Gépütemezés erőforrás korlátokkal

Átírás

1 Gépüteezés eőfoás olátoal Dploauna Íta: Val Tbo Alalazott ateatus sza Téavezető: Ks Taás egyete aduntus Opeácóutatás Tanszé Eötvös Loánd Tudoányegyete Teészettudoány Ka Eötvös Loánd Tudoányegyete Teészettudoány Ka

2 Tataloegyzé Tataloegyzé evezetés Egy egységny eőfoás 6 Koplextás eedénye 7 Közelítő algotus csopotosító eláással PTAS 6 Több eőfoás 4 Egyetlen tetszőleges éetű eőfoás 4 Két egységny éetű eőfoás 6 Két és háo eőfoás: NP-nehéz 8 4 Különböző eőfoáso 4 Két gép: ne-egszaítható eőfoást ne génylő uná 4 4 egszaítható eőfoást ne génylő uná 6 4 ohó özelítés 7 44 PTAS ögzített száú gépe esetén 9 5 Átlagos átfutás dő: legegyszeűbb pobléá 45 6 Összegzés 49 Hvatozáso 5

3 evezetés Üteezéselélet pobléá szátalan helyen felbuanna Általánosan fogalazva a cél bzonyos tevéenysége elvégzésée olyan dőbeosztást találn aely fgyelebe vesz a endelezése álló eőfoásoat és valalyen szepont szent optáls Az üteezés pobléában uná elvégzését üteezzü gépeen bzonyos feltétele ellett egy adott célfüggvényt optalzálva A feladat tehát egy üteezés eghatáozása aely egonda hogy ely unát o és ely gépen végezzü Általános szabály hogy nden gép egy dőben legfelebb egy unán dolgozhat és nden unát egy dőben legfelebb egy gépen végezhetün lásd [] A dolgozat téáa az olyan üteezés pobléá vzsgálata ahol a gépe páhuzaosa és dedálta a célfüggvény a teles átfutás dő vagy az átlagos átfutás dő és az unás eőfoásoon túl (eze a gépe) tovább eőfoásoat s gényelhetne a uná aelyeen osztoznu ell Vzsgáln fogo a pobléa ülönböző specáls esetet polnoáls egzat és appoxácós algotusoat utato be lletve llusztálo azo űödését Ezen ívül az 5 feezetben egvzsgálo a pobléát abban az esetben ao a célfüggvény ne a teles átfutás dő hane az átlagos átfutás dő A pobléá odelle (lásd []): adott az elvégzendő uná egy N = { J J } halaza és gép: A gépe páhuzaosa (telesen egyfoá) és dedálta: ndegy una egy eghatáozott gépen eül feldolgozása ezét az N halazt előe felosztu észhalaza csa az gépen dolgozhatu fel N N N -e és az J n N halaz unát A J una egunálás dee p enny dőt vesz génybe a una elvégzése A uná feldolgozása lehet egszaítható vagy ne-egszaítható Ha egy una egszaítható ao a feldolgozása ne feltétlenül folyaatos Ha nncsene tovább olátozáso ao a gépe egyástól függetlenül űödne Feltesszü hogy a uná ég hozzáadott egúuló eőfoás(oa)t s gényelhetne Adott λ féle eőfoás és σ egység báo eléhető a eőfoásból λ Egy J unána ρ egysége van szüsége eőfoásból a végehatása soán Azo a uná aelyeet ülönböző gépehez endeltün és elyene a eőfoása van szüségü ao dolgozható fel páhuzaosan ha a teles eőfoás felhasználásu ne halada eg a σ -t: ρ σ

4 Egy adott üteezés esetén a elészül Egy S ütetevben a átfutás dee ( S ) at ( S ) szeese a ( S ) J una befeezés dee az az dőpllanat ao J una befeezés deét ( S ) J -el elölü Az S teles -el elölün íg az átlagos átfutás dő n - A legsebb teles átfutás deű vagy a legsebb átlagos átfutás deű üteezést optálsna nevezzü és pobléában a célfüggvény S -gal elölü attól függően hogy a A pobléá elölése: α β γ ahol γ helyén vagy szeepel Az α helyén PD vagy PD szeepel elye özül az első azt elent hogy a páhuzaos és dedált gépe száa íg a ásod esetben a gépe száa észe az nputna A β helyén es λσρ esλσρ ptn esλσρ ptn és esλσρ ptn valaelye szeepel ndegy esetben λ eőfoás áll endelezése σ σ -e λ és ρ ρ -e és -e n λ Az első esetben a uná ne szaíthatóa eg a ásod esetben egszaíthatóa a haad esetben egszaíthatóa az eőfoást ne génylő uná azaz azo a uná elye ne gényelne eőfoást végül a negyed esetben egszaíthatóa azo a uná elye gényelne (legalább egy) eőfoást A feezetben a legegyszeűbb pobléáat utatu be ahol λ = σ = ρ = azaz egyetlen egységny eőfoás áll endelezése Ezt az eőfoást a uná egy észhalaza gényl a több ne nden eőfoást génylő unána a feldolgozás soán egy egysége van szüsége az eőfoásból így egydeűleg ettő vagy több eőfoást génylő unát ne lehet elvégezn Enne a odellne száos alalazását seü olyan eseteben ao egy özös észüléet több felhasználó özött ell egosztan Vegyün például egy száítógéphálózatot a P-ből és egy nyotatóból áll ndegy P-n adott pogao futna elye vagy használá a hálózat nyotatót például fálo nyotatásáa vagy ne Ebben az esetben a P-et adott páhuzaos és dedált gépént ételezzü a nyotató átssza az eőfoás szeepet és a fálo nyotatása egfelel az eőfoást génylő uná feldolgozásána Ezee a feladatoa csa ao létez polnoáls algotus ha a gépe száa vagy ha az eőfoást ne génylő uná egszaíthatóa Ha az eőfoást ne génylő uná ne szaíthatóa eg ao a feladat á gép esetén s NP-nehéz

5 Tehát a legtöbb feladat NP-nehéz Ezee a feladatoa özelítő algotuso segítségével lehet egengedett egoldást találn Egy H algotus özelítő algotus ha ndg talál egengedett egoldást polnodőben fut és ha valalyen nputa az algotus outputa egy S H üteezés ao α hogy ( S ) ( S ) α H ha a célfüggvény a teles átfutás dő Az α -t özelítés hányadosna az algotust α -özelítő algotusna nevezzü A özelítés hányados éles ha létez egy példánya a feladatna elye ( SH ) ( S ) = α vagy legalább ( S ) ( S ) α H ahol a feladat éete végtelenhez tat ha a célfüggvény a teles átfutás dő Egy poztív ε -a az ( + ε )- özelítő algotuso családát polnoáls deű özelítő séána (PTAS) nevezzü A feezet alfeezetében egyetlen tetszőleges éetű eőfoás áll endelezése a gépe száa és a uná ne szaíthatóa eg Ezt a feladatot 4 PD es - szal elölü ahol tehát az eőfoás nagyságáa és ρ -e (a J unána enny egysége van szüsége az eőfoásból a végehatása soán) nncs felső olát n (Ne oozzon féleétést a feezetben szeeplő ρ elölés!) Ee a feladata létez polnoáls algotus Ez a odell egy ebe eőfoás elosztás esetével llusztálható Vegyün ét csopotot aelye ülönböző poeteben veszne észt Egy poet elvégzéséhez az lletées csopotvezető ééssel fodulhat a felső vezetéshez hogy ányítson át a csopot szááa segédeőt azét hogy azo segítsene a csopotna a poet telesítésében A vezetésne σ ebee van aet ee a céla tud elöln Itt a csopoto egfeleltethető a gépene a poete a unána és a σ ebe egy σ éető eőfoásna A feezet tovább alfeezeteben a PD es a PD es és a PD es feladato szeepelne elyeben egy una egynél több eőfoást s használhat és elye özül az első egoldható polnoáls dő alatt íg a ás ettő NP-nehéz ezét ne lehet általánosítan a feezetben található algotusoat A 4 feezetben λ daab egységny eőfoás áll endelezése ( σ = ρ = ) és a unána legfelebb egy eőfoása van szüségü Itt azt a unát ane szüsége van a eőfoása -eőfoás unána nevezzü λ és az eőfoást ne génylő unáat -eőfoás unána s nevezhetü nden -

