VÍZÁRAMLÁS EGY KÚTHOZ EGY VÉGTELEN ANIZOTROP VÍZVEZETŐ RÉTEGBEN

Átírás

1 VÍZÁRAMLÁS EGY KÚTHOZ EGY VÉGTELEN ANIZOTROP VÍZVEZETŐ RÉTEGBEN Irta Istaravos S. PAPADOPULOS, U.S. Geological Survey, Washington, D.C. Fordította: G.L. Seymour M.Sc., Brisbane, [Angol nyelvű forrás: NONSTEADY FLOW TO A WELL IN AN INFINITE ANISOTROPIC AQUIFER, Proc. Dubrovnik Symposium on "Hydrology of Fractured Rocks" pp 21-31, 1965 című kiadványból] Bevezetés A vízvezető rétegek hidraulikai tulajdonságainak becslése céljából végzett kút-pumpálási kísérletek értékeléséhez alkalmazott matematikai megoldások feltételezik a vízvezető réteg izotróp, radiálisan szimmetrikus tulajdonságát. E matematikai módszerek nem alkalmazhatók anizotrop vízvezetőkre, mint például törött, hasadozott kőzetek, amelyekben a törések és elválási lapok befolyásolják a kőzet áteresztő képességének irányát, és ezért radiális szimmetria helyett e vízvezető kőzetek áteresztő képességét az ellipszist megközelítő merőleges szimmetria tengelyek jellemzik. A probléma meghatározása Egy vízvezető rétegben a vízáramlást Darcy törvénye írja le, amely szerint az áramlási sebesség arányos a hidraulikus fej negatív gradiensével. Vektor alakban írva:- = a sebesség vektor K = az áteresztőképesség aranyos tényezője (hidraulikus vezetőképesség) h = hidraulikus fejmagasság. Az izotrop vízvezetővel ellentetében, egy anizotrop vízvezető kőzetben a sebesség vektor és hidraulikus gradiens vektor általában nem párhuzamos, más szavakkal, a hidraulikus gradiens és tényeges áramlási sebesség irányai szükségszerűen nem azonosak. Egy anizotrop vízvezetőben K arányossági tényező egy másodrangú szimmetrikus tenzor, más néven "áteresztései tenzor", amely átalakítja a hidraulikus gradiens komponenst sebesség komponenssé. Egy adott anizotrop rendszerben a sebesség és hidraulikus gradiens komponensek együttes iránya a tér három ortogonális tengelyének csupán egyikével azonos. Az ortogonális tengelyek képezik az áteresztő képesség "főtengelyeit". A vízvezető anizotropiájánk mértekét a főtengelyek menti irányok, és azok mentén kialakult áteresztőképességek mérteke határozzák meg.

2 E tanulmány a két-dimenziós anizotrop áramlás vizsgálatához T "áteresztő képességi tenzort" alkalmazza, T a következő tényezők szorzata:- K, (távolság/idő dimenzióval) a két-dimenziós hidraulikus vezetőképességi tenzor és b, a vízvezető réteg vastagsága a távolság konzisztens egységében. T két-dimenziós "áteresztő képességi tenzor" a következő módon irható mátrix alakban:- x és y szabadon választott ortogonális tengelyek. A fenti mátrix maximum és minimum áramlási sebességekkel jellemzett ξ és η főtengelyek mentén a következőképpen egyszerűsödik:- Analitikai megoldás A leszívás eloszlását egy kút körül, amely teljes vastagságban harántol és állandó vízhozammal csapol egy végtelen és anizotrop artézi vízvezető réteget, a következő határérték probléma írja le:- s a leszívás, T xx, T yy and T xy az áteresztőképességi tenzor tényezői, S a tárolóképességi együttható,

3 Q a vízkivétel (pumpálás) mértéke, δ a Dirac delta függvény, x és y egy szabadon felvett ortogonális rendszer koordinátái, amely eredte egybeesik a pumpált kúttal, és t a pumpálás kezdetétől eltelt idő. E határérték probléma az integrál transzformáció elmélet alkalmazásával nyert megoldást. Laplace transzformáció alkalmazása "t" és a kezdeti határérték körülmény (2) tekintetében a következő kifejezést adja:- s' az s Laplace transzform, és p a transzformáció paramétere. A fenti egyenlet komplex Fourier transzformációja x értékre a következőképpen alakítja át az egyenletet: w egyenlő S érték transzformációjával, a a transzformáció paramétere, és Komplex Fourier transzformáció ismételt alkalmazása y tekintetében a következő explicit megoldáshoz vezet:

4 z egyenlő w érték transzformációjával, és β a transzformáció paramétere. Az eljárás egyenlet (10)-hez vezet függetlenül a három transzformáció sorrendjétől. Következésképpen az inverzió rendje lényegtelen, és alkalmasság szerint szabadon választható. Először az inverz Fourier transzformáció alkalmazása a következő eredményhez vezet: A soron következő inverz Laplace transzformáció konvoluciós integrál segítségével a következő eredményt adja: L -1 a w inverz Laplace transzformációja. Végül az inverz Fourier transzformáció x tekintetében az ismert megoldáshoz vezet néhány matematikai manipuláció segítségével: W(u) a hidrológiában jól ismert "kút függvény", egy negatív exponenciális integrál amelyben Ha a koordináta tengelyek x és y egybeesnek az áteresztőképességi tenzorok principális tengelyeivel, ξ és η, egyenlet (13) a következőképpen egyszerűsödik

5 T ξξ és T ηη jelzik a "principális áteresztőképességeket" és Egyenlet (15) hasonló Collins [1961] egyenletéhez. Kis értékekkel (u < 0.02) az argumentumban egyenlet (13) és (15)-ben leirt kút függvényt Cooper és Jacob [1946] módszere jó megközelítésben approximálta: Az approximációt behelyettesítve egyenlet (13) és (15)-be a következő megoldást adja viszonylag nagy idő értékekre: a szabadon felvett tengelyekre, és a principális tengelyekre. Ahogyan a leszívás egyenletei jelzik, egy hosszú időértékre az egyenlő leszívás szintvonalai koncentrikus ellipszist követnek a kút körül, amely egy anizotrop vízvezetőből von el vizet (Ábra 1), főtengellyel a maximális áteresztőképesség mentén (ξ), és alárendelt tengellyel a minimális áteresztőképesség (η) mentén. Ábra 1.

6 AZ ANALÓG MODELL EREDMÉNYE Az előzőekben kapott megoldást elektromos analóg modelling igazolta. Az analóg modell, egy négyzetes ellenállás-kondenzátor hálózat, a következő hidraulikai paraméterekre készült: Principális áteresztőképességek, T ξξ és T ηη = 37 cm 2 /sec és 11 cm 2 /sec, Tárolási együttható, S = 0.048, Kúthozam, Q = 6.67 l/sec, Ortogonális metszéspontok = 50 m. Az elektromos analóg modell nód pontjai egy ortogonális négyzetháló 50 m-es metszéspontjainak (nód pontjainak) felelnek meg. A modell a végtelen tér egy trénegyedét ábrázolta, amelyet ξ és η tengelyek határoltak le. A végtelen vízvezető réteg utánzása céljából a modell túlterjedt a területen, amelyet a vízkivétel befolyásolt volna a vizsgált időszak alatt. Ábra 2. Ábra 2 mutatja a mért és számított leszívást 50 m-es négyzethálón, 105 másodperc vízkivétel során. Eltérések a számított és észlelt leszívások között láthatók Ábra 3 diagrammon, a ξ = 100 méter és η = 100 méter metszésponton. A görbe, amely a leszívást mutatja be, az oszcilloszkóp ernyőjéről készített fénykép alapján készült. A mért és számított értékek jó egyezést mutatnak. A mérsékelt eltérések műszer tévedésnek tudhatók be.

7 Ábra 3. A MODELL ALKALMAZÁSA PUMPÁLÁSI KÍSÉRLETEK ÉRTÉKELÉSÉBEN Analitikai megoldások a mennyiségi hidrológiai tanulmányokban azt kívánják, hogy a vízvezető képződmény alapvető állandói, az áteresztőképesség és víztároló koefficiens, számszerű megoldást nyerjen valami módon. E képződmény konstansok meghatározása álltában pumpálási kísérlet eredményének kiértékelésével, nevezetesen a vizsgált felszín alatti vízrendszerben észlelt és elméleti szintsüllyedések összehasonlításával érhető el. Anizotrop vízvezetők esetében egyenlet (13) vagy (17) adja az elméleti leírást arra az esetre, amelyben a principális tengelyek irányai nem ismertek. Egyenlet (15) vagy (18) adja az elméleti leírást ismert tengelyek tekintetében.. Általában "típus görbe", vagy - ha a körülmények alkalmasak - "egyenes vonal" módszerek alkalmazhatók a feladat végrehajtásához. Mindkét módszer jól ismert és alkalmazott az izotrop vízvezetők értékelésében. Az eljárás lényege az, hogy a megfigyelő kutakban észlelt leszívás s értékeit log-log vagy ál-log alapon ábrázoljuk az idő t- vel vagy az idő reciprokával 1/t az abszcisszán. Radiális szimmetria hiányában az összetett leszívási grafikonok (s az r2/t abszcisszán, r a radiális távolság), és a távolság-leszívás (s

8 az r abszcisszán) módszerek nem alkalmazhatók anizotrop vízvezetők esetében. Mivel egy anizotrop vízvezető esetében négy állandót kell meghatározni (három áteresztőképességi komponens T xx, T yy és T xy, valamint a víztároló coefficiens S), legalább három megfigyelő kút létesítése kívánatos. A megfigyelő kutak különböző irányokban és távolságra helyezkednek el a pumpált kúttól. A következőkben bemutatjuk a "típus görbe" és "egyenes vonal" módszerek alkalmazását az anizotrop vízvezető értékelésében. A bemutatott esetben három megfigyelő kút állt rendelkezésre, és az anizotrop vízvezető principális tengelyeinek iránya ismeretlen volt. Ha több mint három megfigyelő kút áll rendelkezésre, a bemutatott módszer alkalmazandó a kutak három tagú csoportjain. Típus görbe módszer 1. Válassz egy alkalmas négyszöglet alapú koordináta rendszert Origóval a pumpált kúton. 2. A kútfüggvény táblázatból, W(u) [Wenzel, 1942], készíts egy típus görbét, W(u xy ) a u xy abszcisszán, dupla logaritmus papíron. Az így késztett görbe képezi az úgynevezett típus görbét. 3. Ábrázold mindhárom megfigyelő kútban észlelt leszívás értékeket, s, az idő reciprok értékein az abszcisszán, 1/t, a típus görbének megfelelő skálán, dupla logaritmus papíron. 4. A megfigyelő furásokban észlelt leszívások adatgörbéit helyezd a típus görbére és mozgasd úgy, (ügyelve arra, hogy a görbék koordináta vonalai párhuzamosak maradnak) hogy minden egyes megfigyelő kút adatgörbéje a legjobb egyezést mutat a típus görbével. Válassz egy megegyező pontot minden egyes megfigyelő kút görbéjének koordináta rendszerén és jegyezd le e megegyező pontok megfelelő koordináta értékeit a típus görbén. Az így nyert kettős koordináta párok segítségével, W(u xy ), s, u xy és 1/t, számíthatók a vízvezető képződmény hidraulikus paraméterei. 5. Helyettesítsd be W(u xy ) és s értékeket egyenlet (13)-ba és számítsd (T xx T yy T x 2 y ) értékét. Mindhárom megegyező koordináta pont azonos, vagy hozzávetőlegesen azonos értéket kell hogy számítson (T xx T yy T x 2 y ) számára. Ha nem, szakmai ítélet bevonása szükséges az értékek "átlagolását" illetően. 6. Helyettesítsd be egyenlet (14)-be u xy és 1/t értékeket mindhárom megegyező pontról valamint (T xx T yy T x 2 y ) 5-ik pontban számított értékét. A megegyező pontokhoz tarozó megfigyelő kutak kartográfiai koordinátáinak felhasználásával számítsd ST xx, ST yy és ST xy szorzatok értékeit mindhárom megfigyelő kútra. 7. E szorzatokból old meg T xx, T yy és T xy értékeit S-re [S tárolási együttható mindhárom kútra azonos - a Fordító megjegyzése] olymódon, hogy behelyettesíted azokat a (T xx T yy T x 2 y ) kifejezésbe, amelynek értéke ismert az 5-ik lépésből, és számítsd S értékét. 8. S kiszámítása után számítsd T xx, T yy és T xy értékeit a 6-ik lépésben kapott szorzatokból.

9 Egyenes vonal módszer Az egyenes vonal módszer alkalmazható abban az esetben, ha mindhárom megfigyelő kútban az észlelt leszívási mérések abba az azonos időszakaszba esnek, amelyre egyenlet (17) alkalmazható. 1. Azonos a típus görbe módszer első lépésével. 2. Rajzold minden egyes megfigyelő kútból kapott s leszívási adatokat ál-logaritmus papírra t-vel a logaritmus skálán. Ha az adat-pontok megközelítik az egyenes vonalat, egyenlet (17) jó valószínűséggel alkalmazható. [A Forditó megjegyzése: Ál-logaritmus papíron az x tengely logaritmus ciklusokat ábrázol, y tengely pedig lineáris skálát követ.] 3. Minden egyes megfigyelő kút adatpontjainak arra a részére, amely az egyenest megközelíti, rajzolj egy egyenest e pontokon keresztül. Egyenlet (17) vizsgálata azt mutatja, hogy ennek az egyenesnek a lejtését ( s / log ciklus) egyenlet (19) a következőkben írja le: és a t időszakasz t 0 értékét egyenlet (20) határozza meg: 4. Határozd meg t 0 és s / log ciklus értékeit az egyenesekhez. Mindhárom egyenes lejtése azonos, vagy hozzávetőlegesen azonos. Ha jelentős különbség észlelhető, átlagold az értékeket. 5. Helyettesítsd be az egyenes lejtésének értékét ( s / log ciklus) egyenlet (19)-be, és számítsd (T xx T yy T x 2 y ) értékét. 6. Egyenlet (20)-ba helyettesítsd be t 0 értékeit minden egyes egyeneshez, valamint az 5-ik lépésben kapott (T xx T yy T x 2 y ) értékét, és a vonatkozó megfigyelő kutak koordinátáinak felhasználásával old meg az eredményként kapott három egyenletet (szimultán egyenlet rendszer). 7. Kövesd a típus görbe módszer 7-ik és 8-ik lépéseit S, T xx, T yy és T xy számításához.

10 A principális áteresztőképességek értékének és tengelyek orientációjának számítása A típus görbével, vagy egyenes vonal módszerrel számított áteresztőképességi tenzor T xx, T yy és T xy komponenseinek birtokában a principális áteresztőképességek T ξξ és T ηη, és a principális tengelyek iránya számítható a tenzor tulajdonságok alkalmazásával. Az invariáns és tenzor transzformáció szabályaiból kapott és a következőkben bemutatott viszonyok alkalmazhatók minden másodfokú szimmetrikus tenzorra: θ a szög x és ξ tengelyek között, pozitív x tengelytől az óramutató irányával ellentétben, és használhatóság könnyítése érdekében korlátozott 0<= θ<p határok között. BEMUTATÓ PÉLDA Az anizotrop vízvezető hidraulikus tulajdonságaink meghatározására egy 12 órás pumpálási kísérlet került végrehajtásra. Vízkivétel PW termelőkútból liter/sec hozammal történt, és a leszívást három kútban, OW-1, OW-2 és OW-3-ban észleltük. A kutak elhelyezkedését Ábra 4 mutatja. A leszívási adatokat Tábla 1 tartalmazza. A feladat a vízvezető réteg víztároló együtthatójának, valamint principális áteresztőképességeinek és azok irányának meghatározása volt.

11 Ábra 4. Megoldás A koordináta tengelyek választása úgy történt, hogy a rendszer origója a pumpált PW kúton helyezkedik el, és az x tengely OW-1 megfigyelő kúton megy keresztül. A megfigyelő kutak koordinátái:-

12 Ábra 5. Az ál-logaritmus adatvonalak (Ábra 5) azt mutatják, hogy az értékelés egyenes vonal módszere alkalmazható. A vonalak lejtése azonos mindhárom megfigyelő kút későbbi [és ezért uralkodó - Fordító megjegyzése] szakaszában, és értéke 1.15 m/log ciklus. A t 0 értékek:- Egyenlet (19)-ből a következő értéket kapjuk: Egyenlet (20)-ba behelyettesítve egyenlet (24), (25) és (26)-ból, a következő egyenlet rendszert kapjuk:

13 Az egyenlet rendszer szimultán megoldása a következő eredményeket hozza: Egyenlet (27)-ből behelyettesítve egyenlet (26)-ba adja a víztárolási együtthatót: vagy Végül behelyettesítve egyenlet (28)-ból egyenlet (27)-be az áteresztőképességi tenzor komponenseit kapjuk: Az áteresztőképességi tenzor komponenseinek ismeretében egyenlet (21) és (22) a principális áteresztőképességeket számítja:

14 A θ szög x és ξ tengelyek között egyenlet (23) segítségével számítható: TÁBLA 1 Leszívási adatok OW-1, OW-2, és OW-3 megfigyelő kutakból Idő t (perc) Leszivás, s (meters) a pumpálás kezdetétől OW-1 OW-2 OW

15 IRODALOM COLLINS, R.E Flow of fluids through porous materials. New York, Reinhold Publishing Corp. p COOPER, H.H. Jr. and JACOB, C.E A generalized graphical method for evaluating formation constants and summarizing well field history. Trans. Am. Geophys. Union, vol. 27, no. iv, pp FERRANDON, J Les lois de 1'ecoulement de filtration. Genie civil, vol. 125, no. 2, pp LIAKOPOULOS, A On the tensor concept of the hydraulic conductivity. Review of Engineering, Am. Univ. of Beirut, no. 4, pp SCHEIDEGGER, A.E Directional permeability of porous media to homogeneous fluids. Geofisica Pura e Applicata, vol. 28, pp WENZEL, L. K Methods of determining permeability of water bearing materials, 192 p. (U.S. Geol. Survey Water-Supply Paper 887.)