3.4 Pólus-zérus helyettesítés

Átírás

1 áítógépes iányításelélet Pólus-éus helyettesítés előőeken euttott pólus helyettesítéses teveésnél sályoó követési tuljdonságit leíó tjektói efeenci odellen vn eleív, így ennél teveési eljáásnál ne voltk eléhetők sályoott sks éusi. Másik polé volt, hogy sályoott sks éusit is gá fogllt eliálhtó tjektói. Most et poléát fogjuk egoldni úgy, hogy sályoott sks éusit egsüntetjük, vgyis egsüntetjük polinoot. továikn euttott sttégi lehetővé tesi, R--T típusú sályoó teveését stil és ne stil sks esetén is. polinook foksáá, időkésleltetés kolátoás nélkül, csk ok sksok, elyek stil éusokt ttlnk éusok töölhetősége itt. kolátoás nélkül ( ) és ( ) *( E() U() () T / -d / / W() R ályoás: P ( ) d d d ( ) ( ) 49. á Pólus-éus helyettesítéses teveés.

2 áítógépes iányításelélet 97 ályoás teveett pólusok R( ) és ( ) sáítás T előkopenáto lklás nélkül át sályoási kö ipulus átviteli függvénye követkeő H CL d ( ) d ( ) ( ) ( ) R( ) célunk, hogy tööljük éusokt és helyettesítsük pólusokt követkeő egyenlet seint: H CL d d ( ) ( ) P ( ) P ( ) Et egvlósíthtjuk, h egoldjuk követkeő egyenletet: d ( ) ( ) R( ) ( ) P ( ) ( ) kitevő kiegyenlítéshe, ( )-nek osthtónk kell lennie ( ) -vel (n d) ( ) ' ( ) s s... s n d d ' ( ) s'... s' d s n)... Így iophntosi egyenlet követkeő lkúvá válik: n d ' ( ) R( ) P ( ) egoldás n eseten léteik, h degp n d, deg' d, degr n, hol (n)... R n hho, hogy állndósult hi egy egységugás eenete vgy vjele éus étékű legyen előeuttó ágnk ttlni kell egy integátot; vgyis polinoot

3 áítógépes iányításelélet 98 helyettesíteni kell ( ) ( ) ( ) ' ( ) lkúvá válik:, így iophntosi egyenlet követkeő d ( ) ' ( ) R( ) P ( ) R polino foksáát eg kell növelni eggyel digitális oostusság itosításáho n... R Követés ( ) n. T eghtáoás át sályoási kö ipulus átviteli függvénye: * ( ) ( ) P ( ) d T, eét, hogy itosítsuk teveett át hukú igényeket: * ( ) ( ) d, ekko P ( ) T.

4 áítógépes iányításelélet péld: Pólus-éus helyettesítéses teveés 8. péld lpján. H P d ( ) ( ) ( ) ( ( ).7.7, ) , d. Megoldás: Meg kell jegyeni t, hogy sksnk eltéő polinoj vn sályoásho int előő eseten. Előőleg sksnk volt egy ne stil éus pontn. Így póluséus helyettesítéses teveés ne lenne lkls een eseten. iophntosi egyenlet: d ( ) ( ) R( ) ( ) P ( ), hol polinonk ttlni kell polinoot, hogy egvlósíthssuk éusok tölését és itosítsuk integáló viselkedést, een eseten iophntosi egyenlet, it eg kell oldnunk: d ( ) ' ( ) R( ) P ( ) ; deg' d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) degr n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.4. ) ( ).4.. ( ) ( ) ( ) ( p p ) p p p p 3 3, p p p 3

5 áítógépes iányításelélet 3 ( p ) ( p ) ( p ) R T.7 ( ) P ( ) ,, iulink pog: Mux Mux yd, tep Input tep Input Model T - u.4. - /* Plnt u R g Tie (second) vöös - lpjel, kék efeenci odell kieneti jel, lil sályoott sks kieneti jel, öld - vjel.

