A mozgásmódszerről I.

Átírás

1 1 A mozgásmódszerről I. Bevezetés Sok évvel ezelőtt már találkoztam párszor a címbeli módszerrel. Ezt statikailag hatá - rozatlan síkbeli tartószerkezetek számítására fejlesztették ki. Az interneten látottak szerint az [ 1 ] munkával kezdődik a történet. ( Más forrás szerint nem ez a helyzet. ) Ezek szerint egy már évszázados elmélet lényegének megértésére és gyakorlati alkal - mazására teszünk kísérletet az alábbiakban. Úgy rémlik, ez nálunk nem volt egyetemi tananyag; akkoriban ezt inkább csak az építőmérnökök tanulták, hivatalból. Munkám során azonban kapcsolatba kerültem vele, még ha csak szerkezetek egyszerűbb eseteinek vizsgálata során is. Azután ta - lálkoztam a [ 2 ] munkával, melyet sokáig forgattam, majd visszavittem a könyvtárba. ( Emlékszem, nagyon tetszett. Lehet, hogy be kellene már ezt is szereznem, mint an - tikvár könyvet? ) Ebben stabilitási problémák vizsgálatához alkalmazták a mozgás - módszert. De miért kínlódnék ezzel, amikor biztosan Dunát lehet rekeszteni e témakört részlete - sen taglaló irodalommal? Talán azért, mert nem tetszett, amit magyar nyelven talál - tam? Meglehet, célszerű egy tananyag feldolgozása során felkutatni az ízlésünknek leginkább megfelelő tárgyalásmódú forrásokat; ha idegen nyelvű könyvek tanulmá - nyozása során találjuk meg ezeket, akkor azokat kell felhasználnunk. [ 3 ] - ban azt írják, hogy a mozgásmódszert rendszerbe foglalójáról Ostenfeld mód - szerének is nevezik. Ma már az interneten is megtalálható ez az alapmű [ 4 ]. Belelapozva azt látjuk, hogy talán mégsem ez az a könyv, melynek olvasása lenne az első fontos lépés e téma tanulmányozásában. Mi a baj vele, hiszen olyan híres és elis - mert? Hát csak az, hogy nem kezdőnek való. Szóval, olyan szak -, illetve tankönyve - ket kellett keresni, melyek elég érdekesen és főként érthetően fejtik ki a címbeli témát. Meglepő, hogy az internet világában, a szinte megszámlálhatatlanul sok szakmai anyag közül milyen kevés az, amit jó szívvel ajánlani tudnék, bevezetés gyanánt. A mottó: Egy újszülöttnek minden vicc új. Ezt kell szem előtt tartanunk, ugyanakkor el kell jutnunk egy már érdemben is használható ismeretszintre. Ehhez kell a részletes kifej - tés, a sok szemléltetés, és nagyon sok türelem a gyakorláshoz. Reméljük, sikerül! Munkánk során leginkább az alábbi művekre támaszkodunk: [ 5 ], [ 6 ], [ 7 ]. Különösen jó szívvel emlékezem a magyar Hoff János Miklós [ 6 ] művére, akinek szakmai szövege még angolul is jobban érthető, mint sok anyanyelvünkön íródott. De ez már legyen az ő problémájuk! A Wikipédián azt olvashatjuk [ 8 ], hogy a közel hat évtizede írt [ 6 ] mű az amerikai egyetemeken ma is tankönyvként használatos.

