MISKOLCI EgyETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK. Pénzügyi menedzsment. feladatgyűjtemény

Átírás

1 ISKOLCI gyt GZSÁGTUOÁNYI KR PÉNZÜGYI TNSZÉK Pénzügy menedzsment eladatgyűjtemény 005

2 ISKOLCI GYT GZSÁGTUOÁNYI KR PÉNZÜGYI TNSZÉK Összeállította: Galbács Péter demonstrátor

3 1. eladat gy ortoló kockázatos, és kockázatmentes részből tevődk össze. kockázatos elem várható hozama 15%, ugyanezen rész kockázata %. kockázatmentes rész hozama 7%. beektetőre jellemző kockázatelutasítás araméter (kockázatkerülés együttható) értéke 4. Hogyan og alakuln a mnmáls szórású (kockázatú) ortolóban a kockázatos elem aránya, és mekkora lesz az így összeállított ortoló várható hozama és kockázata? egoldás: rendelkezésre álló normácók segítségével elírhatók az alább adatok: (r)15% % r7% 4. Kérdés, hogy mként kell összeállítanunk az otmáls (mnmáls szórású) ortolót. megoldás során eltételezzük, hogy a kockázatos rész aránya "y", a kockázatmentes rész aránya edg "1 y". vel a ortoló egyk része kockázatmentes elemet jelent, a teljes ortoló kockázata megadható az alább módon: c y, ahol c a ortoló kockázatát jelöl. ndezek alaján megadható a teljes ortoló várható hozama s az alább módon: ( rc ) y ( r ) ( y) r 1, ahol (rc) a ortoló teljes hozamát jelöl. Ha az egyenletet az alább módon átalakítjuk, előállítható az utolsó sorban található orma: ( rc ) y( r ) r yr ( rc ) r y( r ) yr ( r ) r y[ ( r ) r ] c egoldásként (rc)7%y(15% 7%) adódk. Ha eltesszük, hogy y0,5, akkor (rc)70,5(15 7)11% lesz. ortoló kockázata ekkor cy0,5%11%. beektetés lehetőség körülményet jól szemléltet a CL-modell (CLCatal llocaton Lne) az alább módon: 3

4 15% (r ) r 7% % ortoló összeállításával kacsolatos választás lehetőségek a vízszntes tengelyen helyezkednek el. zen lehetőségek 0 és % között találhatók (ha a ortolóban éldául kzárólag kockázatos elemet szereeltetnénk, a ortoló kockázata %, várható hozama edg 15% volna), ha a beektetőnek nncs htelelvétel lehetősége lletve a %-os értéktől oztív rányban található tartományon, ha htelelvétel lehetőség áll rendelkezésre. cél egy olyan ortoló összeállítása, amely maxmáls hasznosságot nyújt az ezt választó beektető részére. hasznosság üggvény (U) az alább módon írható el: ( r) 0,005 U. üggvény alaján észrevehető, hogy egy beektetés hasznossága nagy, ha nagy a beektetés várható hozama ám a hasznosságra csökkentőleg hat az -val jelölt kockázatelutasítás ndex (ennek értéke annál nagyobb, mnél jellemzőbb az adott beektetőre a kockázat elutasítása, vagys és a kockázatelutasítás között oztív rányú arányosság áll enn), lletve a beektetés kockázata. hasznosság üggvény jobb oldalának első tényezőjét [(r)] elcserélhetjük az mént elírt egyenlőség segítségével, amelyben a ortoló hozamát adtuk meg. kkor az alább egyenlet áll elő: [ ( r ) r ] 0,005 U r y vel korábbról tudjuk, hogy cy, az egyenlet tovább alakítható, és előáll az alább orma: [ ( r ) r ],005 y U r y. 0 4

5 Ha a üggvényt y szernt derváljuk, a eladat egy szélsőérték-számítás roblémára vezethető vssza. hasznosság maxmum a üggvény azon ontján áll elő, ahol az első dervált értéke 0. Vagys: 0 ( r ) ( r ) r r y 0,01 0,01 y ent, y-ra rendezett kélet nevezőjéből a megszokott 0,01 értékű szorzótényező elhagyható, mvel az alaadatok az araméter kvételével százalékban vannak megadva (de egyszerűsítésre csaks ebben az esetben van lehetőség). kélet tehát az alább ormában s elírható: y ( r ) r ent kejezés számlálójában található (r) r kejezés a kockázat rémum; ennek értékével egyenes arányosságot mutat az y arány, vagys mnél nagyobb lesz a kockázatmentes hozamhoz kéest a kockázatos elemmel (lletve ortolóval) elérhető nyereség, a kockázatos elem részaránya (y) s annál magasabb lesz. Ha értékére a megoldás során 4 szntet választunk (amely egyébként az általánosan jellemző tartomány első határa s egyben), a behelyettesítés során előáll a keresett y arány: 0,15 0,07 y 4 0, 41,3% szernt egy 4 kockázatkerüléssel jellemezhető beektető a eladat szövegében megadott araméterekkel rendelkező beektetés esetében akkor maxmalzálhatja hasznosságát, ha a kockázatos rész arányát 41,3%-ban meghatározza meg. zek után meghatározható a ortoló várható hozama s: ( r ) r y [ ( r ) r ] 7 % 41,3% ( 15% 7% ) 10,31% c korábban már elírt egyenlet segítségével megadható az ekként előállított ortoló kockázata s: c y 41,3% % 9,09%. kérdéses beektető számára a maxmáls hasznosságot bztosító ortoló várható hozama 10,31%, kockázata edg 9,09% lesz. eladat xcel segítségével s könnyedén megoldható. z alábbakban egy lehetséges táblázatot láthatunk, amely a megadott alaadatokat, lletve a végeredményként kaott megoldásokat s tartalmazza: 5

6 használt üggvények az következők voltak (a kockázatos rész aránya, a ortoló hozama, lletve a ortoló kockázata): KRK((1-3)/(4*^);4) KRK(36*(1-3);4) KRK(6*;4) z eredmények meghatározásához szükséges kéletek a zárójeleken belül találhatók. Valamenny kélet a KRK üggvénybe lett ágyazva, hogy a megoldások 4 tzedesre történő kerekítése megoldható legyen.. eladat z előző eladat által elvetett robléma tovább vzsgálható. Kérdéses, hogy ha meg s határoztuk, hogy az otmáls ortolóban 41% lesz a kockázatos elem aránya, a kockázatos elemen belül mlyen arányban szereeljenek kötvények és részvények. kérdés tehát így szól: hogyan lehet ezt a 41%-ot a lehető legotmálsabban összeállítan? eladat valójában tehát úgy határozható meg, hogy egy ortolót két kockázatos elem elhasználásával kell összeállítan. megoldás során a CL meredekségének szélsőértékét kell megkeresn. Vagys arra keressük a választ, hogy hol lesz a legnagyobb az egységny kockázatnövekedésre adott hozamnövekedés. kockázatos rész összeállításakor kötvényala és részvényala között választhatunk. kötvényala várható hozama 8%, a részvényala várható hozama ezzel szemben 13%. kötvények kockázata 6

7 7 1%, a részvényeké 0%. Ismert továbbá, hogy a részvények és a kötvények hozama között korrelácós együttható értéke edg 0,3. egoldás: z alaadatok segítségével elírható az alább összeoglaló táblázat: Kötvényala Részvényala (r) 8% 13% 1% 0% kegészítő normácók alaján edg ρ 0,3. Igaz az, hogy COV(r;r)ρ. beektetés kockázatos részének hozama az alább módon áll elő, ha a kötvények, edg a részvények súlya, és gaz az, hogy (1 ): ( ) ( ) ( ) r r r, ahol (r) a kötvények, (r) edg a részvények várható hozama. hhez hasonlóan elírható a ortoló kockázata s: ρ. z egyenletet átalakítva, majd szernt az alább módon derencálva előáll a súlyarány meghatározására szolgáló egyenlőség, amelybe behelyettesítve a rendelkezésre álló adatokat, megkajuk a kérdéses arányt (vagys a kötvények súlyát): ρ ( ) ( ) ρ 1 1 ( ) ρ ρ 1 ρ ρ ρ ρ 4 ρ ρ. kockázat mnmumánál a derencált üggvény értéke zérus. zt khasználva a tényezőt nem tartalmazó tagokat a bal oldalra rendezzük: ρ ρ ( ) ρ ρ zek után előáll a súlyarány meghatározásához szükséges egyenlőség: ρ ρ.

8 Végül behelyettesítve azt kajuk, hogy: 0,1 0, 0,1 0, 0,3 8% 0, 0,1 0, 0,3 zek szernt a mnmáls szórású ortoló 8%-ban kötvényt, 18%-ban edg részvényeket tartalmaz. vel most már mnden szükséges adat a rendelkezésünkre áll, kszámítható az így előállított ortoló kockázata s: IN 0,8 0,1 0,18 0, 0,8 0,18 0,1 0, 0,3 0,0131. gyszerű gyökvonással előáll a ortoló szórása, amely 11, ,45%. Végül megadható a ortoló hozama s: eladat xcel segítségével s megoldható: ( ) 0,8 0,08 ( 1 0,8) 0,13 8,9% r használt kéletek a következők voltak: 8

9 (C3^-3*C3*4)/(3^C3^-*3*C3*4) (6^*3^(1-6)^*C3^*6*(1-6)*3*C3*4)^0,5 (6*(1-6)*C) eladat gy ortoló kockázatos, lletve egy kevésbé kockázatos elemből áll. kockázatos rész várható hozama 1%, kockázata edg 0%. Ismert továbbá, hogy a ksebb kockázatú rész hozama 6%. beektetőre jellemző kockázatelutasítás ndex 3,5. ekkora lesz az ezen normácók alaján összeállított ortolóban a kockázatos rész aránya (y), a ortoló hozama ((rc)), lletve kockázata (c)? egoldás: kockázatos elem súlyának, a ortoló hozamának, lletve kockázatának meghatározása: ( r ) r y 0, ,01 3,5 0 0,486 ; ( r ) y ( r ) ( 1 y) r 0,486 0,1 ( 1 0,486) 0,06 8,57% c c y 0,486 0, 8,57% kockázatos rész arányára tehát y4,86%, a ortoló hozamára (rc)8,57%, kockázatára edg c8,57% adódott. 4. eladat gy ortoló kockázatos, lletve egy kevésbé kockázatos elemből áll. kockázatos rész várható hozama 16%, kockázata edg 7%. Ismert továbbá, hogy a ksebb kockázatú rész hozama 8%. beektetőre jellemző kockázatelutasítás ndex 4. ekkora lesz az ezen normácók alaján összeállított ortolóban a kockázatos rész aránya (y), a ortoló hozama ((rc)), lletve kockázata (c)? egoldás: kockázatos rész arányára y7,43%, a ortoló hozamára (rc)10,19%, kockázatára edg c7,41% adódott. 5. eladat gy ortoló kockázatos, lletve egy kevésbé kockázatos elemből áll. kockázatos rész várható hozama 3%, kockázata edg 7%. Ismert továbbá, hogy a ksebb kockázatú rész hozama 8%. beektetőre jellemző kockázatelutasítás ndex. ekkora lesz az ezen normácók alaján összeállított ortolóban a kockázatos rész aránya (y), a ortoló hozama ((rc)), lletve kockázata (c)? egoldás: kockázatos rész arányára y164,61% adódott. kockázatos rész 100%-ot meghaladó súlya kzárólag htelelvétel mellett értelmezhető. ortoló várható hozama 47,51%, kockázata edg 44,44%. 6. eladat gy ortoló összeállításánál kötvény-, lletve részvényala között van módunk választan. kötvényalara vonatkozó várható hozam 7%, a részvényalara vonatkozó várható hozamadat edg 9

10 15%. kötvények kockázata 11%, a részvényeké ezzel szemben 16%. zek mellett smert az s, hogy a kétéle nstrumentum hozama között korrelácós együttható értéke 0,5. lyen lesz a rendelkezésre álló normácók alaján összeállított ortolóban a kötvények lletve a részvények súlya, mekkora lesz a ortoló kockázata, lletve hozama? egoldás: rendelkezésre álló adatok alaján elírható az alább táblázatos összeoglalás: Instrumentum Hozam Kockázat Korrelácó Kötvény 7% 11% 0,5 Részvény 15% 16% kötvények súlyának meghatározása: ρ ρ ,5 0,8358; ,5 ortoló varancájának és kockázatának meghatározása: 0, ,581; 11 ρ 0,8358 0,0116 0,11 ( 1 0,8358) 16 0,8358 ( 1 0,8358) ρ ( 1 0,8358) 0,16 0,8358 ( 1 0,8358) bből egyszerű gyökvonással kéezhető a kockázat (szórás), amelyre: 10,75% ortoló várható hozamának meghatározása: ,5 0,11 0,16 0,5 ( r ) ( r ) ( r ) 0, ( 1 0,8358) 15 8, 3136 kötvények súlyára tehát 83,58%, a részvények súlyára 16,4%, a ortoló kockázatára 10,7509%, várható hozamára edg (r)8,3136% adódk eredményként.. 7. eladat gy ortoló összeállításánál az alább táblázatban összeoglalt alaadatok smertek. Kérdés: a mnmáls szórású ortolóban mekkora lesz az egyes nstrumentumok súlyaránya, hogyan og alakuln a ortoló kockázata, lletve várható hozama? Instrumentum Hozam Kockázat Korrelácó Kötvény 8,5% 8% 0,1 Részvény 19% 45% 10

11 egoldás: kötvények súlyára 98,61%, a részvények súlyára 1,39%, a ortoló kockázatára 7,98%, várható hozamára edg (r)8,65% adódk eredményként. 8. eladat z előző eladatokban a tőkeallokácós kérdés úgy merült el, hogy vajon az összeállítandó ortolónak hány százaléka legyen kockázatos, s hány százaléka kevésbé kockázatos nstrumentumban beektetve. robléma azonban bővíthető, ha már három választás lehetőség kínálkozk, vagys a beektetendő tőkét részvény, kötvény, lletve kockázatmentes énzac értékaír között tudjuk megosztan. Legyenek adottak az alább alaadatok: Instrumentum Hozam Kockázat Korrelácó (ρ ) Kötvény 8% 1% 0,3 Részvény 13% 0% Kncstárjegy 5% 0% Hogyan alakul annak a ortolónak a hozama és kockázata, amelyet a ent három nstrumentum elhasználásával állítanak össze? lyen lesz az egyes aírok súlya a ortolón belül? egoldás: korábbak alaján tudjuk, hogy a entekben jellemzett kötvény és részvény elhasználásával előállított ortoló 8%-ban tartalmaz kötvényt, 18%-ban részvényt, s a ortoló várható hozama 8,9%, kockázata edg 11,4473% (lásd. eladat). zek segítségével már könnyedén meghatározható az ortoló esetén a CL meredeksége (Share-mutató): S ( r ) r 8,9 5 0, ,4473 Share-mutató közgazdaság értelmezése azt mutatja meg, hogy hogyan alakul az egységny kockázatra (szórásra) jutó kockázat rémum. Fontos azt tudn, hogy az így létrehozott ortoló hogyan helyezkedk el a kockázat és a várható hozam által determnált kétdmenzós mezőben. vel célunk a mnmáls kockázatú ortoló összeállítása volt, a lehetséges ortolóallokálás döntéseket összeoglaló görbén az általunk meghatározott ont az orgóhoz legközelebb eső (vagys a mnmáls szórást megtestesítő) ktüntetett helyen og elhelyezkedn. z alább ábrán ezt a CL egyenes azon ontja mutatja, amely 8,9%-os hozamadatnál, lletve 11,4473%-os kockázatadatnál metsz a lehetséges ortolók kockázatának és hozamának egymáshoz való vszonyát mutató görbét. Ha azonban nem törekednénk a mnmáls szórás elérésére, elérhetnénk magasabb hozamokat s. gy olyan eltételezett ortoló esetében, amely 75%-ban kötvényt, 5%-ban edg részvényt tartalmaz, a ortolóra jellemző hozamadat már 9,5%, a kockázat edg 11,536% lenne. Jól látható, hogy a ortoló mndkét releváns jellemzője oztív rányban változott az allokácós döntés hatására, vagys a görbén a ktüntetett (mnmáls kockázatot bztosító) ontból jobbra és elelé mozdultunk el. z eredet ontot és az elmozdulást jól nyomon lehet követn az alább ábrán. tőkeallokácós egyenest egészen addg orgathatjuk el a üggőleges tengelymetszet által meghatározott ont körül, amíg az az allokácós döntés lehetőségeket jelző görbe érntője lesz (az ábrán ezt a helyzetet mutatja a CL egyenes által meghatározott ont). 11

12 1 zen művelet révén egy olyan (szntén ktüntetett jelentőségű) tőkeallokácós egyeneshez jutunk (CL), amely adott kereteltételek (vagys döntés lehetőségek) mellett a lehető legnagyobb hozam-varanca arányt bztosítja ormálsan ezt az arányt ejez k a tőkeallokácós egyenes meredeksége. z így kaott ont (allokácó) az az otmálskockázatú ortoló, amt már a kncstárjeggyel kombnálunk. számszerű megoldás során meg kell találn azon és súlyokat, amelyek mellett a CL a legnagyobb meredekségű lesz (cél tehát a maxmáls értékű Sharemutató meghatározása). megoldás egyben azt s bztosítja, hogy az egységny kockázatra jutó kockázat rémum ezen allokácó mellett lesz a legnagyobb: ( ) r r axs megoldás során teljesüln kell annak, hogy 1. vel tudjuk, hogy ( ) ( ) ( ) r r r, lletve hogy ( ) r r COV ρ ; zen egyenlőségek alaján a Share-mutató átalakítása az alább módon történhet meg: ( ) ( ) ( ) r r r S ρ 1 kejezést ezek után -re derválva, 0-val egyenlővé téve, majd -re megoldva az alább egyenlőség áll elő: CL (r) 11,4473 8,9 5 CL

13 [ ( r ) r ] [ ( r ) r ] ρ [ ( r ) r ] [ ( r ) r ] [ ( r ) r ( r ) r ] ρ ehelyettesítve azt kajuk, hogy: ( 8 5) 0 ( 13 5) 1 0 ( 8 5) 0 ( 13 5) 1 ( ) 0, ,30 0,40 ortoló várható hozama: z otmáls ortoló kockázata: ( r ) ( r ) ( r ) 0,4 8 0, ,4 1 14,1986 0,6 0 ρ 0,4 0, ,3 01,600 z otmáls ortoló várható hozama 11%, kockázata edg 14,1986% lesz (ez a két adat kjelöl a ortoló helyét az mént ábrán az érntés ontban). kockázatos részen belül a kötvények otmáls súlyaránya 40%. z otmáls ortoló összeállítása révén előállított CL meredeksége: S ( r ) r ,46 14,1986 Fontos észrevenn azt, hogy a megoldás eddg menete során a beektetőre jellemző kockázatelutasítás () nem kaott szereet. z azt jelent, hogy a kockázatos eszközök között választást nem beolyásolja a beektető reerencarendszer (legalábbs am a kockázatvállalás mértékét llet). z egyénre jellemző kockázatkerülés jelentősége abban van, hogy csak ennek smeretében lehet meghatározn, hogy az otmáls ortoló mlyen arányban tartalmazzon kockázatos, lletve kockázatmentes részt (előbb összetételére vonatkozóan az előzőek során végeztünk számításokat). Ha y a kockázatos rész aránya, lletve 4, akkor y ( r ) r 0, , ,1986 0,7440. zek szernt a beektető vagyonának 74,40%-át ogja kockázatos, míg 5,60%-át kockázatmentes eszközökbe ektetn. kockázatos elemen belül 40% a kötvények, 60% edg a részvények súlya, így y0,474,409,76%, lletve y0,674,4044,64%. z otmáls ortolóban tehát 9,76% kötvény, 44,64% részvény, és 5,60% kncstárjegy szereel. z így kaott ortoló kockázata 14,1986%, várható hozama edg 11% lesz. 13

14 Utóbb két érték magasabb, mntha kncstárjegy elhasználása nélkül állítottuk volna össze a ortolót (. eladat). 9. eladat gy ortoló összeállításához három nstrumentumot kell elhasználn. zekre vonatkozóan az alább adatok smertek: Instrumentum Hozam Kockázat Korrelácó (ρ ) Kötvény 6% 10% 0,5 Részvény 13% 18% Kncstárjegy 4% 0% Tudjuk továbbá, hogy a beektetőre jellemző kockázatelkerülésre 4 jellemző. z otmáls módon összeállított ortolóban mlyen súlyaránnyal lesznek kévselve az egyes nstrumentumok, s hogyan og alakuln a ortoló várható hozama és kockázata? egoldás: z otmáls ortolóban a kötvények súlya 0,00%, a részvények súlya 66,67%, míg a kncstárjegyek aránya 13,33% lesz. ortoló kockázata 14,5947%, várható hozama edg 11,3844%. 10. eladat gy beektető a ortoló összeállítása során kockázatos és kockázatmentes nstrumentumok között választhatott. kockázatos rész várható hozama 0%, kockázata edg %, míg a kockázatmentes rész hozama 5%. Ismert, hogy a beektető ezen normácók brtokában olyan tőkeallokácós döntést hozott, amely után a ortolóban 88,55% lett a kockázatos elem súlya, a ortoló várható hozama 18,85%, míg kockázata 19,4810% lett. lyen kockázatelutasítás ndex segítségével jellemezhető a eladatban szerelő beektető? egoldás: korábbak alaján már smert az a kélet, amelynek segítségével meghatározható a ortolón belül (kockázatos és kockázatmentes komonens esetén) a kockázatos rész aránya: ( r ) r y. 0,01 nnek átrendezésével megkahatjuk azt a ormát, amely alaján az smert adatok segítségével kejezhető a keresett araméter (a behelyettesítések után rendelkezésre áll a végeredmény s): y 0,01 ( r ) r y 0,01 ( r ) r 0 5 0,8855 0,01 3,4999 3,5 egoldásként tehát az adódott, hogy a eladatban szerelő beektető kockázatkerülése az 3,5 araméterrel jellemezhető számszerűen. 14

15 11. eladat gy beektető ortolója összeállításakor kockázatos és kockázatmentes nstrumentum között választhatott. Ismert, hogy a kockázatos rész hozama 18%, a kockázatmentesé edg 6%. Tudjuk továbbá azt s, hogy a beektetőre kockázatkerülés jellemző. llokácós döntés következtében a ortolón belül a kockázatos rész aránya 66,67% lett. zek smeretében vajon mlyen szórás volt jellemző a kockázatos nstrumentumra? egoldás: z előző eladathoz hasonlóan az y meghatározására szolgáló kéletből kemelhető a varanca, majd egyszerű átalakítással előáll a szükséges egyenlőség: ( r ) r , y 0,01 0,6667 0,01 zek alaján a kockázatos nstrumentumra jellemző kockázat 30% volt. 1. eladat gy ortoló összeállításánál kötvény-, lletve részvényala között lehet választan. kötvényalara vonatkozó várható hozam 10%, a részvényalara vonatkozó várható hozamadat edg 6%. kötvények kockázata 11%, a részvényeké ezzel szemben 35%. zek mellett smert az s, hogy a kétéle nstrumentum hozama között korrelácós együttható értéke 0,15. lyen lesz a rendelkezésre álló normácók alaján összeállított ortolóban a kötvények lletve a részvények súlya, mekkora lesz a ortoló kockázata, lletve hozama? egoldás: a kötvények súlyára 94,86%, a részvények súlyára 5,14%, a ortoló kockázatára 10,85%, várható hozamára edg (r)10,8% adódk eredményként. 13. eladat gy ortoló összeállításánál kötvény-, lletve részvényala között lehet választan. kötvényalara vonatkozó várható hozam 6%, a részvényalara vonatkozó várható hozamadat edg 5%. kötvények kockázata 1%, a részvényeké ezzel szemben 1%. zek mellett smert az s, hogy a kétéle nstrumentum hozama között korrelácós együttható értéke 0,. lyen lesz a rendelkezésre álló normácók alaján összeállított ortolóban a kötvények lletve a részvények súlya, mekkora lesz a ortoló kockázata, lletve hozama? egoldás: a kötvények súlyára 80,67%, a részvények súlyára 19,33%, a ortoló kockázatára 11,%, várható hozamára edg (r)9,67% adódk eredményként. 14. eladat gy ortoló várható hozama 0%, mközben a kockázatmentes kamatláb 5%, s a ac hozam 15%. ekkora a bétája a kérdéses ortolónak? egoldás: rendelkezésre álló adatok alaján elírható, hogy (r)0%, r5% és (rm)15%. CP-modell smert azonosságát elhasználva 15

16 ( r ) r [ ( r ) r ] β m meghatározható a ortoló bétája. z azonosság átrendezésével előáll a béta kalkulálásához szükséges egyenlőség: ehelyettesítve β1,5 adódk eredményül. ( r ) r β. ( rm ) r 15. eladat gy értékaír ac árolyama 1360 HUF, várható hozama edg 15%. kockázatmentes hozam 7%, s a ac kockázat rémum 10%. ekkora lesz az értékaír ac ára, ha a ac ortolóval való kovarancája megdulázódk, ám eközben mnden más jellemző változatlan marad? Feltesszük, hogy a részvény konstans örökjáradékszerű osztalékot zet. egoldás: első léésként meg kell határoznunk az értékaírra jellemző korább bétát. hhez smét a CP-modell alaazonosságát kell elhasználn, az alább átalakított ormában: ( r ) r ( r ) [ r ] β. z alaadatokból smert, hogy mvel ezen esetben egyetlen értékaírról, és nem ortolóról van szó (r) 15%, lletve r7%, valamnt [(rm) r]10%. gyszerű átrendezés és behelyettesítés után β0,8 adódk eredményül. eladat szernt a kérdéses értékaír ac ortolóval való kovarancája megdulázódk. Kérdéses azonban, hogy ennek mlyen hatása lesz a aír bétájára. vel érvényes a normálegyenletek alaján levezethető alább azonosság: m COV β ( r ; r ) a számlálóban szerelő tényező megdulázódása a több jellemző változatlan értéke mellett az értékaír korább bétájának megdulázódását eredményez. zek szernt β'1,6. CP-modell alaján kszámítható az értékaír új várható hozama: m [ ( r ) r ] ,6 3% ( r ) r β. m Változatlan összegű örökjáradék esetében az annutásaktor az 1/r alakban írható el, amelynek segítségével egy részvény nettó árolyama (jelenértéke) az alább módon határozható meg: 1 P N C, r 16

17 ahol C a járadéktagot jelöl. élda esetében PN1360, lletve r15%. nnek segítségével kszámítható az egy alkalommal kzetésére kerülő osztalék összege s, amelyre C04 HUF adódk eredményül. vel az osztalék olyó összege nem, de az elvárt (várható) hozam megváltozk (3%-ra emelkedk), természetesen módosuln og a részvény árolyama (ac ára) s. eghatározásához PN mént kéletét kell alkalmazn, s ennek segítségével PN'887 HUF adódk eredményül. 16. eladat Tegyük el, hogy a acon sok részvény van orgalomban, s ezek közül az és részvényre vonatkozó normácók a következőkben oglalhatók össze: Részvény Várható hozam Szórás (kockázat) 10% 5% 15% 10% Ismert továbbá, hogy a két részvény hozama között korrelácós együttható értéke ρ-1. Feltételezhető, hogy lehetséges htel elvétele a kockázatmentes kamatláb mellett. Ha a acok hatékonyak, mekkora lesz a kockázatmentes kamatláb? egoldás: Ha a rendelkezésre álló (választható) részvényekből skerül kockázatmentes ortolót összeállítanunk (amelynek szórása így 0% lesz), az így létrehozott ortoló hozama meg og egyezn a kockázatmentes kamatlábbal (kockázatmentes ortoló összeállítására akkor, és csak akkor nyílk mód, ha a eladathoz hasonlóan a korrelácós együttható értéke -1). Korább eladatokból már smert, hogy: COV COV ( r ; r ) ( r ; r ), amely könnyedén elírható az alább alakban s: ρ ρ vel a eladat esetében a korrelácós együttható értéke -1, az azonosság tovább alakítható: ( ) ( ) ehelyettesítés után 0,67 és 0,33 adódk megoldásként. Felhasználva a ortoló hozamára vonatkozó 17

18 ( r ) ( r ) ( r ) kéletet, a kockázatmentes kamatláb r11,67%. 17. eladat következő adatok smertek két részvényre vonatkozóan: Részvény Várható hozam éta Vállalatseckus szórás 14% 0,6 3% 5% 1,3 37% Ismert továbbá, hogy a ac szórása 5%, a kncstárjegy hozama edg 6%. ekkora az és részvények kockázata? Ha a beektetés kezelője összeállít egy olyan ortolót, amelyben az részvény 33%-os, a részvény 38%-os, a kncstárjegy edg 9%-os súllyal szereelne, hogyan alakulna a ortoló hozama, szórása, bétája, lletve szsztematkus szórása? egoldás: z egyes értékaírokra vonatkozóan gaz az, hogy: β ( ), vagys a részvényekre értelmezett kockázat meghatározható az adott értékaírra jellemző béta, a ac kockázat, lletve a vállalatseckus szórás segítségével. ehelyettesítve: e 0,6 0,149 0,3534 0,5 0,3 Ugyanez a részvény esetében: 1,3 0,5 0,45 0,495 0,37 z részvény kockázata tehát 35,34%, a részvény kockázata edg 49,5%. eladatban megadott súlyok szernt összeállított ortoló várható hozama meghatározható az nstrumentumokra jellemző hozamadatok, lletve a ortolóban lévő súlyarányuk segítségével. Így a várható hozam az egyed hozamok súlyozott számtan átlaga. Kéletben: ehelyettesítve: ( r ) r ( r ) ( r ). r ( ) 0,9 6% 0,33 14% 0,38 5% 15,86% r 18

19 Vagys a eltételeknek megelelő ortoló várható hozama 15,86%. ortoló kockázatának meghatározásához szükséges kélet és a behelyettesítés: 0,33 0,0608 0,466 0,149 0,38 β β 0,45 0,33 0,38 0,6 1,3 0,5 ortoló kockázata tehát 4,66%. Észre kell venn, hogy a kockázat meghatározásához nem volt szükség a kncstárjegy adatara, hszen a kockázatmentes nstrumentum kockázata és bétája s zérus. ortoló bétája az egyed nstrumentumok bétájának súlyozott számtan átlagaként határozható meg (jelen esetben a ortolót három nstrumentum elhasználásával kell összeállítan): 3 β β. 1 ár az összegző kélet ormálsan tt s számol a kncstárjegy bétájával, mvel annak értéke azonban zérus, a behelyettesítés során elhagyhatjuk: ortoló bétájára tehát β0,69 adódott. β 0,33 0,6 0,38 1,3 0,69. ortoló szsztematkus és nem szsztematkus () szórásának elkülönítéséhez először meg kell határozn a ortoló szsztematkus szórásának (K) négyzetét, amely a ortoló bétájának és a acra jellemző varanca (vagys a ac kockázat négyzetének) segítségével végezhető el. Kéletben: K β ehelyettesítve: K 0,69 0,5 0,0999 0,03 zek után a nem szsztematkus hba meghatározható a ortoló varancájának és a szsztematkus szórásnégyzetnek a segítségével: K Vagys: 0,0608 0,03 0,0308 0,

20 Vagys a ortolóra jellemző nem szsztematkus kockázat 17,55%. 18. eladat z alább táblázat egy összesen három részvényt tartalmazó énzügy acon orgó részvények legontosabb adatat tartalmazza (az egyaktoros ndexmodell érvényes): Részvény Pac érték éta Átlagos kockázat rémum Kockázat (szórás) ,0 10% 40% , % 30% C ,7 17% 50% z egyetlen azonosított gazdaság aktor tökéletesen korrelál a ac értékkel súlyozott tőzsdendexszel. ac ortoló szórása 5%. ekkora az ndexortoló átlagos kockázat rémuma? ekkora a részvények és az ndex között kovaranca? Hogyan alakul a részvény esetében a szsztematkus és vállalatseckus varanca? egoldás: z ndexortoló átlagos kockázat rémuma meghatározható az alább kélet segítségével: ( r ) r [ r r ] β z részvény esetében az egyenlőség bal oldalán lévő részvényre jellemző átlagos kockázat rémum 10%. kélet alkalmazásával a jobb oldalon elhelyezkedő zárójeles tag értékét keressük. Legyen [r r]x! ehelyettesítve: 10% x 1 x 10% részvény esetében ugyanezen egyenlőségre %x0,%, a C részvénynél edg 17%x1,7% adódk. Így x10%, vagys az ndexortoló átlagos kockázat rémuma 10%. Két részvény hozamalakulása között kovaranca meghatározásának általános kélete: COV ( ) β β r r j ; j. Részvény és a ac ndex között kovaranca az alább kélet segítségével határozható meg, mvel a ac ortoló bétája mnden esetben egységny: behelyettesítések eredménye: COV ( ) β r r ; 0

21 COV ( r COV COV ; r ) β 1 0,5 0,065 ( r ; r ) β 0, 0,5 0,015 ( r ; r ) β 1,7 0,5 0, 1065 következő eladatrész megoldásához szükséges az alább kélet: c R C β. β ( ) jobboldal tényező nevezője nem más, mnt a részvényre jellemző varanca. részvényekre vonatkozó teljes varanca elírható tehát az alább módon, ahol a részvény bétájának és a acra jellemző varancának a szorzata adja a szsztematkus komonenst, a ennmaradó rész edg a vállalatseckus szórásnégyzet: e β ( ). részvény esetében a behelyettesítés eredménye: 0,3 0, 0,5 ( e ) 0,0875 ( e ) 0, 958 e ( e ) vállalatseckus szórás (kockázat) tehát a részvény esetében 9,58%. szsztematkus szórás s könnyedén meghatározható a ent kélet segítségével, hszen a ormula egyszerű elbontása révén adódk, hogy: β. K behelyettesítés révén az alábbak állnak elő: K K 0, 0,05 0,5 részvény esetében a szsztematkus kockázat (szórás) 5%, a vállalatseckus szórás edg 9,58%. 19. eladat z és részvényekre vonatkozóan az elemzők karaktersztkus egyeneseket határoztak meg az ndexmodell segítségével. vzsgálat az alább eredményekkel zárult: Részvény la éta R % 0,65 0,15 4% 1,1 0,30 1

22 Ismert továbbá, hogy a ac varancája 5%. kérdések az alábbak: a.) ekkora az egyes részvények szórása? b.) Hogyan alakul az egyes részvények esetében a szsztematkus és a vállalatseckus varanca? c.) ekkora a két részvény kovarancája és korrelácós együtthatója? d.) ekkora a kovaranca az egyes részvények és a ac ndex között? egoldás: a.) Ismert az alább kélet, amely a ac ndex és a kérdéses részvény hozamalakulása között kovarancát határozza meg: R β β ( ) Észre kell venn, hogy a jobb oldal tényező nevezőjében a korábban a részvény varancájának meghatározására szolgáló ormula található, tehát a teljes kélet elírható az alább módon s: e R β kéletet átalakítva a részvény varancájára az alább orma áll elő, majd behelyettesítés után megkajuk a részvények szórásnégyzetét: Ugyanez a részvény esetében: β R 0,704 0,839 0,65 0,5 0,15 1,1 0,5 0,30 1,0083 1,0041 z részvény kockázata tehát 83,9%, a részvényé edg 100,41%. b.) Ismert már, hogy az egyes részvényekre jellemző varanca a szsztematkus és vállalatseckus szórásnégyzet összegeként elírható az alább módon: β bből a vállalatseckus varanca az részvényre: ( ) e

23 Ugyanez a részvény esetében: ( e ) β ( e ) 0,704 0,65 ( e ) 0, 5986 ( e ) 1,0083 1,1 ( e ) 0, ,5 0,5 vállalatseckus szórásnégyzet tehát az részvényre 0,5986, a részvényre edg 0,7058. korábbakból már smert a szsztematkus szórásnégyzet meghatározása (egyébként egyszerű kvonással s meghatározható lenne, hszen a szsztematkus varanca a részvényre jellemző szórásnégyzet és a vállalatseckus szórásnégyzet különbsége, s mmár mnden szükséges adat a rendelkezésünkre áll): K β ehelyettesítéssel az részvény szsztematkus szórásnégyzetére 0,10565, a részvényére edg 0,305 adódk. szsztematkus szórásnégyzet meghatározására egyébként a rendelkezésre álló adatok smeretében egy másk megoldás lehetőség s adódk. már smert kélet átalakításával kejezhetővé válk a keresett adat: R β β ( ) R β ( e ) R ( e ) R 1 R ( e ) 1 ( e ) 1 R e ( ) ( e 1 R ) végül előállt ormulával már szntén meghatározható a szsztematkus szórásnégyzet. behelyettesítések eredménye az részvény esetében: 3

24 ( e ) ( 1 0,15) ( e ) 0, ,704 Ugyanez a részvény esetében: ( e ) ( 1 0,3) ( e ) 0, ,0083 c.) két részvény kovarancája meghatározható az alább kélet segítségével: behelyettesítés eredménye: COV COV ( ) β β r r j ; j. ( ; ) 0,65 1,1 0,5 0, 1788 r r kaott eredmény segítségével megadható a részvényekre jellemző korrelácós együttható értéke s: r r r ( r ; r ) COV 0,1788 0,839 1,0041 0,1 két értékaír együttmozgását jellemző kovaranca értéke tehát 0,1788, a korrelácós együttható mértéke edg 0,1. d.) szükséges kélet: COV ( r ; r ) β. bből a ac ndex és az egyes részvény között kovaranca mértéke: z részvényre vonatkozóan: COV COV COV részvényre vonatkozóan edg: ( ) β r r ; ( r; r ) 0,65 ( r ; r ) 0, 165 0,5 4

25 COV COV ( r ; r ) 1,1 ( r ; r ) 0, 75 z egyes részvények és a ac ndex együttmozgását jellemző kovaranca az részvényre vonatkozóan 0,165, míg a részvény esetében 0,75. 0,5 0. eladat gy ac összesen két részvényből áll. Ismert, hogy az részvény árolyamértéke kétszeresen haladja meg a részvény ac árolyamértékét. Ismert továbbá, hogy az részvény kockázat rémumának szórása 30%, míg ugyanez az adat a részvény esetében 50%. kockázat rémumok között korrelácós együttható értéke 0,7. Kérdések: a.) ekkora a ac ndexortoló szórása? b.) ekkora az egyes részvények bétája? c.) ekkora az egyes részvények rezduáls varancája? d.) Ha a CP-modell ennáll, és az részvény esetében a kockázatmentes hozamon elül várható rémum 11%, mekkora lesz a ac ortoló kockázat rémuma? egoldás: a.) szórás (kockázat) meghatározásához szükségesek a súlyok. z alaadatok alaján elírható, hogy /3, és 1/3. ortoló szórása elírható az alább módon: ρ. behelyettesítés révén: 3 0, ,5 1 0,3 0,5 0, , ,3383 ortoló szórására tehát 33,83% adódott eredményként, varancája edg 0, b.) részvényekre jellemző béták meghatározhatók az alább kélet segítségével: COV β ( r ; r ) ent kélet nevezőjében a acra jellemző varanca található, azonban a eladat szövegezése szernt a szóban orgó értékaírac a nevezett két részvényből éül el, tehát a ormula az alább módon s elírható: COV ( r ; r ) β. 5

26 számlálóban lévő tényezők, vagys a ac ortoló és az egyes részvények kockázat rémumának együttmozgását jellemző kovaranca-adatok nem smertek, így először ezeket kell meghatározn. Felírhatók az alább kéletek: COV COV ( r; r ) ρ ( r ; r ) ρ behelyettesítések révén előállnak a keresett kovaranca-adatok: COV COV ( r ; r ) 0, ,3 0,5 0,7 0, ( r ; r ) 0,5 0,3 0,5 0,7 0, 1533 z mént meghatározott (és átalakított) kélet segítségével az egyes részvényekre jellemző béták: β β 0,095 0, ,1533 0, ,8301 1,3395 z részvény bétája tehát 0,8301, a részvényé edg 1,3395. zek szernt az részvény csökkent, részvény edg növel a kockázatot. c.) részvények varancáját elbonthatjuk szsztematkus és vállalatseckus (vagys nem magyarázott, azaz rezduáls) részre az alább kélet segítségével: β Természetesen, mvel a jellemzett ac a ent két részvényből éül el, tt s alkalmazható az az egyszerűsítés, amely a acra jellemző varanca helyett a ortoló szórásnégyzetét szereeltet: β vel a keresett adaton kívül mnden smert, egyszerű átrendezéssel és behelyettesítéssel megkajuk a keresett rezduáls (vagys vállalatseckus) szórást: ( ) e ( ) e ( e ) β 0,3 0,8301 0,3383 0,1055 ( e ) β 0,5 1,3395 0,3383 0, 113 z részvény esetében számított nem magyarázott szórás tehát 10,55%, míg ez a részvény esetében 1,13%. 6

27 d.) z alaeltételekből adódk, hogy alával nem kell számoln, így az alább egyenlőségből akár el s lehetne hagyn: ( r ) r α β ( r ) [ m r ] e z egyenlet bal oldala az részvény esetében a eladat szövegében megadott 11%-os mértékű (kockázatmentes hozamon elül) kockázat rémum. z részvény bétája smert, így a jobb oldalon álló zárójeles tényező (vagys a eladatban keresett, a ortolóra jellemző kockázat rémum könnyedén meghatározható. ehelyettesítve: 11% 0,8301 ( r ) m r ( r ) r 514 m [ ( r ) r ] m 11 0, , ortolóra becsült (kockázatmentes hozamon elül) kockázat rémum tehát 13,514%. 1. eladat Értékaír-ac szakértők egy részvény bétájára vonatkozó becslést készítettek, s végül 1,4-os eredményt katak. a.) ent adat smeretében hogyan og alakuln a részvény korrgált bétája? b.) Ha a béták dőbel alakulását közelíten hvatott regresszós egyenes az alább egyenlettel írható le: β β. t 0,3 0,7 t 1 nnek smeretében hogyan alakulna a következő dőszakra vonatkozó becsült béta értéke? egoldás: a.) korrgált béta meghatározásához szükséges kélet: 1 β korr β, 3 3 vagys a korrgált béta a becsült érték kétharmadának egyharmaddal történő növelése révén áll elő. élda esetében: β korr 1 1,4 1, b.) regresszós egyenletbe való egyszerű behelyettesítés révén megkahatjuk a következő dőszakra vonatkozó béta becslését: β 0,3 0,7 1,16 1,11. t 7

28 . eladat z és részvényekre vonatkozó legontosabb normácókat az alább táblázat oglalja össze: Részvény Várható hozam Kockázat éta 11% 10% 0,8 14% 11% 1,5 Pac (S&P) 1% Kockázatmentes hozam 6% a.) gy jól dverzkált ortoló esetében lenne-e helye a beektetésben bármelyk részvénynek s? b.) Ha a beektetés kncstárjegyben, lletve ezen két részvény valamelykében lenne denomnálva, melyket lenne érdemes választan? egoldás: a.) z ala araméter meghatározásához szükséges kélet a következő: α β [ ( r ) r ] ( r ) [ r ] e z részvény esetében a behelyettesítés az alább eredményt hozza: α ( 1 6) ( 11 6) 0, 0,8 részvény esetében a behelyettesítés eredményeként α1. zek szernt a részvény alulértékelt, tehát ezt érdemes beválogatn a ortolóba. b.) kérdést a Share-mutató maxmálása segítségével lehet megválaszoln. mutató már smert kélete: S ( ) r r. mutató értéke az részvény esetében az alább módon alakul: S ,5 Hasonló módon kéezve a részvény esetében S0,773. zek szernt a részvényt lenne érdemes egy kockázatmentes nstrumentum mellett szereeltetn a ortolóban. 3. eladat gy gazdaság rendszerben két aktor került azonosításra: az ar termelés növekedés üteme (IP), lletve az nlácós ráta (IR). két változóra vonatkozó előrejelzések szernt várhatóan IP4%, lletve IR6%. dott egy olyan részvény, amelynek az IP-re vonatkozó bétája 1,0, s az IR-re vonatkozó bétája edg 0,4. jelenleg várakozások a aír 14%-os hozamot bztosít. Ha az ar termelés tényleges növekedés üteme 5%, az nlácó 7%, hogyan módosítanák a olyamatok a részvény hozamára vonatkozó becslést? egoldás: 8

29 eladat megoldása az arbtrált árolyamok elméletének (PT) témakörébe tartozk. z elmélet szernt a részvények hozamára egy, vagy (a kevésbé leegyszerűsítő modellek szernt) több szsztematkus tényező (aktor) van hatással. részvények árolyamára számtalan tényező lehet hatással: konjunktúracklusok, kamatláb-ngadozások, nlácó, olajárak változása, stb. z PT többaktoros modelljére van szükség, ha ezen tényezők mndegykét (vagy közülük legalábbs egynél többet) szeretnénk gyelembe venn. eladat megoldásához szükséges kétaktoros modell az alább módon alakul: ( r ) 1 F1 β F e r β, ahol az egyk aktor az ar termelés növekedés üteme (vagys változása), a másk edg a nem várt nlácó rátája (amely a várt és megadott nlácós adat, lletve a tényadat eltéréseként azonosítható), r edg a részvény várható hozama a magyarázó aktorok módosulása után. Fontos eltételezés, hogy az e nem szsztematkus (vállalatseckus) hozamok korrelálatlanok egymással s, lletve a közös aktorokkal s. részvény hozamára a behelyettesítés után az alább eredmény adódk: ( 5 4) 0,4 ( 7 6) 15, 4 r módosult makrogazdaság adatok mellett az részvény várható hozama 15,4% lesz. 4. eladat Tegyük el, hogy két üggetlen gazdaság aktor létezk, ezek F1 és F. kockázatmentes kamatláb 7%. z összes részvénynek üggetlen vállalatseckus komonense van. jól dverzkált ortolók az alább módon jellemezhetők: Portoló F1 bétája F bétája Várható hozam 1,8,1 40%,0-0,5 10% Hogyan alakul a várható hozam/béta összeüggés a megadott adatok alaján? egoldás: keresett egyenletek az alább módon írhatók el: 40 1,8 F1, 1 F e r 10 F1 0, 5 F e r 5. eladat gy egyaktoros gazdaságra vonatkozóan amelyben mnden ortoló jól dverzkált az alább hozamtáblázat írható el: Portoló (r) éta 10% 1 F 4% 0 9

30 Ha az ortoló s jól dverzkált, s bétája 0,6667, várható hozama edg 9%. Fennállhat-e arbtrázs lehetősége, s ha gen, mlyen stratégát kell követn? egoldás: megoldáshoz elsőként el kell rajzoln a két ortoló ( és F) által meghatározott értékaír-ac egyenest, amely a várható hozam/béta kacsolatokat mutatja be. várható hozam/béta kacsolatot a kockázatvállalást és annak díjazását leíró egyenletként értelmezhetjük: 10% 8% 4% 0 0, β Ha az és F ortolók elhasználásával szeretnénk olyan ortolót összeállítan, amelynek bétája megegyezk az alternatív ortoló bétájával, a hozamadatok megelelő átsúlyozásával előállítható lesz az a ortoló, amely már összehasonlítható lesz az ortolóval. súlyozás az alább módon alakul: 0, , z így előállított ortoló várható hozama tehát 8%. vel az elérhető ortoló esetében 0,6667-es bétához magasabb (9%-os) hozam tartozk, az ortoló a tőkeac egyenes elett helyezkedk el, s így mvel nem esk az egyenest meghatározó onthalmazba arbtrázsra nyílk lehetőség. z alulértékelt ortolóból veszünk, s rövdre kell eladn 0,3333 egységny F-et, lletve 0,6667 egységny -t. Természetesen ordított esetben s lehetséges volna az arbtrázs-technkák alkalmazása: ekkor az alternatív ortoló ontja az egyenes alatt helyezkedne el. bben a helyzetben a elülértékelt ortolót adnánk el rövdre, s a két másk ortolóból vásárolnánk. 6. eladat gy többtényezős PT-modell legontosabb adata az alább táblázatban vannak összeoglalva: Faktor aktor bétája aktor kockázat 30

31 rémuma Inlácó 1, 6% Iar termelés 0,5 8% Olajárak 0,3 3% Ismert továbbá, hogy a kncstárjegy 6%-os hozamot bztosít. z alább táblázatban tovább adatok kerültek összeoglalásra. z első oszlo a ac által becsült értékeket, míg a másodk oszloa a ténylegesen bekövetkezett értékeket tartalmazza: Faktor változás várható üteme változás tényleges üteme Inlácó 5% 4% Iar termelés 3% 6% Olajárak % 0% a.) lyen lesz a részvény elvárt hozama, ha a ac a részvények árolyamát méltányosnak tartja? b.) Hogyan ognak alakuln a részvény hozamára vonatkozó új várakozások a nylvánosságra kerülő nem várt változások hatására? egoldás: a.) megoldáshoz az alább kélet alkalmazása szükséges: [ r ] () r r ( r ) β. ormula általános alak, vagys egynél több aktor esetére s alkalmazható. jobb oldalon álló zárójeles tag az alaadatok között s szerelő (az egyes aktorokra értelmezett) kockázat rémumot tartalmazza. ndezek alaján a behelyettesítés: () r 6 1, 6 0,5 8 0,3 3 18, 1. zek alaján a részvényre vonatkozó várható hozam 18,1% lesz. b.) korább várt adathoz kéest bekövetkező változás meghatározására az alább kéletet lehet elírn: ( r) ( r) F β. vel korábban az PT-modellben a aktorokat valamely tényező változásaként értelmeztük, az egyenlet jobb oldalán aktorok gyanánt ezen változás adatokat szereeltetjük. z egyenlet eléítéséből látható, hogy a változás és a rég várakozások együttesen ogják meghatározn a hozamra vonatkozó újabb várakozásokat. behelyettesítés az alább módon végezhető el: () r 18,1 1, ( 5 4) 0,5 ( 3 6) 0,3 ( 0) 18, 4. részvény új várható hozama 18,4% lesz. 31

32 7. eladat gy kézeletbel acon a szsztematkus kockázatnak három orrása van, amelyek kockázat rémumokkal való összeüggését az alább táblázat oglalja össze: Faktor változás várható üteme Iar termelés (I) 6% Kamatlábak (R) % Fogyasztók bzalma (C) % Ismert továbbá, hogy egy részvény hozamát a következő egyenlet segítségével lehet elírn: r 15 % 1,01 I 0,5 R 0, 75 C e. Hogyan lehet meghatározn a kérdéses részvény egyensúly hozamát az PT-modell segítségével, ha a kncstárjegy hozama 6%. részvény egyébként alul- vagy elülárazott? egoldás: szükséges kélet az alább: [ r ] () r r ( r ) β. részvényre vonatkozó hozamkéletből knyerhetők az egyes aktorok bétá. behelyettesítés révén adódk, hogy: () r 6 1,01 6 0,5 0,75 14, 56. z egyensúly várható hozam tehát 14,56%. megadott hozamkélet alaján azonban (r)15%, a részvény tehát alulértékelt. 8. eladat Három részvényre vonatkozóan az alább adatok smertek: Részvény la éta Véletlen szórás 5% 1,5 40% -% 1,0 30% C 3% 0,5 0% Ha úgy gondoljuk, hogy nem hatékonyak a acok, mlyen legyen az aktív ortoló aránya? egoldás: ac ortoló hozama, a kockázatmentes hozam, lletve a ac ortoló szórása segítségével kszámolható a Share-mutató értéke: S ( ) r P r P 0,5 0,1 0, 0,6500 3

33 Ha skerül egy megelelően összeállított aktív ortolót a kezelt ortolóba lleszten, a Share-mutató új értéke ennél mndenkéen magasabb lesz (ennek révén ellenőrzhetjük s a műveletek skerét). lsőként meg kell határozn az egyes részvények relatív varancáját, amelyhez az alább kélet szükséges: α k ( e ) számlálóban az egyes részvényekre jellemző ala-értékek, a nevezőben edg az egyes részvények nem szsztematkus varancája (vagys a vállalatseckus véletlen szórások négyzete) szereel. z részvény esetében éldául: 0,05 0,4 k 0,315 Hasonló módon behelyettesítve a részvény relatív varancájára -0,, a C részvényére edg 0,7500 adódk eredményül. zen adatok alaján ezek után olyan arányokat kell kéeznünk, amelyek megmutatják, hogy az egyes részvények relatív varancája hogyan aránylk a három részvény összesített relatív varancájához (lletve mlyen súlyt kévsel azon belül). lső léésként összegezn kell az egyes részvények relatív varancáját, amelyre 0,315 0, 0,7500 0,8403 adódk eredményül. z arányok meghatározásához ezen összeggel kell elosztan az egyes részvényekre jellemző relatív varancát. művelet az alább kélet segítségével írható le: k n k 1 α k ( e ) α k k ( e ) k z részvény esetében éldául a ent kélet segítségével a kérdéses arányra 0,315 0,8403 0,3719 adódk eredményül. hhez hasonlóan a részvény (relatív szórásösszegen belül) aránya tehát -0,644, a C részvény arányszáma edg 0,895 lesz. Természetesen az egyes arányszámokat összegezve eredményül 1,0 adódk. negatív arányszám egyébként azt jelent, hogy a kérdéses részvényt rövdre el kell adnunk. Következő léésként k kell számoln az egyes részvények abnormáls (súlyozott) hozamát, amelyet az ala araméterek, lletve az előbbek során meghatározott (relatív varanca-összegen belül) arányok segítségével végezhetünk el. rre azért van szükség, hogy meghatározható legyen az aktív ortoló alája, amely természetesen az egyes 33

34 részvények alájától, lletve azok aktív ortolón belül arányától ügg (utóbb adat áll rendelkezésünkre a relatív varanca-összegen belül arányszámok alakjában). z részvény (súlyozott) abnormáls hozamára éldául 0,05 0,3719 0,0186, vagys 1,86% adódk eredményül. Hasonló módon számolva a részvény abnormáls hozamára 0,53%, a C részvényére edg,68% adódk eredményül. Ha ezen adatokat összegezzük, előáll az aktív ortoló alája: α 1,86 0,53,68 5,07 z aktív ortoló alája tehát 5,0700%. Hasonló módon, vagys súlyozás révén az aktív ortoló bétája s kszámolható. hhez az egyes részvényekre megadott bétákat kell a súlyokkal elszorozn, majd a kaott eredményeket összegezn. z részvény esetében éldául a súlyozott béta 1,5 0,3719 0,5579. Hasonló módon a részvény esetében -0,644, a C részvénynél edg 0,4463 lesz az eredmény. zeket összegezve a ortoló bétájára β 0,5579 0,644 0,4463 0,7398 z aktív ortoló bétája tehát 0,7398. következő léés az aktív ortoló nem szsztematkus varancájának meghatározása. bben az esetben s az egyes részvényekre számított adatokból ndulunk k, vagys az egyes részvények esetében kell négyzetre emeln a súlyarány és a véletlen szórás szorzatát. z részvény esetében éldául a kérdéses adatra 0,3719 ( 0,3719 0,4) 0, 01 0,4, vagys,1% adódk eredményül. Hasonló módon elvégezve a számításokat a részvény kérdéses számadata 0,63%, a C részvényé edg 3,19% lett. gyszerű összegzéssel megkaható az aktív ac ortolóra jellemző nem szsztematkus varanca (szórásnégyzet): ( ),1 0,63 3,19 6, 03 e. után meghatároztuk, hogy a kérdéses három részvényből összeállított aktív ortolónak mlyen legyen az összetétele, s hogyan alakul az aktív ortoló alája, bétája, lletve nem szsztematkus varancája, szükséges annak tsztázása s, hogy a teljes kezelt ortolón belül mlyen részt kévseljen ezen aktív ortoló. nnek meghatározásához először s k kell számoln a w0 araméter értékét az alább módon: 34

35 w 0 α ( e ) ( r ) r [ ]. ehelyettesítve: w 0 5,07 6,03 0, z eredmény elhasználása előtt szükséges korrekcó elvégzése az alább módon lehetséges: w * w0 1 w ( 1 β ) 0. ehelyettesítve: w * 1 0,587 0,587 ( 1 0,7398) 0,44 zek szernt az aktív ortoló súlya 4,4%, míg a ac ortoló súlya ennek komlementere, vagys 100% 4,4%75,76%. eghatározható az aktív ortoló hozama s, ehhez az alább kéletre van szükség: r k r k [ ( r ) r ] ek α k β ehelyettesítve: r k ( 5 1) 5,07 6,69% 1 0,7398 z aktív ortoló hozama tehát 6,69%, amelynek segítségével mmár a teljes ortoló hozama s meghatározható az egyes komonensek vagys a ac és az aktív súlyozott számtan átlagaként: ehelyettesítve: * * ( r ) w rk ( w ) r 1. ( ) 0,44 6,69 0, , 41. r z aktív ortolóval kegészített teljes ortoló várható hozama tehát 5,41%, am meghaladja a ac ortoló várható hozamát. 35

36 eghatározható az így összeállított ortoló kockázata (szórása) s, az alább kélet segítségével: ( β ) ( 1 w* ) w* ( 1 w* ) β * w ( e), ahol a ac kockázat. ehelyettesítve 19,66% adódk eredményként. llenőrzésként meg lehet vzsgáln, hogy a entekben összeállított ortolóra jellemző Share-mutató mlyen értéket vesz el. már smert kéletbe történő behelyettesítés révén: S 5,41 1 0,68 19,66 z aktív ortolóval kegészített ortoló Share-mutatója tehát magasabb, mnt a kezdet érték volt, vagys adott kockázathoz az új ortoló révén mmár magasabb kockázat rémum tartozk. eladat xcel segítségével s megoldható. z alábbakban egy olyan lehetséges táblázat látható, amely tartalmazza az összes alaadatot, s a beírt kéletek segítségével a keresett értékek s előállnak: knduláskor Share-mutató meghatározásához használt kélet: KRK((1-3)/;4) 36

37 z egyes részvények relatív varancájának kszámításához szükséges üggvények sorrendben: KRK(7/7^;4) KRK(8/8^;4) (KRK(9/9^;4)) z arányok meghatározásához szükséges kéletek a megelelő sorrendben az alábbak: KRK(7/$$10;4) KRK(8/$$10;4) KRK(9/$$10;4) z abnormáls hozamok meghatározása: KRK(F7*7;4) KRK(F8*8;4) KRK(F9*9;4) z aktív ortoló alájának kszámítása: SZU(G7:G9) z egyes részvényekre jellemző súlyozott adatokon keresztül az aktív ortoló bétájának kszámításához szükséges kéletek: KRK(F7*C7;4) KRK(F8*C8;4) KRK(F9*C9;4) KRK(SZU(H7:H9);4) z előbbhez hasonló módon, vagys az egyes részvényekre jellemző egyed adatok összegzésével hívható elő az aktív ortoló nem szsztematkus varancája: KRK(F7^*7^;4) KRK(F8^*8^;4) KRK(F9^*9^;4) SZU(I7:I9) z aktív ortoló súlyarányához szükséges w0 és w* araméterek meghatározása: KRK((G10/I10)/((1-3)/^);4) KRK(1/(1(1-H10)*1);4) teljes ortolón belül a ac ortoló súlya egyszerűen kszámítható: 1-G14 z aktív ortoló hozama: G103(1-3)*H10 teljes, tehát már aktív ortolóval kegészített ortoló hozama: G14*H14G15*H15 teljes ortoló kockázata edg az alább kélettel határozható meg: (G14^*(H10^*^I10)G15^*^*G14*G15*H10*^)^0,5 Végül a módosított ortolóra jellemző Share-mutató: KRK((H16-3)/G17;4) 37

38 Természetesen szükséges, hogy a cellák ormázása megelelő legyen, vagys adott helyeken százalékos ormájú számok alkalmazása, lletve 4 tzedesre való kerekítés. 9. eladat Két aktorortolóra vonatkozóan az alább makro-előrejelzések smertek: szköz lvárt hozam (%) Szórás Két aktorortoló közt korrelácó Kncstárjegy 8% 0% 0,06 aktorortoló 16% 3% H aktorortoló 10% 18% Négy részvényre vonatkozóan smertek az alább táblázatban összeoglalt előrejelzések s: Értékaír lvárt hozam (%) la éta az ortolóra éta a H ortolóra gyed szórás (%) 0% -1,000% 1, 1,8 58% 18% -3,4000% 1,4 1,1 71% C 17%,0000% 0,5 1,5 60% 1% -4,4000% 1 0, 55% Hogyan og alakuln annak a ortolónak az összetétele, amelyben az otmáls asszív ortoló mellett aktív ortoló-elem s található? kézeletbel beektető kockázatelutasítás ndexe,8! egoldás: rendelkezésre álló adatok alaján elírható az aktorortoló súlyára vonatkozó kélet: w behelyettesítés után [ r r ] H [ rh r ] H ρ H [ r r ] H [ rh r ] [ r rh r ] H ρ H w w ( 0,16 0,08) 0,18 ( 0,1 0,08) 0,3 0,18 ( 0,16 0,08) 0,18 ( 0,1 0,08) 0,3 ( 0,16 0,1 0,08) 0,7474 0,06 0,3 0,18 0,06 adódk eredményül, vagys az aktorortoló súlyaránya 74,74%, míg a H aktorortoló súlyaránya 1 0,74740,56, vagys 5,6% lesz. z otmáls aktorortoló várható hozama s kszámolható a két aktorortoló hozamanak súlyozott számtan átlagaként: ( ) 0, , , r 38

39 már smert kélettel meghatározható az otmáls aktorortoló szórása s: H H w w w w ρ H H H ehelyettesítés után: 0, ,04% 0,3 0,56 0,18 0,7474 0,56 0,3 0,18 0,06 Észre kell venn, hogy ha csak aktorortolónk lenne, a kockázatos elem arányára a már smert y r r 0,01 kélettel a behelyettesítés után 0,16 0,08 y 54,01 0,01,8 0,3, vagys 54,01% adódk eredményül (vagys enny lenne a ortolón belül a kockázatos komonens aránya). hozam ezen egyaktoros esetben az aktorortoló és a kockázatmentes elem részarányokkal súlyozott hozamaból tevődk össze: ( ) 0, ( 1 0,5401) 8 1, 3. r z egyaktoros () ortoló várható hozama tehát 1,3%. Lényegesen módosulnak az adatok, ha már az és H aktorortolóból kombnált ortolót llesztjük a kockázatmentes elem mellé. kockázatos elem részaránya magasabb lesz az előbb (egyaktoros) esetnél: 0,1448 0,08 y 71,14 0,01,8 0,1804. kockázatos elem részaránya tehát csaknem 0 százalékontny mértékben nőtt az egyaktoros esethez kéest. Hasonlóan magasabb lesz az így összeállított ortoló várható hozama s: ( ) 0, ,48 ( 1 0,7114) 8 1, 61, r vagys az új ortoló várható hozama 1,61% lesz. ndennek megelelően a Sharemutató értéke s módosulnak a két esetben. Csak esetében: 16 8 S 0,

40 Kétaktoros esetben kedvezőbb az eredmény: 14,48 8 S 0, ,04 Ha az aktív ortoló összetételét szeretnénk meghatározn, a számítás menete teljes egészében megegyezk az egytényezős esetben smertetett módszerrel (azzal az aró különbséggel, hogy mnd az, mnd a H aktorortolóra létezk ebben az esetben béta araméter). lőször tehát meg kell határozn a relatív szórásokat az α k ( e ) ormulával. z egyes részvényekre kaott értékeket összegezve, s az összeggel az egyes értékeket elosztva, vagys a k k n k 1 α k ( e ) α k k ( e ) k kéletet alkalmazva előállnak az aktív ortolón belül súlyok (a negatív előjel ebben az esetben s rövdre való eladást jelent). z aktív ortolón belül súlyokra tehát 0,1850, 0,349, C-0,881, és 0,7539 adódk eredményül. zek összege éen 1,0. z aktív ortoló alája szntén változatlan módon, vagys az egyes részvények alájának súlyozott számtan átlagaként adható meg, s eredményül α-0,0531 áll elő. z aktív ortoló véletlen varancája s a már smert módon számítható, vagys az egyes részvényekre kell négyzetre emeln a súlyarány és a véletlen szórás szorzatát. részletszámítások után az aktív ortoló nem szsztematkus varancája: ( ) 0, 748 e. Végezetül mnd az, mnd a H aktorortolóra kszámolható az aktív ortoló bétája, ha az egyes részvények egyes aktorortolókra értelmezett bétát elszorozzuk az aktív ortolón belül arányokkal, s a kaott eredményeket természetesen aktorortolónként összegezzük. már smert számítás módszerrel az alább táblázat állítható össze: Részvény éta -re éta H-ra 0,0 0,3330 0,4889 0,3841 C -0,1441-0,43 0,7539 0,1508 ktív ortoló 1,307 0,

41 után meghatároztuk az aktív ortoló alavető jellemzőt, k kell számoln az aktív ortoló kockázatos ortolóelemen belül arányát s. lső léésként az alább kélelet kell használn: w 0 α ( e ) ( r ) r [ ] ehelyettesítve: 0,0531 0,748 w 0 0,0970, 0,1448 0,08 0,1804 ahol a nevezőben az otmáls asszív ortoló jellemző (számított) adatat kell szereeltetn. z előzőekhez hasonlóan a korrekcóra ebben az esetben s szükség van, ám a kélet némleg módosul: w * w0 1 w ( 1 β ) ( 1 β H ) 0 ehelyettesítve: w * 1 0,097 ( 1 1,307) ( 1 0,4358) 0,097 0,0953 zek szernt az aktív ortolót rövdre eladn kell. z aktív ortoló várható hozama kétaktoros ndexmodell segítségével határozható meg: ehelyettesítve: ( r ) r ( r ) [ H r ] β H [ ( r ) r ] e α β. ( ) 5,31 8 ( 10 8) 0,4358 ( 16 8) 1,307 14, 17 r z aktív ortoló hozama tehát hozzávetőlegesen 14,13%. Kszámolható az aktív ortoló kockázata (szórása) s: ehelyettesítve: ( ) β β H H. e 0,748 1,307 0,3 0,4358 0,18 0,

42 z aktív ortoló kockázata ezek szernt 61,09%. vel a kockázatos ortolóelemen belül arányra az aktív ortoló esetében negatív szám adódott, így az aktív ortolót rövdre el kell adn. zen nem s kell csodálkozn, hszen mnd a várható hozama, mnd a kockázata lényegesen kedvezőtlenebb a asszív ortoló hasonló adatanál. egadható a kockázatos (aktív és asszív komonensből álló) ortolóelem várható hozama s a szokott módon, vagys a komonensek hozamanak súlyozott számtan átlagaként: * ( ) 0,095 14,13 1,095 14,48 14, 5 r kockázatos ortolóelem várható hozama tehát 14,5%. K kell számoln még a kockázatos ortolóelem kockázatát s, ám ehhez először szükségünk van a két aktorortoló hozama közt kovarancára s: ehelyettesítve: COV COV ( r r ) w β w β ; H H H H. ( ; ) 0,7474 1,307 0,3 0,56 0,4358 0,18 0, 0558 r r H szórás meghatározásához szükséges ormula: * * ( 0,095) 0,6109 1,095 0,1804 ( 0,095) 0,1755 1,095 0,0558 kockázatos ortolóelem kockázata tehát 17,55%. ost már meghatározható az új Share-mutató s, amelynek értéke: S 14,5 8 0, ,55 ndezek alaján elmondható tehát, hogy ebben az esetben alakult a legkedvezőbben a Share-mutató értéke. ost már csak a teljes ortolón belül kell meghatározn a kockázatos elem súlyát. z smert kélettel: y r r 0,145 0,08 0,7558,8 0,1755 teljes ortolón belül a kockázatos elem része 75,58%, a kockázatmentes rész aránya edg 4,4% lesz. teljes ortoló várható hozama: 0, ,5 0,44 8 1,93. teljes ortoló várható hozama tehát 1,93% lesz, míg a kockázata: 4

43 0, ,55 13,6. teljes ortoló kockázata tehát 13,6% lesz, mvel a számításánál a kockázatmentes résszel nem kell kalkuláln. ndezek után megadhatók az egyes elemek teljes ortolón belül aránya s. kockázatmentes rész aránya tehát 4,4%, az aktorortoló súlya 0, ,50,747461,87%. hhez hasonlóan a H aktorortoló súlya H0, ,50,560,91%. z egyes részvények esetében a kockázatos elem súlyszámát kell a kockázatos elemen belül az aktív ortoló súlyát megadó számmal szorozn (mnd a négy esetben), majd az így kaott szorzatot kell az egyes részvények aktív ortolón belül súlyát (szorzásként) gyelembe venn. z egyes részvényekre tehát -1,33%, -,5%, C,08%, -5,43% (a negatív számok tt s rövd eladást jelentenek). z arányszámok összege természetesen 100%-ot tesz k. eladat xcel segítségével s megoldható, éldául az alább módon: gyaktoros esetben a kockázatos elem súlya, a várható hozam, lletve a Share-mutató: (11-10)/(1*C11^) C3*1110*(1-C3) KRK((11-10)/C11;4) Kétaktoros esetben a kockázatos elem súlya, a várható hozam, lletve a Share-mutató: (C17-10)/(1*17^) 43

44 3*C1710*(1-3) KRK((C17-10)/17;4) z otmáls asszív ortoló súlyaránya, hozama és kockázata: ((11-10)*C1^-(1-10)*10*C11*C1)/((11-10)*C1^(1-10)*C11^- (111-*10)*10*C11*C1) *171*18 (17^*C11^18^*C1^*C11*C1*18*17*10)^0,5 z aktív ortolóban szerelő részvények relatív varancának, majd ezek összegének kélete: KRK(C3/F3^;4) KRK(C4/F4^;4) KRK(C5/F5^;4) KRK(C6/F6^;4) (SZU(G3:G6)) z aktív ortolón belül arányok: KRK(G3/G$7;4) KRK(G4/G$7;4) KRK(G5/G$7;4) KRK(G6/G$7;4) z abnormáls hozamok, majd az aktív ortoló alája: KRK(H3*C3;4) KRK(H4*C4;4) KRK(H5*C5;4) KRK(H6*C6;4) SZU(I3:I6) nem szsztematkus varanca részeredménye, majd a véletlen szórásnégyzet: KRK(H3^*F3^;4) KRK(H4^*F4^;4) KRK(H5^*F5^;4) KRK(H6^*F6^;4) SZU(J3:J6) z aktív ortoló bétája -re: $H3*3 $H4*4 $H5*5 $H6*6 SZU(K3:K6) z aktív ortoló bétája H-ra: $H3*3 $H4*4 $H5*5 $H6*6 SZU(L3:L6) 44

45 z aktív ortolóra vonatkozó w0 és w* araméterek meghatározása: I7/J7/(C17-10)*17^ I10/(1(1-K7)*(1-L7)*I10) z aktív ortoló várható hozama és kockázata: KRK(I710K7*(11-10)L7*(1-10);4) (K7^*C11^L7^*C1^J7)^0,5 z otmáls kockázatos elem hozama és kockázata: I17*H17I18*H18 (H17^*J17^H18^*J18^*H17*H18*J0)^0,5 kovaranca és a Share-mutató: K7*17*C11^18*C1^*L7 (I19-10)/J19 teljes ortoló súlya, hozama és szórása: (I19-10)/1/J19^ 1-G3 H3*G3H4*G4 G3*J19 teljes ortolón belül (kockázatmentes, aktorortoló, H aktorortoló,,, C, részvény) súlyok meghatározása: G4 G3*H18*17 G3*H18*18 $G$3*$H$17*H3 $G$3*$H$17*H4 $G$3*$H$17*H5 $G$3*$H$17*H6 30. eladat P ortolóra vonatkozóan smert, hogy annak átlagos hozama 35%, bétája 1,, kockázata 4%, egyed kockázata 18%. kockázatmentes kamatláb 6%. z ac ortoló átlagos hozama ezzel szemben 8%. Hogyan alakul a ortolóra jellemző Share-, Treynor-,, Jensen-mutató, lletve az értékelés hányados? egoldás: a.) z általános körülmények között használható Share-mutató már smert kélete: ( ) r r S, amely a ortoló adott dőszak átlagos kockázat rémumát vetít az dőszak hozamok szórására. Lényegében a hozam és a teljes kockázat között átváltást mér. mutató kélete az alább ormában s megadható: 45

46 S r r, ahol az eltérő jelöléseket az magyarázza, hogy a gyakorlat számítások során a hozamok nem teknthetők állandónak, vagys mnd a ortoló hozama, mnd a kockázatmentes hozam az dővel változk. kkor az egyes változók számtan átlagával kell számoln. behelyettesítés révén adódk, hogy: S 0,35 0,06 0,4 0,6905 Ha a beektető reerencá éldául a korábban már megsmert U ( r ),005 0 alakú hasznosságüggvénnyel (vagy más hozam-varanca hasznosság üggvénnyel) jellemezhetők, akkor a kérdéses beektető a brtokolt ortoló révén a Share-mutatót akarja majd maxmalzáln. b.) Treynor-mutató kélete: T r r, β amely a Share-mutatótól csak a nevezőjében tér el. Treynor-mutató a Sharemutatóhoz hasonlóan a kockázat egységére jutó kockázat rémumot mér, ám az összes kockázat helyett csak a ac kockázatot vesz gyelembe. behelyettesítés révén adódk, hogy: 0,35 0,06 T 0,417. 1, Ha egy vzsgált beektetés nstrumentum egy nagyobb beektetés ortoló része, s ha az eszköz a teljes ala teljesítményéhez való hozzájárulását akarjuk mérn, akkor a Treynormutatót érdemes használn. kkor a várható hozamtöbbletet (a számlálót) a szsztematkus kockázatra kell vetíten amely bétával kerül számszerűsítésre, nem edg az összes dverzkálható kockázatra (amelynek a szórás a mérőszáma). vel a ac ndexortoló bétája egységny, ennek Treynor-mutatója meg og egyezn a ac és a kockázatmentes hozam különbségével (vagys a számláló értékével). c.) Jensen-mutató kélete: [ r ( r r )] α r β, amellyel az abnormáls hozam mérhető. ásként: a ortoló bétájának és az átlagos ac hozamnak az smeretében azt mér, hogy a ortoló hozama mennyvel több, vagy kevesebb, mnt amenny a CP-modell alaján várható lenne. Jensen-mutató a 46

47 ortoló alája. Ha a ortoló megelelően van árazva, a Jensen-mutató (vagys a ortoló alájának) értéke zérus. ehelyettesítve: α [ 0,06 1, ( 0,8 0,06) ],6% 0,35 d.) z értékesítés hányados akkor használandó, ha otmáls aktív ortolót szeretnénk összeállítan több értékaír elhasználásával. hányados kélete: R α, ( e ) vagys a ortolóra jellemző abnormáls hozamot kell elosztan a ortoló nem szsztematkus (egyed) kockázatával. z értékelés hányados annak a kockázatnak az egységére jutó rendkívül hozamot mér, amelyet elvleg dverzkácóval meg lehetne szüntetn, ha a ac ndexortolóval rendelkeznénk. ehelyettesítve: 0,06 R 0, ,18 Ha a beektető ortolója egy (P) aktív ortoló, amelyet asszív ac ndexortolóval () kombnál, az értékelés hányados lesz a P ortoló teljesítményének hatékony mutatószáma. z értékelés hányados nevezőjében az aktív ortoló asszív ortolóhoz kéest számított rendkívül hozama kerül, a nevező edg ahogy láttuk a dverzkácóval megszüntethető kockázat. mutató arra vlágít rá, hogy az egész összetett ortoló Share-mutatója mennyvel növekszk a P ortoló hozzáadásának köszönhetően. eladat xcel segítségével s megoldható. mutatók számolásához összeállított lehetséges táblázat az alábbak szernt alakul: 47

48 használt üggvények sorrendben a következők voltak: (-6)/4 (-6)/3 -(63*(C-6)) 10/5 48