Szerző: Forrai György

Átírás

1 HATVÁNYÖSSZEGE ELMÉLETE II. TANULMÁNY ALALMAZÁSO: NEWTON BINOM, MINT HATVÁNYÖSSZEG Szerző: Forra György Ez a tanulmány a szerző tulajdona. A tanulmányban foglaltak a szerző jog védelme alatt állnak. Csak a tulajdonossal történt megállaodás alaján hasznosítható. Budaest 004

2 TARTALOM Előzmények A NEWTON bnom felírása A NEWTON bnom felírása araméteres hatványösszeg alakban. A NEWTON bnom felírása kétváltozós, teljes araméterszámú hatványösszegként. A NEWTON bnom háromváltozós, hányos araméterszámú hatványösszegként való felírása. A NEWTON bnom háromváltozós, hányos araméterszámú, módosított hatványösszegként való felírása 4 A hatványösszeg - mnt algortmus 5 Összefoglalás 6 Irodalomjegyzék 7 Utószó

3 Előzmények A jelen ublkácó a hatványktevős egyenletekből kézett hatványösszegek elmélet kérdésevel foglalkozó tanulmánysorozat részét kéez, annak egy alkalmazás lehetőségét - a NEWTON bnommal való kacsolatát mutatva be. A témakör a korább, HATVÁNYÖSSZEGE ELMÉLETE, I. ÖTET [4] tárgyú tanulmányban került felvetésre, amelyben bzonyítást nyertek a gyökváltozókból álló, araméteres alakú hatványösszegek kézésére szolgáló ala és módosított algortmusok. Az alább rövd emlékeztető a hvatkozott tanulmány alatézset déz: I. Az egy (x) smeretlenes, -ed fokú egyenletek gyöke egy =n változószámú hatványösszeg változóval azonosak (továbbakban: gyökváltozók), s így az egyenletek és a hatványösszegek egymásból kfejezhetők. II. A hatványösszeg változó (n) (gyöke) számának és a hatványösszeg fokszámának () bármely értéke esetén léteznek olyan, a hatványktevők növekvő és csökkenő tartományára érvényes ala és azokból kéezhető egyéb algortmusok, amelyekkel az adott fokszámú hatványösszeg n számú, egységny fokszám-különbségű smert hatványösszegből meghatározható. A hatványktevő növekvő tartományára érvényes ala algortmus: Q =q Q - q n n Q n...± q n Q./ n n a hatványktevő csökkenő tartományára érvényes ala algortmus: n Q = ( Q + n - q n n Q + n + q Q +... ± q n- Q + )/q n./ n n n ahol Q β = a β + b β + c β e β β-k fokszámú hatványösszeg, az a,b,c..e n gyökváltozókból kéezve, (- < β < ) q...n n-k (egész) fokszámú araméterek az a;b;c...n gyökváltozókból előállítva (lásd. fejezet) A [4]-ben már jeleztük, hogy a hatványösszegek elméletében szerelő araméterek olyan, a gyökváltozókkal szoros funkconáls kacsolatban álló tényezők, amelyek egyes alkalmazásokban maguk s változók lehetnek. Indexálásuk (alsó ndexük) nem a megszokott módon, a araméter mellett álló smeretlen (x) hatványa alaján, hanem a araméter saját fokszáma szernt történk A jelen ublkácó a hatványösszegeknek a NEWTON bnom helyett történő alkalmazása lehetőséget vzsgálja.