6 eőfoás unána egy egysége van szüsége a eőfoásból a végehatása soán ezét ne hatható vége egyszee ét olyan una elyene ugyanaa az eőfoása van szüségü Azt az esetet vzsgálu ao a uná feldolgozása ne-egszaítható valant ao az eőfoást ne génylő uná egszaíthatóa A odellt so sztuácóa lehet alalazn aelyeben ülönböző eszözöet vagy észülé egységeet ell egosztan több felhasználó észée Példána vegyün egy unaálloásból álló száítógép hálózatot és ét nyotatót aelyből az egy színes nyotató ndegy unaálloáson adott pogao futna elye vagy használá valaely nyotatót vagy ne Például bzonyos fálo nyotatását ell elvégezn aelyne egy észe színes nyotatást gényel Ebben az esetben a unaálloásoat páhuzaos és dedált gépene tentü és a nyotató ét hozzáadott eőfoásént szeepelne Az 5 feezetben a célfüggvény az átlagos átfutás dő és csa a legegyszeűbb feladatoat vzsgálta eg: λ = σ = ρ = azaz egyetlen egységny eőfoás áll endelezése áadásul nden gépen csa - eőfoást génylő una van Ee a feladata beutato egy ne túl hatéony özelítő algotust de az édés aadt hogy ez a feladat egoldható-e polnoáls dő alatt vagy NP-nehéz-e 5

7 Egy egységny eőfoás Ebben a feezetben azoal a feladatoal foglalozun elyeben egyetlen egységny eőfoás áll endelezése lásd [] ndegy N halazt ( = ) osszu fel ét észhalaza Q -e és Q -ben csa eőfoást ne génylő una és R -e ahol R -ben csa eőfoást génylő una van N = R Q N = N = N N N esetén N = p J N esetén p ( J ) = p( { J } ) = p p : és ( ) := : J N 6 p Egy tetszőleges S üteezése elöle ( S ) a legoább olyan dőpontot aoa az összes una elészül az gépen (Ne oozzon féleétést hogy egy befeezés deét ( S )-el elöltü!) Ha ne ooz féleétést ( S ) -t íhatun J una helyett egyszeűen Vlágos hogy ( S ) = { ( S ) = } vel ( S ) p( N ) = p( Q ) + p( R ) () ( S ) { p( Q ) + p( R ) = } Ezt a elácót gép-alapú alsó olátna nevezzü vel egydeűleg ét eőfoást génylő unát ne lehet feldolgozn ezét R = () ( S ) p( ) Ezt a elácót eőfoás-alapú alsó olátna nevezzü ndét alsó olát () és () független attól hogy a unáat egszaíthatu-e vagy ne Ebben a feezetben gyaan használu a csopotosító eláás szeéletet -e ( ) Q -ből egyetlen ötegelt unát hozun léte at ξ -vel elölün és R - ből s létehozun egyetlen ötegelt unát at ρ -vel elölün A ötegeet összetett unána tentü a ötegeen belül a unáat tetszőleges soendben dolgozzu fel szünet nélül A alfeezetben a PD es PD esptn stb feladato oplextását eleezzü egutatu hogy a feladat NP-nehéz ha és eősen NP-nehéz ha változó A alfeezetben özelítő algotusoat fogun vzsgáln a csopotosító eláás szelélet alapán utatun egy legobb lyen algotust Ezen

8 ívül szó lesz aól hogy ha az eőfoást ne génylő unából gépenént legfelebb ét öteget észíthetün ao lehet obb algotust tevezn A alfeezetben utatun egy polnoáls deű özelítő séát a feladata ögzített esetén Koplextás eedénye Ebben az alfeezetben a PD es PD esptn stb pobléá oplextását eleezzü lásd [] egutatu hogy a pobléa egoldható lneás dő alatt ha = attól függetlenül hogy a unáat egszaíthatu-e vagy ne Továbbá egutatu hogy egoldható lneás dő alatt ha > és az eőfoást ne génylő uná egszaíthatóa Végül egutatu hogy gyengén NP-nehéz ha ögzített és eősen NP-nehéz ha észe az nputna ég ao s ha az eőfoást génylő uná egszaíthatóa A PD es és a es ptn csopotosító eláás szeléleten alapuló algotust PD algotus (lásd []) Input: Egy példánya a pobléána Output: Egy optáls PD pobléáa adun egy egyszeű a PD es vagy a PD es ptn S üteezés R -ből ρ R -ből ρ Q -ből ξ és Q -ből ξ öteg észítése gépe ρ ad ξ szünet nélül a dőponttól ezdve ξ az gépe a dőponttól ezdve ad ρ alyen oán csa 4 lehetséges azaz { p ( R ) p ( Q )} 7 -től S : az eedényül apott üteezés Stop Példa: R : = { J J } Q : = { J J } R : = { J J } Q : { J J } = 6 J J egunálás dő legyene ende Kötege: ρ ξ ρ és ξ A ötegeen belül a uná soende tetszőleges Legyen a ρ -bel uná soende ( J J J 4 J5 J ) a ξ -beleé ( 8 J7 J6 J9 ) ( J J5 J J J J4 ) és a ξ -beleé ( J 8 J J7 J6 J9 ) p ( R ) = p ( Q ) = ( ) p R = és p ( Q ) = 9 { p ( R ) p( Q )} = = p( R ) J a ρ -beleé

9 S : 4 J J J 4 J5 J J8 J7 J6 J9 J8 J J7 J6 J9 J J5 J J J J Tétel (lásd []): A PD es és a es ptn dő alatt a PD algotussal z: Az PD egoldható Ο ( n) S (a PD algotus outputa) nylván egengedett és optáls et = p( Q ) p( ) { p( R ) p( Q )} + p( R ) + R tehát ( ) S = elé valaely alsó olátot ()-et vagy ()-t Nylván Ο ( n) dő elég PD futásához és az eedényün független attól hogy egengedtü-e a egszaíthatóságot vagy se ost a > PD esptn pobléáa adun polnoáls egoldást ahol PD algotus (lásd []) Input: Egy példánya a PD esptn pobléána Output: Egy optáls S üteezés -e = -től = -g: R -ből ρ és -en a dőponttól ezdve ezdve ρ ( ) F : = p R ρ öteg befeezés dee -en F -től ezdve ξ -e = -től = -g: Q -ből ξ öteg észítése -n az F -től ezdve ρ ahol F ρ öteg befeezés dee az -en F F + p( R ) : = ρ öteg befeezés dee az Kezdü egunáln a ξ öteget az dőntevalluban Ha p ( Q ) > F F -nél és folytassu F -nél ( ell hogy befeezzü ξ egunálását) -n -n a [ F ] ao szaítsu eg a unát F -től ezdve ég ( Q ) F p dő 8

10 4 Példa: := 4 S : az eedényül apott üteezés Stop N : { J J } = J J egunálás dő legyene ugyanannya nt az Példában R : = { J J J } Q : = { J 4 J 5 J 6 } R : = { J 8 J 9 } Q : = { J J J } R : = { J J } Q : = { J J J } R : = { J J } Q : = { J J } Kötege: ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ 4 és ξ 4 Legyen a ρ -bel uná soende ( J J ) J a ρ -beleé ( ) ξ -beleé ( J J ) J J a J a ξ -beleé ( J J ) ρ -beleé ( ) J a 4 J J a 9 8 ξ -beleé ( J J J ) ρ -beleé ( ) 7 a J J és a 8 7 ξ4 -beleé ( J J 9 ) F = p( R ) = F = + p( R ) = 7 F = 7 + p( R ) = 9 és 4 = 9 + p( R4 ) = 8 p ( Q ) = p ( Q ) = 7 és p ( Q 4 ) = 6 p ( Q ) > F ezét a nél és folytatu F -nél S : Tétel (lásd []): A PD esptn PD algotussal z: 4 S nylván egengedett és vel ( S ) p( Q ) + p( R ) F ξ öteget egszaítu F - pobléa egoldható ( n) { } p( R ) = = tehát ( ) elé valaely alsó olátot ()-et vagy ()-t ezét S lépés Ο ( n) dőt gényel íg a több ( ) futásához J J J J 4 J 6 J5 J J 7 J9 J8 J7 J J 6 J5 J J J 4 J 9 J J 8 J7 Ο -et és vel n ( n) Ο dő alatt a S optáls Az Ο dő elég PD ostantól feltesszü hogy az eőfoást ne génylő uná ne szaíthatóa eg egutatu hogy a PD es és ég a esptn s NP-nehéz A övetező pobléát használu a educóa PD pobléa 9

