R E K T I F I K Á C I Ó

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "R E K T I F I K Á C I Ó"

Átírás

1 R E K T I F I K Á C I Ó

2 Bevezetés A foladékelegek szétválasztásáak egik leggakrabba alkalazott ódszere a gőzfoladék egesúlo alapuló desztilláció ill. az isételt desztilláció: a rektifikálás. Midkét űvelet a szétválasztadó kopoesek illékoságáak a külöbségé alapszik. A foladékkal éritkező, vele terodiaikai egesúlba lévő gőzfázisba a két, vag több, eltérő illékoságú vegületet tartalazó redszer eseté a agobb teziójú (alacsoabb forráspotú) kopoes(ek) kocetrációja agobb, it a foladékba. Ezt a dúsulási lehetőséget haszosítjuk a desztilláció (rektifikáció) űvelete sorá, laboratóriui és ipari éretekbe egarát. A desztilláció elhelezése a űvelettao belül: diffúziós vegipari űvelet. A űvelet a vegipar egik legfotosabb szeparációs űvelete, az ipar legkülöbözőbb területei találkozuk vele: kőolajfeldolgozás, éleliszer- és övéolajipar, gógszeripar, szerves aagok szétválasztása stb. Az egszerű desztillációval elérhető, hog a párlat összetétele külöbözik a aradék összetételétől, de a teljes kopoesszétválasztás e valósul eg. A további szeparációhoz a D, Desztillátu párlatot és a aradékot isételt lepárlásak kellee aláveti, ai hûtés eergetikailag redkívül rossz hatásfokú a külö készülékekbe reflux alkalazott fűtés és hűtés iatt. betáplálás, B reflux Az eergetikai hatásfoko úg lehet javítai, hog az elpárolgó kigõzölés foladék gőzét e kodezáltatjuk külö egségekbe, kigõzölés hae a lepárladó foladékpárlatokba vezetjük. Eze párla- fûtés tokba (foladékfázisokba) a M, aradék gőz kevésbé illéko kopoesei kodezálódak és a. ábra kodezációs hő illékoabb kopoeseket fog elpárologtati. Eze az elve a gőz az illékoabb a foladék a kevésbé illéko kopoesbe fog dúsuli. A egoldás elvi vázlata a -es ábrá látható. A gakorlati kivitelezés sorá, e kaszkádredszerszerű egoldást alkalazak, hae a ehézségi erőteret kihaszálva a fázisokat oszlopszerű beredezésbe áraoltatják. A fázisok az ú. táéroko éritkezek egással. A fűtés céljából az oszlop aljára hőközlő egséget (reboiler-t), a tetejére hőelvoót (kodezátort) építeek.

3 Eg rektifikáló oszlop vázlata feltütetve az aagforgaloal a 2. ábrá látható. refluxtartál kodezátor hûtõvíz A táéros rektifikálószerkezetek ellett a leggakrabba alkalazott fáziséritkeztető beredezések az ú. töltött vag töltetes oszlopok. A töltet viszolag ag fajlagos felületű részecskék halaza, ael fáziséritkezések ag felületet képes biztosítai. Az eléleti táér (egesúli egség) fogala a töltetekre is kiterjeszthető, hisze itt is elkülöíthetőek ola egségek, elekről a távozó fázisok egással terodiaika egesúlba vaak. Aagáraok, ukavoalak Tekitsük eg bier foladékeleg szétválasztást, ideális gőz ideális foladék fázisok eseté egbetáplálásos, kétterékes folaatos üzeű, táéros rektifikáló oszlopba, stacioárius állapotba. Továbbiakba a jelölések, az illékoabb kopoere ézve: x és : idig az illékoabb kopoes összetétele B, x B : betáplálási ára és összetétele M, x M : aradék ára és aak összetétele D, x D : desztillátu és aak összetétele,2,3,r-,r,r+: az oszlop táérjaiak sorszáa felülről lefelé ézve. (r+. táér aga a kiforraló) R: refluxará R r : visszaforralási ará G r+ : gőzára jele az idexel jelölt táéro F r : foladékára idexe a jelölt táéro Q: a kiforraló és a kodezátor hőforgala ΔH P : párolgáshő desztillátu, D foladékára, F gõzára, G fûtõgõz desztillátud, x D betáplálás, B, x B Q M reflux betáplálás, B visszaforralás, G -Q D F, x D G r+, r+ G l l G 2. ábra F r, x r aradék, M, x M foladék, F aradék, M G, 3. ábra 2 3 k l r F k x k F x F és G : az alsó oszloprészre érvées foladék és gőzáraok

4 A feti jelölésekkel eg rektifikáló oszlop a 3-as ábrá látható: A bruttó aagérleg: B = M + D () Bx B = Mx M + Dx D (2) A felső oszloprészre (dúsítóra) felírható érleg: G = D + F (3) G = Dx D + Fx D (4) A k-dik táérra voatkozóa G l = D + F k (5) G l l = Dx D + F k x k (6) A feti egeleteket azoba egszerűsíthetjük, ha feltételezzük, hog a oláris túlfolás esete (azaz az oszlopo felfelé áraló gőz és a lefelé haladó foladék összólszáa időbe álladó F=F =F 2 =...=F k ) érvéesül: G l = Dx D + Fx k (7) Vezessük be a refluxarát: R=F/D (8) Ekkor (7) egeletet átredezve: F D R G G R + R + ait a rektifikáló oszlop felső ukavoal egeletéek evezük. D D l = xk + x = xk + x, (9) Az alsó oszloprészre vag kigőzölőre felírható érlegek: Fr = G r+ + M (0) F rx G r+ M + Mx () r = r+ Az -dik táért tekitve : F = M + G (2) M F x = Mx + G (3) Ebbe az esetbe is alkalazzuk a oláris túlfolás feltételét (F=F =F =...=F r ) és vezessük be a visszaforralási arát: R r = G M (4) A (3) egelet átredezésével: F M R + M r M = x x = x x, (5) G G Rr Rr a rektifikáló oszlop alsó ukavoalát kapjuk. A betáplálási táérra felírt érlegek: Az -dik (betáplálási táérra) érkező betáp ára két részre osztható B = B F + B G (6) azaz eg gőz- és eg foladékrészre:

5 l betáplálás, B, x B B G G F l x l B F G F x 4. ábra Stacioárius állapot eseté: B + + G + Fl = G F (7) Bx + B + G + Fl x l = G Fx (8) ha érvées a oláris túlfolás, akkor az idexek elhaghatók: B Bx + G + Fx l = G + Fx az általáosítás érdekébe szité hagjuk el az összetétel idexeit: Bx B + G + Fx = G + Fx (20) felhaszálva a (6) egeletet: G = G + BG (2) és F = F + BF (22) A betáplálás állapotát a foladékfázisak az egész betápláláshoz viszoított értéke jellezi, elet q-val jelölük: q = F / B (23) redezzük a (20) egeletet a (2-23) összefüggések segítségével: F F B B q B = x + x = x x (24) G G G G q q A (24) egelet a rektifikáló oszlop q-voaláak egelete. A q értékét hőtai szepotból is értelezhetjük: Q q = (25) ΔH P azaz a betáplált foladék óljáak telített gőzzé alakításához szükséges hőeiség és a párolgáshő háadosa. A q-voal ide esetbe áteg az alsó és felső ukavoal etszéspotjá. (9)

6 A ukavoalakat ábrázolva: A q-voal elhelezkedéséek esetei: a x D R+ felsõ ukavoal q voal e d c b alsó ukavoal 0 x M x M x B x D R r x 0 x x B 5. ábra 6. ábra A q-voal elhelezkedéséek esetei a betáplálásra voatkozóa a: foladék, Q > ΔH p íg q > b: forráspoti foladék, Q = ΔH p íg q = c: részleges gőz részleges foladék, 0 < Q < ΔH p íg 0 < q < d: telített gőz, Q = 0 íg q = 0 e: túlhevített gőz, Q < 0 íg q < 0 Az eléleti táérszá eghatározása MCCABE THIELE ódszerrel egesúli görbe Az alsó (5) és a felső (9) x -2 ukavoalak segítségével az adott - - D E - elválasztáshoz szükséges eléleti B x - táérok száa egszerű grafikus C x ódszerrel eghatározható. A + eghatározás az egesúli egség + A + ukavoal és a ukavoal defiíciója alapjá törtéik, aelet a 7. ábrá utatuk be. Az -dik táért tekitve C pot az --dik táérról lecsorgó x x x - x -2 foladék összetétele egesúlba va az -dik táérról felszálló gőzzel, 7. ábra de az -dik táérról távozó fázisok is egesúlba vaak, ezért x összetételük közös. Ezzel a B potba jutottuk, ael a terodiaikai egesúli összetételt adja eg az -dik táéro.

7 Folaatos rektifikáció töltetes oszlopba A folaatos rektifikálást egvalósíthatjuk töltetes oszlopokba is. Ekkor a koloába táérok helett töltettesteket helezük el (lásd 7 pot alatt). A folaatos töltetes rektifikáló oszlop vázlata a 4. ábrá látható: G, H kodezátor F, x H D, x D B, x B z = 0 G, 0 F, x 0 kiforraló M, x M Töltettestek 8. ábra Lehetek redezettek vag redezetleek Aaguk lehet Fé, ha e korrozív a közeg. Nag kapacitás és hatásfok jellezi őket, széles geoetriai skála. Noásállóak, azoba a edvesítésük e ola jó it a keráiáké. Viszolag drágák, speciális igéek eseté jeletős árövekedés pl.: SS 3-5x árövekedés. Keráia: Kis kapacitásúak, echaikailag kevésbé elleállóak, azoba a agas hőérsékletet és a korrozív közeget jól bírják. Műaag: Olcsóak, de az elleállóképességgel és a echaikai szilárdásággal god lehet (alacso hőérséklete rideggé válak). A töltet hatékoságára utaló jellezők: Átviteli egségagasság (HTU) Eléleti táérszá (NTP) Redezetle töltetetek: Első geerációs töltetek ( )

8 9.a 9.b 9.c Második geerációs töltetek (950-70) 0.a 0.b 0.c. ábra Struktúrált töltetetek: Nutter rig [Forrás: Sulzer BX Sulzer töltetek Glitsch Goodloe Sulzer BX plastic [Forrás: Italox, Norto Co. A beredezés leírása elvégzedő feladatok A gakorlato haszált rektifikáló beredezés 80 c agas 6 c átérőjű, 8x8x.5 -es Raschig gűrűvel töltött oszlop. A töltet fajlagos felülete / 3. Az oszlopot alulról fűtjük, a tetejéről távozó gőzt vizes hűtőbe kodezáltatjuk. A kodezátuot két részre osztjuk; egik részét desztillátukét elvezetjük, ásik részét pedig refluxkét visszapupáljuk az oszlopba. A betáplálást szivattúval valósítjuk eg, a térfogatáraot köbözéssel határozzuk eg. A érés sorá etaol-víz eleg elválasztását végezzük, a terék kocetrációját refraktoéterrel határozzuk eg. A törésutató-kocetráció kalibrációs görbe a érésél redelkezésre áll.

9 . Feladat A rektifikáló oszlop eléleti táérszááak eghatározása adott fej- és feékterék kocetráció eseté. A érést a rektifikáló oszlop teljes reflux elletti felfűtésével kezdjük. A kodezálódás egidulása utá egkezdjük a fej- és a feékterék elvételét valait elidítjuk a betáplálást. A terékelvételeket az előzetese kiszáított értékre állítjuk be. Az áraok beállítása utá egvárjuk a stacioárius állapot beálltát, elet háro egás utái terékita-vétellel elleőrzük. Ezutá a fűtőteljesítt és a refluxarát addig változtatjuk aig a terékek kocetrációja a egadott értéket el e éri. Mide állítás utá egvárjuk a stacioáriu állapot beálltát, a foladékáraokat feljegezzük. A foladékáraok értékeiből és a q voal iseretébe felírjuk a ukavoaak egeleteit. A q voal felírásához szükséges fajhő adatok: ΔH vap EtOH = 39.3 kj/ol = 204. cal/g = J/g ΔH vap H 2 O = kj/ol = cal/g = J/g Meghatározadó: - Refluxará és a visszaforralási ará - q értéke - az egesúli egségek száa 2. Feladat A rektifikáló oszlop iiális táérszááak eghatározása. A iiális táérszá (egesúli egségek száa) adott eleg eseté az oszlop iőségi teljesítőképességét jellezi. Teljes reflux eseté a száításhoz felhaszálható az ú. Feske egelet, ael összefüggést ad eg a iiális táérszá (N i ), a fejterék kocetrációja (x D ) és a feékterék kocetrációja (x M ) között, ha a relatív illékoság értéke álladó. Ekkor az egelet alakja: N i xm x lg xd x = lgα D M Az etaol-víz elegre a relatív illékoság e álladó, ezért a száításhoz átlagos relatív illékoséágot állapítuk eg. Ehhez az EtOH-víz gőz-foladék egesúli adataiból, az elválasztásak egfelelő tartoára külöböző (x,) értékpárokra kiszáítjuk az α értékekekt, ajd eek szátai átlagát alkalazzuk a Feske egelethez.

