3.5 Véges beállási idejű szabályozás tervezése

Átírás

1 Sámítógées iányításelmélet 9 5 Véges eállási idejű saályás teveése a a át ukkkal endelkeő saályási kö válasfüggvénye a egységugás emenete nem lé túl egy minimális eállási időt (e a, amik a kimenet eléi a végétékét és tt is maad), nincs állandósult állateli ia és nincs semmiféle ullámsság a mintavételi étékeken, akk et a válasfüggvény tíust általánsan véges eállási idejű válasnak neveük A véges eállású válasfüggvény fgalma egyedi és csak a mintavételes endseekkel valósítató meg A flytns endsenél nincs leetőség véges eállású válasfüggvényt előállításáa A véges eállási idejű saályás ámilyen nem éus avajel vektt éus étéke veéel N mintavételi léésen (állat sáman), a a skalá saályó jel u(k) nem kláttt A saályás eállási ideje függ a mintavételi időtől, mivel a válas n mintavételi eiódus alatt eléi a végétékét a a mintavételi idő () túlságsan kicsiny, a eállási idő sintén nagyn kicsi les, amelynek visnt a a követkeménye, gy a saályó jelnek endkívül nagy amlitúdóval kell endelkenie Eét a teveésnél et a semntt is figyeleme kell venni, amik a mintavételi időt megteveük Ilyen tíusú válasfüggvényt eléetünk akk is, a a kaakteistikus linm gyökei a igóan (,) vannak (lásd a 4 áát a fejeeten) Valós óluskkal endelkeő másdendű diskét idejű endse egység imulus emenete adtt válasai

2 Sámítógées iányításelmélet A véges eállási idejű saályó működési megatáása így: vagy P D P D i ( ) ( i ) i ( ) ( ) i i A és S linmkat a P D ( )-vel megadtt feltételeknek megfelelően sámítatjuk, míg a követési sűő T is megatáató úgy gy itsítsa a nulla étékű állandósult iát Jelölés: P D ( ) P ( ) [ P ( )] Desied Megkövetelt élda Véges eállási idejű -S-T saályó teveése Legyen a követkeő saálytt sakasunk d B ( ) B A( ) ( ) 4 8, A( ) 7 7 d Megldás: A saályás teveése: na n d 4 degp degs d n deg na s és ( ) S,

3 Sámítógées iányításelmélet s a a a s a s a s a A Matla gam:, S linmk a a s a a P A x A megkövetelt működés linmja Saályó aaméteek s» [-7 7 ];»A[ 4 ; ; 7 8];» [ ];» xa\('-') x A követési sűőt (T) úgy kell megatáni, gy itsítsa a éus étékű állandósult iát T

4 Sámítógées iányításelmélet Mux Mux yd,d Ste Inut /5 T - Sum 54 - /S Plant g Time (secnd) Véges eállási idejű saályás mintavételi idővel vöös - alajel, kék a saályás kimeneti jele, öld a saályó emeneti jele

5 Sámítógées iányításelmélet g Time (secnd) Véges eállási idejű saályás 5 mintavételi idővel vöös - alajel, kék saályás kimeneti jel, öld a saályó emeneti jel

6 Sámítógées iányításelmélet 4 6 Mintavételeések köötti jel ullámsság Y() U() ZO G ( s) Y() 5 áa A felnyittt saályási kö Tételeük fel, gy a 5 áán látató felnyittt saályási köt A saálytt s imulus átviteli függvényű sakast a G átviteli függvény íja le, amelyet a saályóval kmenálunk, gy eléjük a O -vel előít felnyittt kö viselkedést A nyilvánvaló megldás, gy kisámítjuk a saályót a követkeő egyenletől O G E a teveési eljáás nem veet e semmiféle exta időkésleltetést a felnyittt endseen, de néány megfntlást tennünk kell A első, gy csak a stail ólusk kmenálatók, met egyéként nem stail éók keülnek (lesnek eveetve) a saályóa A saályó jel u(k) sintén tatalmaat scillációs (eidikusan ullámó) elemeket, amelyek a ullámsságt kák a mintavételi étékek köött E a ullámsság a követkeő kka veetető vissa: csökkenő amlitúdójú scilláció a taniens viselkedés alatt; állandó étékű vagy növekvő amlitúdójú scilláció egy nem stail saályás működések, még aan a eseten is, a a saályó jel kláttt a mintavételi ntkan Et a jelenséget mintavételek köötti jel ullámsságnak neveük A jelenséget a követkeő demnstációs élda segítségével mutatjuk e

