Az előadás kvaternió alapú dárumtranszformációs analitikus megoldást ismertet Bemutatja

Átírás

1

2

3

4 A dátumtranszformácó a geodézában alkalmazott számítás módszer számos, különböző algortmuson alauló megoldása smert A megoldások többsége ks szögelfordulásokat feltételez lnearzálás szükséges a transzformácós araméterek meghatározásához Az előadás kvaternó alaú dárumtranszformácós analtkus megoldást smertet Bemutatja a kvaternó számításához szükséges összefüggéseket, a kvaternók alkalmazását forgatás, az eltolás és méretarány araméterek meghatározását a Bursa-Wolf dátum transzformácós modellben

5 Kvaternó alaú dárumtranszformácós analtkus megoldás legnagyobb előnye: tetszőleges nagyságú szögelfordulások esetében s alkalmazható, nncs szükség lnearzálásra és terácóra, a transzformácós araméterek számításához.

6 WGS84 Bemérés hely rendszer A GPS-szel történő szabatos helymeghatározáskor a koordnáták WGS84 rendszerben adottak, amelyeket gyakran át kell transzformáln egy hely geodéza koordnáta rendszerbe. Hely rendszer Ktűzés WGS84 Ktűzéskor hely rendszerbel koordnátákat transzformálunk WGS84 rendszerbe.

7 Dátumtranszformácó esetén hét transzformácós aramétert kell kszámítanunk, három eltolást, három elforgatást és a méretarány aramétert. A forgatás aramétereket általában három forgásszöggel szokás megadn. A forgatás mátrxban klenc smeretlen szereel, amelyekre hat ortogonaltás és normalzálás feltétel teljesül.

8 Hamlton (843) 7 éve fedezte fel a kvaternókat egy 3D vektor ábrázolására. A kvaternó nagyon alkalmas a forgatás egységsugarú gömbön történő leírására. Ezért széleskörben alkalmazzák mozgó objektum helyzetének leírására mnt éldául űrhajó, reülőgé vagy géjármű továbbá a robotok rányításában az anmácóban, fzkában és mechankában A továbbakban megvzsgáljuk a dátumtranszformácó megoldását a kvaternó algebra jelőlésével lletve alkalmazásával és bemutatjuk a kvaternó alaú dátum transzformácós algortmust.

9 Sr Wllam Rowan Hamlton Broome Brdge n Dubln Ireland

10 A Q kvaternó komlex számként a következőkéen defnálható ahol Q 2 j 3k () j k, j j k, jk kj, k k j és a kézetes rész egy 3D vektort jelöl 2 j 3k

11 A megfelelő konjugált kvaternó az alábbak szernt jelölhető Q * j k 2 3 (2) A Q kvaternó oszlovektor formában s kfejezhető az ( j k) egységvektorok felhasználásával ahol Q 2 3 (3) 2 3 egy 3D vektort és a transzonálást jelöl.

12 Egy 3D vektor mndg megadható kvaternókal a következők szernt j k 2 3 (4) A kvaternó hossza Q (5) Ha Q, akkor a Q kvaternót egység kvaternónak nevezzük.

13 A Q kvaternó defnícójának megfelelően könnyen gazolhatók az alább tulajdonságok λp Q P Q (6) PQ (7) CP Q CPCQ (8) CPQ CPQ CPQ (9) ahol egy valós szám, C, P és Q kvaternók, a. és a skalárs és a vektoráls szorzat jele.

14 A Q kvaternó defnícójának megfelelően könnyen gazolhatók az alább tulajdonságok PQ Q P () QQ Q () Q Q Q (2) a Q a Q kvaternó nverzét jelöl

15 Vektorok skalárs és vektoráls szorzata a következőkéen defnálható (3) A kvaternó szorzat (7) egyenlet oszlovektor és mátrx szorzataként kfejezhető (4) Ahol I egy 3 3 egységmátrx. C, C PQ C I C I c C c,, I C C

16 Bevezetve a következő mátrx jelöléseket (5) ahol a + és felsőndex a C(.) mátrx előjelét jelöl Behelyettesítve a (5) egyenletet a (4) egyenletbe, eredményül a szorzat kvaternó vektor és mátrx formáját kajuk: (6) C I C I P, Q P Q Q P C

