Dr. Vicze Szilvia
A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztai, tárgyat háyféleképpe lehet szétosztai k személy között stb.?
A vizsgáladó problémát két fő témakör köré csoportosítjuk: 1) egy halmaz elemeiek külöböző sorredbe törtéő elhelyezése; 2) egy halmaz elemeiből külöböző módo való kiválasztás.
Tartalomjegyzék 1. Permutáció a.) Ismétlés élküli permutáció b.) Ismétléses permutáció 2. Variáció a.) Ismétlés élküli variáció b.) Ismétléses variáció 3. Kombiáció a.) Ismétlés élküli kombiáció b.) Ismétléses kombiáció
Ismétlés élküli permutáció Defiíció: Adott külöböző elem. Az elemek egy meghatározott sorredjét az adott elem egy ismétlés élküli permutációjáak hívjuk. Az elem permutációiak számát P -el jelöljük. Tétel: Az adott elem ismétlés élküli permutációiak a száma: P =!
Megjegyzés Az faktoriális az első természetes szám szorzata:! 0! 123... ( 1 1)
Példa 1.Írjuk fel az a, b, c elemek összes permutációját! 2.Háyféle sorredbe lehet 4 külöböző övéyt (búza, árpa, rozs, kukorica) 4 egymás utái parcellába elveti?
Ismétléses permutáció Defiíció: Adott elem, amelyek között r (r ) külöböző található, ezek a 1, a 2,... a r. Az a 1 elem k 1 -szer, az a 2 elem k 2 -ször,..., az a r elem k r -szer fordul elő és k 1 + k 2 +... + k r =. Az adott elem egy meghatározott sorredjét eze elemek egy ismétléses permutációjáak evezzük. A szóba jöhető ismétléses permutációk számát az alábbi szimbólummal jelöljük: k k P 1, 2,..., k
Ismétléses permutáció Tétel: Rögzített, r és k 1, k 2,..., k r eseté az ismétléses permutációk száma: P k 1, k 2,..., kr! k1! k2!... kr!
Példa 1.Háyféleképpe tölthető ki egy 13 mérkőzést tartalmazó totószelvéy egy oszlopa, ha 8 db 1- es tippet, 2 darab x tippet és 3 darab 2-es tippet akaruk elhelyezi? 2.Háyféle sorredbe lehet 4 parcellát beveti búzával és kukoricával, ha midkettőt 2-2 parcellába vetjük?
Ismétlés élküli variáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet (0 < k ) úgy választuk ki, hogy midegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorredje is számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétlés élküli variációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétlés élküli variációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük. V k
Ismétlés élküli variáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú variációiak száma: ) 1 (... 1!! k k V k Megjegyzés: Ha =k, akkor k P V V! 0!!
Példa 1.Egy urába hat golyó va, sorra 1,2,3,4,5,6 számokkal számozva. Jól összerázzuk az ura tartalmát és találomra, egymás utá kihúzuk égy golyót belőle aélkül, hogy a kihúzottakat visszateék. A kihúzott golyók számát a kihúzás sorredjébe feljegyezzük. Háyféle sorredbe lehet a égy golyót kihúzi? 2.Öt sertésből háyféleképpe választhat ki magáak 3 ember 1-1 darabot?
Ismétléses variáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet úgy választuk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorredje is számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétléses variációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük: V k, i
Ismétléses variáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú ismétléses variációiak száma: V k, i k
Példa 1.Egy kockával ötször dobuk egymás utá. Háy külöböző dobássorozatot kapuk, ha a dobások sorredje is számít? 2.Háyféleképpe tölthető ki egy tesztlap, amelyek 10 kérdéséek midegyikére 1,2 és x válaszokat adhatuk?
Ismétlés élküli kombiáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet (0 < k ) úgy választuk ki, hogy midegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorredje em számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétlés élküli kombiációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük. C k
Ismétlés élküli kombiáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú kombiációiak száma: C k 1... ( k! alatt a k k 1) k A szimbólumot biomiális együtthatóak evezzük. C k! k! k!
Példa 1.A lottó 90 számból találomra kihúzak ötöt egyműs utá oly módo, hogy a már kihúzottakat em teszik vissza az urába. Háy szelvéyt kellee ahhoz kitölteük, hogy biztosa legye öt találatuk? 2.Adjuk meg az a,b,c,d elemek 2-odosztályú ismétlés élküli kombiációiak a számát!
Ismétléses kombiáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet úgy választuk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorredje em számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétléses kombiációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük. C k, i
Ismétléses kombiáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak száma: C k, i k k 1
Példa 1.Írjuk fel az a,b,c,d elemek másodosztályú ismétléses kombiációit! 2.A piaco háromféle almát árulak. 4 láda almát szereték vei, ezt háyféle módo tehetjük meg?
Biomiális tétel Tétel: tetszőleges kéttagú kifejezés bármely emegatív egész kitevőjű hatváya poliommá alakítható a következő formába: k k a b ahol N és a,b R. a k k0 b
Biomiális tétel Állítás: 0 1
Példa Fejtse ki biomiális tétellel a következő hatváyt! 2 3 x 2y 5
A biomiális együtthatók éháy tulajdosága A biomiális együtthatókat ( = 1,2, értékekre) az ú. Pascal-féle háromszögbe helyezhetjük el.
A biomiális együtthatók éháy tulajdosága Az értékéek megfelelőe beszélhetük ulladik, első és második sorról. A szimbólumok helyébe azok kokrét értékét beírva a Pascal-háromszög:
Tételek Bármely k, N, 0 k eseté feáll a(z): 1.Szimmetria-tulajdoság (adott sorba szimmetrikusa helyezkedek el az elemek): k k 2.Összeg-tulajdoság (mide eleme a felette lévő két elem összegével egyelő): k k 1 1 k 1
Tételek Bármely k, N, 0 k eseté feáll a(z): 3. 0 1... 2 2