1. téma Közelítő (numerikus) számítások, hibaforrások, hibabecslések

Átírás

1 . tém Köelítő umerus sámításo, horráso, hecslése Beeetés deeelőtt t sereté tstá, hogy mért süség oly lgortmuso dolgoásár, melye egy dott mtemt prolém megoldását cs öelít. ért em oly elárásol ogllou, melyeel potos meg lehet old prolémát? A áls so esete termésetes: mert oyos eldto eseté lye eláráso oyított csee. Tetsü például öeteő eldtot!. Htárou meg egy dott lger egyelet gyöet! Algeráól tudu, hogy h egyelet osám 4-él gyo, or Ru-Ael tétel sert cs oly gyöéplet, mellyel össes gyööt egy tetsőleges egyelet együtthtóól éges lépése potos meg tudá htáro. Gyorlt sempotól ée o prolémát, so esete erre cs s süség. Egy mérö sámár elegedő lehet, h egy egyelet gyöet például égy tedes egy potosságg smer. A ő sámár gyöö egt megdás érdetele. Termésetese merül el érdés: Tudu-e oly lgortmust dolgo, mellyel ő géyée megelelhetü?. Alísől tultu üggéye htároott tegrálá sámítását. A Newto-e sályt hsál htároott tegrálot tudtu sámol, mutá elhsáldó prmtí üggéyt elírtu. Boyos esetee o prmtí üggéyt elem üggéyeel em tudu megd mert oyított em lehet gy elírás gyo omplált. A llmáso sámár o eor s so esete érdetele, hogy potos m tegrál értée, elég egy ó öelítése. Hogy dhtu meg lyeeet?. eárs lgeráól mde megtult, hogy lehet egy leárs egyeletredsert megold. Tultu Crmer-sályt, mely gyööet determáso háydosét állít elő. A gyorlt élete, tpstlt semere o em ut esée, hogy egy áltláos gyméretű leárs egyeletredsert Crmer-sállyl oldo meg, lssus determás sámolás sállyl. eárs egyeletredsere megoldásár létee llmáso sámár Crmer-sályál htéoy hsálhtó elmácós és terácós módsere. Hsámítás, hecslés H egy elárás egy eldtot em potos old meg, hem eredméye cs egy ecslését, öelítését d, or mtemt sempotól ée

2 eredméy hás. Egy értére dott ecslés perse sámur lehet gyo ó, de lehet gyege s. Termésetese merül el, hogy érté ecslésé túl süségü oly muttósámr s, mellyel lméppe ellemehetü ecslés óságát. Deícó: egye lós sám egy öelítése. A öelítés solút há - érté. H egy öelítés solút há em gyo, mt egy em egtí ε, or ε-t solút horlát modu. Példá ülööő műelete elégéseor dódó solút há ecslésére: Péld: egye ' ε,. lye solút horlátot tudu d és össedásor ellépő solút hár? Feldtu tehát megd egy oly értéet, melye elírásá em serepele smeretle és ' ' potos értée és értéél em se. A megoldás egyserű: ' ' ε ε ' ' ' ' Kcst ehee dolgu, h ugyet érdést sorásr tessü el: Péld: egye ' ε,. Igolu, hogy ' ' ' ' εε ε ε. A megoldás sorá hmr derül, hogy ecsüledő ülöséget llms tgo hoádásál és leoásál ell ellát. A érdés csupá, hogy melye legyee ee tgo, h t sereté, hogy solút horlát e serepelee és smeretle értée. ehet például így csál: ' ' ' ' ' ' ' ' ε ε ' ε ' ε A öeteő péld megoldás előtt eleeítsü el grge-éle öépérté tételt. grge-éle öépérté tétel: H lós üggéy [,] terllumo olytoos és terllum elseée mdeütt derálhtó, or és öött leglá egy oly c hely, hogy ' c.