7 Sámítógées iányításelmélet 5 Demnstációs élda: Teveünk saályót a követkeő sakas G( s), gy megvalósítsuk a s követkeő felnyittt köű viselkedést: O ( s) ; a mintavételi idő sec s ( s) A diskét idejű átviteli függvények, amelye feltételeünk egy ZO-t (nulladendű tatósevet) is a követkeő: G O 5 ( ) ( ) ( 68) A diskét idejű saályó aaméteei a követkeő módn atáatók meg: O ( ) ( 68) 48 G 5 ( ) ( 78) ( ) ( ) ( 68) A felnyittt kö válasa egy imulus alakú emeneti jele Y, a t sec 48 időntnál a alái áán látató válasfüggvényt eedményei A felnyittt kö átviteli függvénye integát elsőendű tag ss kacslása vlt A mintavételeett sakas kimenet (kék diagam) ntsan mutatja et a eedményt A kimeneti jelet a mintavételi időntkan a követkeő függvénnyel sámítatjuk ki: Y Y 5 78 ( ) ( 68) ( ) ( 68) 4 5 [ ] Ns a mintavételi időntk köött sintén leetőség vlt megfigyelni egy jel ullámsságát (öld diagam) A sakas egy kettős integáló tíusú tag, így minden kimeneti ullámsságt a a emeneti jel ullámssága ka

8 Sámítógées iányításelmélet 6 A emeneti jel a követkeő módn atáató meg: U Y 48 ( 78) ( ) ( ) ( 68) U 68 U U A U kmnens állandó étékű (knstans), a U egy exnenciálisan csökkenő kmnens (elsőendű tag), a amadik kmnens edig a követkeő: U [ ] amely egy altenáló imulusjel sat 6, 4 8 g Time (secnd) A felnyittt endse kimeneti jelei; vöös - alajel, kék a mintavételeett sakas kimeneti jele, öld a flytns sakas kimeneti jele Time (secnd) Time (secnd) Time (secnd) U U U

9 Sámítógées iányításelmélet Time (secnd) A saályó jel, U U U U Knklúió: a mintavételi időntk köötti jel ullámsság akk jelenik meg a kimeneti jelen, a saályó jelnek vannak negatív valós ésű ólusai a vannak negatív valós ésű ólusk, akk a saályó jel inve Z tansfmáció A töténő éstöteke ntás művelete a követkeő alakú elemekől fg állni: g, al g egy itív valós éték Eek a elemek (ések) fgják a altenáló imuluskat slgáltatni exnenciálisan csökkenő amlitúdóval, a g <, állandó amlitúdóval a g, növekvő amlitúdóval a g >

10 Sámítógées iányításelmélet 8 7 Időtimális (véges eállási idejű) saályó teveése A idő-timális saályás alavető célja, gy megatán egy lyan saályót, amely a saályás kimenő jelét egyenlővé tesi a alajellel egy véges időtatam elteltével A véges eállási idejű saályó sintén egy idő-timális saályó vlt, amelyet -S-T stuktúáan adtunk meg, éussá válik egy megatátt idő után A iajel Z tansfmáltja a követkeő fmáan íató fel: A véges eállási idő at jelenti, gy a iajel, E Y Y E n e e e e e, al a a E linm fksáma véges, n e n e < A iajel sintén leíató a alajellel (efeence signal) és a felnyittt kö imulus átviteli függvényével, OL -al, (OLOen L) a követkeő módn: E Y OL ( ) Y ( ) Néány tiikus alajel és Z tansfmáltja a követkeő: egységugás emenet y(t) (t): seességugás emenet y(t) t (t) Y ( ) egység gysulás y(t) ½ t (t): ( ) Y ( ) Y,, Általáns fmáan a alajel a követkeő alakú függvénnyel íató le: Y ' " a ( ) ( ) D( ), ' al a ( ) linm tatalmaa a össes egységsugaú köön elüli gyököt és " ( ) linm tatalmaa a össes egységsugaú köön kívüli gyököt A, gy avajel