11 Patícó: Adotta T és T észhalazo hogy e e poztív egésze ahol e = E Közset hogy a Patícó gyengén NP-teles t T { t} T = Létezne-e T T = T T = T és e = e E? T = T Tétel (lásd []): A PD es és ég a PD esptn feladat s gyengén NP-nehéz z: Tetszőleges Patícóa defnálu a övetező példányát a a PD esptn feladatna = t + 5 Q { J = J t } = { J t + } Q = { J t + } R = { J t + } Q { J } R { J } = t +4 R = t +5 A egunálás dő a övetező: p = = t p e = t + pt + = pt + 4 = E + pt + = pt + 5 = E n unával PD es vagy Vegyü észe hogy pontosan egy eőfoást génylő una van nden egyes gépen A tétel bzonyításához egutatu hogy a pobléána ebben a onstuált esetében pontosan ao létez egy van egoldása S üteezés elye ( S ) y = E + ha a Patícóna Tegyü fel hogy a Patícóna van egoldása és T és T az elvát észhalaza a T halazna A ívánt S üteezés létez és a övetezőéppen íható le Egy gépen sncs szünet Az gép ezd a egunálást a T ) unáal ad a J t + J ( una övetez végül a T ) unáal feeződ be Az gép J ( egunála a J t + és aztán a J t + unát Az gépen a soend: J t + 5 J t + 4 Könnyű leellenőzn hogy az ént setetett üteezés egengedett és hogy ( S ) y = ost tegyü fel hogy a ívánt S üteezés létez vel nden gépen a teles unatehelés y ebből övetez hogy ( S ) = y és egy gépen sncs szünet Ezen ívül az eőfoást génylő uná összes egunálás dő E + így a [ + ] E dőntevalluban nden dőpllanatban pontosan egy lyen una van feldolgozás alatt vel a J t + és a J t + 4 uná ne egszaíthatóa ezét az egyet

12 a [ E + ] ntevalluban dolgozzu fel íg a ásat a [ E +] J eőfoást génylő unáat a [ E] és a [ E + E + ] Ezét a J t + és t + 5 ntevalluhoz endelü hozzá Eatt a J t + unát uszá az E ntevalluban gépen a [ E E +] ntevalluban feldolgozn A több unát az gépen ét ntevalluban égpedg a [ E] -ben és az [ E + E + ] Patícóna van egoldása ost tentsü a -ben ell feldolgozn aből övetez hogy a PD es pobléát ahol a gépe száa változó 4 Tétel (lásd []): Ha az észe az nputna ao a PD es és ég a PD esptn feladat s eősen NP-nehéz z: egtalálható []-ben Közelítő algotus csopotosító eláással ost az NP-nehéz feladatohoz polnoáls deű özelítő algotusoat fogun vzsgáln a csopotosító eláás szelélet alapán lásd [] 5 Tétel (lásd []): nden olyan algotus esetén ely a csopotosító eláás szeléleten alapul a PD es pobléa példánya özül létez olyan hogy ( S ) ( S ) ( ) ha ha páatlan páos ahol S az algotus outputa S az optáls üteezés z: Legyen páatlan Konstuálun olyan példányát a ( ) ( S ) feladatna ahol ( S ) ( ) ( ) telesül PD es Legyen -e p = egység Legyen nden gépen una elyből -ne ell az eőfoás Nylvánvaló hogy ( S ) = folyaatosan dolgoz az egység Például: a [ ] ntevalluban nden gép gép a hozzá tatozó eőfoást génylő unát az [ ] ntevalluban dolgozza fel = Kötege: ρ (egunálás dee egység) ξ (egunálás dee egység) Kétféle gép: az egy gépen ρ öteg után ön ξ öteg a ás gépen fodítva

13 A gépeet úgy endezzü soba hogy : első fata gép (legoábban ( ) u = + u -nél végezne) ( ) = + ( u ) u + : ásod fata gép (legoábban -nél végezne) u u + Ebből övetez hogy ( S ) n{ + { u u } u = } Páatlan -e a nuot u = ( ) esetén éü el Így ( S ) ( ) ( S ) = ( S ) Legyen ost páos A u u+ u+ ahogy állítottu PD es feladat egy specáls példánya: nden gépen eőfoást génylő una elyene egunálás dee ( ) egység az gépeen az gépen ε ahol ε egy cs poztív szá Az és ( ) és egység A több gépen ás una elye egunálás dee ( ) gépen ( ) eőfoást ne génylő una elye egunálás dee ( ) ( ( ) ) és ( ( ) ) Nylvánvaló hogy ( ) ε és egység S = + egység Például: a [ ] ntevalluban az gépe ( ) folyaatosan dolgozna és a hozzáu tatozó eőfoást génylő unát az [( ) ( ( ) ) ( ( ) )] ntevalluban dolgozzá fel Az gép a [ + ε ] ntevalluban folyaatosan dolgoz és a hozzá tatozó eőfoást génylő unát az [ + ε ] ntevalluban dolgozza fel Kötege: ρ ξ + ( ) + ( u)

14 Kétféle gép: az egy gépen ρ öteg után ön ξ öteg a ás gépen fodítva A gépeet úgy endezzü soba hogy : első fata gép (legoábban ( ) = + ( u ) ( ( ) ) u u + : ásod fata gép (legoábban végezne) Ellenőzhető hogy a legsebb étée ( ) ( ) ( ) { } = ( ) ( ) ( ( ( ) )) = Ezét ( S ) ( S ) + ε ( ) ε -nél végezne) ( ) = + ( u ) ( ( ) ) + ε ( ) ( ) { } -ne u = -nél van és ( ) ost egy algotust utatun be a az 5 Tétel olátat betató ütetevet ad GT algotus (lásd []) Input: Egy példánya a PD es pobléána Output: Egy S G heusztus üteezés Ha szüséges a gépeet száozzu át úgy hogy p ( R ) { p( R ) = } = R = p( ) : = R -e = -től = -g: R -ből p 4 Ha páos és ( R ) R ülönben enün az 5 lépése ρ és 5 Ha páatlan ao x : = ; ülönben x : = Q -ből ξ öteg észítése -nál ao u : = és enün a 7 lépése; 6 A gépeet vzsgálu eg a száozásu soendében és eessü eg a legsebb u ndexet ( u ) hogy u p x = u x ( R ) R p( R ) > R = 7 gépen ρ ad ξ öteg szünet nélül a dőponttól ezdve Ha u -a = -től = u -g gépen = nélül p( R ) -től ezdve ρ ad ξ öteg szünet

15 8 -a = u + -től = -g gépen ξ öteg a nulla dőponttól ezdve 9 gépen u ρ öteg p( Q ) p( R ) { } = -től ezdve -a = -től (vsszafelé) = u + -g gépen { p( ) } Q + -től S G : az eedényül apott üteezés Stop Nylvánvaló hogy az algotus lefut Ο ( n) dő alatt Példa: Legyen ugyanaz nt a Példa ρ öteg A gépeet úgy száozzu át hogy az és a 4 gépet felcseélü: : { J J J } Q : = { J J J } R : = { J J } : { J J } Q = 9 R = 4 Kötege: ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ 4 és ξ 4 Legyen a ρ -bel uná soende ( J J 7 8 ) a ξ -beleé ( J J 9 ) a ρ -beleé ( J J 9 8 ) a ξ -beleé ( J7 J) beleé ( J J ) a ξ -beleé ( J 5 J4 J6 ) a ρ4 -beleé ( J J J) és a 4 ( J 4 J6 J5 ) p ( R ) = 9 p ( R ) 4 = p ( R ) = és p ( R 4 ) = ezét R = = 8 R = x = 8 = + < p 9 = R + 6 ( R ) 4 = p ( ) 8 = = ( R ) + p( R ) p > + ezét u = { p ( Q4 ) p( R ) + p( R )} = { } = ezét 4 = + p( R4 ) = 6 { p ( Q ) 4} = { 76} = 6 ezét = 6 + p( R ) = 8 = p( R ) + p( Q ) = = 5 és = p( R ) + p( R ) + p( Q ) = + = ( SG ) = 8 = R tehát tt S G optáls J a ρ- ξ -beleé ezét 4

