XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 2015 Miskolc, augusztus
|
|
- Sarolta Bogdán
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 25 Miskolc, 25. auusztus KÉT PONTON GÖRDÜLŐ GOLYÓ NEM-FOLYTONOS DINAMIKÁJA Antali Máté, Stépán Gábo 2,2 Budapesti Műszaki és Gazdasátudományi Eyetem, Műszaki Mechanikai Tanszék Budapest, Műeyetem kp. 5. Absztakt: Ey olyan mechanikai modellt vizsálunk, melyben ey henees edény kököös mozatásával hozunk mozásba ey olyót. A olyó és az edény két pontban éintkezhet, és mindkét pontban többféle viselkedés is előfodulhat (ödülés, csúszás, elválás), ami ey összetett, nemfolytonos dinamikai endszehez vezet. A lefontosabb esetekben mekeessük a stacionáius mozásokat és mehatáozzuk azok stabilitását. Mevizsáluk továbbá az stacionáius meoldások léteöttének feltételeit, és a különféle stacionáius mozások kapcsolódásait a eesztés paaméteeinek hatásáa. A kapott átalakulások ey észe mefeleltethető a szakiodalomban található nem-folytonos bifukációknak, de találunk olyan különlees bifukációt is, melye nincs utalás a szakiodalomban. Az eedmények seítik a szezők által koábban vizsált olyós áamlásméő dinamikáának mélyebb meétését. A választott mechanikai modell alapán később létehozható kíséleti beendezés, ami lehetőséet ad az eedmények ellenőzésée. Kulcsszavak: kétpontos ödülés, öldülő olyó, nem-folytonos dinamika, nem-folytonos bifukáció. BEVEZETÉS Az elmúlt évtizedekben több olyan szabadalom is született folyadék téfoatáamának méésée, melyben az áamlás ey folyadékba helyezett olyót hat me ey henees edény fala mentén [, 2]. Amint a szezők koábbi munkáukban kimutatták [3, 4], a olyó és az edény közötti kapcsolat nem-folytonos ellee miatt a dinamika különlees bifukációkat tatalmaz. A folyadék és olyó kölcsönhatásának paaméteei azonban bizonytalanok, íy az eedmények kíséleti ellenőzése nehézkes. Jelen tanulmányban ey az. ábán látható mechanikai endszet vizsálunk, mely hasonló felépítésű a olyós áamlásméőhöz, azonban a olyót folyadék helyett az edény mozatásával hozzuk mozásba. Ezen endsze alkalmas aa, hoy a kapott analitikus eedményeket később kíséleti úton kapott eedményekkel vessük össze, melyből közvetetten ellenőizhetők a olyós áamlásméőe kapott eedmények is. 2. MECHANIKAI MODELL A olyó mozását az edényhez özített vonatkoztatási endszeben íuk le, ami az edény mozatása miatt nem ineciaendsze. Az edényt úy mozatuk köbe, hoy szösebessée minden pillanatban nulla és minden ponta e suaú pályán, ω e naysáú sebesséel mozo. A továbbiakban ω -t a eesztés köfekvenciáának, e-t pedi a eesztés amplitúdóának nevezzük. A eesztés a mozó vonatkoztatási endsze minden pontában eyfomán fellépő, ωe 2 naysáú szállító yosulással vehető fiyelembe. Ezen szállító yosulás iányát ellemezzük ey b eysévektoal, mely ω szösebesséel foo a füőlees tenely köül. A számítások eyszeűsítése édekében a vektookat ey i,, k otonomált bázisvektookkal ellemzett foó koodináta-endszeben aduk me. Az i bázisvekto a olyó C középpontából adiálisan befelé mutat, a bázisvekto az edény szimmetiatenelyéhez kötött, mí a k bázisvekto a k := i keesztszozásból adódóan tanenciális iányú. A foó koodináta-endsze szösebessée leyen ω c (t) := ω c (t). Az ω c és a. táblázatban szeeplő többi változó t időtől való füését a továbbiakban csak akko elölük, ha az a meétéshez szüksées. A olyó szöhelyzetét a eesztés iányához képest képest ey szöel adhatuk me, melyen az i eysévekto b-vel bezát szöét étük. A szö előelét úy definiáluk, hoy = ω c ω telesülön, íy azt feezi ki, hoy a olyó mennyit siet a eesztéshez képest. A olyó C középpontának helye, sebessée és yosulása felíható, mint OC := x R + y, v C := ṙ OC + ω c OC = v x v y ω c (R x), ()
2 R + b ω edeny = y B C A m, x O i µ i k ω e e. ába. A mechanikai modell. A bal oldali ábán az edény és a olyó látható füőlees metszetben. A obb oldali ábán a eesztés fiyelhető me felülnézetben: az edényt úy mozatuk vízszintes síkban, hoy szösebessée (ω edeny ) zéus leyen és minden ponta ey e suaú köpályán mozoon ω e naysáú sebesséel. Jelölés Mennyisé Métékeysé x adiális elmozdulás m y axiális elmozdulás m keületi szöhelyzet a eesztéshez képest v x adiális sebessé m/s v y axiális sebessé m/s ω c olyó középponta által kielölt foó koodináta-endsze szösebessée /s ω x adiális csúszási szösebessé /s ω y axiális csúszási szösebessé /s ω z tanenciális csúszási szösebessé /s. táblázat. A olyó állapotának leíásához szüksées változók. Ey tébeli meev test helyzetét és sebesséállapotát 2 változóval lehetne leíni, most azonban csak 9 változóa van szükséünk, mivel a olyót saát középponta köül való elfoatása nem befolyásola a dinamikát. a C := v C + ω c v C = v x + ωc 2 (R x) v y, (2) ω c (R x) 2 ω c v x ahol a olyó suaa, R + az edény belső suaa, x(t) és y(t) a olyó elmozdulása adiális és axiális iányban, v x := ẋ és v y := ẏ pedi a hozzáuk tatozó adiális és axiális sebesséek. A diffeenciálásko fiyelembe kell vennünk a foó koodináta-endsze hatását, és hoy az edényhez özített vonatkoztatási endszeben v O =. A olyó szösebesséét és szöyosulását az alábbi alakban íhatuk fel: ω := R x ω c + ω x ω c + ω y R x (v y v x ) + ω z, ε = ω + ω c ω = R x ω c + ω x + ω c(v y 2v x ) + ω c ω z R x ω c + ω y + ω cv x ( v y v x ) + ω z R x ωc 2 ω c ω x, (3) ahol ω x (t), ω y (t) és ω z (t) a olyó csúszási szösebesséei. A változók ezen választása és elnevezése indokolható, ha kiszámítuk a olyó A lealsó és B lekülső pontainak sebesséét, ω z + v y v x v A := v C + ω CA = v y, v B := v C + ω CB = ω z + v x, (4) ω x ω y ahol CA := és CB := i. Amennyiben a olyó tatósan hozzáé az edény alához (v y = ) illetve a falához (v x = ), akko v A illetve v B az éintkezési pontok csúszási sebesséét adák me, melyek ekko tisztán a mefelelő csúszási szösebesséekkel íhatóak le. Az A vay B pontban az edényől a olyóa ható, eyelőe ismeetlen koncentált eőket F A -val illetve F B -vel elölük, mí a avitációs eő és a mozó vonatkoztatási endszeből adódó szállító eő eedőét a C pontban ható