10 N i értéke eghatározható grafikusa is (McCabe-Thiele ódszer), ekkor a ukavoalak egfelelek az -es irátagesű diagoálisak. A érést úg végezzük, hog egszütetjük a terékelvételt (a teljes kodezátuot visszavezetjük). Ezutá isét egvárjuk a stacioer állapot beálltát, kis eiségű itát veszük, egérjük a törésutatót egást követőe háro itából. A iták átlagából száított értéket haszáljuk a továbbiakba. Meghatározadó: - Átlagos relatív illékoság - N i értéke a Feske egelet segítségével - N i értéke (McCabe-Thiele ódszerrel)

11

12

13 Kis ZH kérdések:, Mile feladatokat kell elvégeziük a gakorlato? 2, Rajzolja fel a rektifikáló oszlop aagáraait (érési előírat alapjá)! 3, Mit evezük rektifikálásak? 4, Írja fel a felső (dúsító) szakasz ukavoalát! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége. 5, Írja fel az alsó (kigőzölő) szakasz ukavoalát! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége. 6, Írja fel a kétkopoesű eleg rektifikálásáál, a relatív illékoság egeletét! 7, Írja fel a refluxará egeletét! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog iit jelet, i a értékegsége. 8, Írja fel a visszaforralási ará egeletét! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége. 9, Írja fel a teljes oszlop bruttó töegérlegét! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége. 0, Írja fel a dúsító szakasz bruttó töegérlegét! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége., Írja fel a kigőzölő szakasz bruttó töegérlegét! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége. 2, Miek a érésére szolgál a refraktoéter? Nag ZH kérdések:, Rajzolja le ile érőberedezéssel ért a laborba és evezze el az eges részeket! 2, Írja fel a iiális táérszá eghatározására voatkozó egeletet! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége. 3, Rajzolja fel a folaatos töltetes rektifikáló oszlopot, és jelölje az aagáraokat! 4, Mit evezük rektifikálásak? Írja fel a refluxará és a visszaforralási ará egeletét! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége. 5, Írja fel a felső (dúsító) és az alsó (kigőzölő) szakasz ukavoalát! Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége! 6, Vezesse le az alsó (kigőzölő) szakasz ukavoaláak egeletét a F r = G r + + M egeletből kiidulva. Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége! 7, Vezesse le a felső (dúsító) szakasz ukavoaláak egeletét a G = F + D egeletből kiidulva. Az egeletbe szereplő jelölésekhez írja oda, hog i-it jelet, i a értékegsége! 8, Soroljo fel 2-2 első és ásodik geerációs redezetle töltetet!

2. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDSZEREI. A tananyag célja: a többváltozós logikai függvények megadási módszereinek gyakorlása.

2. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDSZEREI. A tananyag célja: a többváltozós logikai függvények megadási módszereinek gyakorlása. . LOGIKI ÜGGVÉNYEK EGÁSI ÓSZEREI taayag célja: a többváltozós logikai függvéyek egadási ódszereiek gyakorlása. Eléleti iseretayag: r. jtoyi Istvá: igitális redszerek I.... pot. Eléleti áttekités.. i jellezi

Részletesebben

Desztilláció: gyakorló példák

Desztilláció: gyakorló példák Desztilláció: gyakorló példák 1. feladat Számítsa ki egy 40 mol% benzolt és 60 mol% toluolt tartalmazó folyadékelegy egyensúlyi gőzfázisának összetételét 60 C-on! Az adott elegyre érvényes Raoult törvénye.