16 S G : J 7 J8 J 9 J J9 J 8 J J 7 J J5 J 6 J J J 4 J 4 J 6 J5 J J J Tétel (lásd []): A PD es pobléa esetén a GT algotus eedényeént apott S G üteezése: ( S ) G ( S ) ( ) ha ha páatlan páos és a olát éles így nncs a GT algotusál obb a csopotosító eláás szeléleten alapuló polnoáls deű özelítő algotus z: S G nylván egengedett Nylván { } = { } = u + u = u = Ezen ívül { u} p( R ) + { p( Q ) p( Q ) p( Q ) + p( R )} ahol p( Q ) p( Q ) p( Q ) + p( R ) u u { } ( S ) u u { u} p( R ) ( S ) = + = u u ezét Ha a 4 lépés feltétele fennállna ao az lépés att u p( R ) p( R ) R = Ha ne ao defnícó szent ( R ) R ( S ) u p = x x ( ) ( S ) Így ha ( S ) { } = { } = { } G = + ao a tétel u első állítása fennáll ég ao s ha u = vagy u = feltétele ne állna fenn Tegyü ost fel hogy u és ( S G ) = u Ha + feltéve hogy a 4 lépés u 5

17 = p u + u + = = u + u ( R ) + p( Q ) p( R ) + p( R ) u + ao S G optáls és a tétel első állításával észen vagyun Ezét tegyü fel hogy v ( ) ( ) ( ) ( ) + u ( ) + = p Qv + p Rv + p R S p R u + v = u + = u + Ha a 4 lépés feltétele fennállna ao az lépés att p = u + ( R ) p( R ) R Ha ne ao páos -e defnícó szent p( R ) ( ) vel 6 > ( )R Páatlan esetén ρ a leghosszabb eőfoást felhasználó öteg p( R ) ( )R defnícóa att ndegy esetben p u x x x ( R ) R p( R ) p( R ) < R = R = = u + = Tehát a tétel első állítása fennáll Az 5 Tételből övetez hogy a olát éles Ezét u Ha obb telesítényt aaun ao el ell hagynun a csopotosító eláás szeléletet lásd [] Ha az eőfoást génylő unából gépenént egy öteget az eőfoást ne génylő unából legfelebb ét öteget észítün ao lehetséges olyan algotust tevezn a léte hoz olyan S H üteezést elye ( S ) H ( ) S + ha ha páatlan páos Azonban tetszőleges -e egy lyen algotus leíása és elezése túlságosan techna özben a avulás elentételen Például = -a és = 4 -e 4 -ól e avul a özelítés hányados PTAS Ebben az alfeezetben utatun egy polnoáls deű özelítő séát (PTAS) a PD es feladata lásd [] Rögzített -e és ε ] [ -e a séa futás dee az nput éeténe polnoáls függvénye de ne az -ne és az ( R ){ p( Q ) + p( R ) = } : = p = ε -na

18 S : A GT algotus outputa Nylvánvaló hogy ( S ) ( S ) G A 6 Tétel bzonyításából övetez hogy ( S ) ( S ) < 7 G G < aből övetez hogy Ugyans ( S ) { } és ha ( S ) { } ahol Ha G = u u + = ao G u u ( S ) p( R ) + { p( Q ) p( Q ) p( Q ) + p( R )} ( ) + = ( ) G u u u < = x x x = ha páatlan; x = ha páos ao ( SG ) < et ha u { p( Ru + ) + p( Qu + ) p( R ) ( )} = p R = u + ao ( SG ) v { p( Qv ) + p( Rv ) p( R )} ao u és ( S G ) = u + u + = + + u + = u+ v = u+ ( S ) + p( R ) + ( ) = ( ) G u < = + x x t ε ε : = ; δ 65 δ valós szásoozat ahol δ t : = ε ( t = ) N t : = { J N δ < p( J ) δ } Nylvánvaló hogy t t ( t = ) N N páonént dszunta t ε p N t p N ε ε et ha ne létezne ao ε ( ) p ( N ) p N ε > a ellentondás hogy ( ) ( ) δ : = δ t Osszu fel N -et A -e A -e és A -a: { J p( J ) > δ} { J δ p( J ) > } { J p( )} A : = ( nagy uná ) A : = ( özepes uná ) δ A : = δ ( s uná ) J t Nylván N Ezen ívül () A = így p( A ) ε ( ε ) ε ε δ és ha

19 A PTAS a feladatuna nagy vonalaban: ezdü az üteezést csa a nagy uná feldolgozásával elye ezdés dő a δ többszööse Aztán a hézagoat töltü a eőfoást génylő s unáal Végül a egaadt uná esetében a ohó ódszet alalazzu R S : azon üteezése halaza ahol a nagy uná ezdés dee a δ nenegatív egész többszööse Lea (lásd []): S R egy üteezés a PD es feladata a optáls az S R -bel üteezése özött Eo ( S ) ( S ) + δ R < ahol : = ( + δ ) z: A Lea bzonyításához hasonló és egtalálható []-ben s Legyen a [ δ[ többszöösene halaza Legyen ntevalluban található a δ -ne ne-negatív egész S azon üteezése osztálya aely tatalazza az összes lehetséges üteezését a nagy unána ahol a ezdés dő -bele Az Leából és a nagy uná defnícóából övetez hogy van lyen üteezés Vegyün egy tetszőleges S -bel S üteezést Legyen τ < τ < < τ a nagy uná ülönböző ezdés és befeezés dőne q növevő soozata A befeezés dőne (teészetesen) ne ell -belene lennü (4) q + < δ ugyans: ( S ) ( S ) + δ < ezét ( S ) < ( + δ ) Egy gépen u b nagy una van így bδ ( S ) < ( + δ ) δ Ebből övetez hogy b < ( + δ ) q < + δ δ ( + δ ) = és vel q b ezét S -e I : [ τ ] I : = [ τ τ ] I : = [ τ τ ] I : = [ τ τ ] I = [ τ [ = + q q q q : q 8

20 Ebből övetez hogy I ( q ) belseében a nagy uná özül egy se ezdőd vagy feeződ be I legyen ndex halaz ahol I pontosan ao ha I -ban nncs olyan nagy una elyne szüsége van az eőfoása I -a azo a gépe elyeen nncs una I -n alotá a Λ halazt vel τ q a befeezés dee az utolsó nagy unána így 9 q I LP ( S ): lneás poga a hozzávesz a s uná özül azoat elyene szüsége van az eőfoása az S -hez ne-egszaíthatóan Legyene a gépe úgy beszáozva hogy az első gép legyen az ahova endeltün lyen s unát azaz R A = ha > Legyen az I ntevallu hossza LP ( S ): = q x : az összegunálás dee azona a s unána elyene szüsége van az eőfoása és az gépen az I ntevalluon unálu eg Az lyen s unáat csa olyan I ntevalluon tudu egunáln elye I és csa Λ -bel gépen (5) n x q = (6) x I = Λ (7) x p( R A ) I Λ = (8) = I x = (6): Azona a s unána elyene szüsége van az eőfoása és az I ntevalluon unálu eg az összegunálás dee ne lehet több nt az I ntevallu hossza ( ) et ne lehet átfedés eőfoást génylő uná özött (7): nden olyan s unát elyne szüsége van az eőfoása hozzáendelün a egfelelő géphez az I ntevalluban LP -ne ndg van egengedett egoldása et q I és = Az ( ) S q

21 (5): Ha így S elöl a apott üteezést ao ( ) = + = xq -t ell nalzáln A = A( ε) algotus (lásd []) Input: Egy példánya a Output: Egy S ε heusztus üteezés S x τ q = q ahol q PD es feladatna ε > τ onstans Hatáozzu eg ε -ból ε -ot és δ -t Osszu fel N -et A -e A -e és A -a ( nagy unáa özepes unáa és s unáa ) Ha szüséges a gépe átszáozása úgy hogy R A ha és R A = ha > S egeesése S : azon üteezése osztálya aely tatalazza az összes lehetséges üteezését a nagy unána ahol a ezdés dő -bele övetező ódon: S S üteezéshez a több unát s hozzávesszü a Egy LP S lneás pogana ( = I ) nden I I ntevallua endelü hozzá R A -bel α optáls egoldás egeesése az ( ) legfelebb α teles egunálás deű unáat az géphez az I ntevalluban ( = ) A uná bályen soendben öhetne és ne-egszaíthatóan endelü a gépehez a gépe száozásána soendében: Az gép ezd a τ -nál és = -e az + gép özvetlenül azután ezd hogy végzett Ha egy una ne fé az eléhető ntevalluba deglenesen tegyü féle -e = -től = -g ρ öteg észítése a egaadt R -bel unából azaz az R A -bel unából és azoból az R A - bel unából elyeet -nél féletettün Kezdü a ρ -es öteget az gépen τ + q q dőponttól Ezután α =

