Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre. ( pont) E. Mit jelent, hogy az f függvénynek = 0 -ben a deriváltja? Mi ennek a geometriai jelentése? Adjon példát az -ben folytonos, de nem differerenciálható függvényre ( pont) Feladatok: F. Elemezze az f ( ) = + függvényt (értelmezési tartomány, zérushely, y- tengelymetszet, folytonosság, határérték az értelmezési tartomány végeinél és a szakadási pontokban, monotonitás, lokális szélsőértékek vizsgálata, konveitás, infleiós pont, összefoglaló táblázat, valósághű grafikon, értékkészlet). ( pont) F. Számítsa ki a következő határértékeket: cos() a) lim 0 cos( ) ln( ) b) lim + ln( ) ( pont) Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! * Zh ponthatárok: 0-6 -es, 6-7 -as, 76-88 4-es, 89- -ös. Minimum: elméletből is, feladatokból is - pont.
Elméleti kérdések: E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre. ( pont) b A hatványfüggvények az f ( ) = a alakú függvények, itt a és b fi számok (ún. π 0 paraméterek). Az,, =, =,,, 4. 4. függvények példák hatványfüggvényekre. A felsoroltak közül az utolsó, a konstans függvény nem invertálható. Nem invertálható hatványfüggvények még a páros egész kitevős hatványfüggvények, pl., 4. Konkáv hatványfüggvényre példa f ( ) =, ennek második deriváltja, minden mellett negatív. E. Mit jelent, hogy az f függvénynek 0 = -ben a deriváltja? Mi ennek a geometriai jelentése? Adjon példát az -ben folytonos, de nem differerenciálható függvényre ( pont) Az 0 = -ben a függvény deriváltja, ha f ( ) f ( ) lim =. A derivált geometriai jelentése: a függvény grafikonjához az (, f ()) pontban húzott érintő egyenes meredeksége (iránytangense) ( lefelé mutat, csökkenést jelez). Ábrázolva f () A g( ) = az -ben folytonos, de nem differenciálható. Feladatok: F. Elemezze az f ( ) = + függvényt (értelmezési tartomány, zérushely, y- tengelymetszet, folytonosság, határérték az értelmezési tartomány végeinél és a szakadási pontokban, monotonitás, lokális szélsőértékek vizsgálata, konveitás, infleiós pont, összefoglaló táblázat, valósághű grafikon, értékkészlet). ( pont)
Néhány pontban a függvény értéke: - - 0 0.0 4 9 f () Nincs Nincs Nincs 0.... Nyers grafikont készítünk: 4 9 (Látható, hogy nagyon hasznos, ha a szakadási pont közelében kiértékeljük a függvényt, mert itt az általában szabálytalanul viselkedik.) Értelmezési tartomány: A négyzetgyökvonás miatt 0, az osztás következében 0, ezért = ] 0, + [. Zérushely, y-tengelymetszet: A négyzetgyök 0 esetén mindig pozitív, ezért a függvénynek nincs zérushelye. Az y- tengelymetszet az f (0) lenne, azonban a függvény nincs a 0-ban, ezért nincs y- tengelymetszet se. Folytonosság, határérték a szakadási helyeken és az értelmezési tartomány határain: A függvény folytonos az értelmezési tartomány minden pontjában. A 0-ban van az értelmezési tartomány baloldali határa. Kiszámítjuk itt a jobboldali határértéket: lim + = +, 0 + ui. 0 miatt + > 0 ). Az értelmezési tartomány másik végén, határértékét: lim + = +, most pedig érdemben a + D f (figyelembe véve még azt is, hogy + -ben is ki kell számítanunk a függvény függvény határozza meg a határértéket.
4 Monotonitás, lokális szélsőértékek keresése: Ehhez deriváljuk a függvényt: f ( ) = +, f ( ) =. Vizsgáljuk, hol lesz ez 0. Megoldjuk az = 0 egyenletet. -tel beszorozva = 0 adódik, tehát a gyök. Az -nél kisebb -ekre a derivált negatív, -nél nagyobbakra pozitív (helyettesítsük pl. a deriváltfüggvénybe a 0.-öt és az.-öt). Ezért a függvény 0 és között szigorúan monoton csökkenő, -ben lokális minimuma van, -től + -ig a függvény szigorúan monoton növekedő. (A szélsőérték jellegének megállapításához a második deriváltat is használhatjuk: f ( ) = ( ) ( ) = +. Ennek értéke az = helyen 4 4 + = + = pozitív, tehát a függvénynek az -ben lokális minimuma van. Ez 4 4 4 4 az egyetlen lokális szélsőértéke a függvénynek, ezért itt globális minimuma is van ehhez még hozzávéve, hogy most az értelmezési tartomány határainak közelében se lehet kisebb a függvény, ui. ott a + -be tart.) Konveitás, infleiós pont: Megkeressük a második derivált zérushelyeit (ha vannak), az egyenlet: + = 0. 4 4 Szorozzuk be ezt 4 -del, azt kapjuk, hogy + = 0, vagyis = -ban infleiós pontja lehet a függvénynek. Az is van, ui. < -ra a második derivált pozitív (pl. = -et behelyettesítve ez látszik), > -ra pedig a második derivált negatív (pl. = 4 -et behelyettesítve ez látszik), a második derivált tehát = -ban előjelet is vált. Mindebből következik az is, hogy a függvény a ] 0,[ intervallumon konve, a ], + [ intervallumon pedig konkáv. Összefoglaló táblázat: 0 ]0, ] ],[ ], + [ + - 0 + + - f () f () + + + 0 - f () + Csökken konve Min konve Nő konve Infleiós pont Nő konkáv +
Finomított grafikont: 4 9 Értékkészlet: A globális minimum az = -ben van, ennek értéke. Ezért az értékkészlet = [, + [. F. Számítsa ki a következő határértékeket: cos() a) lim 0 cos( ) ln( ) b) lim + ln( ) ( pont) cos() cos( 0) (a) lim = = = 0 cos( ) cos(0) ln( ) ln( ) (b) A logaritmus azonosságai szerint ln( ) = ln( ), ezért =. Tudjuk, + ln( ) + ln( ) hogy esetén ln( ), ezért osszuk el a számlálót is és a nevezőt is ln() -szel, hogy ln( ) közepes/közepes típusú törtet nyerjünk: = =. ( pont) + ln( ) / ln( ) + 0 + R f