Számítógépes irányításelmélet Digitális szabályozó tervezési eljárások

Átírás

1 Sámítógées iányításelmélet Digitális sályoó teveési eljáások E fejeet áttekintést d okól eljáásokól, melyekkel digitális sályoókt tevehetünk. A digitális sályoó feléítésének áltlános leíását nlóg PI sályó disketiálásávl muttjuk e. A továi fejeeteken különöő sályoó teveési eljáásokt tágyljuk két csootn: állotté leíási mód és átviteli függvény segítségével. Bemuttjuk legáltlános teveési eljáásokt, mely ólus áthelyeéssel és sályoási célok eállításávl, minimális eltéés (minimum-vince) sályoássl, mogó átlg sályoássl, ng-ng tíusú (véges eállási idejű) sályoássl, átlgéték lján töténő sályoássl és lineáis-kvdtikus Guss tíusú sályoássl fogllkonk. 3. Digitális sályoó teveésének lelvei A digitális sályoó áltlános feléítését követkeőken muttjuk e egy folytonos PI tíusú sályó diskét sályóvá töténő átlkításávl. A folytonos PI sályoó diffeenciál egyenlete követkeő függvénnyel íhtó le: u K * [ ] [ y ( t) y( t) ] dt * ( t) K y ( t) y( t) T, i hol sályoó jel ( sályoó emenő jele), u(t), melyet úgy htáounk meg, hogy ljelől (efeence signl y * ) kivonjuk sályoott sks kimenő jelét y(t)-t. A diskét idejű PI sályoót vissfelé töténő eltolássl (ckwd-shift) köelíthetjük, hol diffeenciálás oeátoát -t követkeő köelítéssel htáouk meg: ( t h) y(t) d y(t) y(t h) ( q ) y y y(t) dy y dt h dt h x dt x x(t) q. A integálást helyettesítve ennek lján köelítésével követkeő kifejeést kjuk: u ( t) K K ( q ) h h * Ti * K [ y t y t ] [ y t y t ] q Ti q h h ( q ) u(t) K * K q y (t) K K q y(t) T i h T i h

2 Sámítógées iányításelmélet 54 H eveetünk S, R és T olinomokt sályoó leíását követkeő függvények segítségével lehet megvlósítni: * u(t) T( q ) y (t) R ( q ) y(t) S( q ) q s q R( q ) K ( h/t i ) K q q T( q ) K ( h/t ) K q t t q S q u(t) T q S q * R q y (t) S q i y(t) A q oeáto jel étéke és mintvételeett éték köötti kcsoltot íj le. Ehelyett lklmhtjuk jel mintvételeett étékét is, mellyel követkeő össefüggést kjuk: * u[ k] T( q ) y [ k] R( q ) y[ k] S q H olinomokt áltlános leíási fomájukkl helyettesítjük, kko edig követkeő össefüggés jelenik meg: * ( s q ) u[ k] ( t t q ) y [ k] ( q ) y[ k] mely t muttj, hogy sályoó jel jeleneli étékét u[k]-t sályoó múlteli étékével vlmint ljel y * és sályoott jellemeő y jeleneli és múlteli étékeivel kell meghtáoni: * * [ k] u[ k -] t y [ k] t y [ k -] y[ k] y[ k -] u A függvény een lkját növekményes fomulánk neveik ( oíció lgoitmus ). A növekményes fomul Z tnsfomáltj * * U t Y t Y Y Y U mely függvényeként követkeő lkn íhtó fel:.,,

3 Sámítógées iányításelmélet 55 hol * U T( ) Y R( ) Y S s S,, K ( h/t ) K t t T i, K ( h/t ) K R i. A digitális PI sályoó és digitális sályoók áltlános feléítése 43. és 44. áákon láthtók. A át sályoási kö átviteli függvénye H CL hol ( ) B ( ) T( ) A( ) S( ) B( ) R( ) T( ) P( ) B P kkteistikus olinom, melynek gyökei át sályoási kö ólusi. Y*() U() B() Y() t d A() t 43. á Diskét idejű PI sályoó.

