Matematika szigorlat javítókulcs, Mérnök informatikus szak I jan. 10.

Átírás

1 Matematia sigorlat javítóulcs, Mérnö informatius sa I. 0. jan. 0. A elérhető ontsám 40 (elmélet) + 60 (feladato) ont. A elégségeshe mindét résből el ell érni a ontsám legalább 50%-át! 0-49 ont: elégtelen, 50-6 ont: elégséges, 6-7 ont: öees, ont: jó, ont: jeles ELMÉLET. Mit értün ét vetor vetoriális soratán? ogyan határou meg a vetoriális soratot, ha ismerjü a ét vetor oordinátáit?. Mior neveün egy n db vetorból álló rendsert lineárisan függetlenne? Mutasson egy éldát! ont ont. ogyan definiálju a mátrix rangját? ogyan határou meg? ont 4. Mit mond i a Cramer-sabály? ont 5. Definiálja a f valós-valós függvény x 0 R helyen vett differenciálhatóságána fogalmát! ont 6. Milyen acsolat van egy egyváltoós függvény adott ontbeli folytonossága és differenciálhatósága öött? 7. Írja fel a sétválastható váltoójú differenciálegyenlet általános alaját! Mutasson a ilyen fajta differenciálegyenletre egy onrét éldát is! ont ont 8. Létei-e a x ln x függvényne MacLaurin-sora? Miért igen/nem? ont 9. Döntse el a öveteő állításoról, hogy igaa-e vagy hamisa! a) A háromdimeniós tér egyeneseine halmaán értelmeett merőlegesség evivalencia reláció. b) A n elemet tartalmaó halma hatványhalmaána elemsáma n. I c) Létei olyan -reguláris gráf, amelyne négy csúcsa van. I d) a egy numerius sor tagjaina absolút értée a 0-ho tart, aor a sor onvergens. e) A elsőrendű, homogén, lineáris differenciálegyenlete sétválastható váltoójúa. f) a egy valós-valós függvény integrálható a [a, b] intervallumon, aor létei een a intervallumon értelmeett rimitív függvénye. I g) n elem -ad ostályú ombinációina sáma evesebb, mint a -ad ostályú variációina sáma, ha n. h) a C, aor lim n n =. I Válasát a is négyetbe írt I vagy betűvel jelee! Válasait indoolja! Indolás nélüli válasra ont nem adható!

2 FELADATOK. f (x)=ln ( x x+ a) atároa meg a valós sámo halmaána at a legbővebb réshalmaát, amelyen a f függvény értelmeett és valós értéeet ves fel! D f =] ; 0[ ]0; [. ) 4 ont b) Visgálja meg a f függvényt monotonitás semontjából! 6 ont f (x)= x+ x(x+) A deriváltfüggvény a ] ; 0[ intervallumban negatív, tehát f een a intervallumon sigorúan monoton csöen. A ]0; [ intervallumon f oitív, eért itt f sigorúan monoton növeedő. c) Sámítsa i f érushelyeit! ont x, = ± 5 (x, 6, x 0, 6).. Legyen a S sí egyenlete 6x+6y+7=0, a e egyenes araméteres egyenletrendsere x=+t, y=+4t, = 6t. a) Igaolja, hogy a e egyenes árhuamos a S síal! ont S normálvetora n(6; 6; 7), e irányvetora v(; 4; 6). Ee saláris sorata n v=0, így n v, tehát e S. b) Sámítsa i a S sí és a e egyenes távolságát! 5 ont Mivel e S, e bármely ontjána távolsága S-től megegyei a egyenes és sí távolságával. P 0 (,, ) a e egyenes egy ontja. A P 0 onton áthaladó, S-re merőleges egyenes araméteres egyenletrendsere x = + 6t, y = + 6t, = + 7t, amit a sí egyenletébe helyettesítve és rendeve a t = össefüggéshe jutun. Ebből x= 6=, y= 6= 4 és = 7=6, aa a merőleges és a sí metsésontja T(, 4, 6). P 0 (és így a e egyenes) távolsága a sítól P 0 T= ( ( )) + ( ( 4)) + ( 6) = =. c) Írja fel a S síra való merőleges vetítés mint lineáris transformáció mátrixát! 6 ont A báisvetoro merőleges vetületeit l. a előő ontban látott módserrel határohatju meg: ϕ 0 = ϕ = ϕ 0 = A transformáció mátrixa tehát: T=

