JÁRM TEST ENERGIAABSZORPCIÓS DEFORMÁCIÓS MODELLJEINEK IDENTIFIKÁCIÓJA

Átírás

1 JÁRM TEST ENERGIAABSZORPCIÓS DEFORMÁCIÓS MODELLJEINEK IDENTIFIKÁCIÓJA PhD értekezés Harmati István Árpád Témavezet : Dr. Várlaki Péter BUDAPESTI M SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM JÁRM VÁZ- ÉS KÖNNY SZERKEZETEK TANSZÉK

2 Nyilatkozat Alulírott Harmati István Árpád kijelentem, hogy ezt a doktori értekezést magam készítettem, és abban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint, vagy azonos tartalomban, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelm en a forrás megadásával jelöltem.

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Általános bevezet Célkit zések Er modellek Energia mérleg Gyakoribb er modellek Lineáris modell Szakaszonként lineáris modell Er telít dési modell Hatvány modell A merevség fogalmának különféle megközelítései A bemutatott modellek kritikai elemzése A felhasznált matematikai megközelítések és modellek Alapfogalmak Magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontás LPV rendszerek HOSVD alapú felbontása A HOSVD alapú kanonikus alak numerikus rekonstrukciója A HOSVD alapú kanonikus alak meghatározása Fuzzy következtetési eljárások A fuzzy következtet rendszerek felépítése A TakagiSugeno fuzzy modell Az energiaabszorpciós folyamat heurisztikus modellje A járm cellamodellje

4 TARTALOMJEGYZÉK A cellamodell dinamikai megfelel je Az elnyelési függvény Irányfügg tulajdonságok Egydimenziós cellamodell Többdimenziós cellamodell Új tudományos eredmények A deformációs folyamat LPV típusú er modellje A deformáció során fellép er LPV modellje Az LPV modell származtatása Az LPV rendszer meghatározása Az LTI rendszerek meghatározása A teljes LPV rendszer meghatározása Valós töréstesztek adatai A mérési adatok feldolgozására vonatkozó el írások A vizsgált járm vek adatai Fontosabb mért és számított adatok Az LPV modell gyakorlati megvalósítása A merevségi felület meghatározása A kapott LPV modell HOSVD alapú redukciója A redukált modellek és a mérési adatok összehasonlítása A deformációs folyamat Takagi-Sugeno fuzzy modellje Új tudományos eredmények Az eredmények összefoglalása Az eredmények összefoglalása Alkalmazási lehet ségek A A CFC sz r leírása 88 B A felhasznált LCB tesztekben mért er karakterisztikák 89 Publikációk 97 Irodalomjegyzék 98 4

5 Ábrák jegyzéke 2.1. Barényi Béla vázlata a cellaautóról Az ütközéskor fellép er és a deformáció az id függvényében Az er -deformáció karakterisztika egy valós esetben Az ütközési sebesség a maradandó deformáció függvényében Er és elnyelt energia lineáris er modell esetén Er és elnyelt energia szakaszonként lineáris er modell esetén Er és elnyelt energia az er telít dési modell esetén Er és elnyelt energia a hatvány modell esetén A harmadrend A tenzor kiterítettjei A szinguláris érték szerinti felbontás szemléltetése HOSVD szemléltetése A fuzzy következtet rendszer vázlata A TakagiSugeno fuzzy modell vázlata A dinamikai modell cellamodell megfelel je Az elnyelési függvény Az energiaabszorpció egydimenziós cellamodellje Az egydimenziós cellamodell szemléltetése Az energiaabszorpció kétdimenziós cellamodellje A kétdimenziós cellamodell szemléltetése A mért és a sz réssel kapott er függvény Az er és a gyorsulás Honda Accord A gyorsulásból számított deformáció Honda Accord Az er -deformáció karakterisztika Honda Accord

6 ÁBRÁK JEGYZÉKE 5.5. A deformáció során elnyelt energia Honda Accord A merevség változása a deformáció során Honda Accord Az illesztéssel kapott er felület Az illesztéssel kapott deformációs felület A merevségre kapott felület súlyfüggvény A merevségre kapott felület 2 2 súlyfüggvény esetén súlyfüggvény A merevségre kapott felület 3 3 súlyfüggvény esetén súlyfüggvény A merevségre kapott felület 4 4 súlyfüggvény esetén súlyfüggvény A merevségre kapott felület 5 5 súlyfüggvény esetén súlyfüggvény A merevségre kapott felület 6 6 súlyfüggvény esetén Elnyelt energia az id függvényében különböz sebességek esetén Elnyelt energia a deformáció függvényében különböz sebességek esetén Er az id függvényében különböz sebességek esetén Er a deformáció függvényében különböz sebességek esetén Az egyes paramétertartományok fuzzy partíciója A fuzzy következtetéssel kapott er felület A mért és a fuzzy szabálybázis által közelített er -deformáció karakterisztikák B.1. Az 514 számú tesztben használt mátrix felosztás B.2. Az 5139 és 5215 számú tesztekben használt mátrix felosztás B.3. Az ütközéskor fellép er az id függvényében (514) B.4. Az ütközéskor fellép er az id függvényében1 (5139) B.5. Az ütközéskor fellép er az id függvényében2 (5139) B.6. Az ütközéskor fellép er az id függvényében3 (5139) B.7. Az ütközéskor fellép er az id függvényében1 (5215) B.8. Az ütközéskor fellép er az id függvényében2 (5215) B.9. Az ütközéskor fellép er az id függvényében3 (5215)

7 Táblázatok jegyzéke 2.1. A különféle modellek merevségeinek összehasonlítása A különféle modellek LPV-merevségeinek összehasonlítása A járm vek adatai

8 1. fejezet Bevezetés 1.1. Általános bevezet Navigare necesse est, vivere non est necesse. Pompeius szavait kicsit szabadabban értelmezve: közlekedni márpedig muszáj. Sajnos a közúti forgalom nagyságának er teljes emelkedésével el térbe került a mondás második fele is: élni nem. Az EU útjain évente hozzávet legesen 1,3 millió közlekedési baleset történik, ezek több mint 4 halálos áldozatot és 1,7 millió sérültet követelnek. Akár humanitárius, akár gazdasági szempontok vezérelnek, ezeket az értékeket mindenképpen csökkenteni kell. Az EU által 21-ben kiadott Fehér Könyv irányelveinek megfelel en az akkori adatokhoz képest 21-re 5%-kal kell csökkenteni a közlekedésbaleseti halálesetek számát (hazánkra némileg enyhébb szabályozás vonatkozik, 21-ig 3%-kal, 215-ig 5%-kal kell csökkenteni ezen értéket). A növekv forgalom mellett egyre nagyobb szerep jut az egyre fejl d ún. aktív és passzív járm biztonsági rendszereknek is. Az aktív biztonság tulajdonképpen a baleset elkerülését jelenti, ide sorolhatóak a járm mozgását, az útviszonyokat és a közlekedés többi résztvev jének mozgását is elemz intelligens járm irányítási rendszerek, míg passzív biztonságon azt értjük, hogy ha már bekövetkezettt a baleset, akkor azt az érintettek a lehet legkisebb sérülésekkel vészeljék át. A passzív biztonsági rendszerek legfontosabb elemei a biztonsági öv, a különféle légzsákok, és az ún. energia elnyel elemek, energia elnyel vagy más néven gy r dési zónák. Ez utóbbiak az ütközés el tti mozgási energia elnyelésére szolgálnak, így megóvják az utasteret az ütközés súlyosabb következményeit l, legalábbis egy bizonyos 8

9 1. FEJEZET. BEVEZETÉS sebességhatárig ([48], [24], [39], [6], [69], [7]). További fontos feladat az ütköz járm vek kompatibilitásának vizsgálata ([32], [56], [57]). A felsoroltak mindegyikének fejlesztése rendkívül bonyolult mérnöki feladat, melyek megoldásában felhasználják a tapasztalati adatokat, a vizsgált rendszert legalább közelít leg leíró matematikai modelleket, és természetesen a szimulációs eljárások eredményeit ([3], [47]). A tapasztalati adatok származhatnak valódi balesetekb l, ekkor viszont csak kevés paraméter ismert, és ezek értéke is bizonytalan. Ezért megfelel bb, ha jól megtervezett, ismert paraméterekkel rendelkez, legalább elvileg megismételhet törési próbákat hajtanak végre. Ennek során a vizsgált járm és az ütközési folyamat minél több paraméterét regisztrálják, majd az elméleti szimulációs modell viselkedését az itt mért adatokkal hasonlítják össze. Ezek a kísérletek azonban egyrészt rendkívül költségesek, évente csak néhány ezret végeznek el bel lük, másrészt a rendszer minden egyes paraméterét szinte lehetetlen egyszerre mérni az ütközési folyamat igen rövid id tartama alatt. Ezért az egyes részfolyamatokra és azok paramétereire vonatkozó modellezési eljárásoknak és becsléseknek kiemelt fontosságuk van. Az ütközési deformációs folyamatok teljeskör modellezésére a mérnöki gyakorlatban általában valamilyen, a gyorsan változó er hatások és a plasztikus alakváltozás kezelésére alkalmas végeselemes szoftvert használnak. Ezekben a szimulációkban a járm test, pl. gépkocsitest végeselem modellje ritkán tartalmaz 5 -nél kevesebb elemet. A modell id függ dinamikai folyamatot ír le, és számos, az ütközési folyamat el rehaladása során változó érintkezési feltételt kell kezelnie. A maradandó alakváltozások számításakor nemlineáris anyagtörvényeket kell alkalmazni, hiszen az ütközés során az egyes alkatrészek képlékeny alakváltozási állapotba jutnak. Ráadásul a nagy sebességgel lejátszódó folyamat miatt az anyagjellemz k még az alakváltozás sebességét l is függenek. A futtatás során hatalmas mennyiség adat keletkezik (pl. minden csomópontban 3 elmozdulás-érték, a feszültségtenzor 9 eleme, stb.), és egy modell sok esetben több 1 csomópontból áll. A deformációs energia eloszlását, az egyes szerkezeti részek által disszipált energia mennyiségét a számított er és elmozdulás értékekre alapozva határozzák meg, természetesen sok más jellemz vel együtt. A mechanikai jelentés dierenciálegyenlet rendszer numerikus megoldását adó végeselemes módszer általános, szinte minden területen használható eljárást eredményez. Az így felépül 9

10 1. FEJEZET. BEVEZETÉS eljárás rendkívül bonyolult és nagy számításigény. Azonban itt is komoly szerepet kap a heurisztika, a m szaki gyakorlati feladatok megoldása során összeálló mérnöki tapasztalat, pl. a végeselem háló típusának és nomságának megválasztásában. Ezzel szemben a csak egy jól körül határolt konkrét részproblémát (pl. az energiaeloszlást) kezel heurisztikus modellek jóval egyszer bben kezelhet k lehetnek, de természetesen nem nyújtanak teljes kör leírást. A balesetelemzés során kiemelt gyelmet kap a járm szerkezeti struktúra energia elnyel képessége, ezen belül kiemelten a járm test plasztikus deformációja által elnyelt kinetikus energia minél pontosabb becslése. Az így meghatározott energia ekvivalens sebességet alkalmazzák a balesetelemzésnél ([39]). A deformációs folyamat során elnyelt energia meghatározására és a deformáció során fellép er közelít leírására több modell is ismeretes, melyek részletesen ismertetésre kerülnek a 2. fejezetben. A modellekben meggyelhet az alkalmazott er lefutási függvény és az ezzel szoros összefüggésben lev merevségi függvény egyre komplexebb megragadása. Az utóbbi években az irányításelmélet területén, magas szint multilineáris algebrai eszköztárra támaszkodva ([16]) új módszerek születtek a lineáris paraméterfügg (linear parameter varying, LPV) modellek vizsgálatára ([5],[1], [2], [3], [11], [4], [62]). Ezzel lehet ség nyílik a nemlineáris rendszerek egy széles osztályának egységes numerikus kezelésére. Jelen dolgozat egyik célja az irányításelmélet területén a közelmúltban már sikerrel alkalmazott módszereknek a baleseti járm test deformációs folyamatok modellezésében történ alkalmazhatóságának vizsgálata Célkit zések Az értekezés célja új identikációs és becslési eljárások kidolgozása a járm testek teljes (elasztikus és maradandó) deformációs folyamatainak leírására. A f célkit zés olyan új energiaabszorpciós modellek megalkotása, amelyek gyorsan és hatékonyan adnak elfogadható pontosságú leírást a deformációs folyamat gyakorlati kezeléséhez. Jól ismert, hogy a deformációs folyamat klasszikus leírásához egzakt módon ismernünk kellene a járm test minden összetev jének alapvet zikai paramétereit, mint például rugalmassági modulus, nyírási modulus, stb. Ezek általában pontosan 1

11 1. FEJEZET. BEVEZETÉS nem ismertek, de egzakt paraméterek esetén is igen bonyolult, általában parciális dierenciálegyenlet rendszerek megoldása jelentené a deformációs folyamat egzakt leírását. Ilyen típusú megközelítésen alapulnak a rugalmas/plasztikus deformációs folyamatok modellezésére ma már széleskör en alkalmazott végeselem módszerek is. Az utóbbi módszerek általános hátránya, hogy egyrészt a paraméterek részletekbe men ismeretét tételezik fel, másrészt még ilyen pontos ismeretek esetén is t rhetelenül hosszú lehet egy deformációs folyamat számítógéppel történ teljes rekonstruálása. A deformációs energia változásával kapcsolatos folyamatok meghatározására más eljárásokat is kifejlesztettek, melyek a deformáció során fellép er hatások különféle közelítésein alapulnak. Összehasonlítva a végeselem alapú eljárásokkal, ezek kevésbé pontos eredményeket szolgáltatnak, viszont sokkal kedvez bb számítási kapacitás igényük van és jóval kevesebb ismert paraméterre támaszkodnak. Jelen értekezés célja új eljárások kidolgozása a deformációs energiaváltozási folyamatok heurisztikus modellezésére, valamint a deformációs folyamatokat kísér nemlineáris er alakulások modellezési lehet ségeinek továbbfejlesztésére vonatkozó vizsgálatok kivitelezése. A kutatómunka során az alábbi célokat t ztük ki: A deformációs folyamatot kísér er változási folyamatok elemzésére alkalmas modellek összehasonlítása és elemzése, különös tekintettel a merevségi függvény alakulására. A deformációs folyamat egyszer heurisztikus modelljének kidolgozásához szükséges alrendszer-jellemz k (pl. energiaelnyelési képesség) meghatározása. A heurisztikus modell illusztratív bemutatása gépjárm vek tipikus baleseti ütközési helyzeteire. A deformáció során fellép er folyamatok további m szaki jellemz kt l való függ ségi viszonyainak gyelembevételével a deformációs folyamat nemlineáris modellel történ leírása. A közelít en lineáris er -deformáció összefüggés bizonyos általánosításaként értelmezhet lineáris paraméterfügg (linear parameter varying, LPV) er lefutási modell identikálása. 11

12 1. FEJEZET. BEVEZETÉS Az LPV rendszer magasabbrend szingulárisérték szerinti felbontás (higher order singular value decomposition, HOSVD) alapú redukciójának vizsgálata. Az LPV/HOSVD alapú identikációs eljárás valós adatokon történ bemutatása. A disszertáció szerkezeti felépítése a következ : A Bevezetést követ 2. fejezet áttekintést ad a járm deformációs folyamatok terén használatos er modellekr l, valamint a merevség jellemzésére alkalmas fogalmakról. A 3. fejezet az értekezésben használt matematikai módszereket és azok hátterét ismerteti. A 4. fejezet a szerkezeti struktúra deformációs folyamatát kísér energiaváltozási folyamatok heurisztikus modelljét mutatja be. Az 5. fejezet a gépjárm járm szerkezet baleseti ütközéskor kialakuló deformációs folyamatának lineáris paraméterfügg (LPV) er modelljét ismerteti, melyet valós ütközési tesztekb l származó adatsorokon muitatok be. A 6. fejezet az értekezés téziseit foglalja össze, valamint az alkalmazási lehet ségeket mutatja be. 12

13 2. fejezet Er modellek A járm vek ütközési energia elnyel zónáinak ötlete Barényi Béla nevéhez és az 1951-es szabadalmához köthet, elképzelését gyakorlatban el ször az 1953-as Mercedes18 típusban alkalmazták. Attól kezdve egyre lényegesebbé vált a közúti járm vek ütközésbiztonságának kérdése, a gépjárm gyártó cégek pedig igen nagy hangsúlyt fektetnek a biztonságra, töréstesztek sorozatait végzik el, hogy vizsgálják és igazolják a termékük biztonságosságát. Az ütközéskor elszenvedett deformáció mértéke szoros összefüggésben van a deformáció során felemésztett energiával, amely sok esetben közelít leg megegyezik a járm ütközés el tti mozgási energiájával. Az energia elnyel zónák feladata tulajdonképpen a járm kinetikus energiájának deformációs energiává alakítása, természetesen az utasbiztonság céljainak megfelel en. A deformáció nagyságának ütközési sebesség (energia) függését persze rengeteg tényez befolyásolhatja (pl. az ütközés típusa, a vázszerkezet felépítése, a motor elhelyezkedése stb.), de a folyamat során elnyelt energia minden esetben lényeges információt hordoz. Fontos feladat tehát a deformációs folyamat során elnyelt energia eloszlásának, mennyiségének vizsgálata, erre irányuló modellek identikálása, ezek paraméter függéseinek értelmezése. A deformáció során elnyelt energia meghatározására irányuló módszereket alapvet en két csoportra oszthatjuk. A visszafelé történ számításnál a járm ütközés során kialakult helyzete, valamint a deformált járm test alapján határozzák meg a baleset paramétereit, például a járm sebességét az ütközés pillanatában. Mint oly sok területen, itt is egyre inkább el térbe kerülnek az úgynevezett lágy számítás- 13

14 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK 2.1. ábra. Barényi Béla vázlata a mells és hátsó ütközési zónákkal ellátott cellaautóról. tudományi technikákon alapuló módszerek, melyekkel a tapasztalt humán szakért tudása és a matematikai precizitás sikeresen ötvözhet ([5], [67], [68], [49], [66]). Az el re történ számítás során az ütközés el tti állapot paramétereit használják egy mérési adatokon és elméleti megfontolásokon alapuló matematikai modell bemeneteként. Mivel a gépjárm önmagában is egy rendkívül komplex rendszer, ezért ezek a modellek szükségképpen er sen leegyszer sítik a valós folyamatot, ennek ellenére értékes eredményeket szolgáltatnak. Az alábbiakban a második csoportba tartozó fontosabb modelleket ismertetjük. Ezek mindegyike az ütközési folyamat során fellép er t adja meg a deformáció függvényében, melyb l az elnyelt energia már meghatározható. Statisztikai adatok alapján egyértelm, hogy a baleseti ütközések jelent s része frontális jelleg, másrészt a töréstesztek dönt többsége is a frontális ütközést vizsgálja, ezért a továbbiakban csak erre az esetre fókuszálunk Energia mérleg Általános esetben, két test ütközésekor az energia mérleg: E T1 + E R1 + E T2 + E R2 = E T 1 + E R 1 + E T 2 + E R 2 + E D1 + E D2 + E S, (2.1) ahol az i-edik test 14

15 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK mozgási (transzlációs) energiája: E Ti = 1 2 m iv 2 i E Ti = 1 2 m iv 2 i forgási (rotációs) energiája: E Ri = 1 2 Θ iω 2 i deformációs energiája: E Di = 1 2 m i(ees i ) 2. Az E S egyéb energiát jelöl (hang, fény, h, stb.), mely a többihez képest általában elhanyagolható mérték, így a további vizsgálatok során gyelmen kívül hagyjuk. Ha a folyamat számottev forgás nélkül zajlik le, akkor az egyenletünk eképpen egyszer södik: 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1u m 2u E D1 + E D2. (2.2) Ebb l pedig a teljes defomáció által felemésztett energia: E D1 + E D2 = 1 2 m 1v m 2v m 1u m 2u 2 2. (2.3) Összevonás után kapjuk: E D1 + E D2 = 1 m 1 m 2 ( (v1 + v 2 ) 2 (u 1 + u 2 ) 2). (2.4) 2 m 1 + m 2 A töréstesztek során általában ez utóbbi formula érvényes, a forgási és egyéb energia fajták elhanyagolhatóak. Merev (deformálhatatlan és mozdíthatatlan) akadálynak történ ütközéskor az akadály elmozdulása, deformációja gyakorlatilag elhanyagolható, a járm egy nagyon rövid visszalök dési fázis után megáll, tehát a teljes mozgási energiáját a fellép deformációnak kell elnyelnie. Azaz m 1, v 1 = u 1 =, u 2 esetén: E D2 = 1 2 m 2v2. 2 (2.5) Az utasbiztonság szempontjából kulcsfontosságú kérdés, hogy ez a járm milyen mérték deformációjával jár, hiszen a nagyon rövid deformációs úthossz túlságosan nagy gyorsulást (lassulást) eredményezne, viszont az utascella sértetlenségét is lehet leg biztosítani kell. Élettani kutatások szerint az ütközéses balesetek esetén 15

16 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK az emberi szervezetre megállapítható túlélési lassulási határérték 6 g. Ha feltételezzük, hogy az utas a járm vel azonos módon lassul, akkor a 6 g állandó érték lassulásból és 5 km/h ütközési sebességb l kb. 16 cm-es lassulási úthossz következik, ami már egy igen rövid járm nél is megvalósíthatónak t nik. Ez természtesen csak egy becsült elméleti érték, a gyakorlatban ennél nagyobb lassulási úthosszal számolhatunk. A járm test által elnyelt energia a fellép er függvénye, mely függ a járm egyes részeinek zikai paramétereit l, tehát nem feltétlenül egyenletesen oszlik el a járm test szélességében és magasságában, másrészt függ a deformáció mélységét l is, azaz E D = x y w f(x, y, w) dw dy dx. (2.6) A következ pontban bemutatásra kerül ismertebb er modellek a járm test felülnézeti képét osztják fel a járm test szélességében és így vizsgálják a deformáció mélységét, a magassággal változó paraméterekkel általában nem foglalkoznak. A szélességi felosztásnak megfelel zónákban végig ugyanolyan, a deformáció mélységét l függ er modellt alkalmaznak, ezek összegeként áll el a teljes deformációs folyamat során fellép er. Mivel a teljes átfedés frontális ütközések esetén a deformáció mértéke a járm test teljes szélsességében és magasságában nagyjából azonosnak tekinthet, ezért az alábbiakban a szélesség szerinti felosztást már nem hangsúlyozzuk, az adott modell értelemszer en átvihet a teljes járm helyett annak szélesség szerinti zónáira is Gyakoribb er modellek A frontális ütközésekben a járm legfontosabb paraméterei a tömege, a sebessége és a merevsége, mely utóbbi magában foglalja a járm test geometriai felépítését is. Míg itt az els két adat egyértelm en meghatározott, addig az utóbbi jóval nehezebben vizsgálhat s t, több különböz értelmezése is lehetséges. A deformációs modellekben általában a merevségnek a Hooke-törvényb l ismert, rugóállandószer fogalmát alkalmazzák. Az alábbiakban a járm test deformációs folyamatok elemzése során gyakrabban alkalmazott er modelleket ismertetem röviden. A deformáció során fellép er t, és 16

17 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK így a deformáció folytán elnyelt energiát is, a modellek mindegyike a járm test merevségi paraméterét l teszi függ vé. A modellek közötti alapvet különbséget tulajdonképpen a paraméter kvalitatív megválasztása jelenti. Az így kapott deformációs er modellek min sége és komplexitása szoros összefüggésben van a merevségi paraméter összetettségével. erõ (N) x idõ (s) deformáció (m) idõ (s) 2.2. ábra. Az ütközéskor fellép er és a deformáció az id függvényében, egy valós esetben (az adatok forrása: NHTSA adatbázis) Lineáris modell Ez a legelterjedtebb és egyben legrégibb modell, alapját adja több szimulációs programnak is (pl. CRASH, SMAC) ([36], [37], [38]). A lineáris modell megalkotása Campbell nevéhez f z dik, aki Emori kutatásai nyomán ( [2], [21], [22]) jó közelítéssel lineáris összefüggést talált a frontális ütközés sebessége és a maradandó deformáció nagysága között. Habár a Campbell-féle modell nem közvetlenül a deformáció során fellép er linearitásának feltételezésén, hanem nagy számú törésteszt kiértékelésén alapul, 17

18 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK mégis néhány, viszonlyag egyszer feltevésb l levezethet ([8], [9]). x erõ (N) deformáció (m) 2.3. ábra. A 2.2 ábra függvényeib l meghatározott er deformáció görbe. Látható, hogy a grakon kezdeti szakasza közel lineáris, majd utána er s nemlineáris jelleg mutatkozik. A feltevés szerint az összenyomódási fázisban a fellép er arányos az deformáció mértékével, azaz a jól ismert lineáris er törvénnyel leírható: F = kx, (2.7) ahol k a merevségi együttható,x pedig a deformáció pillanatnyi nagysága. Mivel az el z rész feltevései szerint a deformációnak a járm teljes mozgási energiáját fel kell emésztenie, ezért 1 2 mv2 = 1 2 kx2 m. (2.8) A kompressziós fázis után, a deformációs folyamat második részeként, rövid visszalök dés következik be, amely nyomán kialakul a járm test maradandó deformációja. Egy további feltevés, hogy a maximális deformáció (x m ) felbontható a maradandó (x r ) és a visszaalakuló (x ) deformáció összegére: x m = x + x r, (2.9) és ez az x független a deformáció nagyságától, vagyis a visszanyert rugalmas energia nagysága is állandó, továbbá meghatározható a maradandó deformációval nem 18

19 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK 6 5 mért adatok (NHTSA) illesztett egyenes: v=,647x + 6,947 ütközési sebesség (km/h) maradandó deformáció (mm) 2.4. ábra. Az ütközési sebesség a maradandó deformáció függvényében. Meggyelhet, hogy a járm egy bizonyos sebességhatárig nem szenved maradandó deformációt. járó ütközés határsebessége is. Megjegyzend, hogy a terhelési és a visszalök dési fázis ugyanolyan merevségi paraméterrel történik, de léteznek olyan modellek is, ahol ez nem teljesül (McHenry). E = 1 2 mv2 = 1 2 kx2 v = k m x. (2.1) Az eredeti, kísérleti eredmények alapján meghatározott Campbell-féle összefüggéshez (v = b + b 1 x r )az el z ek összevetéséb l juthatunk: 1 2 mv2 = 1 k 2 k(x + x r ) 2 v = m (x + x r ), (2.11) vagyis az ütközési sebesség a maradandó deformáció lineáris függvényeként áll el. A modell együtthatói ez alapján: k = mb 2 1 x = b b 1. (2.12) További átalakítások után az er és a maradndó deformáció közötti összefüggés: F = k(x + x r ) = m(b b 1 + b 2 1x r ), (2.13) 19

20 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK Erõ (N) x k=5 kn/m k=4 kn/m k=45 kn/m Energia (J) x 1 4 k=5 kn/m k=4 kn/m k=45 kn/m deformáció (m) deformáció (m) 2.5. ábra. A deformáció során fellép er és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében lineáris er modell esetén vagy a szakirodalomban elterjedtebb jelölésekkel: A maximális elnyelt energia: A = mb b 1 B = mb 2 1 x = b b 1 = A B. (2.14) E m = 1 2 F x m = 1 2 (A + Bx r)(x + x r ) = (2.15) = A2 2B + Ax r + Bx2 r = (A + Bx r) 2, 2 2B vagyis E m meghatározható, ha ismerjük a maradandó deformáció nagyságát, az ütközési sebesség pedig: v = Szakaszonként lineáris modell 2Em (A + m = Bxr ) 2 Bm. (2.16) Számos törésteszt igazolja, hogy a deformáció során fellép er meredeksége a deformáció el rehaladtával csökken, vagyis a járm testhez rendelt merevség nem 2

21 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK x 1 5 Erõ (N) deformáció (m) k 1 =8 kn/m, k 2 =1 kn/m k 1 =2 kn/m, k 2 =5 kn/m k 1 =4 kn/m, k 2 =15 kn/m Energia (J) 14 x k 1 =8 kn/m, k 2 =1 kn/m k 1 =2 kn/m, k 2 =5 kn/m k 1 =4 kn/m, k 2 =15 kn/m deformáció (m) 2.6. ábra. A deformáció során fellép er és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében szakaszonként lineáris er modell esetén. lehet egyetlen paraméter. A szakaszonként lineáris modell (a szakirodalomban sok helyütt a bilineáris modell elnevezést használatos) ennek a jelenségnek egy igen egyszer modellje. Két konstans merevség részb l áll össze: a kisebb deformációkra, vagyis az alacsonyabb sebesség ütközésekre, egy k 1 merevség lineáris modell érvényes, egészen egy bizonyos x bl maradandó deformációig, ezután a bilineáris forma érvényes egy kisebb k 2 értékkel ([41], [55], [65]). A deformációs folyamat során fellép er általánosan: ha x < F (x) = k 1 x ha x x bl (2.17) k 1 x bl + k 2 (x x bl ) ha x > x bl A maximális elnyelt energia energia x m x bl esetén természetesen azonos a lineáris modellb l kapott értékkel, x m > x bl esetén pedig E m = 1 2 k 1x 2 m k 1 k 2 (x m x bl ) 2, (2.18) 2 21

22 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK melyb l az x m = x + x r összefüggést felhasználva a maradandó deformáció ismeretében az ütközési sebesség is meghatározható: v = 2Em 1 m = m (k 1(x + x r ) 2 (k 1 k 2 )(x + x r x bl ) 2 ). (2.19) Er telít dési modell Ez tulajdonképpen a szakaszonként lineáris modell speciális esetének tekinthet, amikor egy bizonyos mérték maradandó deformáció elérése után a fellép er nem növekszik tovább, hanem állandó marad, tehát a második szakaszon k 2 = teljesül. Sikerrel alkalmazták ezt a modellt frontális, oldalirányú és hátsó ütközések vizsgálatánál ([53], [54], [55], [64], [71]). ha x < F (x) = kx ha x x s (2.2) kx s ha x > x s A maximális elnyelt energia x m x s esetén itt is a lineáris modellnek felel meg, ha pedig x m > x s, akkor E m = 1 2 kx2 m 1 2 k(x m x s ) 2 = kx s (x + x r 1 2 x s). (2.21) Ebb l az ütközés el tti sebesség pedig: 2Em 2k v = m = m x s(x + x r,5x s ). (2.22) Hatvány modell Az el z két modell megfelel ugyan annak a meggyelésnek, hogy a deformáció mélységével a járm test merevsége csökken, viszont ez az átmenet túlságosan drasztikusan jelenik meg, a durva töréspont zikailag nehezen indokolható. A hatvány modell ezzel szemben sima átmenetet biztosít a lineáris jelleg és a telít dést mutató tartományok között, miközben a mért (és símított) er -deformáció karakterisztikát is jobban közelíti az el bbieknél, ezenkívül a deriváltjai is folytonosak, ami megkönnyíti a további vizsgálatokat ([12], [73]). 22

23 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK Erõ (N) x k=2 kn/m k=125 kn/m k=4 kn/m deformáció (m) Energia (J) 14 x k=2 kn/m k=125 kn/m k=4 kn/m deformáció (m) 2.7. ábra. A deformáció során fellép er és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében az er telít dési modell esetén. A fellép er x esetén F (x) = k x N ( x x N ) n ( ) n xr + x = k x N, (2.23) ahol k a referencia-merevség, x N pedig normálási tényez, a kitev n 1. A tapasztalat szerint az n 2 eset elég jól illeszkedik a mérési adatokra. Vegyük 3 észre, hogy a hatvány modell n = 1 esetén a lineáris, n = esetén pedig a változatlan er nek megfelel modellt szolgáltatja. Ez alapján az n = esethez tartozó er t referencia er nek (f ) tekintve: ( ) n x F (x) = k x N = k n f 1 n x n. (2.24) x N A maximális elnyelt energia: E m = k ( ) x 2 n+1 N x = k n n + 1 x N f 1 n x N x n+1 n + 1. (2.25) 23

24 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK Erõ (N) x k=15 kn/m, n=,25 k=15 kn/m, n=,5 k=15 kn/m, n=,75 k=15 kn/m, n=1 Energia (J) x k=15 kn/m, n=,25 k=15 kn/m, n=,5 k=15 kn/m, n=,75 k=15 kn/m, n=1 deformáció (m) deformáció (m) 2.8. ábra. A deformáció során fellép er és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében hatvány modell esetén. Az elnyelt energiából számított sebesség: 2Em v = m = 2k x 2 N (x r + x ) n. (n + 1)mx n (2.26) N 24

25 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK 2.3. A merevség fogalmának különféle megközelítései A járm test merevsége széles körben használt heurisztikus fogalom a balesetelemzés és a járm biztonság területén ([29], [42], [44], [74]). A merevség, mint egyetlen számérték, egyértelm en meghatározott a lineáris modell esetében, viszont a járm test deformációs folyamatok általában nem írhatóak le kielégít en lineáris modellel, s t a merevség pontos fogalmának interpretálására is többféle lehet ség kínálkozik ([43], [45], [46]). Az alábbi megközelítések tulajdonképpen a lineáris modellnél használt merevség fogalom bizonyos általánosításainak tekinthet k, általános esetben a deformáció mélységével változó merevséget eredményeznek. Az er modellek alapján deniálhatjuk a lokális merevség fogalmát, mely az er karakterisztika érint jének meredeksége az adott pontban, azaz: k lok = df dx. (2.27) Energia ekvivalens vagy globális merevségen azt értjük, hogy az elnyelt energia (E) és a fellép deformáció (x) milyen lineáris modellnek felelne meg, vagyis ezen elvi lineáris modell együtthatója: k gl = 2E x 2. (2.28) A lineáris modell lokális és globális merevsége is állandó, a bilineáris és az er telít dési modell globális merevsége monoton csökken folytonos függvény, míg lokális merevségük mind a lineáris, mind a bilineáris vagy telít dési tartományon belül egy-egy konstans érték. A hatvány modell globális és lokális merevsége is folytonos, monoton csökken függvény. Látható, hogy a modellek bonyolultsága és pontossága szoros összefüggésben van a merevségi értékek (függvények) összetettségével. Ezek a megközelítések feltételezik az er karakterisztika és deformációs folyamat során elnyelt energia pontos ismeretét, ami a gyakorlatban csak közelít leg valósulhat meg (elég arra gondolni, hogy az er deformáció függvény pontos ismeretéhez szükségünk lenne az esetleges anyaghibák egzakt paramétereire is). A töréstesztek eredményeképpen kapott er deformáció görbe is diszkrét, sz rt mérési pontokból 25

26 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK 2.1. táblázat. A különféle modellek merevségeinek összehasonlítása lokális merevség globális merevség Lineáris modell k k Bilineáris modell Er telít dési modell Hatvány modell k 1 ha x x bl k 1 ha x x bl k 2 ha x > x bl k 1 (k 1 k 2 ) ( ) 1 x bl 2 ha x > x bl k ha x x s k ha x x s ha x > x s k k ( ) 2 1 xs ha x > x x s ( ( k n x x N ) n 1 2k n+1 x ) n 1 x x N áll, így például a lokális merevség deníció szerinti meghatározására nincs is lehet ségünk. Az említett korlátok miatt egyszer bb, mérési adatokon alapuló merevségi jellemz ket is deniálhatunk, melyek tekinthet ek az el z két modell durvított, diszkretizált változatainak is. Az er deformáció karakterisztika bizonyos szakaszára illesztett egyenes meredekségét tekinthetjük közelít merevségi értéknek. Nyilván az így kapott érték függeni fog a szakasz megválasztásától. Egy bizonyos szakaszon tekinthetjük az átlagos deformációs er t és ebb l, a lineáris er törvényb l származó energia kifejezéssel származtatjuk a merevséget, azaz 1 2 kd2 = F d k = 2F d, (2.29) ahol d az említett szakasz hossza. Természetesen a kapott érték itt is függ a tartomány megválasztásától. Vizsgálhatjuk úgy a deformációt, mintha a járm teljes mozgási energiája a lineáris modellnek megfelel en nyel dött volna el, azaz ahol x max a maximális deformáció nagysága. 1 2 kx2 max = 1 2 mv2 k = mv2, x 2 (2.3) max Végezetül megemlítem, bár dimenzióban nem egyeznek az eddigiekkel, de a mért er deformáció karakterisztikában megjelen lokális maximumok, csúcsok (peaks) szintén alkalmasak a járm test merevségének jellemzésére. 26

27 2. FEJEZET. ERŽMODELLEK 2.4. A bemutatott modellek kritikai elemzése A lineáris modell kielégít eredményeket ad a deformációs folyamat kezdeti szakaszában, viszont nem kezeli azt a jelenséget, hogy nagyobb deformációknál a merevségi paraméter értéke csökken. Ennek megfelel en nagyobb mérték deformációk esetében túlbecsüli az elnyelt energiát és így a járm ütközési sebeségét is. A szakaszonként lineáris és az er telít dési modell jó közelítést ad mind a deformáció kezdeti (lineáris) szakaszában, mind pedig a lineáris tartományon kívül. A függvényekben megjelen töréspontot a motor helyével szokás kapcsolatba hozni, ezzel együtt a hirtelen letörés nehezen magyarázható. A hatvány modell speciális esetként visszaadja a lineáris modellt, a bilineáris és az er telít dési modellt pedig folytonosan dierenciálható függvényként közelíti, sima átmenetet biztosítva az állandó merevség és az állandó er modellje között, az el z eknél reálisabb er -deformáció karakterisztikát ad. A bemutatott modellek mindegyike adós marad a töréstesztek során mért (LCB - load cell barrier test ), sokszor csúcsszer en megjelen (peak force), majd lecsökken er modellezésével. A visszalök dési fázist a fenti er modellek nem tartalmazzák, az ott keletkezett struktúrális visszaalakulást és a maximális deformáció során megjelen deformációs energia egy részének visszaalakulását a maradandó deformáció ismeretében (mint pl. a lineáris modellnél) határozzák meg. 27

28 3. fejezet A felhasznált matematikai megközelítések és modellek 3.1. Alapfogalmak Ebben a részben a többdimenziós tömbökkel (magasabb rend tenzorokkal) kapcsolatos azon fogalmakat és tulajdonságokat ismertetem, amelyek feltétlenül szükségesek a lineáris algebrából ismert szinguláris érték szerinti felbontás magasabb rend tenzorokra történ általánosításának megalapozásához. A tárgyalás során Lathauwer [16] m vét vettem alapul. Fontos megjegyezni, hogy (az alapul vett külföldi szakrodalomnak megfelel en) tenzor alatt most egy többdimenziós tömböt (többdimenziós mátrixot) értünk. Hasonlóan a kés bbiekben el kerül súlyfüggvény alatt nem az egységimpulzusra adott választ, hanem az egyes részrendszerek fontosságát jellemz függvényt értjük. A klasszikus lineáris algebrában szokásos fogalmak némelyike szinte triviálisan kiterjeszthet többdimenziós tenzorokra, de bizonyos esetekben (például a rang értelmezésénél) a megszokott tulajdonságok már nem, vagy nem a szokásos módon teljesülnek. Els ként ismertetem egy N-ed rend tenzor mátrix reprezentációját, amely szemléletesen a tenzor kiterítését jelenti valamelyik dimenziója szerint Definíció. Legyen A egy N-ed rend tenzor, azaz A R I 1 I 2... I N. Ekkor az A tenzor n- edik dimenzió szerinti kiterítettjén az A tenzor n-edik dimenziójának a r R In oszlopvektoraiból álló A (n) R In I n+1i n+2...i N I 1 I 2...I n 1 mátrixot értjük. 28

29 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK A rang fogalma nem általánosítható egyértelm en, míg mátrixok esetében a sorés az oszloprang, valamint a mátrixot lineáris kombinációként el állító egy rangú márixok száma megegyezik, addig ez a magasabb rend tenzorok esetében már nem teljesül ([17]). A többféle rang-koncepció közül most csak az egyik lehetséges, a továbbiakban fontos szerepet játszó általánosítást mutatom be Definíció. Az A tenzor n-edik dimenzió szerinti rangja (R n ) az n-edik dimenzió szerinti kiterítettjének rangja, azaz R n = rang n (A) = rang(a (n) ). A skaláris szorzat, az ortogonalitás, és a Frobenius-norma fogalma triviálisan általánosítható tenzorokra Definíció. Az A, B R I 1 I 2... I N tenzorok skaláris szorzata A, B =... a i1 i 2...i N b i1 i 2...i N. i 1 i 2 i N 3.4. Definíció. Az A és B tenzorok ortogonálisak, ha skaláris szorzatuk Definíció. Az A tenzor Frobenius normája: A = A, A. Egy mátrix és egy tenzor valamely dimenzió szerinti szorzatát a mátrix-mátrix szorzáshoz hasonlóan deniálhatjuk, így ez a m velet értelmezhet úgy is, mint a tenzor megfelel dimenzió szerinti kiterítettjének és a mátrixnak a szorzata Definíció. Az A R I 1 I 2... I N tenzor és az U R J n I n mátrix n-edik dimenzió szerinti szorzata (A n U)egy I 1 I 2... I n 1 J n I n+1... I N méret tenzor, melynek elemei (A n U) i1 i 2...i n 1 j ni n+1...i N = a i1 i 2...i n 1 i ni n+1...i N u jnin. i n Több tényez s szorzat esetén a jelölés: A 1 U 1 2 U N U N = A N U n. n=1 29

30 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK 3.1. ábra. A harmadrend A tenzor kiterítettjei Következmény. Ha A = B n U, akkor A (n) = UB (n) Következmény. Ha A R I 1 I 2... I N, és F R Jn In, G R Jm Im, n m, akkor (A n F) m G = (A m G) n F = A n F m G Következmény. Ha A R I 1 I 2... I N, F R Jn In és G R Kn Jn, akkor (A n F) n G = A n (G F). 3

31 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK 3.2. Magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontás A magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontás ismertetéséhez el ször tekintsük át valamely mátrix szinguláris érték szerinti dekompozícióját, mely az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 3.1. Tétel. (SVD) Minden A R I 1 I 2 mátrix felírható az alábbi szorzat alakban: A = U 1 S U T 2 = S 1 U 1 2 U 2 = S 2 U n, (3.1) n=1 amelyben 1. U 1 = (u (1) 1, u (1) 2,..., u (1) I 1 ) I 1 I 1 méret unitér mátrix; 2. U 2 = (u (2) 1, u (2) 2,..., u (2) I 2 ) I 2 I 2 méret unitér mátrix; 3. S R I 1 I 2, amely a) pszeudodiagonális: S = diag(σ 1, σ 2,..., σ min(i1,i 2 )), b) a f átló elemei monoton csökken sorrendben rendezettek: σ 1 σ 2... σ min(i1,i 2 ). A σ i -k az A mátrix szinguláris értékei, az u (1) i és u (2) i vektorok pedig az i-edik bal-,illetve jobboldali szinguláris vektorok. Megjegyzések: 1. Az A mátrix rangja megegyezik a nemnulla szinguláris értékek számával. 2. Ha vannak megegyez szinguláris értékek is, akkor a felbontás csak egy ( 1)- es szorzó erejéig egyértelm. A fenti dekompozíció általánosításához nem az S diagonális voltát, hanem U 1 és U 2 szerepét kell szem el tt tartanunk. Vegyük észre, hogy U 1 és S, illetve U 2 31

32 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK 3.2. ábra. A szinguláris érték szerinti felbontás szemléltetése és S között a kapcsolat nagyon hasonló: ahogyan U 1 az S sorainak lineáris kombinációját képzi, úgy U 2 az S oszlopainak lineáris kombinációját képzi. Ahogyan S oszlopai szorzódnak U 1 -gyel, úgy szorzódnak a sorai U 2 -vel, amilyen kapcsolatban állnak U 1 oszlopai az A mátrix oszlopterével, olyan kapcsolatban állnak U 2 oszlopai a sorterével. A felbontás során keletkez tényez k ezen szimmetrikus, dimenziónként teljesen egyenrangú szerepe jól szemléltethet a mátrix-tenzor szorzatnál bevezetett n m velettel. Ezzel az A mátrix szinguláris érték szerinti felbontása: A = S 1 U 1 2 U 2. Ilyen megközelítésben a mátrixoknál megismert dekompozíció magasabb rend tenzorokra is kiterjeszthet az alábbi módon: Tétel. (HOSVD) Minden A R I 1 I 2... I N amelyben tenzor felírható az alábbi szorzat alakban: A = S 1 U 1 2 U N U N = S N U n, (3.2) n=1 1. U n = (u (n) 1, u (n) 2,..., u (n) I n ), n = 1,..., N I n I n méret unitér mátrix; 2. S R I 1 I 2... I N, amelyben az n-edik index rögzítésével keletkezett S in=α altenzorok a következ tulajdonságokkal rendelkeznek: a) ortogonalitás: két altenzor ortogonális n, α és β (α β) minden lehetséges értékére, azaz b) rendezettség: S in=α, S in=β = (α β), S in=1 S in=2... S in=i n 32

33 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK minden lehetséges n-re. Az S in=i Frobenius norma az A tenzor n-edik dimenzió szerinti szinguláris értéke, az u (n) i vektor. vektor pedig az i-edik, n-edik dimenzió szerinti szinguláris Természetes módon a mátrixok és a tenzorok szinguláris érték szerinti felbontása számos analógiát tartalmaz. A bal és jobb oldali szinguláris vektoroknak magasabb dimenzióban az n-edik dimenzió szerinti szinguláris vektorok felelnek meg, a szinguláris értékek szerepét az N 1-ed rend altenzorok Frobenius-normája játssza. N-ed rend tenzorok esetében minden 1 n N esetén léteznek az n-edik dimenzió szerinti szinguláris értékek (ezek nem feltétlenül ugyanazok), ezzel szoros összefüggésben van az a tény, hogy egy N-ed rend tenzornak többféle rangja lehet a kiterítés dimenziója szerint. Lényeges különbség, hogy míg az S pszeudodiagonális és elemei nem negatívak, addig az S magtenzor korántsem ritka (azaz nem mindig van nagyon sok nulla eleme). Vagyis itt a karakterisztikus tulajdonság nem a diagonalitásban, hanem az ortogonalitásban jelenik meg, amely az S mátrix diagonális volta miatt ott is teljesül: két különböz sor vagy oszlop skaláris szorzata nulla. Megjegyzések: 1. A magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontás mindig egyértelem en meghatározza az S magtenzort, de ha legalább egy dimenzióban vannak megegyez szinguláris értékek is, akkor az U n mátrixok már nem egyértelm en meghatározottak. 2. Egy N-ed rend tenzor magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontása (HOSVD) az összes dimenzió szerinti kiterítettjeinek ( N) szinguláris érték szerinti felbontását (SVD) jelenti. 3. Az S magtenzor meghatározható az alábbi módon: S = A 1 U T 1 2 U T N U T N = A N U T n. n=1 A mátrixok szinguláris értékek szerinti felbontása lehet séget ad arra, hogy a nulla szinguláris értékeket és a nekik megfelel szinguláris vektorokat elhagyva a mátrix egy minimális felbontását állítsuk el. Hasonló eljárással kaphatjuk meg egy magasabbrend tenzor minimális reprezentációját is. 33

34 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK 3.3. ábra. A magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontás szemléltetése harmadrend tenzor esetén Definíció. (CHOSVD) Tegyük fel, hogy elkészítettük az A tenzor magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontását. Legyen az n-edik dimenzió szerinti kiterített rangja r n. Ha minden dimenzióban elhagyjuk a nulla szinguláris értékeket és a nekik megfelel szinguláris vektorokat, akkor az A tenzor egy minimális felbontását kapjuk (Compact Higher Order Singular Value DecompositionCHOSVD), azaz A = D N U n, (3.3) n=1 amely rendelkezik mindazokkal a tulajdonságokkal, amelyekkel az eredeti felbontás, azzal a különbséggel, hogy U n I n r n -es, D pedig r 1 r 2... r N -es. Ha nemnulla szinguláris értékeket is elhagyunk, akkor az eredeti A tenzor egy közelítését kapjuk. A közelítés hibájára ad fels korlátot a következ tétel Tétel. Legyen az A tenzor magasabb rend szinguláris érték szerinti felbontása a követ- 34

35 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK kez A = S N U n, (3.4) n=1 az n-edik dimenzió szerinti kiterítettjének rangja pedig legyen R n. Legyen továbbá Â az a tenzor, amelyet úgy kapunk, hogy az S tenzor σ(n), I n+1 σ(n),..., I n+2 σ(n) R n szinguláris értékeinek megfelel elemeit nullára cseréljük (I n < R n ). Ekkor R 1 A Â i 1 =I 1 +1 ( ) R2 2 σ (1) i 1 + i 2 =I 2 +1 ( σ (2) i 2 ) RN i N =I N +1 ( σ (N) i N ) 2. (3.5) Megjegyzend, hogy míg mátrixok esetében az így konstruált közelítés legkisebb négyzetes értelemben a legjobb az adott rangúak közül, addig magasabbrend tenzorokra ez már nem mindig teljesül LPV rendszerek HOSVD alapú felbontása Tekintsük az alábbi lineáris paraméterfügg (LPV) rendszert: ẋ(t) = A(p(t))x(t) + B(p(t))u(t) (3.6) y(t) = C(p(t))x(t) + D(p(t))u(t), melyben u(t) R k jelöli a rendszer bemenetét, y(t) R l a rendszer kimenetét, x(t) R m pedig az állapotvektort. Az id függ p(t) Ω paramétervektor (Ω = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a N, b N ] R N ) tartalmazhatja az x(t) állapotvektor elemeit is, vagyis ilyen módon bizonyos nemlineáris rendszereket is leírhatunk. A fenti rendszer rendszermátrixa: S(p(t)) = ( A(p(t)) B(p(t)) C(p(t)) Ezzel az állapottér modell: (ẋ(t) ) y(t) D(p(t)) ) R (m+l) (m+k). (3.7) ( ) x(t) = S(p(t)). (3.8) u(t) Definíció. (Végeselem tenzorszorzat modell) A fenti rendszermátrix tetsz leges p(t) esetén megadható, mint lineáris id invariáns (LTI) rendszermátrixok paraméterfügg kombinációja, azaz (ẋ(t) ) ( ) = S N x(t) w n (p n (t)), (3.9) y(t) n=1 u(t) 35

36 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK ahol 1. p n (t) a p(t) paramétervektor n-edik eleme; 2. a w n (p n (t)) R In (n = 1... N) súlyfüggvényvektor tartalmazza az egyváltozós, korlátos és folytonos w n,in (p n (t)) (i n = 1... I n ) súlyfüggvényeket; 3. w n,in (p n (t)) az n-edik dimenzióban értelmezett i n -edik súlyfüggvény; 4. az n-edik dimenzióban értelmezett súlyfüggvények száma I n ; 5. az N+2 dimenziós S R I 1 I 2... I N O I együttható tenzor az S i1 i 2...i N R O I LTI rendszermátrixokból áll. Tekintsünk egy LPV modellt, amely felírható tenzorszorzat alakban, azaz S(p(t)) = S N w n (p n (t)). (3.1) n=1 Feltehetjük, hogy a w n,in (p n (t)) súlyfüggvények L 2 [a n ; b n ] értelemben lineárisan függetlenek az [a n ; b n ] intervallumok felett. Ellenkez esetben a w n,in (p n (t)) súlyfüggvények közül egy maximális lineárisan független rendszert kiválasztva a többi súlyfüggvény kifejezhet ezek lineáris kombinációjával, vagyis a tenzorszorzat modell mindig megadható lineárisan független súlyfüggvényekkel is. Lineárisan független függvények megadhatóak, mint ortonormált függvények lineáris kombinációi (például GramSchmidt-féle ortogonalizációs eljárással). Így minden egyes [a n ; b n ] intervallum felett meghatározható egy ϕ n,in (p n ) ortonormált függvény rendszer (1 i n I n ), ahol ϕ n,kn (p n ) (1 k n I n ) a w n,in (p n ) (1 i n k n ) függvények lineáris kombinációja. Hasonlóan a w n,in (p n ) függvények is meghatározhatóak a ϕ n,kn (p n ) függvények segítségével Következmény. A fentiek alapján az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy S(p(t)) tenzorszorzat reprezentációjában a w n,in súlyfüggvények ortonormált rendszert alkotnak, azaz minden n-re b n a n w n,in (p n )w n,jn (p n ) dp n = δ ij, (3.11) ahol δ ij a Kronecker-féle deltafüggvény (δ ij = 1, ha i = j és δ ij =, ha i j). 36

37 3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK Alkalmazzuk a minimális reprezentációt szolgáltató CHOSVD-t az LPV rendszer tenzorszorzat alakjában szerepl S R I 1 I 2... I N+2 tenzor els N dimenziójára. Legyenek az így kapott mátrixok Ũn (1 n N ). Ezek segítségével az új súlyfüggvények: w n (p n ) = ŨT nw n (p n ). (3.12) Mivel az Ũn mátrixok ortonormáltak és a w n,in (p n ) (1 i n I n ) súlyfüggvények is ortonormáltak minden 1 n N esetén, ezért a w n (p n ) függvény w n,1 (p n ), w n,2 (p n ),..., w n,rn (p n ) komponensei is ortonormáltak, ugyanis b n w n T (p n ) w n (p n ) dp n = ŨT n b n w n (p n )wn T (p n ) dp n Ũ n = a n a n A fentiekb l következik az alábbi tétel: Tétel. = ŨT ne In Ũ n = ŨT nũn = E rn. Tekintsünk egy LPV rendszermátrixot (S(p(t))), mely felírható végeselem tenzorszorzat modellként. Ekkor, a magasabbrend szinguláris érték szerinti felbontással minimális alakot el állítva az S tenzor els N dimenzióján (CHOSVD), az LPV rendszer felírható a következ formában: (ẋ(t) ) y(t) = D N w n (p n (t)) n=1 ahol a felbontás az alábbi tulajdonságokal rendelkezik: 1. A D tenzor (r 1 r 2... r N O I)-es méret ; ( ) x(t), (3.13) u(t) 2. A w n (p n (t)) paramétervektor n-edik dimenziójához tartozó r n darab w n,in (p n (t)) súlyfüggvény ortonormált rendszert alkot; 3. A w n,in (p n (t)) súlyfüggvény az n-edik dimenzióhoz tartozó i n -edik szinguláris függvény; 4. Rögzítsünk egy-egy elemet a D tenzor N+1-edik és N+2-edik dimenziójában. A kapott N dimenziós D altenzor tulajdonságai: a) ortogonalitás: n, α és β (α β) minden lehetséges értékére D i n=α, D i n=β =, 37