6 áítógépes iányításelélet 3.4. Pólus-éus helyettesítés hllgtólgos efeenci odellel efeenci odell leíj teveett követési tjektóiát, ely követlenül egjelenik pólus-éus helyettesítéses sályoási stuktúán (lásd 49. áát). E lpvetően ne sükséges, ivel sályoó polinoji ( R, és T ) olyn ódon htáohtók eg, hogy át sályoási kö ipulus átviteli függvénye kielégíti követési célt követkeő ódon: T R *. sályoó polinookt követkeő ódon kell eghtáoni. sályoási tövény ely 49. áán láthtó lokkdigon lpul követkeő: U T ely követkeő össefüggést dj: * R * U T R Össehsonlítv et össefüggést eedeti R--T sályoási tövénnyel: RT RT * RT U T R, láthtjuk, hogy RT és RRT polinooknk ttlniuk kell egkívánt (teveett) efeenci odell pólusit, elyeket polino ttl, hogy eléjük egkívánt viselkedést: R T RT RT RT n Rn T. n sályoás teveése R n és n polinook ( fenti egyenlőségek lpján) eghtáoásáól áll: RT RT R n R n n T T. RT

7 áítógépes iányításelélet és T RT RT R P P n Nos een eseten sályoó polinoji R és ne dják iniális egoldást ( legkise lehetséges polino foksáot). Miniális egoldást kphtunk R és polinook követkeő egyenlet egoldásávl: R P át sályoási kö követési viselkedése követkeő les: Tn R P * sályoás (vás elnyoás) dinikáj eghtáohtó követkeő össefüggéssel: W R P P Világosn látsik, hogy sályoás és követés dinikáj ne válsthtó teljesen sét, egjelenik kkteistikus polinon. Kivéve h egkívánt kkteistikus polino P ésen vgy teljesen ttl és/vgy polinookt. Een eseten: R ~ P, hol ~ és ~ ok fktook elyeket ne ttl ~. P. lklv pólus-éus helyettesítéses sályoást, sályoott sks pólusi és éusi helyettesíthetők. Idáig időkésleltetést ne kopenáltuk. Eét követkeő feltételt kell teljesíteni. egkívánt (teveett) ipulus átviteli függvénynek endelkenie kell egy felesleges pólussl. deg deg deg deg, egjegyeük, hogy ne lehetséges kise időkésleltetés igény, int ivel sályoott sks endelkeik. R és polinook ttlák R d és d fktookt külön-külön, indeellett, hogy itosítsuk éus állndósult állpoteli hiát, R polinonk ttlni kell egy ( ) tényeőt is..

8 áítógépes iányításelélet 3 Így R R d és R d H vnnk olyn éusok, elyeket ne tööltünk, kko polinoot fel kell ontni követkeő ódon hol ttl okt éusokt, elyek ne tölődtek. Eét kkteistikus polino endelkeik egy éssel: R P egyenlet l oldlánk sintén kell ttlni -t ennek egfelelően R R így felépítése követkeő lkú les d. -l töténő egyseűsítés után kkteistikus egyenlet követkeő lkú les: R P d át endse ipulus átviteli függvénye így: T R n * P T. hho, hogy eghtáouk eősítést töölnünk kell polinonk pedig ttlni kell T n P. polino eősítését T H polinonk sintén vn éshl, ely ne töölhető, kkteistikus polinonk ttlni kell t:, kko teveett R P d

9 áítógépes iányításelélet 4 Össefogllv, sályoás polinoji követkeő lkúk lesnek:, R R P, d R d T hol iophntosi egyenletet és R -e kell egoldni, R R P d iophntosi egyenlet egyetlen egoldást ttl, h vgy deg < deg deg R d deg R < deg deg d. d és R polinook foksáit úgy kell válstni, hogy eleget tegyenek eeknek tövényeknek. továi eghtáoások követkeő ódon töténnek. sályoási tövény * U T R n, ely t uttj, hogy T n és R polinook foksáánk kisenek vgy egyenlőnek kell lennie polino foksáávl: deg R deg T n deg deg Egyéként jelenlegi eeneti jelet efeenci jel és kieneti jel vlilyen jövőeni étékől kellene eghtáoni. E oksági feltétel! eddig sks és sályoó oksági visonyn vnnk, deg deg és deg R deg, ugynígy deg R < deg deg d egyedi egoldás feltételeiől, eghtáohtó iniális foksáú egoldás h, deg R deg deg d. Míg deg R deg, deg deg R deg deg d.

10 áítógépes iányításelélet 5 eonstációs péld: dott endse ipulus átviteli függvénye hol H K ( ) ( ) ( ) e h h h ( e ) h e h hol h intvételi időtt. teveett át hukú endset ipulus átviteli függvényével jelleeük (efeenci odellel) H odell ipulus átviteli függvényének nincs éus -nél, eét endse éusát töölni kell. fktoiálás követkeőt dj K ( p p ) ( p p ) Mivel és R polinooknk nincs különleges tényeője, így követkeő lkú sályoó polino R R Nincs seiféle feltétel egyenletet kell egoldni R sályoó, P, eét követkeő iophntosi és R polinookkl

11 áítógépes iányításelélet 6 ely követkeőt egyenlőséget dj ( ) ( ) K R p p R és polinook foksáit követkeő sály lklásávl htáohtjuk eg és deg deg R deg deg deg R deg deg d d polinookt követkeő ódon válsthtjuk s R iophntosi egyenlet így követkeő les ( ) ( ) s K ( ) p p H össehsonlítjuk egyenletek htványink együtthtóit követkeő egyenleteket kpjuk s ( ) s K p s K p. elyől, s p K p K sályoó polinoji követkeők lesnek R T

12 áítógépes iányításelélet Pólus-éus helyettesítéses teveés egfigyelő lklásávl sályoó teveés lényege, hogy hogyn djuk eg kkteistikus polinoot. Et koáikn úgy htáotuk eg, hogy iophntosi egyenletet egoldottuk követkeő foán: R R P d d egyseűsítéshe tételeük fel csk t esetet, iko R d, d illetve. iophntosi egyenlet, R P ódosíthtó, h eveetünk egy úgyneveett O egfigyelő polinoot, R P O vlint egfigyelő seepe, hogy egfigyelje ejövő vjelek váltoását és eghtáo ilyen gyosn kell egsüntetni őket, hogy későieken t látni fogjuk. egfigyelő polino gá fogllht stil sks pólusokt, elyeket töölni lehet. követkeő lépés hogy eghtáouk O egfigyelő polino foksáát, ely illeskedik követkeő feltételhe Megoldv deg deg deg deg O R és R polinookt iophntosi egyenletől O P. és R foksái deg deg O deg deg P deg degr deg Ekko, és R() sáíthtó iophntosi egyenletől és T O P

13 áítógépes iányításelélet 8 eonstációs intpéld: Egy oto ipulus átviteli függvénye követkeő lkú hol H ( ) K ( ) ( ) ( ) h K e h e h h h e h e h és h intvételi időtt. át sályoási kö előít tuljdonságit efeenci odellel leít ipulus átviteli függvénnyel íjuk le H ( ) p ( p p ) p odellnek nincs éus -nél eét endse éusát töölni kell. fktoiálás követkeőket dj K egfigyelő polino foksáánk ki kell elégítenie követkeő feltételt deg deg deg deg 4 O így, hogy iniális foksáú sályoót válssuk ki O R és foksái követkeők deg deg O deg deg degr deg

14 áítógépes iányításelélet 9 iophntosi egyenlet: O R p p K s Össehsonlítv egyenletek htványink együtthtóit követkeő egyenleteket kpjuk p K s p K s. elyől,, sályoó polinook követkeő lkúk lesnek: s R t K p p K T Ο Ο sályoó, R T U *, követkeő ódon íhtó le U t U * U t U * k - k k - k k u y y y t u * s s p K p K

15 áítógépes iányításelélet 3. intpéld: Teveünk pólus-éus helyettesítéses sályoót előő péld sályoott sksáho. intvételi idő h.5 egdv ζ ω. 7. (Eléketetőül s ζ ω s ω ) és át endse teveett viselkedése követkeő ódon vn Megoldás:. Htáouk eg sks péteeit.. áítsuk ki odell péteeit. 3. Teveük eg sályoót. 4. Ellenőiük sáításokt,, R,, T polinook ehelyettesítésével követkeő egyenleten T R. 5. djuk eg sályoót htványkitevői seint. 6. Építsük eg sályoás siulációs odelljét iulink-en.. sályoott sks péteei» K(exp(-.5))-.5, exp(-.5), -(.5*(-exp(-.5))/(exp(-.5)-.5)) H K( ) ( )( ) K odell péteei H ( ) ( p p ) p p specifikáció ζ ω. 7 és s ζω s ω dj eg kkteistikus polinoot s.4s

16 áítógépes iányításelélet s.4s» s[.4 ];» spoots(s) sp i i diskét idejű specifikáció odell átviteli függvénye H » pexp(sp*.5) p i i» poly(p) ályoó teveés sályoott sks éusánk kitölésével sks éusi eltűnnek. odell követkeő lkúvá válik H p p p p ipulusátviteli függvény H endelkeik egy éussl -nél, ely ne seepel -en. egdott specifikációkkl sükséges éus tölése. H M. lépés: felontás.8467 K 65.. lépés: egfigyelő polino dego deg deg deg dego 4 így válssuk o -e

17 áítógépes iányításelélet 3. lépés: és polinook eghtáoás R deg dego deg deg () s degr deg R Oldjuk eg és R-et követkeő egyenletől R, ( ) ( ) s K ( ) p p Össehsonlítv egyenletek htványink együtthtóit követkeő egyenleteket kpjuk ( ) s K p s K p s ( ) K s K p p F * P J és egoldás P F \ J» F[ ; -() K ; K];» J[ () (3)]';» F\J ns. (s).6854 () -.39 () 4. lépés:, R és T polinookól s ( ) s s Ο ( p p ) t.6535 K R T

18 áítógépes iányításelélet 3 5. lépés: sályoási tövény felíhtó Z tnsfoáció lklásávl úgy int vgy [ k ] t [ k ] y[ k ] y[ k] u[ k] u [ k] t [ k] y[ k] y[ k ] u[ k ] u 5. iulink odell igitl Contol Theoy ov Exple 8: Pole-eo plceent y Åstö iscete Tnsfe Fcn cope.6535 tep Input t u u(k-).65(.8467) (-)(-.665) iscete Zeo-Pole Mux Mux etpoint Contol input Pocess Model / y(k-)

19 áítógépes iányításelélet 4.5 g, Tie (second) vöös - lpjel, kék odell kieneti jel, gent sályoás kieneti jel, öld sályoó eeneti jel. H intvételi idő egváltoik sályoási péteek és sályoás jelleői egváltonk: h.5 s t.85 h s t.3484 ex_99_8_h ex_99_8_h_ Tie (econds) Tie (econds) h.5 h

20 áítógépes iányításelélet 5 3. intpéld: Teveünk pólus-éus helyettesítéses sályoót előő péld sályoott sksáho. intvételi idő h.5 és át endse teveett viselkedése követkeő ódon vn egdv ζ ω. 7. (Eléketetőül s ζ ω s ω ) Megoldás:. Htáouk eg sks péteeit.. áítsuk ki odell péteeit. 3. Teveük eg sályoót. 4. Ellenőiük sáításokt,, R,, T polinook ehelyettesítésével követkeő egyenlete T R. 5. djuk eg sályoót htványkitevői seint. 6. Építsük eg sályoás siulációs odelljét iulink-en.. és. lépés ugyn, int előő példán. Megoldás: 3. ályoó teveés Mivel ne töténik eg éus éus kitölése sks éus étéke egjelenik át sályoási kö ipulus átviteli függvényéen. H CL ( ). lépés: felontás ( p p ) p p ( ) K ( ).65(.8467) K péte és dék (-) egy eősítést epeentál, elyet töölni kell. E T polino eghtáoásánál vehető figyelee követkeő ódon: T Ο Ο ( ) K

21 áítógépes iányításelélet 6. lépés: egfigyelő polino deg o deg deg deg deg 4 o eől követkeően. o 3. lépés: és R polinook eghtáoás deg deg deg deg s s R Meghtáov és R polinookt követkeő egyenletől R 3 ( ) ( ) ( s s ) K ( ) ( ) p p Össehsonlítv egyenletek htványink együtthtóit követkeő egyenleteket kpjuk 3 ( ) s s K p s ( ) s K K p O s K degr deg s ( ) ( ) K K s s K K p p F*P J és egoldás követkeő P F \ J

22 áítógépes iányításelélet 7» F[ ; - -K ; -() -K* K; - K*];» J[ -() (3) ]';» F\J ns. (s). (s).64 () () 4. lépés:, R és T polinook foáj s s s Ο t K ( ) R T 5. lépés: sályoási tövény, [ k] t [ k] y[ k] y[ k ] s u[ k ] u 5. iulink odell iscete Tnsfe Fcn cope.895 tep Input t. u /.65(.8467) (-)(-.665) iscete Zeo-Pole Mux Mux etpoint Contol input Pocess Model s u(k-) / y(k-)

23 áítógépes iányításelélet g Tie (second) vöös - lpjel, kék odell kieneti jel, lil sályoás kieneti jel, öld sályoó eeneti jel

24 áítógépes iányításelélet egfigyelő polino htás egfigyelő polinoól O -ól t ondtuk, hogy ő felelős ét, hogy vást ilyen gyosn éékeljük illetve sályoás segítségével ilyen gyosn tudjuk egsüntetni. követkeő deonstációs péld (Åstö, 997) élye etekintést nyújt polé egoldásáho. sks odellje követkeő hol k. G (s) k s intvételes endse ipulus átviteli függvénye ZOH hsnáltávl és h étékű intvételi idővel követkeő H ( ) h ( ) át sályoási kö egdás. kkteistikus polino s ξωs ω onos diskét idejű polino követkeő lkú: ξωh h e cos h ξω ω ξ e Megkívánt, hogy egfigyelő endelkeen két pólussl -nál vgy i eel ekvivlens e -αh -nál diskét idően. egfigyelő polino így követkeő les iophntosi egyenlet ο h ( e ) ο ο ο h s α ( ) ( ) R

25 áítógépes iányításelélet hol előít, hogy endelkeen egy éussl nél (integálási tuljdonság). iniális foksáú egoldás sályoási késleltetés nélkül követkeő R s s s s Össehsonlítv egyenletek htványink együtthtóit követkeő össefüggéseket kpjuk ( 4 ) ( 3 ) O s ( ) O O s ( ) O O s ( ) O s s O O O O O O H () T polinoot követkeő ódon htáohtjuk eg O t t t h T Mtl pog:»-*exp(-g*w*h)*cos(w*h*sqt(-g*g)); exp(-*g*w*h); o-*exp(-l*h); oexp(-*l*h); -; ; (h*h)/; ; F[ ;(-) ;(-) ; - ]; [o o*o *o*o *o]'; E[- - - ]'; F\(-E) ; T*[ o o]/(h*h)

26 áítógépes iányításelélet sályoó péteeket, elyeket lklunk követkeő tálátn duk eg: ω ξ α h..77 s t t t Elősö egységugás eenetet lklunk sályoásho. vójel egy negtív étékű egységugás jel.5 ngyságú plitúdóvl, elyet sályoott sks eeneténél lklunk t5 időegységnél. Végül egy ngyfekvenciás sinusos eenő jelet [. sin(t) ] is lklunk t időegységnél, hogy egutssuk ngyfekvenciás éési jok dott válsfüggvényt. Output Tie (econds). Input Tie (econds) követkeőken ω váltoásánk követkeényeit uttjuk e. válsdási idő és vjelől keletkeő hi inve ódon ányosn csökkenő sávsélességhe képest. iko sávsélességet növeljük sályoó jel sintén növeksik. ω ξ α h s t t t

27 áítógépes iányításelélet Output.5 ω. ω. ω.4 ω. ω. ω Tie (econds) Input..5 ω.4 ω. ω. 5 5 Tie (econds) követkeőken α váltoásánk htásit visgáljuk. eeneti vjele dott váls jvul, iko egfigyelés gyos α étéknél. ω ξ α h s t t t Output α. 5 α α 5 5 Tie (seconds) α α Input α Tie (econds)

28 áítógépes iányításelélet 3 endse válsát intvételi idő váltoásá követkeőken uttjuk e. intvételi időnek eghtáoó jelentősége vn vjele dott válsnál. Ennélfogv vjele dott váls növeksik, h növeljük intvételi időt és csökken, h csökkentjük intvételi időt. ω ξ α h s t t t Output.5 h. h h 5 5 Tie (econds)..5 h h h. Input 5 5 Tie (econds)

29 áítógépes iányításelélet Pólus-éus helyettesítés 96 sáítás 97 ályoás teveett pólusok R( ) és ( ) Követés T eghtáoás Pólus-éus helyettesítés hllgtólgos efeenci odellel 3.4. Pólus-éus helyettesítéses teveés egfigyelő lklásávl egfigyelő polino htás 9