3 . y = e y (x 4) a) atároa meg a fenti differenciálegyenlet általános megoldását! 4 ont A váltoó sétválastása és integrálás után: e y = x 4x+C, ahonnan y=ln(x 4x+C). b) Adja meg a y(5)=0edeti feltételhe tartoó artiuláris megoldást! ont Behelyettesítve e 0 = 5 0+C, így C= 4, aa y = ln(x 4x 4). c) Van-e a y + ey = x x + 4x+ differenciálegyenletne a a) ontban x 4 megoldott differenciálegyenlettel öös megoldása? elyettesítsü be a differenciálegyenletbe a orábbi differenciálegyenlet általános megoldását! Besorás és rendeés után (8 + C)x = + C adódi, ami C = 4 esetén iga. Tehát a b) ontban isámított artiuláris megoldás öös megoldása a ét differenciálegyenletne. ( ) 4. a) Konvergens-e a numerius sor? = n Mivel lim n értelmében onvergens. b) Sámítsa i a ( 6 = ( n n onvergens, indoolja, hogy miért nem! ) n n = lim n n = <, a sor a györitérium ) numerius sor össegét, ha a sor onvergens! a a sor nem A sor q= 6 hányadosú mértani sor. q <eért onvergens. A sor össege: s= a 6 q = = c) Értelmeün a valós, onvergens numerius soro halmaán a R relációt úgy, hogy ét sor aor és csa aor van relációban, ha össegü megegyei. Relációban van-e a = (+) és a =( ) sor? Igen, mert mindét sor össege. d) Evivalencia-reláció-e a előő ontban értelmeett R reláció? ont Igen, mert homogén, bináris, reflexiv, simmetrius és tranitív. 5. A öveteő ábrán a Dürer gráfot láthatju: 5 ont 4 ont ont

4 a) Létei-e a gráfna (nyílt vagy árt) Euler bejárása? Egyi sem létei, mivel áratlan foú csúcsain sáma több mint (mind a csúcs áratlan foú). b) Reguláris-e a gráf? Mivel minden csúcs fosáma, eért a gráf -reguláris. c) atároa meg a gráf romatius sámát! 5 ont A romatius sám legalább három, mert l. a 6,8,0 sorsámú onto öött nem fordulhat elő aonos sínű. árom sínnel a gráf ontjai isínehető, így a romatius sám ontosan :

5 Matematia sigorlat javítóulcs, Mérnö informatius sa I. 0. jan. 9. A elérhető ontsám 40 (elmélet) + 60 (feladato) ont. A elégségeshe mindét résből el ell érni a ontsám legalább 50%-át! 0-49 ont: elégtelen, 50-6 ont: elégséges, 6-7 ont: öees, ont: jó, ont: jeles ELMÉLET. Mit neveün a omlex sámo algebrai alajána? Magyaráa meg a jelöléseit! Írjon éldát algebrai alaban megadott omlex sámra! ont. Definiálja a f valós-valós függvény x 0 helyen vett folytonosságát! ont. Definiálja a f valós-valós függvény x 0 helyen vett differenciálhatóságát! ont 4. Mit mond i a Rolle-tétel? ont 5. Definiálja a bináris reláció fogalmát! ont 6. Mondjon éldát evivalencia-relációra! Magyaráa meg, hogy a élda miért helyes! ont 7. ogyan lehet egy lineáris egyenletrendsert inver mátrix módserrel megoldani? Mi a módser alalmaásána feltétele? 8. Írja fel a sétválastható váltoójú differenciálegyenlet általános alaját! Adjon meg egy onrét éldát is ilyen tíusú differenciálegyenletre! ont ont 9. Döntse el a öveteő állításoról, hogy igaa-e vagy hamisa! a) n elem -ad ostályú, ismétlés nélüli variációina sáma nagyobb vagy egyenlő a -ad ostályú, ismétlés nélüli ombinációina sámánál. I b) Két diagonálmátrix sorata (ha létei), sintén diagonálmátrix. I c) Létei olyan -reguláris gráf, amelyne öt csúcsa van. d) a egy numerius sor tagjaina absolút értée a 0-ho tart, aor a sor onvergens. e) a egy étváltoós valós függvény mindét váltoója serint arciálisan differenciálható a P 0 ontban, aor ott folytonos is. f) a egy valós-valós függvény Riemann-értelemben integrálható a [a, b] intervallumon, aor létei een a intervallumon értelmeett rimitív függvénye. g) a a f valós-valós függvényne létei és onvergens a [a; + [ intervallumon vett imrorius integrálja, aor lim x + f (x)=0 h) a egy vetorrendser lineárisan össefüggő, aor bármely vetora ifejehető a többi lineáris ombinációjaént. I Válasát a is négyetbe írt I vagy betűvel jelee! Válasait indoolja! Indolás nélüli válasra ont nem adható!