Részletesebben

Fluidizált halmaz jellemzőinek mérése

Fluidizált halmaz jellemzőinek mérése 1. Gyakorlat célja Fluidizált halaz jellezőinek érése A szecsés halaz tulajdonságainak eghatározása, a légsebesség-nyoásesés görbe és a luidizációs határsebesseg eghatározása. A érésekböl eghatározott

Részletesebben

8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi méretű rektifikáló oszlopon.

8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi méretű rektifikáló oszlopon. 8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi méretű rektifikáló oszlopon. 8.9.1. Bevezetés. Az egyszerű, egyfokozatú reflux nélküli desztillációnál az elválasztás egyetlen egyensúlyi fokozatnak felel

Részletesebben

I. Amfifilikus blokk-kopolimerek spontán asszociációja vizes közegben

I. Amfifilikus blokk-kopolimerek spontán asszociációja vizes közegben I. Afifilikus blokk-kopolierek spotá asszociációja vizes közegbe Közel azoos olekulatöegű és szegeshosszúságú AB, A 2 B, A 1 A 2 B, A 2 B 2 és A 3 B 3 (AB) 3 típusú (A=poliizobutilé, B=poli(etil-viil-éter))

Részletesebben

Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása II. rész

Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása II. rész Rugalas egtáasztású erev test táaszreakióiak eghatározása rész Bevezetés A ele részbe eg ola feladatot vetük fel és olduk eg, ael az részbe vizsgált feladat általáosításáak tekithető Aíg ott a táasztó

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi méretű rektifikáló oszlopon.

8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi méretű rektifikáló oszlopon. 8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi méretű rektifikáló oszlopon. 8.9.1. Bevezetés Az egyszerű, egyfokozatú reflux nélküli desztillációnál az elválasztás egyetlen egyensúlyi fokozatnak felel

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi mérető rektifikáló oszlopon.

8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi mérető rektifikáló oszlopon. 8.9. Folyamatos rektifikálás vizsgálata félüzemi mérető rektifikáló oszlopon. 8.9.1. Bevezetés. Az egyszerő, egyfokozatú reflux nélküli desztillációnál az elválasztás egyetlen egyensúlyi fokozatnak felel

Részletesebben

Gépészeti Eljárástechnika Tanszék. Szakaszos rektifikálás mérés

Gépészeti Eljárástechnika Tanszék. Szakaszos rektifikálás mérés BME Gépészeti Eljárástechnika Tanszék zakaszos rektifikálás mérés Budapest, 006 1. Elméleti összefoglaló A mérés célja: laboratóriumi rektifikáló oszlopban szakaszos rektifikálás elvégzése, etanol víz

Részletesebben

Töltött rektifikáló oszlopok vizsgálata

Töltött rektifikáló oszlopok vizsgálata Töltött rektifikáló oszlopok vizsgálata Az ipari gyakorlatban rektifikálásra tányéros vagy töltött oszlopokat használnak. A töltött oszlopokban az 1960-as évekig golyókat, gyűrűket vagy nyeregtesteket

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

8.8. Folyamatos egyensúlyi desztilláció

8.8. Folyamatos egyensúlyi desztilláció 8.8. olyamatos egyensúlyi desztilláció 8.8.1. Elméleti összefoglalás olyamatos egyensúlyi desztillációnak vagy flash lepárlásnak nevezzük azt a desztillációs műveletet, amelynek során egy folyadék elegyet

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév)

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév) 1 VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgaérdése (BSc. 2011. tavaszi félév) 1. Isertesse a villaoseergia-hálózat feladatr szeriti felosztását a jellegzetes feszültségsziteet és az azohoz tartozó átvihető teljesítéye

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Mérési útmutató Az önindukciós és kölcsönös indukciós tényező meghatározása Az Elektrotechnika c. tárgy 7. sz. laboratóriumi gyakorlatához

Mérési útmutató Az önindukciós és kölcsönös indukciós tényező meghatározása Az Elektrotechnika c. tárgy 7. sz. laboratóriumi gyakorlatához BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR VILLAMOS ENERGETIKA TANSZÉK Mérési útutató Az önindukciós és kölcsönös indukciós tényező eghatározása Az Elektrotechnika

Részletesebben

Az extrakció. Az extrakció oldószerszükségletének meghatározása

Az extrakció. Az extrakció oldószerszükségletének meghatározása Az extrakció Az extrakció oldószerszükségletének meghatározása Az extrakció fogalma és fajtái olyan szétválasztási művelet, melynek során szilárd vagy folyadék fázisból egy vagy több komponens kioldását

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Klasszikus Fizika Laboratórium V.mérés. Fajhő mérése. Mérést végezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE. Mérés időpontja:

Klasszikus Fizika Laboratórium V.mérés. Fajhő mérése. Mérést végezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE. Mérés időpontja: Klasszikus Fizika Laboratóriu V.érés Fajhő érése Mérést égezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE Mérés időpontja: 2012.10.11. 1. Mérés röid leírása A érés során egy inta fajhőjét kellett eghatározno. Ezt legkönnyebben

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Kiegészítő desztillációs példa. 1. feladatsor. 2. feladatsor

Kiegészítő desztillációs példa. 1. feladatsor. 2. feladatsor Kiegészítő desztillációs példa D3. példa: Izopropanol propanol elegy rektifikálása tányéros oszlopon 2104 kg/h 45 tömeg% izopropanol-tartalmú propanol izopropanol elegyet folyamatos üzemű rektifikáló oszlopon,

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN 7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIÁBAN A terészetes folyai, illetve tegeri utakat igéybe vevő, csak a kikötővel redelkező helyeket felkeresi tudó szállítási ód. A vízi áruszállítást elsősorba

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/ 5 öveli a traszformátorok öveli a traszformátorok A techológia előyei A költségek csökketéseek folyamatos kéyszere és a zavartala eergiaellátás ehézségei szükségessé teszik a traszformátorok tervezett

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). ) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye

Részletesebben

KÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK

KÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK Környezetvédeli-vízgazdálkodási alaiseretek közészint Javítási-értékelési útutató 141 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. október 13. KÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6

Részletesebben

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE EG FÁZISÚ ÖBBOMPONENS RENDSZERE: AZ ELEGE ÉPZDÉSE AZ ELEGÉPZDÉS ERMODINAMIÁJA: GÁZO Általáos megfotolások ülöböz kéma mség komoesek keveredésekor változás törték a molekulárs kölcsöhatásokba és a molekulák

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Technológiai hulladékvizek kezelése fiziko-kémiai módszerekkel a körforgásos gazdaság jegyében

Technológiai hulladékvizek kezelése fiziko-kémiai módszerekkel a körforgásos gazdaság jegyében Technológiai hulladékvizek kezelése fiziko-kémiai módszerekkel a körforgásos gazdaság jegyében Ipari Szennyvíztisztítás Szakmai Nap Budapest, 2017. 11. 30. Mizsey Péter 1,2, Tóth András József 1, Haáz

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha

3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =

Részletesebben

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Átfolyó-redszerű gázvízmelegítő teljesítméyéek és hatásfokáak meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Szuyog Istvá 005 Készült az OTKA T-0464 kutatási projekt keretébe A Gázipari oktatási laboratórium

Részletesebben

SZAKASZOS REKTIFIKÁLÁS

SZAKASZOS REKTIFIKÁLÁS SZAKASZOS REKTIFIKÁLÁS mérési segédlet Mérés helyszíne: Stokes Laboratórium Ellenőrizte: Dr. Hégely László Készítette: Deák Gábor, Kádár Péter, Tőzsér Eszter, Verrasztó László Budapest, 2018.05.17. Budapesti

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapiseretek középszit 1211 ÉRETTSÉGI VIZSGA 213. ájus 23. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIMA Fotos tudivalók

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012 0 jó ok, hogy iért Liebherr készüléket válasszo. A tapasztalat, ai száít A Liebherr, it a hűtő-fagyasztó készülékek szakértője ár több it 50 éve következetese tervez és gyárt olya terékeket, aelyek új