3 A öeteő példát meg lehete old pustá öépsol smeretere támsod. A grge-éle öépérté tétel segítségéel o megoldás cs egy sor. Péld: Igolu, hogy h ' ' ε, or s s ε. egoldás: A grge-éle öépérté tételt elhsál: ' s s cos ξ ' ε ε. A solút h mellett egy más otos oglom ecslés reltí há. Deícó: H értéet -el öelítü, or ecslés reltí háá ' értéet értü. H egy öelítés reltí há em gyo, mt egy em egtí ε, or ε-t reltí horlát modu. Há eldt: Adu reltí horlátot sorás műeleteor elöetett reltí hár. Horráso Tetsü át ot legotos orrásot, ho eldtmegoldás sorá há sármht. Alpetőe ét ő horrás ostályt ülöötetü meg: örölött há és sámítás há. Örölött há: gyorlt prolémá mtemt modelle legtösör cs öelítése lóság, így modellü már elee em potos, duló pl. mérésől sármó dto pottlság, dth. Sámítás há: gép gy emer téedés dur h, épleth erről or esélü, mor em téyleges mtemt modellel megoglmott eldtot, hem cs egy öelítését oldu meg, c ereítés h elég cs rr godol, hogy sámítógéppel ló muá sorá leegőpotos sámol ló sámolás rögített sámú tedes eggyel dolgo.

4 Hás eredméyre em eltétleül cs hossú és oyolult sámításo sorá uthtu. Sámos példát lehete említe oly esetre, mor soylg egyserű eldto sorá s hms eredméyt phtu sámítógéppel égett sámolásor hgyomáyos leegőpotos rtmetát hsál. Réslet E.Hse és G.W. Wlster: Glol Optmto Usg Iterl Alyss 4 című öyéől. Rump példá. A sámítástudomáy egy ág, mt golul Relle Computg, mgyrul egíhtó sámításo ée postroál és ee éppe cél, hogy oly módsereet dolgoo, melyeel grtált megíhtóságú sámolásot égehetü sámítógéppel. Egy lye tech tö mt élésád tulmáyoott és hsált terllum rtmet. 4

5 Iterllum rtmet A módser lpötlete, hogy egy lós sám helyett, oly orlátos és árt lós terllumml dolgou, melyről tos tudu, hogy dott sám ee. A hgyomáyos lós rtmetát így elált terllumol sámoló terllum rtmet, lós líst terllum lís. A hgyomáyos mtemt mellett soás terllum mtemtáról s esél. A megíhtóság ulcsotosságú rése, hogy egy ú. elé ereítése eeett elárássl grtálá, hogy sámítógéppel égett műelete sorá eredméyterllumo á egy cst sélesee legyee, de égeredméy grtált dott terllum legye ee. A lpműelete deálás terllum rtmetá: [, y] [, y ] [, y y ] [, y] [, y] [ y, y ] [, y] [, y] [m, y, y, y y, m, y, y, y y], y y,, y [ ] [ ], h [ ] [, y] /[, y] [, y] /[, y] ás lger sályo éréyesüle ee rtmetá, mt lós sámoál megsoott műelete eseté. Például tt össedás és oás, lmt sorás és ostás em er műelete egymás. Nem g, hogy sorás dstrutí össedásr ée, cs egy ú. sudstrúcós sály telesül: A B C AB AC, hol A,B,C lós terllumo. ássu éháy toá urcsságot! Péld: Htárou meg üggéye értéésletét [,] terllumo! A megoldás tráls: [,][,/4]. Sámolu o terllum rtmet műeleteel! [,][,][,]-[,][,][,][,]. Így em ö potos eredméy! Próálu meg most átlít egy cst üggéyt, sorou e -sel! Tehát tetsü eles lot. [,][,]-[,] [,]-[,][-,]. ost sem ött! Rádásul más eredméy dódott, mt első sámolásor. c Próálu most elő teles égyetté egésíte üggéyt, tehát éü / / 4 lot! [,] [,] [/,/ ] [ / 4,] [/ 4,/ 4] [,/ 4] [/ 4,/ 4] [ /,/ ] [/ 4,/ 4] Végre meg! Ig öe ráöttü rr, hogy terllumos sámolásál em egyelő -tel. Vegyü ésre, hogy mdhárom esete pott terllum trtlm potos eredméyt! 5

