11. előadás PIACI KERESLET (2)

Átírás

1 . előadás PIACI KERESLET (2) Kertes Gábor Varan 5. feezete erősen átdolgozva

2 . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Olyan kereslet görbe, amt technkalag könnyű kezeln. Ezért szeretk a közgazdászok. Hogyan fest az állandó rugalmasságú kereslet görbe? Már smerük a rugalmasság logdervált formuláát, ebből lehet következtetn, hogy egy log-log függvényről van szó. Ha vesszük ennek a függvénynek az eonencáls transzformáltát, láthatuk, hogy az állandó rugalmasságú kereslet görbe nem más, mnt az ár ε hatványra emelt függvénye, ahol ε természetesen nem más, mnt a kereslet görbe mnden ontában konstans értékű rugalmasság.. fóla Az állandó rugalmasságú kereslet függvényt általánosabban s felírhatuk úgy, hogy a függvény összes argumentumát kíruk: nevezetesen nemcsak a saát-árhatást, hanem a keresztárhatást és a övedelemhatást s. Ekkor az előbbekkel telesen analóg módon, ezt kauk..2 fóla Az lyen kereslet függvények gen vonzó tuladonsága az, hogy statsztka-ökonometra módszerekkel melyekről később tanulmányak során (a harmadévben) maguk s tanulnak mad könnyen becsülhetők. Meg s szokták mérn őket.. 2 Egy mérés eredmény elemzése: a kávé ránt kereslet A kávé ránt kereslet meglehetősen stabl, de a kínálat erősen váltakozó attól függően, hogy a nagy kávétermelő országokban (Brazílában éldául) hogyan alakul a termés. Ennek következtében komolyabb mértékben váltakozk az dőben a kávé ára és fogyasztása. Van mt megfgyeln a kereslet függvény becsléséhez. (Az alább ábrán a kínálat görbéket ellemző évszámok csak hasraütésszerűen vannak megadva, azt hvatottak szemléltetn, hogy a kínálat az dőben de-oda tolódk: ha ó a termés, nő a kínálat: a kínálat görbe lyenkor obbra tolódk; ha rossz a termés, csökken a kínálat: a kínálat görbe lyenkor balra tolódk.).3 fóla Fontos dolog megérten: a statsztkusok csak azt tudák megmérn, am ténylegesen megvalósult esemény. A kereslet és kínálat görbék metszésonta lyenek. A kereslet görbe nem mnden onta lyen: a görbe ontanak legnagyobb része olyan esemény, amely azt mutata meg, hogy adott ár mellett mekkora lenne a fogyasztás. Ha a kínálat görbe nem ott metsz a keresletet, akkor a kereslet görbe e onta nem megfgyelhető. Ezért szükséges az, hogy ó néhány különböző dőontban megfgyelük a ac árat és a fogyasztott mennységet, hogy ezekből az nformácókból (a valamkor megvalósult egyensúly ontokból) következtessünk a kereslet görbe azon ontara (szakaszara) s, melyeket (mnthogy még nem valósultak meg) nem lehet közvetlenül megfgyeln. Egy becslés eredményet smertetem: az Egyesült Államok 963 és 977 közt kávéfogyasztása a élda. Ehhez gyűtöttek árnformácókat és adatokat az aggregált kávéfogyasztásról (meg a fogyasztás egyéb fontos körülményeről, l. egy fontos 2 Kertes mkro htt://