11 Sámítógées iányításelmélet 9 a véges fksámú linmmal legyen a avajel imulus átviteli függvényének követkeőnek kell lennie: D ( ) ( n ) ' n, nincsenek töölve A i kefficiensek ismeetlenek és kisámításuk a saályóteveés ése A követkeőken a i aaméteeket atáuk meg a át kö átviteli függvénye segítségével al a n -nak véges étéke van A alajel nem stail éusai a " A saálytt jellemő, a flyamat kimenete a át kö átviteli függvénye ismeetéen Y ' " a ( ) ( ) Y L D( ) L ( ) A át saályási kö átviteli függvénye tööleti a linmt A flyamat késleltetését anan nem tudja töölni a saályó, eét annak meg kell jelennie a át kö átviteli függvényen is L d O ( ) d ' ' ( ) ( ) A O linm egyenlőe ismeetlen A ( ) és L n n imulus átviteli függvények még ismeetlenek, de alkalmauk a követkeő kacslatt kööttük: L ( ) ( ), amely at a megldási leetőséget adja, gy össeasnlítatjuk a egyenlőség j és al ldalán lévő i és j együttatókat ' d O( ) D( ) ( n ) ' ' n d ( ) n ( ) D( ) ( ) n,,

12 Sámítógées iányításelmélet A fenti egyenlőség egyételmű megldása a alái megfntláskn nyugsik: a) a leggysa eállást, aa n e minimális étékét seetnénk eléni; ekk a leetséges legkise n és n étékeket keessük; ) a n e étéke előe megatátt és e alaján keessük a megldást E léma megválaslásá tekintsük a iajelet E E n e e e e e n e ' " Y a a " ( ) ( ) D( ) ( n ) ' n D n ( )( ) n A iajel fksáma " n e a deg n alakan adató meg A első két tag a efeencia jelől adódik, a amadik edig teveési aaméte: " a) a leggysa eállás, n e d, n d a deg sükséges " ) előe megadtt n e étéke n n e a deg sükséges A utlsó léés a, gy megkajuk a saályó imulus átviteli függvényét -t Et egyseűen megatáatjuk a át saályási kö imulus átviteli függvényéől a G és felasnálásával a követkeő módn: ( ) G( ) ( ) G( ) L( ) ( ) G( ) L ( ) ( ) G( ) Végeetül a adtt eállási idő, aa adtt n e fksám, ismeetéen a saályó teveését mutatjuk e

13 Sámítógées iányításelmélet Demnstációs élda: atáuk meg a eállási időt úgy, gy idő timális saályót alkalmaunk egy lyan sakasa, amelynél nincs késleltetés, amelynél a késleltetés d, lyana, amelynél a késleltetés d, valamint egy lyan sakasa, amelynél a késleltetés d A emenő jel (alajel) egységugás jel legyen A egységugás alajel a követkeő alakan íató le: " ' D Y, ' A L egyenlőség a követkeőt adja d késleltetés esetén, n n A leggysa saályás kimeneti jel eállási időt akk éjük el, a így, és a megldás a követkeő A át saályási kö imulus átviteli függvénye ' L D A iajel és a saályás kimeneti jelének Z tansfmáltjai: Y E, Y Y L A iajel csak a első mintavételi étéknél nem nulla étékű, aután nullává válik A eállási idő egy mintavételi időtatam, t idő eállási