6 . tém Elmácós módsere, trgulárs elotáso eárs egyeletredser mátros l ló elírás: A, hol A lós mátr, lós etor, smeretleeet trtlmó etor. A toá m cs drtus mátrú leárs egyeletredsereel ogllou. Elmácós módsere, Guss-elmácó A elmácós módsere léyege, hogy dott leárs egyeletredser helyett egy ele eles, de már öye megoldhtó leárs egyeletredsert htárou meg. E utó egyeletredsert egy elmácós elárás égrehtás utá pu meg. A Guss-elmácó sorá leárs egyeletredser mátrát egy első trgulárs mátrsá lítu úgy, hogy elmácó mde egyes lépésée mátr őátlóá redre öeteő eleme ltt mde elemet ulláu. Tehát duló egyeletredseről elmácó lá sert ár el: H em, or épeü redre / háydost, md redre megsoro eel háydossl első egyeletet sortot leou -d egyeletől,,. Ee eredméyeét első oslop másod elemtől ede csup les. A öeteő. lépése, h pott egyeletredser őátlóá. eleme em, or ele elostu. sor. elemét, md eel háydossl elő módo redre ulláu. oslop őátló ltt értéeet,...,- és,..,. A et elárást égreht égül egy oly leárs egyeletredsert pu melye mátr első trgulárs gys őátló ltt mde eleme. A lye leárs egyeletredsereet sshelyettesítés módseréel már öyű megold. A utolsó egyelet már cs egy egyáltoós leárs egyelet, mől öye dód. A -t sshelyettesíte eggyel elette álló egyelete, sté öye dód értée. d és smeretée -. egyeletől dód, és így toá. A Guss-elmácó műeletgéye: O. 6

7 Jord-elmácó A Jord-elmácó sorá legutolár pott leárs egyeletredser mátr egységmátr, így megoldás rögtö leolshtó. E elmácós elárás hsoló Guss-elmácóho, tt s mde lépése elemeet ulláu, de emcs őátló ltt dott oslop, hem ölötte léő elemeet s. előtt ulláást eledü, elostu tuáls egyeletet őátló léő együtthtól h em, hogy őátló égé csup legye. A elárás műeletgéye: O. A elő ét lgortmus égrehtás sorá lágos, hogy tuáls egyelete őátló álló eleme, ú. őelem otos serepet tölt e elárás. H redre em, or rede megy lgortmus, de h, or -l em tudu ost, így helyette ú őelemet ell álst, h tudu. Ee ét mód hsáltos: résleges őelemálstás: sorcseréel tuáls egyelet helyett olyt álstu, hogy őelem e legye. teles őelemálstás: sor és oslopcserét s hsálhtu hho, hogy őelem e legye. Eor oslopcseré mtt lgortmus sorá, és sshelyettesítéssel pott etor ss ell állít smeretlee helyes sorredét. A Jord-elmácót hsálhtu regulárs mátro ertálásár s. A ertálás műelete eloghtó úgy s, mt dr leárs egyeletredser smultá megoldás. eg lehet mutt, hogy O műelettel egy regulárs mátr ere Jord-elmácól meghtárohtó. Trgulárs elotáso Deícó. A A drtus mátr trgulárs elotásá deompoícóá AR lú előállítást értü, hol R első trgulárs mátr. H lsó egység-trgulárs mátr gys oly mátr, melye őátlóá mde elem és őátló ölött mde elem, or R elotásról esélü más elölése U-elotás. T R, or Cholesy-elotásról esélü. R-elotás Egy drtus mátr cs, potos, gy égtele so R-elotás s létehet. 7

8 8 A A mátr cs R-elotás. A B mátr egyetle R-elotás. c A C ármlye lós -re telesül. Állítás. Regulárs mátr R elotás egyértelmű. Boyítás. H lee ét ülööő elotás A- pl. R R A, or mel A regulárs, így determáso sorástétele lpá,,, R R sté regulárs mátro, gys md ertálhtó. Ee sert telesüle ell R R össeüggése s. A loldlo egy lsó egység-trgulárs mátr áll, o oldlo egy első trgulárs mátr, és e cs úgy lehet, hogy h mdét oldlo egységmátr. E o t eleteé, hogy, R R. Egy drtus mátr R elotás megphtó Guss-elmácó segítségéel s. A lá egyeletredser megoldás:,,-, A Guss-elmácól ló megoldás lá lépésee erestül ut el égső első trgulárs mátrú leárs egyeletredserg: A A A A ~ ~ 5 ~ A egyes lépése lgerlg s leírhtó egy-egy ú. elmácós mátrsl ló esorássl: A A, A A, A A *