3 F C eővel vesszük fiyelembe, A x B x mωe 2 cos F A := A y, F B := B y, F C := m mωeb 2 = m. (5) A z B z mωe 2 sin A olyó tehetetlenséi nyomatéka felíható J := m 2 I alakban, ahol a dimenziótlan tehetetlenséi nyomaték ( = 2/5 homoén olyóa), I pedi az eysémátix. A definiált mennyiséekkel felíható a dinamika alaptétele a olyóa, { F A + F B + F C = ma C CA F A + CB F B = m 2 (6) ε. Ennek kifetésével és átendezésével kapuk: A x + B x = m v x + mωc 2 (R x) + mωe 2 cos, A y + B y = m v y + m, A z + B z = m ω c (R x) 2mω c v x + mωe 2 sin, A z = m ( R x ω c + ω x + ω ) c(v y 2v x ) + ω c ω z, B z = m ( R x ω c + ω y + ω ) cv x, A x B y = m ( ( v ) y v x ) + ω z R x ωc 2 ω c ω x, melyből kifeezhetők a v x, v y, ω c, ω x, ω y, ω z változók deiváltai: v x = m (A x + B x ) ωc 2 (R x) ωe 2 cos, v y = m (A y + B y ), ω c = m(r x) (A z + B z ) + 2 R x ω cv x ω 2 e R x sin, ( ) ω x = + m A z + B z ω cv y ω c ω z + ω 2 e sin, ( ) ω y = m A z + + B z + ω cv x ω 2 e sin, ( ) ω z = + m A x + B x A y + B y + + ω c ω x ω 2 e cos. Ezen 6 változót a endsze kvázi-sebesséeinek tekinthetük ([5], 27. oldal), hiszen eyételműen leíák a olyó mozásállapotát. A ömbszimmetia miatt a olyó oientációával nem szüksées folalkoznunk, íy a olyó eometiai helyzete 3 általános koodinátával eyételműen meadható (x, y, ), és ezen koodináták deiváltai a má koábban bemutatott ẋ = v x ẏ = v y (9) = ω c ω összefüésekkel adódnak. A (8)-(9) eyenletendszeben eyelőe mé ismeetlenként szeepelnek az A és B pontokban fellépő eőkomponensek. A hiányzó eyenleteket a olyó és az edény kapcsolatától füően adhatuk me. Az A és B pontokban háomféle állapot lehetsées: a olyó ödülhet, mecsúszhat az edény felületén vay elválhat tőle. Gödülés esetén a (4) eyenletben szeeplő mefelelő éintkezési pont sebessée nulla, csúszás esetén eyszeű Coulomb-tövényt feltételezünk µ súlódási tényezővel, elválás esetén pedi nem lép fel eő. Ezek fiyelembe vételével az A pont esetée a következő összefüések adódnak: ödülésko: ω x =, ω z =, y = ; ω csúszásko: A x = µa z ω y, A ω 2 z = µa x y, y = ; () x + ω z ω 2 2 x + ω z 2 elválásko: A x =, A y =, A z =. A B ponta hasonló eyenleteket kapunk: ödülésko: ω y =, ω z =, x = ; csúszásko: B y = µb x ω z ω 2 y + ω 2 z, B z = µb x ω y ω 2 y + ω 2 z, x = ; () elválásko: B x =, B y =, B z =. (7) (8)
4 Ezek a feltételek időben folyamatosan fennállnak, íy például ω x = alatt pontosabban a ω x feltételt étük. Mivel az A és B pontokban eyaánt háomféle különféle viselkedés fodulhat elő, a ()-() eyenletekből a 9 különböző esetben közvetlenül vay közvetetten kiszámíthatók a kontakteők, íy a (8)-(9) eyenletek ey elsőendű közönsées diffeenciáleyenletet adnak. Ez alól kivétel az az eset, amiko mindkét pontban ödülés áll fenn: ekko bá mekapható a diffeenciáleyenlet-endsze, az F A és F B eyes komponenseit nem tuduk mehatáozni. Ezt az okozza, hoy a () és () eyenletek ödülési esetekben évényes soai nem füetlenek. A fentiek mellett mé fiyelembe kell vennünk az elválásból és a mecsúszásból adódó kolátokat. Mivel a olyó és az edény között csak nyomó iányú eő lehetsées, ezét ödülés és csúszás esetén fenn kell állnia a A y illetve B x (2) feltételeknek az adott pontban, különben a olyó elválik az edény falától. Az eyszeű Coulumb-tövény miatt ödülésko telesülnie kell a A 2 x + A 2 z µa y illetve By 2 + Bz 2 µb x (3) feltételnek, különben a olyó mecsúszik az adott pontban. A következő pontokban az eyes esetekben kapott diffeenciáleyenletek stacionáius helyzeteivel folalkozunk, melyeket mechanikai szempontból stacionáius mozásoknak nevezünk. 3. STACIONÁRIUS MOZGÁSOK AZ EDÉNY FALÁN GÖRDÜLÉSKOR Tekintsük előszö azt az esetet, amiko a olyó ödül az edény falán, viszont nem é hozzá az edény alához. Ekko a () és () feltételek közül a mefelelő sookat kiválasztva (8)-(9) fiyelembe vételével az B x = mω 2 c R + mω 2 e cos, B y = mrω 2 c + mω c ω x, B z = + meω2 sin (4) összefüéseket kapuk. Ha az azonosan nulla változókat leválasztuk, a endsze állapota ey U = R 5 fázistében íható le. Ennek eleme az U u := (v y, ω c, ω x, y, ) állapotvekto, melye a következő diffeenciáleyenlet adódik: v y = + Rω2 c + + ω c ω x + ω c = + e R ω2 sin ω x = + e ω2 sin ω cv y (5) ẏ = v y = ω c ω. A endsze általános ételemben konzevatív, a E u (u) := 2 m (( + ) ( v 2 y + (ω c ω ) 2 R 2) + ( ω x + Rω c ) 2) + my merω 2 cos (6) mennyisé uyanis időben állandó (Ėu ). Az első ta a mozási eneiával van kapcsolatban, a második a avitációs potenciál, a hamadik pedi a eesztésből adódó potenciál. Ha mekeessük (5) stacionáius mozásait, a meoldások két családát kapuk: v y ω c ω x y ω ω R ω y =: u, v y ω c ω x y ω ω R ω y =: u 2, (7) π mindkét esetben y tetszőleesen választható nemneatív állandó, mely azt feezi ki, hoy milyen maasa emelkedett a olyó az edény alához képest. A u meoldás esetén = azt elenti, hoy a olyó a keület mentén a eesztés iányában helyezkedik el. Mí a u 2 meoldásnál = π azt elzi, hoy ekko a olyó a eesztéssel átellenes iányban helyezkedik el. Ha lineaizáluk a (5) eyenletet a u meoldás köül, a + ω + + Rω + ω + u = e ω + e ω2 ω2 (u u ) + O 2 (u u ) (8)
5 endszet kapuk, ahol O 2 elzi a nemlineáis taokat. Számítsuk ki az eyütthatómátix λ saátétékeit, λ,2 = ±iα = ±iω + e R, λ 3,4 = ±iα 2 = ±iω +, λ 5 =. (9) A λ 5 = saátétékhez az y koodináta iányába mutató saátvekto tatozik, mivel u nem eyetlen izolált stacionáius mozást, hanem stacionáius mozások ey családát elenti, melyek csak y koodinátában tének el eymástól. Mivel a endsze konzevatív, a két tisztán képzetes yökpá elzi, hoy az eyensúlyi helyzet kis mezavaásáa a endsze kvázi-peiodikus ezéssel válaszol. Mefiyelhető, hoy a ezés α saát-köfekvenciáa fü a eesztés e amplitúdóától is, mí az α 2 saát-köfekvencia az amplitúdótól füetlenül az ω eesztési saát-köfekvencia köülbelül.53-szoosa (homoén olyó esetén). Ha a (5) eyenletet az u meoldás köül lineaizáluk, a + ω + + Rω + ω + u = e ω2 ω + e ω2 (u u 2) + O 2 (u u 2 ) (2) endsze adódik, ahol a mátix saátétékei λ,2 = ±ω + e R, λ 3,4 = ±iα 2 = ±iω +, λ 5 =. (2) A különbsé az előző (9) esethez képest az, hoy a λ,2 saátétékek valósak, melyek közül az eyik pozitív, íy az u 2 stacionáius mozások instabilak. Vayis a falon való stacionáius ödülést yakolatban csak a eesztés iányában ( = ) lehet létehozni. Vizsáluk me, hoy a (7) stacionáius meoldások milyen feltételek mellett valósulhatnak me. A (2) feltételből azt kapuk, hoy az u meoldások mindi a falon maadnak, mí az u 2 mozások esetén bekövetkezik a faltól való elválás, ha e > R. A (3) feltételből pedi azt kapuk, hoy az u és u 2 meoldások esetén akko következik be mecsúszás, ha ω < µ(r+e) illetve ω < µ(r e). Vayis ha a eesztés fekvenciáa nem elé nay, akko a olyó mecsúszik a falon, a stacionáius ödülő mozás nem alakul ki. 4. STACIONÁRIUS MOZGÁSOK AZ EDÉNY ALJÁN GÖRDÜLÉSKOR Tekintsük most azt az esetet, amiko a olyó ödül az edény alán, de nem é hozzá az edény falához. Ekko a (8)-() összefüésekből az ismeetlen eőkomponenseke az A x = + meω2 cos, A y = m, A z = + meω2 sin (22) kifeezések adódnak. Az azonosan nulla változók leválasztása után ey W = R 5 fázisté adódik, melynek ey pontát a W w := (v x, ω c, ω y, x, ) vekto ía le. A kapott diffeenciáleyenlet a v x = ωc 2 (R x) + eω2 cos ω c = 2 R x ω cv x + e R x ω2 sin ω y = ω cv x + e ω2 sin (23) ẋ = v x = ω c ω alakba íható. Ismét található általánosított eneiafüvény, E w (w) = 2 m (( + ) ( v 2 x + (ω c ω ) 2 (R x) 2) + ( ω y Rω c ) 2) a endsze konzevatív. A v x ω c ω y x = ω ω y R π + e m(r x)ω 2 ( ) e cos + ( + )(R x), (24) =: w, (25) stacionáius mozások eypaamétees családot alkotnak, ahol ω y tetszőleesen meválasztható. Vayis a stacionáius mozás léteöhet attól füetlenül, hoy a olyó milyen szösebesséel foo a füőlees tenely köül.
6 Viszont az edény fala miatt a x > feltételnek telesülnie kell, vayis a stacionáius mozás csak az e < ( + )R esetben létezik. A (23) eyenleteket a (25) stacionáius mozás köül lineaizálva a 2 + ω e ω 2 2 e ẇ = ( + )ω ω 2 ω + e ω2 (w w ) + O 2 (w w ) (26) endszet kapuk. A mátix saátétékei λ,2 = λ 3,4 = ±iω, λ 5 =. (27) A zéus saátétékhez az ω y iányú saátvekto tatozik, mely a stacionáius mozások eymáshoz képesti elhelyezkedését elzi. Ezen kívül eyetlen, kétszees multiplicitású tisztán képzetes yökpát kapunk, melyhez nem található a multiplicitásnak mefelelő számú saátvekto. Íy a stacionáius mozás instabilis. Ellenőizzük az (25) stacionáius meoldás létezését a (2)-(3) feltételek alapán. A (2) feltétel mindi telesül, a olyó nem emelkedik el az edény aláól. A (3) feltételből pedi az következik, hoy a olyó mecsúszik, ha ω > µ(+) e. 5. STACIONÁRIUS MOZGÁSOK KÉTPONTOS GÖRDÜLÉSKOR Abban az esetben, amiko a olyó két pontos ödülést véez, a kontakteők nem hatáozhatók me eyételműen, mivel az A és B pontokban felít ödülési feltételek nem füetlenek eymástól. A keületi iányú komponenseke az A z = B z = + 2 meω2 sin (28) összefüést kapuk, mí az A x, A y, B x, B y hatáozatlanok. Ennek ellenée a mozás mehatáozható: tekintsük a Q := U W = R 2 fázisteet mint a Q q := (ω c, ) állapotvektook teét. Ekko a dinamikát a { ω c = +2 e R ω2 sin, (29) = ω c ω diffeenciáleyenlet ía le. A endsze ismét konzevatív általános ételemben, a E q (q) := 2 m( + 2)(ω c ω ) 2 R 2 + merω 2 ( cos ) (3) eneiafüvény időben állandó. A stacionáius mozások [ ] [ ] ωc ω =: q, [ ] ωc [ ] ω =: q π 2. (3) A falon való ödülés (7) meoldásához hasonlóan a eesztés iányába eső ( = ) és ezzel szemközti iányba eső ( = π) stacionáius mozást is kapunk. Az előbbi esetben a [ q = +2 e ] R ω2 (q q ) + O 2 (q q ) (32) lineáis endszet kaphatuk, ahol az eyütthatómátix saátétékei λ,2 = ±iα = ±iω +2 e R. (33) Vayis a q stacionáius mozás a konzevativitás miatt neutálisan stabilis, állandó amplitúdóú ezések alakulnak ki. Édemes mefiyelni, hoy a kis ezések α köfekvenciáa alacsonyabb, mint a (9) esetben kapott α köfekvencia. A q 2 stacionáius mozás esetén a q = [ +2 e R ω2 ] (q q 2 ) + O 2 (q q 2 ) (34) lineáis endszet kapuk a λ,2 = ±ω +2 e R (35) saátétékekkel. A két valós yök közül az eyik pozitív, íy a q 2 stacionáius mozás instabilis. Kétpontos ödülés esetén a kontakteők nem hatáozhatók me, íy a (2)-(3) feltételek nem alkalmazhatók. Azonban a meoldások létezése vizsálható közvetlenül a dinamikából is. Ha a (3) stacionáius mozást olyan
7 ω x ω x w u q mecsúszás R ω q 2 mecsúszás µ(r+e) R ω µ(+) ω 2 R(+) e 2. ába. Bifukációs diaamok. A bal oldali ába azt a bifukációt mutata, ahol a kétpontos ödülés (eesztés iányába eső) q stacionáius meoldása és a falon való ödülés u mefelelő meoldása lép kapcsolatba. A obb oldali ábán az a bifukáció látható, ahol a kétpontos ödülés (eesztéssel ellentétes iányba eső) q 2 stacionáius meoldása és a talaon ödülés w stacionáius meoldása keül kapcsolatba. Az ábákon a folytonos vonal a mevalósuló, a szaatott vonal pedi a látszólaos meoldásokat elöli. zavaás éi, mely meszakíta a kapcsolatot a olyó és az edény ala között, akko a (5) eyenlet lép életbe. Helyettesítsük a (3) meoldásokat a (5) eyenlet első soába, íy mindkét esetben kapuk: v y = + Rω2 + (36) Ha v y <, akko a (5) vektomező visszalöki a olyót a kétpontos ödülés állapotába. Ez akko áll fenn, ha ω < R. Ha viszont v y >, akko a olyó felemelkedik az edény aláól, és tatósan kialakul a falon való ödülés. Ebben az esetben a kétpontos ödülés valóában nem tud kialakulni. Tekintsünk most ey olyan zavaást, mely az edény falával való kapcsolatot szünteti me, ekko a (23) eyenlet lép életbe. Helyettesítsük a (3) meoldásokat (5) első soába: v x = ωr 2 + eω2, (37) ahol a ± a q illetve q 2 meoldások esetén évényes. A (36) kifeezéshez hasonlóan azt feltételezhetük, hoy a kétpontos ödülés abban az esetben létezik, ha v x <, ekko a olyó nem válik el az edény falától. Ez a q meoldása mindi telesül, a q 2 meoldása viszont csak akko, ha e < ( + )R. Ha ezen feltétel nem telesül, akko a q 2 meoldás nem létezik, a olyó elválik az edény falától. Szüksé lenne mé annak vizsálatáa, hoy a olyó mecsúszhat-e eyik vay mindkét kontaktpontban. Ez az elváláshoz hasonlóan metehető közvetett módon, a endsze csúszási esetekben felít diffeenciáleyenleteinek vizsálatával. A számítás hosszadalmas, elen táyalásunkban nem téünk ki á. Fontos azonban meeyezni, hoy bizonyos paaméteétékek mellet a mecsúszás tovább szioíthata a kétpontos ödülés létezésének feltételét. Sőt, az ey- illetve kétpontos csúszás esetén is előfodulhatnak úabb stacionáius mozások (lásd [3], [4]) 6. A STACIONÁRIUS MOZGÁSOK BIFURKÁCIÓI A különféle stacionáius mozások létezésée kapott feltételek és a paaméteek nay száma miatt nem vállalkozunk a endsze bifukációinak átfoó bemutatásáa. Csupán két példát mutatunk aa, hoy a paaméteek változtatása esetén a endsze nem-folytonos viselkedése milyen ellebeli változást okoz a stacionáius mozásokban. A endszeben eyensúlyi helyzetek nem-folytonos bifukációi elennek me, melyek elméletét öviden [6, 7], átfoóan pedi [8] mutata be. Tekintsük előszö a µ > R R+e esetben a u és a q stacionáius mozásokat az ω eesztési köfekvencia változtatása közben. A stacionáius meoldás helyzetét az edény falán való pöés ω x := ω x + R ω c szösebesséével íuk le, mely a olyó (3) szösebesséének adiális iányú komponense. Az eedmények a 2 ába bal oldalán láthatóak. A folytonos vonalak a valódi stacionáius mozásokat elölik, mí a szaatott vonalak a látszólaos stacionáius mozásokat, ahol valamilyen feltétel lehetetlenné teszi a meoldás mevalósulását. Látható, hoy a eesztés ω köfekvenciáát növelve a q stacionáius meoldás ω x pöési sebessée aányosan növekszik. Eléve az ω = R étéket (fekete pont az ábán) a kétpontos ödülés a talatól való elválás miatt má nem öhet léte. Ezen étéknél a falon ödülés u stacionáius meoldás az y = esetben eybeesik a kétpontos ödüléssel. Első ánézése olyan szokatlan bifukációól van szó, melyben a két eyensúlyi helyzet összeolvad.
8 Valóában a helyzet bonyolultabb, hiszen u nem eyetlen stacionáius mozás, hanem stacionáius mozások eypaamétees családa. Ilyen bifukációa utalás a szakiodalomban elenle nem található. Az ábán látható továbbá, hoy a falon való mecsúszás ey további kolátot elent az u meoldás létezésée. Ezek a elenséek nayon hasonló fomában mefiyelhetők a olyós áamlásméő modellében is [4]. Mivel ezen stacionáius mozások stabilisak, ezen bifukáció vizsálata mevalósítható lenne kíséletile is. Tekintsük most a µ < Rω2 esetben a q 2 és a w stacionáius mozásokat az e eesztési amplitúdó változtatása közben. Az eedményeket a 2. ába obb oldalán láthatók. Amennyiben a eesztés e amplitúdóa kisebb, mint R(+), akko eyideűle létezhet az edény alán ödülés w stacionáius mozása és a kétpontos ödülés q 2 stacionáius mozása. Eléve az e = R( + ) étéket (fekete pont az ábán), mindkét meoldás meszűnik létezni. Ezen viselkedés mefeleltethető a nem-folytonos nyee-csomó bifukációnak [6, 7], azonban az éintett eyensúlyi helyzetek tisztán képzetes és zéus kaakteisztikus yökei miatt annak ey elfault esetéől beszélhetünk. Továbbá az edény alán töténő mecsúszás miatt e kis étéke esetén nem ön léte a w stacionáius mozás. A olyós áamlásméő esetében ez a bifukáció nem elenik me. Mivel mindkét szeeplő stacionáius mozás instabilis, ezen bifukáció vizsálata kíséletile nehézkes lenne. 7. KÖVETKEZTETÉSEK A henees edény mozatásával eesztett olyó vizsálatáa ey olyan mechanikai modellt hoztunk léte, mely az edény és a olyó kapcsolatának háom lehetsées esetét (ödülés, csúszás, elválás) tatalmazza. A két kontaktpont miatt összesen 9 különféle viselkedés alakulhat ki, melyek eyütt ey nem-folytonos dinamikai endszet alkotnak. A stacionáius mozások stabilitását és a mevalósulás feltételeit vizsáltuk az edény falán és alán töténő eypontos ödülések, valamint a kétpontos ödülés esetén. Többféle lehetsées stacionáius mozást is kaptunk, melynek léteöttét az edény felületétől való elválás és az edény felületén való mecsúszás kolátozza. Az elválás feltételét a kétpontos ödülés esetén, közvetett módon tudtuk ellenőizni közvetlenül a maasabb dimenziós dinamikai endsze seítséével. A kétpontos mecsúszás vizsálata további számításokat iényelne. Mevizsáltuk a stacionáius mozások nem-folytonos viselkedésből adódó bifukációit. A 2. ába bal oldalán látható bifukáció mefelelőét koábban a olyós áamlásméőnél is sikeült kimutatni. Ez azt a elenséet tatalmazza, amiko nay eesztési fekvencia esetén a olyó elválik a talatól és kizáóla a falon kezd el ödülni. A 2. ába obb oldalán látható nem-folytonos nyee-csomó bifukáció viszont údonsá a olyós áamlásméőnél kapott eedményekhez képest. Ez azt elenti, hoy az edény alán lévő eypontos ödülés és a eesztéssel szemközti oldalon kialakuló kétpontos ödülés stacionáius mozásai ey bizonyos eesztési amplitúdót eléve eyszee eltűnnek. A továbbiakban célszeű lenne a számításokat az eddi nem vizsált eseteke (például kétpontos csúzsás) is elvéezni. Édemes lenne továbbá kíséleti beendezést építeni a kapott analitikus eedmények ellenőzése célából. HIVATKOZÁSOK [] G. ELDRIDGE AND R. ELDRIDGE. Cyclonic flow metes. US Patent, US , 999. [2] M. L. J. P. PETERS. Obital ball flowmete fo as and fluis. US Patent, US B2, 23. [3] M. ANTALI AND G. STEPAN. Nonlinea dynamics of a dual-point-contact ball. Poc. Appl. Math. Mech., 4:33 34, 24. [4] M. ANTALI AND G. STEPAN. Nonsmooth bifucations of a dual-point-contact ball. Nonlinea dynamics, 25, publikálás alatt. [5] D. T. GREENWOOD. Advanced Dynamics. Cambide Univesity Pess, 23. [6] R. I. LEINE AND D. H VAN CAMPEN AND B. H VAN DE VRANDE. Bifucations in nonlinea discontinuous systems. Nonlinea Dynamics, 23(2):5 64, 2. [7] M. DI BERNARDO AND S. J. HOGAN. Discontinuity-induced bifucations of piecewise smooth dynamical systems. Phil. Tans. R. Soc A., 368: , 2. [8] M. DI BERNARDO AND C. J. BUDD AND A. R. CHAMPNEYS AND P. KOWALCZYK. Piecewise-smooth Dynamical Systems. Spine, 28.
Tartalom Fogalmak Törvények Képletek Lexikon
Fizikakönyv ifj. Zátonyi Sándor, 016. Tartalom Foalmak Törvények Képletek Lexikon A szabadesés Az elejtett kulcs, a fáról lehulló alma vay a leejtett kavics füőleesen esik le. Ősszel a falevelek azonban
Részletesebben1. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) 1. Alapfogalmak:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-MECHNIZMUSOK ELŐDÁS (kidolozta: Szüle Veronika, ey. ts.). lapfoalmak:.. mechanizmus foalmának bevezetése: modern berendezések, épek jelentős részében
RészletesebbenMatematika a fizikában
DIMENZIÓK 53 Matematikai Közlemények III kötet, 015 doi:10031/dim01508 Matematika a fizikában Nay Zsolt Roth Gyula Erdészeti, Faipari Szakközépiskola és Kolléium nayzs@emknymehu ÖSSZEFOGLALÓ A cikkben
RészletesebbenFolyadéklap instabilitása
- - Leyező alakú spay olyadéklapban kialakuló keesztiányú áamlás. Ez a jelensé poblematikus pl. elületek bevonásánál, amiko a bevonó olyadéküönynek eyenletesnek kell lennie. A jelenséet elkeülni nem, de
Részletesebben0. mérés A MÉRNÖK MÉR
0. mérés A MÉRNÖK MÉR 1. Bevezetés A mérnöki ismeretszerzés eyik klasszikus formája a mérés, és a mérési eredményekből levonható következtetések feldolozása (a mérnök és a mérés szó közötti kapcsolat nyilvánvaló).
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk
RészletesebbenSolow modell levezetések
Solow modell levezetések Szabó-Bakos Eszter 25. 7. hét, Makroökonómia. Aranyszabály A azdasá működését az alábbi eyenletek határozzák me: = ak α t L α t C t = MP C S t = C t = ( MP C) = MP S I t = + (
RészletesebbenCölöpcsoport függőleges teherbírásának és süllyedésének számítása
17. számú mérnöki kézikönyv Frissítve: 2016. április Cölöpcsoport füőlees teherbírásának és süllyedésének számítása Proram: Fájl: Cölöpcsoport Demo_manual_17.sp Ennek a mérnöki kézikönyvnek a célja, a
RészletesebbenMozgás centrális erőtérben
Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének
Részletesebben9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
Részletesebben4. HÁZI FELADAT 1 szabadsági fokú csillapított lengırendszer
Lenésan 4.1. HF BME, Mőszaki Mechanikai sz. Lenésan 4. HÁZI FELD 1 szabadsái fokú csillapío lenırendszer 4.1. Felada z ábrán vázol lenırendszer (az m öme anyai ponnak ekinheı, a 3l hosszúsáú rúd merev,
RészletesebbenRugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai
Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben
RészletesebbenSugárszivattyú H 1. h 3. sugárszivattyú. Q 3 h 2. A sugárszivattyú hatásfoka a hasznos és a bevezetett hidraulikai teljesítmény hányadosa..
Suárszivattyú suárszivattyúk működési elve ey nay eneriájú rimer folyadéksuár és ey kis eneriájú szekunder folyadéksuár imulzusseréje az ún. keverőtérben. rimer és szekunderköze lehet azonos vay eltérő
RészletesebbenFizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt
Fizika X, pótzh (00/ őszi félév) Teszt A sebessé abszolút értékének időszerinti interálja meadja az elmozdulást. H Az átlayorsulás a sebesséváltozás és az eltelt idő hányadosa. I 3 A harmonikus rező mozást
RészletesebbenMotorteljesítmény mérés diagnosztikai eszközökkel Készült a Bolyai János Ösztöndíj támogatásával
Motorteljesítmény mérés dianosztikai eszközökkel Készült a Bolyai János Ösztöndíj támoatásával Dr. Lakatos István h.d., eyetemi docens* * Széchenyi István Eyetem, Közúti és Vasúti Járművek Tanszék (e-mail:
RészletesebbenKét ponton gördülő testek dinamikája
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Tézisfüzet a Gépészeti Tudományok PhD programban benyújtott Két ponton gördülő testek dinamikája című doktori disszertációhoz Szerző: Antali
RészletesebbenO k t a t á si Hivatal
O k t a t á si Hivatal A 01/013. Tanévi FIZIKA Orszáos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és meoldásai I. kateória A dolozatok elkészítéséhez minden seédeszköz használható. Meoldandó
Részletesebbenu ki ) = 2 x 100 k = 1,96 k (g 22 = 0 esetén: 2 k)
lektronika 2 (MVIMIA027 Számpélda a földelt emitteres erősítőre: Adott kapcsolás: =0 µ = k 4,7k U t+ = 0V 2 k 2 = 0µ u u =3 k =00µ U t- =-0V Számított tranzisztor-paraméterek: ezzel: és u ki t =0k Tranzisztoradatok:
RészletesebbenHatvani István fizikaverseny forduló megoldások. 1. kategória. t 2 = 1, s
Hatani Istán fizikaerseny 017-18.. forduló meoldások 1. kateória 1..1. a) Közelítőle haonta. b) c = 9979458 m s Δt =? május 6-án s 1 = 35710 km = 35710000 m t 1 =? t 1 = s 1 t 1 = 1,19154 s c december
RészletesebbenINHOMOGÉN RUGALMAS ANYAGÚ KÚPOK STATIKAI VIZSGÁLATA STATIC ANALYSIS OF NONHOMOGENEOUS ELASTIC CONICAL BODIES
INHOMOGÉN RUGALMAS ANYAGÚ KÚPOK STATIKAI VIZSGÁLATA STATIC ANALYSIS OF NONHOMOGENEOUS ELASTIC CONICAL BODIES Ecsedi István, Pofesso Emeitus, Miskolci Egyetem, Műszaki Mechanikai Intézet; Baksa Attila,
RészletesebbenKinematika 2016. február 12.
Kinematika 2016. február 12. Kinematika feladatokat oldunk me, szamárháromszö helyett füvényvizsálattal. A szamárháromszöel az a baj, hoy a feladat meértése helyett valami szabály formális használatára
RészletesebbenSűrűáramú nyomótartályos pneumatikus szállítóberendezés. Keverékek áramlása. 8. előadás
Készítette: dr. Váradi Sándor Budaesti Műszaki és Gazdasátudományi Eyetem Géészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budaest, Műeyetem rk. 3. D é. 334. Tel: 463-16-80 Fa: 463-30-91 htt://www.ize.bme.hu
RészletesebbenA Maxwell-féle villamos feszültségtenzor
A Maxwell-féle villamos feszültségtenzo Veszely Octobe, Rétegezett síkkondenzátoban fellépő (mechanikai) feszültségek Figue : Keesztiányban étegezett síkkondenzáto Tekintsük a. ábán látható keesztiányban
RészletesebbenSugárzás és szórás. ahol az amplitúdófüggvény. d 3 x J(x )e ikˆxx. 1. Számoljuk ki a szórási hatáskeresztmetszetet egy
Sugázás és szóás I SZÓRÁSOK A Szóás dielektomos gömbön Számoljuk ki a szóási hatáskeesztmetszetet egy ε elatív dielektomos állandójú gömb esetén amennyiben a gömb R sugaa jóval kisebb mint a beeső fény
RészletesebbenFIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
izika középszint 1012 ÉRETTSÉGI VIZSGA 11. május 17. IZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐORRÁS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ELSŐ RÉSZ A feleletválasztós
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenSzámítógéppel vezérelt projektor szimulációja asztali képmegjelenítőn
Számítóéppel vezéelt pojekto szimulációja asztali képmejelenítőn Samu Kisztián, Fod Attila udapesti Műszaki és azdasátudományi Eyetem Minden előadó kolléánál általánosan előfoduló szituáció a következő:
Részletesebben1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c
RészletesebbenAERMEC hőszivattyú az előremutató fűtési alternatíva
- AERMEC hőszivattyú az előremutató fűtési alternatíva A hőszivattyúk a kifordított hűtőép elvén a környezetből a hőeneriát hasznosítják épületek fűtésére a felhasználó által kifizetett eneriaárra vonatkoztatva
RészletesebbenBALÁZS HORVÁTH BEAN. ütőhangszerekre, egy játékosra. Palotás Gábornak. Ócsa, 2015
BALÁZS HORVÁTH BEAN ütőhanszerekre, ey játékosra Palotás Gábornak Ócsa, 2015 Balázs Horváth, 2015 2 A BEAN alapötlete Rowan Atkinson (Mr. Bean) azon előadásából ered, amelyben ütőhanszerek elvett hanjára
RészletesebbenAdatok: fénysebesség, Föld sugara, Nap-Föld távolság, Föld-Hold távolság, a Föld és a Hold keringési és forgási ideje.
FOGALAK, DEFINÍCIÓK Az SI rendszer alapmenniséei. Síkszö, térszö. Prefixumok. Adatok: fénsebessé, suara, Nap- távolsá, -Hold távolsá, a és a Hold kerinési és forási ideje. Foalmak, definíciók: kinematika,
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
Részletesebben3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata
3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsálata A mérésben a hallatók meismerkedhetnek a szélessávú transzformátorok fıbb jellemzıivel. A mérési utasítás elsı része a méréshez szüksées elméleti ismereteket
RészletesebbenAtommagok mágneses momentumának mérése
Atommaok máneses momentumának mérése Tóth Bence fizikus, 3. évfolyam 2006.02.23. csütörtök beadva: 2005.03.16. 1 1. A mérés célja a proton -faktorának mehatározása, majd a fluor és a proton -faktorai arányának
RészletesebbenEGY KIS KLASSZIKUS DIFFERENCIÁLGEOMETRIA, A GAUSSBONNET-TÉTEL BIZONYÍTÁSA. 1. Bevezetés
Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009), 9-15. EGY KIS KLASSZIKUS DIFFERENCIÁLGEOMETRIA, A GAUSSBONNET-TÉTEL BIZONYÍTÁSA SZEMLÉLETES BIZONYÍTÁST ADUNK A FELÜLETELMÉLET FONTOS TÉTELÉRE FARKAS MIKLÓS 1.
RészletesebbenA hullámsebesség számítása különféle esetekben. Hullám, fázissebesség, csoportsebesség. Egy H 0 amplitúdójú, haladó hullám leírható a
A hullámsebessé számítása különéle esetekben Hullám, ázissebessé, csoportsebessé y H 0 amplitúdójú, haladó hullám leírható a H ( x, t ) H 0 cos ( kx ωt ) üvénnyel. Itt k jelöli a hullámszámot, ω a körrekvenciát.
RészletesebbenA dinamikus vasúti járműterhelés elméleti meghatározása a pálya tényleges állapotának figyelembevételével
A dinamikus vasúi járműerelés elmélei meaározása a pálya énylees állapoának fiyelembevéelével Dr. Kazinczy László eyeemi docens Budapesi Műszaki és Gazdasáudományi Eyeem Ú és Vasúépíési Tanszék 1. A dinamikus
RészletesebbenTérbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására
Tébeli polákoodináták alkalmazása egy pont helyének sebességének és gyosulásának leíásáa A címbeli feladat a kinematikával foglalkozó tankönyvek egyik alapfeladata: elmagyaázni levezetni az idevágó összefüggéseket
RészletesebbenA MÁGNESES VEKTORPOTENCIÁL, MINT VALÓSÁGOSAN LÉTEZÔ VEKTORMEZÔ. A hazai mûhely A FIZIKA TANÍTÁSA
Rejtõ ándo Geleji ándo Kovács István haai mûhely Véül meemlítem a silád testek plastikus defomációját és a dislokációk kontinuum-modelljét kutató Kovács István (1911) fiikust, a Eötvös Loánd Tudományeyetem
RészletesebbenFizika és 3. Előadás
Fizika. és 3. Előadás Az anyagi pont dinamikája Kinematika: a mozgás leíásaa kezdeti feltételek(kezdőpont és kezdősebesség) és a gyosulás ismeetében, de vajon mi az oka a mozgásnak?? Megfigyelés kísélet???
RészletesebbenIntermodális közösségi közlekedési csomópont kialakítása Győrött. Melléklet Környezeti helyzetértékelés
FŐMTERV ENVECON Konzorcium Tsz: 12.12.125 Intermodális közösséi közlekedési csomópont kialakítása Győrött (KÖZOP-5.5.0-09-11-2011-0005) Melléklet Környezeti helyzetértékelés Mebízó: Győr Meyei Joú Város
RészletesebbenIV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.
8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
Részletesebben1. Alapfogalmak Töltés Térerősség Elektromos potenciál, feszültség... 3
.9. verzió Tartalomeyzék. Alapfoalmak..... Töltés..... Térerőssé..... Elektromos potenciál, feszültsé.... Elektrotechnikai alapanyaok, alapelemek...5.. Szietelők (dielektrikumok)... 5.. Félvezetők... 6..
RészletesebbenKOAXIÁLIS ROTOROK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA AZ IMPULZUS TÉTEL
Szilágyi Dénes KOAXIÁLIS ROTOROK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA Ebben a munkában a Ka 6 helikopte egyenes vonalú egyenletes epülését vizsgáltam. A típus kiválasztásában döntő szeepet játszott, hogy ezzel a hajtottak
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenFaipari anyagszállítás II. Bútoripari lapmegmunkáló gépsoregységhez továbbító hengeres görgısorok tervezése
Faipari anyaszállítás II. Bútoripari lapmemunkáló épsoreyséhez továbbító heneres örısorok tervezése 1. Gépelrendezés vázlata:. Fordító vázlata, és teljesítıképesséének számítása: T= [s] (átfordítási idı)
RészletesebbenÍ Í Í Í Ó Í Í Í Í É Í Ú ű É Á ű ű Ú É ű ű ű É Í É Á Í Í Ő Á É Ú ű Í Í ű Í Á Í Ü Á Á Í Í Í Í Í ű Í ű Ü Í ű ű É Á É Ú Á Ö Í Á ű ű Á É É Í Í Í Í ű É ű ű Á ű ű É É É ű Ü Í É Í ű Á É É Í Í Í ű Ö Ö Í Á É Í Ü
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
Részletesebben(1) Definiálja a mechanizmus fogalmát! Mechanizmuson gépek, berendezések mechanikai elven működő részeinek együttesét értjük.
ZÉCHENYI ITVÁN EGYETEM MECHANIZMUOK ALKALMAZOTT MECHANIKA TANZÉK Elméleti kédések és válaszok egyetemi alapképzésbe (Bc képzésbe) észtvevő méökhallgatók számáa () Defiiálja a mechaizmus fogalmát! Mechaizmuso
RészletesebbenKÖRNYEZETVÉDELEM- VÍZGAZDÁLKODÁS ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Környezetvédele-vízazdálkodás iseretek eelt szint Javítási-értékelési útutató 1811 ÉRETTSÉGI VIZSGA 018. ájus 16. KÖRNYEZETVÉDELEM- VÍZGAZDÁLKODÁS ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI
RészletesebbenA FÖLD PRECESSZIÓS MOZGÁSA
A ÖLD PRECEZIÓ MOZGÁA Völgyesi Lajos BME Általános- és elsőgeodézia Tanszék A öld bonyolult fogási jelenségeinek megismeéséhez pontos fizikai alapismeetek szükségesek. A fogalmak nem egységes és hibás
RészletesebbenHatvani István fizikaverseny forduló. 1. kategória
1. kateória 1.1.1. Zümi a méhecske Aprajafalvától az erdői repült. Délután neyed 3 után 23 perccel indult. Aprajafalvától az erdői eyenes pályán történő mozásának sebesséét az idő füvényében a rafikon
RészletesebbenA karpántokról, a karpántos szerkezetekről V. rész
A karpántokról, a karpántos szerkezetekről V. rész Karpántos sorozatunk ezen úja részéen az I. részen táryalt. feladatot fejlesztjük tová. Elő azonan ey szóhasználatot tisztázunk. Mí koráan fejkötőkkel
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenKiberfizikai rendszerek
Kibefizikai edszeek A fizikai voatkozásokól. folytatás 5. ovembe. PS edszeek modellezési kédései Példa: Készítsük poamozható feszültséosztó áamköt-beedezést! U (t) R Következméy: U U(t) U t = U t R + R
RészletesebbenSegédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz
Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy
RészletesebbenFizikai geodézia és gravimetria / 20. AZ ISMÉTELT GEODÉZIAI MÉRÉSEK GEODINAMIKAI ÉRTELMEZÉSE.
MSc Fizikai eodézia és avietia /. BMEEOAFML AZ ISMÉTELT GEODÉZIAI MÉRÉSEK GEODINAMIKAI ÉRTELMEZÉSE. Száos földfizikai folyaat a földi ehézséi eőté időbeli változásait okozza. A külöböző étékű és sebesséű
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
RészletesebbenSW 200C Szárnyaskapu nyitó Kezelési Útmutató. Műszaki adatok:
SW 200C Szárnyaskapu nyitó Kezelési Útmutató Műszaki adatok: Model Kimeneti feszültsé SW-200A 12VDC Átlaos felvett áram 2.0A A kétszárnyú kapu szélessée 3 M max. A kétszárnyú kapu össztömee 200k max. Motor
Részletesebben2. MECHANIZMUSOK GYAKORLAT (kidolgozta: Bojtár Gergely egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.)
1/7 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 2. MECHANIZMUSOK GYAKORLAT (idolozta: Bojtár Gerely ey. Ts; mérnötanár.) Mechanizmuso szerezeti éplete határozottsái foai 2.1. Adott: A mechanizmus
RészletesebbenVALÓSÁGOS ÖRVÉNYEK IDEÁLIS ÖRVÉNYEK MEGMARADÁSI ELVEI
D. Gausz Tamás VALÓSÁGOS ÖRVÉNYEK Az aeodinamikában igen gyakan találkozunk az övény fogalmával. Ez az övény a epülőgép köüli áamlásban kialakuló otációból (fogásból) számazik. Egy általában kis téész
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
Részletesebbenα v e φ e r Név: Pontszám: Számítási Módszerek a Fizikában ZH 1
Név: Pontsám: Sámítási Módseek a Fiikában ZH 1 1. Feladat 2 pont A éjsakai pillangók a Hold fénye alapján tájékoódnak: úgy epülnek, ogy a Holdat állandó sög alatt lássák! A lepkétől a Hold felé mutató
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenA rugalmassággal kapcsolatos gondolatmenetek
A ugalmassággal kapcsolatos gondolatmenetek Az igen szeteágazó, ugókkal kapcsolatos ezgési és sztatikus poblémák közül néhányat tágyalunk gondolkodás módszetani szempontok bemutatásáa. A ugó poblémák az
RészletesebbenÖSSZEFÜGGÉSEK A LINEÁRIS REGRESSZIÓS MODELLBEN
MÓDSETANI TANULMÁNOK ÖSSEFÜGGÉSEK A LINEÁIS EGESSIÓS MODELLBEN D HAJDU OTTÓ A tanulmány a lineáis egessziós modell alavető mutatóit tágyala E mutatókat egymásból vezeti le olymódon hogy azok statisztikai
RészletesebbenA TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA. Egyszerű rendszerek egyensúlya. Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk.
A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA Egyszerű rendszerek egyensúlya Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk. Második észrevétel: egyensúlyban lévő egyszerű rendszerekről beszélünk. Mi is tehát az egyensúly?
RészletesebbenELEKTROMÁGNESSÉG. (A jelen segédanyag, az előadás és a számonkérés alapja:) Hevesi Imre: Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007
ELEKTROMÁGNESSÉG (A jelen segédanyag, az előadás és a számonkéés alapja:) Hevesi Ime: Elektomosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 7 ELEKTROMOSSÁGTAN A. Elektosztatikai té vákuumban. Az elektomos
RészletesebbenKIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
RészletesebbenHARMONIKUS REZGŐMOZGÁS
HARMONIKUS REZGŐMOZGÁS A es ké szélső helze közö periodikus mozás éez. Kérdés: a kiérés az időnek milen füéne:? f Eensúli helze: Eszerű leírás: a harmonikus rezőmozás az eenlees körmozás merőlees eülee.
RészletesebbenREZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK EZGÉSTAN GYAKOLAT Kidolozta: Dr. Na Zoltán eetemi adjunktus 5. feladat: Szabad csillapított rezőrendszer A c k ϕ c m k () q= q t m rúd c k Adott:
RészletesebbenÜzemeltetési kézikönyv
Vízűtéses rendszerű tokozott vízűtő berendezések EWWP045KAW1M EWWP055KAW1M EWWP065KAW1M ECB1MUW ECB2MUW ECB3MUW EWWP045KAW1M EWWP055KAW1M EWWP065KAW1M ECB1MUW ECB2MUW ECB3MUW Vízűtéses rendszerű tokozott
RészletesebbenFIZIKA. Ma igazán feltöltődhettek! (Elektrosztatika) Dr. Seres István
Ma igazán feltöltődhettek! () D. Sees István Elektomágnesesség Pontszeű töltések elektomos tee Folytonos töltéseloszlások tee Elektomos té munkája Feszültség, potenciál Kondenzátook fft.szie.hu 2 Sees.Istvan@gek.szie.hu
RészletesebbenBevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk
Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok
RészletesebbenLakatos J.: Analitikai Kémiai Gyakorlatok Anyagmérnök BSc. Hallgatók Számára, (2008)
1. yak.: Gravimetria Leveő nedvessétartalmának mehatározása. Vízminta oldott sótartalmának mehatározása Porminta nedvessétartalmának és izzítási maradékának mehatározása. A ravimetria olyan analitikai
RészletesebbenFIZIKA. Ma igazán feltöltődhettek! (Elektrosztatika) Dr. Seres István
Ma igazán feltöltődhettek! () D. Sees István Elektomágnesesség Töltések elektomos tee Kondenzátook fft.szie.hu 2 Sees.Istvan@gek.szie.hu Elektomágnesesség, elektomos alapjelenségek Dözselektomosság Ruha,
RészletesebbenAtomok (molekulák) fotoionizációja során jelentkező rezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules)
Atomok (molekulák) fotoionizációja soán jelentkező ezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules) BORBÉLY Sándo, NAGY László Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Fizika ka, 484
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenElektrokémia 03. (Biologia BSc )
lektokéma 03. (Bologa BSc ) Cellaeakcó potencálja, elektódeakcó potencálja, Nenst-egyenlet Láng Győző Kéma Intézet, Fzka Kéma Tanszék ötvös Loánd Tudományegyetem Budapest Cellaeakcó Közvetlenül nem méhető
RészletesebbenPannon Egyetem. Informatikai Tudományok Doktori Iskola
Pannon Eyetem Infomatka Tudományok Dokto Iskola Tanuló és adaptív vdeófeldolozó eljáások Dokto (PhD) étekezés Lcsá Attla Képfeldolozás és Neuoszámítóépek Tanszék Témavezető: Pof. Szány Tamás Veszpém 007.
Részletesebben3. Fékezett ingamozgás
3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenIdőben változó elektromos erőtér, az eltolási áram
őben változó elektomos eőté, az olási áam Ha az ábán látható, konenzátot tatalmazó áamköbe iőben változó feszültségű áamfoást kapcsolunk, akko az áamméő áamot mutat, annak ellenée, hogy az áamkö nem zát
RészletesebbenIII. Differenciálszámítás
III. Diffeenciálszámítás A diffeenciálszámítás számunka elsősoban aa való hogy megállaítsuk hogyan változnak a (fizikai) kémiában nagy számban előfoló (többváltozós) függvények. A diffeenciálszámítás megadja
Részletesebbené í ź ü ź é ę í é ő ő é ö ü ő é ü é í é é é ö ű ö é ő é ö ó ó é é é ę é ö é ę é ź é é Í ź ö ó Á ó ź é é Í é ö é ó ó ó ő ź ó ź ź é é ó é ű ü í ó í ő ź
ő ü ó é Ę ü é é ü é é ü é é é é é ö é ú ö é é é éő é é é í ő é í ő é ó í ő ő é ö é é ü é é é í ő ö đ é é ü é é é é é đ ő ü ő ę é ő ü ű đö é é é é ö é é ő ó ó ö é ó í ö ö ö í ö ö é ź é éí é đ é é ó ö ü
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenX. MÁGNESES TÉR AZ ANYAGBAN
X. MÁGNESES TÉR AZ ANYAGBAN Bevezetés. Ha (a külső áaok által vákuuban létehozott) ágneses tébe anyagot helyezünk, a ágneses té egváltozik, és az anyag ágnesezettsége tesz szet. Az anyag ágnesezettségének
RészletesebbenRezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
RészletesebbenKétváltozós vektor-skalár függvények
Kétáltozós ekto-skalá függények Definíció: Az olyan függényt amely az ( endezett alós számpáokhoz ( R R ( ektot endel kétáltozós ekto-skalá függénynek neezzük. : ( ( ( x( i + y( j + z( k Az ektoal együtt
RészletesebbenGruber József, a hidrodinamikai szingularitások művelője
Gube József, a hidodinamikai szingulaitások művelője Czibee Tibo Személyes kapcsolatom Gube pofesszoal: Egyetemi tanulmányaimat a miskolci Nehézipai Műszaki Egyetemen végezvén nem hallgathattam egyetemi
RészletesebbenElektrotechnika 2. előadás
Óudai Eyeem Bánki Doná Gépész és Bizonsáechnikai Kar Mecharonikai és Auechnikai néze Elekroechnika. előadás Összeállíoa: aner nrid adjunkus Szuperpozició-éel Generáorokól és lineáris impedanciákól álló
RészletesebbenNégypólusok jellemzői - Általános négypólus - Passzív négypólus - Aktív négypólus Négypólusok hullámellenállása. Erősítés. Csillapítás.
Néypólusok jellemzői - Általános néypólus - asszív néypólus - Aktív néypólus Néypólusok hullámellenállása Erősítés Csillapítás a l [B] a l [db] Átviteli szint a teljesítmény, vay feszültsé viszonylaos
RészletesebbenNs/m, y0 3 mm, v0 0,18 m/s. Feladat: meghatározása. meghatározása. 4 2 k 1600 Ns 1. , rad/s, rad/s. 0,209 s.
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 8. MECHANIKA-EZGÉSTAN GYAKOLAT (kidoloza: Fehér Lajos, sz. mérnök; Tarnai Gábor, mérnök anár; Molnár Zolán, ey. adj., Dr. Nay Zolán, ey. adj.) Ey
Részletesebbenállórész forgórész Háromfázisú, négypólusú csúszógyűrűs aszinkron motor metszetvázlatai
5 AZINKON OTOO HAJTÁOK (1 ész) A villaos hajtások közel /3 észe aszinkon otoos hajtás Az egyszeű kivitelű, kalickás fogóészű aszinkon otook eltejedésének okai: - közvetlenül csatlakoztathatók háo fázisú
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenEgy másik alapfeladat fűrészelt, illetve faragott gerendákra. 1. ábra
Ey másik alapfeladat fűrészelt, illetve faraott erendákra Az előző dolozatokban ld.: ( E - 1 ), ( E - ), ( E - ) már szinte teljesen előkészítettük az itteni feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1.
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
RészletesebbenFELSİGEODÉZIA. Dr. Bácsatyai László. Sopron - Székesfehérvár
FELSİGEODÉZIA Dr Bácsatyai László Sopron - Székesfehérvár 8 Bevezetés Az elektronika a számítástechnika az őrtechnika vívmányai a eodézia tudományáában is az utóbbi évtizedekben nay változásokat indítottak
Részletesebben