17 Egyszerűen bzonyítható, hogy a konjugált kvaternó a következő tulajdonságokkal rendelkezk: P P, P P (7)

18 Jól smert módszer egy 3D vektor s vektorba történő forgatására kvaternóval a következő: S QPQ (8) ahol a és s vektorokból kézett kvaternók a P és S, Q edg egység kvaternó, amely az alábbak szernt defnálható Q cos 2 e n sn 2 (9) ahol e és n e e2 j e k e 3 e2 e3 amely egy 3D egység vektor, a forgásszög az egységvektor körül és az e e n n e n

19 Összehasonlítva a (9) egyenletet az () egyenlettel, nylvánvaló, hogy cos, e sn, 2 e2sn, 3 e sn 2 A (6) és (7) egyenletek alaján a (8) egyenlet kfejezhető vektor-mátrx formában S Q P Q (2)

20 Legtöbb dátumtranszformácós modell hétaraméteres, amelyek két különböző geodéza dátumhoz tartozó közös ontok felhasználásával kerülnek kszámításra. A jól smert Bursa-Wolf hasonlóság transzformácós modell, amelyet klasszkus modellnek, hétaraméteres modellnek, vagy térbel Helmert modellnek s neveznek a következők szernt írható fel: s t kr (2) ahol s, (=, n) a két különböző rendszerben adott közös ontok 3D koordnátá t (t X tytz ) jelöl a három eltolás aramétert k a méretarány tényező (ebben a hétaraméteres modellben) és a 33 -as R forgatás mátrx három forgatás aramétert tartalmaz.

21 Nylvánvaló, hogy hét araméter meghatározásához a közös ontok számának s, (=,,n), nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lenne, mnt három. Határozzuk meg a súlyontra vonatkozó koordnátákat: (22) ahol s, s s s, n n, s s n n

22 Behelyettesítve a (22) egyenletet a (2) egyenletbe a következőt kajuk s t kr (23) és t t kr - s (24) A (23) egyenlet általában túlhatározott.

23 Jelölje a maradékvektort v v s t kr (25) Ezek után a transzformácós araméterek a következő otmalzálás feladat megoldásával határozhatók meg mn k,t,r v v mn nt k,t,r t n s kr s kr (26)

24 Mvel a (26) egyenlet jobb oldalán lévő t első tag független a másodktól, ezért t =, vagy am ezzel egyenlő t s kr (27) Ebből következően csak egy rész-otmalzálás feladatot kell megoldanunk, nevezetesen mn k,t,r n s kr s kr (28)

25 Mvel R ortogonáls mátrx, a (28) egyenlet a következő alakban s felírható (29) A (29) egyenlet k szernt arcáls dfferencálhányadosát véve meghatározhatjuk a méretarány aramétert, amelyre az alább összefüggést kajuk (3) n n 2 n, k, k 2k mn R s s s R t n n k R s

26 Behelyettesítve a (3) egyenletet a (29) egyenletbe a következő roblémához jutunk (3) Az egyetlen araméter, amelyre meg kell oldanunk a (3) egyenletet az R forgatás mátrx, továbbá a (3) egyenletben szerelő mnmumkeresés feladat így egyenértékű a (3) egyenlet másodk tagja maxmumának a meghatározásával, nevezetesen (32) n n 2 n - mn R s s s R n max R s R

27 Bevezetve az R forgatás mátrxot kévselő Q, S és P vektor-kvaternókat, a (32) egyenlet megadható kvaternókkal ahol max Q n S Q P Q (33) S, s, P, és Q,

28 A (33) egyenletben szerelő kfejezés átrendezhető a (7) egyenlet alaján, lásd Shan 235. oldal (26). A részletes levezetés nélkül a következő, számításra alkalmas összefüggést kajuk: (34) ahol N egy mátrx (35) n Q P Q S NQ Q Q P Q S n 44 n n n n n n C s C s s C C s s N 4x4

29 n C s C s s C C s s N mátrx

30 Következéskéen a (33) egyenletben szerelő maxmumkeresés feladat az alábbak szernt írható max Q Q NQ (36) Más szavakkal, a (32) egyenletben szerelő maxmumkeresés feladat egyenértékű a Q kvaternó meghatározásával, a (36) egyenlet maxmumkeresés feladatával.