2 2 Az alapegyenletek felírása [ 5 ] Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Itt egy L hosszúságú, EI hajlítómerevségű, egyenes tengelyű, prizmatikus rudat ábrázoltunk, amely rúd tengelyvonal - szakaszának végei a rúd terheletlen állapotában az xy sík A 0 és B 0 pontjaiban helyezkednek el. Most hasson a rúd A 0 végére egy M AB forgató nyomatékú hajlító erőpár és S AB nyíró - erő, a rúd B 0 végére pedig egy M BA nyomaték és S BA nyíróerő! Ezek hatására ( is ) a rúd végpontjai a tengelyvonalára merőlegesen v A és v B - vel eltolódnak, így az xy sík A és B pontjaiba kerülnek, továbbá a rúd tengelyvonala meggörbül, így a véglapjai θ A és θ B szögelfordulást szenvednek. Az ábráról ( részben ) az is leolvasható, hogy a kis mozgások esetére szorítkozunk. További alkalmazott elhanyagolások: nem foglalkozunk a normálerő és a nyíróerő okozta deformációkkal sem. Az alkalmazandó számítási modell lényegét az elemi Szilárdságtanból ismert hajlítási alapegyenlet fejezi ki: =. ( 1 ) A hajlítónyomaték függvénye itt: = +. ( 2 ) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel: = +. ( 3 )

3 3 Egyszer integrálva: = + + ; ( 4 ) még egyszer integrálva: = + Most alkalmazzuk az alábbi feltételeket: =0, + +. ( 5 ) =, =. ( 6 ) Ekkor ( 4 ), ( 5 ) és ( 6 ) - tal: =, ( 7 ) =. ( 8 ) Majd ( 4 ) és ( 7 ) - tel: = + + ; ( 9 ) továbbá ( 5 ), ( 7 ) és ( 8 ) - cal: = + Most alkalmazzuk az alábbi feltételeket: =, + +. ( 10 ) =, =. ( 11 ) Ekkor ( 9 ) és ( 11 ) - gyel: = + + ; ( 12 ) majd ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: = ( 13 ) Most oldjuk meg a ( 12 ) és ( 13 ) egyenletekből álló egyenletrendszert M AB és S AB - re! Az eredmények: "2 + + $ %, ( 14 ) = " + + %. ( 15 )

4 & 4 Most írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet a B pontra! Ekkor: + + =0, innen:. ( 16 ) Majd ( 14 ), ( 15 ) és ( 16 ) - tal kapjuk, hogy "2 + + $ %. ( 17 ) Ezután egy vetületi egyenlettel: + =0, innen:. Most ( 15 ) és ( 17 ) - tel: " + + %. ( 18 ) Most összefoglaljuk eddigi eredményeinket, a ( 14 ), ( 15 ) és ( 17 ), ( 18 ) képletekkel: "2 + + $ %,* = " + + %, ( "2 + + $ %,) " + + ( %. ' ( 19 ) A ( 19 ) egyenleteket az angolszász szakirodalomban slope - deflection egyenletek néven nevezik, amelyek a mozgásmódszer alapegyenletei a csak rúdvégeken terhelt rúdra vonatkozóan. Most nézzük meg, hogy mi a helyzet a mezőben is terhelt rudak általánosabb eseté - ben, ha fennállnak a & = =0, = =0 + ( 20 ) peremfeltételek is! Ehhez tekintsük a 2. ábrát!

5 5 2. ábra Itt egy mindkét végén fixen befogott, egy q intenzitású egyenletesen megoszló, valamint egy F koncentrált erővel terhelt tartót láthatunk. Ez is egy példa, amikor teljesülnek a ( 20 ) feltételek. Most alkalmazzuk ( 20 ) - at ( 19 ) - re! Azt kapjuk, hogy minden rúdvégi igénybevételi mennyiség zérus. Ez nyilvánvalóan nem igaz, ahogyan azt a 2. ábra példája is mutatja. Ez oda vezet, hogy ki kell egészíteni a ( 19 ) képletet, és pont az adott teher - rendszerhez tartozó befogott rúdvégi igénybevételekkel, vagyis a fix ( F felső indexű ) befogási nyomatékokkal és nyíróerőkkel, hiszen például:,. = =0, = =0-=,,. = =0, = =0-=. Eszerint: / " %+/ 01, ( 21 ) : 01 = ; 3 4 " %+: 01, ( 22 ) / " %+/ 10, ( 23 ) : 10 ; 3 4 " %+: 10. ( 24 ) A ( 21 ) ( 24 ) egyenletek képezik a mozgásmódszer alapegyenleteit. A további feladat: ezek alkalmazása többtámaszú tartókra és keretszerkezetekre. Ehhez szükségünk lesz egy táblázatra, amely a leggyakoribb terhelési esetekhez tartozó befogási végnyomatékokat tartalmazza 3. ábra, melynek forrása [ 11 ]. 3. / 1 ábra