6 FELADATOK. f (x)= x+4 5 x a) atároa meg a valós sámo halmaána at a legbővebb réshalmaát, amelyen a f függvény értelmeett és valós értéeet ves fel! D f = [ ; 5[. 4 ont b) Bionyítsa be, hogy a f függvény sigorúan monoton növeedő! 6 ont f (x)= 7 (x 5) x+ 5 x csa oitív értéeet ves fel a ] ; 5[ intervallumon és f folytonos a [ ; 5[ intervallumon, amiből a sigorú monoton növeedés övetei. c) atároa meg a f függvény értéésletét! ont Mivel f folytonos, f ( ) = 0, f sigorúan monoton nő és lim f (x)=+, eért R f= [0;+ [. x 5. a = a = 4 a = b= a) Írja fel at a mátrixot, amellyel a [a a a ] mátrixot jobbról megsorova a [a a a ] mátrixot aju eredményül! b) Kifejehető-e a b vetor a a, a, a vetoro lineáris ombinációjaént? a igen fejee i a össes lehetséges módon! a a a b a a b a b a e/ a e/ e Tehát b=( t)a + (t 9)a + ta, ahol t R. c) Legyen egy térbeli lineáris transformáció mátrixa [a a a ]! Mutassa meg, hogy a transformáció egyi sajátértée 0, és határoa meg a ehhe tartoó sajátvetoroat! Mivel det ( [a a a ] ) = 0, a transformáció egyi sajátértée 0. A előő ontbeli báistransformáció alaján a hoá tartoó sajátvetoro: [ t t t], ahol t R\{0}. ont 5 ont 6 ont

7 . a) atároa meg a f (x; y)= x x + y étváltoós függvény elsőrendű arciális 4 ont deriváltjait a P 0 ( 4; ) ontban! f x (P y 0)= = 9 (x + y ) x= 4 5 = 0, 07 f y (P xy 0)= = = 0, 096 y= (x + y ) x= 4 5 y= xy b) Sámítsa i a f (x; y)= étváltoós függvény ettős integrálját a x + y T= { (x, y) x, y } tartományon! T f (x; y) dt= = y ( (x + y ) x ) dx dy= ( (4+ y ) y (+ y ) y ) dy= (4+ y ) ( [(x ] + y ) ) y dy= (+ y ) = =, 4. a) Döntse el, hogy a ( ) numerius sor onvergens-e és ha igen sámítsa i a = e sor össegét! E a sor egy mértani sor, melyne hányadosa q= 0, 58. Mivel e e q <, eért a sor onvergens, össege s= =, 9 e e b) atároa meg a ( ) x függvénysor onvergenciatartományát és össegfüggvényét! = x+ x A sor q= x+ hányadosú mértani sor. q = x <megoldásá- x+ val aju, hogy a onvergenciatartomány ] ; [ ] ;+ [. A össegfüggvény: S(x) = = x x+ x x+ x x+ c) Formaliálja a öveteő ijelentést a rediátumlogia esöeivel: a egy oitív tagú numerius sor egy majoráns sora onvergens, aor a eredeti sor is onvergens. 6 ont 4 ont 6 ont 4 ont