22 = -e ezdü a ρ+ -es öteget az + gépen özvetlenül azután hogy a ρ öteg befeeződött az gépen Ha ρ ües ao hagyu fgyelen ívül -t 4 = -e a aadé Q -bel unáat ohó ódon endelü -hez: tetszőleges soendben ne-egszaíthatóan a legoább olyan dőpontban ezdve hogy a uná beleféene a egaadt hézagoba az atuáls üteezésben A apott üteezéseből válasszu azt aelyne a legsebb a teles átfutás dee Legyen S ε a apott üteezés Stop 7 Tétel (lásd []): Az A A( ε ) = algotus PTAS a PD es feladata z: e fogu bzonyítan hogy az algotus által apott üteezés teles átfutás dee ( + ε ) ( S ) és onstans ε -a és -e polnodőben fut Az Leából övetez hogy ( S ) egunálás dee nagyobb nt δ bele Ezét egegyezne az S S lépés elsősoban az Nézzü ost LP( ) hogy az R < ezét vel egy nagy una SR -ban a nagy uná ezdés dő - S -bel uná (nd nagy uná ) ezdés dő SR -ban a nagy uná ezdés dővel Ebből övetez hogy a S S -a vonatoz -ot Jelöle S azt az üteezést ahez a nagy uná ellett a cs eőfoást génylő unáat s hozzáendeltü ( és lépés) Eo ( S ) = ( ) = + : τ α ahol α optáls egoldása a lneás pogana S ( = I vel I q q = q ) Ebből övetez hogy ( S ) ( ) S R az optáls egoldásban legfelebb + q ne-nulla változó van Hívu a poztív α étéeet ne-és éténe ( non-splt value ) ha α = -e ülönben és éténe ( splt value ) Ha α ne-és été ao = p( R ) α Ezét nden R A -bel unát ne-egszaítható ódon hozzáendelün az I ntevalluhoz a lépésben Ha α és été ao az I -ban az A -n található cs eőfoást génylő uná( elyeet ne-egszaíthatóan dolgozun fel tt) összegunálás dee

23 nagyobb nt α δ Legfelebb + q és été van ()-ból és (4)-ből övetez hogy azona a cs eőfoást génylő unána az összegunálás deéne elyeet ( ) S -g ne lehet feldolgozn egy felső oláta ε (9) ( q) δ δ δ δ + < ε < 7 ε Jelöle S azt az üteezést at az gép ahol S befeeződ Legyen az S -ból apun a 4 lépés után Legyen gépen a ( ) S után az A -bel uná az a összegunálás dee az R A -bel unáé s és végül a Q A -beleé Legyen a ( ) sq és a ( S ) S özt szünet dee Eo ( S ) = ( S ) + sq + s + + ( S ) után az unát dolgoz fel egy ás gép De ( ) gépen csa ao van szünet ha ugyaneo egy eőfoást génylő S után csa özepes és cs eőfoást + + s p A + 7 ε és S + sq 8ε génylő unát dolgozun fel (9)-ből övetez hogy ( ) vel p( A ) ε ezét ( S ) ( ) + A lépés után legfelebb + S q szünet van gépenént és ( ) özött és ez a szá a és a 4 lépés után se növesz Ao hozzávesszü a cs eőfoást ne génylő unáat ezebe a hézagoba ét esetet ell tentenün Előszö ha gépe nden cs eőfoást ne génylő una belefé a hézagoba ao = Ebben az esetben ne növesz a teles átfutás dő és ( S ) ( S ) + sq + és ( S ) ( )-ból övetez hogy S R ( S ) ( S ) 8 R ε + sq 8 ε Különben ha cs eőfoást ne génylő unáat ell feldolgozn ( S ) gépen a ( S ) előtt összes hézag hossza ost sebb nt ből övetez hogy a és ( ) után az δ ()-ból és (4)- S özött hézago összhosszána egy felső oláta ε q δ δ ε + < + ε + < ε δ p N S + sq 7ε ( ) Ebből övetez hogy ( ) ( ) -ből

24 Nylván ( SR ) p( N ) ezét ( S ) ( ( S ) ) ε ( ( S ) ε) ε = ( S ) 5 ε sq R R + Jól látsz hogy a ( S ) ( S ) + 5 ( S ) ( ) < R ε egyenlőtlenség évényes az esetben s -ből ()-ból és az Leából övetez hogy R ε + ε = + ε + S 65 S 65ε = S + ε ( S ) ( S ) + 5 ( S ) + δ + 5ε ( S ) + ε 5 ( ) ( )( ) ( )( ) ost á csa azt ell egutatn hogy az algotus fx -e és ε -a polnodőben fut Egyészt az ( δ ) δ nt ( ) S -bel üteezése áls száa ne nagyobb Ο ásészt a feltétele és változó száa az ( ) LP lneás pogaban ne nagyobb nt -ne egy függvénye: (5)-ben a változó száa (6)-ban a feltétele száa I a változó száa ne nagyobb nt I (7)-ben a feltétele száa a változó száa ne nagyobb nt S I és végül (8)-ban a feltétele és változó száa I ezen ívül I q (4) és () Tehát az A A( ε ) = algotus PTAS

25 Több eőfoás Ebben a feezetben a PD es és a PD es általánosításaval foglalozun lásd [] vel a ezét a feezetben a gépe száa végg lesz A alfeezetben a PD es feladattal valant eze PD es feladat NP-nehéz a alfeezetben a PD es feladata lneás deű algotust adun A alfeezetben egutatu hogy a PD es és a PD es feladat NP-nehéz Egyetlen tetszőleges éetű eőfoás Ebben az alfeezetben a PD es feladattal foglalozun ahol az 4 N -bel unáat a gépen dolgozzu fel és a N = N \ N -bel unáat a gépen lásd [] Az eőfoásból σ egység báo eléhető és a J unána ρ egysége van szüsége az eőfoásból a végehatása soán egutatu hogy a feladat egoldható Ο ( nlogn) dő alatt ( Q) = p p : ha Q N és Q J Q és ( ) := J esetén p ( J ) = p( { J } ) = p N -e N = { J J N ρ } p N N-e és = σ S -e ( S ) L : = p( ) N = : ( { } { L L } L : = σ σ ( S ) Luv : = p( N ) + p( N ) = u = v ( { } { σ} ) ) ha u és v egész u v σ és u + v > σ L : = { L } u v σ uv u + v> σ algotus (lásd []) Input: Egy példánya a Output: Egy optáls PD es feladatna S üteezés Rendezzü ndegy gépen a unáat az eőfoás gényü szent ne-csöenő soendbe Defnálu Száítsu ( ) N -eet ( { } { σ} p -eet ( { } { σ} ) N )

26 Száítsu az L és L alsó olátoat Ha L = L ülönböző u és v páoa válasszu azt aelyhez a legsebb u tatoz 4 Az gépen gépen N N N soendben önne a unahalazo az N σ N σ N σ soendben 5 Az gépen dőpontnál ezdün szünet nélül Ha uv L L = Luv ao az gépen s dőpontnál ezdün szünet nélül Egyébént a dőponttól elezdü σ = v ( N ) p -től folytatu az N N -et szünet nélül ad a N eedényül apott üteezés Stop Az lépés Ο ( nlogn) deg tat vel a neües halada eg az n -et a több lépés Ο ( n) deg tat 4 Példa: := σ N : { J J } = J N u u u + N N N és σ -t (szünet nélül) S : az N halazo száa ne J egunálás dő legyene ende N : = { J J J } : { J J J } N = 4 5 N : = { J J } N : = { J J J } N : = { J J } N : = { J J J } : { J J } 7 8 { J } N : = J N = 7 Az algotus csa a unahalazo soendét hatáozza eg (a 4 lépésben) legyen a unahalazoon belül a uná soende tetszőleges Legyen az soende ( J J J ) ( J J J ) 9 ( ) 7 J 8 az J és az az N -beleé ( J J J ) N -beleé ( ) N -beleé ( ) 4 5 J J az J 9 J p ( N ) = p ( N ) = p ( N ) = 9 p ( N ) = 6 p ( N ) = 4 p ( N ) = p ( N ) = és ( N ) = 8 L = 9 és L = 5 ezét L = 9 L = L = 8 6 az N -beleé ( ) N -beleé ( J J J ) p N -bel uná J J az 8 7 N -beleé az N -beleé vel 9 = L L = L = 8 ezét ndét gépen dőpontnál ezdün szünet nélül 5

27 S : 8 Tétel (lásd []): Az z: Előszö egutatu hogy S valóban optáls S egengedett Ha L L ao egy gépen sncs szünet így ao lenne ne-egengedett ha létezne olyan u és v aelye u + v > σ és σ ( N ) < p( N ) u p = = v L J 9 J J J 8 J 7 J 4 J5 J 6 J J J J J J6 J 5 J 4 J 7 J8 J9 J 4 6 és átfedés van u N és σ u σ ( N ) + p( N ) > p( N ) + p( N ) L σ Luv = p = = v = u = = u v N özött Eo ellentondása utun: Ezét ha L L ao S egengedett és ( S ) = L Ha L = < L Luv ao az u és v választása gaantála a egengedettséget és ( S ) { L L } = Tehát S valaely alsó olátot elé így Két egységny éetű eőfoás ost a PD S optáls es feladattal foglalozun ahol az 6 N -bel unáat a gépen dolgozzu fel és a N = N \ N -bel unáat a gépen lásd [] A eőfoásból egység báo eléhető egutatu hogy a feladat egoldható Ο ( n) dő alatt N = N N N N ( { } ) ahol az egy eőfoása se az N -bel unána nncs szüségü N -bel unána az -es száú eőfoásból az unána a -es száú eőfoásból egysége van szüségü valant az unána ndét eőfoásból szüségü van egysége S -e ( S ) L : = p( ) ) N ( { } { L L } L : = ( S ) L N -bel N -bel ahol L : = p( N ) + p( N ) + { p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) p( N ) + p( )} N

28 D algotus (lásd []) Input: Egy példánya a PD es feladatna Output: Egy optáls S üteezés Ha szüséges száozzu át a gépeet és/vagy az eőfoásoat úgy hogy ( N ) { p( N ) p( N ) p( N ) p( N )} p = legyen Az -es gépen a dőponttól gépen a dőponttól Az ad a N ad N ad N N szünet nélül Az -es N és végül -es gépen a { p ( N ) p( N ) p( N ) + p( N )} N szünet nélül + dőponttól N { p ( N ) + p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) + p( N )} dőponttól N S : az eedényül apott üteezés Stop Könnyű ellenőzn hogy az algotus Ο ( n) deg tat 5 Példa: N : = { J J } J a 4 Példában Átszáozás után: N : = { J J J } N : = { J 4 J 5 J 6 } N : = { J7 J8} N : = { J J } N : = { J J } N : = { J J J } N : = { J J } : { J J J } 9 J egunálás dő legyene ugyanannya nt N = 9 Legyen az N -bel uná soende ( J J ) az N -beleé ( J 5 J4 J6 ) beleé ( J J 8 7 ) az N -beleé ( J 9 J J ) az N -beleé ( J J J) az ( J J J ) az N -beleé ( J ) és az N -beleé ( J ) J 7 9 J p ( N ) = 4 p ( N ) = p ( N ) = 9 p ( N ) = 6 p ( N ) = p ( N ) = p ( N ) = és p ( N ) = 8 { p ( N ) + p( N ) p( N ) + p( N )} = { 54} = 4 { p ( N ) + p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) + p( N )} { 547} 4 = = az N - N -beleé S : J 8 J7 J 9 J J J5 J 4 J 6 J J J5 J 6 J 4 J J J J8 J 7 J 9 J

29 9 Tétel (lásd []): Az z: = S valóban optáls S nylván egengedett Az p( N ) L dő alatt végez Az { p ( N ) + p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) + p( N )} + p( N ) { p ( N ) p( N ) + p( N ) + { p( N ) + p( N ) p( N ) + p( N ) } { L } dő alatt végez Tehát L S valaely alsó olátot elé így S optáls Két és háo eőfoás: NP-nehéz A és a D algotus ne általánosítható több eőfoás vagy ne-egység éetű eőfoás esetée egutatu hogy eőfoás esetén elye éete a PD es NP-nehéz Ezen ívül a D algotus ne általánosítható a több nt egység éetű eőfoás esetée egutatu hogy egységny éetű eőfoás esetén a PD es NP-nehéz lásd [] ndét feladat esetén egy una egynél több eőfoást s használhat Tétel (lásd []): A PD es feladat gyengén NP-nehéz z: Tetszőleges Patícóa defnálu a övetező példányát a PD es feladatna n = t + 8 unával Az -en a unána csopota van: U -uná ( U = t ) és X -uná ( X X és X ) Az -n s a unána csopota van: Y -uná ( Y Y és Y ) és Z -uná ( Z és Z ) A egunálás dő: ( U ): = e = t ( X ): = p( X ): = p( X ) : = ( Y ): = p( Y ): = p( Y ): = ( Z ): = p( Z ): = 5E p 5 p p p Az U -unána nncs szüségü eőfoása a Z -unáa nd szüségü van ndét eőfoásból egysége 8

30 Az X - és Y -unána a övetező szüségletü van az eőfoásoból: una eőfoás eőfoás X X X Y Y Y zonyítandó: létez Patícóna van egoldása S elye ( S ) y = E pontosan ao ha a + Tegyü fel hogy a Patícóna van egoldása és T és T az elvát ndexhalazo Olyan a övetezőéppen íható le Egy gépen S üteezés elye ( S ) = y sncs szünet a [ y] ntevalluban Az gép az ( Z Y Z Y ) gép az ( X π ( U ) X π ( U ) X ) soendben dolgozza fel a unáat ahol ( U ) ből vett ndexű ( U ) T -ből vett ndexű U -uná tetszőleges soozata π a Tegyü ost fel hogy sncs szünet a [ y] dolgozhata fel az 9 Y soendben az S létez Ebből övetez hogy ( S ) = y π a T - és egy gépen ntevalluban Az eőfoás génye att az gép csa azalatt X unát aíg az gép az Y unát dolgozza fel { } a vel az összes egunálás dő egész ezét S -ban az összes ezdés és befeezés dő egész - Előszö egutatu hogy S -ban az gépen ne lehet ét Y -unát özvetlenül egyás után feldolgozn Tegyü fel hogy Yp -t és Yq -t özvetlenül egyás után dolgozzu fel (ebben a soendben) ahol q { } dolgozza fel az az p és p q Az azalatt X p -t aíg az az Yp -t dolgozza fel és az azalatt dolgozza fel X q -t aíg az az Yq -t dolgozza fel Nncs hézag X p és X q özött et egy lehetséges hézag hossza egy egész szá lehetne -től 4-g de nncs olyan U -una a belellene egy lyen hézagba Legyen az halaza Q és az X p -t egelőző U -uná ndexene X q után övetező U -uná ndexene halaza Q Az gépen a uná lehetséges soende ( Z Y Y Z Y ) p q ahol Y egy Yp -től és Yq -tól ülönböző Y -una Eo az gépen a uná lehetséges soende

31 ( ϕ ( U ) X X ( U ) X ) ahol ( U ) p q ϕ ϕ a Q -ből vett ndexű ( U ) ϕ a Q -ből vett ndexű U -uná tetszőleges soozata Eo az összegunálás dee ϕ( U ) 5E íg ϕ ( U )-na 5 E + hossza az 5 többszööse Tehát az Ez ellentondás et ndegy U -unána a gépen a uná soende ( Y Z Y Z Y ) p q valalyen p q és háasa Ebből övetez hogy ét egyást övető X -unát U -uná választana szét Legyen az Q és az X q -t és X p -t és -na X q -t szétválasztó U -uná ndexene halaza X -t szétválasztó U -uná ndexene halaza Q Eo az ( ) gépen a uná soende X ϕ ( U ) X ( U ) X ahol ( U ) ( U ) ϕ a p q ϕ Q -ből vett ndexű U -uná tetszőleges soozata Tegyü fel hogy ( U ) ( 5 5) ϕ a ϕ hossza evesebb nt 5 E Eo az Q -ből vett ndexű gépen ϕ ( U ) + E -nél ne ésőbb feeződ be íg az X q legoábban 5E -nél ezdődhet Tegyü fel hogy ( U ) ϕ hossza több nt 5 E Eo az nél ne oábban feeződ be íg az Tehát ϕ ( U ) és ( U ) T : = Q q gépen ϕ ( U ) ( 5 + 5) X legésőbb 5 E + -nál ezdődhet ϕ hossza 5 E ezét a Patícóna van egoldása: T : = Q és Tétel (lásd []): A PD es feladat s gyengén NP-nehéz z: Tetszőleges Patícóa defnálu a övetező példányát a feladatna n = t + 8 unával PD es + E - A Tétel bzonyításában használt 4 csopotot vesszü ugyanolyan egunálás dőel Az U -unána nncs szüségü eőfoása a Z -unána nd szüségü van ndháo eőfoása

32 Az X - és Y -unána a övetező szüségletü van az eőfoásoból: una eőfoás eőfoás eőfoás X X X Y Y Y Ezután hasonló a bzonyítás nt a Tétel bzonyítása

33 4 Különböző eőfoáso Ebben a feezetben a PD PD esλ ptn feladattal esλ és a foglalozun ahol a unána legfelebb eőfoása van szüségü lásd [] N = N N és N = N N N géphez tatozó -eőfoás uná vanna és = λ λ = ahol N -ben az N - özött lehetne üese s = Egy tetszőleges S üteezése elöle ( S ) olyan dőpontot aoa az összes una elészül az féleétést ( S ) helyett egyszeűen -t íhatun Vlágos hogy ( S ) { ( S ) = } λ ( S ) p( N ) = = a legoább gépen Ha ne ooz λ = vel ( S ) p( N ) p( N ) = = Ezt a elácót gép-alapú alsó olátna nevezzü vel ét olyan unát elye ugyanazt az eőfoást gényl egydeűleg ne lehet feldolgozn ezét ( S ) p( N ) = λ = Ezt a elácót eőfoás-alapú alsó olátna nevezzü Eze az alsó oláto függetlene attól hogy egengedün-e egszaíthatóságot vagy se Ez a odell bővíthető egy általánosabb feladattá ahol a unához átállítás és eltávolítás dő tatozna Az átállítás egelőz a tényleges unafolyaatot és a feldolgozáshoz alalassá tesz a unát de ne ndg van á szüség Átállítása nden gépen szüség van az első una feldolgozása előtt és ao ao ét egyást övető una özül az egy N -bel a ás N -bel = λ = Nncs szüség átállítása ét = λ = Vegyü fgyelebe hogy ha egy feldolgozun ao ne szüséges az összes aadé utána feldolgozn Tehát valaely N -bel una özött N -bel unát N -bel unát özvetlenül N -bel unáat fel lehet dolgozn egyetlen ötegént vagy fel lehet osztan több ötege ahol nden öteg első unáána szüsége van átállítása nden N -höz hozzáendelün egy s átállítás dőt Ao az egy gépen tötén átállítás ao a több gépen bályen tevéenység töténhet

34 Hasonlóan az eltávolítás a tényleges unafolyaat után tötén at ao ell végehatan ao egy öteg feldolgozása befeeződ ég az ezt övető öteghez tatozó átállítás előtt nden N -höz hozzáendelün egy t eltávolítás dőt Ao az egy gépen tötén eltávolítás ao a több gépen bályen tevéenység töténhet Ee a odelle a teles átfutás dő az utolsó eltávolítás befeezés dee Ebben a feezetben s gyaan fogu használn a csopotosító eláás szeéletet Itt e ( ) és -e ( λ ) N -ből H öteget észítün ha ne ües A ötegeet összetett unána tentü a ötegeen belül a unáat tetszőleges - soendben dolgozzu fel szünet nélül Vegyü észe hogy egy H ( ) öteget báo fel lehet dolgozn de egy H öteget ne lehet a H ötegeel egyszee feldolgozn ha = λ Több alaloal egy egfelelő open shop feladatból nyeün algotus ötleteet Az open shop odellben nden una elvégzése űveletee bol elye elvégzése egy-egy eghatáozott gépen tötén A űvelete elvégzéséne soende nden una esetén tetszőleges Tehát nden unához gépe tatozna ahol a űveleteet fel ell dolgozn A gépe soende ne adott és a feladat egoldása soán választan ell egyet ülönböző unához ülönböző soend tatozhat Egy una egyszee ost s legfelebb egy gépen lehet azaz ugyananna a unána ét űvelete egyszee ne futhat ét gépen Az open shop feladat szabványos elölése ahol a gépe száa és a cél a teles átfutás dő nalzálása: O (ha a uná ne szaíthatóa eg) és O ptn (ha a uná egszaíthatóa) Ha a gépe száa változó ao a feladato elölése: Gonzalez és Sahn egoldotta az O gyengén NP-nehéz Az O és ptn O O feladatot Ο ( n) dő alatt (lásd [47]) íg az O eősen NP-nehéz; tuladonéppen NP-nehéz eldönten hogy létez-e olyan üteezés elyne teles átfutás dee legfelebb 4 ásészt az O ptn feladat egoldható polnoáls dőben A 4 alfeezetben lneás deű algotust adun a PD esλ feladata és anna általánosabb változatáa s átállítás és eltávolítás dőel A 4 alfeezetben a PD esλ ptn feladat oplextását eleezzü A 4 alfeezetben utatun egy egyszeű ohó özelítő algotust a PD esλ feladata elye

35 a özelítés hányados legfelebb A 44 alfeezetben utatun egy polnoáls deű özelítő séát (PTAS) a PD esλ feladata 4 Két gép: ne-egszaítható eőfoást ne génylő uná Ebben az alfeezetben egutatu hogy a PD esλ feladat egoldható lneás dő alatt ég ao s ha a unához átállítás és eltávolítás dő tatozna lásd [] Előszö nézzü a feladatot átállítás és eltávolítás dő nélül Vegyü észe hogy a λ = esetet á egvzsgáltu Alalazzu a csopotosító eláás szeléletet és vezessü vssza a feladatot a gépes open shop feladata ( O ) Készítsün A legfelebb λ + összetett unát: K K K Kλ A K K uná λ ndegye ét tevéenységből áll: valalyen soendben végehata az és az gép A K uná feldolgozás dő az ( K ): p( N ) b = ( = λ ) A A K -t csa az csa az gépen ( K ): p( N ) a = és az A A dolgozza fel és a( K ): = p( N ) b ( K ): = dolgozza fel és a ( K ): b( K ) = p( ) = : N Hasonlóan a gépen K -t Ezeet Ο ( nlogn) dő alatt találhatu eg: endezzü soba ndét gépen a unáat az gényelt eőfoás soszáa szent növevő soendben ezdve az eőfoást ne génylő unáal folytatva az -es száú eőfoást génylő unáal stb -e a K una ét tevéenysége ne végezhető el egyszee ásészt vagy K bá ással egy dőben feldolgozható: a egfelelő gépen feldolgozható ao s ha a ás gép feldolgoz valat bá legyen s az Így ez olyan nt egy étgépes open shop Egy optáls A K S open shop üteezés apható pl a özset Gonzalez-Sahn algotussal a a uná száát fgyelebe véve lneás deű lásd [47] Vegyü észe hogy λ λ A ( S ) = a( K ) + a( K ) b( K ) + b( K ){ a( K ) + b( K ) λ} = = a egfelel a teles átfutás dő optáls étééne az eedet feladatban S -ból az 4

36 eedet feladata egoldás: K helyett tetszőleges soendben öhetne N vagy ost nézzü a feladatot átállítás és eltávolítás dőel: A K K és K ( K λ ) ( ) a ( ) eltávolítás dő: s ( K ): = s t ( K ) = t A K -hoz és K -hez: N elyeben az eedet uná s t b K stb nt fent : { } A A A A ( K ) = t ( K ): = t ( K ): = t( K ): = ( K ) = t ( K ) = ( K ) = t ( K ): s : s s : s : t s : = s = λ K -höz átállítás és Az így apott open shop-a létez lneás deű algotus lásd [5] Az apu hogy = = λ A A A ( S ) s ( K ) + a( K ) + t ( K ) + ( s ( K ) + a( K ) + t ( ) s K λ ( K ) + b( K ) + t ( K ) + s ( K ) + b( K ) + t ( ) = ( ) K { n{ s ( K ) + t( K ) s( K ) + t( K )} + a( K ) + b( K ) λ} a egfelel a teles átfutás dő optáls étééne az eedet feladatban Vegyü észe hogy { s ( K ) t ( K ) s ( K ) + t ( K )} + a( K ) + b( ) + K n a lehető legsebb dő a alatt K una feldolgozható á oábban egállapítottu hogy az összetett unáat Ο ( nlogn) dő alatt alaíthatu Azona az összetett unána elyene legalább az egy tevéenysége ne-nulla az összes száa legfelebb n Eedényünet a övetező tétel foglala össze Tétel (lásd []): A PD es λ feladat egoldható ( nlogn) Ο dő alatt ég ao s ha vanna átállítás és eltávolítás dő Ez a polnoáls deű algotus ne általánosítható több nt ét gép esetée A és 4 Tétel szent ha az eőfoást ne génylő uná ne szaíthatóa eg és nncsene átállítás és eltávolítás dő a PD es gyengén NP-nehéz és a PD es eősen NP-nehéz Ezét a övetező alfeezetben az eőfoást ne génylő uná egszaíthatóa leszne lásd [] 5

37 4 egszaítható eőfoást ne génylő uná Előszö a PD es ptn feladatot nézzü átállítás és eltávolítás dő nélül ahol az eőfoást génylő unána a eőfoásból -e van szüségü Ezt vsszavezetü gépes open shop feladata ( O ) Az eőfoást ne génylő unáat deglenesen hagyu fgyelen ívül Az open shop feladat legyen a övetező: a gép legyen A és és legyen una: 6 K K nden K una ét tevéenységből áll: valalyen soendben vége hata az A és a egszaítás nélül A K unáa a tevéenységene egunálás dő: a ( K ): = p( ) ( K ): p( ) N b = = N Egy una tevéenysége ne végezhető el egyszee és legfelebb egy una végezhető el egy dőben egy gépen Ezét a N -ne és az összes egunálás dő ( n) K ét tevéenysége egfelel N -ne és Ο dő alatt száolható Egy optáls üteezés ee az open shop feladata egtalálható a Gonzalez-Sahn algotussal a Ο ( ) deg tat Az S üteezés átalaítható egy optáls S üteezéssé a PD es feladata eőfoást ne génylő uná nélül Ha az S üteezésben a K unát ( ) A unála eg [ τ ] τ -ben ao az S üteezésben az N -bel unáat bloban tetszőleges soendben) Hasonlóan ha az unála eg [ τ ] τ 4 -ben ao az S üteezésben az unála eg ugyanao egy bloént (a S -ban a S K unát ( ) N -bel unáat unála eg ugyanao egy bloént (a bloban tetszőleges soendben) Az eedényül apott üteezés nylvánvalóan egengedett és a teles átfutás dee egegyez az S üteezés teles átfutás deével Ebből övetez hogy ( S ) = a( K ) b( K ) a( K ) + b( K ) { } = = a egfelel az optuna az eedet feladatban az eőfoást ne génylő uná nélül Ezután az eőfoást ne génylő unáat hozzá vesszü egszaítható ódon tetszőleges soendben a egfelelő gépeen ha lehet a [ ( S )] -ban található hézagoba de ha az összes hézagot töltöttü és aad ég háta una (vagy egy észe) ao ( S ) Ezzel bebzonyítottu a övetező tételt -tól öhet a aadé szünet nélül

38 Tétel (lásd []): A PD es ptn feladat átállítás és eltávolítás dő nélül Ο ( + n) dő alatt egoldható Ez a polnoáls deű algotus ne általánosítható több nt ét eőfoás esetée A PD es ptn feladat átállítás és á eltávolítás dő nélül s NPnehéz: 4 Tétel (lásd []): A PD es feladat átállítás és eltávolítás dő nélül ahol nden unána szüsége van egy eőfoása gyengén NP-nehéz z: egtalálható []-ban ahol a Patícót használá a vsszavezetése 5 Tétel (lásd []): A PD es feladat átállítás dőel ahol nden unána szüsége van egy eőfoása gyengén NP-nehéz z: egtalálható []-ban ahol a Patícót használá a vsszavezetése 4 ohó özelítés Ebben az alfeezetben a PD esλ feladatot vzsgálu ahol a gépe száa ( ) észe az nputna lásd [] utatun egy egyszeű ohó algotust a létehoz egy ne-egszaítható üteezést elyne teles átfutás dee legfelebb étsze nagyobb nt az optáls été A PD esλ feladata egy ne-egszaítható S üteezés sűű (dense) ha csa ao van szünet ha ne áll a feldolgozás elezdéséhez észen una Egy lyen üteezést aphatun a övetező ohó algotussal G algotus (lásd []) Input: PD esλ feladat Output: Egy heusztus S üteezés áo ao valaely gép eléhető vzsgálu eg az összes unát at ég hozzá ell endeln eessü eg azt aely legoábban ezdhető az Rendelü hozzá J -t -hez -hez tetszőleges soendben és -n: J Addg sételü az lépést aíg az összes unát ne üteeztü S : az eedényül apott üteezés Stop Vlágos hogy a G algotus futás dee legfelebb ( n n{ n } ) Ο 7

39 6 Tétel (lásd []): A PD esλ feladata legyen S egy sűű üteezés at a G algotussal aptun Eo ( S ) ( S ) < z: Az általánosság egszoítása nélül tegyü fel hogy Q : az utolsó szünet után uná halaza az S egy optáls üteezés és -nél feeződ be az S -en Tegyü fel hogy Q ne ües et ülönben S optáls üteezés és a tétel nylvánvalóan gaz Q -ban nden una gényel eőfoást ülönben egy eőfoást ne génylő una haaabb s ezdődhetett volna Legyen J Q és J -na a ν eőfoás ell ( ν λ ) Ebből övetez hogy -en az összes szünet ne haladhata eg a több gépen ν eőfoást génylő uná összegunálás deét Ezét λ ν ( S ) p( N ) + p( N ) < ( S ) = = az alsó oláto att Nytott édés hogy a özelítés hányados éles-e Azonban ( S ) ( S ) lehet egyenlő -el Elegendő a övetező esetét venn a PD esλ feladatna nden gépen egységéetű una van az eőfoáso száa λ = + ndegy ( + ) ( S ) = N ües ha = és pontosan unát tatalaz ha et lehet úgy üteezn a unáat hogy ne legyen hézag [ ] -ben: N N 4 N N 4 N 5 N + N N 4 N 5 N 6 N N + N N N + N N N + N N N N N N Ugyanao a G algotus eedénye a legosszabb esetben pl a övetező A [ ] -ben az az [ ] -ben az N -bel az N -bel az N -bel az 4 N -bel az unáat dolgozzu fel És így tovább Az [ ] -ben az N -bel az N N N -bel az 8 -bel és az -bel az N N -bel ad -bel és az N -bel és az N -bel N -bel ad

40 az [ ] dolgozzu fel -ben az N -bel az N -bel az + Ezután az [ ] -ben az N -bel az [ +] + ben az N -bel és végül az [ ] fel Az így apott S -e ( S ) = N -bel és az -ben az -ben az + N -bel unáat N -bel az [ + + ] - + N -bel unáat dolgozzu N N 4 N N 4 N 5 N N N N N N N N N N N N + + N N 4 N N N N N N N N + + N + N + N 44 PTAS ögzített száú gépe esetén Ebben az alfeezetben utatun egy polnoáls deű özelítő séát (PTAS) a PD esλ feladata ahol a gépe száa ögzített de az eőfoáso λ száa az nput észe Az ε poztív és ögzített lásd [] Ha a gépe száa észe az nputna ao PTAS ne lehetséges PD esλ -a se véve ha P = NP O -a így Ez az alfeezet a alfeezet általánosítása ahol a utattun PTAS-t PD es feladata λ : = p = = ( S ) ( N ) = p( ) N A 6 Tétel bzonyításából övetez hogy λ < = = ν ( S ) p( N ) + p( N ) = λ így ahol S egy sűű üteezés at a G algotussal aptun ν -t pedg a bzonyítás soán defnáltu Tehát ( S ) < 9

41 ε : = ε Hasonlóan a alfeezethez osszu fel N -et A -e A -e és A -a: { J p( J ) > δ} { J δ p( J ) > } { J p( )} A : = ( nagy uná ) A : = δ ( özepes uná ) A : = δ ( s uná ) J ahol δ -t úgy választu eg hogy telesülene a övetező: p ( A ) ε R és ( ε ) ε ε δ S : azon üteezése halaza ahol a nagy uná ezdés dee a δ nenegatív egész többszööse Lea (lásd []): S R egy üteezés a PD esλ feladata a optáls az S R -bel üteezése özött Eo ( S ) ( S ) + δ R < ahol = ( + δ ) z: Egy : S optáls üteezése legyen τ < < τ < τ u a nagy uná ülönböző ezdés dőne növevő soozata Legyen egy gépen u b nagy una vel ( S ) < ezét b ( S ) < u < δ Alaítsu S -ot egy S R δ tehát b < δ vel u b ezét -bel S R üteezéssé úgy hogy u teácóval a unáat obba tolu a övetező ódon S : = S Az -ed teácóban ( u ) ndulun S üteezésből σ a legsebb többszööse δ nt τ Azona a unána a ezdés deét egnövelü -ne a nagyobb vagy egyenlő S - σ τ -vel elye bel ezdés dee ne oább nt τ Kapu az S üteezést ahol a nagy uná ezdés dee τ τ : = τ + σ τ ha ha u Nylván τ τ többszööse δ egapu Su -t és R u -ne és S továbba s egengedett Végül S : = S nden teácónál a uná befeezés dee és így a 4