9 Egy röd térőét éü meg elmácós mátrol ló sámolás éháy tuldoságát. Deícó: A R T mátr elmácós mátr, h I m e, hol m egy oly lós etor, melye első ompoese. T A elmácós mátr ere I m e. A és T T elmácós mátro sort I m e m e. < Vsstére elő három * egyelőséghe A A A A dód. el egy elmácós mátr mdg ertálhtó hse determás, így g A A egyelőség s. áthttu, hogy elmácós mátrot öyű ertál és össesoro. A sort lsó egység-trgulárs mátr les, így elő egyelőség megd A egy R deompoícóát s: V o oly lgortmus s, mellyel redeettee sámolhtu R elotást. Et elárást soás prett lgortmus s hí. A elárás ormlálhtó ét ormulá: p p r l r,,, p p l lprp,,,,, r A elárás úgy műöd, hogy elősör et ormulá lpá meghtárou R mátr első sorát, md első oslopát, utá R másod sorát, md másod oslopát és így toá mth prettát teé le. Péld. Htárou meg elő mátr R-elotását prett lgortmussl s! Cholesy-elotás. Cs smmetrus mátr léte Cholesy-elotás. Vló, hse h T T T T T T T T A R R, or A R R R R R R A, tehát A smmetrus. Állítás: Tetsőleges A smmetrus regulárs mátr Cholesy-elotás R sor előelétől eltete egyértelmű. 9

10 Boyítás. Tegyü el, hogy A- ét ülööő Cholesy-elotás: T T A R R R R. el elotás sereplő mde mátr s regulárs, így T T R R R R. Itt l oldlo lsó, o oldlo első trgulárs mátr áll, m ylá cs úgy lehet, h md ettő egy D dgoáls mátrsl oos. Eor T T T T T T T T D DD R R R R R R R R I, T T m t elet, hogy d ±. Tehát R DR és R R D. Algortmus potí det mátr Cholesy-elotásá megdásár: CholesyA,R. A elotdó mátr. R ooldl első trgulárs mátr. sora 4. or to 5. do 6. r 7. or l to - 8. do 9. r r rl. od. r sqrt r. or to. do 4. r 5. or l to - 6. do 7. r r rl rl 8. od 9. r r / r. od. od. retur R Péld. A lgortmust hsál lá elotást yerhetü:

11 . tém átro sátértée és sátetor, öelítő módsere A mtemt tö területé pl. derecálegyelete megoldásor hsos egy A leépeés hol A C, C oly etor smerete, melyeet leépeés sát htásolá hgy meg. A lye etorot A mátr sátetor híu. A ráy és gyság áltoht etor, így cs t öetelü meg, hogy eleget tegye A λ egyelősége, lmlye λ omple sámml. Potos tehát Deícó. A A C mátr λ C sátértée, h léte oly C éróetortól ülööő etor, melyre A λ. A etort eor A mátr λ sátértééhe trtoó sátetor modu. Péld. A mátr ét sátértée : λ és λ 4. A λ -he trtoó sátetor lehet mde oly A λ -hö trtoó sátetor lehet mde oly Termésetese lesámít elő ét esete éróetort. etor, melyre. etor, melyre. Tétel. A λ C or és cs or sátértée A C mátr, h det A λ I. Boyítás H λ C sátértée A C mátr, or oly etor, melyre A λ. dét oldlól leo λ -t, pu A λ össeüggést, md -t emele A λ I dód. A eltételü sert ee homogé leárs egyeletredsere em tráls megoldás, így egyeletredser mátr determás ell hogy legye. H tétele sereplő determás lmlye λ C értére, or A λ I homogé leárs egyeletredsere em tráls megoldás. A λ o egye sátértée s A -, hse elő átlításot sselé égreht éppe A λ össeüggés dód egy etorr.

12 Deícó. A det A λi λ -r ée -edoú polomot paλ -l elölü és A rterstus polomá eeü. Péld. A polom. mátr det λ 5λ 4 λ λ rterstus egegyése. Egy mátr sátértée rterstus polomá gyöe. A lger lptételéől öete, hogy multplctássl sámol egy -es mátr potos sátértée omple sámteste. c A Ru-Ael tétel sert 5 eseté cs áltláos megoldó éplet egy polom gyöee lger megdásár. Nem léte oly éges lgortmus, mellyel egy tetsőleges mátr sátértéet potos meg lehete htáro. Tétel. Egy első gy lsó trgulárs mátr sátértée megegyee mátr őátlóá álló elemeel. Boyítás. H A lsó gy első trgulárs mátr, or det A λi értée éppe őátlóel eleme sort, mely egye rterstus polom gyötéyeős előállítás s, így gyöe A őátlóel eleme. Deícó. A A mátr yom tr A A A mátr spetrálsugr ρ A λ érté. A tr elölés gol trce-ől ered. m. c A A mátr spetrum A sátértéee hlm. Péld. A Tetsőleges A Vetorormá mátr yom 5, spetrálsugr 4. C mátrr tr A λ és det A Deícó: Egy. : R R leépeést etorormá modu, h >, mde -r. α α, ármely α lós sámr és etorr. ármely etorr. A etorormá egy tá p-orm p potí egés sám., λ.

13 p A p esete p / p A p esete euldes ormáról sotu esél. Gyr hsáltos még átrormá m etororm s. Deícó. Egy. : R R leépeést mátrormá modu, h A >, h A em érómátr. α A α A, hol α tetsőleges lós sám. A A A A, ármely A, A lós mátror. AB A B, ármely A,B lós mátror. de etorormáól sármtthtu mátrormát lá módo: A sup A m A m A Köye láthtó, hogy I egységmátrho mde sármttott mátrormá érté trto: I m. Neeetes mátrormá A A m A m A m osloporm m sororm / F Froeus-orm A A m mmum-orm, Deícó: Egy. mátrormát omptlse modu egy. m etorormál, h mde A lós mátrr és etorr telesül A A egyelőtleség. m

14 Tétel. Bármely mátrormáho megdhtó ele omptls etororm. Boyítás. egye. mátrorm. Egy ele omptls etorormát így m T deálhtu: X, hol e. Téyleg etormát pu így, mel >, h. m X T T α α e α e α m m T T T T c y e ye e ye y m m m A eeetett etororm omptls les dott mátrormál, mel A T T Ae A e A m m. m m Tétel. Egy A mátr spetrálsugr em lehet gyo lmely mátrormá A- elett értééél, gys ρ A A. Boyítás. H t golu, hogy ármely A C mátr ármely λ sátértéére λ A, or ése gyu, hse eor specáls spetrálsugárr s eáll egyelőtleség. E sot g, hse elő tétel sert mde mátrormáho megdhtó ele omptls etororm, így λ λ A A, mt > -l leost oyítdó állítást pu. T Tetsőleges lós A drtus mátrr A ρ A / A, hol A sármttott mátrorm. H A smmetrus, or A ρ A, így. ormát soás spetrálormá s mod. A sátértéee omple sámsío ló elhelyeedését ellem Gersgor tétel. egye D { C r } :,..., U A C tetsőleges mátr,, r,..., és. Eor A mátr mde sátértéére eáll, hogy λ D. A D öröet Gersgor-öröe ee. Deícó. egye A A T C tetsőleges mátr, T pedg tetsőleges regulárs AT mátr. A hoáredelést hsolóság trsormácó eeü. A A mátr hsoló B-he elölés A~B, h léte oly regulárs T mátr, hogy B T AT. 4

15 Tétel. H A~B, or p λ p λ, így sátértée s megegyee. A B Boyítás: H A~B, or léte oly T regulárs mátr, melyre B Eor λ det A λi det TT ATT λitt det T T AT λi T p A det T det T AT λi det T det TT det T AT λi det B λi pb λ. T AT. A elő tétel megordítás em eltétleül telesül, hse mátro rterstus polom megegyee, mégsem hsoló. és el em léte oly lgortmus, mely mde mátr lmey sátértéét éges sámú lépése potos meghtáro, így ülööse otos oly eláráso, melyeel ól tudu öelíte őet. Hogy tudá lye lgortmusot tlál? A lpötlet lehet hsoló hho, mt mt leárs egyeletredsereél hsáltu: Próálu meg oly lr ho mátrot, hogy sátértée o már öye leolshtó legyee. Tpus trgulárs mátro olyo, melyeről ráéésre le tudu ols sátéeet, hse o megegyee őátló álló elemeel. eárs egyeletredsere elmácól ló megoldásáál otos serepet pott, hogy meg tudtu d duló egyeletredserrel eles oly leárs egyeletredsert, melye megoldás már egyserű olt. Ehhe első trgulárs mátrú egyeletredserhe egy oly egyeletredsersoroto erestül utottu, melye ármely ét egyeletredser eles olt egymássl. A sátérté prolém öelítő megoldásáál elő elec oglmt hsolóság helyettesít. Itt s deálhtu ó esete egy mátr sorotot, hol sorot ármely ét eleme hsoló egymásho és sorot htárértée egy első trgulárs mátr, melye őátlóá dulás mátr sátértée. A sorotot mátr trgulárs elotásl deálhtu: A R A R A R R R 5

16 Tétel. A R-lgortmus oergec-tétele oyítás élül: egye A R oly regulárs mátr, melye sátértée lós és egyserese. Tegyü el, hogy elő tudu állít lá sorotot, gys mde lépése léte mátr R trgulárs elotás: A R. A R egye X mátr A -t dgoáló, gys X A X dg λ, λ,..., λ és létee X-e és X -e R trgulárs elotás. Eor { A }, { R } és { } mátrsoroto oergese és λ * * λ * lm A lm R λ * * *... * * *, lm I. * λ Tétel. A egye sorot A R T R - lgortmus oergec-tétele oyítás élül: R potí det mátr. A Cholesy-elotáso lpuló lá T A R R A R oergál egy oly dgoáls mátrho, mely A sátértéet trtlm, mdegyet ysor mey multplctás. egegyés. A trgulárs elotáso egyé llmás s. R H A- smert R elotás, or A leárs egyeletredser helyett tethetü y, Ry egyeletredsereet, melyeet már pustá sshelyettesítéssel megoldhtu. H A- smert R elotás, or A determás s öye meghtárohtó, hse em les más, mt R őátlóá léő eleme sort. T 6

17 4. tém Egyelete és egyeletredsere öelítő megoldás terácós módsereel Slárterácó Deícó: egye lós sám, lós egyáltoós üggéy! A sorotot üggéy edőpotho trtoó terácósorotá eeü. ássu egy egyserű példát! egye... Tehát,, h h és lós sám. Eor Termésetese merül el érdés, hogy mor les oerges elő sorot, h trt égtelee. Nem ehé elát öeteőt:, h < lm, h, cs éges htárérté, ülöe Amre ülööse érdemes elgyel, hogy h <, or htárérté üggetle -tól. Tehát ármlye edőpotól s dul sorot, mdg egy ostsho, s -he og trt. A s,s pot y és y egyeese metséspot, tehát megoldás egyelete. 7

18 Deícó: A egyelet megoldást pot eeü. Tétel: egye oerges lós üggéy egy terácó-sorot és trtso s- he. Tegyü el, hogy olytoos és értelmeés trtomáy árt. Eor s pot les -e! Boyítás: s lm lm lm lm s. Termésetese elmerülő érdése:. éte-e pot egy üggéye?. Egyértelmű-e pot -e?. Bármely edőpotól dul potho oergál-e terácósorot? Ahho, hogy tosítsu, hogy terácó-sorot tos léteé -e, eltessü, hogy R D. A elő állításól tűt, hogy süségü olytoosságár és rr s, hogy D árt legye. H elteé t s, hogy D orlátos, rögtö öetee, hogy -e tos léte pot. Elég cs meggodol orlátos árt terllumo olytoos üggéye tuldoságt. Tétel: A :[, ] [, ] olytoos üggéye léte pot. Boyítás: egye g-. el és, így g és g. H g, gy g or ése gyu, hse or gy gy pot les -e. Tegyü el, hogy g< és g>. A Bolo-tétel sert o eor léte oly c pot és öött, hogy gc. E sot potos t elet, hogy c pot -e. H em tessü el D orlátosságát, or em tos, hogy léte pot - e. H D orlátosságát eletü, de előíru, hogy telesítse pschteltételt, or sot elő három érdésre geel álsolhtu. Vgys: H olytoos üggéyre R D, D árt és telesít pscht-eltételt, hol <, és, D, or - e potos pot, és ármely D -re terácósorot potho oergál. 8

19 Nemleárs egyelete megoldás potterácól A egyelete és egyeletredsere gyöeresésée prolémá sseethető llms üggéye potá meghtároásár. Tétel: A egyelete s gyöe, or és cs or, h gh üggéye s pot, hol h egy oly lós üggéy, melye cs lós érushelye. Boyítás: H s gyöe egyelete, or s, így gsshss, tehát s pot g-e. H s pot g-e, or sgsshss, tehát s. Így s érushelye -e. H h üggéye deráltá recproá elletettét álstu, or értőmódserhe utu. H derált helyett t egy derecháydosál helyettesítü, or utu el selőmódserhe. Értőmódser Newto-módser A ' sorottl öelíthetü egyelet egy gyöét. Tétel: A üggéyhe, pot húott értőe és - tegely metséspotá scssá. Boyítás: egye értő egyelete ym. A egyelet meredesége ', így y '. el egyees átmegy, poto, így '.Tehát '. A értő egyelete így y ' '. A érushelye eleget ell, hogy tegye ' ' össeüggése, mől Péld: Négyetgyöoás Newto-módserrel ' dód. A c potí sám égyetgyöét meghtáro, em más, mt potí gyöét sámol. A edőértéet és c-t álst c c terácó-sorottl c tt már mde írt egy potos

20 Selőmódser. Itt, és, potot össeötő selőe -tegellyel ett metséspotá scssá les. eárs egyeletredsere megoldás terácól A A égyetes mátrú leárs egyeletredsert eles átlításol hou B lr. Válssu llms edőetort md épeü B terácósorotot. Tétel oyítás élül: A B terácó gloáls oergál A egy megoldásáho, h < B ρ. A elő eltételt lehet l s helyettesíte, hogy oly. mátrorm, hogy B <. Kérdés: Hogy állítsu elő A leárs egyeletredseről ele eles B leárs egyeletredsert? Tetsü A- egy AR-S regulárs sétágását, hol R regulárs mátr. Eor R-S RS R S R Így S R B, R. A toá eltessü, hogy A erőse regulárs, gys A regulárs és őátlóá cs ull. Hogy phtu meg A egy regulárs sétágását? Tetsü AD--U, hol D dgoáls mátr, lsó trgulárs, U első trgulárs mátro. Jco-terácó: RD, SU Eor Guss-Sedel-terácó: RD-, SU Eor D K O K K K O K K K O K K U D U D B J J D U D D U D B S S D U D

21 5. tém Polomo érushelye. Feldt: Adu meg oly síel trtomáyt, mely trtlm egy dott polom leglá egy gyöét! Tétel: egye p egy polom és legye em érushelye p deráltá. Eor p-e leglá egy gyöe örül ' p p sugrú öre. Boyítás: p gyötéyeős lát derecál pu p p p p... ' össeüggést, mt elhsál p p m ' Eől dódó már öete állítás: ' m p p. Péld: A p polom,,, 4 gyöe, melye öül egy ee egy orgó örül 8 sugrú öre.. Feldt: Adu meg oly síel trtomáyt, mely trtlm egy dott polom össes gyöét! Tétel: Jelöle p... polom gyöet,...,,. Eor δ µ,,...,, m m. Boyítás: de györe g, hogy..., így g... µ µ µ µ.

22 Tudu, hogy δ,,- és δ. Tegyü el, hogy µ >, elleeő esete oyítás tráls. Felhsál elő eredméyeet, így µ δ µ δ µ µ µ δ µ... δ µ δ, mől már öye dód állítás. Péld: A elő példel polomr tétel t d, hogy mde gyö ee egy orgó örül m,,5,88 sugrú öre. Ee tétele rr s hsálhtó, hogy h egy polom érushelyee meghtároásár terácós módsert hsálu, or sorot edőelemée álstásá segítségüre lehete oly trtomáyo, melyeről tos tudu, hogy polom érushelye. 6. tém Függéyöelítése, grge terpolácó, legse égyete módsere Ee témöre polom-terpolácós eldttl ogllou. Prolém: Adott dr pároét ülööő {,,..., } ú. terpolácós lppot és {,,..., } értée. Htárou meg t legele --ed oú P terpolácós polomot, mely eleget tes P terpolácós eltétele. grge terpolácó A elő eldt egyértelműe megoldhtó. Deícó: de -re deálu ú. grge-éle áspolomot.

23 Tétel: de potos --ed oú polom. A lppoto elett értéere δ telesül. Boyítás: A eeő osts, míg sámláló egy --ed oú polom. H, or, ülöe. Tétel. A terpolácós prolém megoldhtó és egy lehetséges megoldás P grge-éle terpolácós polom. Boyítás. A elő állítás -ől öete, hogy P legele --ed oú polom. A elő állítás -ől öete, hogy P. Tétel. Tetsőlegese álstott lppoto és üggéyértée eseté terpolácós prolém megoldás egyértelmű. Boyítás. Tegyü el dret módo, hogy ét ülööő megoldás léte P és P. Képee SP-P polomot lágos, hogy S-e mde lppot értée. E t elet, hogy leglá érushelye, m t elet, hogy leglá osám. E o elletmod S ostrucóá, mel ól meg öete, hogy S legele --ed oú. Péld. egyee d -,,,7 és,6 poto. Keressü meg hoáu grge-éle terpolácós polomot. P 7 6 7