4 Bár ez az alkalmazás terület már a bevezető tanulmányban s [4] felmerült, annak általánosabb jellege matt akkor nem volt lehetőség a roblémakör részletesebb smertetésére, egyebek között a hatványösszegek egy léésben történő felírásához, bnomáls együtthatónak kszámításához szükséges összefüggések meghatározására. A NEWTON bnom vzsgálata a ma matematkának, és a számítástechnkának nem súlyont kérdése. Történet, és oktatás szemontból azonban ma s fontos, és mnden másnál jobb lehetőséget nyújt a hatványösszegek elmélete lehetőségenek bemutatására. Feltételezhető, hogy érdeklődésre tarthat számot egy olyan elmélet, amely az adott témakört teljesen új megvlágításból, szélesebb körben kées vzsgáln. Bár a jelen tanulmányban nem kívánunk smétlődésbe bocsátkozn, a bevezető tanulmány néhány fontosabb összefüggésére és megállaítására emlékeztetn fogunk. A szemléletesség céljából az új összefüggések alkalmazását a szokásosnál több éldával llusztráljuk. Megjegyezhető, hogy valójában ez a tanulmány készült el a legkorábban [], és szolgált alaul a [4]-ben smertetett elvek kdolgozásához. Vsszatekntve, és az újabb eredményekhez gazítva a téma kfejtésében most olyan szerkesztés nehézségek elé kerültem, amelyeket lehetséges, hogy nem skerült jól megoldanom, amért kérem szíves megértésüket. 4

5 A NEWTON bnom felírása A NEWTON bnom szokásos felírása az alább azonossággal történk: c =(a +b)./ ahol a;b;c bármely értékű változók, amelyek összege 0-val egyenlő (a+b+c=0):. A kjelölt műveletet elvégezve nyerhető a NEWTON bnom, vagys az a és b változók különféle varácóból, és N együtthatókból álló összefüggés. c = N 0 a + N a - b N ab - + N b 4./ A kéletben szerelő összeadandó tagok a változók hatványktevő szernt rendezhetők. N Az =f(;) bnomáls együtthatók 0 oszloszámmal és sorszámmal jellemezhetők. Az alsó ndex () a bnom fokszámát, felső ndex () a rendezett sor szernt sorszámukat jelöl. A hatványösszegek elméletének analógájaként észrevehető, hogy a 4./ kélet szntén egyfajta algortmust kéez, amelynek segítségével a c változó valamely smert fokszámú hatványa esetén magasabb fokszámú megoldó-kélete levezethető. Az együtthatók meghatározására szolgáló PASCAL háromszög s erre az egyszerű algortmusra éül, amennyben a nagyobb fokszámú bnom rendezett sorszámú együtthatója az eggyel ksebb fokszámú rendezett sorszámú két együttható összegeként számítható. N = N + N 5./ Ez a módszer szemléletesen mutatható be a PASCAL háromszög alább, táblázatos felírásával: / = kélet!/ (-)!/! (-)!!/! (-)!!/4! (-4)!!/5! (-5)!!/6! (-6)!!/7! (-7)! A jelölés részben a megfelelő szmbólum (..) hánya, részben egyéb, a téma később kfejtését megkönnyítő szemontok matt tér el a szokásostól. 5

6 Bár a fent felírás mód formalag eltér a szokásos, háromszög alakba rendezettől, azonban lényegét tekntve azzal azonos, és ebben a formában a tovább változatok algortmusával jobban összevethető. A NEWTON bnom egy léésben történő felírására alább kfejezés szolgálhat c = = = 0 (+/-) N a- b 6./ és a bnomáls együttható: N =!!( )! 7./ A NEWTON bnommal kacsolatosan az alább tulajdonságok emelhetők k. - Az összeadandó tagok száma + - A tagok mndegykében a két változó hatványktevőjének összege -vel egyenlő. - N 0 = N = - Az és a - helyeken álló együtthatók azonos értékűek. - rímszám esetén valamenny együttható -vel osztható. - a változók előjelétől függően a tagok előjele oztív, vagy tagonként előjelváltó. A tovább összehasonlító vzsgálatokhoz célszerű a NEWTON bnomot hatványösszeg alakra átírn, am az =0 sorszámú (a ) és az = sorszámú (b ) tagoknak az egyenlet bal oldalára történő áthelyezése útján történhet. Q = c - a - b = N a - b N ab - 8./ Ekkor tehát az N 0 = N = együtthatók s az egyenlet jobb oldalára kerülnek át. Példakéen a = 5 fokszámú bnom megoldókélete: 5 Q = c 5 - a 5 -b 5 =5a 4 b+0a b +0a b +5ab 4 =5ab [(a +b )+(ab)(a+b)] 9./ A hatványösszeg alakú felírás tehát már a NEWTON bnom átrendezése útján s lehetséges. Valójában hatványösszeg alakra nemcsak az előbb egyenlet rendezhető, hanem azzal teljesen azonosan tovább két egyenlet, valamenny változó-ár kombnácóra (a b; c b; c a) felírható. Q = N c - b N cb - = N c - a N ca - 0./ Az smertetett egyenletek tehát ugyan már hatványösszegek, azonban még nem araméteres alakúak. A q.. araméterek ezekből az egyenletekből csak bonyolult átrendezések útján lennének kfejezhetők. A hatványösszegek elméletét alkalmazva, annak algortmusa segítségével ez sokkal hatékonyabban elvégezhető. 6