31 Mvel N egy valód szmmetrkus mátrx, amely négy valós sajátértéket, és négy ezekhez tartozó megfelelő valós sajátvektort tartalmaz e Ne λ e, (,..., n) (37) ezért a (36) egyenletben szerelő maxmum meghatározás feladat azonos az N mátrx sajátvektorához tartozó maxmáls sajátértékének a meghatározásával Q e, és λ j max λ (38)

32 A (2) egyenlet a következőkéen alakítható át (39) Az R 3 3 forgatás mátrx (4) ahol a egy 3D vektort jelöl, I egy 3 3 egységmátrx ld. a (4) egyenletet. P C I P R P Q Q P Q Q Q P Q S 2 2 C I R 2 2

33 Ezek után a forgásszögek, az R forgatás mátrx elemeből számíthatók R r r r 2 3 r r r r r r , α X arc tg r r 23 33, β Y arc sn r 2 r 3, γz arc tg r (4) ahol α, β és γ az X, Y és Z tengelyek körül forgásszögeket jelölk.

34 A kavaternó algebra alkalmazásán alauló dátum transzformácós algortmus végezetül az alábbak szernt foglalható össze. A súlyontra vonatkozó s, koordnáták számítása (22) egyenlet 2. Az N mátrx számítása (36) egyenlet 3. Az N mátrx sajátértékenek és sajátvektoranak számítása. Az N mátrx sajátvektorához tartozó maxmáls sajátérték a Q kvaternó megoldása 4. Az R forgatás mátrx számítása (4) egyenlet 5. k méretarány araméter számítása (3) egyenlet 6. t eltolás araméter számítása (27) egyenlet

35 Abból a célból, hogy bemutassuk a (36) (4) (3) és (27) összefüggések érvényességét megsmételtük Grafarend és Avange (23) és Shan Chan Zheng (26) számításat. Az eredmények teljes egyezést mutatnak úgy a transzformácós araméterek mnd edg, a transzformált koordnáták és maradék ellentmondások tekntetében.

36 A érbel Helmert transzformácó megoldására J nyelvű rogramot készítettük NB.============================================================================= NB. érbel HELMER transzformácó kvaternóval J nyelven (J62a) NB. Bursa-Wolf hasonlóság transzformácó NB. Fájlból történő átszámítás NB. Ismert transzformácós araméterek: NB. ranszformácós araméterek közös ontok alaján: FKJ t CKJ NB. Új ontok transzformálása : H KJ NB.============================================================================= Home Page:

37 ======================================================================================= KOORDINÁA JEGYZÉK Soltude Bouch Zel Hohenneuffen Kuehlenberg Ex Mergelaec Ex Hof Aserg Ex Kasersbach n = 7 közös ont =======================================================================================

38 N mátrx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ sajátértékek, baloldal és jobboldal sajátvektorok _ e_6 _ e_7 _ e_7 _ e_6 _ _ e_ _ e_ _ _ _ _ _ e_6 _ e_7 _ e_7 _ e_6 _ _ e_ _ e_ _ _ maxmáls sajátérték

39 Q kvaternó = a maxmáls sajátértékhez tartozó sajátvektor _ _ e_ e_ e_6 R forgatás mátrx e_6 _ e_6 _ e_ _ e_ e_ e_ k méretarány t eltolás

40 ======================================================================================= ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ =======================================================================================

41 Q kvaternó = _ = _ = = Q kvaternó _ _ e_ e_ e_6 R forgatás mátrx e_6 _ e_6 _ e_ _ e_ e_ e_

42 ======================================================================================= ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ ======================================================================================= MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Soltude Bouch Zel 59 _ Hohenneuffen _4 _88 _8 97 Kuehlenberg 2 _22 _87 92 Ex Mergelaec _92 4 _5 93 Ex Hof Aserg _2 7 _55 56 Ex Kasersbach _ ======================================================================================= Súlyegység közéhbája: m = ======================================================================================= Q kvaternó = _ = _ = = =======================================================================================

43 ======================================================================================= érbel HELMER transzformácó Közös ontok PSZ Forrás rendszer [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél rendszer [X Y Z] ======================================================================================= KOORDINÁA JEGYZÉK Soltude Bouch Zel Hohenneuffen Kuehlenberg Ex Mergelaec Ex Hof Aserg Ex Kasersbach n = 7 közös ont ======================================================================================= ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ ======================================================================================= MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Soltude Bouch Zel 59 _ Hohenneuffen _4 _88 _8 97 Kuehlenberg 2 _22 _87 92 Ex Mergelaec _92 4 _5 93 Ex Hof Aserg _2 7 _55 56 Ex Kasersbach _ ======================================================================================= Súlyegység közéhbája: m = ======================================================================================= Q kvaternó = _ = _ = = =======================================================================================

44 ======================================================================================= PSZ Forrás rendszer [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél rendszer [X Y Z] ======================================================================================= KOORDINÁA JEGYZÉK Soltude Bouch Zel Hohenneuffen Kuehlenberg Ex Mergelaec Ex Hof Aserg Ex Kasersbach =======================================================================================

45

46

47 Bemérés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ _ _ Súlyegység közéhbája: m = Q kvaternó _ e_7 _ e_ e_6 Ktűzés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ _ _ Súlyegység közéhbája: m = Q kvaternó e_7 _ e_ e_6

48

49 Bemérés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ _ _ Súlyegység közéhbája: m = Q kvaternó _ e_ e_7 _ e_6 Ktűzés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ _ _ Súlyegység közéhbája: m = Q kvaternó _ _ e_ e_7 _ e_6

50

51 Bemérés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ _ Súlyegység közéhbája: m = Q kvaternó _ e_ e_ e_6 Ktűzés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _ _ _ _ Súlyegység közéhbája: m = Q kvaternó e_ e_ e_6

52 érbel Helmert rogram futtatása Közös ontok száma Program futás deje [sec] Eredmények lstája [A4-es laméret] [8-as betűméret] Home Page:

53 A dátumtranszformácó széles körben alkalmazzott a geodézában és a kartográfában. Számos algortmus használata javasolt. Az algortmusok többsége azonban kcsny forgásszögek feltételezésén alaszk, továbbá lnearzálás szükséges a transzformácós araméterek széleskörű gyakorlat felhasználás céljára történő meghatározásához. Az előadás kvaternó algebra alkalmazásán alauló dátumtranszformácós analtkus megoldást mutatott be a araméterek meghatározására.

54 Kvaternó alaú dárumtranszformácós analtkus megoldás legnagyobb előnye: tetszőleges nagyságú szögelfordulások esetében s alkalmazható, nncs szükség lnearzálásra és terácóra, a transzformácós araméterek számításához. Az algortmus alkalmazhatóságát száméldán mutattuk be.

55 Azonban meg kell jegyezzük, hogy analtkus megoldáskor, bzonyos egyszerűsítéseket kellett alkalmazzunk a ontok hbának függetlenségére vonatkozóan. Ezek nélkül nem lehetséges az analtkus megoldás. Ez a fő hátrány ezeknél az algortmusoknál. Mndazonáltal a módszer elfogadható eredményt adott.

56 Grafarend EW, Awange LJ (23): Nonlnear analyss of the threedmensonal datum transformaton [conformal grou C7(3)]. J Geod 77:66 76 HamltonWR (853): Lectures on uaternons: contanng a systematc statement of a Newmathematcal method, Hodges and Smth, Dubln Pa et al. (997): GPS network transformaton nto dfferent datums and rojecton systems. Reorts on Geodes, No.4(27), Pa at al. (22): Hungaran GPS Network ransformaton nto Dfferent Datums and Projecton Systems. Per. Pol. Cv. Eng. (46/2), Pa E - Szűcs L (25): Föld és műholdas hálózatok transzformácója Geomatka Közlemények VIII Vaníˇcek P, Steeves RR (996): ransformaton of coordnates between two horzontal geodetc datums. J Geod 7: Vaníˇcek P, Novák P, Craymer MR, Pagataks S (22): On the correct determnaton of transformaton arameters of a horzontal geodetc datum. Geomatca 56(4): WelschWM(993): A general 7-arameter transformaton for the combnaton, comarson and accuracy control of the terrestral and satellte network observatons. Manuscr Geod 7:2 24 Yang Y (999): Robust estmaton of geodetc datum transformaton. J Geod 73: Y.-Z. Shen Y. Chen D.-H. Zheng (26): A uaternon-based geodetc datum transformaton algorthm J Geod 8:

57