KONTINUUMMAL MODELLEZHETŐ SZERKEZETEK FREKVENCIAANALÍZISE

Átírás

1 ONTINUUMMAL MOELLEZHETŐ SZEREZETE FREVENCIAANALÍZISE Ph érteezés Huszár Zsot r. univ. o. építőmérnö, mtemtius szmérnö, informtii szmérnö Budpest, 009. június

2 A OTORI ÉRTEEZÉS TÉMAÖREI A gyoró építőmérnö munáj során számos esetben táozi dinmii probémáv, vgy oyn fedto, meye megodásához dinmi eszöztárán eemeit cészerű hsznáni. Iyen terüete tejesség igénye néü z ábbi. A dinmi egyi intenzíven uttott részterüete z épüete vsbeton- és cévázszerezeteine viseedése födrengésteher htásár. Az eért eredményere támszodv foymtosn fejeszti tervezési módszereet és szbáyztot. Fontos részterüet z oyn szerezete vizsgát is, meye funciójábó övetezi hsznát-özbeni dinmius igénybevéte. Ide trtozn üönböző ipri épüete zon szerezetei, meyeet gépi berendezése etette dinmius htás terhe, vmint özépüete ngyméretű födémszerezetei (p. tornterem, táncterem), meyeen embertömeg szinronizát mozgás et dinmius htást. Hidon forgombó szármzi dinmius htás. özvetett módon fehsznáhtó dinmi eredményei szerezete roncsoásmentes vizsgátábn is. Enne egyi fontos terüete hid, hídgerendá ápotvizsgát, z eseteges repedezettségéne föderítése. A Zürichi ETH szmérnö-épzése eretében dinmi terüetén szerzett ismereteim indított rr, hogy üönböző szerezete rezgésvizsgátáv fogozzm. A ontinuum módszer mzásáv vizsgátm berepedt vsbetongerendá és feszített betongerendá, vátozó merevségű onzorud, megoszó normáerőve terhet befogott oszopo, pos forgásprbooid-héj rezgéseit, továbbá véonyfú U-szevénye hjító- és csvróengéseit. isszertációmbn fentie özü dinmi ét eméeti szempontbó átm üönösen érdeesne tát részterüetéve fogozom:. Forgásprbooid-héj rezgésvizsgát. Berepedt vsbeton és feszített betongerendá rezgéseine numerius és íséreti vizsgát Egy új nitius ejárást mztm forgásprbooid-héj sjátrezgéseit eíró differenciáegyenet-rendszeréne megodásáná. Az ebbő eőáított frevenciegyenet ms héj vmennyi sjátfrevenciáján és rezgési ján meghtározásár. Az eméeti eredményeet fehsznáv, egy űrszerezetént mzhtó tányérntenn rezgési jeemzőit számítottm. A éttámszú vsbetongerendáná zt vizsgátm, hogy repedése éegzése megnyíás és bezáródás hogyn befoyásoj rezgési jeemzőet. A berepedt gerendá bortóriumi dinmii mérései során spetrumbn z eső frevenci heyéné jeentező ettős csúcs jeenétét numerius szimuációv igzotm és mgyráztot dtm jeenségre. A berepedt gerendá sjátfrevenciáin meghtározásár új ineáris modeeet áítottm eő, meye ombinációjáv bonyoutbb nem ineáris megodáso jó özeítésse iváthtó. Berepedt feszített trtór htásos feszítőerő-sjátörfrevenci digrmot észítettem. Feszített hid esetén z iyen digrmmo más vizsgáto iegészítve, fehsznáhtó z ápotvátozás vizsgátáná.

3 TARTALOMJEGYZÉ. Forgásprbooid-héj rezgésvizsgát Jeöése.. Bevezetés... Céitűzése... Szirodmi átteintés.. Hjított pos héj pegyenete.3. Forgásprbooid-héj sjátrezgései nyírási vátozáso néü.3.. Apfetéteezése.3.. A forgásprbooid-héj differenciáegyenet-rendszere és peremfetéteei.3.3. Speciáis esete vizsgát A szbd peremű ágyztn öremez rezgésvizsgát A szbd peremű rugmsn ágyzott öremez rezgésvizsgát A forgásprbooid-héj nyúásmentes vátozási.3.. A forgásprbooid-héj rezgésvizsgát differenciáegyenet-rendszer sjátértéfedtént.3... A feszütségfüggvény iüszöböhetőségéne vizsgát.3... A épzőfüggvény bevezetése A rterisztius differenciáegyenet megodás.3... A frevenciegyenet és rezgési emozduási o.3.5. Mintpédá Forgásprbooid-héj sjátfrevenciái és rezgési emozduási Forgásprbooid-héj és szbd peremű ágyztn öremez Forgásprbooid-héj és rugmsn ágyzott öremez Az összehsonításobó evonhtó öveteztetése A geometrii jeemző htás forgásprbooid-héj rezgéseire.. Forgásprbooid-héj sjátrezgései nyírási vátozáso figyeembevéteéve... A nyírási vátozás pösszefüggései... A épzőfüggvényes módszer mzás..3. Mintpéd nyírási vátozás figyeembevéteéve.5. Függeé

4 . Berepedt vsbeton- és feszített betongerendá rezgéseine numerius és íséreti vizsgát Jeöése.. Bevezetés... Céitűzése... Szirodmi átteintés... Sjátfrevenciá megvátozásán puó módszere... Csipítás megvátozásán puó módszere...3. Rezgési o megvátozásán puó módszere... Modáis görbüetvátozáson puó módszere...5. Hjéonysági mátrix megvátozásán puó módszere...6. Számítási mode módosítás...7 Egyéb módszere.. Az mzott számítási módszere... A rezgés differenciáegyenete és z eemi számítás... A többszbdságfoú rendszer..3. Az mzott differencimódszer... Nemineáris rezgésszámítás... Időépéses goritmuso... Foytonos és diszrét Fourier-trnszformáció...3. A febontás jvításán ehetőségei... Az idősor egy szeeténe vizsgát.3. Nemfeszített vsbetongerend rezgésvizsgát.3.. ísérete és numerius vizsgáto.3... Lbortóriumi ísérete.3... A gerend ineáris frevenciszámítás Nemineáris vizsgát z önsúy oozt repedés-megnyíás ehnygoásáv.3... Nemineáris vizsgát z önsúy oozt repedés-megnyíás figyeembevéteéve Numerius szimuáció vátozó csipítás és indító impuzus meett A átszógos sjátfrevenci, mint z idő függvénye.3.. Lineáris modee.3... Eső sjátfrevenci özeítése egyszbdságfoú modee.3... Másodi sjátfrevenci özeítése.3.3. A íséreti eredménye és numerius szimuáció összehsonítás.. Feszített vsbetongerend rezgésszámítás... A repedezett szszon értemezhető hjítómerevség... Apfetevése, ineáris és nemineáris számítási mode..3. Mintpéd..3.. Lineáris és nemineáris rezgésszámítás..3.. Sjátörfrevenciá ineáris számítás vátozó feszítőerő meett... Megápításo 3. Összefogás -. Az érteezés tézisei, tézispontohoz pcsoódó tudományos özeménye 5. Irodom 3

5 . Forgásprbooid-héj rezgésvizsgát

6 JELÖLÉSE z függőeges oordinát, hengeroordinát rendszer, r sugárirányú oordinát, hengeroordinát rendszer, ϑ szög oordinát, hengeroordinát rendszer, τ z idő függeten vátozój, w normáis irányú etoódás függvénye, F membránerő feszütségfüggvénye, R forgásprbooidhoz tetőpontjábn simuó gömb sugr, héj permöréne sugr, t héj vstgság, E héj rugmssági moduus, G héj nyírási moduus, ρ héj nygán sűrűsége, ν Poisson-tényező, c hng terjedési sebessége héjbn, C ágyzási tényező, hjítási merevség, 0 gobáis hjítási merevség, L oáis hjítási merevség, S héj nyírási merevsége, stt sttius rterisztius hossz, ω, engési rterisztius hossz, ξ retív sugárirányú oordinát, α rezgési sjátérté, gyűrűirányú huámszám, gyűrűirányú csomóvonszám, ω, sjátörfrevenci, móduszbn, f, sjátfrevenci, móduszbn, N r rdiáis membránerő, N csúszttóerő, rϑ M r rdiáis hjítónyomté, M csvrónyomté, rϑ Q r nyíróerő, p feüeti teher, p memb membránhtáss egyensúyozott feüeti teher, p em emezhtáss egyensúyozott feüeti teher, H épzőfüggvény, Θ operátormátrix, φ rezgési emozduási függvény,, g N x, N y, N xy Guss-fée szorztgörbüet x irányú metszeterő, x irányú metszeterő, csúszttó metszeterő. 5

7 .. BEVEZETÉS Az utóbbi évtizedeben számos héjszerezet épüt. Az építőipr meett gépészetben és hírdástechniábn is észítene héjént iított szerezeti eemeet. A tervező mérnö munájáná ngy segítséget jeent, hogy rendeezésére án z évtizedes fejesztésse eészített gépi progrmo (Ansys, Cosmos, Luss stb.). Eze mechnius mzásáná tervezőne nincs szüsége sttii, vgy dinmii probém mtemtii hátteréne ismeretére, ez viszont z eemző észséget csorbítj. A uttó mérnö érdeődése ezze szemben héjszerezete mtemtii vizsgátár irányu. eresi ehetőséget egzt, vgy egábbis, miné evesebb egyszerűsítő fetevésse éő nitius (vgy szemi-nitius) számítási módszere idogozásár. A probém átábn z, hogy z egyes szerezete dinmii viseedését eíró differenciáegyenet-rendszer bonyout, ezért megodásu átábn örüményes. A uttó fedt iyenor megtáni zt z ejárást, meye szerezet viseedésérő vittív, és vntittív eírást dht. otori érteezésem. fejezetében pos, szbd peremű forgásprbooid-héj sjátrezgéseine vizsgátáv fogozom. A rezgést eíró prciáis differenciáegyenetrendszer megodásáná egy új típusú ejárást mztm. Úgynevezett épzőfüggvény bevezetéséve sierüt probémát egy özönséges nyocdrendű differenciáegyenetre reduáni. Ez már ms vot frevenciegyenet eőáításár, meyne megodás után örfrevenciá és rezgési o meghtározhtó vot... Céitűzése Érteezésem céitűzései z ábbi: Új nitius ejárás idogozás pos forgásprbooid- i. gömbsüveghéj rezgéseit eíró differenciáegyenet-rendszer megodásár: - nyírási vátozáso néü, - nyírási vátozáso figyeembevéteéve. A frevenciegyenet eőáítás sjátfrevenciá és rezgési o meghtározás. Számítási goritmus és progrm idogozás (MATLAB). Az nitius számítás eredményeine eenőrzése terntív számítási ejáráss, z ANSYS végeseem progrmm. Szbdon ebegő tányérntenn (mint űrszerezet) sjátrezgéseine számítás. A forgásprbooid-héj, z ágyztn és rugmsn ágyzott öremez rezgési jeemzőine nitius és numerius összehsonítás.... Szirodmi átteintés A forgáshéj szirodmán ngyobb része, gyoribb mzás mitt, örhenger héj pcsotos. Vmive isebb z érdeődés z egyéb forgáshéj, mint pédáu gömbsüveg, ietve forgáshiperbooido iránt. A poshéj, ietve gömbsüveghéj irodm esősorbn héj sttii viseedését és ezen beü is stbiitásvesztés érdését tárgyj részetesebben. Viszonygosn evesebb irodm vn forgáshéj rezgésvizsgátán. A héjszerezete rezgésvizsgát során számos nehézség jeentezi z egyszerűbb geometriájú szerezetehez, gerendához és emezehez épest. Bevins (98) z 6

8 ábbit emíti. Átábn héj is rendeezne mindzon tujdonságo, meyee emeze és gerendá is, de ezen túmenően ényeges jeemzőjü, hogy egtöbbször nyúáso és nyomtéo nem vászthtó e egymástó (pcsot egyenete). A héj hjítórezgéseit eíró differenciáegyenet nyocdrendű, míg gerendá és emeze hjítórezgéseine probémáj negyedrendű differenciáegyenetere vezet. A héjszerezetere feáított egyenete ngyon üönböző rezgési ot eredményezne. P. örhengerhéj rezgésvizsgátábó megpju csőszerű rud trnzverzáis és ongitudináis rezgéseit, csvróengéseit, továbbá szármztthtó gyűrű síbei hjítórezgései és síbei táguási rezgései is. Touzé és társi (008) geometrii imperfeció és viszózus csipítás htását vizsgátá szbd peremű ör és gömbsüveg héj rezgéseive pcsotbn. A rezgés nemineáris jeegét, mint egyfjt feeményedést ietve ágyuást teintetté. A ármán-fée ngy ehjáso eméetét mztá ontinuum modeben. Az hibátó mentes öremez ngy mpitúdójú rezgéseiné nyúás-etoódás pcsotot ármán-fée összefüggés segítségéve írtá e (p.: Efstthides (97)). A geometrii imperfeciót, meye vóságos szerezetené eerühetetene, úgy vetté figyeembe, hogy egy ezdeti sttius ehjásrendszert dt dinmiusn számított ehjásohoz. Egyránt vizsgátá szimmetrius és szimmetrius imperfeción móduszor gyorot htását. Végezte oyn vizsgátot is, mior z imperfeció függvényét ideáis öremez rezgési jin megfeeően vetté fe, vizsgáv z átmenetet feeményedés és ágyuás özött. H csipítást is figyeembe vette ágyuási viseedés vát erőtejesebbé, de htás orátozott mrdt. ehven és társi (006) örhenger-szegmense szbd rezgéseit vizsgátá, szegmense nyíásszöge 30º, 90º, 50º vot. A móduszo özü hosszirányú hjítórezgése játszottá döntő szerepet. A íséret céj, számított modáis jeemzőe vó összehsonításon tú, héjpneere fehordott piezzoeetromos érzéeő vizsgát vot, meyeet repüőgépiprbn hsznosítn z tív rezgésmérséés terüetén. bir (00) pos, véony, négyszögprjzú hengerhéj pne szbd rezgéseit vizsgát. A héj ompozit nygú, tetszőeges iránybn futó száerősítésse. Az egyenete feírásához véony héjr vontozó Reissner eméetet hsznát is emozduáso meett, sszius irchhoff-love hipotézis szerint. A héj pne szbd megtámsztású. A megodáshoz foytonos és nem-foytonos ettős Fourier-sorot hsznát. A megodási módszer htéonyságát prmetrius vizsgátt eemezte. Az eredményeet végeseemes számításo eredményeive hsonított össze. Shng (00) ét fégömb és hengerhéjbó összetett pszu sjátfrevenciáit és rezgési jit htározt meg. A véony héj sszius Love-fée eméetét (Love (97)) mzt. A fégömb- és hengerhéj cstozttásáná z vátozásot foytonosn iesztette. A sjátfrevenciát szoásos módon sjátérté-fedtbó pt. Godoy és e Souz (998) véony vsbeton héjszerezet izsuzásáv gerjesztett rezgéseet vizsgátá ineáris eméet segítségéve. A móduszot ettős Fourier-sor formájábn áítottá eő. Cs z önsúy hirteen megjeenéséne htását vizsgátá, és nem fogozt szerezet viszo-esztius tujdonságábó dódó ésetetett htáso. (Ez utóbbir péd Bestros (978)). Teprsrtsit és To (005) mgs gömbsüveghéj dinmius stbiitását vizsgátá. Az egyenetesen megoszó teher bepcsoás jeegge műödött héjon. A számításot z ANSYS progrm segítségéve végezté. A ritius terhet geometrii jeemzőbő onstruát dimenziótn prméter függvényében htároztá meg. Grg és társi (006) étszer görbüt réteget ompozit- és szendvicshéj szbd rezgéseit vizsgátá. A nyírási vátozásot mgsbbrendű eméette özeítetté, meyben fehsznátá Snders (959) eméetét. Megodást dt özépfeüetre merőeges 7

9 összenyomódás figyeembevéteéve is és enne ehnygoásáv is. A mozgásegyeneteet Hmiton ev fehsznáásáv vezetté e. Az emozduásmezőet zárt bn áított eő escrtes oordinátrendszerben ettős Fourier-soro formájábn. Thurston (96) üső nyomáss terhet, befogott pos gömbsüveg-héj tengeyszimmetrius hjítását modeezte. A numerius vizsgátobó z hib néüi héjszerezetere pott eredménye nem muttt összhngot íséreti eredményee. Néhány pubiáció pos gömbsüveg-héj átpttnásáv fogozi. Eze özött úttörő munán számít Budinsy és Roth (96) i összefüggést dt ritius átpttnási teher számításár. Nie (00) hib fetéteezéséve végzett horpdás vizsgátot rugmsn ágyzott, pos gömbsüveghéjon perturbációs módszerre. A rugms ágyzás Winer típusú vot. Reddy (00) monográfiáj összefogást d ompozit héj üönböző sttii és dinmii számítási módszereirő. Az ismertetés iterjed z nitius és végeseemes módszerere. Az új idás trtmz egy fejezetet, mey speciáis nygobó észüt szerezetee fogozi. Benroy (005) önyve részetesen összefogj mérnöi szerezete rezgésszámításán módszereit, fogozi modeezési techniá bizonytnságiv. A szendvics- és ompozit héj pcsotos hzi uttáso terüetén esősorbn Hegedűs István és oár Lászó neve emítendő (p.: Hegedűs (979, oár (99, 993))... HAJLÍTOTT LAPOS HÉJA ALAPEGYENLETE A feüet pos votábó dódó egyszerűsítési ehetősége fehsznáásáv pos héj differenciáegyenet-rendszere (Hegedűs (000)): P ( z, F) w p z, (..) ho P(*,**) ármán-fée biineáris héjoperátor: P F P( z, w) 0, (..b) Et * ** * ** * **. x y x y x y y x (*,**) Az (..) függőeges feüeti egyensúyt fejez i. A hjított héjt oyn, ét rétegbő összetett feüetszerezetne teintjü, ho z egyi réteg tisztán membrán erőjáté, míg mási tisztán hjításs és nyíráss (emezhtáss) egyensúyozz rá jutó teherhánydot. Az egyensúy öveteményeine megfeeően ét iy módon egyensúyozott teherhányd összege megegyezi üső teherre. Az (..) bodán eső tgj membránhtáss, másodi tgj emezhtáss (Timosheno és Woinowsy rieger (966)) egyensúyozott teherhánydot fejezi i. Az (..b) pos héj ombtibiitási egyeneete. Az (..-b) differenciáegyenet-rendszert Mrguerre vezette e z 930-s éveben. A irchhoff-fée emezeméethez hsonón ehnygoj sír merőeges nyírási vátozásot. A p z teherre terhet pos héj erőjáté or vái ismertté, h fenti differenciáegyenet-rendszerbő meghtározzu w és z F függvényt. A megodás or vái htározottá, h megfeeő számú peremfetétet is áítun. 8

10 .3. FORGÁSPARABOLOI-HÉJ SAJÁTREZGÉSEI NYÍRÁSI ALAVÁLTOZÁSO NÉLÜL Érteezésem.3. fejezetében véony, pos, szbd peremű forgásprbooid-héj (.3.. ábr) sjátrezgéseine vizsgátáv fogozom nyírási vátozáso figyemen ívü hgyásáv. A tém tgásábn z ábbi utt övettem: A forgáspoid-héj sjátrezgéseit eíró differenciáegyenet-rendszerhez eőáítottm szbd peremre vontozó peremfetéteeet poároordinátás bn. Összefogtm forgásprbooid-héjbó R heyettesítésse szármztthtó egyszerűbb szerezete, mint szbd peremű ágyztn öremez, rugms ágyzású öremez rezgésvizsgátán összefüggéseit. Megodottm forgáspoid-héj differenciáegyenet-rendszerét épzőfüggvényes ejárás segítségéve. Eőáítottm frevenciegyenetet peremfetétee figyeembevéteéve. A idogozott nitius megodásr MATLAB progrmot észítettem. iszámítottm egy forgásprbooid-héj rezgési jeemzőit, meyeet végeseemes progrmm verifiátm. Összehsonítottm forgásprbooid-héj, vmint beőe szármztthtó szbd peremű ágyztn és rugmsn ágyzott öremez dinmii viseedését. Prmetrius vizsgáto bemuttás..3.. Apfetéteezése A vizsgát véony, pos forgásprbooid-héj j z r, ϑ, z henger-oordinátrendszerben értemezett r fr z (.3.) R egyenetű, meyne pereme z r sugrú ör. A ϑ szög z tengeyre merőeges síbn vn. A héj egy R sugrú gömb sugrú öre mentén evágott pos gömbsüveg heyettesítő forgásprbooidján is teinthető (.3.. ábr). t R f z ϑ r R f.3.. ábr: A forgásprbooid-héj meridián metszete. Hung (96)) szerint posn teinthető z.3.. ábr szerinti héj, h z f mgsság nem hdj meg z pör átmérőjéne egy-nyocdát, ez orát zonbn gyort szempontjábó egy issé túzón teinthető. A szerezetet egyenetes tömegeoszásún, ándó vstgságún és rugms izotróp nygún téteezzü fe, nem veszün figyeembe feüette együttmozgó további tömegeet. A vizsgátbn eteintün csipítástó. 9

11 A héj szbd rezgéséne differenciáegyenet-rendszerét pos héj hjításán Mrguerre-fée differenciáegyenetébő (Függe (973), Hegedűs (000)) szármzttju, teherént özépfeüet ehjásfüggvénye pján épzett tehetetenségi erőet véve figyeembe. A Mrguerre-fée egyenete ugynúgy ehnygojá nyírási vátozásot, mint irchhoff-fée emezeméet..3.. A forgásprbooid-héj differenciáegyenet-rendszere és peremfetéteei A pos héj hjításán differenciáegyenet-rendszerében szerepő z függvény derivátjit forgásprbooid (.3.) függvényéne derivátjiént értemezve z ábbi ét egyenetet pju (Függe (973)): w w F ρt, R τ (.3.) F w 0, Et R (.3.3) ho: F membránerő feszütségfüggvénye, w normáis irányú etoódás függvénye, 3 Et hjítási merevség ( ν ) E héj rugmssági moduus, ν Poisson-tényező, t héjvstgság, R forgásprbooidhoz tetőpontjábn simuó gömb sugr, ρ héj nygán sűrűsége, τ z idő függeten vátozój. étdimenziós Lpce-fée operátort jeöi, meyne henger-oordinátrendszerben értemezett j (p. Girmnn (95)): r r r r r ϑ r r r r ϑ. (.3.) A továbbibn cészerű ihsznáni z (.3.), (.3.3) egyenetrendszerne zt sjátságát, hogy z egyeneteben szerepő operátoro operátor egészitevős htványi, így z egyenete formáisn ándó együtthtójú differenciáegyenetént ezehető mindddig, míg oordinátá özveten figyeembevéteét eerühetjü. A további vizsgát tárgy egyen egy z űrszerezetént mzhtó, szbdon ebegő tányérntenn. Mive z űrben ebegő ntennár semmiyen mozgásorátozás nem ht, differenciáegyenet-rendszerhez peremfetéteént csupán zt e eőírnun, hogy z r peremen iépő feszütsége értée zérus. Ez z ábbi öt fetétet dj w és z F függvénye át meghtározott igénybevéteere vontozón (Cson (98)): N 0, N 0, M 0, M 0, 0. (.3.5) r rϑ r rϑ Q r 0

12 A megodásfüggvényere (.3.5) pján rendre z ábbi peremfetéteeet áíthtju z r sugrú peremörön : A rdiáis membránerő nuértéűségébő ( N 0): r F r r F r ϑ 0, (.3.6) csúszttóerő nuértéűsége pján ( N 0 ): rϑ F 0, (.3.7) r r ϑ rdiáis hjítónyomté nuértéűsége pján ( M 0 ): r w w w ν 0, (.3.8) r r r r ϑ csvrónyomté nuértéűsége pján ( M 0 ): nyíróerő nuértéűsége pján ( Q 0 ): rϑ w ( ν ) 0 r r ϑ, (.3.9) r ( w) 0. (.3.0) r Eze fetétee votéppen időtő is függő mennyiségere vontozn, így probém fiziig orret itűzése megívánná, hogy peremfetétee meett ezdetiértéfetéteeet is itűzzün, mive zonbn csipítás és üső mozgásényszere néüi szbdrezgést téteezün fe, enne nincsen jeentősége. A szuperpozíció evén fetehetjü, hogy rezgés tetszőeges számú üönböző periódusú és fázisú hrmonius rezgés egymásr hmozódásáv á eő, meyere peremfetétee üön-üön, egymástó függetenü érvényesíthető. A fiziig áíthtó peremfetétee szám ngyobb mtemtiig tejesíthető fetétee számáná, ugynúgy, mint irchhoff-fée emezeméetben szbd emezperem esetén. A probém áthidás is hsonó módon történi, mint irchhoff-fée emezeméetben, (ásd. Függe (973): Stresses in Shes 5.35-b épeteit,) zz csvrónyomtér vontozó (.3.9) peremfetétene csúszttóerőre vontozó (.3.7) és (.3.0) peremfetéteebe vó beépítéséve: M rϑ Nrϑ 0, (.3.) R M rϑ Q r 0. (.3.) r ϑ

13 Ezebő z egyenetebő F és w beheyettesítéséve (.3.7), (.3.9) és (.3.0) heyett övetező ét peremfetétei egyenet áíthtó z r peremen: F r r ϑ ( ν ) R ( ν ) w 0, (.3.3) r r ϑ w ( w) 0. (.3.) r r r ϑ r ϑ A heyettesítő peremfetétee bevezetéséve vgy cs ehjásr, vgy cs feszütségfüggvényre vontozó eredeti peremfetétee heyett oyn fetéterendszert ptun, meyben z egyi fetéte mind ét ismereten függvényt trtmzz Speciáis esete vizsgát A forgásprbooid-héj differenciáegyenet-rendszeréne megodás eőtt még cészerű özismertebb, egyszerűbb szerezete rezgésvizsgátát átteinteni. ét iyen szerezet rezgésvizsgát ígér tnuságos összevetést: z ágyztn öremezé és rugms ágyzású öremezé (.3.. ábr), meye több szerző is fogozott (p. Soede (986)). H R értéét végteenre vesszü fe, egy ágyztn öremez-fedthoz jutun. Vóbn, eor z (.3.) véony emeze rezgéseine w w ρt 0 (.3.5) τ differenciáegyenetébe megy át, és tejesen függetenné vái z (.3.3) egyenettő, mey z izotróp tárcsá rugms vátozásin omptibiitását ifejező Airy-fée differenciáegyenette esz zonos. (Teintve, hogy ez z egyenet nem türöz gyorsuási htásot, nem áíthtju, hogy z egyenetrendszer egy emez és egy tárcs rezgéseine függeten eírásár esi szét.) A rugms ágyzású öremez rezgéseine differenciáegyenete egyeten tgbn tér e z (.3.5) differenciáegyenettő (Timosheno (966)). Ez zt veszi figyeembe, hogy z ágyzton fevő emez feüetére z ágyzt merevségétő függő és ehjáss rányos ngyságú vissztérítő feszütség ht: w w Cw ρt 0, (.3.6) τ ho: C Winer-fée ágyzási tényező. t 3 Et ( ν ) t C.3.. ábr: Ágyztn és rugmsn ágyzott öremez. Szbd peremű emez esetén mindét differenciáegyenethez oyn peremfetétee trtozn, meye rdiáis hjítónyomté (.3.8) és irchhoff-fée (.3.) heyettesítő nyíróerő etűnését írjá eő z r peremen:

14 w w w ν 0, (.3.7) r r r r ϑ ( ν ) w ( w) 0. (.3.8) r r r ϑ r ϑ A szbd peremű ágyztn öremez rezgésvizsgát A szbd peremű öremez rezgésvizsgátát függeten vátozó szétvásztásán w r,ϑ,τ rezgésfüggvényt módszeréve végezhetjü. Amennyiben ( ) ( r, ϑ, τ ) w( r, ϑ) sinωτ w (.3.9) szorzt jábn téteezzü fe, ezt z ot z (.3.5) egyenetbe beheyettesítve z időtő függő szorzótényező iejthető z egyenetbő. Az ebbő szármzó homogén ineáris differenciáegyenet operátoros j: ρtω w 0, (.3.0) meybő szorzótényező is iejthető. Az (.3.0) differenciáegyenetben prméterént szerepő ω értéét fedt megodásához úgy e fevenni, hogy differenciáegyenetne szbd peremre vontozó (.3.7) és (.3.8) peremfetétee meett nem-triviáis megodás egyen. A további egyszerűsítése érdeében vezessü be z ω prméter heyett z ω -tó függő ρtω ω (.3.) rterisztius hosszúságot. Az ω épetébe emezmerevség, vmint c trnzverzáis hngterjedés sebesség épetét beheyettesítve övetezőt pju: E c (.3.) ρ c t ω ν ω. (.3.3) ( ) Enne rterisztius hosszúságn z mzásáv differenciáegyenet övetezőépp írhtó át: 3

15 w w ω ω ω 0. (.3.) Egyszerű beheyettesítésse meggyőződhetün rró, hogy enne differenciáegyenetne megodási z ábbi ét differenciáegyenet megodási: 0 w, (.3.5) ω 0 w. (.3.6) ω Az (.3.5) és (.3.6) megodásához újbó vátozó szétvásztásán módszerét mzzu. eressü megodásot (, ϑ) A ( r) cosϑ w r (.3.7) bn. Ezt z ot beheyettesítve z (.3.5) és (.3.6) egyenetebe, ϑ -tó vó függést muttó tényező iejthető, A -r pedig z ábbi özönséges differenciáegyenete dódn: d dr d dr d () A r r dr r ω d () A r r dr r ω () 0 () 0, (.3.8). (.3.9) Az r vátozó heyett rterisztius hosszúságg dimenziótnított r ξ (.3.30) ω vátozór áttérve, fenti egyenetpár övetezőépp írhtó át d ξ dξ d ξ dξ d () ξ ξ A ( ξ ) 0, (.3.3) dξ d () ξ ξ A ( ξ ) 0. (.3.3) dξ Eze z egyenete özismert Besse-fée differenciáegyenete (Wtson (98)). Az (.3.3) egyenet megodási J (ξ) és N (ξ) eső- és másodfjú -drendű Bessefüggvénye, z (.3.3) megodási pedig z I (ξ) és (ξ) eső-, i. másodfjú -drendű

16 módosított Besse-függvénye. Eze függvénye egymástó ineárisn függetene, ezért z (.3.) differenciáegyenet (.3.7) strutúrájú megodásin átános j meybő w w () () ( A A ) cosϑ A cosϑ, (.3.33) [ C J ( ξ ) C I ( ξ ) C N ( ξ ) C ( ξ )] cosϑ 3. (.3.3) Az A () és z A () megodásbn szerepő függvényene jó ismert és szempontunbó fontos tujdonsági, hogy J (ξ) és I (ξ) z origó örnyezetében orátos értéű, míg N (ξ) és (ξ) bszoút értée végteenhez trt, h függeten vátozóv nuához özeítün. A szbd peremű öremez megodásábn cs oyn függvénye juthtn szerephez, meye z r 0 pontbn nem szinguáris, vgyis itteni függvényértéü és prciáis derivátji értée véges. Az (.3.3) megodásbn emitt N és együtthtój, zz C 3 és C értée 0. A fennmrdó w [ C J ( ξ ) C I ( ξ )] cosϑ (.3.35) ifejezésben C és C együtthtót úgy e megvásztni, hogy megodásfüggvény ieégítse emez r, i. ξ α peremén eőírt peremfetéteeet. Ez övetemény ω C 0 C 0 (.3.36) ú homogén ineáris egyenetrendszerben foghtó össze, h z (.3.35) ifejezést peremfetétei egyenetebe heyettesítjü. Az együtthtómátrix eemei - Besse-fée függvénye derivátjir vontozó zonosságo (ásd p. Jhne-Emde-Lösch (960) éziönyve) figyeembevéteéne épéseit meőzve, z egyenete onstns szorzóit iejtve - övetező:, (.3.37), (.3.38), (.3.39) 5

17 , (.3.0) ho: α (.3.) ω öremez pereméne dimenziótnított rdiáis oordinátáj. Az (.3.36) egyenetrendszerne cs or vn nem-triviáis megodás, h determináns zérus. Az (.3.37) - (.3.0) összefüggése pján feírhtó determináns, és számítógéppe megereshető z egyenetrendszer prméteréne - α-n, ω -n vgy ω-n - zo z értéei, mior determináns nuává vái. A számítási eredménye z.3.. tábázt szerint rendezhető össze. A vátozó (.3.7) szétvásztásábó övetezően rezgéso vizsgát szerint értée rezgési gyűrűirányú huámszámát dj meg, gyűrűirányú csomóvon szám..3.. tábázt: Szbd peremű ágyztn öremez α, rezgési sjátértéei ν /3 esetén Az.3.. tábáztbó áthtó, hogy minden és minden értéhez z α α, értéeine növevő sorozt trtozi. Az eső ét oszop eső eeméhez merevtest-szerű emozduás- trtozi, zonbn üső erő, i. mozgásényszer néü iyen rezgés nem uht i öremezen. Az.3.. tábáztbn szerepő α, értée pján, z (.3.3) fehsznáásáv ct α. ct ω. (.3.) ω ( ν ) ( ν ) épette számíthtó ω értéeet öremez sjátörfrevenciáin nevezzü. Ugynez ez z eredmény megtáhtó Ponomrev (966), vmint (Leiss (969)) pubiációjábn. A egcsonybb sjátörfrevenciát értéhez trtozó egisebb α pján számíthtju. Ezt vizsgát szerezet prezgéséne, mgsbb értéeet rendszer fehrmoniusin is szotá nevezni. A rezgésszámo rányábó megápíthtó, hogy - szemben p. húro, rud és tégp-emeze fehrmoniusiv, - szbd peremű öremez fehrmoniusi nem otn egymáss és z prezgésse onszonáns (zeneieg összecsengő) rendszert. 6

18 A szbd peremű, rugmsn ágyzott öremez rezgésvizsgát A rugms ágyzás htását figyeembe vevő tgg bővített (.3.6) differenciáegyenetbő vátozó szétvásztásáv és z időtő függő tényező iüszöböéséve z ábbi differenciáegyenethez jutun: ρtω C w 0. (.3.3) A ere zárójeen beüi eső tört már ismert ω negyedi htványán recipro. A másodi tört rugmsn ágyzott emeze sttii vizsgátábn mzott sttius rterisztius hossz negyedi htványán recipro (Márus (96)). Ezt továbbibn stt -t jeöjü: C stt. (.3.) Az stt vmint z ω jeöéseet fehsznáv és z (.3.3) operátorát szorzttá ítv: w ω stt ω stt 0 (.3.5) egyenetet pju. Az ágyztn öremezhez hsonón megodás itt is z ábbi ét differenciáegyenet megodásán összegeént áíthtó eő: w ω stt w ω stt 0, (.3.6) 0. (.3.7) H fetesszü, hogy stt > ω, (enne igzoásár ésőbb vissztérün), és bevezetjü z ω stt (.3.8) engési rterisztius hosszt, továbbá dimenziónéüi r ξ (.3.9) sugárirányú retív oordinátát, or poáris oordinátvátozó szétvásztás után z (.3.3) i. z (.3.3) Besse-fée differenciáegyeneteet pju vissz. Az etérés csupán nnyi, hogy ξ vátozót z (.3.8) és z (.3.9) definiáj. Az átános megodás (.3.35) pján már ismert: 7

19 w [ C J ( ξ ) C I ( ξ )] cosϑ. (.3.50) Teintette rr, hogy szbd peremű, rugmsn ágyzott öremezre szintén z (.3.7) és (.3.8) peremfetétee vontozn, C és C fevéteére vontozó fetétei egyenetrendszer is zonos z ágyztn öremezre vontozó (.3.37) - (.3.0) egyenetee. Ebbő övetezi, hogy z egyenetrendszer α prméteréne ho α perem rdiáis oordinátáj nem-triviáis megodásohoz trtozó értéei számszerűen megegyezne z.3.. tábáztbn szerepő α, értéee. Megegyezne továbbá z dott, értépárohoz trtozó normát rezgési o is. A ξ vátozón (.3.30) és (.3.9) szerinti egymástó etérő értemezése mitt zonbn rugms ágyzású öremezné z dott α, -hez mgsbb ω, sjátörfrevenci trtozi, mint z ágyztn öremez esetén. Az (.3.8)-bó α, heyettesítéséve sjátörfrevenciá α, c t C ω, (.3.5) ( ν ) ρt épette számíthtó. Ugynez z eredmény megtáhtó Soede (986) önyvében. Az (.3.5) egyenőség négyzetre emet jábn egy α, c t C ω, (.3.5) ( ν ) ρt () () ( ω ) ( ) ω (.3.53),, ω () Southwe-fée összegzést (Ryeigh, J. W. S (95)) ismerhetün fe, meyne ω, összetevője (.3.) pján z ágyztn öremez sjátörfrevenciáj, ω () pedig C merevségű ágyzton fevő, m ρt feüetegységre vontozttott tömegű, hjítómerevség néüi emez C C ω rugó (.3.5) m ρt sjátörfrevenciáj. Hjítómerevség néü minden feüeteem és hozzápcsot eemi rugó függeten egyszbdságfoú rezgő rendszert ot, így feüet tetszőeges engés, de cs egyeten, z (.3.5) szerinti sjátörfrevenciáv rezeghet. Ez sjátörfrevenci tehát függeten és értéétő. A sjátrezgése frevenci-négyzeteire vontozó Southwe-fée összegzés só orátot szogátt eresett sjátfrevenciár, h prciáis merevségű rendszere rezgésji cs özeítő egyezést muttn. Esetünben hjítómerevség néüi rugms ágyzású, másodi rendszerhez tetszőeges rezgési trtozht z eemi rugó függetensége mitt. Ez tetszőeges rezgési z eső rendszeréve, z ágyztn 8

20 öremezéve zonosr is fevehető, ezért fentie értemében z (.3.53) Southwe-fée összegzés pontosn dj rugms ágyzású emez sjátörfrevenciáit. A Southwe-fée összegzés pján még egy fontos megápítást tehetün. A rugómerevségbő számíthtó ω rugó értée önmg is só orátj rugmsn ágyzott öremez sjátörfrevenciáin. Az (.3.) és z (.3.) épet fehsznáásáv megápíthtju, hogy ez rezgési frevenci stt ω esetén ép fe. Ebbő z övetezi, hogy stt feső orátj ω -n, zz fejezet eején rterisztius hossz viszonyár vontozón eőre bocsátott fetéteezés heytáó vot. Az (.3.8) szerinti nem vehet fe ompex értéet, rugmsn ágyzott öremez rezgési ji - 0, és 0 értépárohoz trtozó móduszo ivéteéve - mind eírhtó vós rgumentumú Besse függvénye segítségéve. H stt ω, or z (.3.8)-bó formáisn z övetezi, zz rezgési függvény nem mutt huámzást, vgyis eírhtó onstns vgy ineáris függvénnye. Eze 0, és 0 értépárohoz trtozó móduszo merevtestszerű emozduásot muttn A forgásprbooid-héj nyúásmentes vátozási A öremez ehjási nyúásmentese, h eteintün sí özépfeüet megnyúásátó. A öremez emezvstgságát megözeítő mximáis ehjáso esetén már irreáis eredményt dhtn özépfeüet nyúásán figyemen ívü hgyásáv végzett vizsgáto, or is, h perem cs özépsír merőeges etoódáso szemben vn rögzítve. H viszont perem szbd, emezvstgságot soszorosn meghdó ehjás esetén is cseéy hib dódht. Ebbő rr öveteztethetün, hogy mennyiben forgásprbooid-héj nnyir pos, hogy ívmgsság z emített emez-ehjáso ngyságrendjébe esi, rezgési viseedése egyes rezgéso esetén hsonó esz öremezéhez, de rr is, hogy más o esetén erősen etérhet ttó. Hsonóság or várhtó, h evéssé érvényesü özépfeüet nyúásin htás, vgyis h rezgés öze á prbooid nyúásmentes vátozásához. A héj nyúásmentes vátozásin differenciáegyenetét úgy pju, hogy z (.3.3) omptibiitási egyenetbe z F 0 értéet heyettesítjü be: R w inext 0. (.3.55) A nyúásmentes vátozásot trtomány besejében és htárán szinguritás néüi vós, étvátozós hrmonius függvénye írjá e. Eze átános j hengeroordinátrendszerben w inext ( A cos ϑ B sin ϑ) r. (.3.56) A 0 és értéhez merevtestszerű emozduáso trtozn. Az átános bó z ovshtó i, hogy nyúásmentes vátozásor z r peremen perempontonént egyeten peremfetétet áíthtun. (Eőírhtju p., hogy peremen ehjás w inext (,ϑ ) értéét tetszőeges, - természetesen π szerint periodius - függvény írj e.) Arr nincsen ehetőség, hogy héj,.3.. fejezetben részetezett peremfetéte-rendszerét - vgy nn cs ehjásfüggvényt orátozó fetéteeit - nyúásmentes vátozáso i tudju eégíteni. Ez zért fontos megápítás, mert eenező esetben tányérntenn rezgésvizsgátát ényegében egy öremez rezgésvizsgátár ehetne egyszerűsíteni. 9

21 .3.. A forgásprbooid-héj rezgésvizsgát differenciáegyenet-rendszer sjátérté-fedtént A vásztott peremfetétee ehetővé teszi, hogy prbooid héj rezgésvizsgátát is vátozó szétvásztásán módszeréve végezzü. A ehjásfüggvényt w w(r,ϑ )sinωτ, feszütségfüggvényt F F(r,ϑ )sinωτ bn eresve z (.3.) - (.3.3) differenciáegyenet-rendszerbő iejthető z időtő vó függést muttó sin ωτ szorzótényező, peremfetétee pedig z ábbi prciáis differenciáegyenet-rendszerre értemezendő: w ( tω ) w F 0 ρ, (.3.57) R w F R Et 0. (.3.58) Az ω most homogén differenciáegyenet-rendszer prmétere. A prméteres homogén ineáris differenciáegyenet-rendszerere is értemezhető z ún. terntív-téte: ω értéét foytonosn vátozttv z dott peremfetéte-rendszer meett vgy cs triviáis zérus megodásvetort táun, vgy pedig végteen so, egymáss ineárisn összefüggő megodást. Azt diszrét ω, 0,,,..., értérendszert, mey meett z utóbbi á fenn, z egyenetrendszerre és peremfetéteee itűzött probém sjátértéeine, z egyes ω -hoz tát megodáso prendszerét probém sjátfüggvény-vetorin nevezzü. Ez probém nóg mátrixor vontozó sjátérté-fedtt, megodásbn is mzhtó mátrixor vontozó sjátérté-fedto megodási módszerei A feszütségfüggvény iüszöböhetőségéne vizsgát Az (.3.57) egyenetre operációt mzv, mjd z így pott egyenetet (.3.58) egyenette ombináv oyn összefüggésre juthtun, mey cs w ismeretent trtmzz: Et R ( tω ) w 0 ρ. (.3.59) A szögetes zárójeben szerepő ifejezés fefoghtó egy hjítási merevségű, Et C (.3.60) R ágyzási tényezőjű rugms ágyzton fevő emez rezgésjir vontozó homogén differenciáegyenet operátorán. Amennyiben szögetes zárójeben szerepő ifejezésbe w-t heyettesítve ifejezés nuává vái, mg z (.3.59) differenciáegyenet is tejesü. Ebbő önnyen rr öveteztethetnén, hogy forgásprbooid-héj rezgésjit és sjátfrevenciáit egy heyettesítő rugms ágyzású öremez megodási djá. Ez zonbn téves öveteztetés enne. Egyrészt zért, mert z (.3.59) egyenet operátorábn egy további operátor-szorzó is szerepe, ezért megodás omponensei özt rugms ágyzású heyettesítő emez rezgésji meett szerephez juthtn w 0 egyenetet tejesítő 0

22 megodáso is, meye z (.3.55) egyenet értemében prbooid-héj nyúásmentes vátozási, így uásubn nincs özveten szerepe fitív rugms ágyzásn. Másrészt zért, mert z (.3.3) heyettesítő peremfetéte mitt w pcsottá vái z (.3.59) egyenetbő iejtett F-fe. A vizsgátot ezért oyn módszerre e evégeznün, mey ehetőséget d z (.3.57) - (.3.58) egyenetrendszer tejes átános megodásán figyeembevéteére A épzőfüggvény bevezetése Amzzu differenciáegyenet-rendszer tejes megodásán eőáításár z operátormátrix determinánsán és djungátján értemezésén puó épzőfüggvényes ejárást. Ezze módszerre jeentősen csöenthető hengeroordinát-rendszer mzásábó szármzó gebri nehézsége is. Ezt z ejárást Hegedűs (986) vstghéjású szendvicsgerend megodásán muttt be, inhomogén differenciáegyenetrendszerre mzv. A épzőfüggvényes ejárás peve övetező. A oordinátrendszerre invriáns ú ineáris differenciáegyenet-rendszerben szerepő operáció sorrendje ugynúgy fecseréhető, mint onstns tényezőe vó szorzásé. Ez formáis fecseréhetőség ehetővé teszi, hogy z operátormátrixr értemezni tudju zot mátrixgebri fogmt, meyeet sáreemű vdrtius mátrixo megdott fedto megodásához be szot vezetni. Eze özü mátrix determináns és z djungát mátrix értemezése szüséges. Jeöje Θ θ ] i, j,... n mátrix [ ij Θy 0 (.3.6) homogén differenciá-egyenetrendszer operátormátrixát, meyne eemei egymáss fecseréhető differenciáoperátoro. Legyen det(θ) z operátormátrixn mátrixritmeti szbáyi szerint épzett determináns, det( Θ) ij i, j,... n i j pedig jeöje mátrix i,j eemeihez trtozó eőjees, zz ( ) szorzót is mgáb fogó determinánsot. Eze mindegyie egymáss föcseréhető differenciáoperátor. Az operátormátrix djungátján eemeit z eőjees determinánso otjá: ( ) [det( Θ) ] dj Θ i, j,... n Legyen H oyn függvény, mey ieégíti z ábbi differenciáegyenetet: ji det ( Θ) H 0. (.3.6) Igzohtó, hogy H függvény segítségéve z (.3.6) differenciá-egyenetrendszer ( ) y megodásvetor épezhető z ábbi módon:

23 y ( ) det det det ( Θ) ( Θ)... ( Θ) n H, (.3.63) vgyis z djungát operátormátrix -di oszopát, (vgy trnszponátján -di sorát) mzzu H függvényre. Enne igzoásához heyettesítsü z (.3.63)-t z (.3.6)-be: ( Θ) ( Θ) det det Θy Θ... det ( Θ) n H 0. (.3.6) Az, hogy (.3.6) tejesü z determinánso ifejtési tétee pján áthtó be: n j n j ( Θ) det( Θ) θ det, h i, ij j θ det( Θ) 0, h i, ij j tehát fetéteezett (.3.63) megodás vóbn ieégíti z (.3.6)-t. A H függvényt tehát fehsznáhtju rr, hogy z operátormátrix djungátj segítségéve z egyenetrendszer megodásvetorit épezzü. Az (.3.6) differenciáegyenetet z (.3.6) differenciáegyenet-rendszer rterisztius differenciáegyeneténe, H függvényt pedig megodásvetor épzőfüggvényéne nevezzü. Amennyiben H z (.3.6) rterisztius differenciáegyenet átános megodás, y () pedig trtmzz z átános megodás összes szbd prméterét, or z y () -t differenciáegyenet-rendszer átános megodásán teinthetjü. Oyn esetben, h z djungát operátormátrix minden eemébő iemehető egy özös operátorszorzó, ugynez iemehető rterisztius differenciáegyenet operátorábó is. Iyen esetben mind determinánsbó, mind z djungát eemeibő e e hgyni özös operátorszorzót. Ezt végrehjtv mindig épezhető z djungát soribó szármzttott y () megodásvetoro oyn ombinációj, mey z átános megodás összes szbd prméterét trtmzz. A épzőfüggvény mzásán egfontosbb eőnye, hogy z (.3.6) differenciáegyenet megodás után z összes ismereten függvény derivááss áíthtó eő, így nem erüne megodásb formáisn függetenne átszó további integráási onstnso. Mási eőnye, hogy peremértéere és peremderivátr vontozó peremfetétee özvetenü épzőfüggvényre vontozó fetéteént vehető figyeembe. Esetünben már emített fecseréhetőség mindddig fenná, míg operátorot nem fejezzü i z r ietve ϑ szerinti derivát. Az (.3.57) - (.3.58) homogén differenciáegyenet-rendszer

24 mátrixos feírású ján operátormátrix w Θ F 0 (.3.65) operátordetermináns ( ρtω ) Θ R det( Θ) Et R R, Et (.3.66) ρω E, (.3.67) z operátormátrix djungátj dj( Θ) Et R (.3.68) ( ρtω ) R bn dódi. Az djungát operátormátrix eemeine nincsen özös operátorszorzój, ezért homogén átános megodás H épzőfüggvényeént det ( Θ)[ H ] 0 (.3.69) rterisztius differenciáegyenet átános megodását hsznáhtju. Az (.3.69) differenciáegyenet operátor eső épésben det( Θ) Et R ρtω Et [ ] (.3.70) ρtω r ftorizáhtó. Az (.3.70) másodi operátorszorzójábn áó törtben szbd peremű ágyztn öremez (.3.) épetéve bevezetett ω hosszúság negyedi Et htványán reciproát ismerhetjü fe, z tört pedig z R R Et t R ( ν ) stt (.3.7) rterisztius hossz negyedi htványán reciproént értemezhető. Ez hosszúság hsonó szerephez jut hjított pos forgásprbooid-héj sttii vizsgátábn, mint z (.3.) egyenette definiát rterisztius hossz rugms ágyzású öremezené. Ez indooj z zonos enevezést. 3

25 A rterisztius hossz beheyettesítéséve és másodi operátorszorzó további ftorizáásáv rterisztius differenciáegyenet operátorát egy negyed- és ét másodrendű operátor szorztár bonthtju: det stt ( ) [ ] Θ R ω stt ω stt. (.3.7) Ez ftorizáás ehetőséget d rr, hogy nyocdrendű rterisztius differenciáegyenet megodását egy negyed- és ét másodrendű differenciáegyenet megodásin ombináásáv áítsu eő. Az eső csoportot másodi csoportot ( ) H 0, (.3.73) H ω stt ( ) 0, (.3.7) hrmdi csoportot 3 H ω stt ( ) 0 (.3.75) differenciáegyenete megodási otjá A rterisztius differenciáegyenet megodás Az (.3.69) rterisztius differenciáegyenet megodását orábbi fejezeteben mzott módon, ( r) ϑ H A cos (.3.76) bn ereshetjü. Ezt z ot differenciáegyenetbe beheyettesítve, mjd ϑ szerinti függést ifejező trigonometrius ifejezést z egyenetbő iejtve, A (r)-re egy nyocdrendű, vátozó együtthtójú özönséges homogén differenciáegyenet dódi. Az A (r) függvényt nem enne differenciáegyenetne megodásént áítju eő, hnem úgy, hogy z (.3.76) próbfüggvény ot özvetenü z (.3.73), (.3.7) és (.3.75) negyed-, i. másodrendű differenciáegyenetebe beheyettesítjü, és épezzü z így dódó differenciáegyenete A (), A () (3), A átános megodásin összegét: A ( () ) ( ( ) ) ( 3 r A r A ( r) A ) ( r). (.3.77) A nem-efjuó eseteben fetehetjü, hogy eze megodásomponense ineárisn függetene, így 8 szbd prmétert trtmzó összeg vóbn z A -r vontozó nyocdrendű differenciáegyenet átános megodás. Az (.3.73) differenciáegyenet pján A () -re evezethető (.3.78)

26 differenciáegyenet ú.n Euer-típusú homogén foszámú differenciáegyenet, meyne átános megodás () 0 esetén A C C r C n r C r n r, 0 3 () 3 esetén A Cr Cr C3 n r Cr n r, () > esetén A C r C r C n r C r n r. Az (.3.7) differenciáegyenet pján A () -re evezethető 3 és z (.3.75) pján A (3) (r) -re evezethető d d () () r A A r dr dr ω stt r d d (3) (3) r A A r dr dr ω stt r 0 0 (.3.79) (.3.80) differenciáegyenete Besse-típusú differenciáegyenete, meye átános megodásábn szerepő függvénye típus részint négyzetgyö tti ifejezés eőjeétő, részint mgán négyzetgyööt trtmzó tgn z eőjeétő függ. Téteezzü fe, - hogy rugms ágyzású öremez vizsgátáná is tettü - hogy z (.3.79) és z (.3.80) egyenetben négyzetgyö tti ifejezés értée pozitív. Ebben z esetben z (.3.) és z (.3.7) figyeembevéteéve z ω stt ρtω Et R (.3.8) ún. engési rterisztius hossz vós hosszúságént értemezhető, és r ξ (.3.8) vátozó trnszformáció bevezetéséve z (.3.79) egyenet (.3.83) nonius ú Besse-fée differenciáegyenetté írhtó át. Enne megodási J (ξ) és N (ξ) eső- és másodfjú -drendű Besse-függvénye. Az (.3.80) egyenet ugynezze trnszformációv 5

27 (.3.8) egyenetbe vihető át, mey módosított vgy épzetes rgumentumú Besse-fée differenciáegyenet nonius j. Enne megodási z I (ξ) és (ξ) eső-, i. másodfjú -drendű módosított Besse-függvénye. Az (.3.78), (.3.83) és (.3.8) megodási egymástó ineárisn függeten függvénye, h tehát engési rterisztius hossz vós érté, z átános megodás (.3.85) Az A () és z A (3) megodásbn szerepő függvényene jó ismert és szempontunbó fontos tujdonsági, hogy J (ξ) és I (ξ) z origó örnyezetében orátos értéű, míg N (ξ) és (ξ) bszoút értée végteenhez trt, h függeten vátozóv nuához özeítün. A forgásprbooid-héj megodásábn cs oyn függvénye juthtn szerephez, meye z r 0 pontbn nem szinguáris, vgyis függvényértéü és prciáis derivátji értée véges. Emitt z A () megodásbn C 3 és C, továbbá z A () megodásbn N (ξ) és z A (3) megodásbn (ξ) együtthtój - zz z (.3.85) egyenetben C 7 és C 8 értée 0. A épzőfüggvény enne megfeeően - z A () -bn is mzv ξ függeten vátozót, - övetező:. (.3.86) A megodásvetort (.3.68) eső sor pján épezve, egyútt figyeembe véve épzőfüggvényene differenciáegyenetbő iovshtó sjátságit, továbbá Besse-fée függvénye ábbi zonosságit, (.3.87) övetezőt pju: w F () () { H } [ C5J ( ξ ) C6I ( ξ )] cosϑ, Et Et { H } [ C( ) ξ C5J ( ξ ) C6I ( ξ )] cosϑ. R R Ebben megodásvetorbn nem szerepe C szbdon vászthtó prméter. épezzü ezért megodásvetort z djungát mátrix másodi sor pján is: w () [ ] cosϑ { H } C( ) ξ C5J ( ξ ) C6I ( ξ ), (.3.88) R R { H } ( ) F ω 6

28 ( ) ( ) ( ) ( ) ϑ ξ ξ ξ ξ ω ω I C J C C C cos 6 5 ( ) ( ) ( ) ( ϑ ξ ξ ξ ξ ω I C J C C C stt cos 6 5 ). (.3.89) Teintette rr, hogy ez megodásvetor már trtmzz z összes szbd prmétert, ezt hsznáju továbbibn. Emítésre métó megodásrendszerben, hogy épzőfüggvény C együtthtójú tgj, mey hrmonius függvény, cs F-ben d megodásomponenst. Az enne megfeeő tg w függvényben nyúásmentes omponenst jeöne i A freevenciegyenet és rezgési emozduási o A freevenciegyenet eőáításához övetező fedtun differenciáegyenetrendszer peremfetéteeine érvényesítése épzőfüggvényre. Ez úgy történi, hogy z (.3.88)-bó és (.3.89)-bő pott w és F függvényt beheyettesítjü peremfetétei egyenetebe. Az r peremen: α ξ. (.3.90) Az (.3.6), (.3.3), (.3.8) és (.3.) egyenete ξ vátozó mzásáv övetező: 0 F F α ξ ϑ ξ ξ ξ, (.3.9) ( ) 0 w R F α ξ ϑ ξ ξ ν ϑ ξ ξ, (.3.9) 0 w w w α ξ ϑ ξ ξ ξ ν ξ, (.3.93) ( ) ( ) 0 w w α ξ ϑ ξ ϑ ξ ξ ν ξ. (.3.9) A beheyettesítése evégzéséve négy peremfetéte pján négy homogén ineáris egyenetbő áó egyenetrendszer írhtó fe C, C, C 5 és C 6 prméterere. Az (.3.9) (.3.9) egyenetrendszer nem-triviáis megodását z ábbi egyenőség tejesüése dj, mey vizsgát forgásprbooid-héj frevenciegyeneténe teinthető, természetesen szbd perem esetén: ( ) ( ) ( ) 0 det ω α, (.3.95) részetezve: 7

29 C C C 5 C6 0. (.3.95b) Az (.3.95b) egyenetrendszer együtthtó-mátrixán 6 eeme z F. Függeében táhtó. Az (.3.95) egyenetben, mint hogy zt szbd peremű ágyztn, vmint rugms ágyzású öremezné áttu minden egyes -hoz növevő ω meett,,, gyööt táun. A rugmsn ágyzott öremezze vó roonságot muttj, hogy forgásprbooidhéj determinánsán 3--i oszopábó és sorábó otott bo megtáhtó rugmsn ágyzott öremez frevenciegyenetében. Az (.3.95) fetéte nincsen teintette rr, hogy ''vódi'', vgy merevtestszerű vátozásoró vn-e szó, mive zonbn ebegő szerezet üső erő néü nem végezhet merevtestszerű periodius mozgásot, ezért ezeet i e zárnun megodásbó. Az, hogy z (.3.95) fetéte megengedi merevtestszerű mozgást is, bbn jeentezi, hogy 0 és értéené determináns α értéétő függetenü zérus értéet vesz fe, mert determináns másodi során minden eemébő iemehető szorzó, i. z eső oszop minden eemébő ugynígy iemehető ( - ) szorzó. Az (.3.95) fetéte fenti formájábn 0 és esteben így éppen ''vódi'' sjátrezgése vizsgátát teszi ehetetenné. H zonbn iejtjü másodi sorbó, i. z eső oszopbó (-) szorzót, megszüntetjü merevtest-szerű mozgáso htását, és ehetővé vái ''vódi'' sjátrezgése frevenciáin meghtározás. A fenti érteemben módosított (.3.95)-öt tejesítő α, z értéebő számíthtó héj sjátörfrevenciái és peremfetéteeet tejesítő engéso és igénybevétee. A forgásprbooid-héj sjátörfrevenciái α -bő z ábbi evezetés pján számíthtó. Az (.3.8)-bő z (.3.90) beheyettesítéséve: α ρtω Et R, ω -re rendezve, épetét beheyettesítve: figyeembe véve (.3.)-t: α E α Et E ω ρt ρr R, ( ν ) ρ ρ ω α Et E ( ν ) ρ ρr ( ν ) α c t c R ω 0 α stt, (.3.96) ho: c ω 0. (.3.97) R 8

30 Az (.3.96) összefüggés R esetén formáisn sí öremez (.3.) épetévé egyszerűsödi. A forgásprbooid-héj örfrevenci ifejezése formáisn zonos rugms ágyzású emezéve (Soede (986)), zonbn ét szerezet frevenci épetében szerepő α -e természetesen etérőe. A rugms ágyzású emez α sjátértéei z (.3.36) másodrendű determináns zérusheyeibő, forgásprbooid-héj sjátértéei pedig z (.3.95b) negyedrendű determináns zérusheyeibő szármzn. Amennyiben z (.3.79), i. z (.3.80) egyenetben szerepő négyzetgyö tti ifejezés negtív értéű, or z (.3.8) épette definiát engési rterisztius hossz nem értemezhető vós hosszúságént. Bevezetve r ξ (.3.98) i vátozótrnszformációt, engésot A ( ξ ) C5 berξ C6beiξ C7eiξ C8erξ (.3.99) bn ereshetjü. Az (.3.99) szerint fetéteezett sját-engés ber, bei, ei, er úgynevezett -drendű Thomson-fée függvényeet trtmzz. Eze votéppen épzetes rendszámú Besse-fée differenciáegyenet ompex rgumentumú és ompex értéű megodásfüggvényeine vós és épzetes része pján szármzttott vós vátozójú és vós értéű függvénye. özüü mérnöi fedtobn gyrbbn eőforduó nudrendű ( 0 indexű) függvénye p. rugmsn ágyzott öremeze örszimmetrius megodásibn játszn szerepet (Márus (96)). A zérus index ehgyásáv ezeet egyszerűen Thomson-fée függvényene szotá nevezni. Az engési rterisztius hossz épzetessé váásán ehetősége tehát zz ényemetenségge fenyeget, hogy engésvizsgát tejessé tétee érdeében z (.3.95) frevenci-egyenet ifejezéseit (.3.99)-ne megfeeően át e ítni. A numerius vizsgáto során oyn mtemtii progrmcsomgot hsznátm (MATLAB), mey ompex rgumentumú Besse-függvénye mzását is ehetővé tette. Ebbő övetezően nem vot szüség z (.3.95) Thomson függvényee vó feépítésére. Az engési rterisztius hossz or vát épzetesbő vósr (.3.8) szerint, h stt ω. Az ehhez trtozó örfrevenci z ábbi módon számíthtó: ρtω Et R E ω ρr * ω c R A fenti gondotmenetbő övetezi, hogy vátás z (.3.97)-ben megdott ω 0 -ná * övetezi be, tehát ω ω0, mey vós engési rterisztius hossz esetén sjátörfrevenciá só orátj. A sjátfrevenciá ismeretében egy dott, móduszhoz z emozduási függvény egyszerűen eőáíthtó. Az (.3.88) ehjásfüggvény 3 függeten együtthtót, (C, C 5, C 6 ) trtmz, eze meghtározásához 3 egyenet szüséges. 9

31 Az (.3.95) egyenetrendszer egyenetébő tetszőeges módon vásszun i ettőt, mey trtmzz C i, i {, 5, 6} együtthtót. Tegyü hozzáju ξ α peremen z egységnyi emozduást ifejező w R [ C ( ) C J ( α ) C I ( α )], 5, 6, α (.3.00) egyenetet. Az így eőáó nemszinguáris együtthtómátrixú egyenetrendszerben C i, i {, 5, 6} együtthtó jeenti z ismereteneet. Ebbő z egyenetrendszerbő fenti együtthtó számíthtó. Figyeembe véve gyűrűirányú vátozás függvényét is, eresett rezgési emozduásfüggvény: φ, A ( r, C, C5C6 ) cosϑ, (.3.0) mey perememozduásr normát. Rezgési függvényt úgy pun, hogy r z függvényt. R.3.5. Mintpédá φ, -hez hozzádju szerezet ját eíró A fentieben ismertetett nitius számítási ejáráshoz MATLAB progrmot dogoztm i, meyne fehsznáásáv egy szbd peremű forgásprbooid-héj és egy zonos prjzi méretű, vstgságú és nygú szbd peremű ágyztn öremez, vmint egy rugms ágyzású öremez sjátrezgéseit számítottm. Ábrázotm jeegzetes emozduási ot és eze metszeteit. Összehsonítottm háromfée szerezet rezgéseit. Vizsgátm geometrii jeemző vátozásán htását forgásprbooid-héj sjátfrevenciáir A forgásprbooid-héj sjátfrevenciái és rezgési emozduási A forgásprbooid-héj sjátrezgéseit egy űrszerezetént mzhtó, szbdon ebegő.3.3. ábr szerinti tányérntenn esetén vizsgátm. Tt 0.00 m T.5 m R 0 m.3.3. ábr: A vizsgát héjszerezet geometrii dti A héj nyg umíniumötvözet. A figyeembe vett nygjeemző: rugmssági moduus: E s 70 N/mm ; testsűrűség: ρ 700g/m 3 ; Poisson tényező: ν /3. 30

32 A idogozott MATLAB progrmm meghtároztm vizsgát héjszerezet sjátörfrevenciáit. Eenőrzéséppen végeseem módszerre - z ANSYS progrmm - is evégeztem számítást. A rezgési emozduáso szimmetri tujdonságát ihsznáv fé gömbsüveg-héjt és öremezeet modeeztem poáris rendszerben, nyoccsomópontos héjeemere feosztv. A végeseem progrmm meghtározott eső sjátörfrevenci jó egyezést muttott z nitius számításbó pott megfeeő értéee..3.. tábázt: Az terntív módszeree pott sjátörfrevenciá (ω) összehsonítás. Anitius módusz ANSYS [Hz] sorsz. [Hz] A tábáztbn gyűrűirányú huámszámot, rezgési o gyűrűirányú csomóvonin számát jeenti. Az ANSYS mode (.3.. ábr) 00 db nyoccsomópontos she93 típusú eemet trtmzott. A mode z ANSYS 0-es verziójáv észüt..3.. ábr: Az ANSYS mode. Az.3.3. ábr szerinti forgásprbooid-héj nitius úton számított rezgési sjátértéeit z.3.3-b tábáztbn, sjátörfrevenciáit z.3.3d-e tábáztbn fogtm össze. 3

33 .3.3 tábázt: Forgásprbooid-héj α, sjátértéei ( mm vstgság) i i i i i.7.7 i b tábázt: Forgásprbooid-héj α, sjátértéei ( mm vstgság) i i.. i.0.0 i i c tábázt: Forgásprbooid-héj α, sjátértéei (0 mm vstgság) i i i i i d tábázt: Forgásprbooid-héj ω, sjátörfrevenciái [Hz] ( mm vstgság) e tábázt: Forgásprbooid-héj ω, sjátörfrevenciái [Hz] ( mm vstgság) f tábázt: Forgásprbooid-héj ω, sjátörfrevenciái [Hz] (0 mm vstgság)