14 Sámítógées iányításelmélet a a saálytt sakas késleltetése d, akk n n A leggysa saályás kimeneti jel eállási időt akk éjük el, a és így, és a megldás a követkeő: A át saályási kö imulus átviteli függvénye: L A iajel és a saályás kimeneti jelének Z tansfmáltjai: Y E, Y Y L 4 A eállási idő ám mintavételi időtatam, t idő eállási a mintaélda: Teveünk időtimális saályót a követkeő saálytt sakas: s 4 s 7 s 8 G(s), alkalmaunk sec-t, és

15 Sámítógées iányításelmélet tételeünk fel egységugás alakú alajelet A átviteli függvény Z tansfmáltja ZO alkalmaásával G( ) 4 ( ) ( 5 ) ( 88 ) ( 867 ) ( 8 ) A időkésleltetés a sakasnál, d, ami at jelenti, gy a saályót úgy teveetjük, gy eléjük a teállási idő étéket Megldás: A át saályási kö imulus átviteli függvénye een a eseten a a alajel egységugás a előő demnstációs éldáól a követkeő L ( ) és, és ennek megfelelően a saályó Z tansfmált függvénye ( ) L ( ) ( ) G( ) ( 88 ) ( 867 ) ( 8 ) ( ) 4 ( ) ( 5 ) A alái Simulink mdell segítségével mutatjuk e a saályás tulajdnságait A kiajlt simulációs eedmények a jeleket csak a mintavételi időntkan adták meg A saálytt sakas esetén anan, amely egy flytns idejű endse a teveő ménököt édekli, mi töténik a mintavételi időntk köött Eét látatók a áákn kiajlva a flytns idejű saálytt sakas kimeneti étékei is At visgáltuk, gy van-e a mintavételi időntk köött jel ullámsság (egye) növekvő amlitúdóval A mintavételi időntk köötti jel ullámsság kát a káiakan tágyaltuk, amely akk jelentkeik, a a saályó emeneti jelének Z tansfmáltja endelkeik negatív valós ésű ólus(kk)al

16 Sámítógées iányításelmélet 4 A saályó emeneti jelét a iajelől és a saályó imulus átviteli függvényéől atáatjuk meg a követkeő módn: ( 88 ) ( 867 ) ( 8 ) E E ( ) 4 ( ) ( 5 ) U Ste Inut - Sum /4 Gain Tsettling 4s 6s 54s Pcess ZO Mux Mux Aut-Scale Ga 6 A Simulink mdel 5 4 g Time (secnd) A saályási kö jelei; vöös - alajel, kék mintavételeett sakas kimeneti jel, öld a flytns sakas kimeneti jel A saályó ólusai így megjelennek a saályó emeneti jelének Z tansfmáltjáan A sintén világs, gy a mintavételek köötti jelullámsság a két negatív valós ésű ólus eedménye ( ) és ( 5 ) A, gy megsüntessük a mintavételi időntk köötti jel ullámsságt a teveési eljáást úja el kell végenünk

17 Sámítógées iányításelmélet 5 A követkeő feltételeések fgnak a előít jel ullámssági eedményeke veetni: a sakas nem-stail ólusai, P, nem tööletők a saályóval,, a sakas negatív éusai, Z, sintén nem tööletők a saályóval A teveés a át saályási kö imulus átviteli függvényének felasnálásával töténik: L ( ) ( ) ( ) G( ), amelyől a követketetések: a a nem-stail ólusk nem tööletők -vel, akk akat a -el kell töölnünk, a G negatív éusai nem tööletők, akk aknak meg kell jelennie L -en A egyenlőség a ( ) és L ( ) ( ) ( ), L imulus átviteli függvények köött, amely módsítva les a követkeő fmáan: d O ' ( ) Z D ' ( ) P n ( ) n élda: Teveünk időtimális saályót a követkeő saálytt sakas: G(s) alkalmaunk sec,, ( 8s) ( 7s) ( 4s) és tételeük fel, gy a alajel egységugás jel, valamint seetnénk elkeülni a mintavételi időntk köötti jel ullámsságt