4 Sámítógées iányításelmélet 56 Y*() U() Y() B T d S A R 44. á A háom-elemű R-S-T sályoási stuktú. 3.. Sályoási célok A sályoó teveés két fontos teveési feldtot fogll mgá, sályoást és követést. A sályoás át sályoási kö tniens viselkedését íj le vjel megváltoásko. Eeket tuljdonságokt kkteistikus olinom P( - ) htáo meg (íj le). A sályoó teveés S( - ) és R( - ) olinom együtthtóink meghtáoását jelenti, melyet követkeő függvény feje ki: P d ( ) A( ) S( ) B( ) R( ). A követési tuljdonság leíj, hogy sályoási endse hogyn követi ljel (efeenci jel) váltoását, illetve mi les sályoott jellemő étéke t esetén; ennek megfelelő sályoási tjektóiát htáounk meg. Et T(-) sűő lklmásávl éjük el. A követési és sályoási tuljdonságokt 45. á muttj e. Eeket tuljdonságokt meghtáohtjuk együttesen vgy egymástól függetlenül is. A követkeőken sályoás és követés teveését muttjuk e.

5 Sámítógées iányításelmélet 57 A null étékű állndósult hi követkeő kifejeéssel dhtó meg: e, vjele dott válsfüggvényként edig követkeő módon: y w ( ) ( ). { w distunce (vás) } 45. á Követési és sályoási tuljdonságok 3. A digitális PI sályó feléítése A diskét idejű PI sályoó előőeken emuttott olinomiális leíássl követkeő fomájú: * U T( ) Y R( ) Y S, hol s S, K( h/t ) K t t T R, i ( ) K( h/t ) K. i Láthtó, hogy S(-) olinom követkeő lkú: S, és T( - ) vlmint R( - ) olinomok megegyeők. A digitális PI sályoó tehát

6 Sámítógées iányításelmélet 58 követkeő függvénnyel htáohtó meg: * R [ ] ( ) HPI Y Y S( ) U Össegeve eedményeket: H PI * [ Y Y ]. R ( ) s S( ) K s ( Ti h) K T i A át sályoási kö átviteli függvénye követkeő lkn íhtó le: H CL d B ( ) R( ) d A( ) S( ) B( ) R( ) A át sályoási kö dinmikáját kkteistikus egyenlet ( ) d R( ) P( ) B P olinomjánk gyökei htáoák meg. Et olinomot sályoási tuljdonságok lján módosítjuk kívánt P -vé. sályoási tuljdonságok elééséhe előít kkteistikus olinommá D

7 Sámítógées iányításelmélet 59 A követkeőken megdjuk, hogyn sámíthtók diskét idejű PI sályoó méteei, P D s dott. h folytonos idejű sükséges (teveett) kkteistikájú P D (s) P Desied (s) P Előít (s) A folytonos idejű endse sályoási tuljdonsági P D (s) kkteistikus olinom > ólusok > dinmik Ugyn dinmik diskét idejű endseeknél ólusok tnsfomációj s síkól sík: i e s h i A ólusok segítségével létehoott kkteistikus olinom: P ( ) ( ) D i i A R( - ) és S( - ) olinomok sámítás diskét idejű kkteistikus olinomól: P D ( ) A( ) S( ) B( ) R( ) ( ) A( ) S( ) B( ) R( ) i i A PI sályó méteeinek étékei: K K h és Ti K.

8 Sámítógées iányításelmélet 6 6. éld: Teveen diskét idejű PI sályoót, melyhe dott követkeő diskét idejű sks:.7788 ( ). A B d és h [időegység] át sályoási kö minőségi követelményei követkeő méteekkel dottk: ω.5 és. 7 G (s) Y(s) ζ CL U(s) s ζ ω s ω K Megoldás: A digitális PI sályoó: H PI R( ) s S( ) K s ( Ti h) K T i A át sályoási kö imulus átviteli függvénye: H CL d B ( ) R( ) d A( ) S( ) B( ) R( ) d R( ) P( ) B hol d A( ) S( ) B( ) R( ) (.7788 ) ( s ) (. ) ( ) P P másodfokú át sályoási könél P D (s) s ξ ω s ω