6 6 3. / 2 ábra 3. / 3 ábra 3. / 4 ábra Az ábrákon a végnyomatékok előjelei megfelelnek az 1. ábrán is feltüntetett pozitív végnyomatékoknak, melyek mindkét rúdvégen az óra járásának megfelelően forgat - nak. Egy részletesebb táblázat található például [ 12 ] - ben. Az alapegyenletek alkalmazása 1. Példa [ 5 ] Feladat: Adott a 4. ábra szerinti kialakítású és terhelésű négytámaszú tartó.

7 7 Állítsuk elő e tartó igénybevételi ábráit, a mozgásmódszer alkalmazásával! 4. ábra Megoldás: 1. lépés: A merev befogási végnyomatékok számítása Az első és a második mezőre, a 3. / 2 ábra szerint, figyelembe véve, hogy itt <=== ( a ).?, ( b ( c ) A 4. ábra adataival, ( b ) és ( c ) szerint:. AB C $ knm, ( b / 1 ) =+ $ D knm. ( c / 1 ) Hasonlóan a második mezőre:. H. H =+ J D I AB C D knm, ( b / 2 ) knm. ( c / 2 ) A harmadik mezőre a 3. / 1 ábra szerint:. HK = L, ( d ). KH = + L. ( e ) A 4. ábra adataival, ( d ) és ( e ) szerint: HK. = MN O C 1 knm, ( d / 1 )

8 8. KH = +1 knm. ( e / 1 ) A 4. ábra esetében a támaszok nem süllyednek, így fennállnak a = = H = K =0 ( f ) kapcsolatok. Most alkalmazzuk a ( 21 ) egyenletre az eddigi eredményeket! Ekkor az AB mezőre: = Q 2 + $ D knm. ( g ) Majd a ( 23 ) egyenletre: = Q $ D knm. ( h ) Most ( 21 ) - et alkalmazva a BC mezőre, a jelölések ilyen megváltoztatásával: A B, B C: H 2 + H +. H = Q 2 + H J D Majd a ( 23 ) egyenlet idevágó megfelelője: H 2 H + +. H = Q 2 H+ + J D knm, ( i ) knm. ( j ) Hasonlóképpen a CD mezőben, a ( 21 ) és ( 23 ) képletek jelöléseinek értelemszerű megváltoztatásával, azaz A C, B D : HK KH 2 H + K +. HK = Q 2 H+ K 1 knm, ( k ) 2 K + H +. KH = 2 Q K+ H +1 knm. ( l )

9 9 2. lépés: A támaszponti nyomatékokra vonatkozó összefüggések felírása A 4. ábráról könnyen leolvasható, hogy a szélső széls támaszok nyomatékmentesek, azaz: =0, (m) 0. (n) KH A többi támaszponti nyomatékra vonatkozó összefüggések összefüggés felírásához tekintsük az 5. ábrát is! Ez a folytatólagos tartót szétdarabolva szemlélteti, a támaszok és a folyta tólagosság hatását kifejező reakció - és támaszponti nyomaték - részekkel. 5. ábra A B ponti rész - támasznyomatékok egyensúlyából: 0, vagy H 0. H (o) A C ponti rész - támasznyomatékok egyensúlyából: 0, vagy H HK 0. H HK (p) 3. lépés: A támaszponti nyomatékok értékének kiszámítása ása Az ( m ), ( n ), ( o ), ( p ) egyenletekbe helyettesítsük be a ( g ), ( h ), ( i ), ( j ), (k ) és ( l ) egyenleteket! Ekkor kapjuk, hogy:

10 10 2 Q $ knm 0 ; ( p ) D 2 Q + + $ D knm! Q 2 + H J D knm=0 ; ( q ) 2 Q H+ + J D knm Q 2 H+ K 1 knm=0 ; ( r ) 2 Q K+ H +1 knm=0. ( s ) Rendezve ezeket és elhagyva a mértékegységek kiírását: $ D = 0 ; ( p / 1 ) H + =0 ; ( q / 1 ) 2 +8 H +2 K D =0 ; ( r / 1 ) 2 H +4 K 1 =0. ( s / 1 ) Átírva ezeket: H + 0 K $ D ; ( p / 2 ) H + 0 K ; ( q / 2 ) H +2 K = ; ( r / 2 ) D H +4 K =1. ( s / 2 ) Utóbbiak egy 4 x 4 - es lineáris egyenletrendszert képeznek a T,U=V,W,,X szögelfordulás - mennyiségekre. A közvetlen feladat ennek megoldása. Erre több módszer is létezik. Ezek közül a legismertebbek a Cramer - szabállyal, továbbá a Gauss - féle eliminációval történő megoldás. Mi itt a Cramer - szabállyal fogunk dolgozni, de a számítást úgy rendezzük be, hogy ne 4 x 4 - es ( negyedrendű ), hanem csak 2 x 2 - es ( másodrendű ) determinánsokkal kelljen dolgozni. Ezt úgy érjük el, hogy a 4 x 4 - es lineáris egyenletrendszert felbont - juk 2 darab 2 x 2 - es egyenletrendszerre, az alább részletezendő módon. Legyen egy 2 x 2 - es lineáris egyenletrendszer az alábbi alakú: < += Y=Z, < += Y=Z! Ennek megoldása ld. pl.[ 13 ]! :

11 & & 11 K [ K \ ] ^] ^\ \ _ ] ^] _ ^\ ] ^`^] _ ] ^`^] _, ( t ) Y K a \ _ ] ] \ _ K \ ] ` ] _. ( u ) ] ^] _ ] ^`_ ^] _ ^\ Most rendezzük át a ( p / 2 ) ( s / 2 ) egyenletet, így: 4 2 $, D H ; b ( E 1 ) H +2 K 2 + ; D c ( E 2 ) 2 H +4 K = Az ( E 1 ) egyenletrendszer megoldása ( t ) és ( u ) mintájára: 4 H 5, ( TA 1 e8 H+ f. ( TB 1 ) Az ( E 2 ) egyenletrendszer megoldása ( t ) és ( u ) mintájára: H +1, ( TC 1 ) K e4 + J f. ( TD 1 ) Most ( TC 1 ) - et ( TB 1 ) - be helyettesítve, majd a kapott egyenletet θ B - re meg - g`e h f i, ( TB 2 ) innen rendezés után: I. ( EITB ) Most ( TC 1 ) - be helyettesítve ( EITB ) - t, rendezés után: H $I. ( EITC )

12 & & 12 Majd ( TA 1 ) - be helyettesítve ( EITC ) - t, rendezés után: I. ( EITA ) Ezután ( TD 1 ) - be helyettesítve ( EITB ) - t, rendezés után: K =+ D J. ( EITD ) Eddigi eredményeinket összefoglalva:, I * ( I, H, ) $I K =+ D. ( J ' ( EIT ) Most számítsuk ki / ellenőrizzük le a támaszponti nyomatékok értékét! M AB - hoz a ( g ), ( EITA ), ( EITB ); M BA - hoz a ( h ), ( EITB ), ( EITA ); M BC - hez az ( i ), ( EITB ), ( EITC ); M CB - hez a ( j ), ( EITC ), ( EITB ); M CD - hez a ( k ), ( EITC ), ( EITD ); M DC - hez az ( l ), ( EITD ), ( EITC ) egyenletekkel dolgozunk. A végeredmények: =0 knm, =+ $ knm, * I H $ knm, ( I H =+ j knm, ) J HK j knm, J ( KH =0 knm. ' ( MIJ ) Az ( MIJ ) eredmények megfelelnek az ( m ), (n ), ( o ), ( p ) egyenleteknek. 4. lépés: A támaszerők meghatározása 5. ábra. ~ A - B A szakasz: Nyomatéki egyenlet a B A pontra:

13 13 k l 0, innen: k =. ] m no. ( RA ) Számszerűen, az L = 1 m, F 1 = 6 kn, M BA = 23 / 20 knm adatokkal: k =1,85 kn. ( RA 1 ) Most függőleges vetületi egyenlettel: k +k l =0, innen: k =l k. ( RBA ) Számszerűen, a fenti adatokkal: k =4,15 kn. ( RBA 1 ) ~ B C - C B szakasz: Nyomatéki egyenlet a C B pontra: k H + H + H l =0, innen: k H =. m npqm pn. ( RBC ) Számszerűen az L = 1 m, F 2 = 10 kn, M BC = 23 / 20 knm, M CB = + 7 / 5 knm adatokkal: k H =4,75 kn. ( RBC 1 ) Függőleges vetületi egyenlettel: l +k H +k H =0, innen: k H =l k H. ( RCB ) Számszerűen a fenti adatokkal: k H =5,25 kn. ( RCB 1 ) A B támasz felett kivágott kicsiny, 0 hosszúságú tartószakasz vetületi egyen - súlyi egyenlete: k k H +k =0, innen: k =k +k H. ( RB ) Most ( RBA 1 ), ( RBC 1 ) és ( RB ) - vel: k =8,90 kn. ( RB 1 )

14 & 14 ~ C D - D szakasz: Nyomatéki egyenlet a D pontra: k K HK L 0, innen: k K = L +m pv. ( RD ) Számszerűen az L = 1 m, q = 12 kn / m, M CD = 7 / 5 knm adatokkal: k K =4,60 kn. ( RD 1 ) Függőleges vetületi egyenlettel: k HK x +k K =0, innen: k HK =x k K. ( RCD ) Számszerűen a fenti adatokkal és ( RD 1 ) - gyel: k HK =7,40 kn. ( RCD 1 ) A C támasz felett kivágott kicsiny, 0 hosszúságú tartószakasz vetületi egyen - súlyi egyenlete: k H k HK +k H =0, innen: k H =k H +k HK. ( RC ) Számszerűen ( RCB 1 ), ( RCD 1 ) és ( RC ) - vel: k H =12,65 kn. ( RC 1 ) Összegyűjtve a reakcióerőket: k =1,85 kn ; * k =4,15 kn, ( ( k H =4,75 kn,( k =8,90 kn ;( k H =5,25 kn,) k HK =7,40 kn,( ( k H =12,65 kn ;( ( k K =4,60 kn.' ( R ) Ezután megszerkesztjük a tartó terhelési, nyomatéki - és nyíróerő ábráit: 6., 7. ábra.

15 15 6. ábra 7. ábra

16 16 A támaszreakciók meghatározhatók a ( 22 ), ( 24 ) képletekkel, illetve megfelelőikkel is. A hosszú számolást most nem visszük végig, csak egy részt mutatunk meg ebből. ( 22 ) és ( f ) szerint:.. ;, (SAB) majd.. ] 3,00 kn, ( v1 ) = Q e f I knm 1,10 kn, ( v2 ) = Q I knm 0,05 kn, ( v3 ) ezekkel azután 1,10 kn 0,05 kn+3,00 kn=1,85 kn, ( SAB 1 ) megegyezésben ( RA 1 ) - gyel. Megjegyzések:. M1. A bevezetőben felvetett kérdéshez, vagyis hogy ki lehet a módszer atyja, még annyit érdemes megemlíteni, hogy [ 9 ] - ben az olvasható, miszerint a mozgásmódszer alapelve O. Mohrtól származik, és az egyik első szerző, aki ezt a határozatlan tartók megoldására alkalmazta: A. Bendixsen, ből. Ennek alapján elképzelhető, hogy az [ 1 ] munka szerzői ezt már olvashatták és munkájukhoz felhasználhatták. Egy szintén amerikai forrás [ 10 ]; ez előzményként Otto Mohr - t ugyan említi, Bendixsen - t azonban nem. Helyette F. C. Kunz egy es írására utal. M2. A Tanuló feltétlenül végezze el a kijelölt részletszámításokat, mint amilyen például a ( 12 ) és a ( 13 ) egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása, amely ( 14 ) és ( 15 ) - re vezetett! Elhinni kevés. M3. A ( 21 ) ( 24 ) képletek az ( 1 ) képlet alapján is levezethetők, ha az M( x ) függvényt kiegészítjük a tartó mezőterhelésének megfelelő tagokkal. Ezt itt nem részletezzük. M4. Az igénybevételi ábrák készítésénél a kéttámaszú gerendáknál megszokott előjelszabályra tértünk vissza.

17 17 M5. Az 1. példában az ( EIT ) egyenletekkel a támaszponti szögelfordulások is is - mertté váltak. Bár ezt külön nem kérte a feladat, mellékeredményként ez is előállt. Érdemes ügyelni az ( EIT ) mennyiségek mértékegységére, amit ott nem írtunk ki; ugyanis az L = 1 m adattal való osztás mintha eltűnne. Tehát például:! z o I { Q} Q Q I knm, azaz nyomaték dimenziójú, míg = Q e I f { Q md 1,10 kn, azaz erő dimenziójú. M6. Az 1. példa hosszú számítása alatt többször eszünkbe jutott, hogy ez a feladat statikailag kétszeresen határozatlan, így 2 darab háromnyomatéki egyenlettel, tehát egy 2 x 2 - es egyenletrendszer megoldásával el lehetne intézni azt, az itteni 4 x 4 - es egyenletrendszer megoldása helyett. E példa eszerint azt is mutatja, hogy a moz - gásmódszert nem érdemes minden esetben erőltetni. Főleg akkor lehet hatékony e módszer, ha egy - egy csomóponti szögelfordulás több ismeretlennel van összefüg - gésben, ami a bonyolultabb keretszerkezeteknél gyakori eset. Vagyis nem voltak hiábavalóak az 1. példa megoldásra tett erőfeszítéseink, mert ezzel már némiképpen rákészültünk a bonyolultabb esetekre is. M7. A ( 19 ) egyenletben nem kell mindenképpen a = =0 feltétel ahhoz, hogy a =0 legyen. Ehhez elegendő már a = 0 feltétel is. Ez azt jelenti, hogy a rúd önmagával párhuzamosan eltolódik. M8. Bár e dolgozathoz a muníciót nagyrészt [ 5 ] adta, azonban az itteni kifejtés több ponton eltér az ottanitól; pl.: lényegesen tagoltabb, részletesebb, több ábrával szemlél - tetett. Ez valószínűleg segíti a jobb megértést is. Irodalom: [ 1 ] Wilson W. M., Maney G. A.: Slope - deflection method University of Illinois, Engineering Experiment Station, Bulletin 80, [ 2 ] Heinz Vetter: Stabwerkknickung Berlin, Verlag Technik, [ 3 ] Szerk.: Palotás László: Mérnöki kézikönyv 3. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 4 ] A. Ostenfeld: Die Deformationsmethode Verlag von Julius Springer, Berlin, 1926.

18 18 [ 5 ] T. H. G. Megson: Structural and Stress Analysis 2. Edition, Elsevier Butterworth - Heinemann, Oxford, [ 6 ] Nicholas John Hoff: The Analysis of Structures John Wiley & Sons, Inc., New York, [ 7 ] Erhard Schlechte: Festigkeitslehre für Bauingenieure 4. Auflage, VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, [ 8 ] [ 9 ] Korányi Imre: Tartók sztatikája II. / 1. kötet Sztatikailag határozatlan tartók 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, [ 10 ] CF8QFjAH&url=http%3A%2F%2Fshare.iit.edu%2Fbitstream%2Fhandle%2F1 0560%2F797%2Fpracticalaspecto00grod.pdf%3Fsequence%3D1&ei=XjJhU9T ZFqH-ygPA8IGQCA&usg=AFQjCNE7k17I5oIhvZqwln0tCR1u8woQ6g [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár