2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x D, x x 0 esetén TÉTEL [a széls érték létezésének elegend feltétele] Ha az f : D R k R függvény folytonos a korlátos és zárt D halmazon akkor f-nek van globális maximuma és minimuma D-n, azaz vannak olyan x 0, x 1 D pontok melyekre f(x) f(x 0 ) és f(x) f(x 1 ) minden x D esetén Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy korlátos zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek inmumát és supremumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illet korlátos zárt halmazon) 22 Egyváltozós függvények széls értékszámítása TÉTEL[lokális széls érték szükséges feltétele] Ha f : D R R dierenciálható az x 0 D bels pontban, és ott lokális széls értéke van, akkor f (x 0 ) = 0 Definíció Azokat az x 0 pontokat, amelyekre f (x 0 ) = 0 teljesül, az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük E pontokban az érint párhuzamos az x tengellyel Stacionárius pontban lehet lokális széls érték, de nem biztos, hogy van Milyen x 0 D pontokban lehet egy f : D R R függvénynek lokális széls értéke? x 0 D bels pont, ahol f (x 0 ) = 0, x 0 az D halmaz határpontja mely D-beli pont (pl ha D = I egy intervallum, és x 0 az intervallum valamely végpontja (ha az I-hez tartozik), x 0 az D-nek olyan pontja ahol f nem dierenciálható 1
2 Az el bb megfogalmazott szükséges feltételb l könnyen kaphatunk elegend feltételt a lokális széls értékre TÉTEL [els rend elegend feltétel a széls értékre] Tegyük fel hogy f : D R R dierenciálható az x 0 D bels pont egy környezetében, és x 0 stacionárius pontja f-nek (azaz f (x 0 ) = 0) Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0, ha x ]x 0 r, x 0 [ D, és f (x) 0, ha x ]x 0, x 0 + r[ D, akkor f-nek lokális maximuma van x 0 -ban Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0, ha x ]x 0 r, x 0 [ D, és f (x) 0, ha x ]x 0, x 0 + r[ D, akkor f-nek lokális minimuma van x 0 -ban Ha van olyan r > 0, hogy f (x) > 0, ha x ]x 0 r, x 0 + r[ D, x x 0, vagy f (x) < 0, ha x ]x 0 r, x 0 + r[ D, x x 0, akkor f-nek nincs lokális széls értéke x 0 -ban, x 0 inexiós helye f-nek TÉTEL [a széls érték n-edrend elegend feltétele] Tegyük fel, hogy f : D R R n-szer folytonosan dierenciálható az x 0 D bels pont egy környezetében (azaz f (n) folytonos e környezetben) és f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0, de f (n) (x 0 ) 0 Ha n páros, akkor f-nek szigorú lokális széls értéke van x 0 -ban, maximum, ha f (n) (x 0 ) < 0, minimum, ha f (n) (x 0 ) > 0 Ha n páratlan, akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban Bizonyítás A Taylor formula szerint f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 + f (n) (ξ) n! (x x 0 ) n = f (n) (ξ) (x x 0 ) n n! Ha n páros, és f (n) (x 0 ) < 0, akkor f n folytonossága miatt f (n) (x) < 0 ha x K(x 0, δ) valamely δ > 0 mellett, így f (n) (ξ) < 0, amib l a Taylor formula miatt f(x) f(x 0 ) < 0, ha x K(x 0, δ) Ha f (n) (x 0 ) > 0, akkor f n folytonossága miatt f (n) (x) > 0 ha x K(x 0, δ) valamely δ > 0 mellett, így f (n) (ξ) > 0, és f(x) f(x 0 ) > 0, ha x K(x 0, δ) Ha n páratlan, akkor (x x 0 ) n el jelet vált x 0 -nál, így f(x) f(x 0 ) is el jelet vált x 0 -nál, ezért f-nek nem lehet széls értéke x 0 -ban 23 Többváltozós függvények széls értékszámítása TÉTEL [a széls érték els rend szükséges feltétele] Ha f : D R k R f ggvénynek az x 0 D bels pontban lokális széls értéke van, és léteznek f els parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0 Ezen feltételnek elegettev x 0 pontokat az f függvény stacionárius pont jainak nevezzük Bizonyítás Legyen ϕ i (t) := f(x 0,1,, x 0,i + t,, x 0,k ) (i = 1,, k) ahol x 0 = (x 0,1,, x 0,k ) és t elég kicsi Feltevésünk szerint a ϕ i (t = 0-ban dierenciálható) függvényeknek lokális széls értéke van t = 0 ban, így igazolva áll ításunkat 0 = ϕ i(0) = i f(x 0 ) (i = 1,, k)
3 TÉTEL [a széls érték másodrend elegend feltétele] Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, továbbá azaz x 0 stacionárius pontja f-nek I Ha a 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, Q(h) = Q(h 1,, h k ) := j=1 i=1 j i f(x 0 )h i h j kvadratikus függvény pozitív denit, azaz Q(h) > 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha a Q kvadratikus függvény negatív denit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, III ha a Q kvadratikus függvény indenit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban Bizonyítás- Figyelembevéve a kvadratikus függvényekr l tanultakat, az el z tételt a következ képpen is megfogalmazhatjuk TÉTEL [a széls érték másodrend elegend feltétele determinánsok segítségével] Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, továbbá 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, azaz x 0 stacionárius pontja f-nek Legyen A = ( i j f(x 0 )) R k k az f függvény x 0 pontbeli második parciális deriváltjaiból álló mátrix, és legyen i (i = 1,, k) az A mátrix bal fels i i típusú sarokmátrixának determinánsa, azaz 1 : = 1 1 f(x 0 ) 2 : = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 1 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) 3 : = k : = A 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 3 f(x 0 ) 2 1 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) 2 3 f(x 0 ) 3 1 f(x 0 ) 3 2 f(x 0 ) 3 3 f(x 0 ) I Ha 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0,, k > 0 akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,, ( 1) k k > 0 akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban III ha i 0(i = 1,, n) és az el z két feltétel egyike sem teljesül, akkor akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban 24 Kétváltozós függvények széls értékszámítása Két változós függvény esetén az el z tétel kissé egyszer bb: I Ha 1 = 1 1 f(x 0 ) > 0, 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) > 0 akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha 1 = 1 1 f(x 0 ) < 0, 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) > 0
4 akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban III ha 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban < 0 Példa f(x, y) = x 3 + y 3 3xy (x, y) R 2 lokális széls értékeinek meghatározása 2 Globális széls érték Ha f : D R R folytonos az D korlátos és zárt halmazon, akkor f-nek van (globális) maximuma és minimuma D-n Ha D nem korlátos, vagy korlátos, de nem zárt akkor el fordulhat, hogy f-nek nincs széls értéke D-n Például az f(x) = 1 (x ]0, 1]) folytonos függvénynek nincs se lokális, se globális maximuma x Hasonlóan az f(x) = x 3 (x R) folytonos függvénynek nincs se lokális, se globális maximuma, minimuma Tegyük fel most, hogy f : D R R (elég sokszor) dierenciálható a korlátos és zárt D halmazon Akkor f-nek van globális maximuma és minimuma, melyet a következ képpen keresünk meg: Megkeressük f lokális széls értékeit D bels pontjaiban Kiszámítjuk f értékét D határpontjainban (ha D = I zárt intervallum, akkor I végpontjaiban) A lokális széls értékek és a határpontokban felvett értékek közül a legnagyobb adja a globális maximum értékét, a legkisebb adja a globális minimum értékét Példa Keressük meg az f(x) = x 4 /4 + x 3 /3 x 2 (x R) függvény összes lokális széls értékhelyét 26 Feltételes széls érték fogalma DEFINÍCIÓ Legyenek f : D R k R, g i : D R k R i = 1,, l, l < k adott függvények Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,, g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes maximuma (minimuma) van, ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és van olyan ε > 0 hogy mellett, melyre Ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D K(x 0, ε) g 1 (x) = = g l (x) = 0 f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x 0 x D K(x 0, ε) mellett, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0, akkor szigorú lokális feltételes maximum (minimum)-ról beszélünk 27 Feltételes széls értékszámítás TÉTEL [a feltételes széls érték szükséges feltétele] Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), az f függvénynek az els parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels egy környezetében f-nek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,, g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes széls értéke van, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) R l k 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrix rangja l (azaz van nemzérus l-edrend aldeterminánsa)
Akkor vannak olyan λ 0 = (λ 01,, λ 0l ) R l valós számok, hogy az függvényre L(λ, x) := f(x) + λ 1 g 1 (x) + + λ l g l (x) (λ = (λ 1,, λ l ) R l, x D) 1 L(λ 0, x 0 ) = = l+k L(λ 0, x 0 ) = 0 Vegyük észre, hogy az el z egyenletek közül az els l éppen a g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0 feltételrendszerrel azonos, hiszen j L(λ, x) = g j (x) (j = 1,, l) A λ 1, λ l változókat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt a feltételes széls érték probléma Lagrange-féle függvény ének nevezzük A feltételes széls érték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 l + k db egyenletb l álló egyenletrendszert megoldjuk a λ 1, λ l, x 1,, x k, ismeretlenekre, a kapott (λ 0, x 0 ) = (λ 01,, λ 0l, x 01,, x 0k ) R l D megoldások a Lagrange függvény stacionárius pontjai Ennek az x 0 = (x 01,, x 0k ) koordinátái a feltételes széls érték lehetséges helyei, λ 0 = (λ 01,, λ 0l ) a megfelel Lagrange multiplikátorok TÉTEL [a feltételes széls érték elegend feltétele] Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, λ 0 R l, x 0 D, a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 k + l db egyenletb l álló rendszer megoldása, ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) R l k 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a mátrix jobboldali l l-es sarokdetermináns, azaz k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 0 k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) (1) Ha a Q(h) = Q(h 1,, h k ) := j=1 i=1 i j f(x 0 )h i h j (= j=1 i=1 kvadratikus függvény pozitív minden olyan h R k, h 0 esetén, melyre l+i l+j L(λ 0, x 0 )h i h j ) j g i (x 0 )h j = 0 minden i = 1,, l mellett, akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x 0 pontban, (2) Ha a Q(h) = Q(h 1,, h k ) kvadratikus függvény negatív minden olyan h R k, h 0 esetén, melyre j g i (x 0 )h j = 0 minden i = 1,, l mellett, akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes maximuma j=1 van az x 0 pontban TÉTEL [a feltételes széls érték elegend feltétele determinánsokkal] Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, j=1
6 (λ 0, x 0 ) R l D a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 k + l db egyenletb l álló rendszer megoldása (azaz L stacionárius pontja), ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) R l k 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a jobboldali l l-es sarokdetermináns, azaz k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 0 k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) Legyen j (j = 2l + 1, 2l + 2,, l + k) a 0 0 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 0 0 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) 1 g 1 (x 0 ) 1 g l (x 0 ) l+1 l+1 L(λ 0, x 0 ) l+1 l+k L(λ 0, x 0 ) k g 1 (x 0 ) k g l (x 0 ) l+k l+1 L(λ 0, x 0 ) l+k l+k L(λ 0, x 0 ) szimmetrikus blokkmátrix bal fels j-edrend sarokdeterminánsá (1) Ha ( 1) l j > 0 (j = 2l + 1, 2l + 2,, l + k), akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x 0 pontban, (2) Ha ( 1) l+j j > 0 (j = 2l+1, 2l+2,, l+k), akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes maximuma van az x 0 pontban Vegyük észre, hogy a blokkmátrix éppen a Lagrange függvény összes második parciális deriváltjaiból álló mátrix azaz ( i j L(λ 0, x 0 )) R (l+k) (l+k) Példa Határozza meg az feltételes széls értékeit a feltétel mellett f(x, y) = x + 2y ((x, y) R 2 ) g(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 körvonal Megoldás A probléma Lagrange függvénye A lehetséges széls értékhelyeket a L(λ, x, y) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 1) ((λ, x, y) R 3 ) λ L(λ, x, y) = x 2 + y 2 1 = 0, x L(λ, x, y) = 1 + 2λx = 0, y L(λ, x, y) = 2 + 2λy = 0 megoldásai adják Könny kiszámolni, hogy a megoldások: λ 1 = 2, x 1 =, y 1 = 2, λ 2 = 2, x 2 =, y 2 = 2 a feltételes széls érték lehetséges helyei Azt, hogy feltételes maximum vagy minimum van-e ezen pontokban a fenti tétel alapján döntjük el Az L második parciális deriváltjaiból és a feltétel els parciális deriváltjaiból álló a blokkmátix (a (λ, x, y) pontban) 0 2x 2y 2x 2λ 0 2y 0 2λ
7 Most k = 2, l = 1, mivel 2l + 1 = 3 = k + l így csak az 3 determináns el jelét kell meghatározni Egyszer számítás mutatja, hogy 3 (λ 1, x 1, y 1 ) = 0 2 4 2 0 4 0 = 1 3 0 2 4 2 0 4 0 = 100 < 0 3 és hasonlóan 3 (λ 2, x 2, y 2 ) = 100 vagyis a 3 ( 1)l 3 (λ 1, x 1, y 1 ) = ( 1) 3 (λ 1, x 1, y 1 ) > 0 feltétel teljesül, (x 1, y 1 )-ben szigorú feltételes lokális minimum van, míg a ( 1) l+(l+k) 3 (λ 2, x 2, y 2 ) = ( 1) 4 3 (λ 2, x 2, y 2 ) > 0 ezért (x 2, y 2 )-ben szigorú feltételes lokális maximum van Megjegyzés Érdemes a feladatot geometriailag is szemléltetni: az f(x, y) = x+2y sík és az x 2 +y 2 = 1 által meghatározott hengerfelület metszésvonala (mely egy az R 3 térbeli ellipszis) melyik pontja van "legmagasabban" és "legalacsonyabban" (a magasságot a z tengely irányában mérve)
8 4 3 2 2 1 0 1 1 1 2 2 3 4