9 Sámítógées iányításelmélet 6 A diskét idejű PI sályó méteei: A folytonos idejű endse (működési) minőségi jellemői P D (s) s ξωs ω s nd s Ugyne dinmik diskét idejű endseen sh e, sh e P D ( ) ( i ) i A R(-) és S(-) olinomok meghtáoás diskét idejű kkteistikus olinomól d P ( ) A( ) S( ) B( ) R( ) D A PI sályó méteeinek meghtáoás K K h és Ti K. A PI sályoó méteek meghtáoás és át sályoási kö simulációjánk futttás Mtl-n: Minőségi követelmények: s.7 s.5 s,s» ch[ *.7*.5.5*.5] ch..7.5» solesoots(ch) soles i i,» h; olesex(soles*h) oles i i» Poly(oles) q q P » ;.;

10 Sámítógées iányításelmélet 6 R, S olinomok q q q q q q A PI sályoó méteei: K K h K T i» (P()-)/.7» (P(3))/ -.758» K- K.758» TiK*h/(-K) Ti.63 A éld Simulink ogmj: A simulációs eedmények sámított sályoó méteek lklmásávl:

11 Sámítógées iányításelmélet Time (second) (ios ljel; kék sályoott jellemő)

12 Sámítógées iányításelmélet éld: Diskét idejű PID sályoó teveése - Ziegle-Nichols eljáássl: Késítsen digitális PID sályoót Mtl-n, 46. áán láthtó folytonos idejű folymtho lklmunk,5 sec mintvételeési időt: G( s) s ( s ) A Ziegle-Nichols ehngolási eljáás lj egy állndó mlitúdóvl oscilláló át endse. A kitikus eősítés és oscilláció fekvenciáj követkeő: K kit.7, ωkit sec ( követkeő oldlkon emuttjuk, hogyn htáotuk meg őket) A Ziegle-Nichols ehngolási eljáás lján meghtáoott PID méteek: K.6, K kit K 4 K π D, ω K I K π ω Miót Mtlnk vn megjelenítési lehetősége ttományn töténő leíásho is diskét idejű PID sályoó követkeő fomulávl dhtó meg: G K K h K h PID I D. Kédések:. Mi sályoott sks átviteli függvénye?. Mi át sályoási kö átviteli függvénye y és y* köött? 3. Mi át sályoási kö váls egységugás emeneti jele? A megoldás léései:. A sks mintvételes átviteli függvényének létehoás,. A PID sályoó elemeinek létehoás, 3. Késítse el sályoási endset Mtl-n, 4. Adjon endsee egységugás emenő jelet, 5. Adjon címkét áánk és nyomtss ki, 6. Éítse meg endset Simulink-en.

13 Sámítógées iányításelmélet 65 P Y*() U() Y() E() - I Sks D 46. á A PID sályoóvl működő sályoási kö Megoldás: A folytonos idejű sks» num;den[ ];sysctf(num,den) Átviteli függvénye: s^ s A disketiált sks» sysdcd(sysc,.5) Imulus átviteli függvénye: ^ Mintvétel idő:.5 Diskét idejű PID méteek h k cit.7, ω P sályoó» k.8; kd.6; ki.46;» sysptf(k,.5) Átviteli függvény:.3 Sttikus eősítés: I sályoó» sysitf(ki*.5*[ ],[ ],.5) Átviteli függvény:

14 Sámítógées iányításelmélet 66 Mintvételi idő:.5 D sályoó» sysdtf(kd*[ -],.5*[ ],.5) Átviteli függvény: Mintvételi idő:.5 PI sályoó» syspillel(sysp,sysi) Átviteli függvény: Mintvételi idő:.5 PID sályoó» syspidllel(syspi,sysd) Átviteli függvény:.5439 ^ ^ -.5 Mintvételi idő:.5 Felnyitott sályoási kö» sysoensyspid*sysd Átviteli függvény:.449 ^ ^ ^ ^ ^ -.56 Mintvételi idő:.5 Zát sályoási kö» sysclosedfeedck(sysoen,,-) Átviteli függvény:.449 ^ ^ ^ ^ ^ Mintvételi idő:.5

15 Sámítógées iányításelmélet 67 Átmeneti függvény» ste(sysclosed, 3) A éld Simulink ogmj: A simulációs eedmények sámított sályoó méteek lklmásávl: Time (second) (ios ljel; kék sályoott jellemő)

16 Sámítógées iányításelmélet Eljáás kitikus eősítés és oscillációs fekvenci meghtáoásá» xis('sque'),gid('new')» locus(sysd)» [km,ole]locfind(sysd) Válss ki t ontot, hol gyökhelygöe metsi egységsugú köt! selected_oint i km.7376 ole i I» ts.5; wmngle(ole())/ts wm

17 Sámítógées iányításelmélet Pólus helyettesítéses teveési eljáás A ólus helyettesítéses teveési eljáás, mint neve is muttj sályoott endse ólusit sályoó áltl megvlósított ólusokkl helyettesíti. E teveési eljáás lehetővé tesi R-S-T tíusú digitális sályoó lklmását, mind stil mind edig nem stil sályoott sks esetén: nincs kolátoás A( ) és ( ) B olinomok foksámá, nincs kolátoás sks időkésleltetésée, nincs kolátoás sks sámlálóeli éusi (stil vgy nem stil éusok egyánt működik). Y*() E() U() Y() T /S -d B/A w() R() R 47. á Háom-elemű (két sdsági fokú) sályoási endse A sályoott sks kimeneti jele: Ahol d B ( ) A( ) Y U n ( ) w() i A i, i n ( ) i B i, i d időkésleltetés. A R-S-T sályoási össefüggés seint: * U() T( ) Y () R( ) Y() S

18 Sámítógées iányításelmélet 7 A R-S-T sályoó egy két sdsági fokú stuktú, mivel ljele és kimeneti vjele dott váls külön-külön is meghtáohtó. A ljele dott válst át sályoási kö imulus átviteli függvényével dhtjuk meg: H CL Y d T( ) B( ) d S( ) ) R( ) d B( ) P( ) T Y *, A míg vjele dott válst követkeő imulus átviteli függvénnyel íhtjuk le:. H Distunce Y W A( ) S( ) d S( ) B( ) R( ) A S( ) P( ) A 3.3. Sályoás R( ) és S( ) meghtáoás A S és R olinomokt egyseűen meghtáohtjuk P D kkteistikus olinom segítségével, mely megdj előít dinmikus viselkedést ( tniens viselkedés hsonlón leíhtó vjel váltoásánk eedményeként). d S( ) B( ) R( ) P ( ) A D. E egy Diohntosi egyenlet. A minimális megoldást kell előállítnunk mi t jelenti, hogy S és R olinomok foksámánk lehetséges minimális étékűnek kell lennie. A másik lényeges feltétel, hogy egyetlen megoldást kell tlálnunk, hogy lgei egyenletek sámánk meg kell egyenie sályoási együtthtók sámávl: deg(s)deg(r).

19 Sámítógées iányításelmélet 7 Egyetlen megoldás kko léteik, h továá n n d deg P D deg S d n deg R n ns s... sns n... S R n. {s i itt olinom együtthtót jelent} Zéus étékű állndósult álloteli hi kko vlósíthtó meg, h előemuttó ág ttlm egy integátot. Et utomtikusn ejuttthtjuk sályoó, h S olinomot helyettesítjük ( ) S -el. ( ) S( ) H ( ) S. A vjel htásánk eltűnése - w() egységugás függvény esetén követkeő függvény átendeés segítségével mutthtó e: y ( ) lim( ) HD ( ) lim lim A ( ) S( ) H( ) PD ( ) A( ) S( ) ( ). P ( ) D

20 Sámítógées iányításelmélet Követés ( ) A T olinomnk kettős seee vn: T sámítás * ) itosítj, hogy kimenő jel végétéke megegyeen ljel étékével ( ) y ( ) y, ) itosítj követési tuljdonságokt: endse kimeneti jele y(t) egy meghtáoott tjektoiát kövessen, melyet efeenci modellel dunk meg ( legegyseű eseten y * ( t) ). ) A át sályoási kö imulus átviteli függvénye: Y Y * ( ) T( ) H CL H * CL. hol H * CL - ( ) T( - ) imulusátviteli függvény elhgyásávl megmdt és imulusátviteli függvénye A át sályoási kö imulus átviteli függvényének eősítése: * K T() H CL. Ahho, hogy itosítsuk y ( ) össefüggést - K étéket - T olinomnk követkeő lkúnk kell lennie: T() *. H CL ) A előít tjektóiát efeenci modell segítségével dhtjuk meg: H m B m( ) A ( ) m hol n ( ) i A m mi, i n i B m ( ) mi. i

21 Sámítógées iányításelmélet 73 E átviteli függvény, melyet sályónk kell itosítni ljel y*[k] és sályoott jellemő y[k] köött. Össehsonlítv efeenci modell Hm( ) imulus átviteli függvényét át sályoási kö imulus átviteli függvényével, H CL Y Y * d T d T( ) B( ) d S( ) ) R( ) B( ) ( ) P D A H m ( ) t láthtjuk, hogy B(-) olinom és késleltetési idő -d inve függvénye megvlósíthtó T(-) olinom segítségével. Nos, egyseűsítés lehetséges B( - )-vel, mivel késleltetés inve függvénye nem léteik és egységsugú köön kívüli éusok instilitást okonk. A késleltetést sintén nem komenálhtjuk, mivel ok sályoott sks ései (éldául mechniki lktések okoák). Eét célként efeenci modell tjektóiájánk követését íhtjuk elő: Y d Bm ( ) B( ) A ( ) B A 48. áán ( ) m Y * T -t úgy válstottuk ki, hogy itosíts: egységnyi állndósult álloteli eősítést Y*() és Y() köött (null sályoási eltéést állndósult állotn ljelhe kéest), sályoó P D dinmikájánk komenálását, mivel sályoó dinmikáj és követés dinmikáj (A m ) eltéő. Ennek megfelelően: T B ( ) PD.

22 Sámítógées iányításelmélet 74 w() Y*() E() U() Y() B T /S -d m /A m B/A d B A m B B() R d m( ) B( ) ( ) B() Sályoás: d P D B( ) ( ) 48. á A sályoási kö lokk digmj efeenci modellel

23 Sámítógées iányításelmélet Diohntosi egyenlet A követkeő ésen eveetjük Diohntosi egyenletet és nnk megoldását. A eedeti leíás követkeő műen tlálhtó meg: Lndu I, Lono R, M'Sd M. (998): Adtive Contol, (58-55 oldlk). A iányítndó endse imulus átviteli függvénye dott követkeő fomán: hol Y U B A n n... n n n n... n n B A Feltételeük, hogy A imulus átviteli függvény teljes állot sályohtó és megfigyelhető. Nincs ólus-éus egyseűsíthetőség imulus átviteli függvényen, vgyis A()-nek és B()-nek nincs köös ostój. Amiko A() és B() olinomoknk nincs köös ostój kko eeket tová nem egyseűsíthető olinomoknk neveük (coime olynomil). Egy olinomot mónikusnk (monic) neveünk, h legmgs htványkitevőjű tgjánk együtthtój egységnyi. Így A() is monikus. Definiáljunk egy stil (n-)-ed fokú olinomot, P()-t követkeő módon: P n n... n n Eután, h létenek olyn egyedi (n-)-ed fokú olinomok, mint Θ és hol A ( ) Θ B Ψ P Θ () θ Ψ() ψ n n θ... θn n n ψ... ψn θ n ψ n Ψ melyeke:

24 Sámítógées iányításelmélet 76 A Diohntosi egyenlet megoldhtó Θ -e és Ψ -e, melyhe követkeő n x n Sylveste mtix-ot ( E-t ) lklmhtjuk, melynek elemeit A() és B() olinomok együtthtóiól állíthtjuk elő követkeő módon: n n n- n- n n n n n n n n E L L L L M M M M M M L L L L M M M M L M L M L L L L H n, kko mátix követkeő les: E A Sylveste mátix (E) nem singuláis, kko és csk is kko h A() és B() olinomok tová nem egyseűsíthetők, nincs köös ostójuk. Et tényt követkeő módon láthtjuk e. A előő 4 x 4-es mátix E detemináns E követkeő les: E λ λ λ λ λ λ λ λ 4 hol, és,, A() és B() olinomok együtthtói, illetve,λ λ és 4 3,λ λ A() és B() kkteistikus gyökei, ennek megfelelően:

25 Sámítógées iányításelmélet 77 ( λ) ( λ ) ( λ ) ( ) A B 3 λ 4 A világos, hogy E detemináns csk kko nem éus, h jo oldlon álló soó tényeők nem null étékűek, mely csk kko áll fenn, h nincs egyseűsítési lehetőség A() és B() köött. Most definiáljuk P és M vektookt követkeő módon: n n P M M θn θn M θ ψn ψn M ψ θ, θ, K, θ és, ψ,, ψn Eel n M E P ψ K koefficiensek meghtáohtók lesnek egyenletől. Mintéld: Htáo meg egy ólus-helyettesítéses sályoó méteeit követkeő endsehe: P A B 3 D.5 A megoldásho meg kell tlálnunk okt egyedi R() és S() olinomokt, melyeke A hol, h n, Θ B Ψ P D

26 Sámítógées iányításelmélet 78 vgy Θ() θ Ψ() ψ n n θ, és ψ 3 (.5) ( θ θ ) ( ) ( ψ ψ ).5 mjd eután felíhtjuk Sylveste mátixot E-t, mely követkeő: E.5.5» ;.5; ;;; E[ ; ; ; ] det(e) ns.5 inv(e) ns Mivel D 3 P felíhtjuk 3 Így P vekto követkeő lkú les:

27 Sámítógées iányításelmélet 79 P 3 h létehouk M vektot is θ θ M ψ ψ megoldást követkeő egyenlet megoldásávl kjuk: M E P P[ ]' M(inv(E))*P M Így megkjuk Θ Ψ olinomokt....3 Vn egy másik lehetőség is, hogy megoldjuk Diohntosi egyenletet. Et koán megoldott egyenlet olinomjink meghtáoásávl muttjuk e. 3 (.5) ( θ θ ) ( ) ( ψ ψ ). H elvégeük olinomok esoását követkeő egyenletet kjuk:

28 Sámítógées iányításelmélet ψ θ ψ ψ θ θ ψ θ θ θ A olinom egyenlet megoldhtó, h megfelelő htványkitevőjű együtthtóit össehsonlítjuk:.5.5 ψ θ ψ ψ θ θ ψ θ θ θ. E felíhtó mátix fomán is, P x A ψ ψ θ θ.5.5. A megoldást követkeő egyenlet dj P A x ψ ψ θ θ

29 Sámítógées iányításelmélet 8 A Mtl ogm:» P[ ]';» A[ ; ;.5 ;.5 ];» xinv(a)*p x

30 Sámítógées iányításelmélet 8 8. éld: * Pólus áthelyeéses sályoás: S( ) U Y R( ) Y A sályoott sks követkeő lkú d B ( ) A A( ) ( ).7. 7 B( ).4.8, H d., Teveünk diskét idejű sályoót ólus áthelyeéssel, hogy át sályoási kö tuljdonságit egy másodendű nomliált folytonos idejű modellel íjuk le, melynek méteei ω. 5 d/sec nd ζ. 9. Bitosítsuk éus sályoási eltéést sks kimenete és ljel köött! A mintvételi idő h. Megoldás: A Mtl ogm: A minőségi jellemő megdás s ζω s ω» ch[ *.9*.5.5*.5] ch..9.5 s,s» solesoots(ch) soles i i,» h; olesex(soles*h) oles i i» Poly(oles)

31 Sámítógées iányításelmélet 83 q q R, S olinomok P n n d 5 degp 4 degs d n degr n S s R ( )( s ) ( )( ) s s s 3 Megjegyeük, hogy 3! 3 s s» d[ ];» [-.7.7 ];»A[.4 ; ;.7.8];» xa\(d'-') x

32 Sámítógées iányításelmélet Zéus állndósult álloteli hi itosítás sályoott kimenet és ljel köött Teveünk egy ányos tíusú sályoót (T), hogy itosítsuk állndósult hi éus étékét sályoott jellemő és ljel köött. A át sályoási kö imulus átviteli függvénye ilyen sályoás esetén (T) követkeő: H CL d B ( ).4.8 P ( ) D A sályoott jel végétéke: lim H CL Eét T olinomnk követkeőnek kell lennie, T H CL hogy eléjük éus állndósult hiát. Futtssuk le sályoás simulációját (ex_5_s.mdl), éítsük e T olinomot endsee és ismételjük meg simulációt.

33 Sámítógées iányításelmélet Time (second) Sályoás T étékkel Time (second) Sályoás T.345 étékkel.

34 Sámítógées iányításelmélet Zéus állndósult álloteli hi egységugás vó jel esetén Zéus állndósult álloteli hi itosításáho egységugás vó jel esetén egy ótlólgos integáló elemet kell sályoási köen elhelyeni: S( ) S( ) ( ) S( ) H( ) d A( ) H ( ) S( ) B( ) R( ) P ( ). A l oldlon seelő olinom foksám eggyel megnövekedett, miután H olinomot eillestettük. E t jelenti, hogy egy továi egyenletet dtunk hoá egyenletekhe. Így egy egyenlettel tö egyenletünk vn, mint sályoó méteek sám (deg(s) deg(r) ) -> így nincs egyedi (egyételmű) megoldás. A S és R olinomok foksámát meg kell váltottni. A tövényseűség mellyel foksámokt meghtáohtjuk követkeő: d S( ) B( ) R( ) P ( ) A D. D hol n n d 5 degs d n degr n A előő éldánkn n, n, d étékek voltk, mely degs degr étéket eedménye ( ) ( s ) ( ) ( ) mely megdj sályoó méteek megoldását követkeő lgei fomán: 3 s s s

35 Sámítógées iányításelmélet 87 H eillestjük H -et Diohntosi egyenlete eedmény követkeő les: s Mindkét oldlon ugyn foksám seeel, h eveetjük 4 4 étékeket. Így á 4 egyenletünk vn, de oknk csk 3 métee vn, eét: 4 s s, mely nem megoldás. H Diohntosi egyenlete esút H olinomot úgy tekintjük, mint A olinom egy ését, és ennek megfelelően n n n *. A sályoó olinomok foksám követkeővé válik degr n * és 5 s éld (folyttás): Zéus állndósult álloteli hiánál D d P R B S H A s 4 3 s s s s

36 Sámítógées iányításelmélet s A Mtl ogm: s» d[ ]; [ ];» -.7;.7;.4;.8;.;» d[ ]; [ ];» A[ ;- ;- ;- ];» xa\(d'-') x Simulációs kíséletek: Zéus-állndósult álloteli hi vjel elnyomás ) A felnyitott köen nem seeel integáto A Simulink modell: Sum Distunce Plnt.33 - /S yd,d Mux Mux /7.43 T - Sum Ste Inut R

37 Sámítógées iányításelmélet 89 ) A felnyitott köen seeel () integáto A Simulink modell: Run the simultion using T Mux Mux yd,d Distunce Ste Inut / T Sum /S - - H Plnt Sum R g. g Time (second) Time (second) ) A felnyitott köen nem seeel integáto: állndósult álloteli hi ios - ljel, kék sályoott kimenet, öld - hi ) A felnyitott köen seeel integáto: állndósult álloteli hi ios - ljel, kék sályoott kimenet, öld - hi

38 Sámítógées iányításelmélet 9 9. éld: Követési tuljdonságok 8. éld lján. PD ( ) T B() Megoldás: A Simulink modell: Mux Ste Inut Model T - Sum /S - - H Plnt Mux yd,d H R

39 Sámítógées iányításelmélet 9 Pólus helyettesítéses teveési eljáás össefogllás Helyettesítjük sályoási endse ólusit megdott (megteveett) étékekkel, kolátoás nélkül A( ) és B( ) olinomok foksámi, időkésleltetése, vlmint sályoott sks éusi (stil vgy nem stil tíusúk). Sályoási ldtok: ) Működési secifikációk teveett kkteistikus olinom, P D ( ) ) A ljele dott sályoott jellemőváls : Y Y * Bm ( ), és A 3)A vjele dott váls: Y W ( ) ( ) m A sályoott sks leíás W() Y*( E() U() Y() B T /S -d m /A m B/A d B A m B B() R d m( ) B( ) ( ) B() Sályoás: d P D B( ) ( )

40 Sámítógées iányításelmélet 9 A sályoás kimeneti jele: d B ( ) A( ) n ( ) i Y U i A, i n i B( ) i, i d késleltetés W Sályoási egyenlet: * B ( ) U T Y m A ( ) S m R Y A át sályoási kö imulus átviteli függvénye: H CL Y * Y d T( ) B( ) d S( ) ) R( ) A d T B( ) ( ) P D A át sályoási kö vjele vontkoó imulus átviteli függvénye: H D Y W A( ) S( ) d S( ) B( ) R( ) A S( ) P ( ) A D.

41 Sámítógées iányításelmélet 93 ) R( ) és S( ) meghtáoás A S és R olinomok egyseűen meghtáohtók kkteistikus olinomól, P desied, d S( ) B( ) R( ) P ( ) A D. E egy Diohntosi egyenlet. A tikuláis megoldás kko léteik étékkel, h n n d degp degs d n degr n ns s... sns n... S R n. A Diohntosi egyenlet lgei egyenletek egy olyn hlm, melyen l oldli olinom együtthtóink (A S) és (B - R) olinomok össesoás után meg kell k egyenie P olinom megfelelő htványkitevőjű együtthtóivl. (k P olinom foksám) [ dega degs, d degb degr ] egyenletek sám mx, sályoo tt méteek sám degs degr. Léteik tikuláis megoldás, sályó méteeie ( s,s,...,s,,,..., ) egyenletek sám sályoott méteek sám. ns n -e h ) y( ) ( ) T meghtáoás A át sályoási kö átviteli függvénye H CL Y d B( ) P ( ) T Y *. D

42 Sámítógées iányításelmélet 94 A állndósult éték kimenő jele Y * * ( ) Y ( ) H Y ( ) Ahho hogy Y Y * ( ) CL T() B() P () legyen teljesülnie kell, hogy, P T( ) D. B() D. ) Bm ( ) B( ) A ( ) B Y d * m Y T meghtáoás Bm hho, hogy eléjük ( ) B( ) Y A ( ) B követelmény T( ) d * B m ( ) PD. Y * 3) y( ) y Integálás lklmás előecstolt ágn Megvlósíthtjuk egy integáto felnyitott köe töténő (soos kcsolású) eillestésével illetve S olinom helyettesítésével: S( ) S( ) ( ) S( ) H ( ). A H olinom, melyet Diohntosi egyenlete súunk e úgy tekinthető, mint A * olinom egy éshlm, vlmint n n n. Ekko sályoó olinomnk degr n * foksámúnk kell lennie.

43 Sámítógées iányításelmélet 95 Roostus digitális működés A mintvételes diskét idejű endseek áltlános olémáj oostus működés meghtáoás. A keekítések ( 4 decimális digit lklmásávl) sámításokn néh éussl töténő ostásho veethetnek (lásd könyv továi fejeeteien). Egy lehetséges mód, hogy et olémát elkeüljük, hogy helyettesítjük R olinomot R( ) R( ) R( ) H( ) ( A( ) és H ( ) nincs köös ése; és < << ).

44 Sámítógées iányításelmélet Digitális sályoó teveési eljáások Digitális sályoó teveésének lelvei Sályoási célok A digitális PI sályó feléítése Eljáás kitikus eősítés és oscillációs fekvenci meghtáoásá Pólus helyettesítéses teveési eljáás S meghtáoás Sályoás R( ) és T sámítás Diohntosi egyenlet Zéus állndósult álloteli hi itosítás sályoott kimenet és ljel köött Zéus állndósult álloteli hi egységugás vó jel esetén Pólus helyettesítéses teveési eljáás össefogllás... 9 Sályoási ldtok:... 9 A sályoott sks leíás... 9 A sályoás kimeneti jele:... 9 Sályoási egyenlet:... 9 A át sályoási kö imulus átviteli függvénye:... 9 A át sályoási kö vjele vontkoó imulus átviteli függvénye: Követés ( ) R( ) ( ) ) és y( ) ( ) ) S meghtáoás T meghtáoás d Bm ( ) B( ) * Y Y A ( ) B ) m T meghtáoás y( ) y * ( ) 3) Integálás lklmás előecstolt ágn Roostus digitális működés... 95