverze. Ezért az.4 egyenlet egy keresés rányt ad egydmenzós kereséshez.
H( > 0 és ha a célfüggvény megfelelően közelíthető egy kvadratkus függvénnyel egy olyan tartományon, ahol a legmeredekebb rány (steepest descent elárás ks hatékonyságú. A mnmumtól távol a legmeredekebb rány elárás a leghatékonyabb lehet. Azt a következtetést lehet levonn, hogy egy megfelelő kombnácóa a legmeredekebb rány és a Newton módszernek lehet a leghatékonyabb elárás, a két módszer önálló hatékonyságánál nagyobb. Az elárás során nemcsak célfüggvény értéket és gradens nformácót kell produkálnunk, de a H mátr másodrendű derváltat s. Ha a mnmált függvény valóban kvadratkus a megengedett tartományon a tervezés változók függvényében, a keresés rányban α * = értékkel való mozgatás elér az optmumot egy terácó során. A Newton módszer alapproblémáa, hogy a H mátr szngulárs lehet, vagy legalábbs nem poztív defnt, mnt az szükséges garanca lenne f( mnmuma eléréséhez. A H mátr szngulárs lesz mndg, ha a célfüggvény lneárs egy vagy több tervezés változó tekntetében. Ha a Hessan mátrnak negatív saátértéke van, ez egy nemkonve problémára utal. Másk probléma, hogy a Newton módszer alapán megadott mozgatás olyan nagy, hogy oszcllácót okoz a megoldásnál. Ebből a szempontból aánlatos megfelelő lépéshatárok bevezetése mnden terácóban, hogy elkerüle a helytelen kondconálást. Abban az esetben, ha könnyen meg tuduk határozn a másodk derváltak mátrát, a Newton módszer csaknem mndg a leghatékonyabb elárás..6. Szekvencáls kvadratkus programozás A szekvencáls kvadratkus programozás, vagy SQP (sequental quadratc programmng módszer egy általánosan használható algortmus nemlneárs optmálás problémák megoldására a következő feltételekkel: a feladat nem túl nagy, a függvények és gradensek meghatározhatók megfelelően nagy pontossággal, a feladat sma és ól arányosított. A matematka konvergenca és az SQP numerkus vselkedése már ól kdolgozott és smert és számos publkácóban szerepel. Ezek közül néhány Stoer (985, vagy Spellucc (993 áttekntés szempontából. Az elmélet konvergencát vzsgálta Han (976, 977, Powell (978a, 978b, Schttkowsk (983. Numerkus összehasonlító vzsgálatokat Schttkowsk
(980 és Hock & Schttkowsk (98 végzett és megmutatták a módszer előnyet a matematka programozás algortmusokkal szemben a fent feltételek esetén. A módszer alapötlete, hogy a másodrendű nformácót s közelít, hogy gyors konvergenca-sebességet kapon. Így a Lagrange függvény L(, u kvadratkus közelítését defnáluk és a Hessan mátr közelítését egy un. kváz-newton mátr segítségével. Megfelelő szekvencáls kvadratkus programozás (Feasble Sequental Quadratc Programmng Az FSQP módszer egy FORTRAN szubrutn-gyűtemény folytonosan változó célfüggvények (adott esetben egy függvény mnmumának, vagy mamumának meghatározására általában folytonos feltételek esetén. Ha a felhasználó által adott kezdőpont nem megfelelő néhány egyenlőtlenség, vagy lneárs egyenlőség feltétel szempontából, akkor a program kezdőpontot generál ezen feltételekhez a fokozatos közelítés módszerével úgy, hogy mnden feltétel telesülön. A nemlneárs egyenlőség feltételek egyenlőtlenség feltételekké kerülnek átalakításra (hogy mnden terácó során telesülenek és a célfüggvények mamumát felválta egy egzakt büntetőfüggvény, mely csak a nemlneárs egyenlőség feltételek megsértését büntet (Zhou, Tts 99, 99, 993. A felhasználó választhat, hogy vagy a módosított célfüggvény csökkenését gényl a megfelelő kezdőpont elérése után a nemlneárs egyenlőtlenség és a lneárs feltételekre (monoton vonalment keresés, vagy a csökkenést legalább négy terácó után vára (nemmonoton vonalment keresés. A monoton vonalment keresés esetén az SQP ránya először elfordulnak, ha a nemlneárs feltételek eredményezk a megfelelő rányt, utána esetleg "elhalíta'', hogy bztosítsa a megoldáshoz közel, hogy egy lépés elég legyen a megoldás eléréséhez, am szuperlneárs konvergencát gényel. A nem-monoton vonalment keresés szuperlneárs konvergencát valósít meg, ezáltal elkerül a függvényérték meghatározásokat pótlólagos pontokban és a tovább megoldáskeresést pótlólagos kvadratkus programmal. Mután a nemlneárs egyenlőség feltételek egyenlőtlenségvé vannak alakítva, ezen algortmusok a módosított feladatot drekt módon oldák meg. A felhasználónak szubrutnokat kell írna a célfüggvény(ek és a méretezés feltételek meghatározására. A függvények analtkus derváltat a felhasználó megadhata, vagy kérhet az FSQP programtól a közelítésüket a véges dfferencák módszerével. FSQP két algortmust használ, melyek az SQP-n alapulnak, úgy módosítva, hogy megfelelő terácós pontot
tudanak keresn. Az elsőnél (monoton vonalment keresés, egy bzonyos Armo-típusú keresést használ azzal a ellemzővel, hogy az első lépés végüls elfogadásra kerül a szuperlneárs konvergenca feltétele mellett. A másodk módszernél hasonló a hatás a nemmonoton egyenes vonalment kereséssel. Mndkét esetben cél a célfüggvény mamumának elérése, ha nncs nemlneárs egyenlőtlenség feltétel. Ha a felhasználó által adott kezdőpont nem-megfelelő a nemlneárs egyenlőtlenség és lneárs egyenlőtlenség feltételek esetén, akkor az FSQP először kezdőpontot generál, mely mnden feltételt kelégít úgy, hogy mnmála ezen feltételek mamumat. Utána a Mayne-Polak-féle sémát alkalmazva a nemlneárs egyenlőség feltételeket egyenlőtlenség feltételekké alakíta át. A kapott optmálás probléma csak lneárs egyenlőség és nemlneárs egyenlőtlenség feltételeket kezel. A továbbakban az FSQP által számított terácók kelégítk ezen feltételeket..7 Optmaltás krtérumok módszere Az optmaltás krtérumok módszere (OC a Kuhn-Tucker-féle (KT optmaltás krtérumon alapulnak. Ezen módszerek előnye, hogy nagyon hatékonyak. Hátránya, hogy függenek a szerkezet tuladonságatól és a konvergenca nem mndg garantált. Az egycélfüggvényes nemlneárs optmálás probléma az. és. képleteknek megfelelően mnmála az f (,,..., N célfüggvényt, g ( 0, =,,..., P feltételek esetén, ahol f( a többváltozós nemlneárs függvény, g( a nemlneárs egyenlőtlenség feltételek. Bevezetük a λ Lagrange-tényezőket. Az egyenlőtlenség feltételeket egyenlőségvé alakítuk át, bevezetve az Y paramétereket: g + Y = 0. A Lagrange-függvény a következő: P = L (, λ, Y = f( + λ g( + Y [ ]. (.43 A szükséges feltételek ezen függvény lokáls mnmuma megtalálásához: L P = f ( + λ g ( = 0, (.44 =
L = g ( + Y = 0, (.45 L = λ Y = 0. (.46 Az (.45 és (.46 egyenletek mutaták, ha g = 0, vagys a feltétel aktív, akkor Y = 0 és λ 0. Ha a feltétel nem aktív, akkor g < 0, Y 0, és λ 0. Összefoglalva, ha a feltétel aktív, akkor Y = 0, tehát az Y elemek elhanyagolhatók. Az (.44 és (.45 egyenletek helyett a következő feltétel használható λ 0 és λ g = 0. (.47 A Kuhn-Tucker-féle optmaltás krtérum a következő P f ( = λ g (, (.48 = λ 0, λ g = 0. g g g f g f f g g cone g (a g g (b f.4 ábra A Kuhn-Tucker-féle optmaltás krtérum, ha van optmum (a, lletve ha nncs (b Az első feltétel geometra elentése, hogy lehetséges a célfüggvény gradensét a feltételek gradensének lneárs kombnácóából előállítan, vagys az optmum pontban a célfüggvény gradense a feltételek gradensének kúpában helyezkedk el (.4 ábra. Más szavakkal a célfüggvény a megengedett tartományt az optmum pontban érnt. Ez a pont lehet globáls optmum, ha a megengedett tartomány konve. Ha konkáv, akkor a pont lokáls optmum s lehet. Ha mnden feltétel aktív, az (.47 feltétel és a g = 0 egyenletek n+p változóra és λ függvényében adódnak.
Számos megoldás módszert avasoltak, mvel a megoldás függ a célfüggvény és a méretezés feltételek típusától. A rácsos tartók optmálása során nagyon hatékony a módszer, habár lemezeket, héakat szntén optmáltak vele, összellesztve az OC módszert végeselemes elárásokkal (Kusalaas, J.,Reddy, G.B, 977, Rozvany (989..8 Dszkrét optmálás elárások A gyakorlat tervezésben a keresztmetszet ellemzők dszkrét értékek lehetnek. Ilyenek például a hengerelt acélelemek, melyek csak adott méretben készülnek és a keresztmetszet ellemzők nem egyenletesen változnak. Ilyen esetben a tervezés változó csak a dszkrét értéksor egy elemét vehet fel. A változó dszkrét ellege növelhet a futásdőt.