3D-s számítógépes geometria

Átírás

1 3D-s számítógépes geometri. Bevezetés lpfoglmk Dr. Várd Tmás BME Villmosmérnöki és Informtiki Kr Iránítástechnik és Informtik Tnszék 3D-s számítógépes geometri

2 Trtlom Bevezetés Digitális reprezentációk Pontok vektorok trnszformációk Görék és felületek egenletei Prmetriks görék differenciál-geometriáj Prmetriks felületek differenciál-geometriáj 3D-s számítógépes geometri

3 Bevezetés Két tdománág: i Compter Aided Geometric Design CAGD Számítógéppel segített geometrii tervezés ii Digitl Shpe Reconstrction DSR Számítógépes lkzt rekonstrkció Reverse Engineering Mérnöki visszfejtés 3D-s geometri - digitális reprezentáció - számítógépes lgoritmsok - lklmzások Bevezetés 3

4 Számítógéppel segített geometrii tervezés koncepció mérnöki dokmentáció műszki rjz formtervezői vázlt tervezés sztrkt pontos geometrii elemek számítógépes modell lklmzások: megjelenítés virtális vlóság prméterek számítás újrtervezés módosítás vriánsok végeselem-nlízis FEA - szilárdságtn termodinmik ármlástn nmeriksn vezérelt NC megmnkálás fiziki ojektm Bevezetés 4

5 Számítógépes tervezés: inpt-otpt műszki rjz formtervezői vázltok prméterek módosítás lktrész csládok végeselemnlízis tomtiks megmnkálás Bevezetés 5

6 Digitális lkzt rekonstrkció létező fiziki ojektm 3D mérés szkennelés mért zjos strktráltln elemek ngméretű ponthlmzok lkzt rekonstrkció számítógépes modell lklmzások Bevezetés 6

7 Digitális informtik Digitl Signl Processing 970 Fő technológii komponensek: Digitl Imge Processing Digitl Shpe Processing 000 érintésmentes 3D-s szkennerek ngteljesítménű grfiks számítógépek digitális lkrekonstrkciós szoftver rendszerek Bevezetés 7

8 Rekonstrkció - lklmzások - nem létezik digitális modell - nem CAD technológiávl készült nincs gártási dokmentáció - egéni orgniks felületek testre kell szni ; illeszkedő felületek hsznált: térdprotézis fogsor hllókészülék kósisk st. - egedi művészeti lkotások; kltrális örökség megőrzése - vn digitális referenci modell de ellenőrizni kell minőségét Bevezetés 8

9 Az űrsikló iztonságos vissztérése Geomgic Inc. : minőségellenőrzés - hőálló csempék esetleges károsodásánk felismerése Bevezetés 9

10 Tervezés és lkzt rekonstrkció KONCEPCIÓ TERVEZÉS SZÁMÍTÓGÉPES MODELL ALKALMAZÁSOK DIGITÁLIS ALAKZAT REKONSTRUKCIÓ GYÁRTÁS 3D-s MÉRÉS FIZIKAI OBJEKTUM Bevezetés 0

11 Digitális reprezentációk pontok pontfelhők háromszögek háromszöghálók görék görehálóztok drótvázk felületek felület-csoportok tömör merev testek Reprezentációk

12 Digitális reprezentációk Pontok pontfelhők 5 Háromszöghálók poligonok 3 Görék görehálóztok 4 Tömör testek Felületek. pontfelhők egesítése szűrése egszerűsítése.... háromszögelés háló generálás 3. göre interpoláció és pproimáció 4. felület interpoláció és pproimáció 5. cellláris voel reprezentáció Reprezentációk

13 Digitális reprezentációk Pontok pontfelhők 5 Háromszöghálók poligonok Görék görehálóztok 4 3 Tömör testek Felületek. decimálás simítás újrháromszögelés deformálás. szegmentálás jellegzetes görék kiemelése 3. felület pproimáció rekrzív felosztásos felületek 4. digitális lkzt rekonstrkció 5. mintvételezés Reprezentációk 3

14 Digitális reprezentációk 3 Pontok pontfelhők 4 Háromszöghálók poligonok 5 Görék görehálóztok 3 Tömör testek Felületek. görehálózt építés speciális műveletek simítás.... felületek létrehozás profilgörékől eltolás forgtás göreháló interpoláció testek él strktúráj 4. mintvételezés 5. törött vonlk poligonok Reprezentációk 4

15 Digitális reprezentációk 4 Pontok pontfelhők Háromszöghálók poligonok Görék görehálóztok Tömör testek Felületek. speciális műveletek offszet lekerekítő felületek simítás.... metszések trimmelt lpok felületdrok primitív testek mintvételezés 4. tesszelláció poligonközelítés 5. felület-felület metszés felületen ftó görék... Reprezentációk 5

16 Digitális reprezentációk 5 Pontok pontfelhők Háromszöghálók poligonok 3 Tömör testek Görék görehálóztok 4 5 Felületek. Bool műveletek primitív testek.... mintvételezés 3. tesszelláció poligon közelítés htárolóelem-reprezentáció előállítás élek hrkok trimmelt lpok Reprezentációk 6

17 Pontok 3 p p R z R Lineáris komináció: r n α p i i i α R p R i i 3 Bricentriks komináció: Konve komináció: Példák: n α i i α 0 pl. α α i i i n k k t p0 t + pt r t p0 t + p t t p r + t n m i m Affin leképzés: r Φ r ra + v 3 [ z] [ z] 3 + [ v v vz] Pontok vektorok 7

18 Pontok n 3 3 Affin tljdonságok: Φ : R R Φ r α Φ p invriáns ricentriks kominációr egenes egenes R : háromszög háromszög Φ R 3 : tetréder tetréder Φ Affin trnszformációk: Azonosság: Eltolás: Skálázás: Egevágóság: 0 A 0 v A I v 0 A 0 0 T A A I 0 Nírás: i r Φ r ra + v Forgtás: A i cos α sin α A sin cos v α α 0 i 0 + Pontok vektorok 8

19 Pontok vektorok 9 Vektorok 3 R z e d c λ R R Elemi vektor műveletek: Sklárszorzás dot prodct: ϕ cos c c c ; + + z z Vektorszorzás cross prodct: ϕ sin c c c + +! 0 z z k j i φ φ

20 Göre és felület egenletek Függvén: Implicit: Prmetriks: z f F r 3 z 0 R R 3 v v v z v; R R f F > 0 rt F < 0 egértelmű hozzárendelés 0? f 0 mintvételezés egszerű CAD: ritkán hsználják F 0 végtelen félterek F 0 0? 0 mintvételezés nehéz CAD: szálos felületek t [0] véges felületdr 0 0? t 0 mintvételezés egszerű CAD: szdformájú felületek Egenletek 0

21 Göre és felület egenletek Péld D: prol Függvén: + elforgtv nem függvén! Implicit: Prmetriks: F + + c + d + e + f r + t t p0 t + p t t p 0 B c B > 0 ellipszis B 0 prol B < 0 hiperol Ideális reprezentáció koordinát rendszer független prméterei geometriilg értelmezhetők p 0 R p rt P p Egenletek

22 Prmetriks görék Ujjgkorlt* - implicit görék Ellipszis Hiperol Nem göre. péld. péld 0 + F 0 F F F P P P F

23 Ujjgkorlt* - prmetriks görék Polinomiális ázis 0 [ 0 0][ t t ] r t t + t + t [0] Kezdőpont: végpont: felezőpont: Bernstein ázis [ ][ t t t t ] r t t + t t + t t [0] Kezdőpont: végpont: felezőpont: 0 Prmetriks görék 3

24 Ujjgkorlt - prmetriks görék Polinomiális ázis 0 [ 0 0][ t t ] r t t + t + t [0] Kezdőpont: 4 végpont: 6 6 felezőpont: Bernstein ázis [ ][ t t t t ] r t t + t t + t t [0] Kezdőpont: 4 végpont: 6 6 felezőpont: Prmetriks görék 4

25 Prmetriks görék differenciál-geometriáj n Prmetriks göre: t [ ] R : r t t t z t Csvrvonl: r t ρ cos t ρ sin t t r t t t r t Egszerű göre regláris: r t + h r t Első derivált: r& t r t t lim h 0 h Átprméterezés mindig lehetséges: rt+h rt r r Átprméterező függvén - foltonos szigorún monoton differenciálhtó t c Ekvivlens göre: r t r ; t c + c [ ] [ α β ] c r r t A deriváltk megváltoznk pl.: r & r& t c t t Prmetriks görék 5

26 Prmetriks görék Görée írt poligon: t s r& t + r& t + r& t dt r t z & s n 0 < t <... < t n ; n n r t r t s n korlátos rektifikálhtó z ívhossz létezik i i i i Δ i i r t dt + Δt r t Δt Az ívhossz prméter függvéneként: s t r & τ dτ ; s& t r& t dr Természetes ívhossz szerinti prméterezés: r t s; r' ; ds Tljdonságok: r' ; r' r'' t t dr dt r' r& ; r' s r' r' ' dt ds ds dt Érintő egségvektor: e r's 0 Prmetriks görék 6

27 Önálló feldt Görék ívhosszánk számítás: s r& t + r& t + r& t dt r t z & dt Szeminárim: mikor polinomiális z ívhossz pitgorszi hodográf görék Implementáció: pitgorszi hodográf görék létrehozás göre interpoláció ötödfokú PH görékkel Reprezentációk 7

28 Prmetriks görék 3 Simlókör: α e r' s e r' s + Δs lim Δα κ Δs 0 Δs r r e e Görület: κ s r' ' s κ t ρ t r& t && r t 3 r& t Középpont és evolút: c t n t κ t κ t 0 r r r rt r rt ct ct r 3 r 3 Prmetriks görék 8

29 Prmetriks görék 4 Simlósík és inormális: n nt e n Kísérő triéder Frenet frme: [ e t n t t] t rt nt et Torzió: ' s ' s + Δs Δβ lim τ Δs 0 Δs β n n τ s det r' r' ' r' '' τ t κ det r& && r &&& r r& && r r e r e? c c det c Veges szorzt: Prmetriks görék 9

30 Prmetriks felületek 30 Prmetriks felületek differenciál-geometriáj Prmetriks felület: Normálvektor: 3 ] : [ ; Ε E v z v v v r Felületi görék: ] [ t t v t t t t t v v t r r Deriváltk: Konstns prmétervonlk: 0 0 v v r r ; v v z v v r r r r r r v n Elsőrendű főmenniségek: v v G F E r r r r r r v r?

31 Prmetriks felületek Elemi felületdr: Felszín: A r r ΔA r + Δ v r v r v + Δv r v r + Δ v r v r v + Δv r v Δ Δv v d dv EG F d dv Δ Δv Felületi göresereg normálmetszet : Főgörületek: n c ϕ n s κ ϕ κ κ min κ κ m k k k k Főgörületi iránok: Eler-egenlet: Másodrendű főmenniségek: κ ϕ κ cos ϕ + κ sin ϕ κ k κφ L r n M r n N v r vv n κ k Prmetriks felületek 3

32 Prmetriks felületek 3 Görületi vonlk és miliks pontok Alliez et l.: Anisotropic Polgonl Remeshing SIGGRAPH 003 Prmetriks felületek 3

33 Prmetriks felületek 4 Görület meghtározás eg dott pontn: λ det E L λ dv / d λ F M tnϕ Umiliks pontok: G N 0 κ λ Gss-szorzt- és átlggörületek: Felület pontok körnezetének osztálozás: G>0 elliptiks G<0 hiperoliks G0 M 0 proliks λ κ λ k k κ L + Mλ + Nλ E + Fλ + Gλ G κ κ M κ + L : M : N E : F : G ; κ κ κ c κ f c; Prmetriks felületek 33

34 Prmetriks felületek 5 Az Eler egenlet más formán: κ ϕ κ cos ϕ + κ sin ϕ Polárkoordináták: Dpin-indikátor lokális kúpszelet: r ρ ρ cosϕ ρ sinϕ + ρ ρ G>0 G<0 G0 M 0 Prmetriks felületek 34

35 . elődás - trtlom Háromszöghálók lklmzási Háromszöghálók jellemzése Voronoi digrmok és Deln háromszögelés egszerű lgoritmsok Háromszögelés három dimenzión Háromszöghálók számítógépes reprezentációj Bevezetés 35