8 asnálju a öveteő jelöléseet: Nx: x numerius sor. Px: x oitív tagú. Kx: x onvergens. Mxy: x majoránsa y-na. x (( Nx Px y ( Ny Myx Ky )) Kx ) 5. Teintsü a ábrán látható G gráfot: a) Létei-e a gráfna Euler bejárása? a van adjon meg egy ilyen bejárást, ha nincs, magyaráa meg, hogy miért nem lehet. Mivel a gráf össefüggő és minden csúcsána fosáma áros, létei árt Euler-bejárása. Egy ilyen bejárás látható a öveteő ábrán: 5 ont b) Mennyi a gráf romatius sáma? 4 ont Kettő, mivel isínehető a csúcso ét sínnel úgy, hogy a somsédos csúcso ülönböő sínűe (egy sín nyilvánvalóan nem elég):

9 Matematia sigorlat javítóulcs, Mérnö informatius sa I. 0. jún. 4. A elérhető ontsám 40 (elmélet) + 60 (feladato) ont. A elégségeshe mindét résből el ell érni a ontsám legalább 50%-át! 0-49 ont: elégtelen, 50-6 ont: elégséges, 6-7 ont: öees, ont: jó, ont: jeles ELMÉLET. ogyan definiálja a báis fogalmát lineáris térben? ont. Mondjon éldát lineáris transformációra egy háromdimeniós lineáris térben! ont. Mit értün egy lineáris transformáció sajátvetorán, illetve sajátétéén? ont 4. Milyen mátrixoat neveün diagonálmátrixna? Mely diagonálmátrixo determinánsa 0? ont 5. Definiálja a f valós-valós függvény x 0 -beli differenciálhányadosána fogalmát! ont 6. Mondjon egy elégséges feltételt a f valós-valós függvény adott [a, b] intervallumon vett integrálhatóságára! Mutasson éldát, ahol e a feltétel teljesül! ont 7. Mit mond i a Newton-Leibni sabály? ont 8. Mit neveün sétválastható váltoójú differenciálegyenletne? Mutasson éldát is! ont 9. Döntse el a öveteő állításoról, hogy igaa-e vagy hamisa! a) a egy homogén, bináris reláció antisimmetrius és tranitív, aor arciális rendeési reláció. b) Két diagonálmátrix sorata (ha létei), sintén diagonálmátrix. I c) Létei olyan egyserű gráf, amelyne n> csúcsa van és minden csúcs fosáma ülönböő. d) a egy numerius sor tagjaina absolút értée a 0-ho tart, aor a sor onvergens. e) a egy étváltoós valós függvény folytonos a P 0 ontban, aor ott mindét váltoója serint arciálisan differenciálható is. f) Egy n elemű halma (ismétlés nélüli) variációina sámát a (ismétlés nélüli) ombinációina sámával ostva egés sámot aun eredményül. g) a a f valós-valós függvény folytonos a x 0 helyen, aor létei x 0 -ban véges határértée. h) A f (x) = x valós-valós függvény hatványsorba fejthető a x 0 = 0 hely örül. I I Válasát a is négyetbe írt I vagy betűvel jelee! Válasait indoolja! Indolás nélüli válasra ont nem adható!