3 helyettesítő, a tea áráról). Igy összességében 5 év * 2 hóna, azaz összesen 80 darab hav megfgyeléssel rendelkeztek. A statsztka elemzéshez ez mnt mad a Statsztka II. tárgyban tanuln fogák, enny változó esetén nagyából elegendő s. Állandó rugalmasságú kereslet függvényt becsültek, az alább formában:.4 fóla Értékelük a kaott eredményeket. A kávé saát árrugalmassága 0,6, ez elég alacsony érték: azt elent, hogy ha monduk 0 %-kal növekednék a kávé ára (mnden egyéb körülmény változatlansá-ga mellett), akkor a kávéfogyasztás mndössze,6 %-kal esne vssza. A kávéfogyasztás meglehetősen rugalmatlan. A övedelemrugalmasság értéke +0,5, am azt elz, hogy a kávé normál ószág, de nem luus-, hanem közszükséglet ckk ( 0 < η m ). Fogyasztása, monduk, a övedelem 0 %-os emelkedésével s csak kb. 5 %-kal nőne. Végül a teával való kereszt-árrugalmasság értéke +0,5, am két dolgot s elez.. Mvel ε ct > 0 (a tea árának emelkedésével a kávé fogyasztása nő), nylvánvaló, hogy a tea és a kávé egymás helyettesítő; azonban 2. a kereszt-árrugalmasság nagyságának smeretében azt mondhatuk, hogy a tea nem túlságosan erős helyettesítőe a kávénak. Ha monduk a tea ára elentősen, 0 %-kal nőne, a kávéfogyasztás ettől csak,5 %-kal lendülne föl. Noha a saát- és kereszt-árrugalmasság smeretében megerősíthetük magunkat abbél előzetes htünkben, hogy az emberek elég szlárdan ragaszkodnak kedvenc reggel talukhoz, és az árváltozás által nem nagyon hagyák magukat befolyásoltatn; ennek ellenére észre kell vennünk és ez tt nekünk, akk az árelméletet tanuluk, gen lényeges, hogy az emberek még lyen, szokások által erősen befolyásolt termékek esetében s reagálnak az árak változására mnt ösztönzőkre, még akkor s, ha ebben a secáls esetben a reakcók meglehetősen lanyhák. Hogyan történk a mérés? Bár ez egy mkro-kurzus és nem statsztka, mégs nem árt erről néhány szót eten, hogy nagyából tuduk, hogyan megy egy lyen függvény becslése. Harmadéves korukban azután ontosan megtaníták ezt maguknak a Statsztka II. tárgyban. Először s, mnt említettem: megfgyelésekkel rendelkezünk a szóban forgó 5 év mnden egyes hónaára (összesen 80 hónara). Pl. úgy, hogy az Egyesült Államok Statsztka Hvatala megmér mnden egyes dőontban (l augusztusában) a kávé fogyasztó átlagárát (dollár/font-ban, font 0.5 kg.), és az Egyesült Államokban havonta értékesített összmennységet (ezer tonnában l.). Összesen 80 lyen megfgyelésünk van: 80 ontár. Vegyük a megfgyelt ellemzők logartmusát. Pl. a 2 dollár/font árat ln2-nek vagys 0,693-nak, a hozzá tartozó monduk 50 ezer tonna/hó mennységet edg ln50- nek, vagys: 3,92-nek. Az így transzformált 80 ontárat egy grafkonon ábrázolhatuk. A ontoknak ellegzetes vonulás rányuk lesz (nem összevssza szóródnak a grafkonon). Többé-kevésbé (sztochasztkusan) gaz az, amt a kereslet törvénye alaán el s várunk: mnél magasabb az ár, annál ksebb a fogyasztás, mnél alacsonyabb az ár, annál nagyobb a fogyasztás. A statsztkusok ezt az összefüggést a rendelkezésre álló ontok alaán úgy szokták megállaítan, hogy a ontokra llesztenek egy olyan görbét (elen esetben: egy olyan egyenest), amely a lehető legobban leíra a onthalmaz ellegzetes vonulás rányát..5 fóla 3 Kertes mkro htt://

4 Ez lesz a statsztkalag megbecsült kereslet görbe (rögzített övedelem és rögzített teaár mellett!). Vegyük észre azt s, hogy csak a logartmzált változókra llesztett kereslet görbe lneárs, az eredet kereslet görbe nem az. Egy állandó árrugalmasságú kereslet görbét egy herbolát becsültünk meg. Enny nagyából elég s lesz a mérésekkel kacsolatos smeretekből..6 fóla. 3 A kereslet függvény tuladonsága Most vsszatérünk a a kereslet függvény általános ellemzéséhez. Megállaítunk, lletve feldézünk néhány általános tuladonságot, amelyek hasznunkra lehetnek, ha kereslet függvényekkel dolgozunk. I. tuladonság: A kereslet függvény az árak és a övedelem szernt nullad fokú homogén függvény Először s dézzük föl a matekból, mt elent az, hogy egy függvény k-ad fokban oztív homogén függvény. Ennek secáls esete a nulladfokú homogén függvény..7 fóla Az az állítás, hogy a kereslet függvény nulladfokú homogén függvény, ennek megfelelően azt elent, hogy ha a függvény mnden egyes argumentumát megszorozzuk egy oztív t számmal, akkor az így transzformált kereslet függvény nem fog különbözn az eredet kereslet függvénytől..8 fóla Mért van ez így, és mt elent ez, mármnt közgazdaságlag? Gondolunk csak bele, hogyan származtatuk a kereslet függvényt. A fogyasztó hasznosságmamalzáló magatartásából. Vaon adott u(, 2 ) hasznosság függvény és adott + 22 m költségvetés korlát alaán származtatott kereslet függvény különbözk-e attól a kereslet függvénytől, amt ugyanezen u(, 2 ) hasznosság függvényből, de a t + t22 tm költségvetés korlát alaán katunk meg?.9 fóla Nem, mert a fogyasztó döntését nem változtata meg az, ha az összes árat és a övedelmét monduk megdulázzuk. Reálértékben a övedelme ontosan ugyanannyt ér, mnt korábban, és az árarány sem változott. Ezt a elenséget úgy nevezk a közgazdászok, hogy nncs énzllúzó. A fogyasztó raconálsan vselkedk, tuda, hogy ha ugyanolyan arányban változnak az árak és a övedelem, akkor reálértéken semm sem változott. 4 Kertes mkro htt://

5 Mvel a k-ad fokban oztív homogén függvényekre érvényes egy fontos matematka tétel (az Euler-tétel), ezt alkalmazn foguk a nullad fokban homogén kereslet függvényre. Először azonban dézzük föl az Euler-tételt..0 fóla Alkalmazzuk tehát az Euler-tételt a kereslet függvényre! Ekkor az alább formulához utunk.. fóla Fogalmazzuk meg szavakban s az összefüggést, amelyet megkatunk: Egy adott ószág kereslet függvényéből kszámítható árrugalmasságok és övedelemrugalmasság összege éen nullával egyenlő. E megállaításból két fontos következmény adódk. Egyk következmény: Egy ószág kereslete annál rugalmasabb, mnél több és közel helyettesítőe van, lletve mnél nagyobb a övedelemrugalmassága. Ezt az állítást a múlt óra végén már megfogalmaztuk, de akkor adósak maradtunk a bzonyítással. A bzonyítás kézenfekvő. Rendezzük át az előbb kaott egyenletet úgy, hogy a saátár-rugalmasságot kfeezzük az összes kereszt-árrugalmasság, lletve a övedelemrugalmasság függvényében. Normál ószágot alaul véve, a kereslet törvénye matt a baloldalon szerelő saátár-rugalmasság mínusz egyszerese egy oztív szám, a obboldalon szerelő övedelemrugalmasság nylvánvalóan oztív szám, és nagysága értelemszerűen növel a baloldalt. A keresztárrugalmasságok értékösszegét a helyettesítő termékek növelk (ez esetben ugyans a kereszt-árrugalmasság oztív), a komlementerek csökkentk (az ő esetükben a keresztárrugalmasság negatív). Ebből közvetlenül adódk a következtetés: mnél több a közel helyettesítő, annál nagyobb a baloldal (a saátár-rugalmasság) értéke..2 fóla Másk következmény: Ha egy adott ószág kereslet függvényéből kszámítható árrugalmasságok és övedelemrugalmasság összege éen nullával egyenlő, akkor ebből bzonyos korlátozás adódk magukra a kereslet függvény együtthatóra nézve. Vegyük a leggyakrabban használatos, állandó rugalmasságú kereslet függvényt. Mnt az óra eleén láttuk, ennek a kereslet függvénynek az együttható nem mások, mnt maguk az ár- és övedelemrugalmasságok. Ennek megfelelően az egyenlet együtthatónak összege éen nullát kell hogy kadon. A becslés során tehát az alább egyenlőség telesülését meg kell követeln..3 fóla II. tuladonság: A övedelemrugalmasságok súlyozott átlaga -et ad k, ahol a súlyok nem mások mnt az llető avak kadás hányada a fogyasztó költségvetésében..4 fóla.5 fóla 5 Kertes mkro htt://

6 Vegyük a fogyasztó költségvetés korlátát az egyensúly ontban! Ez azt elent, hogy a fogyasztott mennységek otmálsak (vagys az árak és a övedelem függvénye). Íruk így fel a költségvetés korlát egyenletét! Rögzítsük az árakat, és változtassuk egyedül a fogyasztó övedelmét! Mt elent ez? Azt, hogy az előbbekben felírt egyenletet egyedül a övedelem szernt dfferencáluk. Mt csnálunk ekkor? A ól smert övedelem-aánlat görbe mentén haladunk, vagys a övedelemnövekményt melynek értékét egységnynek vesszük árarányosan felosztuk a két ószág fogyasztásának növelésére. Tovább egyszerű azonos átalakításokkal megkauk a bzonyítan kívánt összefüggést (v nylvánvalóan nem más mnt az -dk ószágra való kadás hányada a fogyasztó teles költségvetésében. Ezt az -edk ószágra fordított kadás hányadnak nevezzük.) Következmény: Az -nél nagyobb övedelmerugalmasságú luus avakat szükségkéen ellensúlyozzák azok a ószágok, melyeknek a övedelemrugalmassága -nél ksebb (a közszükséglet ckkek és az alsóbbrendű avak). III. tuladonság (a kereslet törvénye): normál avak esetén a kereslet görbe negatív (nem oztív) letésű. Ezt a fontos összefüggést most úra kmonduk rugalmasság fogalmak segítségével. Indulunk k a két előadással ezelőtt levezett Szluck-tételből, és végezzük el az alább azonos átalakításokat..6 fóla A Szluck-tétel ebben a rugalmasságokra átírt formában azt monda k: a kereslet árrugalmassága akár a saátár-rugalmasságról van szó, akár a kereszt-árrugalmasságról egyenlő a komenzált (vagy hcks) árrugalmassággal mínusz az llető ószág kadás hányadával súlyozott övedelemrugalmassággal. Természetesen tt s arról van szó, hogy az árváltozás teles kereslet hatását felbontuk helyettesítés hatásra és övedelemhatásra. A m kéttermékes esetünk egyk kereslet függvényére konkretzálva, ez a következőket elent:.7 fóla A kereslet törvénye rugalmasság fogalmakban s elmondható:.8 fóla A helyettesítés hatás (komenzált árrugalmasság) mérése a Szluck-tétel rugalmasságokra átírt változata alaán könnyűszerrel elvégezhető, csak át kell rendeznünk az előzőekben levezetett egyenletet, és az smeretlen komenzált árrugalmasságot az smert (komenzálatlan) rugalmasságok segítségével kfeeznünk..9 fóla Ha vsszatérünk az előadás során már smertetett kávékereslet éldára, akkor ha a éldát kegészítenénk egy olyan nformácóval, hogy az Egyesült Államokban az átlagos 6 Kertes mkro htt://

7 fogyasztó 963 és 977 között övedelmének (monduk) százalékát költötte kávéfogyasztásra, akkor könnyűszerrel kszámíthatnánk a helyettesítés hatás mértékét kfeező komenzált saátár-ugalmasság értékét az alább módon:.20 fóla Vagy vegyünk egy másk éldát, ahol a mértékek matt a hatások szembetűnőbbek! akásvásárlásról van szó, ahol a lakás méretét a szobaszámmal mérük. A fogyasztás egysége az egy ótlólagos szoba ránt kereslet a ótlólagos szoba éítés költsége, mnt ár függvényében (ez utóbb szóródk, hszen az éítés költségek földrazlag erősen szóródnak). Árrugalmasság: ha %-kal csökken az ár, hány %-kal nő a lusz egy szoba ránt kereslet éldául azáltal, hogy azok közül, akk eddg az adott áron k szobás lakást vettek volna, most többen vannak azok, akk az ú áron k+ szobás lakást kívánnak vásároln. Itt m egyetlen becslés eredményét közölük: olyan háztartásokra vonatkozó becslés eredményet, amelyekben a házasárral együtt egyetlen eltartott gyerek él, és amelyekben a háztartásfő életkora nagyobb vagy egyenlő mnt 50 év:.2 fóla Ehhez a tuladonsághoz tartozk, ezért tt említük meg, hogy mvel a keresztárhatásnak kétfata mértéke van: komenzálatlan (vagy bruttó) keresztárhatás, lletve komenzált (vagy nettó) keresztárhatás, ezért a keresztárhatások révén defnált helyettesítő, lletve kegészítő avaknak s két defnícóa van, attól függően, hogy a defnícó során a keresztárhatásba beszámítuk-e a övedelemhatást s (bruttó mérték), vagy kzárólag a helyettesítés hatást számítuk be (nettó mérték). Ennek megfelelően két ószág lehet egymással bruttó helyettesítő vagy bruttó kegészítő vszonyban, lletve lehet egymással nettó helyettesítő vagy nettó kegészítő vszonyban. A könnyebb átteknthetőség kedvéért táblázatba foglaltam e meghatározásokat, és előtte feldézem mégegyszer a defnícók alaául szolgáló, rugalmasság termnusokban megfogalmazott Szluck-tételt..22 fóla A Szluck-egyenlet tovább manulálásával egy tovább érdekes rugalmasság összefüggést állaíthatunk meg: A komenzált árrugalmasságok összege (a saátárhatásé és keresztárhatásoké) nullát ad k..23 fóla Következmény: Mvel a komenzált saát-árrugalmasság mndg negatív ( ε * < 0 ), ezért kell lenne legalább egy olyan terméknek, amelyre nézve a komenzált keresztárrugalmasság okvetlenül oztív ( ε * > 0 ). Máskéen megfogalmazva: ez azt elent, hogy mnden normál ószágnak kell hogy legyen legalább egy nettó helyettesítőe (és nem feltétlenül van nettó kegészítőe)..24 fóla Megegyezzük tt, hogy ez az oka annak, hogy amkor a kéttermékes modellben grafkusan róbáltuk ábrázoln a helyettesítés hatást és a övedelemhatást, nem tudtunk 7 Kertes mkro htt://

8 olyan esetet konstruáln, hogy a helyettesítés hatás előele mndkét termék esetében azonos legyen. Kéttermékes esetben ez elvleg lehetetlen. A rugalmasság termnusokban úrafogalmazott, és általános formában felírt Szlucktételből, valamnt a nettó és bruttó helyettesítők, lletve kegészítők defnícóából vlágosan látszk, hogy gen ravasz összefüggések állhatnak fenn két termék között. Hogy csak egy éldát említsünk: még az s előfordulhat, hogy egy termékár egymás nettó helyettesítőe, és egyszersmnd egymás bruttó komlementere. Ez ersze abból adódk, hogy kereszthatá-sok esetén a helyettesítés és övedelemhatás ellentétes előelű s lehet. Innentől kezdve mnden a hatások egymáshoz vszonyított erősségén múlk..25 fóla IV. tuladonság: A komenzált keresztárhatások szmmetrkusak Igen kézenfekvő tuladonságról van szó: ha az -edk termék a -edk terméknek nettó helyettesítőe (vagy kegészítőe), akkor nylván elvárható az s, hogy ha a -edk termék s nettó helyettesítőe (vagy kegészítőe) legyen az -edk terméknek. A komenzált (hcks) kereslet függvény természetesen rendelkezk s ezzel a tuladonsággal. A tuladonságot matematkalag így fogalmazhatuk meg (a bzonyítást e helyütt mellőzzük, mvel az némleg nehezebb az általában ennek a kurzusnak a során alkalmazott matematka anyagnál):.26 fóla Ha ezt a tuladonságot megróbáluk rugalmasság fogalmakba átírn, akkor egy kellemetlen dologba ütközünk: a komenzált kereszt-árrugalmasságokra a szmmetratuladonság nem telesül..27 fóla Ez ba, mert a komenzált helyettesítés hatások mérése érdekében olyan mutatóra lenne szükségünk, amelyre a szmmetra telesül. A közgazdászok ezen a gondon gen egyszerűen segítettek: ktaláltak egy másk mutatót, amely a szmmetra előnyös tuladonságával s rendelkezk. Nem kell mást tennünk, mnt az eddg tanult komenzált helyettesítés rugalmasságot el kell osztanunk a megfelelő ószág kadás hányadával. Az ú rugalmasság mutatót Hcks-Allen féle helyettesítés rugalmasságnak nevezk, és szgmával szokták elöln..28 fóla A helyettesítés hatások mérésének legyenek azok saátár-hatások vagy keresztárhatások ez az általánosan elteredt mérőeszköze. Ha tehát knytnak egy szakma folyóratot, akkor a kereslet függvények (vagy l. munkakínálat függvények) mérésekor az esetek túlnyomó többségében ezzel a mérés eszközzel fognak találkozn. Ezért foglalkozunk lyen sokat ezekkel a formulákkal. Szeretnénk ugyans elérn, hogy kéesek legyenek önállóan a szakrodalmat olvasn. 8 Kertes mkro htt://

9 . 4 Összefoglaló A obb átteknthetőség kedvéért egy táblázatban összefoglaluk az ennek az előadásnak a során tanult rugalmasság formulákat:.29 fóla Alfred Marshall ( ) John R. Hcks ( ) 9 Kertes mkro htt://

10 . előadás PIACI KERESLET (2) MELLÉKLET Kertes Gábor 0 Kertes mkro htt://

11 . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Kertes mkro htt://

12 .2 Állandó rugalmasságú kereslet függvény (,,m) 2 () a b c α 2 m (2) ln A + a ln + b ln2 + c lnm (3) a b ln ε (4) ln ln ε2 (5) ln 2 ln c ηm (6) ln m 2 Kertes mkro htt://

13 .3 A kávéfogyasztás változása 963 és 977 között (llusztrácó) 3 Kertes mkro htt://

14 .4 A kávé ránt kereslet becslése, USA c a kávé fogyasztása (ezer tonna/hó) c a kávé egységára (dollár/font, font ½ kg) t a tea egységára (dollár/font, font ½ kg) m fogyasztó övedelem (dollár) T dő (963. an.; 963. feb.2; ; 977. dec.80) Állandó rugalmasságú becsült kereslet függvény: ln c konstans - 0,6 ln c + 0,5 ln t + 0,5 ln m - 0,009T Forrás: Hrshlefer- Hrshlefer (999), 5.5. élda. 4 Kertes mkro htt://

15 .5 A onthalmaz ellegzetes vonulás rányát legobban leíró egyenes 5 Kertes mkro htt://

16 .6 A kávé statsztkalag megbecsült kereslet görbée 6 Kertes mkro htt://

17 .7 k-ad fokban oztív homogén függvény defnícóa k-ad fokban (k tetszőleges szám) oztív homogén függvény: z ( t,ty) t k f (, y) f t > 0 Secáls esetek: elsőfokú homogén függvény: ( t,ty) t f (, y) z f t > 0 nulladfokú homogén függvény: ( t,ty) f (, y) z f t > 0 7 Kertes mkro htt://

18 .8 A kereslet függvény nulladfokú homogén függvény ( t,t,tm) (,,m) ahol: t > 0,2 8 Kertes mkro htt://

19 .9 A kereslet függvény nulladfokú homogén függvény nncs énzllúzó mau,2 kf : (, ) m mau, 2 kf : t (, ) 2 + t 2 2 t m (,,m) 2,2 Mndkét feladatból ugyanazok a marshall kereslet függvények származtathatók. 9 Kertes mkro htt://

20 .0 Euler-tétel Ha egy függvény k-ad fokban oztív homogén, vagys ha: z ( t,ty) t k f (,y) f t > 0, akkor gaz, hogy: f + f y y k f(, y), amennyben t (Bzonyítást lásd: Sydsaeter-Hammond oldalán) Nulladfokú homogén függvényekre (secáls eset) gaz: Ha: z f ( t,ty) f (,y), f f akkor: + y 0. y 20 Kertes mkro htt://

21 . Alkalmazzuk az Euler-tételt a kereslet függvényre, amely (mnt tuduk) nulladfokú homogén függvény Mvel ( t,t,tm) (,,m) 2 2, ezért: () m m 0 (Euler) (2) Osszuk végg (2) -t -vel! / + / m / m 0 (3) Vagys: ε + ε + η 0 (4) 2 m Általánosabban: 2 ε + ηm 0 ;,2 (5) 2 Kertes mkro htt://

22 .2 Egy ószág kereslete annál rugalmasabb, mnél több és közel helyettesítőe van, lletve mnél nagyobb a övedelemrugalmassága Normál avak esetén: η m > 0 és < 0 ε ( ε > 0) Így: ε n ε + η m helyettesítők kegészítők ε 0 ε < 0 > 22 Kertes mkro htt://

23 .3 A kereslet függvény együtthatóra nézve érvényes egy korlátozás: az együtthatók összege nulla kell legyen! Például: a b 2 c α m állandó rugalmasságú kereslet függvény esetében a becslés során érvényesíten kell az alább korlátozást: a + b + c 0. Ez egyenesen következk a n ε + ηm 0 tuladonságból (lásd:. fóla!) 23 Kertes mkro htt://

24 .4 A övedelemrugalmasságok súlyozott átlaga -et ad k (súlyok kadás hányadok) (,,m) (,,m) m a költségvetés korlát a fogyasztó otmumban Rögzítsük (, 2 )-t és változtassuk egyedül a övedelmet (m) Vagys: dfferencáluk m szernt: + m 2 2 m 24 Kertes mkro htt://

25 .5 A övedelemrugalmasságok súlyozott átlaga -et ad k (súlyok kadás hányadok) () egyszerű azonos átalakítása: m 2 m (2) m m m m 2 Átrendezve: m m 22 2 m / + / (3) m m m 2 v η m v 2 η 2m Vagys: n v ηm (4) ahol (Mvel n v m m, ezért v ) n kadás hányad. 25 Kertes mkro htt://

26 26 Kertes mkro htt:// Szluck-tétel rugalmasság fogalmakkal M u ~ u H M m () m m m / / u ~ u H M (2) ε u ~ u ε m m / m v η m Vagys: m v η ε ε (3) (Jelölés konvencó: ε ε u ~ u, ε : hcks (komenzált) árrugalmasság)

27 .7 A rugalmasság fogalmakra átírt Szluck-tétel kéttermékes esetben Szluck-tétel: Vegyük az (,,m) (,,m) 2 kereslet függvényt! 2 ε ε v ηm (,, m) 2 ε2 ε2 v2 ηm Saát árrugalmasság Komenzálatlan (marshall) Komenzált (hcks) ε η m : övedelemrugalmasság Keresztárrugalmasság ε ε2 ε 2 27 Kertes mkro htt://

28 .8 A kereslet törvénye rugalmasság fogalmakban Ha normál ószág η m > 0 Szluck-tétel: ε ε v ηm 0 ε u u ~ 0 (a 9. előadáson bzonyítottuk) η m > 0, ha normál ószág Ezért: Normál avak esetén: ε 0 Általánosságban: ε 0 28 Kertes mkro htt://

29 .9 Az (smeretlen) komenzált árrugalmasság kszámítása (smert) komenzálatlan rugalmasságok segítségével Rendezzük át a.6 fólán látható Szluck-tételt az alább módon: ε ε + v ηm Az (,,m) 2 esetében: ε ε + v ηm Mvel a obboldalon szerelő összes mennység mérhető a komenzált árrugalmasság s kszámítható. 29 Kertes mkro htt://

30 .20 A komenzált saát-árrugalmasság értéke a kávékereslet élda alaán Feltesszük, hogy v c 0,0, vagys a kávéra történő kadások súlya a fogyasztó költségvetésében: %. Ekkor (.4. fóla adatat alaul véve): ε cc εcc + vc ηcm 0,6 + 0,0 0,5 0, Kertes mkro htt://

31 .2 A komenzált saát-árrugalmasság értéke a lakáskereslet élda alaán η ε m 0, ,80 Feltesszük, hogy v 0, Ekkor ε ε + v η m 0, , 0,8 0,066 Példa: M történk 00%-os áremelkedés esetén a lakáséítés acon? 8,4% lakásfogyasztás -csökkenés 6,6% helyettesítés hatás (másra költk a énzük egy részét): ε,8% övedelemhatás (csökkenő reálövedelmük matt vsszafogák lakásfogyasztásukat [s]): v η 8,4% összesen: ε m 3 Kertes mkro htt://

32 .22 Bruttó és nettó helyettesítők, lletve kegészítők defnícó Szluck-tétel: ε ε v ηm bruttó nettó Helyettesítők Kegészítők (komlementerek) Bruttó ε > 0 ε < 0 Nettó > 0 ε ε < 0 32 Kertes mkro htt://

33 .23 A komenzált árrugalmasságok összege nullát ad k Indulunk k a Szluck-tételből: ε ε v ηm () Összegezzük szernt! n n n ε ε ηm v (2) Rendezzük át! n n (defnícó szernt) ε ε + ηm (3) 0 (már bebzonyítottuk) Így: ε 0 n (4) 33 Kertes mkro htt://

34 .24 Mnden normál ószágnak kell legyen legalább egy nettó helyettesítőe (.23) következménye. Ugyans: ε n + ε 0 <0 Kell legyen legalább egy olyan ε, amelyre gaz, hogy ε > Kertes mkro htt://

35 .25 Előfordulhat, hogy és termék egymás nettó helyettesítő, de bruttó komlementere Szluck: ε ε v ηm Legyen: 0,5 0 ε > nettó helyettesítők v 0,2 η 0,8 0 normál közszükséglet ckk m > Ekkor: ε v η m 0,5 0,2 0,80 0,0 ε < 0 bruttó kegészítők 35 Kertes mkro htt://

36 .26 A komenzált keresztárhatások szmmetrkusak Ha a -nek helyettesítőe (vagy komlementere), akkor s helyettesítőe (vagy komlementere) -nek: H u u ~ H u u ~ (Bzonyítás nélkül közölük.) 36 Kertes mkro htt://

37 .27 A komenzált kereszt-árrugalmasságok nem szmmetrkusak. (Ez ba!) ε ε Bzonyítás: ε H u u ~ H u u ~ ε Ugyans: noha H u u ~ H u u ~ de 37 Kertes mkro htt://

38 .28 Hcks-Allen-féle helyettesítés rugalmasság defnícóa (és szmmetra-tuladonsága) σ Hcks-Allen-féle helyettesítés rugalmasság (v kadás hányad) ε v Állítás: σ σ szmmetra. Bzonyítás: σ ε v H u u ~ m H u u ~ m σ ε v H u u ~ m H u u ~ m Mvel: H u u ~ H u u ~ Ezért: σ σ 38 Kertes mkro htt://

39 .29 A rugalmasság formulák összefoglalása n () ε + ηm 0 n (2) v η m (3) ε ε v ηm (Szluck-tétel) n (4) ε 0 (5) σ σ, ahol : σ ε v 39 Kertes mkro htt://