18 Sámítógées iányításelmélet 6 A átviteli függvény Z tansfmáltja ZO alkalmaásával G( ) 4 ( ) ( 5 ) ( 88 ) ( 867 ) ( 8 ) Amelynek nincs nem-stail ólusa így P, de vannak nem-stail éusai és negatív valós ésű éusai, így ( ) ( ) Z 5 Megldás: A ( ) ( ) L egyenlőségől követkeik a d, ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) A leggysa leetséges válasidő (a legkise eállási idő) akk éető el, a a ( ) sóval, így ( ) elem seeel linm a leető legkise fksámú A al ldaln legalá egy a minimális linm: ( ) ( 5 ) ( ) ( ) A egyenlőség megldása után:, A imulus átviteli függvények a követkeők L ( ) ( ) ( 75 7 ) ( ) 85 ( ) ( 5 ) és a saályó imulus átviteli függvénye

19 Sámítógées iányításelmélet 7 ( ) L( ) ( ) G( ) 85 ( )( 5 )( 88 )( 867 )( 8 ) ( )( 75 7 ) 4 ( )( 5 ) ( 88 )( 867 )( 8 ) ( )( 75 7 ) ( 88 )( 867 )( 8 ) ( )( 595 )( ) A két válas össeasnlításáa alkalmaunk egy Simulink simulációt Ste Sum /4 Gain t settling 4s 6s 54s Pcess ZO Mux Mux Sce Sum 695 Gain Dead-eat 4s 6s 54s Tansfe Fcn Ze-Ode ld Mux Mux Sce A saályó megsünteti a mintavételi időntk köötti jel ullámsságt egy lassa válas jellel Et a válasjelet úgy indklatjuk, mint agy at a véges eállási idejű saályónál tettük A endse fksáma és a eállási idő sintén teállási idő

20 Sámítógées iányításelmélet g Time (secnd) A saályási kö jelei megsüntetve a mintavételi időntk köötti ullámsságt; vöös - alajel, kék mintavételeett sakas kimeneti jel, öld a flytns sakas kimeneti jel g T im e (se c n d ) A saályási kö jelei a mintavételi időntk köötti ullámssággal; vöös - alajel, kék mintavételeett sakas kimeneti jel, öld a flytns sakas kimeneti jel

21 Sámítógées iányításelmélet 9 A időtimális saályó teveés módse össefglalása A saályás célja, gy eléje a leít iajel teljes megsüntetését egy adtt iajel tíus esetén: E n e e e e e A saályási célkat eléetjük, a megfelelő saályót alkalmaunk a követkeők seint A saályó imulus átviteli függvényét a követkeő függvényől atáatjuk meg L( ) ( ) G( ) A ia imulus átviteli függvényét ideális eseten kifejeetjük, mint a ia E() és a Y ányadsát alajel E id Y A át saályási kö imulus átviteli függvénye ideális eseten a követkeő les L id ( ) ( ) Visnt a át saályási kö imulus átviteli függvényének a tváiakan tatalmania ' linm inveét, valamint a avajel kell a sakas nem-stail éusait ( Z ) és a imulus átviteli függvényének tatalmania kell a sakas nem-stail ólusait ( P ) (agy at a káiakan emutattuk) Így a át saályási kö és a avajel imulus átviteli függvényei köötti kacslat, L ( ) ( ), n e a követkeővé válik id Z ( ( ) ' ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) O id

22 Sámítógées iányításelmélet 4 A linmk fksámait deg O n és deg n úgy sámítjuk, gy egy egyedi megldást adjn a Diantsi egyenlet megldásaként Így n n deg deg id ( P ), Z ( ) id ' Végül a saályó imulus átviteli függvénye a követkeő les: ( ) id Z ( ( ) O ( ) ' ( ) P ( ) ( ) G( ) id

23 Sámítógées iányításelmélet 4 5 Véges eállási idejű saályás teveése 9 6 Mintavételeések köötti jel ullámsság 4 7 Időtimális (véges eállási idejű) saályó teveése 8 A időtimális saályó teveés módse össefglalása 9