10 FELADATOK. f (x)=(x ) ln(x) a) atároa meg a valós sámo halmaána at a legbővebb réshalmaát, amelyen a f függvény értelmeett és valós értéeet ves fel! D f =]0;+ [. b) atároa meg f első deriváltfüggvényét! ont f (x)= x + ln(x). x c) Mutasa meg, hogy f () = 0 és a deriváltfüggvény x > -re oitív, x < -re negatív értéeet ves fel. Visgálja enne alaján a f függvény monotonitását! f ()=0behelyettesítéssel ellenőrihető, x>esetén x is és ln(x) is x oitív, így a össegü is oitív, x< esetén hasonlóan oosodhatun. x ]0; [ ]; + [ f 0 + f ց min. ր 0 d) Bionyítsa be, hogy a függvény sigorúan onvex! ont f (x)= x+ x minden x>0 valós sámra oitív, így f a teljes értelmeési tartományán sigorúan onvex.. y 7y + 0y=0x 6x + x 40 5 ont a) atároa meg a differenciálegyenlethe rendelt homogén differenciálegyenlet általános megoldását! Aλ 7λ+0=0 arateristius egyenlet gyöei:λ = ésλ = 5. A differenciálegyenlet általános megoldása: y=c e x + C e 5x b) Értelmeün a homogén differenciálegyenlet megoldásaina halmaán egy S bináris relációt a öveteőéen: y Sy osan aor, ha y () y (). Iga-e, hogy S arciális rendeési reláció? Nem, mert a reláció nem antisimmetrius, ugyanis ha y Sy és y Sy, abból csa y () = y () övetei, de ettől y = y nem feltétlenül teljesül. Pl. y = e x + e 5x és y = e e x + e 5x esetén y e ()= y (), de y y. ont 5 ont c) Oldja meg a fenti (inhomogén) differenciálegyenletet! 6 ont A róbafüggvény y = Ax + Bx + Cx+D. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: 0Ax Ax + 0Bx + 6Ax 4Bx+0Cx+B 7C+0D= = 0x 6x + x 40 A =, A+0B = 6 B = 4, 6A 4B+0C = C = 6, B 7C+0D= 40 D= 9, tehát y = x 4x + 6x 9, aa a inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása: y=c e x + C e 5x + x 4x + 6x 9.

11 . Legyen a olyan -as mátrixo halmaa, amelye minden eleme a 0,,, sámo valamelyie. a) ány eleme van a halmana? ont =4 9 = 644 b) A halma hány eleme diagonálmátrix? ont 4 = 64 c) ány olyan eleme van a halmana, amelyne mindhárom sorában a eleme monoton növeedve öveti egymást? Egy sort C (i) =( 6 4, ) = 0-féleéen tölthetün i a feltételne megfelelően. (Ki ell válastani elemet a négy öül úgy, hogy a ismétlés megengedett és nem sámít a sorrend, hisen a iválastott elemeet növevő sorrendben írju be a megfelelő sorba.) Mivel mindhárom sor 0-féleéen tölthető i a érdéses mátrixo sáma 0 = f (x, y)= ln(4 x y ) xy 6 ont a) Legyen a fenti f étváltoós valós függvény D f értelmeési tartománya a rendeett valós sámáro lehető legbővebb halmaa úgy, hogy a függvény D f minden ontjában valós értéet vegyen fel. Ábráolja a D f halmat a xy oordinátarendserben! y x Mivel csa oitív sám logaritmusát értelmetü, eért x + y < 4, amine egy origó öéontú, cm sugarú nyílt örla felelne meg, de ebből i ell hagyni a x, illetve y tengelyen fevő ét átmérőt, hisen a neveő nem lehet 0. 4 ont b) Sámítsa i a f függvény elsőrendű arciális deriváltjait a P 0 (, ) ontban! 4 ont f x = (x + y 4)y ln(4 x y ) f x y x = ln(), 69 P0 f y = (x + y 4)x ln(4 x y ) f xy y = ln(), 69 P0 c) Sámítsa i a f függvény 45 -os söghö tartoó iránymenti deriváltját a P 0 (, ) ontban! f π 4 (P 0 )= f x (P 0) cos(45 )+ f y (P 0) sin(45 )= ln() =, 9 5. Teintsü a ábrán látható G gráfot: 4 ont

12 a) Létei-e a gráfna Euler-bejárása? a van adjon meg egy ilyen bejárást, ha nincs, magyaráa meg, hogy miért nem lehet. Mivel a gráf össefüggő és minden csúcsána fosáma áros, létei árt Euler-bejárása. Egy ilyen bejárás látható a öveteő ábrán: 5 ont b) Mennyi a gráf romatius sáma? 4 ont Legalább három, hisen vanna benne három hossúságú örö. A alábbi ábra serint három sín valóban elegendő, a síneéshe, tehátχ (G)=.