24 egse égyete módsere Adott m potpár, y,,m. Sereté eeet potot Descrteséle oordátredsere egy üggéy groál ól öelíte. A üggéy tt sámú leárs üggetle g üggéy leárs omácóá ell lee. Tehát α, hol α R. g Feldtu így α értée llms megálstás. A legse égyete módserée léyege, úgy megálst α -et, hogy m Ehhe süséges, hogy mde -re α m α g y mmáls legye. α g y E utó egy leárs egyeletredser α -re, mt megold elírhtu eresett üggéyt. A legegyserű eset, g és g, tehát mor leárs üggéyel öelítü. Eor sgár em ell tud eől eeet épleteet m m m m m m m y y m y y α α m m m m m m Péld: egyee d,4,,6,,7, 5,8, 7,7 és,9 poto. A legse égyete módsere elő specáls üggéyálstássl egy egyeessel, ú. regressós egyeessel öelít. Itt 45 7 α 4.8 α A egyees egyelete így y

25 7. tém Numerus tegrálás, terpolácós drtúrormulá, Newto-Cotes ormulá A lssus líse egy htároott Rem-tegrált Newto-e sállyl sotu sámol, ól smert lpéplet segítségéel: hol F ú. prmtí üggéye. d F F Előordulht o oly eset s, mor F meghtároás gyo ehé eldt, gy éppe F em s írhtó el árt l. Toár s lís esötárá elül mrd oly trüö melyeet éh serrel llmhtu lye esetee s: - tegráldó üggéy sor etése, md sor tgoét tegrálás, - prcáls tegrálás, - helyettesítéses tegrálás, st. A gyorlt élete o előordulht oly eldto s, hogy emcs F, de mg tegráldó üggéy éplete scs meghtáro, hem helyette pl. egy gép surut cs d. Vlágos, hogy lyeor lís elő esöe helyett más elárásot ell tlál. Fotos serepet áts s, hogy gyorlt sámár áltlá cs süség potos értére elég egy gyo ó öelítése s. Deícó: Tegyü el, hogy léte tegrál -e [,] terllumo. A Q w súlyoott össeget drtúr-ormulá híu. A ee helyeet drtúr- sereplő w sámot ormul súly, lppoto híu. A drtúr-lppotoról mdg eltessü, hogy [,] terllum és pároét ülööőe. 5

26 Iterpolácós drtúr-ormulá Alpötlet: Köelítsü üggéyt polomml hse o ól tegrálhtó, így tegrálát s polom tegrálál. Vegyü el lppotot [,]-e és öelítsü eehe trtoó P grge-éle terpolácós polomml. A tegrál eor lá módo lul: H most eeetü d P d d drtúr ormulát ptu. Deícó: Egy w d d súlyot, or derül, hogy téyleg egy Q w drtúr ormul terpolácós drtúrormul, h megphtó et módo, gys lppotr elírt grgeterpolácós polom tegrálásál. Newto-Cotes-ormulá A Newto-Cotes-ormulá specáls terpolácós drtúr-ormulá, méghoá t specáls esetet elet, mor dr edstás lppotho trtoó grge-polom tegrálál öelítü. egye álstott lppot < <... < <. Attól üggőe, hogy tegrálás htár serepele-e terpolácós lppoto öött gy sem, ét esetet ülöötetü meg: A ytott ormulá eseté htáro em lppoto, eor h, h, h és h A árt ormulá esetée htáro s lppoto, eor h,, és h. előtt deálá potos Newto-Cotes ormulát, sólu ell éges derecáról s. 6

27 7 Deícó: Adott lppotoho és üggéyértéehe trtoó -ed redű éges derecát öeteő reuról értelmeü: Igolhtó, hogy Tétel oyítás élül: A grge-éle terpolácós polomot éges derecál lá módo írhtó el: t th P P d t d t d th P H t sert tegrálásr térü át, or ét ülööő tegrált ell elír: ytott ormulá eseté th helyettesítés utá dt t h d t árt ormulá eseté sté th helyettesítést elégee dt t h d t Néháy specáls ormul Nytott ormul értő-ormul h < < dt dt t h d th P

28 8 Zárt ormul trpé-ormul h < dt t dt dt t h d th P.