7 A NEWTON bnom felírása araméteres hatványösszeg alakban ;./ ala algortmusok segítségével - amennyben az összes változót tartalmazzák (teljes változószámúak) - a hatványösszegek mndg felírhatók araméteres alakban s. Ez azt jelent, hogy bármely fok és változószámú hatványösszeg csuán q n araméterek és bnomáls együtthatók varácóból álló összeggel kfejezhető. Az ala algortmusokkal kézett hatványösszegeken kívül létezhetnek még módosított algortmusokkal és araméterekkel kézett hatványösszegek s. A NEWTON bnom kndulás feltétele (a+b+c=0) a hatványösszegek előállítása szemontjából két alahelyzetnek felel meg.. Változat Az ala algortmusokkal kéezhetők olyan, kétváltozós, teljes araméterszámú hatványösszegek, amelyek a 9;0 kéletekkel analóg módon, háromféle változó ár kombnácóban s felírhatók (q =a+b=-c; c+b=-a;c+a=-b; q = ab;ac;bc).. Változat Az ala algortmusokkal kéezhető olyan, háromváltozós (a;b;c), hányos araméterszámú (q =0, q =ab+bc+ac; q=abc) hatványösszeg, amely csak egyféle alakban írható fel.... Változatok Az ala algortmusokkal kéezhetők módosított alakú (araméterű) hatványösszegek s. A továbbakban ezeket a változatokat smertetjük.. A NEWTON bnom felírása kétváltozós, teljes araméterszámú hatványösszegként ét változó (l. a,b) esetén a q, q araméterek léteznek csak. A c változó tulajdonkéen a q araméterrel azonos. q =a +b=-c./ q =ab./ és az ala algortmus növekvő fokszám esetén Q =a +b = q Q - q Q./ csökkenő fokszám esetén Q =a - +b - = ( Q + - q Q + )/q 4./ Ezt a jelölést a hatványösszeg-bnomáls együtthatóknak a PASCAL bnomáls együtthatóktól való eltérése khangsúlyozása céljából vezettük be. 7

8 Az ala algortmusokból adódk a következő, negatív hatványon ndítható araméteres hatványösszeg sor: Q = ( q -5 q +5 5 q q q )/ q 5./ Q = ( q -4q q + q )/ q 6./ Q = ( q - q q ) / q 7./ Q = ( q - q )/ q 8./ Q = q / q 9./ 0 Q = 0./ Q = q./ Q = q -q./ Q = q - q q./ 4 4 Q = q -4 q q +q 4./ 5 5 Q = q -5 q q +5 q q 5./... A kétváltozós hatványösszegek egy léésben történő felírására szolgálhat az alább általános összefüggés: Q = = m = 0 (-) q α q α 6./ ahol =f(;) - az 0 m oszloszámmal és sorszámmal jellemezhető, a PASCAL háromszögétől eltérő bnomáls együtthatók. áratlan esetén m = (-)/ α áratlan szám áros esetén m = / α / áros szám 8

9 A fent összefüggésben szerelő araméterek fokszáma különböző (; ). övetkezéskéen a 5./ kéletben szerelő, szorzótényezőként k nem emelhető araméterek kombnácóból olyan, a fokszámuk szernt legksebb közös többszörös értékének (;=) megfelelő elemek különíthetők el, amelyek bármely fokszámú megoldókéletben smétlődően előfordulhatnak. A araméterek fokszáma szernt legksebb közös többszörös értékének megfelelő aramétervarácókat célszerű külön jelöléssel ellátn, mnt l. az adott esetben: A = q ; B= q A hatványösszegek felírása ezáltal átteknthetőbbé válk. Q = q r q k = m = 0 (-) Am- B 7./ A fent kéletben szerelő tényezők értéke az alább táblázat szernt vehetők fel: = oztív oztív negatív negatív áros áratlan áros áratlan = +n = n+ = -n = -n- r 0 0 m / (-)/ -/ (--)/ k A bnomáls együtthatók meghatározása ebben az esetben és fokszámmal ksebb, sorba rendezett együtthatók összegeként számítható: A növekvő fokszám tartományában: = - 8./ A csökkenő fokszám tartományában: = / + Ez a módszer s bemutatható a PASCAL háromszöghöz hasonló, táblázatos formában, amelynek kézése és értékkészlete az első oztív és negatív hatványok vonatkozásában a továbbakban látható. 9

10 / / = = = kélet! (-) (-) /! - (-) (-) (-4) /! - (-4) /! (-) (-4) (-5) (-6) /4! - (-5) (-6) /! (-4) (-5) (-6) (-7) (-8) /5! - (-6) (-7) (-8) /! (-5) (-6) (-7) (-8) (-9) (-0) /6! - (-7) (-8) (-9) (-0) /4! (-6) (-7) (-8) (-9) (-0) (-) (-) /7! - (-8) (-9) (-0) (-) (-) /5! Az együtthatók egy léésben történő felírásához a 8./ kélet átrendezett formában használható: j= = j= 0 0./ j vagys, hogy bármely együttható az eggyel ksebb oszloszámú, és kettővel ksebb fokszámú összes együttható összegével egyenlő. 0

11 Ebből a feltételből adódnak az alább, általános összefüggések: Ha 0, akkor =.(--)!/(-)!./ l. = ; =5 esetén: = (-5-)!/(-0)!5!=9 Ha < 0, akkor <0 =0 Fent összefüggésekben = 0 esetére fgyelembe vettük a faktorált általánosító Γ (x) funkcót, amelynek értéke Γ (0)=; és Γ (-x) =+/- A NEWTON bnomból kézett hatványösszeget helyettesítő, háromváltozós hatványösszeg a fent, kétváltozósból úgy állítható elő, ha annak mndkét oldalához hozzáadjuk a c = tagot: Q = Q + ( q) q./ 0 ( ) A kegészítés következtében a hatványösszegek jobb oldalán, a 0 helyen álló az alábbak szernt módosulnak: együtthatók áros fokszám esetén : 0 = áratlan fokszám esetén : 0 =0 A több együttható értéke változatlan marad. Az együtthatók smeretében a hatványösszegek felírhatók, és tovább egyszerűsítések végezhetők, l. a = fokszámú hatványösszeg Q =q B (-A 5 +65A 4 B-56A B +8A B -9AB 4 +B 5 )./ amelynek araméteret a c = a+b azonosság fgyelembevételével változóra átírva kajuk : Q = abc [-c 0 +65c 8 ab-56c 6 (ab) +8c 4 (ab) -9c (ab) 4 +(ab) 5 ] 4./ Azonos összefüggések vezethetők le a araméter-árok másk két kombnácója vonatkozásában s. Bár a nyert összefüggés a NEWTON bnommal azonos elemekre vezethető vssza (ab; a+b) formalag azonban attól teljesen eltérő. A NEWTON bnomból kézett hatványösszeget helyettesítő kétváltozós, araméteres hatványösszeggel kacsolatosan az alább strukturáls tulajdonságok emelhetők k. - A bnom oztív és negatív egész fokszámokra s érvényes. - Az összeadandó tagok száma közelítőleg a fele (m=/; lletve (-)/) - A araméterekből kézett új A;B araméterek olnom fokszáma szntén ksebb, mnt /- - együtthatók táblázatos és kombnatorka módszerekkel kéezhetők.

12 0 =; =, ha a ktevő áratlan; =, ha a ktevő 0, vagy áros szám - A táblázat a oztív és a negatív hatványösszegek tekntetében tükörszmmetrkus, vagys m = m 5./ amből következk Q / Q = q 6./ - rímszám esetén valamenny együttható -vel osztható. - a változók előjelétől függően a tagok előjele oztív, vagy tagonként előjelváltó.. A NEWTON bnom háromváltozós, hányos araméterszámú hatványösszegként való felírása Három változó (a,b,c) esetén a q =0, és csak a q,q araméterek léteznek: q = ab+ac+bc 7./ q = abc 8./ Az ala algortmus növekvő fokszám esetén Q = a + b = -q Q +q Q 9./ csökkenő fokszám esetén Q = a - + b - == ( Q + + q Q + )/q 40./ A három változós hatványösszegek sorozatának első megoldókélete a következők: Q = ( q +5q q )/ q 4./ Q = ( q + 4q q )/ q 4./ Q = ( q + q )/ q 4./ Q = + q / q 44./ Q = + q / q 45./ 0 Q = 46./ Q = 0 47./ Q = -q 48./ Q = + q 49./ 4 Q = +q 50./

13 5 Q = -5 q 6 Q = -q + 7 Q = +7q 8 4 Q = +q -8 q q 5./ q 5./ q 5./ q 54./... A háromváltozós hatványösszegek egy léésben történő felírására szntén a 9./-hez hasonló kélet szolgálhat, azonban a benne szerelő araméterek fokszáma lletve. övetkezéskéen a szorzótényezőként k nem emelhető araméterek kombnácóból kéezhető, a megoldó kéletekben smétlődően előforduló elemek fokszáma 6-tal egyenlő. A tovább vzsgálatok szemontjából ezúttal s célszerű a legksebb közös többszörös értékének megfelelő araméter-varácókat külön jelöléssel ellátn: B= q ; C = q ; 55./ Q = q r q k = m = 0 (-) ρ Bm- C 56./ A fent kéletben szerelő tényezők értéke az alább táblázat szernt vehetők fel: = oztív oztív negatív negatív áros áratlan áros áratlan = +n = +n+ = -n = -n- r 0 ρ / (+)/ m (-k)/6 (--k)/6 (--k)/ (--k)/ (a lehetséges együtthatók száma) 0 mod() = +/-n akkor k=0 mod() = +/-n akkor k= mod() = +/-n akkor k= =f(;) 0 m oszloszámmal és sorszámmal jellemezhető bnomáls együtthatók. A nagyobb fokszámú bnom rendezett sorszámú együtthatója ebben az esetben és fokszámmal ksebb, sorba rendezett együtthatók összegeként, lletve azokból kézett más együttható-kombnácók segítségével számítható

14 A növekvő fokszám tartományában: Ha "" oztív áros egész = + 57./ lletőleg j= = j= j Ha "" oztív áratlan egész = + 58./ lletőleg j= = j= j Ha "" negatív egész = / lletőleg j= + = j= j Az együtthatók kézése és értékkészlete az első oztív és negatív hatványok vonatkozásában a következő táblázatban látható. r k m = =75 (negatív áros) = (negatív áratlan)

15 =5 (oztív áros) = =00 (oztív 0 0 Páratlan) =95 (oztív Páros mód.) =046 (oztív Páratlan mód.) Az együtthatók kszámítására általánosságban az alább kéletek szolgálhatnak: Ha "" oztív, áratlan egész 55 = [(--)/]!/ [(--6)/]! (+)! 60./ 5

16 ahol: 0 m =(--k)/6 6./ Példakéen a javasolt kélettel történő számításoknál =, = esetén a bnomáls együttható az alábbak szernt határozható meg: A lehetséges együtthatók száma: m = (--.)/6 =4 = = [(--.)/]!/ [(--6.)/]! (.+)! =046 Ha "" oztív áros egész, akkor: = [(--)/]! /()![(-6)/]! ahol: 0 m =(-k)/6 6./ éldául =8; = 8 = 8[(8--.)/]! /(.)![(-6.)/]!=55 Ha "" negatív egész = (---)!/!(---)! +( ---)!/(--)!(-)! 6./ 0 m =(--k)/ 64./ Például, ha = -, =, akkor δ= -x - = Ismerve = (-.-)!/!(--.-)! +( --.-)!/(--.)!(-)!=65 értékét, az 54./ kélet segítségével bármely hatványösszeg kfejezhető. A NEWTON bnomból kézett hatványösszeget helyettesítő háromváltozós, araméteres hatványösszeggel kacsolatosan az alább strukturáls tulajdonságok emelhetők k. - A bnom oztív és negatív egész fokszámokra s érvényes. - Az összeadandó tagok száma közelítőleg a hatodrésze (m=-;;;4,5/6) A araméterekből kézett új B;C araméterekből kézett olnom fokszáma szntén kb. 6- szor ksebb, mnt - bnomáls együtthatók táblázatos és kombnatorka módszerekkel kéezhetők. - A táblázat a oztív és a negatív hatványösszegek tekntetében nem tükörszmmetrkus, amből következk - rímszám esetén valamenny együttható -vel osztható. - a változók előjelének bármely kombnácójában q ; B negatív, q ; C edg oztív előjelűek. Ennek következtében a megoldókéletben szerelő előjelváltó tagok mndegyke a aramétereket előjelhelyesen behelyettesítve oztív fokszám esetén oztív előjelűvé, negatív hatvány esetén előjelváltóvá válk. 6

17 . A NEWTON bnom háromváltozós, hányos araméterszámú, módosított hatványösszegként való felírása Bevezetve q =abc helyett az F= q q -q harmadfokú új aramétert, q =0 esetén csak a q,f araméterek léteznek: q =ab+ac+bc 65./ F=(a+b)(a+c)(b+c) 66./ A módosított algortmus, növekvő fokszám esetén: Q = -q Q -F Q 67./ Csökkenő fokszám esetén az algortmus: Q =( Q +q Q )/ (-F) 68./ A három változós hatványösszegek sorozatának első megoldáskélete a következők:... Q = 0 69./ Q = -q 70./ Q = F 7./ 4 Q =+q 7./ 5 Q =+5 q F 7./ 6 Q = + F -q 74./ 7 Q = -7 q F 75./ 8 Q = -8q F 4 + q 76./ Ez a hatványsor az adott esetben teljesen azonos az ala algortmus szernt a. fejezetben vzsgálttal, mvel érvényesül az alább azonosság: q=abc=f=(a+b)(a+c)(b+c) 77./ Így az általános megoldókélet és a bnomáls együtthatók meghatározására szolgáló összefüggések s azonosak. 7

18 4 A hatványösszeg - mnt algortmus Bár a témakör a számítástechnka szemontjából talán fontosabb, a tanulmánynak nem volt célja, hogy vzsgálja. Néhány gondolat azonban kínálkozott. A PASCAL háromszög talán az első algortmus, amt megsmerünk, a PASCAL az első rogramozás leírások egyke. A tanulmány ugyanazon feladat - a NEWTON bnom-kfejtésére több, a PASCAL-háromszöggel egyenértékű, sőt annál szélesebb körben használható, egymástól teljesen eltérő formájú algortmust smertet. Mndegykük közös jellemzője, hogy a művelet értékkészletük: bnomáls együtthatók előzetes meghatározásához két művelet jelzőszám (ktevő és sorszám) szükséges. A PASCAL háromszög táblázatként rendezett formája mutatja közülük a legegyszerűbb geometra struktúrát: két felső együttható összege megadja az alsó harmadkat. Hogy ugyanazon feladatra találhatók bonyolultabb rajzolatú, más kétdmenzós (kétjelzőszámos) síkbel struktúrák (a táblázatokban látható kötésmnták ) s, amelyek ráadásul összességében leegyszerűsíthetk a számítást - talán mégs csak érdekes? Szembetűnő a bemutatott algortmusok kötésmntának sakkjátékkal való forma hasonlósága s. Egydmenzós, lneárs algortmusra talán éldaként szolgálhat a Taylor sor s, amely egyetlen, egy sorba rendezhető, végtelen számú adatkészlettel kfejezhető algortmusnak teknthető. Az a célja ugyans, hogy egy kndulóhalmazból, valamely előre megadott szabályok szernt művelethalmaz segítségével - eredményhalmazt nyerjünk. De mlyenek lehetnének a nem síkbel, hanem többdmenzós algortmusok, l. trnomáls együtthatókkal? Mközben a kndulóhalmaz értékkészlete általában szabadabban megválasztható, az eredményhalmazé a mndenkor knduló és a művelethalmazok értékkészletének a függvénye. zárólag a művelethalmaz értékkészlete kötődk elsősorban magához a művelethez - az algortmushoz. Mndeddg csak olyan egyszerűbb műveletekről volt szó, amelyek művelet értékkészlete eléréséhez elegendő volt egy, legfeljebb két művelet jelzőszámot megadn, vagys legfeljebb bnomáls együtthatók használatára volt szükségünk. Ha egy olyan, összetettebb függvény vzsgálatára kerülne sor, amelyben több, művelet értékkészlettel rendelkező függvény s szereel, megjelenhet a multnomáls együtthatók alkalmazásának génye. Az algortmus jellegű tevékenységeknek (l. játékoknak) valószínűsíthetően többfunkcós kndulóhalmaza van, s így eredményhalmazuk s multnomáls művelethalmazzal érhető el. Példát lyenre most még nem tudok felhozn. 8

19 5 Összefoglalás A jelen ublkácóban egy, a hatványktevős egyenletekből kézett hatványösszegek elmélet kérdésevel foglalkozó tanulmánysorozat részeként a NEWTON bnom helyettesítésére rányuló vzsgálatokat végeztünk. Elsőként a jelenleg smereteket elemezve kmutattuk, hogy a NEWTON bnom lényegében szntén hatványösszeg, amely az smert algortmusokkal, és általános kéletek segítségével írható fel. A korább, HATVÁNYÖSSZEGE ELMÉLETE [4] tárgyú tanulmányban bzonyított ala és módosított algortmusok alaján többféle, a NEWTON bnommal egyenértékű, lletőleg annál általánosabban alkalmazható összefüggés került levezetésre. I. változat : a NEWTON bnom kétváltozós, teljes araméterszámú hatványösszegként, (változó-áronként három kélet), II. változat : a NEWTON bnom háromváltozós, hányos araméterszámú hatványösszegként való felírása, (egy kélet), III. változat: a NEWTON bnom háromváltozós, hányos araméterszámú, módosított hatványösszegként való felírása, emelendő, hogy ezek a kéletek, éen úgy, ahogy a Newton bnom, szntén rendelkeznek a bnomáls együtthatók meghatározására szolgáló módszerekkel. Jelzett kéletek még az alább eltérő sajátságokkal bírnak: - A knduló változók összevonása következtében az összeget kéező tagok száma kevesebb, mnt a NEWTON olnomé, - a megoldó kélet negatív -hatványokra s érvényes. Az eljárás a NEWTON kélettel azonos, lletve annál szélesebb területeken alkalmazható. Gyakorlat szemontból előnye, hogy az smétlődő elemenek nagyobb fokszáma matt bzonyos számítás eljárások (függvények közelítése, komlex számokkal való műveletek végzése) általa felgyorsítható. Nylvánvaló, hogy a vzsgálat kterjeszthető háromnál több gyökváltozóra s. A négyváltozós hatványösszeg, ha q =0, legfeljebb csak 6 db smétlődő, -ed fokú közös többszörös aramétervarácóból (A,B,C,D,E,F) állhat. Így valamely négyváltozós, =4 fokú hatványösszeg a hagyományos formulához kéest mndössze db összeadandóval leírható. A tárgy kacsolódk a DIOPHANTIUS egyenletek, és mnden bzonnyal, az ALGORIT- MUSO témaköréhez s. Az utóbb vszont valahol már számítástechnka, s így aktuáls. Mndezek külön tanulmányokban lennének bemutathatók. Forra György 004. júlus 9

20 6 Irodalomjegyzék: N Szerző Megnevezés adás G.H. Hardy, E.M. AN INTRODUCTION TO THE THEORY OF 97 WRIGHT NUMBERS (angol nyelvű), OXFORD, kadás Gyarmat Edt SZÁMELMÉLET 980 (Turán Pál előadásanak felhasználásával) Forra György VÜCSISZLENYIE SZTYEPENNÜX SZUM 99 Számítástechnka és Matematka Módszerek Alkalmazása a Tudományos és Ekonoma vzsgálatokban" Műszak-tudományos konferenca előadás gyűjteményében jelent meg. (A konferenca rendező voltak: az Ukrán SzSzR "ZNÁNYIE" özgazdaság és Műszak-Tudományos egyesülete, a Lvov Állam, és a ev Poltechnka Egyetem 4 Forra György HATVÁNYÖSSZEGE ELMÉLETE Hatványösszegek meghatározása és kacsolatuk a hatványktevős egyenletekkel ME (Magyar Elektronkus önyvtár)

21 7 Utószó A Hatványösszegek Elmélete tanulmány-sorozat egy 98-ben ndult vzsgálódás eredménye, amelynek ublkálására különböző okokból mndeddg nem nyílt módom. A tárgy szerteágazó, és eltérő dőszakokban különböző témaköreben merültem el - azok eredménye a [4]-ben lettek összefoglalva. Érzékelem azonban, hogy annak összefoglaló jellege matt az nem kées kellőkéen szemléltetn a tárgyban rejlő lehetőségeket. Ezért bocsátanám közre a jelen tanulmányt, amely tulajdonkéen a legelső volt, és amelyről úgy gondolom, hogy ha nem s alkalmazásra, de érdeklődésre számot tarthat. Még nagyon sok témaköre vonatkozásában gondolom úgy, hogy ublkálásra méltó, de azok csak félg-kész állaotúak, és nem tudom, hogy módom lesz-e befejezn őket? Mndez év alatt játszódott le. Döntse el bárk, hogy ez sok, vagy kevés. - öszönetet kell mondjak a Magyar Elektronkus önyvtár szonzoranak és munkatársanak, hogy a ublkálás lehetőséget számomra, vagy bárk számára megteremtették. - öszönetet kell, hogy mondjak mndazoknak szntén, akk a számítástechnka eszközet számomra s elérhetővé tették - anélkül nem tudtam volna gondolatamat kfejten. - öszönetet kell mondjak mndazoknak, akk segítséget nyújtottak, bztattak. - Végül Önnek, Tsztelt Olvasó, hogy a Tanulmányt a fgyelmére méltatta. Magam s érzékelem, hogy a tárgy kfejtését, rendszerbe foglalását nem úgy oldottam meg, ahogyan szerettem volna. Azonban eleve csak az egész ks részének a bemutatására gondolhattam, és abban bíztam, hogy a bemutatott éldák kárótolnak majd a hányosságokért. Meg abban, hogy Ön Tsztelt Olvasó, észrevételevel segít majd a tárgy kdolgozását, lletve külön folytatja azt tovább.