Részletesebben

2.4.29. OMEGA-3-SAVAKBAN GAZDAG ZSÍROS OLAJOK ZSÍRSAVÖSSZETÉTELE

2.4.29. OMEGA-3-SAVAKBAN GAZDAG ZSÍROS OLAJOK ZSÍRSAVÖSSZETÉTELE 2.4.29. Oega-3-savakban gazdag zsíros olajok Ph.Hg.VIII. Ph.Eur.6.0-0/2008:20429 javított 6.0 2.4.29. OMEG-3-SVKBN GZDG ZSÍROS OLJOK ZSÍRSVÖSSZETÉTELE eghatározás alkalazható EPS- és DHS-tartalo kvantitatív

Részletesebben

Fiziko-kémiai módszerek a finomkémiai ipar hulladékvizeinek kezelésére

Fiziko-kémiai módszerek a finomkémiai ipar hulladékvizeinek kezelésére Fiziko-kémiai módszerek a finomkémiai ipar hulladékvizeinek kezelésére Környezettudományi Doktori Iskolák Konferenciája 2012. 08. 31. Tóth András József 1 Dr. Mizsey Péter 1, 2 andras86@kkft.bme.hu 1 Kémiai

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Desztilláció. Vegyipari és biomérnöki műveletek segédanyag Simándi Béla, Székely Edit BME, Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék

Desztilláció. Vegyipari és biomérnöki műveletek segédanyag Simándi Béla, Székely Edit BME, Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék Desztilláció Vegipari és biomérnöki műveletek segédanag Simándi Béla, Székel Edit BME, Kémiai és Körnezeti Folamatmérnöki Tanszék 1 A desztilláció altémakörei A desztilláció előfordulása az iparban, mintapéldák.

Részletesebben

- III. 1- Az energiakarakterisztikájú gépek őse a kalapács, melynek elve a 3.1 ábrán látható. A kalapácsot egy m tömegű, v

- III. 1- Az energiakarakterisztikájú gépek őse a kalapács, melynek elve a 3.1 ábrán látható. A kalapácsot egy m tömegű, v - III. 1- ALAKÍTÁSTECHNIKA Előadásjegyzet Prof Ziaja György III.rész. ALAKÍTÓ GÉPEK Az alakítási folyaatokhoz szükséges erőt és energiát az alakító gépek szolgáltatják. Az alakképzés többnyire az alakító

Részletesebben

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g=

Részletesebben

Szénhidrogén elegy rektifikálásának modellezése

Szénhidrogén elegy rektifikálásának modellezése Hőmérséklet C Szénhidrogén elegy rektifikálásának modellezése 1. Elméleti összefoglalás Napjainkban a kőolaj az egyik legfontosabb bányászott és feldolgozott nyersanyag, meghatározó primer energia hordozó.

Részletesebben

PELTON TURBINA MÉRÉSE

PELTON TURBINA MÉRÉSE idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

1. feladat Összesen 20 pont

1. feladat Összesen 20 pont É 047-06/1/D 1. feladat Összesen 0 pont Csőköteges hőcserélőben óránként 1,5 m anyagot melegítenek 0 C-ról 95 C-ra bar nyomású telített vízgőz rejtett hője segítségével. Az anyag sűrűsége 985 kg/m, fajhője,0

Részletesebben

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1 A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S

Részletesebben

1. feladat Összesen 8 pont. 2. feladat Összesen 18 pont

1. feladat Összesen 8 pont. 2. feladat Összesen 18 pont 1. feladat Összesen 8 pont Az ábrán egy szállítóberendezést lát. A) Nevezze meg a szállítóberendezést!... B) Milyen elven működik a berendezés?... C) Nevezze meg a szállítóberendezést számokkal jelölt

Részletesebben

Vegyipari műveletek II. Témakör: desztilláció Székely Edit BME VBK

Vegyipari műveletek II. Témakör: desztilláció Székely Edit BME VBK Vegipari műveletek II Témakör: desztilláció Székel Edit BME VBK sz-edit@mail.bme.hu A desztilláció altémakörei A desztilláció előfordulása az iparban, mintapéldák. Jelentősége a múltban a jelenben és a

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Szemcsés szilárd anyag porozitásának mérése. A sűrűség ismert definíciója szerint meghatározásához az anyag tömegét és térfogatát kell ismernünk:

Szemcsés szilárd anyag porozitásának mérése. A sűrűség ismert definíciója szerint meghatározásához az anyag tömegét és térfogatát kell ismernünk: Szecsés szilárd anyag porozitásának érése. Eléleti háttér A vegyipar alapanyagainak és terékeinek több int fele szilárd szecsés, ún. ölesztett anyag. Alapanyag pl. a szén, szilikonok, szees terények stb.,

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30. Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális

Részletesebben

Lineáris programozási feladat duálisa/duálja

Lineáris programozási feladat duálisa/duálja Dulitás Alklzott operáiókuttás 4. elıdás 008/009. tév 008. októer. Shó elid Shó elid Lieáris progrozási feldt duális/duálj Priál feldt iu feldt 0 A f () = T Duál feldt iiu feldt 0 A T g() = T i A u= oikus

Részletesebben

Szabályozó szelepek (PN 6) VL 2 2-utú szelep, karima VL 3 3-járatú szelep, karima

Szabályozó szelepek (PN 6) VL 2 2-utú szelep, karima VL 3 3-járatú szelep, karima Szabályozó szelepek (PN 6) V 2 2-utú szelep, karima V 3 3-járatú szelep, karima eírás V 2 V 3 A V 2 és a V 3 szelepek miőségi és költséghatékoy megoldást adak a legtöbb víz és hűtött víz alkalmazás eseté.

Részletesebben

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ Regresszó számítás Mérök létesítméek elleőrzése, terekek megfelelése Deformácózsgálat Geodéza mérések potok helzete, potszerű formácó Leárs regresszó Regresszós sík Regresszós göre Legkse égzetek módszere

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

Szénhidrogén ipari technológiák Szétválasztó eljárások, Desztilláció

Szénhidrogén ipari technológiák Szétválasztó eljárások, Desztilláció Szénhidrogén ipari technológiák Szétválasztó eljárások, Desztilláció Rabi István 2014. 09.24. A dokumentum nem sokszorosítható semmilyen formában az előadó írásos engedélye nélkül! Agenda Bevezetés Desztilláció

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapiseretek középszint 1511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 215. ájus 19. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIMA Fontos tudnivalók

Részletesebben

Transzportfolyamatok

Transzportfolyamatok Traszportfolyaatok F64. Egy duplafalú ablak üvegeiek távolsága 5, c. ekkora a hőátadás sebessége vetés útjá egy 5, C hőérsékletű, eleg szobából a C-os köryetbe az ablak, felületé keresztül? A levegőre

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai

2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai Kéiai potenciál Fejezetek a fizikai kéiából 2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai A indennapi életben találkozunk olyan kifejezésekkel, int fagyás, forrás, párolgás, stb. Mint a kifejezésekből

Részletesebben

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete Fejezetek a fzka kéából.6. Az deáls gáz fudaetáls egyelete A legegyszerűbb terodaka redszer az u. deáls gáz. Erre jellező, hogy a részecskék között az egyetle kölcsöhatás a rugalas ütközés, és a részecskék

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke.

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke. SPORTPÉNZÜGYEK A péz időétéke. A ai pézösszeg azét étékesebb, it egy későbbi időpotba esedékes pézösszeg, et a befektető eek évé jövedelee, kaata tehet szet Kaat: A péz áa Haszálója azét fizet, et a pézt

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN

DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. ENYÓ ZOLTÁN be Redzer folyaat t differeciáló ódzer: Feltételezük egy értéket é ebből képezzük az elő, áodik, az -edik deriváltat. Itegráló ódzer z -edik deriváltból

Részletesebben

1. Az adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben.

1. Az adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben. 1 1. z adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb eleel, a legegyszerűbben. F függvény 4 változós. MEGOLÁS: legegyszerűbb alak egtalálása valailyen egyszerűsítéssel lehetséges algebrai,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Szénhidrogén ipari technológiák Szétválasztó eljárások, Desztilláció. Rabi István 2013. 09.18

Szénhidrogén ipari technológiák Szétválasztó eljárások, Desztilláció. Rabi István 2013. 09.18 Szénhidrogén ipari technológiák Szétválasztó eljárások, Desztilláció Rabi István 2013. 09.18 Agenda Bevezetés Desztilláció Kőolaj desztilláció A Finomítás célja Agenda Bevezetés Desztilláció Kőolaj desztilláció

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben